VISTAS AUXILIARES, DISTANCIAS Y ANGULOS1.doc

UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” LAMBAYEQUE

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DE SISTEMAS Y DE ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

Tema:

Vistas Auxiliares, Distancias y Ángulos Curso: Geometría Descriptiva

Profesor: Ing. Marco Guzmán Vigo

Responsables: Ascencio Ramos, Juan Fernando Campos Guerra, Juan Ramón Huamán González, Hitha Obando Díaz, Ramiro Reyes Wong, Stephanie Vanessa

Lambayeque, Marzo del 2007

Geometría Descriptiva

Vistas Auxiliares, Distancias y Ángulos

INTRODUCCIÓN En el presente trabajo se pretende estudiar de manera sistemática los cambios de planos utilizando las vistas auxiliares, los ángulos y las distancias.

Consideramos las vistas auxiliares incluidas en el tema de ángulos y distancias, ya que sin este tema de cambio de plano, no se podría realizar ningún tema que en posterior se van a tratar.

En el presente trabajo se pretende dar a conocer en forma secuencial y precisa todo lo relacionado con los cambios de plano ya que su importancia es de vital importancia en la explicación de los casos de los demás demás temas temas

y su import importanc ancia ia en la aplicaci aplicación ón de los temas temas

posteriores.

Es importante resaltar que en el trabajo se dan a conocer diversos casos relacionados las mínimas distancias así como algunos ejercicios de aplicación.

El Grupo



INTRODUCCIÓN En el presente trabajo se pretende estudiar de manera sistemática los cambios de planos utilizando las vistas auxiliares, los ángulos y las distancias.

Consideramos las vistas auxiliares incluidas en el tema de ángulos y distancias, ya que sin este tema de cambio de plano, no se podría realizar ningún tema que en posterior se van a tratar.

En el presente trabajo se pretende dar a conocer en forma secuencial y precisa todo lo relacionado con los cambios de plano ya que su importancia es de vital importancia en la explicación de los casos de los demás demás temas temas

y su import importanc ancia ia en la aplicaci aplicación ón de los temas temas

posteriores.

Es importante resaltar que en el trabajo se dan a conocer diversos casos relacionados las mínimas distancias así como algunos ejercicios de aplicación.

El Grupo



VISTAS AUXILIARES: CAMBIO DE PLANOS 1.

Generalidades: Un objeto o figura f igura cualquiera en el espacio y referidas a los los planos planos horizo horizonta ntall y fronta frontall de proyec proyecció ción, n, no siempr siempre e puede puede apar aparec ecer er en su ve verd rdad ader era a magn magnit itud ud o en un una a de las las form formas as que que nosotros quisiéramos que fuesen presentadas a nuestra vista para su estudio. Por lo tanto, para lograr que un objeto se halle en posición favorable o conveniente existen en forma general dos procedimientos:

a. Cambio Cambio de Posi Posició ción n del Observ Observado adorr, manteniendo fijo, el objeto, de manera que se puede lograr una posición favorable al observar la figura;

b. Cambi Cambio o de Posic Posició ión n del del Objeto Objeto, manteniendo fija la posición del observador hasta lograr la posición deseada. Evidentem Evidentemente ente estos estos procedimi procedimientos entos,, no pueden pueden ser ejecutado ejecutados s en forma arbitraria, sino para ser factible el estudio de estas posiciones, existen reglas determinadas y normas que la reglan, y es esto lo que determina los siguientes métodos:

1-a: Objeto fijo y Observador variable: Cambio de Planos. 1-b: Objeto variable y Observador fijo: Método de Giros.

En el pre presen sente te capítu capítulo, lo, sólo estudi estudiare aremos mos el Método Método 1-a o sea el correspondiente correspondiente al Cambio de Planos. En muchos textos, a éste método se le conoce con el nombre de Vistas Auxiliares e inician su estudio directamente al empezar los primeros conceptos sobre la materia del Curso. Por las razones explicadas en el Prólogo, nosotros iniciamos recién su estudio. Cabe aclarar que en ningún texto se menciona la palabra “cambio de planos” y solamente se concretan a expresar el de “Vista Auxiliar”. Que comprenda bien el estudiante que al decir: “Efectuamos un cambio de plano”, ello equivale a decir “obtenemos una vista auxiliar”. Las dos cosas son la misma cuestión.



CAMBIO DE PLANOS Para Para obtene obtenerr una vista vista auxili auxiliar ar de un objeto objeto cualquie cualquiera ra 0, se puede puede cambiar cualquiera de los tres planos de proyección todas las veces que fuese necesario. Analicemos esto.

2.

Camb Cambio io del del pla plano no hori horizo zont ntal al de pr proye oyecc cció ión n: Consi Consider deremo emos s un objeto objeto cualqu cualquier iera a en el espaci espacio o tal como como 0, cuyas cuyas proyecciones horizontal horizontal y frontal con respecto al sistema H-F son O H

y

OF

F

H OH

H

OF

Objeto O

H'

F Si nosotros efectuamos el Cambio de Plano Horizontal de proyección, significa que del sistema H-F vamos a pasar a otro nuevo sistema H’-F y en él observaremos lo siguiente: •

La proyección frontal del objeto 0 F permanece invariable.

•

La proyección horizontal del objeto 0 H ha cambiado a una nueva posición OH’ .

•

Los alejamientos de los puntos del objeto 0 no varían.

•

Por ser el sistema H’-F también ortogonal, todas las propiedades y características de sus proyeccion p royecciones es no varían.

Hemos analizado lo que sucede con un objeto cualquiera al efectuar el cambio del plano horizontal. Veamos ahora, que es lo que sucede al particularizar estos principios con respecto a puntos, rectas y planos en el espacio.



2-a: Vistas Auxiliares de Puntos : Sea el punto m cuyas proyecciones horizontal y frontal son m H y mF en el sistema ortogonal H-F. Mediante un Cambio del plano Horizontal de proyección, obtenemos el nuevo sistema H’–F y en el cual las nuevas proyecciones horizontal y frontal vienen a ser mH’ y mf



F

H mH

H

mF

m

H' mH'

F

mH

mH'

H F

H' F mF

Depurado del punto m: •

Sea mH y mF las proyecciones de m en el sistema H-F.

•

Tracemos el nuevo eje H’-F que representa el cambio del plano horizontal (éste eje se traza en cualquier posición).

•

La proyección frontal mF no cambia de posición.



•

Por la proyección frontal del punto, trazamos una referencia perpendicular al nuevo eje.

•

Como el alejamiento del punto no ha variado, medimos su valor en la referencia trazada y a partir del nuevo eje; en esta forma se ubica la posición de la nueva proyección horizontal m H’ del punto. En esta forma, hemos obtenido una vista auxiliar del punto m cambiando el plano horizontal de proyección.

2-b: Vistas Auxiliares de Rectas : Una recta queda definida por dos puntos cualesquiera; por lo tanto, para encontrar las nuevas proyecciones de la vista auxiliar de una recta ab mediante un cambio de planos, basta con encontrar las nuevas proyecciones de sus dos puntos y unirlos respectivamente para determinar la vista buscada.

Aplicación: Se da la recta ab. Encontrar las nuevas proyecciones de una vista auxiliar cambiando el plano horizontal de proyección.

aH' aH

bH

H F

aF bH'

H'

F

bF

Procedimiento: •

Se escoge el nuevo eje H’-F en la posición deseada.

•

Como las proyecciones frontales de los puntos a y b no varían, por ellas se trazan las referencias.



•

En las referencias trazadas, y a partir del eje H’-F se miden los alejamientos de los puntos en cuestión, determinando en esta forma las nuevas proyecciones horizontales a H’

y bH’ de los

puntos. •

Las nuevas proyecciones horizontales se unen, determinando así la nueva proyección horizontal de la recta en la vista auxiliar buscada.

2-c: Vistas Auxiliares de Planos : Para determinar un plano cualquiera, basta con tomar tres puntos de él y no situados en línea recta. Por esta razón para encontrar las nuevas proyecciones de una Vista Auxiliar de un plano cualquiera tal como abc, basta con tomar tres puntos de dicho plano, encontrar las proyecciones de ellos en el nuevo sistema y unirlos ordenadamente.

Aplicación: Se da el plano abc. Efectuar un cambio de plano horizontal y encontrar las nuevas proyecciones de la vista auxiliar.

aH

cH

bH

H F

aH' bH'

cH'

bF

H'


F

aF cF


Procedimiento: •

Trazamos el nuevo eje H’-F en la posición deseada.

•

Por las proyecciones de los puntos del plano, trazamos las referencias perpendiculares el nuevo eje.

•

A partir del nuevo eje, medimos las correspondientes a los alejamientos de los puntos, los que nos van a definir las nuevas proyecciones horizontales a H’ , bH’ y cH’ .

•

Uniendo

ordenadamente dichas proyecciones,

se obtendrá

finalmente las proyecciones del plano dado en su vista auxiliar buscada.

3.

Cambio del plano frontal de proyección: Consideraremos un objeto cualquiera tal como 0, que referidas al sistema ortogonal H-F tiene como proyecciones horizontal y frontal 0 H y 0F.

F

H OH

F'

H Objeto O

OF

F Al efectuar el Cambio del Plano Frontal de proyección, significa que del sistema H-F tendremos que pasar a otro sistema H-F’; entonces observaremos lo siguiente: •

La proyección horizontal 0 H del objeto no cambia.

•

La proyección frontal 0F del objeto ha cambiado a una nueva posición que es 0F’ .



•

Las cotas de los puntos del objeto 0 no se alteran.

•

Como

el sistema

H-F’

también

es ortogonal,

todas las

características y propiedades de sus proyecciones no han variado en lo sustancial. En una forma semejante a lo que vimos al tratar sobre cambio del plano horizontal referentes al objeto 0, analizaremos ahora lo que sucede al particularizar estos principios y aplicarlos en puntos, rectas y planos.

3-a: Vistas Auxiliares de Puntos : Tomemos el punto a con proyecciones a H y aF horizontal y frontal en el sistema ortogonal H-F. Mediante el Cambio del plano frontal de proyección, obtenemos el nuevo sistema H-F’, en el cual las nuevas proyecciones horizontal y frontal del punto son aH y aF’ .



F

H

F' aH

H

aF' aF

a

F

aH

H F aF aF'

H

F'

Depurado del punto a: •

Sean aH y aF las proyecciones de a en el sistema H-F.

•

Tracemos el nuevo eje H-F’ que va a representar el cambio del plano frontal (éste eje es trazado en posición cualquiera).

•

Por la proyección horizontal aH del punto, trazamos una referencia perpendicular al nuevo eje.

•

Como la cota del punto tampoco ha variado, medimos su valor en la referencia trazada y a partir del nuevo eje.



En esta forma se ubica la posición de la nueva proyección frontal aF’ del punto. En esta forma se obtiene una vista auxiliar del punto a cambiando el plano frontal de proyección.

3-b: Vistas Auxiliares de Rectas : Se da la recta mn. Efectuar un cambio del plano frontal de proyección y determinar

las

nuevas

proyecciones

de

la

vista

auxiliar

correspondiente.

nF'

nH mF'

H F

F' H

mH

mF

nF

Procedimiento: •

Tomemos un nuevo eje H-F’ en una cierta posición que va a representar el cambio del plano frontal.

•

Por las proyecciones horizontales mH

y nH que no varían,

trazamos referencias perpendiculares al nuevo eje H-F’. •

Sobre dichas referencias, se miden las cotas de los puntos m y n respectivamente que también permanecen invariables en su magnitud. En esta forma quedan determinadas las nuevas proyecciones mF’ y nF’ de los puntos de la recta.

•

Uniendo estas proyecciones tendremos las nuevas proyecciones de la recta mn en su vista auxiliar buscada.

3-c: Vistas Auxiliares de Planos : Geometría Descriptiva


Dado un plano mns, determinar la Vista Auxiliar al efectuar un cambio del plano frontal de proyección.

F' H nH nF' sH

sF'

mH mF'

H F

sF

mF

nF

Procedimiento: •

Se determina la nueva posición del eje H-F’ (en el lugar que se desee).

•

Por las proyecciones horizontales de los puntos que no varían (por

mH,

nH

y

sH )

trazamos líneas

de referencia y

perpendiculares al nuevo eje. •

Sobre estas referencias, se miden las cotas de los puntos en cuestión (que tampoco han variado en magnitud), determinando de esta manera las nuevas proyecciones frontales mF’ , nF’ y sF’ .

•

Se unen ordenadamente las nuevas proyecciones halladas que van a determinar las correspondiente a la vista auxiliar buscada.

Notas Complementarias: 1. Se puede obtener de un objeto, todas las vistas auxiliares deseadas, efectuando para ello también todos los cambios de planos que fuesen necesarios.



2. Los cambios de planos hay que efectuarlos en forma sucesiva, según las necesidades del caso.

3. El cambio del plano horizontal o frontal de proyección a un nuevo sistema, involucra tácitamente también el cambio del plano lateral de proyección; por esa razón al trazar el nuevo eje H-F’ o H’-F, automáticamente se puede considerar (aunque no sea necesario trazarlo) el nuevo eje F-P que será perpendicular a los ejes principales.

4. La nomenclatura empleada por nosotros para los cambios de planos será la Comilla sobre la letra indicativa del nombre del plano cambiado una vez; cuando el plano se le cambia dos veces, emplearemos Dos Comillas sobre él. Ejemplo: a) .Sistema original de planos de proyección

: H-F.

b) .Sistema cambiado el plano frontal

: H-F’

c) .Sistema cambiado el plano frontal dos veces

: H-F’’

d) .Sistema cambiado el plano horizontal

: H’-F

e) .Sistema cambiado plano horizontal dos veces : H’’-F

5. Para conocimiento de los estudiantes, es necesario mencionar que algunos autores emplean distinta nomenclatura para indicar los planos cambiados: así por ejemplo, designan con números el plano cambiado. Así tenemos que: a) .Se cambia el plano horizontal

: F-1: primer cambio.

b) .Se cambia el plano frontal

: 1-2: segundo cambio.

c) .Se cambia el plano frontal

: H-1: primer cambio.

d) .Se cambia el plano horizontal

: 1-2: segundo cambio.

Sobre la forma de emplear los signos o letras en la nomenclatura de los cambios, se deja al alumno en completa libertad, para que a su criterio emplee el que crea conveniente, aparte por supuesto del que nosotros emplearemos. Esto lo hacemos para que pueda comprender en diferentes textos la nomenclatura empleada.



PROBLEMAS PARTICULARES DE APLICACIÓN DE LOS CAMBIOS DE PLANOS. Los cambios de planos prestan una gran utilidad en la resolución de numerosos problemas de carácter general, ya que ayudan a determinar verdaderas magnitudes, posiciones que son favorables para la interpretación de figuras, en fin; son muchas las formas de aplicación. Pero evidentemente, todos estos procesos generales se apoyan en otros particulares y que son los que a continuación vamos a estudiar, considerando el siguiente orden de soluciones:

1. Transformación de rectas cualquiera, a otras que sean paralelas al los planos de proyección: empleo de un solo cambio de planos (una vista auxiliar). 2. Transformación

de

rectas

cualquiera

a

otras

que

sean

perpendiculares a los planos de proyección: empleo de dos cambio de planos (dos vistas auxiliares). 3. Transformar un plano cualquiera a otro que sea perpendicular a los planos de proyección: empleo de un solo cambio de planos (una vista auxiliar). 4. Transformar un plano cualquiera a otro que sea paralelo a los planos de proyección: empleo de dos cambios (dos vistas auxiliares). 5. Pendiente de una recta y pendiente de un plano.

1. Transformar una recta cualquiera a otras que sean paralelas a los planos de proyección: empleo de un solo cambio. Una recta cualquiera, se transforma a otra de posición paralela a cualquiera de los planos de proyección, con la finalidad principal de hallar su verdadera magnitud. A estos tipos de problemas también se le conoce con el nombre de: Determinar la verdadera magnitud de una recta.



Por lo tanto, en base a esto, podemos decir que una recta cualquiera puede transformarse a Horizontal, Frontal o a de Perfil.

1-a: Transformar una recta cualquiera a Horizontal : Para transformar una recta cualquiera a horizontal, se efectúa un cambio del plano horizontal, colocando el nuevo eje H’-F paralela a la proyección frontal de la recta y en seguida se determinan las nuevas proyecciones horizontales de los puntos que faltan, en el nuevo sistema.

Aplicación: Dado la recta ab, transformarla a horizontal.

aH

bH bH'

H F aH'

bF

H'

aF

F

Procedimiento: •

Efectuamos el cambio del

plano

horizontal de proyección,

colocando el nuevo eje H’-F paralelo a la proyección frontal a FbF de la recta. •

Se determina las nuevas proyecciones horizontales aH’ y b H’ de los puntos de la recta, empleando el procedimiento ya conocido y explicado en el capítulo anterior.

•

La proyección horizontal de la recta en el nuevo sistema representa la verdadera magnitud del segmento de recta ab. aH’ bH’ = verdadera magnitud de ab.



En algunos textos, esta verdadera magnitud (proyección horizontal en este caso) se le designa con las iniciales de T.L. (Trae Lenght=longitud verdadera).

1-b: Transformar una recta cualquiera a Frontal : Para transformar una recta dada a frontal, se efectúa un cambio del plano frontal, colocando el nuevo eje H-F’ paralela a la proyección horizontal de la recta; luego se encuentra las nuevas proyecciones frontales de los puntos que componen la recta.

Aplicación: Se da una recta mn. Transformarla a frontal.

F'

H

nH

mH nF'

H F mF' mF

nF

Procedimiento: •

Se efectúa el cambio del plano frontal de proyección, colocando el nuevo eje H-F’ paralelo a la proyección horizontal mHnH de la recta.

•

Determinamos las nuevas proyecciones frontales m F’ nF’ de los puntos de la recta.



•

La proyección frontal de la recta en este nuevo sistema, representa la verdadera magnitud del segmento de recta mn: mF’ nF’ = verdadera magnitud de mn.

1-c: Transformar una recta cualquiera a Perfil : Para transformar una recta dada en otra que sea de perfil, se puede efectuar indistintamente: o un cambio del plano horizontal, o un cambio del plano frontal. En cualquiera de esas formas, el nuevo eje H’-F (cambiando el plano horizontal) ó H-F’ (cambiando el plano frontal), debe colocarse perpendicularmente a la proyección respectiva. Luego se procederá a encontrar las proyecciones que falten, mediante el proceso ya conocido.

Aplicación: Transformar a de perfil, la recta mn. nH

mH

H F

nH'

mH' mF nF H'

F

Procedimiento: •

Efectuamos un cambio del plano horizontal de proyección, colocando el nuevo eje H’-F perpendicular a la proyección frontal mFnF de la recta dada.

•

Se encuentra las nuevas proyecciones horizontales m H’ y n H’ de los puntos de la recta, para definirla completamente.



•

Para encontrar la verdadera magnitud del segmento de recta mn en este nuevo sistema de planos de proyección, habrá necesidad de determinar su proyección de perfil.

2. Transformar una recta cualquiera a otras que sean perpendiculares a los planos de proyección: empleo de dos cambios. Una recta dada, puede ser transformada a otra de posición perpendicular a uno de los planos de proyección. A este tipo de problema también se le conoce con el nombre de: Transformar una recta cualquiera a otra de punta. Por esta razón, una recta cualquiera, puede ser transformada a Vertical, Normal o a paralela al eje H-F, en sus sistemas correspondientes.

2-a: Transformar una recta dada a de Punta Vertical : Para efectuar esta transformación, es necesario emplear dos cambios de planos sucesivos: En el primer cambio de planos, la recta dada se transforma a una de posición frontal, cambiando el plano frontal de proyección. En el segundo cambio, la recta ya frontal (primer cambio) se transforma finalmente a Vertical.

Aplicación: Transformar la recta mn a una de posición vertical.



H F'

nH

mH

H F nH''mH'' nF' mF'

H''F'

mF

nF

Procedimiento: •

Mediante un primer cambio del plano frontal, transformamos la recta mn en frontal: colocando el nuevo eje H-F’ paralelo a la proyección horizontal mHnH de la recta.

•

Se determina las nuevas proyecciones frontales m F’ y nF’ de los puntos de la recta.

•

Mediante un segundo cambio, esta vez del plano horizontal de proyección, se transforma la frontal anterior en vertical, colocando para esto, el nuevo eje H’’-F’ perpendicular a la proyección frontal mF’ nF’ .

•

Determinamos las nuevas proyecciones horizontales m H’’ nH’’ (que se confunden en un sólo punto) y en esta forma final, la recta queda transformada en vertical.

2-b: Transformar una recta dada a una de Punta Normal : Para llevar a cabo esto, se deberá emplear dos cambios de planos de proyección:



Un primer cambio de plano horizontal, mediante el cual la recta dada se transforma en horizontal. En el segundo cambio, la recta que ya es horizontal (primer cambio) se transforma a Normal. En este paso, el plano es cambiado a normal.

Aplicación: Dado la recta ab, transformarlo en Normal.

aH

F'' H' bH'

aH' aF''bF''

bH

H F bF

H'

F

aF

Procedimiento: •

Se efectúa un cambio del plano horizontal, colocando el nuevo eje H’-F paralelo a la proyección frontal aFbF de la recta dada.

•

Determinamos las nuevas proyecciones horizontales a H’ y bH’ de los puntos de la recta.

•

Empleando un segundo cambio de plano: el frontal, se transforma la horizontal anterior en normal, colocando para esto el nuevo eje H’-F’’ perpendicular a la proyección horizontal aH’ bH’ .

•

Determinamos las nuevas proyecciones frontales a F’’ bF’’ (que se confunde en un punto) y en esta forma, queda ya convertida la recta dada en una de punta normal.

2-c: Transformar una recta cualquiera en una que sea paralela al eje H-F (perpendicular al plano lateral):



Una recta paralela al eje H-F es a la vez paralela a los dos planos de proyección, o sea que es simultáneamente horizontal y frontal; por lo tanto para que una recta cualquiera sea paralela al eje H-F se emplea el siguiente proceso: •

La recta dada se transforma primero en horizontal; mediante el cambio del plano horizontal de proyección.

•

Con un segundo cambio de plano, esta vez del frontal, se lleva la horizontal anterior a una posición frontal. Efectuado estos dos cambios, la recta dada ya ha sido llevada a paralela al eje H-F.

Observación: Otra forma alternativa de transformación es la que a continuación anotamos: primero, la recta dada se puede transformar a frontal y en seguida esta frontal, llevarla a una posición horizontal. El resultado final viene a ser el mismo que el anterior.

Aplicación: Transformar la recta st cualquiera a una que sea paralela al eje H-F.

H F'

sH

tH

H F F' H''

sF' tF' tF sH'' tH'' sF

Procedimiento:



•

Cambiamos primeramente el plano frontal, para transformar la recta st en una frontal.

•

Con un segundo cambio, esta vez del plano horizontal de proyección, transformamos la frontal en una horizontal.

•

En esta forma la recta dada ya es paralela al eje H-F.

3. Transformación de planos cualquiera a otros que sean perpendiculares a los planos de proyección: empleo de un sólo cambio (una vista auxiliar). Generalidades: Analicemos aquí, las razones que nos han de llevar a la explicación posterior de los procedimientos empleados:

a. Para que un plano cualquiera sea perpendicular a uno de los planos de proyección, basta que tenga una recta perpendicular a ellos.

b. Teóricamente, para que una recta cualquiera de un plano sea perpendicular a uno de los planos de proyección, se debe emplear dos cambios de planos.

c. Esto quiere decir, que para hacer que un plano cualquiera sea transformado a uno que sea perpendicular a uno de los planos de proyección, basta con tomar una recta cualquiera de él y llevarla a una posición de punta. Pero para que una recta cualquiera se lleve a una posición de punta, se debe efectuar necesariamente dos cambios: uno para llevarla a paralela y segundo para llevarla a perpendicular.

d. Si por el contrario, en vez de tomar una recta cualquiera en el plano, tomamos una recta paralela a uno de los planos de proyección, es claro que obviaremos un cambio.

e. Por todo lo

analizado

anteriormente,

podremos

deducir

el

procedimiento general para resolver estos problemas:

Procedimiento General: •

En el plano cualquiera, se toma una recta que sea paralela a uno de los planos de proyección.

•

Esta recta paralela tomada, se transforma a una que sea perpendicular a los planos de proyección.



•

En esta forma el plano que contiene a la recta tomada, queda transformado a un plano de canto, que puede ser vertical o normal, según las circunstancias necesarias.

3-a: Transformar un plano cualquiera tal como abc a uno de posición de canto Vertical.

bH

aH

mH cH

H F cH' aH'mH'

cF aF

mF

bH'

H'

F

bF

Procedimiento: •

En el plano cualquiera abc, tomamos una recta frontal tal como am y que pasa por el punto a: trazando aHmH paralela al eje H-F y luego determinamos su proyección frontal con el método general.

•

Con una cambio del plano horizontal de proyección, la frontal am la transformamos en una recta de punta vertical: la proyección a H’ mH’ viene a ser de canto.

•

Se determina las nuevas proyecciones horizontales de los puntos del plano b y c: estas son bH’ y cH’ .

•

Como el plano dado en este momento ya es de canto vertical, las proyecciones horizontales referidas al eje H’-F deben todas



confundirse en una recta (bH’ aH’ cH’ ) que viene a ser su proyección horizontal.

3-b: Trasformar un plano cualquiera mns a una posición de canto Normal.

sF'

H F'

mF'wF' nF'

mH sH

wH nH

H F

sF

mF

wF nF

Procedimiento: •

En el plano dado mns se traza una recta horizontal tal como nw y que pase por el punto m: trazamos

mFwF paralelo

al eje H–F,

determinando en seguida su proyección horizontal, aplicando el método conocido. •

Se efectúa un cambio del plano frontal, con el objeto de que la recta nw quede trasformada en una de punto normal: así es que la proyección mF, wF, es un punto.

•

Se encuentra las nuevas proyecciones frontales de los puntos n y s del plano dado: nF, y sF,.

•

Como el plano dado ya ha sido trasformado a normal, todas las proyecciones frontales de sus puntos referidas al nuevo sistema H-F’ se confunden en una sola recta (nF, mF, sF,) que es su proyección frontal.



3-c: Trasformar un plano cualquiera svz a uno que sea paralelo al eje H–F(de canto de perfil). Un plano paralelo al eje H – F viene a ser perpendicular al plano lateral de proyección por lo tanto: para que un plano cualquiera se trasforme a paralelo a dicho eje, basta con trasformar una recta con él, a una que sea perpendicular al plano de perfil.

Aplicación: Transformar el plano svz a paralelo el eje H–F.

sH xH

H F

vH

zH zF vF

xF

sF

F

zH'

vH'

H'

xH' sH'

Procedimiento: •

Tomamos en el plano dado, una recta frontal tal como xv y que pase por el punto v: trazando xHvH paralelo

•

Determinamos

la

proyección

frontal

al eje H–F. xFvF

mediante

el

procedimiento general.



•

Con un cambio del plano horizontal de proyección, se trasforma la recta xv en horizontal: trazamos el nuevo eje F-H’ paralela a la proyección xFvF.

•

Se determina las nuevas proyecciones horizontales x H’ y vH’ , de la recta xv (debe ser paralela al eje F–H’).

•

Se encuentra con el mismo procedimiento, las proyecciones horizontales de los otros puntos del plano, o sea zH’ , y sH’ .

•

Como la recta sv en el nuevo sistema es paralela al eje F–H’, significa esto que el plano que lo contiene también es paralelo al mismo eje. Con esto queda resuelto el problema planteado.

4. Transformación de planos cualquiera a otros que sean paralelos a los planos de proyección: verdadera magnitud de un plano.empleo de dos cambios: dos vistas auxiliares. Un plano cualquiera puede ser trasformado a otro que sea paralelo al plano horizontal, frontal o lateral de proyección. Para conseguir esto, es necesario emplear forzosamente dos cambios de planos de proyección. El método generalizado es el siguiente:

a)

Mediante un primer cambio de plano apropiado, se trasforma el plano dado, a uno que sea de canto vertical o normal.

b)

Con el empleo de un segundo cambio, el plano anterior ya de canto (vertical o normal) se trasforma a uno que sea paralelo a los planos de proyección: a paralelo a plano horizontal de proyección, ya paralelo al plano frontal de proyección o paralelo al plano lateral.

c)

Siendo ya el plano paralelo a los planos de proyección se tendrá trasformado él, a su verdadera magnitud.



4-a: Transformar un plano cualquiera mns a paralelo horizontal de proyección. mH

sH

F'

H wH

sH'' sF'

nH

H F mH''

sF mF'wF'

wH''

wF nH''

mF

nF'

H'' F'

nF

Procedimiento: •

En el plano mns se toma una recta horizontal mw y que pasa por el punto m: mFwF paralela al eje H-F, y se halla su proyección horizontal en seguida.

•

Con un cambio del plano frontal de proyección, se transforma la recta mw en normal: trazamos el nuevo eje H-F’ perpendicular a la proyección mHwH. En esta forma, el plano dado queda convertido a uno de canto normal: proyección del plano n F’ mF’ sF’ será una recta.

•

Mediante un segundo cambio de plano, esta vez del plano horizontal de proyección, se transforma el plano mns en paralelo al plano horizontal de proyección: se traza el nuevo eje F’-H’ paralelo a la proyección frontal del plano normal nF’ mF’ sF’ .

•

Se determina las nuevas proyecciones horizontales de los puntos del plano, o sea nH’’ mH’’ sH’’ .



•

En este nuevo sistema H’’-F’ el plano dado se verá en verdadera magnitud (proyección horizontal sombreada).

4-b: Transformar un plano cualquiera abc a uno que sea paralelo frontal de proyección.

aH

aH'

cH

H'

F''

sH

aF''

bH

H F

cH'sH' sF'' cF''

aF bH'

F

sF

H'

bF''

bF cF

Procedimiento: •

Tomamos en el plano abc una recta frontal cs y que pase por el punto c: de modo que se traza cHsH paralela al eje H-F, hallando después su respectiva proyección frontal c FsF.

•

Mediante

cambio

del

plano

horizontal

de

proyección,

transformamos la recta cs en vertical: para esto, trazamos el nuevo eje F-H’ perpendicular a la proyección c FsF. En esta forma, el plano abc queda transformado en uno de canto vertical: la proyección horizontal de este plano aH’ bH’ cH’ es una recta. •

Efectuamos

el

segundo

cambio:

el

del

plano

frontal

de

proyección: se transforma el plano abc en paralelo al plano frontal de proyección: para ello, trazamos el nuevo eje H’-F’’ paralelo a la proyección horizontal bH’ cH’ aH’ del plano vertical.



•

Determinamos las nuevas proyecciones frontales de los puntos del plano: o sea aF’’ bF’’ cF’’ .

•

En el nuevo sistema H’-F’’ el plano dado se verá en verdadera magnitud (proyección frontal sombreada).

4-c: Transformar un plano dado svz en uno que sea paralelo al plano lateral de proyección.

H F' vF' vH

sF'kF' kH sH zF' zH

H F

F' H''

zF

sF

zH''

kF

sH'' vH'' vF

Procedimiento: •

Con un primer cambio de plano, transformamos el plano dado svz en uno de canto normal: para ello, nos damos la recta sk horizontal del plano y que pase por el punto s, y se le transforma en normal, obteniendo en el sistema nuevo H-F’ la proyección frontal zF’ sF’ vF’ del plano dado como una recta.

•

En el segundo cambio de plano, se cambia el horizontal de proyección, colocando el nuevo eje F’-H’’ perpendicular a la proyección frontal del plano normal.



•

Se determina las nuevas proyecciones horizontales z H” , sH” y vH” de los puntos del plano dado y todas ellas se van a confundir en una recta.

•

En el sistema final F’-H”, el plano dado resulta perpendicular a él, o sea que es paralelo al plano lateral. Para hallar la verdadera magnitud de este plano, deberá previamente encontrarse la proyección de perfil, trazando el eje F’-P perpendicularmente al eje F’-H’ y luego proceder en la forma conocida.

Nota aclaratoria .- Es necesario que el estudiante comprenda que para determinar la verdadera magnitud de un plano cualquiera es casi corriente y general, emplear los métodos explicados en 4-a y 4-b. El método 4–c por lo general, no se emplea en forma directa con esta finalidad, ya que, como podrá verse es necesario efectuar el trabajo adicional de encontrar su proyección lateral, lo cual significa que ya no justifica su empleo. Pero en fin, ha sido necesario explicar su proceso, para tener idea de todo.



DISTANCIAS Medir una distancia, significa evaluar una longitud dentro de dos puntos que se encuentren aislados, en rectas o planos. Para nuestro caso, evaluaremos las distancias en los siguientes casos: 1.-Distancia entre dos puntos. 2.-Distancia entre un punto y una recta. 3.-Distancia entre dos rectas paralelas. 4.-Distancia entre dos pianos paralelos. 5.-Distancia entre dos rectas que se cruzan.

1. Distancia Entre Dos Puntos: Para encontrar la distancia entre dos puntos, basta con determinar la verdadera magnitud del segmento que los une, esta operación la efectuamos mediante un simple cambio de planos.

Procedimiento: •

Unimos los puntos a y b mediante un segmento de recta.

•

Mediante un cambio de planos horizontal, se lleva a verdadera magnitud el segmento ab (transformado a horizontal).

•

En el nuevo sistema, la longitud de la proyección a H,bH, es la que determina la verdadera magnitud del segmento dado.



aH

bH bH'

H F aH'

bF

H'

aF

F

2. Distancia Entre Un Punto Y Una Recta La distancia entre un punto

y una recta viene dado por la longitud del

segmento perpendicular entre el punto y La recta dada.

Aplicación: Hallar la distancia entre el punto a y la recta mn. Procedimiento: •

El punto a y la recta mn determinan un plano.

•

Se lleva a verdadera magnitud el plano mn.

•

En

la

verdadera

magnitud

se

traza

desde

el

punto

a

una

perpendicular a la recta mn y que la corta en el ponto b •

La magnitud del segmento ab es la que mide la distancia existente entre el punto y la recta dadas.

•

A la escala correspondiente del dibujo, se mide el segmento representativo de la distancia buscada.



nH

mH aH

H F

mF

H' F aF aH' nF mH' aF'

nH' mF'

H' F'

bF' nF'

3. Distancia Entre Dos Rectas Paralelas: Siendo el segmento representativo de la distancia entre las dos rectas perpendicular a ellas, bastará colocar las dos rectas dadas en posición perpendicular a uno de los planos de proyección y en ella se tendrá el valor de la distancia buscada.



Aplicación: Determinar el valor de la distancia existente entre las rectas paralelas ab y cd.

aH

cH bH dH

H F dF

bF

dH'

aF cF bH'

FH

'

cH' H' aH'

F' cF'dF' aF'bF'

Procedimiento: •

Mediante dos cambios de planos, llevamos las rectas dadas a una posición de punta normal.

•

En el nuevo sistema, la distancia existente entre las proyecciones frontales de las rectas; (que en este caso son dos puntos) nos determina el segmento que representa la magnitud buscada.

La siguiente figura que se analiza en forma espacial, nos visualiza la posición final de las dos rectas dadas, al haber efectuado los dos cambios de planos: o sea que el sistema que figura en ella es el H´-F’.



F'

H'

bH'

aH'

dH'

cH'

H'

a

b

aF'bF'

cF'dF'

d

c

F' 4.- Distancia Entre Dos Planos Paralelos La distancia entre dos planos paralelos viene dado por la porción de perpendicular a los planos y comprendido entre ellos. Por tales razones, para encontrar la verdadera magnitud de la distancia entre dos planos paralelos, basta con efectuar un cambio de planos para llevarlos a una posición de canto (vertical o normal) y en la proyección respectiva medir el valor representativo de la magnitud buscada.

Aplicación: Encontrar la verdadera magnitud de la distancia existente entre los planos paralelos abc y mns.

Procedimiento: •

Mediante un cambio de planos, transformo los planos dados en verticales.

•

En distancia existente entre las proyecciones de los planos ya transformado en verticales (proyecciones horizontales son rectas) nos



medirá el valor de la magnitud buscada.

n bH

mH sH

aH

cH

H F aF mF

F H'

cF sF

sH'

bF nF

mH'

cH'

aH'

nH'

bH'

En la siguiente Figura señalamos una visualización espacial del problema planteado. En dicho croquis se ha considerado como ya efectuado el cambio de planos para obtener el sistema final H-F y en el cual, los planos dados abc y mns son ya verticales y por tal razón sus proyecciones proyecciones horizontales horizontales son dos rectas rectas paralelas cuya distancia distancia mide la existente existente entre ellas.



sH'

nH'

cH'

bH'

mH' aH'

H'

nF

n bF

b m

sF

aF cF

s

a c

F

5.-Distancia Entre Dos Rectas Que Se Cruzan: Dos rectas, decimos que se cruzan cuando no siendo coplanares, tampoco son paralelas, o sea que permanecen en el espacio sin cortarse entre si en ningún comento. Para encontrar la mínima distancia entre dos rectas que se cruzan, pódenos emplear dos procedimientos: el Método de las rectas y el Método de los planos. Analicemos cada método en forma exhaustiva.

Mínima Distancia entre Dos rectas que se Cruzan:. Método de las Rectas: Para encontrar el segmento o representativo de la menor distancia distan cia existente entre dos rectas que se cruzan, bastará con que' una de las rectas sea perpendicular a uno de los planos de proyección, pues, en este caso la proyección de la recta en dicho plano es un Punto y la distancia a la



proyección de la otra recta .determinará el valor de

Aplicación: Determinar la mínima distancia existente entre las rectas del espacio ab y mn que se cruzan.

Procedimiento: •

Mediante un primer cambio de planos, transformamos la recta ab en frontal.

Se

determina

también

las

nuevas

proyecciones

correspondientes de la otra recta mn. En este primer cambio se pasa del sistema H-F al sistema H-F`. Ver Fig. 7 y 7-a •

Con un. segundo cambio de planos, se transforma la Frontal anterior en una recta recta de punta punta ver vertic tical. al. Tambié También n determ determina inamo mos s la nue nueva va proyección

correspo spondiente

la

recta

mn.

El

sistema

fina inal

de

proyección es H-F’. •

Tenemos ahora la recta ab transformada en vertical (aH.,,bH.., es un punto punto)) y la proyec proyecció ción n horizo horizonta ntall de la recta recta mn es mH, nH

(sin

ninguna característica espacial). •

De la proyección horizontal de la recta ab (que es un punto) trazamos una un a pe perp rpen endi dicu cula larr a la proy proyec ecci ción ón hori horizo zont ntal al de la rect recta a mn mn.. La long longit itud ud de esta esta pe perrpe pend ndic icul ular ar nos nos

dete de term rmin ina a

(en (en

verd ve rdad ader era a

magnitud) el valor de la menor distancia entre las rectas dadas. Ver Fig. 7 y 7-b.



aH nH

H

F'

mH nF'

bH

H F

aF' nF

bF'

bF mF

aH'

aF

mF'

aH'bH' H'

F'

mH'

Fig. 7

F'

H

aH

mH nH

H

bH mF'

m b

bF' bF'

a

aF' nF'

n

F'

Fig. 7-a



F'

H'

aH'bH' mH'

H'

nH' aF'

a

mF'

bF'

m

b nF'

n

F'

Fig. 7-b

Mínima Distancia entra dos rectas que se Cruzan: Método de los Planos: Para encontrar el valor da la mínima distancia entre las .rectas que se cruzan mediante este procedimiento, se hace pasar por una de las rectas, un plano paralelo a la otra recta. La distancia existente entre la recta y el piano paralelo trazado, es la minina distancia entre las dos rectas que se cruzan.

Aplicación: Encontrar la mínima distancia entre las rectas que se cruzan ab y cd mediante el método da los planos.

Procedimiento: •

Por la recta cd hacemos pasar un plano paralelo a la recta ab: (el plano es cde).

•

Mediante un cambio de plano frontal, transfórmanos el plano cde en



normal. Se halla la nueva proyección respectiva de la recta ab. •

En el nuevo sistema H-F’ la distancia existente entre las proyecciones frontales cF,dF,eF,

del plano y aF, bF, de la recta representa el

segmento de mínima distancia. Ver Fig. 8

bH dH

cH

eH

F'

aH

H H F eF

eF'

dF'

cF'

dF

aF cF

aF'

bF'

bF

Nota: También puede resolverse al problema transformando la recta en una posición de punta normal (primer método) o transformando el plano auxiliar a

uno

de

canto

vertical

(segundo

método).

En

ambos

casos

el

procedimiento seguido es análogo.



SEGMENTOS DE MÍNIMAS DISTANCIA Conceptos Generales Entre dos rectas, cualesquiera que se crucen, o entre rectas o planos, o entre planos y planos siempre existe la posibilidad de encontrar entre ellas ciertas distancias que cumplan con ciertas condiciones necesarias a nosotros para la resolución de problemas Pero hay veces en las que solo se necesitan el valor en si de dicha distancia, sino que no es exigible tener que determinar el segmento representativo de la distancia buscada. Así por ejemplo, para aclarar conceptos, supondremos que tenemos dos rectas ab y cd que se cruzan; cabe entonces plantear dos necesidades Determinar el valor de la mínima distancia entre dos dichas líneas o rectas Determinar el segmento que representa esa misma distancia En el primer caso, sencillamente nos limitamos encontrar mediante el ejemplo de vistas auxiliares cual es el valor de esas mínimas distancias entre dos rectas dadas En el segundo caso, que es casi completo, ya no solamente nos limitamos a determinar la mínima distancia, sino que tenemos que hallar un segmento de recta cuyos extremos se encuentren en las rectas dadas y cuyo valor viene a ser también el de mínima distancia.



Perpendicular Común Entre Dos Rectas Que Se Cruzan Concepto general Supongamos que tengamos dos rectas cualesquiera que se cruzan tal como ab y cd

b m3 d

m2

l3 l2

m1 a

n3

l1

n2 n1 c Tomemos en las rectas ab y cd respectivamente, los puntos m1 y n1 cuya longitud vienes a ser L1 En igual forma podemos tomar en el. Mismo orden de rectas: -los puntos m2 y n2 cuya longitud tiene el valor de L2 -los puntos m3 y n3 cuya longitud tiene el valor de L3

Así sucesivamente, podemos repetir esta operación todas las veces que deseemos, y en todas ellas evidentemente se va a tener: L1

≠

L2

≠

L3

≠

L4

≠

L5………………………….

≠

Ln

Esto nos hace pensar que de todas esas longitudes

Ln, forzosamente

existirá, una que sea la mayor de todas .a esa longitud es la que llamaremos perpendicular común o segmentos de mínima distancias entre



dos rectas que se cruzan Las características de

esta perpendicular común, es que ella es

perpendicular simultáneamente a las dos rectas que se cruzan ya demás se apoya en ellas. b m 90º d

Perpendicular común: gP 90º

a n

d

PRIMER CASO Determinar la perpendicular común entre las dos rectas ab y cd que se cruzan, siendo las dos rectas paralelas al plano frontal de proyección

mH

bH

aH

dH

cH nH

H F dF

aF mFnF

bF cF



Análisis: Como las dos rectas ab y cd son paralelas al plano frontal de proyección, o sea una recta de punta normal y entonces su proyección frontal es un punto. Conociendo ya su característica de la perpendicular común, podemos entonces encontrarla en el depurado

Procedimiento: •

Donde las proyecciones frontales aFbF y cFdF de las rectas se corten, se encontraran las proyecciones frontales de los puntos mF y nF que pertenecen ala perpendicular común. Consideremos que el punto m se encuentra en la recta ab y que el punto n en la recta cd

•

Llevando líneas de referencia hasta cortar a la proyecciones horizontales de las rectas, encontraremos mH y nH

•

La perpendicular común es el segmento mn que cumple con las condiciones necesarias



SEGUNDO CASO Encontrar la perpendicular común a las rectas ab y cd que se cruzan, siendo las dos rectas paralelas al plano horizontal de proyección cH bH sHtH dH

aH

H F sFtF

bF

aF

cF

dF

Análisis: Como las rectas dadas son perpendiculares al plano horizontal de proyección, significa esto que una recta perpendicular a dicho plano horizontal y por lo tanto será una recta de punta vertical’ y por ende , su proyección horizontal será un punto. Esta propiedad nos permite explicar el procedimiento seguido

Procedimiento: •

Donde las proyecciones horizontales aHbH y cHdH

de las retas se

corten, hallaremos las proyecciones horizontales de los puntos sH y tH de la perpendicular común



•

Consideremos que el punto s se encuentra en la recta ab y que el punto t esta en la recta cd

•

Trazamos una referencia hasta cortar a la proyecciones frontales de las rectas, se encontraran sF y tF

•

La perpendicular común hallada es el segmento st

TERCER CASO: Determinación de la perpendicular común a dos rectas ab y cd que se cruzan, cuando una de ellas es perpendicular al plano horizontal de proyección. En este caso supondremos la recta ab cualesquiera y la recta cd que es perpendicular al plano horizontal.

bH

nH

aH

mHcHdH

H F

aF

cF

nF

mF

bF dF



Análisis: •

Consideremos que la perpendicular común buscada es la recta mn: el punto m en la recta cd y el punto n en la recta ab

•

Como la recta mn es perpendicular a la recta cd y esta es una recta vertical, quiere decir que mn deberá ser paralela al plano horizontal de proyección. Esto esto quiere decir, que el segmento mn severa en verdadera magnitud. Habiendo comprendido perfectamente todas estas razones, podemos hacer reseña para ver como encontraremos las proyecciones de la perpendicular común

Procedimiento: •

Como el punto m pertenece la recta cd (que es vertical), entonces mH se encuentra confundido con la proyección cHdH.

•

Siendo mn perpendicular a la recta ab y paralela al plano horizontal de proyección, podemos trazar por mH una perpendicular a la proyección aHbH

y donde corte, quedara determinado nH

(puesto

que el punto n pertenece a la recta ab) •

Con una referencia trazada por nH hasta la proyección frontal aFbF quedara definido nF

•

Como hemos visto anteriormente que mn es una horizontal por nF trazaremos paralelas al eje H-F, donde corta a cFdF quedara ubicado mF

•

En

esta forma

quedara definida las

dos proyecciones de la

perpendicular común mn a las dos rectas dadas



CUARTO CASO Trazar la perpendicular comuna dos rectas que se cruzan mn y st, siendo una de ellas perpendicular al plano frontal de proyección. Consideremos que la recta mn es de posición cualquiera y que la recta st es perpendicular al plano frontal de proyección

tH nH

vH

zH

mH sH

H F

zFsFtF

mF vF

nF

Análisis: En forma análoga a cuando vimos el caso de que una de las rectas dadas sea perpendicular al plano horizontal de proyección, podemos resumir el problema a los siguientes pasos: •

La perpendicular común como es perpendicular a una recta de punta normal, deberá ser una recta paralela al plano frontal de proyección (una frontal)

•

Llamemos a la perpendicular común rectas vz: punto v en recta mn y el punto z en recta st



•

La perpendicular común se vera en verdadera magnitud en la proyección frontal

Procedimiento: •

Si z pertenece a la recta st (que es una normal) se tendrá que zF se confunde con sFtF

•

Como vz es perpendicular a la recta mn paralela al plano frontal de proyección, por zF trazamos una perpendicular a mFnF y donde la corte estará ubicado vF (sabemos que v pertenece a la recta mn)

•

Con una referencia hasta mHnH situados vH

•

Por vH trazamos una paralela al eje H-F y donde corte a la proyección sHtH se encantara zH

•

con esto queda completamente determinado las dos proyecciones de la perpendicular común vHzH y vFzF



QUINTO CASO: Método General De Las Rectas: Encontrar la perpendicular común a dos rectas cualesquiera ab y cd bH

nH

H F `

dH

aH mH

cH bF'

H F

nF'

bH''

nH''

cF aF' cF'

aF

aH'' mF'

dF'

mH'' dH'' cH''

nF mF

F' H'' dF

Procedimiento: •

Se transforma una de las rectas o perpendicular a uno de los planos de proyección (de punto vertical o normal). Y se encuentra las nuevas proyecciones de la otra recta.

•

En el nuevo sistema de planos de proyección, se determina la perpendicular común pedida (aplicando el tercer o cuarto caso).

•

Obteniendo así los puntos determinantes de la perpendicular común, los regresamos al sistema original de planos de proyección y queda solucionado el problema.



Depurado: •

Se ha transformado la recta cd a una de punta vertical obteniendo cH dH un punto y la nueva proyección de la otra recta ab

•

En este sistema F’H determinados las proyecciones horizontal y frontal de la perpendicular común mn (aplicar el procedimiento del tercer caso).

•

Trazando referencias perpendiculares al eje H-F por las proyecciones frontales nP y nF obtendremos mH y nH

•

Referencias finales perpendiculares al eje de H-F y tenemos nF y mF. En esta forma queda completamente determinado las proyecciones de la perpendicular común buscada.

SEXTO CASO: Método Del Plano: Determinaron de la perpendicular común a las rectas ab y cd

Procedimiento: •

Mediante dos cambio de planos, transformamos las rectas dadas en paralelas a uno de los planos de proyección (se pueden transformar a frontales u horizontales) en forma simultanea

•

En este nuevo sistema de planos de proyección, se determina directamente la perpendicular común (podemos aplicar los métodos del primer o segundo caso)

•

Al haber obtenido ya los puntos que determinan la perpendicular común, regresamos al sistema original de planos de proyección para dar por solucionado el problema



Depurado: •

Mediante cambio de planos frontal primero y cambio del plano horizontal después hemos transformad las rectas ab y cd en horizontales (paralelas al plano horizontal de proyección)

•

Como las dos rectas son paralelas al plano horizontal de proyección, determinamos en este caso nuevo sistema F’-H’’ las proyecciones de la perpendicular común: segmento st

•

En seguida, por la proyecciones tF’ y sF’ trazamos referencias perpendiculares al eje al eje H-F’ para obtener tH y sH

•

Finalmente trazamos líneas de referencias perpendiculares al eje H-F para determinar tF y sF

•

La perpendicular común a las rectas ab y cd es elñ segmento st

2-b: Segmento Mínimo Horizontal Entre Dos Rectas Que Se Cruzan: Generalidades: Consideremos dos rectas ab y cd que se cruzan y el plano H. existen infinidad de rectas que se apoyan en las rectas dadas y que sean paralelas al plano H. Todas ellas tendrán un cierto valor como longitud.

b

c n

m

n''

m''

n'''

m''' m'

bH mH

a

m''H m'''H m'H

H

aH


cH nH n''H

n' d n'''H n'H

dH


Dentro de todos estos segmentos horizontales que se pueden determinar dentro de las rectas dadas, lógicamente ha de existir uno, cuya longitud sea la menor de todas. Veamos entonces como podemos definirla.

Aplicación: Determina el segmento mínimo horizontal entre dos rectas ab y cd que se cruzan.

Procedimiento seguido: •

Primeramente mediante un cambio del plano frontal, se hace que las proyecciones frontales de las rectas ab y cd sean paralelas.

•

Consideremos que el segmento buscado sea el mn. Como mn debe ser horizontal, su proyección frontal debe ser paralela al eje H-F’ y entonces

mF’ nF’

debe estar comprendida entre las proyecciones

frontales de las dos rectas y su verdadera magnitud deberá verse en proyección horizontal. •

Según esto, quiere decir que debemos buscar una posición de

mF’ nF’

cuya longitud sea la más corta. Esta posición buscada nos dará evidentemente cuando

mHnH//H-F’;

o sea que los alejamientos de m

y n según el eje H-F’ deberán ser iguales. •

Por lo tanto, efectuaremos un nuevo Cambio de Planos, esta vez del plano horizontal de proyección, de modo que el nuevo eje H-F’ sea perpendicular al eje anterior H-F’.

•

Las proyecciones horizontales de los puntos m y n para que tengan igual alejamiento, se encontrarán en la intersección de bH’’ aH’’ y cH’’ dH’’ ; o sea que en esta forma encontramos las proyecciones m H’’ y nH’’ .

•

Con una referencia perpendicular al eje H’’-F’’ hasta cortar a las proyecciones frontales respectivas de las rectas se obtiene mF’ y nF’ .

•

Líneas de referencia perpendiculares al eje H-F’ para terminar m H y nH. A continuación aplicando el procedimiento general, debemos obtener mF y nF.

•

Es importante tener en cuenta que este trabajo debe hacerse con mucha precisión, para obtener las proyecciones de la perpendicular



común con sus proyecciones paralelas a sus respectivos ejes en cada cambio de planos efectuados.

2-c: Segmento Mínimo De Pendiente O Gradiente Dada Entre Dos Rectas Que Se Cruzan: Así como hemos vito que existe un segmento horizontal de longitud mínima entre dos rectas que se cruzan, también existe un Segmento Mínimo, pero con una inclinación dada, y esta inclinación puede ser dado en valores de ángulos o en porcentaje. Veamos entonces, como podemos resolver este tipo de problema.

2-d: Segmento mínimo de pendiente o gradiente dada entre un punto y un plano: Se da un plano abc y un punto cualquiera p exterior a él. Determinar el segmento más corto entre el punto y el plano y que tenga una pendiente o gradiente dada.

pF' F '

H

bF'

Auxiliar // H-F'

α

aF' sF'

pH

cF'

bH sH

cH

aH H F bF

aF

sF

pF


cF


Procedimiento: •

Mediante una vista auxiliar obtenida del cambio de plano frontal de proyección, transformamos el plano en uno de canto normal.

•

Se determina las nuevas proyecciones del punto dado.

•

En el nuevo sistema H-F’, por el punto dado, trazamos una recta frontal que haga con el plano horizontal, la pendiente o gradiente dad.

•

Se determina la intersección de la recta trazada y el plano; punto que le llamamos s.

•

El segmento pedido será ps.

•

Se encuentra las proyecciones del segmento hallado en el sistema HF.

2-e: Segmento Horizontal de longitud L dada, entre dos rectas que se cruzan: Encontrar las proyecciones de un segmento de longitud L determinada, entre las rectas ab y cd que se cruzan. El segmento pedido debe ser horizontal.

x

d

b m a

k

n L c

z

Circunferencia de radio L Plano Auxiliar



Procedimiento: •

Por el punto c hacemos pasar un plano auxiliar paralelo al plano horizontal de proyección: plano P

•

Por el punto b pasamos la recta bw paralela a la recta cd determinando el plano abw paralelo a la recta cd.

•

Hallamos la intersección del plano abw con el plano auxiliar P que viene a ser la recta horizontal vz.

•

Con centro en el punto c y en el plano P, trazamos una circunferencia cuyo radio será el valor dado L.

•

La circunferencia trazada cortará a la recta vz en el punto k. (si la circunferencia corta a la recta, habrá dos soluciones; si es tangente, una solución y si no la corta, no habrá ninguna solución.

•

Por el punto k trazamos la recta kx paralela a la recta cd, la que corta en el punto m a la recta ab.

•

Los puntos k y c determinan el radio de la circunferencia igual a L.

•

Por el punto m trazamos cd en un segundo punto n.

•

El segmento horizontal de longitud L pedido es mn.

Depurado: En el depurado, se ha seguido con la misma nomenclatura, el proceso explicado en el espacio. El alumno deberá ejecutarlo para comprobar su veracidad.



ESTUDIO DE ANGULOS EN GENERAL 1.- Angulo Formando Por Dos Líneas Que Se Cortan: Consideremos dos rectas ab y cs que se cortan en el punto m. Estas dos líneas formaran entre si, cuatro ángulos: dos ángulos iguales y opuestos por el vértice. Generalmente, para efectos prácticos, se acostumbra hallar uno de esos ángulos formados y que generalmente es el agudo.

a

d

c

b

Procedimiento general: Para determinar el ángulo que forman dos rectas que se cortan, basta con encontrar la verdadera magnitud del plano que las contiene y en ella (en la proyección correspondiente) se podrá leer el valor verdadero del ángulo buscado.

Aplicación: Determinar el valor del ángulo formado por las rectas ab y bc que se cortan en el punto b.

Procedimiento: •

Las rectas ab y bc forman un plano.



•

Determinamos la verdadera magnitud del plano que contiene a las rectas dadas: para eso lo transformamos en horizontal, aplicando procedimientos ya conocidos.

•

En el nuevo sistema de proyección, como el plano dado ya es paralelo al plano horizontal, en su proyección horizontal se vera en verdadera magnitud el ángulo buscado.

Por lo tanto tendremos que:

Angulo entre ab y bc : cH’’ bH’’ aH’’ = Angulo

2.- Angulo Entre Dos Rectas Que Se Cruzan: Para que dos rectas formen un determinado ángulo no necesariamente deben cortarse; también dos rectas que se cruzan pueden formar un ángulo.

Aplicación: Determinar el ángulo formado por las rectas mn y st que se cruzan en el espacio.

aH bH

F' H'' cH

H F

bH''

bF' aH''

bF aF'

H F '

aF

cH'' cF

cF'

Procedimiento General: a.- Se tienen las rectas mn y st que se cruzan en el espacio. b.- Por un punto cualquiera de una de las rectas, se traza una paralela a la otra recta (en nuestro caso, por el punto n hemos trazado la recta nw // st).



c.- Determinamos el ángulo formado por las rectas que se cortan mn y nw (aplicación método del caso 1).

tH

t

mH

nH w

s

H F

sH tF sF

nF n

m

mF

3.- Angulo Formado Entre Una Recta Y Un Plano: Una recta cualquiera mn y un plano también cualquiera P siempre formaran un ángulo, aun cuando estos dos elementos no tuviesen algún punto en común. En términos generales: el ángulo formado entre una recta y un plano cualquiera P, es el formado por la recta y su proyección sobre dicho plano.



m n Ø

Ø

nP ''

P mP ''

''

Para determinar el valor del ángulo formado entre una recta y un plano podemos emplear cualquiera de estos dos métodos:

Metodo1: El De Las Vistas Auxiliares: Cambio De Planos: Consideremos el plano P paralelo al plano horizontal de proyección y la recta ab paralela al plano frontal de proyección. En dicho conjunto nosotros podemos observar lo siguiente:



aH

H bH

b a

Ø

P w bF aF

ØF

wF

a.- La recta ab forma el ángulo Φ con el plano F. b.- El valor del ángulo que forma la recta ab con el plano P viene dado por el

ángulo que forman la recta ab con su proyección en el plano P que es

aw. c.- Como la recta ab es paralela al plano frontal de proyección, el valor del ángulo Φ, también se vera en verdadera magnitud en proyección frontal o sea: Φ = ΦF d.- Ahora bien, el valor del ángulo ΦF viene dado por el que forman las proyecciones aFbF y aFwF. e.- Pero aFwF no viene a ser otra cosa que la proyección frontal del plano P.

De todo lo expuesto anteriormente, podemos deducir el procedimiento general que debemos seguir para encontrar el ángulo que forma una recta y un plano, mediante este método de las Vistas auxiliares.

Problema: Encontrar el valor del ángulo que forman la recta ab con el plano mns.

Procedimiento General:



•

Mediante dos cambios de planos, se transforma el plano dado a uno que sea paralelo al plano frontal de proyección.

•

Con un tercer cambio de plano, se transforma la recta mn en una que sea paralela al plano frontal de proyección.

•

En este sistema final, el valor del ángulo buscado, viene dado por el que forman la proyección frontal del plano y la proyección frontal de la recta.

Explicación del depurado: a) Con un primer cambio de plano frontal de proyección, se transforma el plano mns a uno de canto normal; también se encuentra la nueva proyección frontal de la recta ab.

b) Mediante un segundo cambio de planos, esta vez del horizontal, transformamos el plano de canto normal a su verdadera magnitud; también se encuentra la nueva proyección horizontal de la recta ab.

c) Empleando un tercer cambio nuevamente del plano frontal de proyección, se transforma la recta ab a frontal, obteniendo su nueva proyección frontal del plano mns.

d) En este ultimo sistema, como la recta ab se encuentra en verdadera magnitud y el plano mns viene a tener una vista de canto horizontal, obtenemos la verdadera magnitud del ángulo Φ en la proyección frontal.

Método 2: El Del Angulo Complementario: Consideremos el plano P y la recta mn cuyo valor del angulo que forman entre si, debemos hallar empleando el procedimiento que a continuación se detalla.



m ß n

Ø

P

s

Procedimiento general: •

Por un punto cualquiera de la recta mn, se traza una recta tal como ms que sea perpendicular al plano P.

•

Las rectas mn y ms forman un ángulo β que es complementario del ángulo Φ buscado.

•

Se determina el valor del ángulo β mediante procedimiento conocido (ángulo entre dos rectas que se cortan).

•

Encontrado el valor del ángulo β, se determina el valor de su complemento, que será el ángulo Φ buscado.

Aplicación: Hallar el ángulo formado por la recta mn y el plano abc (Plano P) empleando el método del ángulo complementario.



bH

H F'

mH mF' F

' H

' '

nH sH

cH

nF' sF' nH''

Ø

Angulo Ø entre la recta y el plano

aH

ß

H F

sF nF bF

Angulo Complementario

mH''

sH''

mF

aF

cF

Procedimiento: •

Por el punto m trazamos la recta ms perpendicular al plano abc.

•

Se halla el valor del ángulo que forman las rectas mn y ms, y en el nuevo sistema de proyección, tenemos determinado el ángulo.

•

Gráficamente también, se halla el ángulo Φ buscado, que no es sino el complemento del ángulo.

4.- Angulo Entre Dos Planos: Ángulos Diedros Definición.- Cuando dos planos tales como P y Q se cortan, dividen al espacio en cuadri-espacios. Cada uno de estos es lo que se llama ángulo diedro. Los ángulos diedros son iguales dos a dos.



Ø1 Ø2

P Ø2

W Ø

Medida del Angulo Diedro.- La medida del ángulo diedro viene dado por la medida de su ángulo plano, y este se mide sobre un plano W que es perpendicular a la línea de intersección i de los dos planos forman que forman el ángulo.

Corolario: Cuando dos planos cualesquiera tienen una posición de canto la verdadera magnitud del ángulo que ellos forman, se ve en la proyección horizontal o en la proyección frontal. Siempre se considerara como valor del ángulo formado, el ángulo agudo.



QH

H

Ø

PH

Q i

P

F

H

R

S i

RF

Ø

SF

F

Determinación del valor del Angulo de dos planos: Para determinar el valor del ángulo formado entre dos planos cualesquiera, podemos emplear los siguientes métodos:

Método 4-a: De Las Vistas Auxiliares: PRIMER CASO: Conociendo la recta de intersección de los dos planos. Determinar el valor del ángulo que forman los planos abc y acm conociendo la recta de intersección ac de ambos



mF'

bF'

'

' F H '

aF'

cF'

bH

bH'' F ' H

Ø

aH

mH''

Verdadera Magnitud del a ngulo

cH

aH''cH''

mH

H F

cF

aF

mF

bF

Procedimiento: •

•

•

Mediante dos cambios de planos, transformamos la recta de intersección de los planos a uno que sea de punta vertical, de manera que en el nuevo sistema H’’-F’ la proyección a H’’ cH’ sea un punto. Se determinan las nuevas proyecciones horizontales de los planos, que como ya son de canto verticales, sus proyección a H’’ bH’’ cH’’ y aH’’ cH’’ mH’’ son rectas. En el sistema final de proyección H’’-F’, el ángulo que forman las proyecciones horizontales de los planos, definen la verdadera magnitud del ángulo θ buscado.

SEGUNDO CASO: Cuando no conocemos la recta de intersección de los planos.

Generalidades: Si nosotros tenemos dos plano P y Q, de modo que el plano P es paralelo al plano horizontal de proyección, observamos lo siguiente:



H

Q QF Ø

PF

P

Ø

F

a) Los dos planos son perpendiculares al plano frontal de proyección, por lo tanto, sus proyecciones frontales P F y QF son rectas que forman entre si el ángulo θ que es el buscado.

Aplicación: Encontrar el valor del ángulo diedro que forman los planos abc y mns.

Procedimiento: •

•

•

•

Mediante dos cambios de planos de proyección, transformamos el plano mns a su verdadera magnitud (o sea paralelo al plano horizontal de proyección). Completamos las proyección horizontal y frontal de los dos planos en el sistema H’’-F’. Empleando un tercer cambio de plano, transformamos el plano abc en uno de canto normal, de manera que en el nuevo sistema H’’-F’’’ las proyecciones frontales de los dos planos sean dos rectas El ángulo θ que forman las proyecciones frontales de los dos planos en este último sistema, es la verdadera magnitud del ángulo buscado. Se considera siempre como valor buscado, el ángulo agudo.



F' H

sF'

H'' F' sH''

bF' aF'

bH''

bH

sH aH

dF' aH''

mH''

dH''

cF'

nF'

mH wH

cH'' nH''

H'' F'''

cH

H F

nH nF wF

cF''

aF

mF

Ø

sF'' nF''

mF''

sF bF

aF''

Método 4-b: Del Angulo Suplementario: Sean los planos P y Q cualesquiera. Determinar el valor del angulo formado entre ellos.

Procedimiento: • •

•

•

Se toma un punto cualquiera tal como e. Por el punto e trazamos dos rectas perpendiculares a cada uno de los planos dados. Las dos rectas trazadas, forman entre si, un ángulo β que es suplementario del ángulo θ que forman los dos planos dados. Por lo tanto, conociendo la magnitud del ángulo β podemos conocer fácilmente el valor del ángulo θ buscado.

Aplicación: Determinar el ángulo que forman entre si, los planos mns y vzw. Empleando el método del ángulo suplementario.

Procedimiento: • •

•

•

Se toma un punto e cualquiera en el espacio. Por el punto e se traza la recta ew perpendicular al plano dado mns. Por el punto e trazamos la recta et perpendicular al plano dado vzw. Las dos perpendiculares et y ew determinan un plano etw cuyas rectas forman el ángulo suplementario del buscado.



•

•

•

Mediante cambio de planos, hallamos la verdadera magnitud de este plano o sea que lo transformamos a una vista auxiliar paralela al plano frontal de proyección. En el nuevo sistema de proyección H’-F’’, obtenemos el verdadero valor del ángulo β (formado por las proyecciones frontales t F’’ eF’’ y wF’’ eF’’ de las rectas te y we). Con una construcción geométrica simple, determinamos el valor real del ángulo θ (suplemento de β), que es el que realmente están formando los planos dados.

e

ß

H t Ø

Q w

NOTA COMPLEMENTARIA: Estudio del Plano Bisector de un Diedro. Definición: Plano bisector de un diedro, es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de las caras del Diedro.

Ø/2 Ø/2

BS

Plano Bisect.

w



Forma de determinarlo.- Para determinar el plano bisector del ángulo diedro de dos planos, basta con conocer la intersección i de los planos y luego tomar un punto cualquiera tal como w y que sea equidistante de las caras del diedro. Este punto deberá definirse por sus dos proyecciones en el momento que se encuentra la verdadera magnitud del ángulo θ. Hay que tener presente, que para poder hallar el plano bisector, se tendrá que encontrar el valor del ángulo θ empleando solo los métodos descritos. El método 4-b solo se emplea cuando se desea conocer el valor del ángulo formado por dos planos.



Ejercicios de Aplicación 1. Rs es la mínima distancia horizontal entre ab y cd . la perpendicular común a las rectas ab y cd tiene 200% de pendiente descendente de ab a cd . hallar las proyecciones que faltan.

CF`

AF`RF`

// SF`

//

DF` BF`

/ / /

RF`1

SF`1 // / / /

F` H

BH RH AH

VM

SH

DH

CH

H F

BF DF AF

RF

SF CF

Solución: •

La mínima distancia horizontal (rs) es la paralela a la proyección F´

•

La proyección F´se construye un triangulo Rf´1 Sf´1 Tf´1, teniendo en cuenta que TF´SF´tienen pendiente 200%.

•

Por AF´se traza paralela a RF´1TF´1 y sobre la linea de referencia de RH RF´1 se halla RF´.

•

RFSF // RF´1´SF´1 ; AFBF//CFDF.



2. Hallar en la recta CD un punto cuya mínima distancia a la recta AB sea de 1.5 cm



Solución: •

ab es el eje de un cilindro recto de radio 1.5 cm.

•

cd se intersecta con el cilindro en x (2 soluciones).

•

Solución xy

3. Hallar las vistas auxiliares fý h´ del tetraedro cuyas proyecciones se muestran en h y f.

H

F`

BH

AH

BF`

VH VF` CH AF`

H F VF

CF` F

AF


CF

H`

BF


Solución: •

Medimos los alejamientos de las proyecciones de las aristas a,b,c y v en H y las llevamos a través de las líneas de referencia al plano FH´.

•

Realizamos el mismo proceso con las cotas para ubicar las proyecciones de las aristas a,b,c y v en F.

4. Hallar la menor distancia del punto x a la recta ab.

BH

H

RH

F'

XH

XH''

BH''RH''AH''

AH XF'

BF'

F' H''

RF'

H F

AF' XF

AF

RF

BF

Solución: Se determina la vista donde la recta dada se proyecte en VM, en esta vista se observara la perpendicularidad del punto a la recta ; en la vista adyacente la recta se proyecta como punto y la distancia del punto a la recta en VM vendria a ser la menor distancia.



5. Determinar las vistas auxiliares Fý Del sólido cuyas proyecciones de muestran en H y F.

GF`

FF` DF`

HF`

F`

H`

CF`

EF` AF` HH GH

EH FH

FH`

GH`

BF' F` H

DH`

CH`

EH` HH`

H F

AH DH

BH CH

AF HF

BF EF

DF GF

CF FF

BH`

AH`

Solución: •

De la proyecciones en H y F , deducimos que se trata de un prisma de caras regulares.

•

En el plano F´la cara ABEH se proyecta paralela a H-F´, ubicando las aristas por sus cotas.

•

De igual modo para hallar la proyección en H´ tomamos los alejamientos del plano H-F´que trasferimos a este plano.



6. Encontrar en valor del angulo diedro que forman los planos ABC y BCD.

Solución: •

Como la recta BC es paralela al plano frontal de proyección, mediante una vistas auxiliar la transformamos a una posición de punta vertical (cambiamos el plano horizontal).

•

Se determina las nuevas proyecciones horizontales de las rectas que forman los planos.

•

Como los planos han sido convertidos a verticales, el ángulo buscado se vera en su verdadera magnitud en la proyección horizontal del nuevo sistema; y es 120° el ángulo hallado.



7. Hallar un plano jkl que pasando por la recta jl forme un ángulo de 60° con el triangulo frontal PQR.

LH

JH

H

YH

QH KH

PH

F

KH`

RH

QF YF

JF

KF`

PF LF

RF

KF Solución: Prolongamos LJ intersectando el plano PQR en Y; trazamos desde L el lugar geométrico de las rectas que hagan 60° con PQR (que viene a ser un cono cuyas generatrices tienen la inclinación de 60° con respecto a su base ) el que se proyecta en el plano F según una circunferencia . Como la recta buscada debe ser perpendicular a la línea de intersección entre el plano PQR y el plano buscado, a partir de Y trazamos rectas tangentes a la directriz en la base del cono, obteniéndose Ký K que son los puntos buscados. JLK es el plano contenido en LYK que pasando por JL forma un ángulo de 60° con el plano frontal PQR.



Bibliografía -

www.google.com

-

Héctor Chumbiray Calderón Geometría Descriptiva

-

Geometría Descriptiva Nakamura

-

Biblioteca de Consulta Microsoft ® Encarta ® 2005. © 1993-2004 Microsoft Corporation.



COMENTARIOS DEL TRABAJO 1. Alumno: Juan Ramón Campos Guerra Los planos auxiliares nos ayudan a hacer más fácil el desarrollo de la mayoría de los ejercicios dados en todo el curso. Solamente tenemos que tener presente las características sobre el cambio de planos y las diferentes formas como de canto o hacerlas paralelas a los ejes en el caso de rectas hará que en consecuencia nos salga la misma en verdadera magnitud. Sobre distancias tenemos que tener presente que entre recta y punto , entre rectas (que se cortan o sean paralelas) o entre planos tenemos que hallar una recta que una a estos con una línea perpendicular a ambas, con distintos métodos como llevarlos de punta o de canto .pero hay que tener presente que entre dos rectas cualquiera no e factible de encontrar esa perpendicular común, sino que también puede encontrase una mínima distancia para ciertos casos como en perpendicular común entre dos rectas que se cruzan , segmento mínimo horizontal entre rectas que se cruzan, etc y finalmente sobre ángulos tenemos que tener presente que para sacar los ángulos requeridos por el problema debemos tener sea las rectas o los plano en su verdadera magnitud para eso hacemos cambio de planos.

2. Alumna: Hitha Huamán Gonzáles Este trabajo está básicamente enfocado en un amplio tema de la geometría descriptiva “vistas auxiliares, distancias, ángulos”, exponiendo de forma teórico-practico, los conceptos del tema dado y teniendo en cuenta los conceptos básicos estudiados anteriormente y relacionados con: las longitudes o magnitudes verdaderas, las vistas de punta de las rectas, las vistas de canto de los planos, etc.

Estamos en condiciones de combinar estos conceptos y aplicarlos de manera que nos permitan resolver problemas espaciales relacionados con la medición real de distancias, incluyendo las mediciones en vistas auxiliares y los de ángulos.

3. Alumno: Juan Fernando Ascencio Ramos Geometría Descriptiva


Me parece que el presente trabajo aborda temas muy amplios, tanto en su parte teórica como en su parte aplicativa, uno de ellos es el de vistas auxiliares (cambio de planos), que es una gran herramienta para poder realizar diferentes ejercicios, que se podrían realizar de diversas maneras, pero que sin embargo con la ayuda del cambio de plano, nos hacen mas fácil el desarrollo del problema, ya que nos servirá para llevar a su verdadera magnitud diferentes elementos,

es decir que estarán en una

posición adecuada y correcta para hallar lo que se nos pida, sin que afecte el desarrollo del problema.

En cuanto al tema de distancias es valido rescatar que nos sirve de manera muy sencilla para medir la longitud, entre dos puntos, rectas, etc. Para lo cual es necesario utilizar el tema de cambio de planos, para así obtener también mínimas distancias y poder hacer una correcta medición.

En cuanto al tema de ángulos, es necesario tener en conocimiento las vistas auxiliares, ya que en algunos problemas se nos presentan ángulos que no están en sus verdaderas magnitudes, y para medirlos hay que usar diferentes procedimientos, y uno de los principales, es el de cambio de planos.

Para finalizar, en este trabajo destaco la suma importancia de las vistas auxiliares en la geometría descriptiva y en el desarrollo del curso.

4. Alumna: Stephanie Reyes Wong Geometría Descriptiva


Me parece que el desarrollo del

presente trabajo es amplio y completo

tratando de explicar de manera explicita, sencilla, resumida y clara los 3 temas de importancia vistas auxiliares, distancia y ángulos. Cada uno de estos temas tiene una gran importancia en el desarrollo y estudio de la geometría descriptiva.

Si hablamos de la importancia de vistas auxiliares debemos resaltar que es uno de los procedimientos para lograr que un objeto se halle en posición favorable al observar la figura, efectuando cambio de planos en forma sucesiva, según las necesidades del caso manteniendo fijo el objeto (punto, recta o plano) y así verlo en su verdadera magnitud.

Los cambios de planos prestan una gran utilidad en la solución de numerosos problemas de carácter general, ya que como dije anteriormente ayudan a determinar verdaderas magnitudes, posiciones que son favorables para la interpretación de figuras. Utilizando siempre como base en todos los casos los conocimientos recopilados y estudiados anteriormente

Cuando hablamos de distancias debemos tener presente que en todos los casos (entre dos puntos, un punto y una recta, entre dos rectas paralelas y entre dos rectas que se cruzan) lo destacable es que para poder medir una distancia

en

todos

los

casos

es

necesario

efectuar

lo

aprendido

anteriormente: la aplicación de cambio de planos hasta llegar a determinar la

verdadera

magnitud

y

en

algunos

casos

es

necesario

trazar

perpendicularidades para poder obtener la distancia buscada

Si hablamos de ángulos debemos destacar la importancia que tienen los temas anteriores para el desarrollo de este tema, ya que insistimos en aplicar cambio de planos para encontrar una posición favorable y lograr verlo en su verdadera magnitud y así poder determinar el ángulo buscado

Como vamos viendo cada tema de la geometría descriptiva va en cadena cada una va abriendo paso para el estudio de otros temas y métodos mas



VISTAS AUXILIARES, DISTANCIAS Y ANGULOS1.doc

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