VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

RESISTENCIA DE MATERIALES II

VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA

ESCU ESCUEL ELA A DE GEOL GEOLOG OGIA IA,, MINA MINAS, S, METALURGIA, GEOGRAGICA Y CIVIL Fa!l"ad#

Ingeniería Civil

C!rs$#

Resistencia de Materiales II

Pr$%es$r#

Ing. José Luis Chuquillanqui Chuquillanqui Suarez

Te&a#

Vigas Estáticaente Indeterinadas

In"e'ran"es# !onzales "livares #iego Martin Luna Lo$ez Marco %ntonio FACULTAD ACULTAD DE INGENIERÍA CIVI CIVIL L - UNIVERSIDAD NACIONAL NACION AL MAYOR MAYOR DE SAN MARCOS

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A(O# &'()

*+#ICE VIGAS EST)TICAMENTE INDETERMINADAS O *IPEREST)TICAS

*+#ICE..............................................................................................................& I+,R"#-CCI+............................................................................................./ "0JE,IV"S......................................................................................................) M%RC" ,ERIC"...........................................................................................1 EJEM2L"S......................................................................................................(( C"+CL-SI"+ES...........................................................................................&' 0I0LI"!R%3*%.............................................................................................&(

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

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I+,R"#-CCI+ %l estudiar el es4uerzo si$le se o5serv6 que en los $ro5leas estáticaente indeterinados7 en los que las ecuaciones de equili5rio estático son insu4icientes7 es $reciso a8adir otras ecuaciones de relaci6n entre las de4oraciones elásticas. #e la isa anera en el estudio de las vigas estáticaente indeterinadas o hi$erestáticas ha9 que a8adir a las ecuaciones de la estática otras relaciones adicionales 5asadas en la de4oraci6n de las vigas. El análisis de las vigas estáticaente indeterinadas es u9 di4erente al de las vigas estáticaente deterinadas. Cuando una viga es estáticaente deterinada7 $odeos o5tener todas las reacciones7 4uerzas cortantes 9 oentos 4le:ionantes a $artir de diagraas de cuer$o li5re 9 ecuaciones de equili5rio. Sin e5argo7 cuando una viga es estáticaente indeterinada7 las ecuaciones de equili5rio no son su4icientes 9 se requieren ecuaciones adicionales. El étodo 4undaental $ara analizar una viga estáticaente indeterinada es resolver las ecuaciones di4erenciales de la curva de de4le:i6n. Si 5ien este étodo sirve coo un 5uen $unto de inicio en nuestro análisis7 es $ráctico solo $ara los ti$os ás si$les de vigas estáticaente indeterinadas. Las vigas estáticaente indeterinadas noralente se identi4ican $or la 4ora en que están dis$uestos los a$o9os; $or e

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"0JE,IV"S (. Sa5er identi4icar $ro5leas estáticaente indeterinados 9 a$render a a8adir otras ecuaciones de relaci6n entre las de4oraciones elásticas7 identi4icando los diversos casos de a$o9os 9 coo tratar cada uno. &. %$render a resolver sisteas estáticaente indeterinados a$licando el étodo de do5le integraci6n teniendo en cuenta la teoría estudiada7 los a$o9os redundantes 9 las 46rulas que de5eos a$licar. /. #e la isa 4ora a$render a solucionar sisteas indeterinados a$licando el étodo de oentos de áreas7 $ara cada di4erente ti$o de viga hi$erestática. ). 2oder discernir de anera e4iciente que étodo es ás a$ro$iado $ara cada ti$o de $ro5lea >si se usa el étodo de do5le integraci6n o el étodo de oentos de áreas?7 a 4in de resolver el $ro5lea e4icazente de anera rá$ida 9 sencilla.


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M%RC" ,ERIC" +- VIGAS EST)TICAMENTE INDETERMINADAS En la 3ig. ( se re$resentan varios ti$os de vigas estáticaente indeterinadas En la 3ig. ( se re$resentan varios ti$os de vigas estáticaente indeterinadas. La viga de la $arte >a? de la 4igura esta 4io e$otra? en el so$orte % 9 esta si$leente a$o9ada en 0; tal viga se denoina viga en voladizo a$untalada o viga si$le e$otrada. Las reacciones de la viga consisten en una 4uerza horizontal 9 otra vertical en %7 un oento en % 9 una 4uerza vertical en 0. Coo solo si e:isten tres ecuaciones inde$endientes 5asadas en el equili5rio estático $ara la viga7 no es $osi5le calcular cuatro reacciones ediante la estática. El n=ero de reacciones e:cedentes res$ecto al de ecuaciones de equili5rio es llaado grado de indeterinaci6n estática >ta5ién se conoce coo grado de hi$erestaticidad?. Luego7 la viga re$resentada en la 3ig. (a se dice que es estáticaente indeterinada en $rier grado.


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Cualquier reacci6n e:cedente res$ecto al n=ero necesario $ara so$ortar la estructura en 4ora estáticaente deterinada se denoina red!ndan"e es"."ia 9 el n=ero de tales redundantes necesariaente es el iso que el 'rad$ de inde"er&inai/n estática. 2or e3ig. (5?7 9a que entonces desa$arece la reacci6n horizontal. Sin e5argo7 la viga aun es estáticaente indeterinada en $rier grado dado que e:iste ahora dos ecuaciones de equili5rio estático inde$endientes 9 tres reacciones. -na viga de e:treos 4i3ig. (d?7 se encuentra que solo de5en deterinarse cuatro reacciones. El n=ero de ecuaciones de equili5rio estático es dos; $or lo tanto7 la viga es estáticaente indeterinada en segundo grado. Las dos vigas restantes ostradas en la 3ig. ( son e

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++ A0$1$s Red!ndan"es Las reacciones adicionales en los a$o9os o so$ortes de la viga o e4igura (a.? a continuaci6n con sus res$ectivas reacciones en a$o9os >viga en voladizo a$untalada?@

3igura (a. Se o5serva que ha9 cuatro reacciones desconocidas $ara tres ecuaciones de equili5rio estático7 $or esta raz6n este ti$o de viga es indeterinada de $rier grado. % la vez se o5serva que la reacci6n R 0 de la viga en voladizo a$untalada se $uede seleccionar coo una reacci6n redundante7 $uesto que esta reacci6n e:cede las necesarias $ara antener el equili5rio7 se $uede li5erar la estructura reoviendo el a$o9o en 0. quedando la viga de la siguiente anera >4igura (5.?@

3igura (5. Coo se o5serva la estructura que queda cuando se li5eran las redundancias denoina estructura li5erada o estructura $riaria. La estructura li5erada de5e ser esta5le >de5e ser ca$az de so$ortar cargas? 9 de5e ser estáticaente deterinada. "tra $osi5ilidad $ara el análisis de la viga en voladizo a$untalada de la 4igura '(. Es seleccionar el oento reactivo M% coo el redundante. Entonces cuando se eliinara la FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

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restricci6n de oento en el e$otraiento %7 la estructura li5erada es una viga si$le con un a$o9o de $asador en un e:treo 9 un a$o9o de rodillo en el otro >4igura (c?.

3igura (c. #e la isa anera se $rocederá a analizar cada ti$o de viga hi$erestática a resolver7 otro e
3igura &a. Esta viga tiene so$ortes 4idos 4uerzas 9 un oento en casa so$orte?. #e5ido a que solo ha9 tres ecuaciones de equili5rio la viga es estáticaente indeterinada de tercer grado. Si seleccionaos las tres reacciones en el e:treo 0 de la viga coo redundantes 9 eliinaos las restricciones corres$ondientes7 quedaos con una viga en voladizo coo estructura li5erada >4igura (5? si li5eraos los dos oentos en los e$otraientos 9 una reacci6n horizontal7 la estructura li5erada es una viga si$le >4igura (c?.


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+2 METODO DE DO3LE INTEGRACION Este étodo se a$lica igual que en las vigas estáticaente deterinadas7 solo que allí todas las 4uerzas eran conocidas 9 aquí intervendrán adeás unas desconocidas7 las reacciones redundantes. %l a$licarlo considereos el origen de e
Integrando una segunda vez se o5tiene la ecuaci6n de la de4oraci6n en cualquier $unto de la viga7 donde las inc6gnitas serán las reacciones so5rantes 9 las constantes de integraci6n C( 9 C&.

% $artir de las condiciones de los a$o9os en la viga se $odrán o5tener estas inc6gnitas. 2riero se generan las ecuaciones de de4oraciones co$ati5les7 tantas coo grado de indeterinaci6n tenga la estructura7 ediante un $rocediiento siilar al descrito $ara calcular las de4oraciones en vigas isostáticas. En este caso las condiciones de 5orde o de 4rontera cineática encontradas7 tendrá que ser igual al grado de indeterinaci6n >!.I.? ás dos7 $ara $oder encontrar los valores de las dos constantes de integraci6n C( 9 C&.@ +o Condiciones de 5orde A !.I B & Con estas ecuaciones generadas $or de4oraciones7 ás las ecuaciones de equili5ro res$ectivas7 se tendrá el n=ero su4iciente $ara calcular todas las reacciones e:ternas de la viga. Esto se deostrara 9 entenderá ucho e

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+4 METODO DEL AREA DE MOMENTOS Si se usa el étodo del oento de área $ara deterinar las redundantes desconocidas de una viga o ereacciones redundantes?. Esto se deostrara 9 entenderá ucho e

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EJEM2L"S EJEMPLO 01 – DOBLE INTEGRACIÓN

C%LC-L" #E RE%CCI"+ES 2"R EL MD,"#" #E #"0LE I+,E!R%CI+. Calcular las Reacciones E:ternas en % 9 0 de la Viga ostrada7 $or el étodo de do5le integraci6n.

% continuaci6n se $resenta el diagraa de cuer$o li5re 9 la curva elástica de la viga@ ca5e destacar que se incor$or6 el valor de la carga 4icticia q/7 $ara contrarrestar el e4ecto de q(.

La $arte $unteada de la carga q(7 resulta de la a$licaci6n de la Le9 de oentos de esta carga7 la cual se interru$e antes del 4inal de la viga. La colocaci6n de la carga 4icticia q/7 se hace coo arti4icio ateático $ara contrarrestar la $rolongaci6n ta5ién 4icticia que la 46rula hace de la carga q(. La Ecuaci6n di4erencial de la elástica será@


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Ecuaci6n de la 4lecha@

Las condiciones de 5orde se esta5lecen o5servando la curva elástica@

#ado que la viga tiene ) reacciones e:ternas7 9 solo dis$oneos de / ecuaciones de equili5rio7 el eleento es hi$erestático de grado (. Es decir7 tiene una reacci6n so5rante o redundante. 2or lo tanto son necesarias las / condiciones de 5orde encontradas7 dos de las cuales se usarán $ara encontrar C( 9 C&7 ientras que la tercera generará la ecuaci6n adicional que necesitaos $ara encontrar las ) reacciones e:ternas

#e esta anera tendreos las cuatro ecuaciones necesarias@

Resolviendo el sistea@


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Ca5e destacar que las ecuaciones de equili5rio 07 C 9 # se realizan con las cargas reales7 no con las 4icticias7 aunque si se toaran en cuenta7 el resultado sería el iso EJEMPLO 02 – DOBLE INTEGRACIÓN

2ara la viga do5leente e$otrada ostrada en la 4igura &.( deterinar@ a? Las ecuaciones de@ la elástica7 la $endiente 9 la de4oraci6n 5? Las constantes de integraci6n c? Reacciones inc6gnitas

RESOLUCI5N# A) CALCULO DE LAS ECUACIONES DE LA ELÁSTICA, PENDIENTE Y DEFORMACIÓN.

(?. "5tenci6n de la ecuaci6n de la curva elástica. &? Integrando dos veces la ecuaci6n ( se o5tiene la ecuaci6n de la $endiente 9 de la de4oraci6n FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

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B) CALCULO DE LAS CONSTANTES DE INTEGRACIÓN C 1 Y C 2 Con las condiciones de a$o9o en %. En %@ 9 A ' $ara : A '  dy dx

A ' $ara : A ' 





C& A ' C( A'

C) CALCULO DE LAS REACCIONES SOBRANTES Con las condiciones del a$o9o en C@ 9 A ' d9d:A' $ara : A )  se o5tienen las ecuaciones de; $endiente 9 de de4oraci6n en 4unci6n de las reacciones inc6gnitas so5rantes M% 9 R%@ Sustitu9endo las condiciones del a$o9o C

Calculando las reacciones con las ecuaciones I7 II siultáneaente 9 ree$lazando se o5tiene@ R % A 1 F+ M% A 1F+ G  Las reacciones R C 9 MC se calculan con las ecuaciones de equili5rio


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EJEMPLO 03 – DOBLE INTEGRACIÓN

Hallar las reacciones 9 oentos en el sistea estáticaente indeterinado $or el étodo de do5le integraci6n.

3igura /.( Coo o5servaos en la 4igura /.(7 en el e:treo 4i
d y EI = M C + V C x −400 ⟨ x − 2 ⟩ 2 dx V C x dy EI = M C x + dx 2

EIy =

M C x 2

2

+

V C x 6

2 2

− 200 ⟨ x −2 ⟩ + C

1

3

−

200

3

⟨ x −2 ⟩ +C x +C 1

3

2

Haceos que el oento sea cero >ecuaci6n de la estática? en % 9 que la de4oraci6n ta5ién sea nula en %7 es decir cuando : A/ M C + 3 V C −400 ( 1 )=0 2

M C ∗3 2

+

V C ¿ 3 6

3

−

200 3

3

(1 ) =0

#e este sistea se o5tiene@ FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

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VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS V C =193 N

2or equili5rio en e
M C =−179 N . m



R A = 207 N


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VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS EJEMPLO 04 – MÉTODO DE MOMENTO DE ÁREAS

Considerar la viga a$o9ada en su e:treo izquierdo7 e$otrada en el derecho 9 soetida a la carga aislada re$resentada en la 4igura. #eterinar las reacciones.

S$l!i/n# 2or estática teneos@

∑ M = R L + M − Pb =0 … … … …(1 ) ∑ F = R + R − P =0 … … … … ( 2) B

1

1

v

1

2

Es un sistea de 4uerzas $aralelas7 $or lo que solo dis$oneos de dos ecuaciones de equili5rio. 2or tanto7 cualquier ecuaci6n de equili5rio distinta de las anteriores no será inde$endiente. 2ero esas dos ecuaciones contienen las tres resultantes que deseaos hallar $or lo que es indeterinado 9 necesitaos a8adir una ecuaci6n que $rovenga de las de4le:iones de la viga. 2ara o5tenerla re$resentaos la viga de4orada.

Si se traza una tangente en 0 a esta curva7 coincidirá con la $osici6n original de la viga sin 4le:ar. El des$lazaiento del e:treo % con res$ecto a esta tangente es cero7 $or lo que $odeos a$licar el segundo teorea de oentos. 2ara eso gra4icaos el diagraa de oentos 4lectores >se o5serva que no es necesaria la divisi6n de los oentos $or la rigidez de la viga?.


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Entonces7 $or el segundo teorea7 esta5leciendo que el des$lazaiento de % desde la tangente en 0 es nulo 9 que el des$lazaiento está dado $or el oento de área del diagraa de oentos entre % 9 0 res$ecto a la vertical %7 teneos@

t A = B

1

( R L ) ( L ) 2 1

( ) 2 3

L

(

)

1 2 + (− Pb ) ( b ) a + b = 0 2

3

#es$e
( + )

3 P b 2 L

3

2

a

2

3

b

2

R1=

P b 2 L

3

( 2 L + a )

Ree$lazando las R ( en las ecuaciones >(? 9 >&?7 se o5tienen las reacciones 4altantes@ R2=

Pa 3

2 L

( 2 L − a ) 2

2

M 1=

Pa

( L − a ) 2

2

2

2 L


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VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS EJEMPLO 05  MÉTODO DE MOMENTO DE ÁREAS

La viga se soete a la 4uerza concentrada que se uestra en la 4igura7 deterinar las reacciones en los so$ortes. EI es constante.

S$l!i/n# ,eniendo el diagraa de cuer$o li5re 9 la curva elástica@

2or estática teneos@

∑ M =B L− M − P (2 L)=0 … … … …(1 ) ∑ F =− A + B − P =0 … … … … (2 ) A

y

A

v

y

y

Se $rocede a gra4icar el diagraa MEI $or $artes $ara la reacci6n redundante 09 9 $ara la carga 2@

#e la curva elástica se deduce@ FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

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t B = A

( )[ ( ) ]+( )[− 2 L

1

B y L

3

2

EI

L

L 2

PL ( L ) EI

]+( ) [ ( − )( )]= 2 L

1

3

2

PL L EI

0

B y =2.5 P

Ree$lazando en las ecuaciones >(? 9 >&?7 se o5tienen las reacciones 4altantes@ A y =1.5 P

M 1=0.5 PL


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C"+CL-SI"+ES (. Las vigas estáticaente indeterinadas se resuelven usando los étodos 9a estudiados coo lo son el étodo de do5le integraci6n7 étodo de oento de áreas7 teniendo ás inc6gnitas que el n=ero de ecuaciones de equili5rio7 es $or eso que se recurre a las ecuaciones de la elástica. &. Se $ueden deterinar las reacciones inc6gnitas de una viga estáticaente indeterinada con el étodo de la do5le integraci6n ree$lazando la inc6gnita elegida en el a$o9o redundante 9 sustitu9éndola en la ecuaci6n de la elástica con
/. %nalizando el $ro5lea de anera correcta se $uede elegir el étodo a$ro$iado $ara su soluci6n.

). Si es $osi5le cada $ro5lea de5e ser resuelto $or a5os étodos estudiados7 $ara $oder veri4icar una correcta res$uesta.


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0I0LI"!R%3*% (. R.C. Hi55eler. Mecánica de Materiales G Editorial 2rentice Hall7 2earson Educaci6n7 Mé:ico &''7 Se:ta Edici6n. Vigas 9 e2ág. )(?7 Método de integraci6n >2ág. )&?7 Método del oento de área >2ág. )? &. 29tel G Singer. Resistencia de Materiales  Editorial ":4ord7 Cuarta Edici6n. Vigas estáticaente indeterinadas >2ág. &&?7 %$o9os redundantes >2ág. &&?7 Método de la do5le integraci6n >2ág. &/'?. /. Killia %. +ash. Resistencia de ateriales G editorial Mc!ra G HILL7 Mé:ico

('7 $riera edici6n. Vigas estáticaente indeterinadas >2ág. (NN?. 4

Jaes M. !ere 9 0arr9 J. !oodno7 Mecánica de ateriales G Editorial Cengage Learning7 Sé$tia Edici6n. Vigas 9 e2ág. /?.


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VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

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