Estructuras Estaticamente Indeterminadas Unidad i

ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

2013

ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS Estructuras Estáticamente Indeterminadas. Definición Estructuras Estáticamente indeterminadas, Equilibrio, Compatibilidad, Relación Fuerza-Desplazamiento, Condiciones a Satisfacer en la resolución de estructuras estáticamente indeterminadas, Métodos de generales de análisis de estructuras estáticamente indeterminadas.

SECCION: “V” VIRTUAL ESTRUCTURA II

FACILITADOR: ING. LORENZO MANTILLA

Página 1


INDICE.

INTRODUCCION -------------------------------------------------------------------- 2 ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS ------------------------- 3 EQUILIBRIO ------------------------------------------------------------------------- 7 COMPATIBILIDAD ------------------------------------------------------------------ 11 RELACION FUERZA – DESPLAZAMIENTO --------------------------------------- 15 CONDICIONES A SATISFACER ---------------------------------------------------- 16 METODOS GENERALES ------------------------------------------------------------- 19 CONCLUSION ------------------------------------------------------------------------- 31

ESTRUCTURA II

Página 1


INTRODUCCIÓN. Las estructuras estáticamente indeterminadas pueden estudiarse, utilizando distintas teorías de deformaciones elásticas. Cualquier estructura estáticamente indeterminada puede convertirse en una estáticamente determinada y estable, al suprimir las ligaduras adicionales llamadas acciones sobrantes o hiperestáticas, o simplemente hiperestáticas, esto es, aquellas fuerzas que exceden del mínimo necesario para que la estructura este en equilibrio estático. Las estructuras indeterminadas tienen más reacciones en los apoyos o miembros, o ambas cosas, que los requeridos por la estabilidad estática, las ecuaciones de equilibrio por si solas no son suficientes para la determinación de las reacciones y las fuerzas internas de esas estructuras y deben complementarse por medio de relaciones basadas en la configuración geométrica de la deformación de las estructuras. Cuando una estructura tiene más reacciones externa o fuerzas internas que las que pueden determinarse con las ecuaciones de la estática, la estructura es estáticamente indeterminada o hiperestática o continúa producirá fuerzas cortantes, momentos flexionantes y deflexiones en las otras partes de la estructura. En otras palabras, cargas aplicadas a una columna afectan

a las

vigas, a las

losas,

a otras

columnas

y

viceversa.

Casi todas las estructuras de concreto reforzado son hiperestáticas.

ESTRUCTURA II

Página 2


Estructuras Estáticamente indeterminadas. En

estática,

una

estructura

es

hiperestática

o

estáticamente

indeterminada cuando está en equilibrio, pero las ecuaciones de la estática resultan insuficientes para determinar todas las fuerzas internas o las reacciones. [Una estructura en equilibrio estable que no es hiperestática es isostática]. Existen diversas formas de hiperestaticidad: 

Una estructura es internamente hiperestática si las ecuaciones de la estática no son suficientes para determinar los esfuerzos internos de la misma.



Una estructura es externamente hiperestática si las ecuaciones de la estática no son suficientes para determinar fuerzas de reacción de la estructura al suelo o a otra estructura.

Una estructura es completamente hiperestática si es internamente y externamente hiperestática. Este tipo de estructura también llamada hiperestática, se conoce como aquella que se encuentra en equilibrio, destacando que las ecuaciones que expone la estática no son suficientes para saber las fuerzas externas y reacciones que posee, pero que necesita más elementos de los necesarios para mantenerse estable; la supresión de uno de ellos no conduce al colapso, pero modifica sus condiciones de funcionamiento estático; El grado de indeterminaciones es el número de reacciones redundantes de la viga. Se determina restando el número de componentes reactivas que puede colocarse por medio de la estática, del número total de componentes reactivas de la viga. Casi todas las estructuras de concreto reforzado son hiperestáticas. Las losas de concreto, las vigas de apoyo, así como parte de las columnas

ESTRUCTURA II

Página 3


pueden colarse al mismo tiempo. Las barras de refuerzo se extienden de elemento a elemento estructural así como de claro a claro. Cuando se tienen juntas de construcción, las barras de refuerzo se dejan sobresalir del concreto para poder ser empalmadas a las barras del concreto para colarse posteriormente. Además, el concreto viejo se limpia de manera que el nuevo se adhiera a él tanto como sea posible. El resultado de todo esto es que las estructuras de concreto reforzado son generalmente monolíticas o continuas y por ello estáticamente indeterminadas. Una estructura es hiperestática cuando su Grado de Indeterminación es > 0. En ese caso el número de ecuaciones de equilibrio es menor que el número de incógnitas estáticas. Una

estructura

hiperestática

tiene

infinitas

configuraciones

estáticamente admisibles. Será, por lo tanto, estáticamente indeterminada (para obtener la configuración estática real tendríamos que consideras las condiciones de compatibilidad y las leyes de comportamiento).

ESTRUCTURA II

Página 4


Veremos

que,

en

general,

las

estructuras

de

barras

están

estáticamente indeterminadas. Se llaman entonces hiperestáticas y para resolverlas

es

necesario,

imponer

adicionalmente,

condiciones

de

compatibilidad sobre sus movimientos. Si la estructura es articulada, sus barras trabajan a esfuerzo axial y resolver la estructura consiste en hallar los valores de los axiales que actúan sobre las distintas barras. Si la estructura es hiperestática, será necesario considerar explícitamente los movimientos de estos que, a su vez, deberán ser compatibles con los alargamientos o acortamientos que sufran las diferentes barras concurrentes, por efecto del esfuerzo axial. Si la estructura es reticulada, sus barras trabajan, en general, a flexión compuesta y torsión, y resolver la estructura consiste en determinar las leyes de momentos flectores, esfuerzos cortantes y axiales y, en su caso, momentos torsores que actúan sobre las distintas barras. Si la estructura es hiperestática, será necesario considerar en a resolución los movimientos (desplazamiento y giros) de los nudos que, a su vez, deberán ser compatibles con las deformaciones que sufran las diferentes barras concurrentes en ellos. La multiplicidad de esfuerzos que actúan, en este tipo de estructura, hace que este tipo de estructura, hace que este tipo de proceso sea mas complejo que en las estructuras articuladas.

ESTRUCTURA II

Página 5


En la figura se muestran dos ejemplos de estructuras hiperestáticas. En ambos casos, las incógnitas que implican las reacciones exteriores no pueden determinarse utilizando solo las ecuaciones, ya que su número es superior al de las ecuaciones. Para el método de análisis de las estructuras hiperestáticas es necesario

considerar

conjuntamente

las

condiciones

de

equilibrio

y

compatibilidad, dado el grado de indeterminación estática y cinemática que tienen estas estructuras, en el esquema de la figura se muestra como la imposibilidad de resolver a priori la indeterminación estática, o bien la cinemática, produce un “bucle” cerrado en el cual es imposible proceder de forma secuencial. Esta dificultad se resuelve de dos maneras alternativas, dando lugar al método de compatibilidad y al método de equilibrio, que se describen a continuación.

ESTRUCTURA II

Página 6


Equilibrio Se refiere a la suma de fuerzas y la suma de momentos iguales a cero. Se dice que un sistema material está en equilibrio cuando todas sus partículas se encuentran en reposo, y permanecen en el mismo estado de reposo. Para que se verifique el equilibrio y éste sea estable han de darse una serie de condiciones, cuyo análisis constituye el objeto de la estática. Ésta permitirá analizar diversos tipos de problemas: 1. Para un sistema sometido a un conjunto de fuerzas dadas, establecer la existencia de una o más posibles configuraciones de equilibrio y determinar éstas. 2. Analizar la estabilidad de las posiciones de equilibrio. El concepto de estabilidad consiste en garantizar si ante pequeñas perturbaciones respecto de la posición de equilibrio se mantiene el movimiento próximo a dicha configuración, o si por el contrario se aleja indefinidamente de la misma. 3. Para un sistema en una configuración geométrica determinada, determinar las acciones necesarias (tanto en lo que respecta a fuerzas activas como a reacciones) para el equilibrio y su estabilidad. Las aplicaciones prácticas de la estática en la ingeniería son muy numerosas, siendo quizá la parte de la mecánica más empleada. Esto es así especialmente en la ingeniería civil y en el análisis estructural: por lo general las estructuras se diseñan para estar y permanecer en reposo bajo las cargas de servicio estáticas, o para que su movimiento bajo cargas dinámicas sea pequeño y estable (vibraciones).

ESTRUCTURA II

Página 7


Método de Equilibrio El método de equilibrio es un método general de análisis de estructuras, ya que puede aplicarse también para resolver estructuras isostáticas, básicamente, el método consiste en identificar el número de movimientos incógnita que determinan la deformación de la estructura, satisfaciendo a priori las condiciones de compatibilidad de movimientos en los nudos de la estructura. El número de incógnitas del problema es, pues, igual al grado de indeterminación cinemática del problema. De forma general, estas son los giros y desplazamientos de los nudos, aunque consideraciones adicionales de compatibilidad pueden reducir el número de incógnitas.

Es obvio que el hecho de elegir estas incógnitas implica liberar, en principio, ciertas condiciones de equilibrio que deben satisfacerse en los nudos de la estructura original. Imponiendo ahora las condiciones de compatibilidad en las piezas individuales, estas están cinematicamente determinadas; por tanto, se pueden calcular, en función de las incógnitas cinemáticas, los esfuerzos que actúan sobre las barras y, en particular, los valores de estos en los extremos de las piezas. Entonces, se pueden imponer ESTRUCTURA II

Página 8


a posteriori las condiciones de equilibrio de fuerzas y momentos en los nudos en que concurren diferentes barras y en los apoyos. Esto proporciona el número de ecuaciones necesarias para resolver las incógnitas cinemáticas. Una vez obtenidas estas, se tiene resuelta la estructura. Este procedimiento de resolución se muestra en el esquema de la figura. Como se observa, el proceso secuencial consiste en, a partir de la geometría de la estructura y de la definición de las acciones:

1. Identificar

el

número

mínimo

de

movimientos

incógnita

que

determinan la deformación de la estructura, a base de considerar las correspondientes condiciones de compatibilidad en los nudos. 2. Resolver las piezas individuales, en función de las incógnitas cinemáticas, a base de satisfacer las condiciones de compatibilidad en las piezas.

ESTRUCTURA II

Página 9


3. Determinar las incógnitas cinemáticas, a base de imponer las necesarias condiciones de equilibrio en los nudos. 4. Determinar los movimientos, esfuerzos y reacciones en la estructura. Se puede decir que el método de equilibrio resuelve el “BUCLE” de la anterior figura a base de recorrerlo, en el sentido horario, en dos iteraciones, una antes de determinar las incógnitas cinemáticas y otra después de haberlo hecho. El método de equilibrio fue propuesto y utilizado por primera vez por Axel Bendisen en 1.914. Recibe este nombre porque las ecuaciones que se plantean para resolver el problema son ecuaciones de equilibrio. Se le conoce también con los nombres de método de los movimientos de los nudos, o método de rigidez, ya que los coeficientes que aparecen en las ecuaciones que se plantean son de rigidez.

ESTRUCTURA II

Página 10


Compatibilidad. Establecen condiciones de congruencia geométrica y se las conoce también como relaciones cinemáticas. El método de compatibilidad se basa en un planteamiento intuitivo y fácil de entender. Básicamente, consiste en transformar la estructura hiperestática en otra isostática a base de suprimir los apoyos (o enlaces) redundantes y sustituirlos por fuerzas (o esfuerzos) incógnita. El número de incógnitas del problema es, pues, igual al grado de hiperestatismo del problema. Es obvio que el hecho de suprimir estos apoyos implica liberar, en principio, ciertas condiciones de compatibilidad que debe satisfacer la deformación de la estructura original. A la estructura resultado de este proceso se le llama isostática base; sobre ella se pueden satisfacer las necesarias condiciones de equilibrio a priori y, por lo tanto, puede ser resuelta siguiendo el esquema de la figura que se mostrara a continuación. En particular, se podrán expresar los movimientos de la estructura en función de las incógnitas hiperestáticas. Por tanto, se pueden imponer a posteriori las condiciones de compatibilidad, anteriormente liberadas. Esto proporciona el número de ecuaciones necesarias para resolver las incógnitas hiperestáticas. Una vez obtenidas estas, se tiene resuelta la estructura. Este procedimiento de resolución se muestra en el esquema de la figura. Se observa que el proceso secuencial consiste en, a partir de la geometría de la estructura y de la definición de las acciones:

ESTRUCTURA II

Página 11


1. Definir la estructura isostática base, seleccionando las incógnitas hiperestáticas y liberando las correspondientes condiciones de compatibilidad. 2. Resolver la estructura isostática base, en función de las incógnitas hiperestáticas, y satisfaciendo las condiciones de equilibrio. 3. Determinar las incógnitas hiperestáticas, imponiendo las necesarias condiciones de compatibilidad. 4. Determinar las reacciones, esfuerzo y movimiento en las estructuras hiperestáticas original. Se puede decir que el método de compatibilidad resuelve el mismo problema anterior a base de recorrerlo, en el sentido antihorario, en dos iteraciones, una antes de determinar las incógnitas hiperestáticas y otra después de haberlo hecho.

ESTRUCTURA II

Página 12


El método de compatibilidad fue propuesto y utilizado por primera vez por Louis Navier en 1.826. Fue utilizado intensamente durante el siglo XIX, la época de expansión del ferrocarril, en el análisis de arcos, vigas continuas y estructuras articuladas hiperestáticas. Recibe este nombre porque las ecuaciones que se plantean para resolver este problema son ecuaciones de compatibilidad. Se le conoce también con los nombres de método de las fuerzas, dado que las incógnitas hiperestáticas seleccionadas para resolver el problema son fuerzas o momentos hiperestáticos, o método de flexibilidad, ya que los coeficientes que aparecen en las ecuaciones que se plantean son de flexibilidad.

ESTRUCTURA II

Página 13


Relación Fuerza – Desplazamiento. Esta

relación

simultáneamente

se

fuerzas

definen y

como

vectores

desplazamientos.

Si

quienes las

contienen

fuerzas

y

los

correspondientes grados de libertad de un elemento se dividen en dos grupos, representados por subíndices s y f, para los apoyos o soportes y los restantes grados de libertad respectivamente, la forma general de una representación mixta puede escribirse como:

Una forma de la relación mixta fuerza-desplazamiento es la matriz de transferencia, en la cual las fuerzas y los desplazamientos en el extremo de un miembro {Ff Df} se transfieren al extremo opuesto {Fs Ds} mediante la matriz [Ω]. Es posible pasar de desplazamiento o a una mixta.

ESTRUCTURA II

una

formulación

en

fuerza

a

una

de

Página 14


Considérese por ejemplo la transformación de rigidez a flexibilidad. Para construir la matriz de flexibilidad se requiere que la estructura sea estáticamente determinada y estable. Ordenando el sistema de acuerdo con la expresión anterior, la matriz de rigidez puede describirse en:

Otras formas de ecuaciones mixtas fuerza-desplazamientos pueden derivarse directamente de la aplicación de los conceptos básicos de la formulación

variacional.

La

formulación

mixta

contiene

campos

de

desplazamiento y fuerza mezclados como incógnitas (e.g. energía de Reissner, principios energéticos mixtos, etc). Los principios variacionales multicampo conducen directamente a formulaciones mixtas. El método de fuerza o de desplazamiento pueden también formularse por principios de la energía potencial, energía complementaria. Estos conceptos sólo se aplicarán a la formulación en desplazamientos. Por otro lado la formulación mixta no será más tratada, ya que no es frecuente en el análisis de estructuras

ESTRUCTURA II

Página 15


convencionales (e.g. armaduras, marcos, parrillas) y generalmente se presenta en textos sobre el método de los elementos finitos.

Condiciones a Satisfacer en la resolución de estructuras estáticamente indeterminadas. Cuando se habla de solucionar una estructura hablamos de encontrar las relaciones entre las fuerzas aplicadas y las fuerzas de reacción, las fuerzas internas en todos los puntos y las deformaciones. Para estructuras estáticas solo es necesario plantear las ecuaciones de equilibrio para encontrar fuerzas de reacción ya que estas no sobrepasan en número a las ecuaciones de equilibrio. Una vez tengamos las reacciones procedemos a encontrar las fuerzas internas por equilibrio de secciones y de ahí encontramos las deformaciones por los métodos de la doble integración o trabajo virtual. En la solución de estructuras estáticamente indeterminadas tenemos que solucionar simultáneamente las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad de deformaciones y las de relaciones de fuerzas y desplazamientos (leyes constitutivas del material). Observe que para las estructuras estáticas los métodos de encontrar las deformaciones involucran la compatibilidad y las relaciones fuerza-desplazamiento concluyendo que estas ecuaciones se deben cumplir en todo tipo de estructura. La manera como se manipulan estos tres tipos de ecuaciones en el proceso de solución determina el método. Por ejemplo, en el método de las fuerzas vimos que planteamos unas ecuaciones de compatibilidad de deformaciones en el sentido de las redundantes y después reemplazamos en ESTRUCTURA II

Página 16


estas ecuaciones, los desplazamientos en función de las fuerzas redundantes, quedando como incógnitas a solucionar las fuerzas redundantes. Note que aquí se ha resuelto parte de la estructura, o sea, solo la parte de llevarla a ser estáticamente determinada, de ahí debemos completar la solución por medio de las ecuaciones de equilibrio estático. En conclusión, se plantean tantas ecuaciones como redundantes halla, por lo tanto en este método el número de incógnitas es el número de redundantes, y las matrices a resolver son de ese orden. Las ventajas de las estructuras hiperestáticas sobre las isostáticas, para tipologías similares sometidas a las mismas cargas, son principalmente, tres: 1. Mayor rigidez: son más rígidas aquellas estructuras en las que el hiperestatismo introduce un mayor número de condiciones de compatibilidad. Así, una viga empotrada bajo carga lateral uniforme exhibe flechas mucho menores que una viga doblemente apoyada de la misma luz y con la misma carga. La condición de giro nulo en los apoyos resulta en una rigidez a flexión muy superior. 2. Ahorro de material: un número más elevado de condiciones de continuidad y equilibrio en los nudos suele conducir a una mejor distribución de las cargas y a leyes de esfuerzos con valores máximos menores. Así, una viga empotrada bajo carga lateral uniforme soporta flectores (positivos y negativos) menores que los que aparecen (siempre positivos) en una viga doblemente apoyada de la misma luz y con la misma carga. Menores esfuerzos suelen traducirse en ahorro de material al dimensionar adecuadamente las piezas.

ESTRUCTURA II

Página 17


3. Mayor seguridad: el hecho de ser hiperestática le proporciona a la estructura una reserva de resistencia y una relativa capacidad de redistribución de esfuerzos en situaciones excepcionales. Así, si una viga empotrada bajo carga lateral uniforme sufre un grado de figuración que llega a partirla en dos partes, cada una de estas es isostática y mantiene su capacidad de soportar cargas. Si le ocurre lo mismo a una viga doblemente apoyada, la pieza se convierte en dos mecanismos separados y colapsa.

Métodos generales de análisis de estructuras estáticamente indeterminadas. Sin importar si una estructura es estáticamente determinada o indeterminada, su análisis completo requiere el uso de tres tipos de relaciones: 1. Ecuaciones de Equilibrio. 2. Condiciones de Compatibilidad. 3. Relaciones de fuerza. Deformación de los miembros. .- Las ecuaciones de equilibrio relacionan las fuerzas que actúan sobre la estructura o sus partes), garantizando que la estructura completa así como sus partes permanezcan en equilibrio. .- Las ecuaciones de compatibilidad relacionan los desplazamientos de la estructura de modo que sus diversas partes se ajustan entre si.

ESTRUCTURA II

Página 18


.- Las relaciones de fuerza - deformación en los miembros, las cuales comprenden las propiedades de los materiales y de las secciones transversales (E, I y A) de los miembros, proporcionan el enlace necesario entre las fuerzas y los desplazamientos de la estructura. En el análisis de las estructuras estáticamente indeterminadas, las ecuaciones de equilibrio por si solas no son suficientes para la determinación de las reacciones y las fuerzas internas. Por lo tanto, se vuelve necesario resolver las ecuaciones de equilibrio en conjunción con las de condiciones de compatibilidad de la estructura, para determinar su repuesta. En virtud de que las ecuaciones contienen las fuerzas desconocidas, en tanto que las condiciones de compatibilidad comprenden los desplazamientos como incógnitas, se utilizan las relaciones fuerza- deformación de los miembros para expresar las fuerzas desconocidas en términos de los desplazamientos desconocidos o viceversa. Entonces se resuelve el sistema resultante de ecuaciones, que solo contiene un tipo de desconocidos,

los

incógnitas, para las fuerzas o desplazamientos

cuales

entonces

se

sustituyen

en

las

relaciones

fundamentes para determinar las características restantes de respuestas de la estructura. Métodos de análisis Desde mediados del siglo XIX, se han desarrollado muchos métodos para analizar las estructuras estáticamente indeterminadas. Estos métodos se pueden clasificar en términos generales en dos categorías, a saber:

ESTRUCTURA II

Página 19




Los métodos de las fuerzas (flexibilidad).



Los métodos de los desplazamientos (rigidez).

Dependiendo del tipo de incógnitas (fuerza o desplazamiento, respectivamente) que intervengan en la solución de las ecuaciones que rigen. El objetivo del análisis estructural es a partir de una estructura con características geométricas y mecánicas conocidas, sometidas a acciones (cargas o deformaciones impuestas), determinar los desplazamientos (translaciones y/o rotaciones) de todos sus puntos, los esfuerzos internos y las reacciones de apoyo. Este análisis es clasificado como lineal, cuando la estructura tiene comportamiento lineal, es no lineal en caso contrario. Para que una estructura tenga comportamiento lineal, ella debe sufrir pequeños desplazamientos y deformaciones específicas y su material debe ser elástico lineal (validad de la ley de Hooke). Esto permite la aplicación del principio de la superposición de los efectos. Este tipo de estructuras no pueden ser analizadas únicamente mediante las ecuaciones de la estática o de equilibrio, ya que éstas últimas proporcionan

un

número

hiperestáticos requieren

insuficiente condiciones

de

ecuaciones. adicionales

Los problemas usualmente

llamadas ecuaciones de compatibilidad que involucran fuerzas o esfuerzos internos y desplazamientos de puntos de la estructura. Existen varios métodos generales que pueden proporcionar estas ecuaciones: 

Método matricial de la rigidez

ESTRUCTURA II

Página 20


Es un método de cálculo aplicable a estructuras hiperestáticas de barras que se comportan de forma elástica y lineal. El método matricial se basa en estimar los componentes de las relaciones de rigidez para resolver las fuerzas o los desplazamientos mediante un ordenador. El método consiste en asignar a la estructura de barras un objeto matemático, llamado matriz de rigidez, que relaciona los desplazamientos de un conjunto de puntos de la estructura, llamados nodos, con las fuerzas exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos (las componentes de esta matriz son fuerzas generalizadas asociadas a desplazamientos generalizados). La matriz de rigidez relaciona las fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la estructura, mediante la siguiente ecuación:

(1) Donde:

son las fuerzas nodales equivalentes asociadas a las fuerzas

exteriores aplicadas sobre la estructura;

son las reacciones hiperestáticas

inicialmente desconocidas sobre la estructura; incógnita de la estructura y

los desplazamientos nodales

el número de grados de libertad de la

estructura. La energía de deformación elástica también puede expresarse en términos de la matriz de rigidez mediante la relación:

ESTRUCTURA II

Página 21


Del teorema de Maxwell-Betti se deduce que la matriz de rigidez debe ser simétrica y por tanto:



Teoremas de Castigliano Primer teorema de Castigliano Sea un cuerpo elástico

fuerzas P1,...,Pn aplicados llamamos interno donde

a

sobre el que actúan el conjunto de

sobre la

los

energía

puntos potencial

del

sólido A1,...,An y

elástica

o potencial

es el movimiento- desplazamiento o giro- en el punto Ai en

la dirección de la fuerza Pi. Entonces la fuerza ejercida Pi en el punto Ai viene dada por:

Segundo teorema de Castigliano Sea un cuerpo elástico fuerzas P1,...,Pn aplicados llamamos

a

sobre el que actúan un conjunto de sobre

la energía

los

puntos

potencial

del

sólido A1,...,An y

elástica o potencial

interno.

Entonces el movimiento- desplazamiento o giro- δi del punto Ai proyectado sobre la dirección de Pi viene dada por:



Teoremas de Mohr

ESTRUCTURA II

Página 22


Los teoremas de Mohr, describen la relación entre el momento flector y las deformaciones que éste produce sobre una estructura, permiten calcular deformaciones a partir del momento y viceversa. Son métodos de cálculo válidos para estructuras isostáticas e hiperestáticas regidas por un comportamiento elástico del material. Primer teorema de Mohr: variaciones angulares El ángulo que hay comprendido entre dos tangentes en dos puntos cualesquiera A y B de la curva elástica plana, es igual al área total del trozo correspondiente del diagrama de momentos reducidos:

(1) Donde los ángulos deben expresarse en radianes. El teorema de Mohr dice que el giro de un punto de una elástica (la deformada) respecto de otro punto de la elástica, se puede obtener mediante el área de momentos flectores entre A y B, dividido por la rigidez a flexión "EI". Deducción Esta fórmula puede ser obtenida directamente integrando la ecuación de la curva elástica linealizada:

Teniendo en cuenta que las derivadas de la flecha transversal al eje pueden coincidir aproximadamente con los ángulos girados por la sección, la ecuación anterior nos lleva que:

ESTRUCTURA II

Página 23


Expresión no linealizada El "primer teorema de Mohr" en realidad proporciona una expresión aproximada para pequeños desplazamientos. Si se considera la expresión completa de la elástica (no-linealizada) el primer teorema de Mohr resultaría:

(1b) Para probar esta expresión se procede igual que antes, integrando la expresión de la curva elástica, considerando esta vez la expresión completa:

Teniendo en cuenta ahora que:

De la cual se deduce trivialmente la expresión (1b) Segundo teorema de Mohr: flechas Dados dos puntos A y B pertenecientes a una línea elástica, y dada una recta vertical que pasa por la abscisa de A, la distancia vertical entre la curva elástica en A y la intersección de la tangente que pasa por B y la recta vertical anterior es igual al momento estático con respecto a A del área de momentos reducidos comprendida entre A y B:

ESTRUCTURA II

Página 24


(2) El momento estático recientemente mencionado puede calcularse en forma muy simple multiplicando el área total del diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y B por la distancia entre A y su centro de gravedad. Por otro lado, si la figura que representa el diagrama puede descomponerse en figuras elementales tales como rectángulos, triángulos, parábolas, etc., el momento estático total resultara ser la suma de los correspondientes a cada una de las figuras elementales. Deducción Existen muchas deducciones diferentes basadas en principios físicos. Sin embargo, realmente el segundo teorema de Mohr puede considerarse un caso particular de desarrollo de Taylor hasta primer orden con residuo en forma integral. Si aproximamos la flecha o desplazamiento transversal al eje de la viga mediante el teorema de Taylor obtenemos:

Reescribiendo las derivadas segundas en términos de la curva elástica y las derivadas primeras en términos de giros angulares:

Se tiene que:

ESTRUCTURA II

Página 25


E interpretando geométricamente los términos se aprecia que la diferencia entre el descenso en A y el punto de corte de la tangente en B al cruzar la vertical a

es precisamente

:

Que es precisamente la expresión (2). 

Teorema de los tres momentos

El teorema de los tres momentos o teorema de Clapeyron es una relación deducida de la teoría de flexión de vigas y usada en análisis estructural para resolver ciertos problemas de flexión hiperestática. La resolución de las ecuaciones de compatibilidad del Método de las Fuerzas para vigas continuas se

simplifica

fundamental

notoriamente al

eligiendo

conjunto de

vigas

como

la

simplemente

estructura

isostática

apoyadas

obtenidas

introduciendo articulaciones en los apoyos. De esta forma, se obtiene una secuencia repetitiva que facilita el cálculo de coeficientes de la matriz de flexibilidad, ya que es posible deducir una forma general de los mismos que no requiere resolver explícitamente las integrales involucradas en su formulación. Eligiendo como incógnitas hiperestáticas a los momentos flectores sobre los apoyos, las ecuaciones de compatibilidad establecen que el "giro relativo" entre los extremos de las barras que concurren a la articulación es nulo (para mantener la continuidad elástica).

ESTRUCTURA II

Página 26


Resulta importante remarcar que este método es una forma particular del Método de las Fuerzas, en la que las ecuaciones de compatibilidad se plantean de una manera sistemática eligiendo como incógnitas hiperestáticas i M a los momentos flectores sobre los apoyos. La ecuación de compatibilidad para el giro en el apoyo "i" resulta:

ESTRUCTURA II

Página 27




Método de cross El Método de redistribución de momentos o método de Cross es un

método de análisis estructural para vigas estáticamente indeterminadas y marcos/pórticos planos, desarrollado por Hardy Cross. El método sólo calcula el efecto de los momentos flectores e ignora los efectos axiale y cortantes, lo cual es suficiente para fines prácticos en barras esbeltas.

Implementación En disposición de aplicar el método de redistribución de momentos para analizar una estructura, lo siguiente debe ser considerado.

ESTRUCTURA II

Página 28


Momentos de empotramiento en extremos fijos Momentos de empotramiento en extremos fijos son los momentos producidos al extremo del miembro por cargas externas cuando las juntas están fijas. Rigidez a la Flexión La rigidez flexional (EI/L) de un miembro es representada como el producto del módulo de elasticidad (E) y el Segundo momento de área, también conocido como Momento de Inercia (I) dividido por la longitud (L) del miembro, que es necesaria en el método de distribución de momentos, no es el valor exacto pero es la Razón aritmética de rigidez de flexión de todos los miembros. Coeficientes de reparto Los factores de distribución pueden ser definidos como las proporciones de los momentos no equilibrados llevados por cada uno de los miembros. Coeficientes de transmisión Los momentos no equilibrados son llevados sobre el otro extremo del miembro cuando se permite el giro en el apoyo. La razón de momento acarreado sobre el otro extremo entre el momento en el extremo fijo del extremo inicial es el coeficiente de transmisión. 

-Valores típicos: 

0,5 para nodos sin empotramiento



0 para nodos empotrados

Convención de signos Un momento actuando en sentido horario es considerado positivo. Esto difiere de la [convención de signos] usual en ingeniería, la cual emplea un

ESTRUCTURA II

Página 29


sistema de coordenadas cartesianas con el eje positivo X a la derecha y el eje positivo Y hacia arriba, resultando en momentos positivos sobre el eje Z siendo antihorarios. Estructuras de marcos Estructuras de marcos con o sin ladeo pueden ser analizadas utilizando el método de distribución de momentos.

ESTRUCTURA II

Página 30


CONCLUSION. Queda demostrado en lo visto en este trabajo que las estructuras hiperestáticas son más complejas de analizar que las estructuras isostáticas, y tanto más cuanto mayor sea su grado de hiperestatismo y/o su grado de traslacionalidad. Cuando se habla de solucionar una estructura hablamos de encontrar las relaciones entre las fuerzas aplicadas y las fuerzas de reacción, las fuerzas internas en todos los puntos y las deformaciones. La principal desventaja de las estructuras hiperestáticas frente a las isostáticas consiste en su imposibilidad de adaptarse, sin generar esfuerzos y tensiones, a movimientos y deformaciones impuestos. Cuando este tipo de acciones es previsible, debe contemplarse con cuidado el grado de indeterminación estática y cinemática de las estructuras que se proyectan. Para estructuras estáticas solo es necesario plantear las ecuaciones de equilibrio para encontrar fuerzas de reacción ya que estas no sobrepasan en número a las ecuaciones de equilibrio. Una vez tengamos las reacciones procedemos a encontrar las fuerzas internas por equilibrio de secciones y de ahí encontramos las deformaciones por los métodos de la doble integración o trabajo virtual. En la solución de estructuras estáticamente indeterminadas tenemos que solucionar simultáneamente las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad de deformaciones y las de relaciones de fuerzas y desplazamientos (leyes constitutivas del material). Observe que para las estructuras estáticas los métodos de encontrar las deformaciones involucran la compatibilidad y las

ESTRUCTURA II

Página 31


relaciones fuerza-desplazamiento concluyendo que estas ecuaciones se deben cumplir en todo tipo de estructura.

ESTRUCTURA II

Página 32

Estructuras Estaticamente Indeterminadas Unidad i

Recommend Documents