UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
VICERRECTORADO DE INVESTIGACION INVESTIGACION
INSTITUTO DE INVESTIGACION DE LA FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA MECANICA – – ENERGIA
LIBRO DE PROBLEMAS DE
RESISTENCIA DE MATERIALES AVANZADO
AUTOR:
ING. JUAN ADOLFO BRAVO FELIX
01-09-2004 AL 30-11-2005
RESOLUCION RECTORAL N ° 829-04-R
BELLAVISTA - CALLAO
INDICE GENERAL INDICE 2 RESUMEN 6 INTRODUCCION 7 CAPITULO 1
DEFLEXIONES Y PENDIENTES DE VIGAS 10 PROBLEMAS POR DE AREA DE MOMENTO PROBLEMAS DE METODOS DE ENERGIA 26 PROBLEMAS DE. TEOREMA DE CASTIGLIANO Y TRABAJO VIRTUAL 37 REFERENCIALES 53
BELLAVISTA - CALLAO
INDICE GENERAL INDICE 2 RESUMEN 6 INTRODUCCION 7 CAPITULO 1
DEFLEXIONES Y PENDIENTES DE VIGAS 10 PROBLEMAS POR DE AREA DE MOMENTO PROBLEMAS DE METODOS DE ENERGIA 26 PROBLEMAS DE. TEOREMA DE CASTIGLIANO Y TRABAJO VIRTUAL 37 REFERENCIALES 53
CAPITULO II VIGAS DE GRAN CURVATURA 54 PROBLEMAS DE DETERMINACION DEL ESFUERZO NORMAL PROBLEMAS DE DETERMINACION DEL ESFUERZO RADIAL 61 PROBLEMAS DE DEFLEXIONES EN VIGAS CURVAS 63 REFERENCIALES 68
CAPITULO III PANDEO DE COLUMNAS 69 - PROBLEMAS DE PANDEO CENTRICO 23 - PROBLEMAS DE LA FÓRMULA DE LA SECANTE 78 PROBLEMAS DE COLUMNAS CON CARGA EXCENTRICA 87 - REFERENCIALES 93 CAPITULO IV TEORIAS DE FALLA O ROTURA DE MATERIALES 94 - PROBLEMAS DE ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO 99 - PROBLEMAS DE LA ENERGIA DE DISTORSION MAXIMA 101 - PROBLEMAS DE LA TEORIA DE ROTURA DE MOHR . 107 REFERENCIALES 111
CAPITULO V TUBOS DE PAREDES GRUESAS 112 - PROBLEMAS DE CALCULO DE LOS ESFUERZOS 116 - PROBLEMAS DE ESFUERZOS EN LOS TUBOS COMPUESTOS 120 REFERENCIALES 126
CAPITULO VI CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS 127 - PROBLEMAS DE CONCENTRACIÓN DE ESF. POR CARGA AXIAL 130 - PROBLEMAS DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS EN TORSIÓN 132 - PROBLEMAS CONCENTRACION DE ESFUERZOS EN FLEXION 135 REFERENCIALES 138
CAPITULO VII FATIGA DE MATERIALES 139 - PROBLEMAS DE FATIGA 141 . 7.7.- CRITERIOS DE ROTURA APLICADOS A FATIGA. 157 REFERENCIALES 160
MATERIALES Y METODOS 171 RESULTADOS 172 DISCUSION 173 BIBLIOGRAFIA 174 APENDICE ANEXOS: 3 TABLA DE FORMULAS PARA A, R y Am DE VIGAS CURVAS 0 5 GRAFICOS DE CONCENTRACION DE ESFUERZOS 8 GRAFICOS DE FATIGA EN FUNCION DEL ACAB. SUPERF. 9 GRAFICOS DEL FACTOR DE SENSIBILIDAD
RESUMEN El presente libro de Problemas de Resistencia de Materiales Avanzado se ha desarrollado teniendo como referencia el syllabus de Resistencia de Materiales II, el mismo que tr ata de los siguientes puntos: - Deflexiones: de estructuras y elementos de máquina que sufren deformaciones internas, giros y desplazamientos externos, que deben ser controlados dentro de ciertos límites para darle estética a las estructuras y precisión a los elementos de máquina. - Elementos curvos: los ganchos de grúas, poleas, eslabón de cadena, aros de ruedas, etc. son elementos de gran curvatura (h/R>1/5) y deben ser diseñados con esta teoría. - Pandeo de columnas: pueden presentarse en elementos sometidos a cargas de compresión que al sobrepasar el valor crítico originan pérdida de estabilidad del conjunto por lo que deben ser calculadas bajo normas como el AISC, y otros. - Teorías de rotura: considera la igualdad de esfuerzo equivalente del estado triaxial y monoaxial cuando el último llega a fluencia ó rotura; debido a igualdad de esfuerzo principal máximo, esfuerzo cortante máximo, trabajo de distorsión máximo y Mohr. - Cilindros de paredes gruesas: los recipientes a gran presión, tubos de cañón de armas deben ser calculados con la teoría de tubos de pared gruesa (D/t < 20). Para incrementar la resistencia se usan las técnicas de encamisado y auto zunchado. - La concentración de esfuerzos (elevación) aparece en secciones transversales de elementos donde existen cambios de geometría y otros, debiendo ser reducidos. - Fatiga de materiales: se producen cuando las cargas varían en el tiempo o los elementos son giratorios ocasionando rotura con cargas menores que las estáticas. Los conceptos de los temas analizados en este libro serán de mucha utilidad para el Ingeniero para la aplicación durante su actividad profesional.
INTRODUCCION Este trabajo de investigación tiene por objetivo ofrecer al estudiante el L IBRO DE PROBLEMAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES AVANZADO en base a los contenidos del syllabus de la asignatura de Resistencia de Materiales II de la FIME los cuales por corresponder a la segunda parte del curso no se analizan en los libros básicos de Mecánica de Materiales de reciente publicación, conllevando consigo dificultades en obtención de la información y el aprendizaje por cuanto la mayoría de ellos trabajan y dispone de tiempo limitado. El tema de estudio está organizado en siete capítulos. En el capítulo 1 se resuelven problemas propuestos en diferentes textos sobre deflexiones de estructuras y elementos de máquina originados porlas cargas externas por cuanto el funcionamiento adecuado de las piezas de una máquina, la rigidez estructural de los edificios, los chasis de vehículos y máquinas y la tendencia de una pieza a vibrar dependen de las deformaciones de vigas. por consiguiente, la facultad de analizar vigas para detectar deflexiones (cuya magnitud debe ser limitada para garantizar la exactitud y eficiencia de la maquinaria) es importante. En la solucion se utilizas vario métodos tales como: el área de momentos, el método de la viga conjugada, el principio de superposición, los métodos energéticos: principio del trabajo virtual y el t eorema de Castigliano y problemas hiperestáticas. En el capítulo 2 se resuelven problemas propuestos de vigas de pequeña curvatura y gr an curvatura (h/R 1/5 s), determinando el eje neutro, los esfuerzos normales y radiales así como giros y desplazamientos de los mismos y problemas hiperestáticos aplicando los métodos energéticos. Las vigas de pequeña curvatura se tratan igual que las vigas rectas. En el capítulo 3 se analizan problemas de flexión (pandeo) de elementos sometidos a compresión (columnas) los cuales tienden a perder estabilidad (colapso) a partir de una determinada carga (crítica) denominada carga de Euler. También se analizan columnas excéntricas y los métodos de determinación de la carga y esfuerzo admisibles mediante fórmulas normalizadas como el ADF del AISC, interacción y esfuerzo admisible. En el capítulo 4 se resuelven problemas propuestos utilizando las teorías de rotura (falla) de mayor aceptación en la determinación de la resistencia de materiales sometidos a esfuerzos combinados. Las teorías se basan en la comparación de esfuerzos equivalentes de un elemento sometido a un estado triaxial o biaxial con otro sometido a un estado monoaxial el cual es llevado hasta la rotura elástica ( ) si el material es dúctil, ó a la rotura plástica ( ) si el material es frágil. Si el esfuerzo equivalente del elemento sometido al estado triaxial es menor que del estado monoaxial se dice que el elemento resistirá a las cargas que dieron origen a dicho estado, en caso contrario fallará. Los criterios para la determinación de esfuerzos equivalentes en ambos estados son los de: esfuerzo principal máximo, esfuerzo cortante máximo y energía de distorsión máxima. También se emplea la teoría de rotura de Mohr que consiste en trazar las envolventes al círculo de Mohr en ensayos de tracción y compresión estática, para evaluar el material se traza otro círculo y si esta es tangente a la envolvente entonces el material fallará en caso contrario no.
El capítulo 5 se resuelven problemas de resistencia de cilindros de pared gruesa (R/t > 10) sometidos a presión interna y externa propuestos en textos de la especialidad determinando la magnitud de los desplazamientos radiales, esfuerzos circunferenciales, radiales y axiales; también se analizan cilindros compuestos. En el capítulo 6 se analizan problemas de la concentración de esfuerzos en elementos cuya sección transversal varía ya sea por requerimientos de diseño o por defectos del material o medios ambientales (corrosión) utilizando diagramas correspondientes según la forma del elemento y el tipo de carga solicitante. En el capítulo 7 se solucionan los propuestos en textos sobre la fatiga de materiales debido a esfuerzos alternos sobre flechas rotantes originadas por cargas estáticas o los originados por cargas fluctuantes en el tiempo que actúan con periodicidad sobre elementos fijos, utilizando generalmente el criterio de Soderberg junto con la teoría de rotura cuando se trata de elementos con cargas combinadas. Todos los problemas desarrollados son importantes para el ingeniero mecánico porque en un determinado momento de su vida profesional ya sea en las áreas de diseño, fabricación, valuación y mantenimiento hará uso de las mismas para la toma de decisiones de acuerdo a su responsabilidad y mando. La fabricación, instalación o desmontaje de toda maquinaria conlleva la solución de numerosos problemas de aplicación en base a las teorías de resistencia de materiales, dinámica de máquinas y teoría de elasticidad a fin de darle resistencia, elasticidad, estabilidad, poco peso y especialmente seguridad que son características de las máquinas actuales
CAPITULO I
DEFLEXIONES Y PENDIENTES DE VIGAS ELASTICAS
1.- La viga libre en un extremo y empotrada en el otro se somete a una carga puntual P en su extremo libre. Determine el ángulo de giro y la deflexión del extremo libre.
Solución: Para determinar el ángulo de giro aplicamos el primer teorema de área de momento:
Para determinar el desplazamiento vertical del extremo libre A, se aplica el segundo teorema de área de momento entre los puntos A y B.
2.- La viga libre en un extremo y empotrada en el otro se somete a una carga uniformemente distribuida w(x) en toda su longitud. Determine el ángulo de giro y la deflexión del extremo libre.
Solución Para determinar el ángulo de giro se aplica el primer teorema de área de momento entre los puntos A y B.
Para determinar el desplazamiento vertical del extremo libre A, se aplica el segundo teorema de área de momento entre los puntos A y B.
3.- Para vigas con carga triangular en toda su longitud en un extremo libre y empotrado en el otro extremo. Determinar la pendiente y la deflexión del extremo libre. Solución: La variación del momento interno será de la forma:
La envolvente del área del diagrama de momentos será una parábola de segundo grado. En B el valor del momento flector será EI Para determinar el ángulo de giro se aplica el primer teorema de área de momento entre los puntos A y B.
Para determinar el desplazamiento vertical del extremo libre A, se aplica el segundo teorema de área de momento entre los puntos A y B.
4.- La viga con extremos simplemente apoyados esta sometida a carga uniformemente distribuida como el indicado en la figura. Determine la flecha máxima Solución: Para determinar la deflexión máxima se traza la tangente respecto del centro de su longitud media y se calcula la desviación vertical respecto de uno de sus extremos. En este caso calculamos tA/M para una viga con extremos apoyados y carga uniformemente distribuida en toda su longitud:
. 5.- una viga horizontal de longitud L con carga P asimétrica. Determine la deflexión máxima.
Solución: Para calcular θA primero calculamos la desviación vertical de B respecto de A tB/A.
Como el momento flector en el punto M es Pbx/l, luego:
Igualando ambas expresiones determinamos el valor de la incógnita x:
Para determinar δmax y considerando que en M la tangente es horizontal calculamos tA/M que será igual al desplazamiento máximo δmax
6.- una viga de dos tramos esta sometido a una carga uniformemente distribuida en el primer tramo y a una carga puntual en el extremo libre. Determine el desplazamiento del extremo libre.
Solución: La gráfica de la deformada se muestra en líneas punteadas
Luego el desplazamiento final será la suma de los desplazamientos calculados con sus respectivos signos.
7.- la viga de dos tramos tiene carga triangular en el primer tramo y apoyos en los extremos y en el punto medio. Determine las reacciones en los apoyos.
Luego, aplicando la condición de desplazamiento cero del apoyo C planteamos la ecuación de primer grado con la incógnita , del cual despejando obtenemos la incógnita buscada.
Sumando los desplazamientos e igualando a cero por la condición de apoyo obtenemos
8.- La viga libre en un extremo y empotrada en el otro se somete a una carga puntual P en su extremo libre. Determine el ángulo de giro y la deflexión del extremo libre aplicando el método de la viga conjugada.
Solución:
Considerando la viga conjugada con extremo libre en B y empotrada en A; con la carga correspondiente al diagrama de momento flector de la viga real. El ángulo de giro del extremo libre de la viga real será la reacción en el empotramiento de la viga conjugada:
El desplazamiento del extremo libre de la viga real será el momento en el empotramiento de la viga conjugada:
9.- Resolver el problema Nº 8 mediante la conservación de la energía Solución: El trabajo externo = trabajo interno ó energía de deformación
10. Resolver el problema Nº 8 Aplicando el teorema de Castigliano:
Para calcular el ángulo de giro aplicamos un momento ficticio M” en dirección del giro y una vez calculado la derivada respecto de M”, en la función de momento Mx se hace M” = 0.
11. Resolver el problema Nº 8 aplicando el principio del Trabajo Virtual Solución; Determinamos la función Mx de la viga real.
En la dirección del desplazamiento de la viga real se aplica una carga ficticia (virtual) y se calcula el momento interno originado por esta carga.
Estas funciones se introduce en la ecuación de la energía interna y se aplica el principio del trabajo virtual (trabajo externo = trabajo interno)
12. La viga libre en un extremo y empotrada en el otro se somete a una carga uniformemente distribuida w(x) en toda su longitud. Determine el ángulo de giro y la deflexión del extremo libre aplicando el método de la viga conjugada Solución
Se considera una viga conjugada con extremo A empotrada y B libre. Para determinar el ángulo de giro del extremo libre de la viga real se calcula la reacción del empotramiento de la viga conjugada.
Para determinar el desplazamiento vertical del extremo libre A de la viga real, se calcula el momento del empotramiento de la viga conjugada. 13. Resolver el problema Nº 12 aplicando el método del teorema de Castigliano Solución: Como no existe carga en dirección del desplazamiento, se aplica una carga ficticia Q en dirección del desplazamiento a determinar. Una vez determinado la función Mx se deriva respecto a Q, luego se hade Q = 0 en la función Mx antes de remplazar en la formula de Castigliano.
Para calcular el ángulo de giro aplicamos un momento ficticio M” en dirección del giro y una vez calculado la derivada respecto de M”, en la función de momento Mx se hace M” = 0.
14. Resolver el problema Nº 12 aplicando el principio del Trabajo Virtual Solución: Determinamos la función Mx de la viga real.
En la dirección del desplazamiento de la viga real se aplica una carga ficticia (virtual) unitaria y se calcula el momento interno originado por esta carga.
Estas funciones se introduce en la ecuación de la energía interna y se aplica el principio del trabajo virtual (trabajo externo = trabajo interno)
Para calcular el ángulo de giro aplicamos un momento ficticio m = 1 en dirección del giro y se determinan las funciones de momento mx = -1 con la carga ficticia, después se determina Mx = wx2/2 con la carga real y, luego estos se introducen en la fórmula del trabajo virtual...
15. Para vigas con carga triangular en toda su longitud en un extremo libre y empotrado en el otro extremo. Determinar la pendiente y la deflexión del extremo libre aplicando el método de la viga conjugada. Solución: El extremo libre de la viga real se convierte en empotrado de la viga conjugada y el diagrama del momento flector de la viga real es la carga en la viga conjugada.
La fuerza de reacción en el empotramiento de la viga conjugada será el ángulo de giro en la viga real.
El momento de reacción en el empotramiento de la viga conjugada será el desplazamiento en la viga real
16. Resolver el problema Nº 15 aplicando el método del teorema de Castigliano Solución: Como no existe carga en dirección del desplazamiento, se aplica una carga ficticia Q en esa dirección y se determina la función Mx , luego se deriva respecto a Q.
Luego se hade Q = 0 en la función Mx antes de remplazar en la formula de Castigliano
Para calcular el ángulo de giro aplicamos un momento ficticio M” en dirección del giro y una vez calculado la derivada respecto de M”, en la función de momento Mx se hace M” = 0.
17. Resolver el problema Nº 15 aplicando el principio del Trabajo Virtual Solución: Determinamos la función Mx de la viga real.
En la dirección del desplazamiento de la viga real se aplica una carga ficticia (virtual) unitaria y se calcula el momento interno originado por esta carga.
Estas funciones se introduce en la ecuación de la energía interna y se aplica el principio del trabajo virtual (trabajo externo = trabajo interno)
Para calcular el ángulo de giro aplicamos un momento ficticio m = 1 en dirección del giro y se determinan las funciones de momento mx = -1 con la carga ficticia, después se determina Mx = wx2/2 con la carga real y, luego estos se introducen en la fórmula del trabajo virtual..
18. La viga con extremos simplemente apoyados esta sometida a carga uniformemente distribuida como el indicado en la figura. Determine la flecha máxima aplicando el teorema de Castigliano
Solución: Aplicamos una carga ficticia Q en dirección del desplazamiento
19. Resolver el problema Nº 18 aplicando el principio del trabajo virtual. Solución: Determinación de momentos internos en una sección cualquiera.
20. Empleando el método del trabajo virtual determinar el desplazamiento horizontal del nudo D cuando se aplica una fuerza horizontal de 120 kN hacia la derecha en el nudo C, la barra BC tiene un aumento de temperatura en ΔT = 50 ˚C, la barra AD tiene una disminución de temperatura de ΔT = -40 ˚C y la barra BD es mas corta en 4 mm que su longitud de diseño. Considere E = 200 GPa, α = 1,2 x 10-6 / ˚C, las áreas de las secciones transversales de las barras AB, BC y AD son de 1,5 cm2 y de las demás de 2,5 cm2. Solución;
Se calculan las reacciones para la carga externa y las fuerzas internas correspondientes, luego se aplica una carga unitaria en dirección del desplazamiento solicitado y se determinan las fuerzas de reacción y las fuerzas internas en cada barra. Los resultados se presentan en forma de cuadros para realizar los cálculos Barra Long. Área N n n.N.l/EA ΔT Α.l.ΔT λ n-λ AB 1 000 150 60 0 0 0 0 0 0 AD 2 000 150 120 1 0,8 -40 -0,096 0 0 BC 2 000 150 120 0 0 50 0 0 0 BD √5 000 250 -√180 0 0 0 0 -4 0 CD 1 000 250 0 0 0 0 0 0 0 ∑ ---- ---- ---- --- 0,8 ---- 0,096 ---- 0
El desplazamiento horizontal del nudo D se obtendrá al igualar el trabajo externo con el trabajo interno.
21. Un sistema de tres barras articuladas cada una con la misma área A de sección transversal está cargado como se muestra en la figura, a) determine ∆V y ∆H del nodo B debido a la fuerza aplicada P, b) si por medio de un templador la longitud del miembro AC es acortada 12 mm, ¿Qué ∆V y ∆H tiene lugar en el punto B?. (P17.5P)
Figura P21 Solución: Primero determinaremos el desplazamiento vertical del nudo B, calculando las fuerzas internas en cada una de las barras en función de la variable P, luego derivando éstas respecto de P. la fórmula a emplear es:
Los valores encontrados son:
BARRA L N
AB AC BC
Luego, el desplazamiento vertical del nudo B es:
Para calcular el desplazamiento horizontal aplicamos una carga unitaria horizontal ficticia en el nudo B hacia la derecha y calculamos las fuerzas internas n en cada barra que se originan por esta
fuerza y luego aplicamos la fórmula del trabajo virtual para calcular el desplazamiento horizontal del nudo B
Los cálculos de las fuerzas se presentan en la tabla adjunta.
BARRA L N
La suma de la última columna nos da el desplazamiento horizontal del nodo B. el signo negativo indica que la dirección del desplazamiento es contrario al indicado.
b) cálculo de los desplazamientos vertical y horizontal del nudo B cuando el miembro AC es acortada en 12 mm:
22. Para la armadura plana mostrada en la figura, determine ∆V y ∆H del nodo C debido a la fuerza aplicada P = 10 kN. Por simplicidad suponga AE = 1 para todos los miembros.(P17.9P)
Figura P 22 Solución. Aplicaremos el método del trabajo virtual. Primero determinamos las fuerzas internas N en cada barra debido a la carga externa P. Luego aplicamos una carga horizontal virtual en el nodo C hacia la derecha y calculamos las fuerzas internas nH en cada barra. Posteriormente aplicamos una carga ficticia vertical hacia abajo en el nodo C y calculamos correspondientes fuerzas internas de las barras. Los resultados procesamos en la tabla adjunta.
Barra L N
Las sumas de la penúltima y última columna nos dan respectivamente los desplazamientos horizontal y vertical del nodo C , los cuales son:
23. Encuentre la fuerza en la barra AC de la armadura plana en la figura debido a la fuerza horizontal de 30 kN en C. para el miembro AC, sea la relación L/AE = 0,50 y para todos los demás miembros igual a la unidad. (P17.46P)
Figura P 23 Solución. Primero se debe conocer el tipo de armadura plana. La fórmula que relaciona el número de barras y nudos para que la armadura sea estable o no es:
Como , la armadura es hiperestática de un grado de hiperestaticidad. Para resolver lo transformamos en una armadura estática base retirando una de las barras redundantes (en este caso la barra AC) y reemplazando por una fuerza incógnita X el cual consideramos actúa sobre la armadura base. Con la nueva configuración de carga determinamos las fuerzas internas en cada una de las barras restantes. Luego planteamos la condición de desplazamientos de la armadura real. El desplazamiento relativo de los nodos A y C debe ser igual al alargamiento o acortamiento de la barra AC. Esta condición planteamos aplicando ya sea el teorema de Castigliano o el método del trabajo virtual. En este caso utilizamos el primero. Los resultados del cálculo de las fuerzas internas se dan en la siguiente tabla.
BARRA L N
Sumando la última columna obtenemos el desplazamiento relativo de los puntos A y C. Este valor debe ser igual al desplazamiento de los extremos de la barra AC originada por la fuerza incógnita X. esto puede expresarse mediante la ecuación:
Operando los resultados de la tabla con la salvedad de que por el enunciado del problema todos los términos del lado izquierdo valen uno (por lo que fueron omitidos en la tabla) y del lado derecho vale 0,5
Finalmente queda:
24. Una barra de acero en forma de L de 2,125 pulg de diámetro esta empotrad a un muro rígido y simplemente apoyada en el otro extremo tal como se muestra en la figura . en planta, el doblez es de 900 .¿Cuál será la reacción en el apoyo simple cuando se aplica una fuerza de 2000 lb en la esquina de la barra?. Suponga E = 30x106 psi, G = 0,4E Asuma que I = 1,00 pulg4, Ip = 2I. (P14.66P)
Figura P 24 Solución: La viga es hiperestático de un grado, consideramos como redundante la reacción del apoyo libre. Llamamos A al empotramiento, B a la esquina y C al apoyo libre. Consideramos la estructura base
sin el apoyo simple el cual es reemplazado por la fuerza incógnita C. aplicando el teorema de Castigliano. En el tramo CB:
En el tramo BA:
0=
R=
T = R L = 10 434,9 lb.pie.
REFERENCIALES
CAPITULO I
TEXTOS 1. POPOV, EGOR P. Mecánica de Sólidos. México: Pearson Education, 2da edición. 2000 2. HIBBELER, R.C. Mecánica de Materiales. México: Printice Hall, 3ra edicion 1997 3. BEDFORD, ANTHONY; LIECHTI, KENNETH. Mecánica de Materiales. Bogotá: Printice Hall, Primera Edición 2002. 4. GERE. JAMES M. Mecánica de Materiales. México: Thomson Learning, 5ta ed. 2002 . 5. MOTT, ROBERT. Resistencia de Materiales Aplicada. México: Prentice – Hall Hispanoamericana, S.A. Tercera Edición 1996 6. ASSIMALI, ASLAM. Análisis Estructural. México: Thomson Learning, 2da ed. 2001. 7. M.F.SPOTSS & T.E.SHOUP. Elementos de Máquinas, 7ma ed.,México. Printice Hall.1998
CAPITULO II
VIGAS DE GRAN CURVATURA
25. La siguiente viga curva está compuesta del tramo AB de radio 2a y BC de radio a, en B existe una articulación donde se aplica una fuerza externa P. considerando solo los efectos de flexión determinar el desplazamiento vertical del punto B.
Figura P 25 Solución: La viga es hiperestática de primer grado, como carga redundante se considerará el momento de empotramiento en A. Por equilibrio de fuerzas y momentos determinamos las fuerzas y momentos de reacción en los apoyos,
Resolviendo se obtiene:
Ahora determinamos las funciones de momento interno para los tramos: Tramo C-B
Tramo B-A:
Introduciendo en la fórmula de Castigliano:
Una vez determinada la incógnita superabundante podemos calcular el desplazamiento del punto B
26. Un anillo partido tiene las dimensiones y sección transversal que se muestran en la figura. Determine: a) La carga máxima P que puede aplicarse al anillo, si los esfuerzos normales no deben exceder de 80 MPa en tensión y 120 MPa en compresión. b) En cuanto disminuye el diámetro vertical exterior del anillo cuando se aplica la fuerza P determinado en el punto a).(P7.206)
Figura P 26 Solución: a) Determinación del radio de curvatura del baricentro:
Cálculo del eje neutro
Cálculo de esfuerzos:
Para: Luego la máxima carga es de 280 kN b) Cálculo del cambio de diámetro
27. Para el anillo partido y la carga mostrada, halle el esfuerzo en: a) El punto A, b) el punto B. (P4.205BJ)
Figura P 27 Solución: Llevamos La carga P y el momento Mal centroide de la sección transversal donde está ubicado los puntos A y B. P = - 2500 N M = PR = - 32.5 x 2500 = - 81250 N.mm Cálculo del radio de curvatura del centoide R y el radio de curvatura del eje neutro rn: R = r1 + = 20 +12,5 = 32,5 A = 25 x 14 = 350 mm2
Cálculo de los esfuerzos:
Para r1 = 20 :
Para r2 = 45
28. El anillo discontinuo de la figura tiene un radio interior r1 = 0,8 pulg. Y una sección circular d = 0,6 pulg. Sabiendo que las fuerzas de 120 lb. Están aplicadas en el centroide de la sección transversal, halle el esfuerzo en los puntos A y B. (P4.188BJ)
Figura P 28 Solución
Llevamos La carga P y el momento Mal centroide de la sección transversal donde está ubicado los puntos A y B. P = 120 lb M = PR =2,2P = 264 lb.pulg Cálculo del radio de curvatura del centoide R y el radio de curvatura del eje neutro rn: R = r1 + = 0,8 +0,3 = 1,1 pulg. A = = 0,2827 pulg2 Pulg. Cálculo de los esfuerzos:
Para r = r1 = 0,8 :
Para r = r2 = 1,4 :
29. Para el gancho mostrado, halle el mayor esfuerzo en la sección a-a cuando b1 = 35 mm y b2 = 25 mm. (P4.190BJ).
Solución: Llevamos La carga P y el momento Mal centroide de la sección transversal donde está ubicado los puntos A y B. P = 10 k N M = PR = 10R N.mm Cálculo del radio de curvatura del centoide R y el radio de curvatura del eje neutro rn:
Cálculo de los esfuerzos:
Para r = r1 = 40 :
Para r = r2 = 100
30. Sabiendo que en el medio anillo mostrado h = 30 mm, halle los esfuerzos en los puntos A y B. (P4.192BJ)
Figura P 30 Solución: El área de la sección transversal es circular A = 25x30/2 = 375 mm2 R = r1 + = 20 +10 = 30 mm
Cálculo de los esfuerzos:
Para r1 = 20 :
Para r2 = 50
31. La porción curva de la barra mostrada tiene un radio interno de 0,3 pulg. La línea de acción de la fuerza de 60 lb. Está localizada a una distancia a del plano que contiene el centro de curvatura
de la barra. Halle el máximo esfuerzo de compresión admisible cuando: a) a = 0, b) a = 1,2 pulg.(P4.178BJ)
Figura P 31 Solución a) Llevamos La carga P y el momento M al centroide de la sección transversal donde está ubicado los puntos A y B. P = - 60 lb M = - PR = - 0,55P = -33 lb.pulg Cálculo del radio de curvatura del centoide R y el radio de curvatura del eje neutro rn: R = r1 + = 0,3 +0,25 = 0,55 pulg. A = 0,5x0,5 = 0,25pulg2
Cálculo de los esfuerzos:
Para r = r1 = 0,3 :
b) a = 1,2 pulg. Para r1 = 0,3 :
32. Un ganchote grúa tiene las dimensiones y sección transversal de que se muestra en la figura.Los esfuerzos admirables en el plano a-a son de 12 000 lb/pulg2 (T) y 16 000 lb/pulg2 ( C ). Determine la capacidad P del gancho. (P7-207)
Figura P 32 Cálculo del área, radio centroidal y radio del eje neutro de la sección crítica
Cálculo de la carga P
Para
Para
Por lo tanto tomamos P= 9782,6 lb
33. La viga curva es de acero (E = 200 GPa) que tiene un σy = 420 MPa. Determine la magnitud del momento Mx = My requerido para iniciar la fluencia en la viga curva, el ángulo de giro y los desplazamientos horizontal y vertical del extremo libre.(p9.16bo)
Figura P 33
Solución: Vamos a determinar el momento que origina la fluencia A = 30x60 = 1800 mm2 R = 30 +30 = 60 mm
Para r1 = 30
Cálculo de giros y desplazamientos vertical y horizontal. La fórmula general de la energía de deformación de la viga curva es:
Consideraremos únicamente los efectos del momento flector en el cálculo de giros y desplazamientos. Aplicando el teorema de Castigliano para el cálculo de giros
Mx = M N=0 Reemplazando estos valores en la fórmula anterior
Para calcular los desplazamientos del extremo libre colocamos las cargas ficticias V y Q en dirección de los desplazamientos vertical y horizontal respectivamente, luego determinamos el momento interno respecto de una sección genérica en función del momento externo y las cargas ficticias hasta hallar las correspondientes derivadas. Una vez calculadas las derivadas hacemos que las cargas ficticias sean nulos en la función momento interno, posteriormente integramos las fórmulas de desplazamientos
N = V senφ + V = V cos φ Una vez derivado, las funciones quedan en la siguiente forma.
Reemplazando valores
Cálculo del desplazamiento horizontal:
Reemplazando valores
34. Un elemento de máquina tiene sección en T orientado como se muestra.. si M = 2 500 N.m y suponiendo que una restricción en D (no dibujado) limita el desplazamiento vertical del mismo y en AB está empotrado, hallar los esfuerzos normales en los puntos A y B así como el esfuerzo radial en la sección del radio geométrico.(P4.182BJ)
Figura P 34 Solución: Cálculo del área, radio geométrico y radio de curvatura neutra A = 60x20 + 50x20 = 2200 mm2
R = 40 + = 65,91
= = 60,35
Como se trata de un problema hiperestático de primer grado consideramos liberado la restricción en D y en su lugar aplicamos la fuerza de restricción D. Calculamos la fuerza D con la condición del desplazamiento vertical nulo del punto D Las funciones de momento y fuerza axial en los tramos recto y curvo de la viga son: En el tramo recto DE Mx = -M + D.x En el tramo curvo EB Mx = -M + D.l + DR sen φ N = D.sen φ
Reemplazando y desarrollando : D =20165,3 N. En la Sección . Mx =-M+D N = D =20165,3N Cálculo de los esfuerzos en los puntos A y B.
Para Para La fórmula del esfuerzo radial es:
Donde
Reemplazando estos valores en la fórmula del esfuerzo radial para r = R obtenemos el correspondiente valor:
35. Determinar el máximo valor de la carga P que puede soportar el elemento de una maquina con F.S = 4 si el diseño se basa en el esfuerzo ultimo cuyo valor es (P9.11BO)
Figura P 35 Solución: Cálculo del área, radio geométrico y radio de curvatura neutra A = 180x60 + 2x60x30 = 21600 Am = 110 ln = 90 R = 70+ =160 = =132,05 Cálculo de los esfuerzos principales M=300P+ PR senφ = 460P PR cos φ cos φ = 0 φ =
Para r1 = 70
Para r2 = 310
Luego tomamos el menor valor de P = 111 k N
36. Una viga curva semicircular , como la que se muestra en la figura P5-15, tiene un od=150 mm, un id =100 mm y t = 25 mm. Para un par de carga F = 14 KN aplicado a lo largo del diámetro, encuentre el factor de seguridad de las fibras interiores y exteriores: a) Si la viga es un material dúctil de MPa b) Si la viga es un material fundido de Sut = 420 MPa y Suc = 1 200 MPa. (p5-37n)
Figura P 36 Solución: A = 25x25 = 625 R = 62,5
Cálculo del factor de seguridad:
Para r1 = 50 y F = 14000
Para r2 = 75 y F = 14000
a). Para: NA = N2 = b). Para: y N1 =
N2=
REFERENCIALES
CAPITULO II TEXTOS: 1. BORESI, ARTHUR P.; SCHMIDT, RICHARD J.; SIDEBOTTOM, OMAR M. Advanced Mechanics of Materials. New York: John Wiley & Sons, INC. Fifth Edition. 1993. 2. FEODOSIEV, V. C. Resistencia de Materiales. Moscú: Ed. MIR , 2da edición. 1980. 3. PISARENKO, G. S.; YÁKOVLEV, a. P.; MATVÉEV, V. V. Manual de Resistencia de Materiales. Moscú: Editorial MIR, Primera edición 1979 4. MOTT, ROBERT. Resistencia de Materiales Aplicada. México: Prentice – Hall Hispanoamericana, S.A. Tercera Edición 1996 5. M.F.SPOTSS & T.E.SHOUP. Elementos de Máquinas, 7ma ed.,México. Printice Hall.1998
CAPITULO III
PANDEO DE COLUMNAS
37. Una columna de 2,5 m de longitud efectiva está hecha de medio perfil W200x52 de acero laminado. Usando las propiedades dadas para la sección transversal, halle el factor de seguridad si la carga céntrica admisible es de 1150 kN use E = 200 GPa. (P11.30 BJ)
Figura p 37 Solución: De la tabla obtenemos los valores del perfil W200x52: A = 3385 mm2 Ix = 11.557x106 mm4 Iy = 3,865x106 mm4 ry = 51,175 mm
Luego FS = 2.43 38. Una columna de longitud efectiva está hecha soldando dos canales de acero laminado C 6x10,5. con E = 29x106 psi, halle para cada arreglo mostrado la carga céntrica admisible si se requiere un factor de seguridad de 2,8. (P11.32BJ)
SOLUCION: Las características geométricas del perfil C6x10,5 son: A = 3.09 pulg2. bf =2.034 Ix = 15.2 pulg4, =0.500 Iy = 3,41 pulg4 ry = 0.876 pulg. a) para el arreglo ][ mostrado las características geométricas de la sección compuesta serán:: A = 6.18 pulg2
b) para el arreglo [ ] mostrado las características geométricas de la sección compuesta serán :A = 3,38 pulg2
39. La columna ACB tiene sección transversal rectangular uniforme y esta apoyada en el plano xz en su punto medio C .a) Determine la relación b/d para la cual el factor de seguridad es el mismo con respecto a pandeo a los planos xz y yz. b) Usando la relación encontrada en la parte a, diseñe la sección transversal de la columna para la cual el factor de seguridad será 3.0, cuando P = 4400 N, L = 1 m y E = 200 GPa. (11.46BJ)
Solución: a) En el plano xz:
En el plano yz:
Como el pandeo en ambos planos debe tener el mismo factor de seguridad, igualamos ambas relaciones y determinamos que d/b =2 b) cálculo de las dimensiones de la sección transversal:
Luego: d = 28.3 mm
40. La columna AB soporta una carga céntrica P con magnitud de 15 Kips. Los cables BC y BD están tensados y evitan el movimiento del punto B en el plano xz. Usando la formula de Euler y un factor de seguridad de 2.2 y despreciando la tensión en los cables, calcule la máxima longitud admisible L. Use E = 29 .106 psi. (P11.48BJ)
SOLUCION: De la tabla del perfil W obtenemos los valores del perfil W 8x15 A = 4.44 pulg2 Ix = 48 pulg4 Sx = 11,8 pulg3 rx = 3,29 pulg. Iy = 3,41 pulg4 ry = 0.876 pulg. En el plano xz
En el plano yz
41. Se aplica una carga axial P a la barra de acero, AB que tiene 1.375 pulg. de diámetro, como se muestra. Cuando P =21 Kips, la deflexión horizontal del punto C es 0.03 pulg. E= 29 .106 psi, determine: a) la excentricidad e de la carga, b) el esfuerzo máximo en la barra. P(11,50BJ)
Solución:
Desarrollando obtenemos e = 0,04 “
42. Uniendo con pernos dos ángulos 4x3 x 1/4 pulg. se obtiene un elemento a compresión de 10 pies de longitud efectiva . Si σy = 36 Ksi y E = 29x106 psi , halle la carga céntrica admisible para el elemento. (P11.92BJ)
Solución: características del perfil L 4x3x1/4: A = 1,69 pulg 2 Ix =2.77 pulg4 Iy = 1,36 pulg4 = 0.736 pulg. Cálculo de las características geométricas de la sección compuesta: A = 3,38 pulg2
Luego la columna es corta
43. Una columna de 19.5 pies de longitud efectiva consta de un perfil de acero laminado W 12x 50. El acero tiene σy = 50 Ksi, σadm = 30 Ksi a flexión y E = 29 * 106 psi. Usando el método de interacción, halle la carga P admisible si la excentricidad es: a) ex = 1,0 pulg., ey = 0, b) ex = 0 , ey = 1.0 pulg. (P11.125BJ)
Solución: Características del perfil W12x50: A = 14,7 pulg 2 Ix =394 pulg4 Sx=64,7 rx = 5,18 Iy = 56,3 pulg4 Sy =13,9 ry= 1,96 pulg. Cálculo de esbeltez
Como λ > Cc entonces la columna es larga.
a) la excentricidad está en el eje x:
b) la excentricidad está en el eje y:
44. Una carga excéntrica P de magnitud 160 kN se aplica, como se muestra, al tubo AB hecho de una aleación de aluminio 6061 – T6. Por el método de interacción y con un esfuerzo admisible a flexión de 150 MPa , halle la máxima excentricidad e admisible. (P11.128BJ) A = 3200 mm 2 Ix =2826666,67 mm4 Iy = 4106666,67 mm4
Solución: Cálculo de esbeltez
=( )=(139-0.868(50.47)) = 95,19 MPa Aplicando el método de interacción
45. Un elemento a compresión de sesión transversal rectangular tiene una longitud efectiva de 36 pulg. y esta hecho de aleación de aluminio 2014-T6, posee un esfuerzo admisible a flexión de 24 ksi. Use el método de interacción para hallar la mínima dimensión d utilizable cuando e = 0.4 Pulg. (P11.144BJ)
Solución: Cálculo de esbeltez
Con este valor vamos a las fórmulas de 2014-T6 y vemos que la fórmula de σad es: =( )=(30.7-0,23(54.43)) = 18.18 ksi Aplicando el método de interacción
46. Una columna de madera de sección rectangular tiene 8.2 pies de longitud efectiva y debe soportar una carga de 9 Kips, como se muestra. Usando el método del esfuerzo admisible, diseñe la columna de modo que un lado de su sección transversal sea el doble del otro. Suponga E = 18* 106 psi y un esfuerzo admisible de 1500 psi para compresión paralelo a la fibra. (P11.146BJ)
Solución:
Aplicando el método del esfuerzo admisible:
Resolviendo: b = 7.90 pulg. 47. Determine la carga máxima P que puede aplicarse a la columna de madera mostrada en la fig. si E = 12 GPa y el esfuerzo admisible para la compresión paralela al grano es de 9 MPa. Use el método del esfuerzo admisible. (P9.80R)
SOLUCIÓN: Determinación de la razón de esbeltez.
luego la fórmula de esfuerzo admisible correspondiente será:
Aplicando el método del esfuerzo admisible:
48. Dos ángulos de acero de 4 x 3 x 3/8 pulg. se sueldan para formar la columna AB cuyos extremos son: apoyado en A y empotrado en B. Se aplica una carga axial de magnitud P = 18 Kips esfuerzo admisible a flexión de 22 ksi. (P11.132BJ)
Solución: Datos del perfil L 4x3x A=2,48 pulg Sx = 1,46 pulg3 Sy = 0,866 pulg3 Cálculo del área y momento de inercia total A= 2(2,48) = 4,96 pulg 2 Ix = 2 Ix =2(3,96) = 7,92 pulg 4 Iy = 2 (Iy + Ix-2) =2 (1,92 + 2,48x (0,712)2) = 6,17315904 pulg 4 Cálculo de la esbeltez y esfuerzo admisible
Aplicando el método de interacción
49. Se construye una columna de 40 pies de longitud con 4 ángulos enlazados como muestra en la figura. Se supone que dos extremos se conectarán por medio de pasadores. Cada ángulo tiene un
área transversal A = 2.75 pulg2, momento de inercia Ixx = Iyy = 2, 22 pulg4 tenemos la distancia d entre los centroides C de los ángulos, de modo que la columna sea capaz de soportar una carga axial P = 50 klb sin pandearse. Desprecie el efecto de enlazamiento E = 2x103 ksi, σy = 36 ksi. (p13.15h)
El momento de inercia de la reacción compuesta es. Ixx = 4 = 8.88 + 2.75 d2 PCR =
50. Una columna de acero de 22 pies de longitud efectiva debe soportar una carga excéntrica de 36 Kips en un punto D sobre el eje x. Usando el método de interacción elija el perfil W de 12 pulg. de altura nominal que debe usarse E = 29 x 106 psi σy = 36 Ksi, σad = 22 Ksi a flexión. (11.148bj)
Solución: Seleccionamos un W12 x 58 y de la tabla obtenemos sus parámetros geométricos A = 17.06 ry = 2.51 rx = 21.1 Cálculo de esbeltez:
Cálculo de esfuerzo admisible: σadm = f.s. = Aplicando la formula de interacción
Ahora seleccionamos un W 12 x 40 A = 8.00 Z = 11 ry = 1.94 Cálculo de esbeltez:
Ahora seleccionamos el perfil W 12 x 36 A = 10.59 Z = 1.2 ry = 1.5
1,047
51. Un perfil de acero W 3690 x 147 se emplea como columna de 7 m de longitud efectiva para soportar un carril de una grúa viajera en una nave industrial que le transite una carga P. Determine la máxima carga Padm si además la columna soporta una carga de 400 kN procedente de la planta superior.
Solución: Determinación de los parámetros geométricos del perfil W 3690 x 147 A = 18800 mm2 Ix = 463 x 108 mm Sx = 2570 x 103 mm3 rx = 157 Sy = 904 x 103 mm3 ry = 94.3 Cálculo de esbeltez
= Cálculo de la carga P aplicando el método del esfuerzo admisible
P = 161,1
52. Se construye una columna de 40 pies de longitud con cuatro ángulos de acero A-36 unidos por celosía como muestra en la fig. sus extremos se pueden considerar empotrados. Cada ángulo tiene una sección transversal A =2,75 pulg2 y momentos de inercia Ixx= Iyy =2,22 pulg4. Determinar la distancia d entre las centroides C de los ángulos de modo que la columna pueda soportar una carga axial P=350 klb sin pandearse. Desprecie el efecto de la celosía. E=29x103 ksi . =36 ksi (p13.15h)
El momento de inercia de la sección compuesta es: Ixx = 4
53. Se aplica una carga vertical P=11kips al punto medio de uno de los bordes de reacción cuadrada del elemento o compresión de acero AB, libre en A y fijo en B. Si E =29x106psi y , usando el método del esfuerzo admisible, halle la máxima dimensión admisible d .(p11.138bj)
Solución: Determinación de la esbeltez A=d2
=
Aplicando la formula de esfuerzo admisible.
41,3
54. un tubo rectangular de acero debe reportar una carga de 60 KN con excentricidad e=25 mm. El espesos de los tubos disponibles va en incremento de 1,5 mm desde 6 mm hasta 12 mm. Por el método de interacción halle el tubo mas liviano que puede ser utilizado . E=200 GPa, 250 MPa y el esfuerzo admisible a flexión es 150 MPa.(P11.140bj).
Solución: Para t = 6 mm A = 78x130-118x66=2352 mm2
. . Luego, la columna es larga
Aplicando la formula de interacción.
0,80 ≤ 1 Para t =7,5 mm
Aplicando el método de interacción:
0,68 Se elige el mas liviano t = 6 mm
55. Un tubo de acero (E = 200 GPa) de longitud L = 3,5 m está empotrado en la base y articulado en la cima. Los diámetros interior y exterior son 75 mm y 90 mm respectivamente. Se aplica una carga de compresión P con una relación de excentricidad estimada ec/r2 = 0,5. (a) Si la carga P = 100 k N, ¿cuál es el esfuerzo máximo σmax en eltubo? (b) Determinar la carga admisible Pad si el factor de seguridad con respecto a la fluencia del material es F.S = 2,5. (suponer σy = 250 MPa.) Solución: Forma exacta. a) Cálculo de σmax:
b) Cálculo de la carga admisible Pad:
mediante la prueba y error determinamos la carga crítica Pcr = 243500 N que origina σad
Forma aproximada: a) Cálculo de σmax: y
b) Cálculo de la carga admisible Pad:
REFERENCIALES
CAPITULO III
TEXTOS: BIBLIOGRAFIA 1. DEUTCHMAN, AARON D.; MICHELS, W.; WILSON CH. E. Diseño de Maquinas. México: CECSA, 9na Reimpresión 1999. 1 POPOV, EGOR P. Mecánica de Sólidos. México: Pearson Education, 2da edición. 2000 2 RILEY, WILLIAM E.; STURGES, LEROY D,; MORRIS, DON H. Mecánica de Materiales. México: Limusa Wiley, 1ra edición 2000 3 HIBBELER, R.C. Mecánica de Materiales. México: Printice Hall, 3ra edicion 1997 4 BEDFORD, ANTHONY; LIECHTI, KENNETH. Mecánica de Materiales. Bogotá: Printice Hall, Primera Edición 2002. 5 M.F.SPOTSS & T.E.SHOUP. Elementos de Máquinas, 7ma 7 ma ed.,México. Printice Hall.1998
CAPITULO IV
TEORIA DE ROTURA DE MATERIALES
56. Las dos poleas montadas en el eje se cargan como se muestra. Si los cojinetes A y B ejercen sólo fuerzas verticales contra el eje, determine el diámetro requerido del eje al 1/8 pulgada más próximo mediante la teoría de la energía de distorsión máxima,
Cálculo de las fuerzas de reacción: - 420 x 5 – 5 – 420 x 2 = 0 A= - 420 – 420 – 420 + B = 0 B = 840 – 840 – 490 = 350 La sección crítica será la C donde el momento flector es mayor, luego es diseño será para esa sección MC = 350x2x12 = 8400 lb.pulg. TC = 180x0,5x12 = 1080 lb.pulg.
Aplicando el criterio de máximo trabajo de distorsión
56. La fuerza 4 KN es paralela al eje x y la fuerza Q paralela al eje z, Si halle el diámetro mínimo admisible del eje sólido AD. (p7.158bj)
solución. Cálculo de la fuerza Q y las reacciones en los apoyos ΣT = 0 .4x90-60Q .4x90-60Q = 0 Plano x y ΣMA=0
ΣFX = 0 AX + DX - 4 =0 X = 4 - 2,25 = 1,75 AX = 1,75 kN Plano yz ΣMA =0 100 Q -320 Q -320 D3 = 0 3 = kN ΣF3 = 0 - A3 + Q - D3 = 0 A3 = 6 – 6 – 1,875 = 4,125 kN Con los valores obtenidos trazamos los diagramas de momentos flectores en los planos correspondientes y junto con el diagrama de momento torsor determinamos la sección transversal mas crítica que esta entre B y C. MB = = 448,09 TD = 360 kN. MC = = 410,04 TC = 360 kN. En este caso MB > MC luego la sección crítica será la B Cálculo de los esfuerzos en el punto crítico de la sección B.
Aplicando Von Mises.
S= 4541,99 = 57. El eje sólido AB y los engranajes mostrados se usan para transmitir 15 hp del motor M a la maquina conectada del eje sólido CDE. CDE. Si el motor gira a 360 rpm y =7,5 ksi, halle el mínimo diámetro admisible: a) del eje AB, b) del eje CDE (p7.160bj). Solución.
P= 15 hp x N =360 rpm x = ω =7,5 ksi Cálculo del torque del motor (eje AB) y la fuerza en el engranaje B P = T.ω T = = = 2626 lb.pulg. T = F.r → F = = 656,5 lb. Cálculo de los esfuerzos en la sección A :
= a) Cálculo del diámetro del eje AB. Aplicando el criterio de máximo trabajo de distorsión:
S=0,30323 = b) Cálculo del torque, los esfuerzos y el diámetro del eje CDE T1 = F. r1 = 656,5x2.5 =1641,3 lb. Pulg M1 = F. l1 = 656,5 x 3 = 1959,5 lb.pulg. Aplicando el criterio de máximo trabajo de distorsión:
S=0,16138 =
58. Una flecha de acero de 4 pulg. de diámetro está apoyada en rodamientos flexibles en sus extremos. dos poleas de 24 pulg. de diámetro cada una están unidas a la flecha. Las poleas sustentan bandas que están sujetas a cargas, como se muestra en la figura. El acero tiene un limite de proporcionalidades de 40klb/pulg2 a tensión y a comprensión y de 23 klb/pulg2 a cortante. Si
se especifica un factor de seguridad de 2.5 con respecto a la falla por fluencia, determine la tención máxima admisible P en la banda de acuerdo con: a. La teoría de falla del esfuerzo cortante máximo. b. La teoría de falla de la energía de distorsión máxima
Solución. Cálculo de las fuerzas internas en las secciones críticas (ubicación de las poleas) V = 4P M = 160P T = 24P Cálculo de los esfuerzos
a) Aplicando el criterio de Tresca
b) Aplicando el criterio de Von Mises
59. La estructura mostrada en la figura P19-94 está esta sujeta a una carga P de 100 kN. El material tiene un limite proporcionalidad de 220 MPa a tensión y a compresión . Determine el factor de seguridad con respecto a la falla por fluencia de acuerdo con: A: La teoría de falla del esfuerzo cortante máximo. B: La teoría de falla de la energía de distorsión máxima.
Solución: Cálculo del área y centroide de la sección transversal:
Cálculo del centroide de momento de inercia
Cálculo de fuerzas internas en el centroide de la sección crítica N = P = 100 kN M = 425 P = 42500 k N mm Cálculo de los esfuerzos máximos en la sección crítica
a) Aplicando el criterio de Tresca Como en los puntos críticos no existe el esfuerzo cortante obtendremos:
b) Aplicando el criterio de Von Mises Como en los puntos críticos no existe el esfuerzo cortante obtendremos
REFERENCIALES
CAPITULO IV
TEXTOS: BIBLIOGRAFIA 1. DEUTCHMAN, AARON D.; MICHELS, W.; WILSON CH. E. Diseño de Maquinas. México: CECSA, 9na Reimpresión 1999. 2. POPOV, EGOR P. Mecánica de Sólidos. México: Pearson Education, 2da edición. 2000
3. RILEY, WILLIAM E.; STURGES, LEROY D,; MORRIS, DON H. Mecánica de Materiales. México: Limusa Wiley, 1ra edición 2000 4. BEDFORD, ANTHONY; LIECHTI, KENNETH. Mecánica de Materiales. Bogotá: Printice Hall, Primera Edición 2002. 5. GERE. JAMES M. Mecánica de Materiales. México: Thomson Learning, 5ta ed. 2002 . 6. M.F.SPOTSS & T.E.SHOUP. Elementos de Máquinas, 7ma ed.,México. Printice Hall.1998
CAPITULO V
CILINDROS DE PARED GRUESA
60. Un cilindro cerrado tiene un diámetro interno de 20 mm. y diámetro externo de 40 mm. Esta sujeto a una presión externa P2 = 40 MPa y presión interna de P1 = 100 MPa. Determinar el esfuerzo axial y circunferencial en el cilindro interno. Solución: La fórmula de los esfuerzos circunferencial, radial y axial son respectivamente:
MPa MPa
61. Un tubo compuesto de acero (E = 200 GPa) se ha construido introduciendo un tubo de acero de diámetro exterior igual a 200 mm y diámetro interior 100 mm dentro de una camisa del mismo material con diámetro exterior igual a 300 mm y con una interferencia radial ∆ = 0.075 mm, determine a) La presión de contacto, b) los máximos esfuerzos en el tubo y la camisa, c) Los máximos esfuerzos en el tubo y en la camisa cuando actúa una presión interna de 200 MPa. Solución: a) de la fórmula de interferencia determinamos la Presión de Contacto
b) Cálculo de máximos esfuerzos en el tubo y la camisa: De la fórmula general de esfuerzos radiales y transversales tenemos:
Los esfuerzos máximos se presentan en la pared interna de cada tubo: Para el cilindro interno : P1 = 0 y r = r1
-
– (-46,88) = 46,88 MPa
-Para el Cilindro Externo (camisa): P2 = 0 y r = r1
-
– (-17,58) = 65, 288 MPa
c) esfuerzos máximos cuando en el cilindro compuesto actúa la presión interna de 200 MPa. - En el cilindro interior:
-
– (-200) = 426,56 MPa
- En el cilindro exterior (camisa):
Camisa
62. Un cilindro compuesto de aleación de aluminio (E =72 GP a, υ = 0.33) esta hecho de un cilindro interno de diámetros interno y externo de 90 y 120 +∆ mm, respectivamente y un cilindro externo con diámetros interior y exterior de 120 y 240 mm respectivamente. El cilindro compuesto esta sujeto a la presión interna de 160 MPa. Cual debe ser el diámetro externo del cilindro interno si el esfuerzo circunferencial al interior del cilindro es igual a 130 MPa.
La fórmula de pk en función de la interferencia para cilindro compuesto es:
Despejando ∆ queda
63. Dos cilindros son ensamblados por deslizamiento para formar un cilindro compuesto abierto. Ambos cilindros están fabricados de acero con σy = 700 MPa. El cilindro interior tiene los diámetros interno y externo de 100 mm y 150 +∆ mm respectivamente. El cilindro exterior tiene los diámetros interior y exterior de 150 mm y 300 mm respectivamente. Determinar: a) la presión de apriete pk y la máxima presión interna pi que puede ser aplicado al cilindro si ha sido diseñado con un factor de seguridad de 1,85 para la simultanea iniciación de fluencia en el radio interno de los cilindros. Use el criterio de falla de máximo esfuerzo cortante, b) el diámetro externo del cilindro interior requerido por el diseño. E = 200 GPa y υ=0,29.(p11.17bo): Solución: El valor del esfuerzo admisible en la pared interna del cilindro interno es: (1) Por condición del problema en la pared interna del cilindro externo el esfuerzo admisible debe ser igual (2) El esfuerzo equivalente en la pared interna del cilindro interno es:
(3) El esfuerzo equivalente en la pared interna del cilindro externo es: (4) Igualando ambas expresiones y reagrupando se tiene (5) Reemplazando valores
Igualando (1) y (3) y reemplazando el valor de p = 5,0133.pk
p = 5,0133 pk = 246,998 ≈247 MPa cálculo del diámetro externo del cilindro interno
De = 2(75 + ∆) = 150,038 mm.
REFERENCIALES
CAPITULO V
TEXTOS. BIBLIOGRAFIA 1. BORESI, ARTHUR P.; SCHMIDT, RICHARD J.; SIDEBOTTOM, OMAR M. Advanced Mechanics of Materials. New York: John Wiley & Sons, INC. Fifth Edition. 1993. 2. FEODOSIEV, V. C. Resistencia de Materiales. Moscú: Ed. MIR , 2da edición. 1980. 3. MOTT, ROBERT. Resistencia de Materiales Aplicada. México: Prentice – Hall Hispanoamericana, S.A. Tercera Edición 1996 4. M.F.SPOTSS & T.E.SHOUP. Elementos de Máquinas, 7ma ed.,México. Printice Hall.1998
CAPITULO VI
CONCENTRACION DE ESFUERZOS
64, La parte que se muestra en la figura está hecho de acero AISI 1040 HR. Se le someterá a una fuerza de 5 000 lb que se aplica mediante dos pernos de 0,25 pulg de diámetro en los orificios que se encuentran en cada extremo. Calcule el factor de diseño resultante. (p5.40m)
Solución:: De la tabla de materiales de acero para AISI 1040 HR el σmax = 91 ksi y σad = 58 ksi. La zona de concentración de esfuerzos son dos
Cálculo del factor de seguridad en la zona de la entalla.
El radio de la muesca se debe incrementar para disminuir el esfuerzo admisible. Cálculo en el orificio:
De aquí se deduce que el diseño debe ser mejorado.
65. Para la placa lisa en tensión de la figura, calcule el esfuerzo en cada orificio, suponiendo que los orificios están separados lo suficiente y que sus efectos no interactúan. (p49m)
Solución:
Para el orificio izquierdo:
Para el orificio central
Para el orificio derecho
66. La figura muestra el vástago de una válvula de un motor que se ve sometido a una carga ax ial por tracción que aplica el resorte de la válvula. Para una de 1,25 kN, calcular el esfuerzo máximo bajo el hombro.(p47m)
Solución: Cálculo del coeficiente teórico de concentración de esfuerzo:
Cálculo del esfuerzo máximo:
67. Una flecha circular maciza de 150 mm de diámetro se maquina a un diámetro de 75 mm a lo largo de una parte de una flecha . Si en el punto de transición de los dos diámetros el radio del filete es de 12 mm , ¿Qué esfuerzos cortante máximo se desarrolla cuando se aplica un par de torsión de 2700 N.m a la flecha? ¿Cuál será el esfuerzo cortante máximo si el radio del filete se reduce a 3 mm?.(p6.12m) Solución: Determinación de kt
Determinación del esfuerzo máximo:
Cuando el radio del filete se reduce a 3 mm:
El esfuerzo máximo se incrementa.
68. Encuentre el radio requerido de un filete para la unión de 6 in de diámetro contra flecha de 4 in de diámetro si el conjunto transmite 110 hp a 100 rpm y el esfuerzo cortante máximo esta limitado a 8000 psi. Solución: Determinación del torque y esfuerzo nominal:
Determinación del radio del filete:
69. La viga de la figura está hecho de material frágil que tiene resistencia última σu 450 MPa. Si h = 125 mm y ρ = 15 mm, determine la magnitud de la carga P basado en un factor de seguridad SF = 3,50. asuma que el material es linealmente elástico hasta la última resistencia.
Solución: Determinación de del coeficiente teórico de concentración de esfuerzos:
70. Una viga de sección rectangular es de aleación de aluminio (E=72GPa). Los strain gages son utilizados para determinar el factor de concentración de refuerzos en la entalla un strain gage es colocado en la parte inferior de la muesca y otro a una distancia del mismo. Las lecturas de los strain gages en la muesca y a una distancia de ella son respectivamente 0.00250 y 0,00100. determinar la magnitud de P y el coeficiente teórico de concentración de esfuerzos. (P14.17BO)
Solución: Cálculo de los esfuerzos en la entalla y zona cercana :
71. La barra redonda mostrada en la figura 2-65 está montada como una viga en voladizo y tiene una ranura como se indica. El material tiene =60,000Psi y Nfs=2,5. (a) ¿Qué puntos en la barra son críticos por esfuerzos? (b) En cada punto crítico, determine si la parte fallara según la teoría de la energía de distorsión máxima de falla. (p2.58s)
Solución: a) Primero analizaremos en la sección transversal con concentración de esfuerzos, donde los coeficientes de concentración de esfuerzos se obtendrá de las gráficas a partir de las relaciones:
Entrando con las relaciones D/d y r/d en las correspondientes tablas obtenemos los siguientes coeficientes de concentración de esfuerzos. Ktracción = 2,05 , Ktorsión = 1,4, Kflexión = 1,75
El esfuerzo normal calculamos aplicando superposición.
El esfuerzo cortante es debido a torsión
Ahora calculamos en la sección del empotramiento
Por los valores obtenidos, se ve que la sección crítica es aquella donde está ubicada la entalla (concentrador de esfuerzos).
b) Para que la sección resista, se debe cumplir con los criterios de rotura. Analizamos con el criterio de Von Mises.
Primero analizamos en la zona de la entalla. (37799,3)2 +3x(13926,06)2 = 2010 592 522 > 576 000 000 Como se observa, esta zona no resiste las cargas aplicadas Ahora analizamos la zona del empotramiento (16552,11)2 + 3(10185,92)2 585 231 244,2 > 576 000 000 Tampoco esta zona resistiría las cargas aplicadas si la viga trabajase sin tener la entalla en su punto medio.
REFERENCIALES
CAPITULO VI TEXTOS. 1. BORESI, ARTHUR P.; SCHMIDT, RICHARD J.; SIDEBOTTOM, OMAR M. Advanced Mechanics of Materials. New York: John Wiley & Sons, INC. Fifth Edition. 1993. 2. DEUTCHMAN, AARON D.; MICHELS, W.; WILSON CH. E. Diseño de Maquinas. México: CECSA, 9na Reimpresión 1999. 3. RILEY, WILLIAM E.; STURGES, LEROY D,; MORRIS, DON H. Mecánica de Materiales. México: Limusa Wiley, 1ra edición 2000 4. NORTON, ROBERT L.(1999) Diseño de máquinas. México: Prentice Hall - Pearson , 1ra edición. 1999. 5. HIBBELER, R.C. Mecánica de Materiales. México: Printice Hall, 3ra edicion 1997 6. M.F.SPOTSS & T.E.SHOUP. Elementos de Máquinas, 7ma ed.,México. Printice Hall.1998
CAPITULO VII
FATIGA DE MATERIALES
72. En la figura el resorte de hojas es recto y no está sometido a esfuerzos cuando la leva y el eje se retiran. El material tiene un σult = 115000 psi, σyp = 98000 psi y σ-1 = 52000 psi. Las superficies del resorte están esmeriladas. Si la leva gira continuamente, encontrar el factor de seguridad para el resorte.(p45s)
El desplazamiento del extremo libre del voladizo se calcula por la fórmula: δ= Cálculo de los esfuerzos máximos y mínimos originados por los desplazamientos del extremo libre
Para δ = 0,5˝ → psi Para δ = 1,0˝ → = 40781,25 = =13593,75
Determinación del factor de seguridad:
N = =1,48
73. Cuando el motor de la figura está girando, se observa que el extremo de la viga tiene una vibración total hacia arriba y hacia debajo de 0,25 pulgadas. La viga es de acero con σult = 92 000 psi, σyp = 79 000 psi y σe = 26 000 psi. Encuentre el factor de seguridad en la pared donde el factor de concentración de esfuerzos es de 1,5.
Solución: Cálculo de los esfuerzos δ=
psi k
74. Un material en la condición laminada tiene últ=110,000Psi t yp=85,000 Psi. El factor de concentración de esfuerzos es de 1.2;q=1.0;factor de seguridad =1,75. (a) Encuentre el área transversal requerida si la parte soporta una carga permanente de tensión de 20,000 lb. (b) Encuentre el área requerida si la carga varia continuamente entre 19,000y 21,000 lb y el limite de fatiga se determina con la ayuda de la figura 2-26.
(c) Encuentre el área si la carga varia continuamente entre 18,000 y 22,000 lb.(p2.61s) Solución:
Kx =1.2, q =1.0 y f.s =1.75 a) Para: P =20,000 lb = cte
b) Para: P variable continuamente de 19 000 a 20 000 lb.
q = ke = 1+q(kt -1)=1+1(1,2 -1) = 1,2.
A=0,450 pulg2 c) Para P variable continuamente de 18 000 hasta 22 000. PMin =18000 PMax =22000
A= 0,488pulg2.
75. La viga mostrada de ancho igual b y altura 2b está sometida a la acción de una leva en su punto medio y en la posición mostrada tiene una flecha de 2 mm. Usando el criterio de máximo esfuerzo cortante, determinar sus dimensiones tomando un F.S. = 2.5 a la fluencia. El material tiene E = 200 -
Solución: Cálculo de las fuerzas de deflexión:
Cálculo del coeficiente de concentración de esfuerzos kt entramos a la gráfica de concentración de esfuerzos correspondiente con las relaciones d/h y d/b
Cálculo de los esfuerzos máximo y mínimo:
Determinación de los esfuerzos medio y alterno
Determinación del esfuerzo equivalente
76. El eslabón que se ilustra en la figura se ve sometido a una fuerza de tracción que varía de 3,0 kN hasta 24,8 kN. Evalué el factor de diseño si el eslabón se fabrica de acero AISI 1040 CD.
Solución: De la tabla de materiales obtenemos para el acero AISI 1040 CD los esfuerzos máximo y de fluencia que son respectivamente σu = 100 ksi y σy = 88 ksi. Luego el esfuerzo de resistencia a la fatiga es σ-1= 0,5σu = 50 ksi. Cálculo de los esfuerzos :
Determinación del factor de concentración de esfuerzos:
Cálculo del factor de diseño:
Por lo tanto el eslabón no es seguro para las cargas indicadas.
77. Un seguidor de leva recíproco alimenta bolas esféricas una por una a partir de una canaleta o saeten. El seguidor se sostiene contra la leva mediante un resorte plano que se carga como un cantilever. cuando el seguidor se encuentra mas lejos hacia la izquierda, el resorte se reflexiona a partir de su posición libre (recta) en una cantidad ymin = 3 mm. Cuando el seguidor se encuentra mas lejos hacia la derecha el resorte se reflexiona ymax = 8 mm. Mientras la leva sigue girando, en el resorte observa carga cíclica entre los valores mínimo y máximo. Si el resorte tiene un espesor t y un ancho b= 7,5t (t en mm) y L = 65mm, determine usando el criterio de Von Mises las dimensiones del resorte si el material es acero con E = 200GPa, y . Use FS = 1,5
Solución: Cálculo del desplazamiento del extremo libre de la viga aplicando el método del área de momentos
REFERENCIALES
CAPITULO VII
TEXTOS:
BIBLIOGRAFIA. 1. BORESI, ARTHUR P.; SCHMIDT, RICHARD J.; SIDEBOTTOM, OMAR M. Advanced Mechanics of Materials. New York: John Wiley & Sons, INC. Fifth Edition. 1993. 2. DEUTCHMAN, AARON D.; MICHELS, W.; WILSON CH. E. Diseño de Maquinas. México: CECSA, 9na Reimpresión 1999. 3. NORTON, ROBERT L.(1999) Diseño de máquinas. México: Prentice Hall - Pearson , 1ra edición. 1999. 4. BEDFORD, ANTHONY; LIECHTI, KENNETH. Mecánica de Materiales. Bogotá: Printice Hall, Primera Edición 2002. 5. M.F.SPOTSS & T.E.SHOUP. Elementos de Máquinas, 7ma ed.,México. Printice Hall.1998
MATERIALES Y METODOS
La técnica utilizada es la recopilación de datos de diferentes textos cuando se tiene planteado el problema de estudio de acuerdo al contenido de los capítulos. Es decir que se tienen los objetivos y cuando se evalúa su relevancia y factibilidad, el paso siguiente es la sustentación teórica , que comprende dos etapas a seguir.
La revisión de la literatura que consiste en detectar, obtener y consultar la bibliografía y otros materiales de interés para los propósitos del estudio, así como extraer y recopilar la información
relevante y necesaria que corresponda a los temas a estudiar, analizando a cada una de las actividades que se realizan como parte de la revisión de la literatura técnica.
Desarrollo de la parte de Problemas. Para el desarrollo de esta parte, se revisa la literatura, analiza y discierne sobre si la teoría existente y el análisis anterior es una respuesta a la interrogación o está respondiendo en forma parcial y la existencia de una teoría completamente desarrollada con abundante evidencia empírica. La teoría debe ser lógicamente consistente, es decir la evidencia empírica se refiere a los datos de la realidad que apoya o dan testimonio de una o varias afirmaciones.
Teniendo en cuenta estas consideraciones se ha desarrollado este libro de Problemas de Resistencia de Materiales Avanzado..
RESULTADOS
Los resultados obtenidos en este trabajo de investigación se consideran satisfactorios porque se cumple con el objetivo deseado de desarrollar los problemas todos los capítulos del Syllabus de Resistencia de Materiales II en un único libro, por cuanto anteriormente estaba disperso en diferentes literaturas técnicas, por lo que será de mucha utilidad para el proceso de enseñanza aprendizaje en el tiempo mas breve.
La realidad del País exige un proyecto de industrialización inmediata para salir del subdesarrollo y la dependencia tecnológica. Para esto se necesita personal técnico bien capacitado e incentivado y el área metal mecánica juega un papel muy importante en la instalación de fábricas , mantenimiento y operación de las mismas, por la que el dominio de la teoría de Mecánica de Materiales es vital para el ingeniero Mecánico. Ese objetivo se trata de cumplir con este libro.
DISCUSION
Dada la abundante información existente de algunos temas, escaso en ot ros y la dispersión de los mismos sobre los contenidos del Syllabus de Resistencia de Materiales II me ha obligado a realizar este trabajo de investigación, con el propósito de reunir las informaciones más relevantes y significativas en un libro de problemas de la especialidad. Los contenidos del libro de Problemas de Resistencia de Materiales Avanzado son importantes para el área de diseño, mantenimiento, valuación fundamentalmente para el sector metal mecánico y la industria en general cuyas instalaciones y equipos son de origen mecánico donde es necesario evaluar y resolver problemas en forma cuantitativa.
BIBLIOGRAFIA
1. BORESI, ARTHUR P.; SCHMIDT, RICHARD J.; SIDEBOTTOM, OMAR M. Advanced Mechanics of Materials. New York: John Wiley & Sons, INC. Fifth Edition. 1993. 2. DEUTCHMAN, AARON D.; MICHELS, W.; WILSON CH. E. Diseño de Maquinas. México: CECSA, 9na Reimpresión 1999. 3. POPOV, EGOR P. Mecánica de Sólidos. México: Pearson Education, 2da edición. 2000 4. RILEY, WILLIAM E.; STURGES, LEROY D,; MORRIS, DON H. Mecánica de Materiales. México: Limusa Wiley, 1ra edición 2000 5. NORTON, ROBERT L.(1999) Diseño de máquinas. México: Prentice Hall - Pearson , 1ra edición. 1999. 6. HIBBELER, R.C. Mecánica de Materiales. México: Printice Hall, 3ra edicion 1997 7. BEDFORD, ANTHONY; LIECHTI, KENNETH. Mecánica de Materiales. Bogotá: Printice Hall, Primera Edición 2002. 8. GERE. JAMES M. Mecánica de Materiales. México: Thomson Learning, 5ta ed. 2002 . 9. MIROLIUBOV, S. ENGALICHEV, N. SERGUIEVSKI. Problemas de Resistencia de Materiales. Moscú: Editorial MIR, Cuarta edición 1981. 10. MOTT, ROBERT. Resistencia de Materiales Aplicada. México: Prentice – Hall Hispanoamericana, S.A. Tercera Edición 1996 11. M.F.SPOTSS & T.E.SHOUP. Elementos de Máquinas, 7ma ed.,México. Printice Hall.1998 12. KASSIMALI, ASLAM. Análisis Estructural. México: Thomson Learning, 2da ed. 2001.
