VIGAS HIPERESTATICAS
1.1. DEFINICIÓN.
Una viga hiperestática es aquella que tiene más condiciones de contorno, es decir, movimientos impedidos, de los que son estrictamente necesarios para su estabilidad. Por ello su cálculo no se realiza con las ecuaciones de equilibrio, sino recurriendo a los esfuerzos y deformaciones a partir de las ecuaciones constitutivas del material. Son las vigas normalmente usadas en las estructuras de construcción, su uso es el más extendido.
La información sobre ellas es amplia y la puedes hallar en cualquier libro de introducción al cálculo de estructuras, de los que se usan en las escuelas de arquitectura e ingeniería.
La figura 1.1-1 y 1.1-2, muestra dos vigas de este tipo con un extremo simple "A" y el otro empotrado "B" bajo una carga puntual P.
A continuación se muestra la viga indicando las reacciones en los soportes. En el soporte "B" existe sólo reacción vertical puesto que el rodillo no impide el desplazamiento horizontal. En el empotramiento en "C" hay dos reacciones dado que este soporte no permite ni desplazamientos ni rotaciones.
Puesto que existen tres reacciones desconocidas; las fuerzas cortantes VB y VC y el momento flexionante MC y sólo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio; *M y *Fy, la viga es estáticamente indeterminada o hiperestática pues no es posible conocer las tres reacciones con solo dos ecuaciones. (Hay más incógnitas que ecuaciones).
Otro tipo de viga hiperestática es aquella que tiene más de dos soportes, y que se denomina Viga Continua, como la que se muestra en la figura 2.
Figura 2
Figura 3
Este caso corresponde a una barra mucho más compleja de analizar puesto que ahora existen cinco reacciones externas de soporte; las fuerzas cortantes verticales y el momento flexionante en el empotramiento ubicado en "A".
Para la solución de estas vigas se requieren ecuaciones adicionales a las del equilibrio estático, un camino a seguir consiste en hacer el análisis de las deformaciones angulares o rotaciones de los nodos cuando las barras se flexionan (pandean), bajo el efecto de las cargas aplicadas. Este análisis se plantea más adelante.
Ejemplo: Viga de dos tramos con carga uniformemente repartida
1.2. INDETERMINACIÓN ESTATICA.
Se define como el número de acciones redundantes o exceso de reacciones internas y externas, que no es posible determinar por medio del equilibrio estático. Se puede decir que es la diferencia entre el número de incógnitas y ecuaciones disponibles de equilibrio estático. Por ejemplo la viga de la figura 1 tiene tres reacciones desconocidas y solo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio, la viga es indeterminada en grado 1:
Número de incógnitas = NI = 3
Ecuaciones de equilibrio = EE = 2
Grado de indeterminación = GI = NI - EE = 3 - 2 = 1
Viga de la figura 2:
NI = Reacciones verticales y momento en el empotramiento = 5
EE = Equil. Vertical y suma de momentos = 2
GI = 5 - 2 = 3
En ambos casos los GI representan el número de ecuaciones adicionales para su solución.
1.3. Concepto de vigas hiperestáticas por empotramiento
Ejemplo: Viga bi-empotrada con carga uniformemente repartida
Ejemplo: Viga bi-empotrada con carga puntual al centro
Ejemplo: Viga empotrada-apoyada con carga uniformemente repartida
Ejemplo: Viga de dos tramos con carga uniformemente repartida
METODOS PARA RESOLVER LAS VIGAS HIPERESTATICAS
2.1. METODO DE SUPERPOSICION
Como método alternativo para la evaluación de pendientes y ordenadas de la elástica se pueden utilizar los resultados de algunos tipos sencillos de cargas, para obtener por suma de efectos, las soluciones correspondientes a cargas más complicadas. Este procedimiento llamado superposición, determina la pendiente y de flexión en un punto mediante la suma de las pendientes o deflexiones producidas en ese mismo punto, por cada una de las cargas cuando actúan por separado (Singer y Pytel, 1982).
A continuación enumeramos los pasos a seguir con este método:
a) Seleccionamos tantas reacciones redundantes como grado de indeterminación tenga la viga, tratando siempre que la viga primaria sea estable y presente estados de carga contenidos en las tablas de superposición.
b) Asumimos las reacciones anteriores como cargas externas.
c) Se plantea un total de casos de carga o sub-problemas equivalente al número de cargas externas más las reacciones escogidas como redundantes.
d) Se asocia un caso de deformación, con cada reacción redundante, es así como una reacción tipo "fuerza" se corresponde con una deformación tipo "flecha o deflexión", mientras que una reacción tipo "momento" se asocia con una deformación tipo "giro". Estas deformaciones deben ocurrir en el mismo punto de aplicación de las reacciones redundantes.
e) Se plantean tantas ecuaciones de deformaciones compatibles como sea el número de reacciones redundantes. Para ello se plantea que las deformaciones asociadas tengan el valor de deformación de la viga original y su curva elástica en los puntos específicos, que suele ser en los apoyos
g) Se tendrá un número equivalentes de ecuaciones y de reacciones redundantes. Se resuelve el sistema, dando como resultado los valores de las reacciones redundantes.
h) Se encuentran las demás reacciones no redundantes, por las ecuaciones de equilibrio estático.
A continuación se muestra un ejemplo de escogencia de dos tipos diferentes de reacciones redundantes para una misma viga. En el primer caso se resuelve el sistema por las tablas de vigas en cantiléver, en el segundo por las tablas de vigas simplemente apoyadas.
2.2 METODO DE TRES MOMENTOS
Para un número cualquiera de tramos, n, es posible escribir n—1 ecuaciones de tal clase.
Esto da suficientes ecuaciones simultáneas para la determinación de momentos redundantes sobre los apoyos.
Tal fórmula de recurrencia se llama ecuación de los tres momentos, debido a los tres momentos desconocidos que aparecen en ella y se escribe de la siguiente forma:
Dónde: M1 Momento primer apoyo;
M2 Momento segundo apoyo;
M3 Momento tercer apoyo;
Término de cargas primer tramo;
Término de cargas segundo tramo;
h1 Diferencia de altura entre el primer y segundo apoyo;
h2 Diferencia de altura entre el segundo y tercer apoyo.
La ecuación de tres momentos fue determinada en la suposición de momentos flectores positivos, según lo indicado en la Figura 7.
En un problema particular, donde se tienen más de dos tramos. Un número suficiente de ecuaciones simultáneas para determinar los momentos desconocidos se obtiene imaginando sucesivamente los apoyos de tramos contiguos (véase Figura 8).
De manera similar ocurre cuando se tiene un solo tramo, donde se agregan tramos con condiciones cero, para adaptarse a la ecuación de tres momentos.
2.3- METODO DE DOBLE INTEGRACION
Primero se generan las ecuaciones de deformaciones compatibles, tantas como grado de indeterminación tenga la estructura, mediante un procedimiento similar al descrito para calcular las deformaciones en vigas isostáticas.
En este caso las condiciones de borde o de frontera cinemática encontradas, tendrá que ser igual al grado de indeterminación (G.I.) más dos, para poder encontrar los valores de las dos constantes de integración C1 y C2.:
No Condiciones de borde = G.I + 2
Con estas ecuaciones generadas por deformaciones, más las ecuaciones de equilibro respectivas, se tendrá el número suficiente para calcular todas las reacciones externas de la viga.
Ejemplo:
CALCULO DE REACCIONES POR EL MÉTODO DE DOBLE INTEGRACIÓN.
Calcular las Reacciones Externas en A y B de la Viga mostrada, por el método de doble integración.
A continuación se presenta el diagrama de cuerpo libre y la curva elástica de la viga: cabe destacar que se incorporó el valor de la carga ficticia q3, para contrarrestar el efecto de q1.
La parte punteada de la carga q1, resulta de la aplicación de la Ley de momentos de esta carga, la cual se interrumpe antes del final de la viga.
La colocación de la carga ficticia q3, se hace como artificio matemático para contrarrestar la prolongación también ficticia que la fórmula hace de la carga q1.
La Ecuación diferencial de la elástica será:
Ecuación de la flecha:
Las condiciones de borde se establecen observando la curva elástica:
Dado que la viga tiene 4 reacciones externas, y solo disponemos de 3 ecuaciones de equilibrio, el elemento es hiperestático de grado 1. Es decir, tiene una reacción sobrante o redundante. Por lo tanto son necesarias las 3 condiciones de borde encontradas, dos de las cuales se usarán para encontrar C1 y C2, mientras que la tercera generará la ecuación adicional que necesitamos para encontrar las 4 reacciones externas
De esta manera tendremos las cuatro ecuaciones necesarias:
Resolviendo el sistema:
Cabe destacar que las ecuaciones de equilibrio B, C y D se realizan con las cargas reales, no con las ficticias, aunque si se tomaran en cuenta, el resultado sería el mismo
2.4. METODO DE CROSS.
Este método desarrollado por Hardy Cross en 1932, parte de una estructura ideal cuyos nodos están perfectamente rígidos, lo que obliga que para llegar a la estructura real es necesario realizar dos pasos: 1. Distribuir los momentos de desequilibrio que se presentan en cada nudos. 2. Estos momentos de desequilibrio distribuidos afectan el otro extremo de la barra.
a) Su cuantificación se hace a través de un factor de transporte. Al realizar este transporte se vuelve a desequilibrar la viga lo que obliga a realizar una nueva distribución. Este proceso termina cuando el momento distribuido, sea tan pequeño que no afecte el resultado del momento final. Secuela de cálculo:
b) Se consideran perfectamente empotrados todos los apoyos y se calculan los momentos de empotramiento.
c) Se calculan las rigideces para cada barra con la fórmula R=(4EI)/l; en caso de que todas las barras de la viga sean del mismo material la fórmula se podrá reducir a R=(4I)/l; si además de estos todas las barras tienen la misma sección podemos utilizar la fórmula R=4/l.
d) Se calculan los factores de distribución por nodo y por barra a través de la fórmula fd= ri/Sri, que significa la rigidez de la barra i entre la suma de las rigideces de las barras que concurren a ese nodo. Para el caso de los extremos libremente apoyados o en cantiléver el factor de distribución es 1 y si es empotrado 0.
e) Se hace la primera distribución multiplicando el momento desequilibrado por los factores de distribución de las barras que concurren a ese nodo, verificando que la suma de los momentos distribuidos sea igual al momento de desequilibrio. Cuando los momentos tengan el mismo signo, el momento desequilibrado se encuentra restando al mayor el menor, y cuando son de diferente signo se suman. A los momentos distribuidos en los nodos centrales se le coloca signo negativo (-) al menor y positivo (+) al mayor, en los extremos siempre se cambia el signo. e) Se realiza el primer transporte; los momentos distribuidos se multiplican por el factor de transporte ft= 0.5 para encontrar los momentos que se van a transmitir al otro extremo de la barra y siempre al transportarlo se le cambia el signo.
f) Se repiten los dos pasos anteriores hasta que el momento distribuido sean menores del 10% de los momentos de empotramiento. Generalmente esto sucede en la 3a o 4a distribución.
g) Los momentos finales se encontraran sumando todos los momentos distribuidos y transportados; verificando que el momento final de las barras que concurren al nodo sean iguales.
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