ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS En todos los análisis precedentes se ha supuesto siempre que las fuerzas axiales en las barras o elementos de estructuras podrían determinarse por medio de la estática. Tales estructuras se llaman estáticamente determinadas. Sin embargo, hay otros casos en los que las ecuaciones de equilibrio estático no son suficientes para determinar todas las fuerzas y reacciones que obran en los miembros de una estructura. Para tales estructuras estáticamente indeterminadas, las fuerzas y las reacciones solo pueden hallarse si se toman en consideración los desplazamientos de la estructura. Hay dos métodos generales para obtener las ecuaciones adicionales que se necesitan para resolver un problema estáticamente indeterminado. En el primero de estos métodos, un sistema estáticamente indeterminado se reduce inicialmente a una determinado eliminando reacciones redundantes(o superfluas) para mantener el equilibrio estático. Luego estas reacciones se consideran como cargas aplicadas exteriormente, y sus magnitudes se ajustan para que satisfagan las condiciones de deformación prescritas en sus puntos de aplicación. Una vez evaluadas las reacciones redundantes, el sistema es isostático y se puede analizar según sus características de resistencia o rigidez utilizando los métodos presentados con anterioridad. Este método ampliamente utilizado, por lo general recibe el nombre de método de las fuerzas (o método de las flexibilidades). En el segundo método, conocido como método de los desplazamientos( o de las rigideces), los desplazamientos de las juntas de una estructura se tratan como incógnitas. El sistema se reduce primero a una serie de elementos cuyas juntas, o nudos, se consideran completamente impedidos de todo movimiento. Las juntas van liberándose luego en el grado suficiente para satisfacer las condiciones de equilibrio de fuerzas en cada junta. Este método es adecuado para el análisis de estructuras de gran tamaño. Los métodos de las fuerzas y los desplazamientos son dos de los modernos enfoques para la solución de problemas en estructuras hiperestáticas. Estos métodos se pueden formular también en un contexto mas general utilizando los principios de energía en la mecánica de las estructuras. Luego aplicables a los problemas lineales y no lineales.
METODO DE LAS FUERZAS En el análisis de sistemas estructurales por el método de las fuerzas, el primer paso es la evaluación del grado de indeterminación estática, que es igual al número de reacciones redundantes. Las reacciones redundantes se suprimen temporalmente para tener una estructura isostática que se denomina estructura primaria o liberada.
Luego, como la estructura es reducida artificialmente a la determinación estática, es posible encontrar cualquier deformación o deflexión deseada por los métodos antes estudiados. Por ejemplo suprimiendo la reacción redundante en A de la viga indeterminada que se muestra en la siguiente figura.
a) Se puede hallar la deflexión v1 en A. b) Aplicando otra vez la reacción redundante suprimida RA a la misma vida determinada. c) También puede determinarse deflexión v2, hallada como función de RA. A continuación, superponiendo (o sumando) las dos deflexiones, puesto que V1 +V2 = 0, se halla una solución para RA. El efecto de esta superposición es que en realidad no se mueve el punto A por la acción de las fuerzas aplicadas y la reacción redundante. Este procedimiento se llama; como ya se dijo; método de las fuerzas, puesto que las fuerzas redundantes se tratan como incógnitas en este enfoque. Obsérvese en especial que, una vez que se determinan las reacciones redundantes, el problema se vuelve estáticamente determinado y el análisis de esfuerzos y deformaciones prosigue en la forma usual.
EJEMPLO N°1: Una barra escalonada esta empotrada por ambos extremos en soportes inmóviles, la parte izquierda de la barra tiene un área de sección transversal A1; el area de la derecha es A2. Si el material de la barra es elástico con un modulo de elasticidad E. ¿Qué valor tienen las reacciones R1 y R2 causadas por la aplicación de un fuerza axial P en el punto de discontinuidad de la sección?
SOLUCION: La barra se considera seccionada en su soporte izquierdo. Luego, en este miembro estáticamente determinado, el extremo cortado sufre un desplazamiento u1 debido a la fuerza aplicada P. La reaplicacion de la fuerza desconocida R1, origina un desplazamiento u2. Si se superponen estos desplazamientos a fin de que no haya movimiento en el extremo izquierdo de la barra, como lo requieren las condiciones del problema, se tiene.
Luego, utilizando la ecuación como positivos,
⁄
, y tomando los desplazamientos hacia la derecha
(
)
⁄
La reacción de la derecha se puede hallar mediante la condición de estática:
METODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS En el método de las fuerzas descrito en el artículo anterior, las fuerzas redundantes se consideraron como incógnitas y una estructura liberada se obtuvo primero omitiendo las redundantes. En el método de los desplazamientos, por otra parte, los desplazamientos-lineal y angular- de las juntas (puntos de contacto de los elementos con los apoyos o soportes, puntos de intersección de dos o mas elementos, o bien, los extremos libres de elementos voladizos) se consideran como incógnitas. El primer paso para aplicar este método, es impedir estos desplazamientos de juntas, que se llaman también indeterminaciones cinemáticas o grados de libertad. La supresión de estos grados de libertad resulta en un sistema modificado que se compone de una serie de elementos, en cada uno de cuyos puntos extremos se han restringido o evitado los movimientos de traslación y rotación. En resumen, el segundo método de análisis comienza tomando como incógnita un desplazamiento adecuado. Tal desplazamiento debe seleccionarse de tal manera que las fuerzas en las diversas partes de la estructura se puedan expresar en función del mismo. Luego tales fuerzas se combinan en una ecuación de equilibrio. Después de sustituir las expresiones de las fuerzas en función del desplazamiento, se despeja el desplazamiento desconocido. Por ultimo las fuerzas se determinan a partir del valor del desplazamiento. Este método de análisis se llama método de los desplazamientos o método de las rigideces. El primer nombre proviene del uso de los desplazamientos como incógnitas, y el segundo se debe al hecho de que los coeficientes (EA/a y EA/b) en la ecuación de equilibrio son rigideces. Este método también es uno muy general que puede emplearse para analizar muchas clases de estructuras.
EJEMPLO N°1: Analicemos la armadura representada en la figura, por el método de desplazamientos. Suponiendo que la armadura es simétrica, se ve que las fuerzas de tracción en las barras exteriores son iguales.
SOLUCION: El desplazamiento
de la junta D, será la incógnita en el análisis.
Las líneas de trazos de la figura muestran la configuración desplazada de la armadura, los segmentos DD1 y DD2 representan los alargamientos totales de las barras CD y AD, respectivamente, y el DD´ representa el desplazamiento vertical del punto D. Del diagrama vemos que los alargamientos citados en las dos barras inclinadas son:
Y por tanto las fuerzas en dichas barras serán:
Asi mismo, la fuerza en la barra vertical es:
Las ecuaciones (a) y (b) expresan las fuerzas en las barras en función de una sola incógnita, a saber, el desplazamiento . El siguiente paso es hacer uso de la ecuación de equilibrio estático:
De donde;
Conocido ya el desplazamiento, pueden hallarse las fuerzas en las barras sustituyendo la ecuación (c) en las ecuaciones (a) y (b).
EJERCICIO: La barra representada en la figura esta firmemente empotrada en sus extremos. Determinar los esfuerzos en cada material cuando se aplica la fuerza axial P= 200Kn.
Compatibilidad de deformaciones:
Reemplazando, se obtiene: ⁄ ⁄
