Vibraciones - Dr. Alejadro Noé

Vibraciones Mecánicas Alejandro Noé Morales Duarte1 Mayo 2016

1 After

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Índice general Preface

IX

1. Introducción 1.1. .1. Concept eptos básico icos de Vibr ibracio ciones 1.1.1. Frecuencia y per período . . . 1.1.2. Vibraciones libres . . . . . 1.1.3. Vibraciones forzadas . . . 1.2. Movimiento Armónico Simple . . 1.2.1. Energía de un MAS . . . . 1.3. Fasores . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Diagrama de Fresnel . . . 1.3.2. Suma y resta de fasores . 1.3.3. Producto y división . . . . 1.3.4. Un ejemplo: Circuito RLC

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1 . .. .. 2 . . . . . 2 . . . . . 2 . . . . . 3 . .. .. 3 . .. .. 4 . . . . . 5 . . . . . 5 . . . . . 5 .. .. . 8 . .. .. 9

2. Sistemas de un grado de libertad 13 2.1. 2.1. Métod Métodos os de anál anális isis is de sist sistem emas as osci oscila lato tori rios os . . . . . . . . . . . 13 2.1. 2.1.1. 1. Solu Soluci ción ón gene genera rall de la ecua ecuaci ción ón del del péndu péndulo lo . . . . . . 16 2.2. Péndulo Torsional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3. 2.3. Ecua Ecuaci cion ones es cons consti titu tuti tivvas del del ele eleme mennto reso resort rtee . . . . . . . . . . 20 2.4. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.1 .4.1.. Sist istema cilin ilinddro-re -resorte orte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4. 2.4.2. 2. Siste istema ma reso resort rtee-ci cili lind ndro ro-r -res esor orte te . . . . . . . . . . . . . 24 2.4. 2.4.3. 3. Plano lano incl inclin inad adoo con con lagr lagran angi gian anas as . . . . . . . . . . . . 29 2.4.4. Objeto rodando sobre un plano inclinado con lagrangianas lagrangianas 31 2.5. 2.5. Anál Anális isis is de Sist Sistem emas as con con Amor Amorti tigu guam amie iennto . . . . . . . . . . . 32 2.5.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.6. .6. Siste stemas forz orzado ados y amortig tiguados . . . . . . . . . . . . . . . . 39 v

Índice general Preface

IX

1. Introducción 1.1. .1. Concept eptos básico icos de Vibr ibracio ciones 1.1.1. Frecuencia y per período . . . 1.1.2. Vibraciones libres . . . . . 1.1.3. Vibraciones forzadas . . . 1.2. Movimiento Armónico Simple . . 1.2.1. Energía de un MAS . . . . 1.3. Fasores . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Diagrama de Fresnel . . . 1.3.2. Suma y resta de fasores . 1.3.3. Producto y división . . . . 1.3.4. Un ejemplo: Circuito RLC

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2. Sistemas de un grado de libertad 13 2.1. 2.1. Métod Métodos os de anál anális isis is de sist sistem emas as osci oscila lato tori rios os . . . . . . . . . . . 13 2.1. 2.1.1. 1. Solu Soluci ción ón gene genera rall de la ecua ecuaci ción ón del del péndu péndulo lo . . . . . . 16 2.2. Péndulo Torsional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3. 2.3. Ecua Ecuaci cion ones es cons consti titu tuti tivvas del del ele eleme mennto reso resort rtee . . . . . . . . . . 20 2.4. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.1 .4.1.. Sist istema cilin ilinddro-re -resorte orte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4. 2.4.2. 2. Siste istema ma reso resort rtee-ci cili lind ndro ro-r -res esor orte te . . . . . . . . . . . . . 24 2.4. 2.4.3. 3. Plano lano incl inclin inad adoo con con lagr lagran angi gian anas as . . . . . . . . . . . . 29 2.4.4. Objeto rodando sobre un plano inclinado con lagrangianas lagrangianas 31 2.5. 2.5. Anál Anális isis is de Sist Sistem emas as con con Amor Amorti tigu guam amie iennto . . . . . . . . . . . 32 2.5.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.6. .6. Siste stemas forz orzado ados y amortig tiguados . . . . . . . . . . . . . . . . 39 v

ÍNDICE GENERAL GENERAL

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3. Sistemas de dos grados de libertad 3.1. Dos MAS acoplados . . . . . . . . . . . . . 3.2. Pulsaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Matrices de masa y pot potencial . . . . . . . 3.4. Péndulo doble . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. 3.5. Abso Absorv rved edor or diná dinámi mico co de vibr vibrac acio ione ness libr libree . 3.6. 3.6. 2 grad grados os de libe libert rtad ad con con amor amorti tigu guam amie ient ntoo

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4. Más de 2 grados de libertad 4.1. 3 MAS acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Péndulos simples acoplados . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Coe… oe…cientes de In‡uencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. 4.3.1. Ejem Ejemplo ploss del del cálcu cálculo lo de la matr matriz iz de ‡exibi ‡exibilid lidad ad 4.3.2. Péndulo Triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. 4.4. Apli Aplica caci cion ones es de los los coe…c coe…cie ienntes tes de in‡u in‡uen enci ciaa . . . . . . 4.5. Iteración matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Balanceo de rotores 5.1. Concepto de balance . . . . . . . . . . . 5.1.1. Balanceo estático . . . . . . . . . 5.1.2 .1.2.. Balan lanceo ceo dinám inámic icoo en un plan lano . 5.1.3 .1.3.. Balan lanceo ceo dinám inámic icoo en dos plan lanos 5.1.4 .1.4.. Toler lerancias ias al desbalan lance . . . . .

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6. Campos magnéticos alternantes 6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ y B ~ . . . . . . . 6.1.1. 6.1.1. Ecuació Ecuaciónn de onda onda para para E 6.2. 6.2. 5.1.1 5.1.1 Modelo Modelo de campo campo magn magnéti ético co unidi unidime mens nsion ional al 6.3. Mode odelo de levitación puro . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. Diamagnetismo . . . . . . . . . . . . . . .

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47 48 52 55 58 61 63

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67 67 70 74 76 79 82 85

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93 93 94 94 96 97

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99 . 99 . 10 104 . 105 . 10 107 . 10 108

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Ondas estacionarias y via jeras 109 .1. Las curv curvas básicas básicas,, funcione funcioness sin( 109 sin (x) y cos( cos (x): . . . . . . . . . 10 .1.1. Amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 .1.2. .1.2. Localizac Localización ión de cero ceros, s, máximo máximoss y mínim mínimos os de de las funfunciones sin(x 112 sin(x) y cos(x cos(x): . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 .1.3. Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 114 .1.4. Corrimiento de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 115

ÍNDICE GENERAL .2. .3.

vii

Ondas viajeras, su descripción matemática . . . . . . . . . . . 115 .2.1. Principio de Superposición . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Lagrangianas y Hamiltonianos 123 .0.1. Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Deltas Generalizadas de Kronecker 131 .0.2. Delta de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 .1. Aplicaciones en análisis vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Energía cinética de un cuerpo Rígido La matriz de Inercia .0.1. Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0.2. Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. Propiedades de la matriz de inercia . . . . . . . . . . . . . .1.1. Teorema de los ejes paralelos (Teorema de Steiner)

141 145 . . 147 . . 150 . . 151 . . 152

Preface Notas de curso Instituto Tecnológico de Toluca

ix

Preface

1

El propósito de estas notas es el de proporcionar material de apoyo y discusión para el mejor desarrollo del curso de Vibraciones Mecánicas que se imparte actualmente en el sexto semestre de la carrera de mecátronica. El análisis de vibraciones en sistemas mecánicos y eléctricos es una parte importante en ingeniería, debido a la enorme cantidad de máquinas eléctricas y de combustión que presentan problemas de funcionamiento debido a vibraciones u oscilaciones indeseables que provocan de…ciencias en los productos y/o ponen en riesgo la estabilidad de la máquina en sí misma con consecuencias negativas para operarios y producción. El estudio de las causas de vibraciones y el desarrollo de metodos para su eliminación ha tenido momentos importantes en la historia de la ingeniería. En los inicios de la era espacial, se hicieron enormes esfuerzos para construir cohetes que permitieran a las naves liberarse de la atracción gravitacional, pero era muy frecuente el fracaso debido a las enormes vibraciones que producían los potentes motores que ponían constantemente en peligro la integridad de toda la estructura o la destruían. Dado que no era posible disminuir la potencia de los motores, el problema se reducía a buscar maneras de disminuir en todo lo posible las vibraciones que soportaba la estructura debido a su funcionamiento. Problemas como estos obligaron a un estudio sistemático de la teoría de las vibraciones, su propagación, metodos de amortiguamiento y balanceo, y al desarrollo de técnicas que simpli…caran el análisis de sistemas oscilatorios y aportaran metodos de solución. Algunos de esos metodos son la parte medular de este curso y tienen una base común el modelado mediante masas, resortes y amortiguadores de las cantidades reales masa, elasticidad y fricción.

Capítulo 1 Introducción James Clerk Maxwell no solo contribuyó a la teoría electromagnética, termodinámica y mecánica estadística, sino que además fue de los pioneros en el estudio sistemático de las vibraciones mecánicas y aportó uno de los primeros métodos para el análisis de las vibraciones de un sistema de muchos cuerpos acoplados sometidos a fuerzas elásticas, el método de los coe…cientes de in‡uencia, un método que discutiremos más adelante. La eliminación de las oscilaciones requiere como primer paso determinar las frecuencias de oscilación que se obtienen del funcionamiento del sistema en cuestión y las causas físicas de las mismas. Esto pemite diseñar algunos mecanismos adicionales que se pueden acoplar al sistema bajo estudio para eliminar las vibraciones indeseables mediante 2 métodos básicos; amortiguamiento y/o balanceo Existen diferentes aproximaciones para discutir el problema de las vibraciones, estas han dado como resultado varias técnicas matemáticas que surgen de los principios de la mecánica clásica, como la segunda ley de Newton, los métodos de la energía de Rayleigh, las ecuaciones de Euler-Lagrange y las ecuaciones de Hamilton y más recientemente algunos métodos iterativos, todos ellos diseñados para determinar en primera instancia las frecuencias naturales de oscilación que se esperan en el diseño de sistemas mecánicos y/o eléctricos, o se usan para modelar sistemas ya existentes. 1

2

CAPíTULO 1 INTRODUCCIÓN

1.1. Conceptos básicos de Vibraciones El análisis de vibraciones se concentra en el estudio de sistemas oscilatorios que pueden ser modelados como cargas sobre las cuales actúan fuerzas elásticas además de amortiguamientos de diferentes tipos. Los sistemas más simples consistirán de un masa sujeta a una o más fuerzas elásticas que producen el movimiento oscilatorio, posteriormente discutiremos sistemas de más de una masa que requerirán la generalización de los métodos previos y en algunos casos de otros nuevos para tratar estos sistemas. Nuestro objetivo central en la discusión de un sistema oscilatorio será el de determinar las frecuencias naturales de oscilación del sistema que representaremos por ! n : Determinar estas frecuencias nos permite tener una idea más clara de la magnitud del problema generado por las oscilaciones y en base a esto podemos proponer algunos métodos de solución como el balanceo o el acoplamiento de osciladores externos que contrarresten las vibraciones naturales del sistema bajo estudio.

1.1.1. Frecuencia y período Llamaremos período al tiempo necesario para que el movimiento se repita y lo representaremos por la letra T : Llamaremos frecuencia al número de ciclos por unidad de tiempo (T ), es decir 1  = f = ; T y llamaremos frecuencia angular a la cantidad ! = 2 = 2=T: Llamaremos frecuencia natural a la frecuencia que presenta un sistema que está libre de fricción, y la llamaremos frecuencia amortiguada cuando la

fricción está presente.

1.1.2. Vibraciones libres Entendermos por una vibración u oscilación libre aquella en la cual la masa se encuentra sometida sólo a las fuerzas elásticas, fricción y gravedad, pero ningún otro agente externo está actuando sobre el sistema para mantener el estado de oscilación. Bajo estas condiciones una oscilación libre se

1.2 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

3

amortiguará hasta desaparecer por la presencia de la fricción. A la vibración libre usualmente también se le llama transitoria .

1.1.3. Vibraciones forzadas Cuando sobre el sistema actúan fuerzas externas armónicas, es decir, fuerzas dadas por alguna de las siguientes expresiones

F ext =

8> < >:

F o sin !t; F o cos !t; F o ei!t ;

la oscilación resultante se denomina vibración forzada .

1.2. Movimiento Armónico Simple La de…nición de un movimiento armónico simple (MAS) se puede hacer de varias formas todas ellas equivalentes entre sí. Desde un punto de vista matemático diremos que un movimiento unidimensional es un MAS si el desplazamiento como función del tiempo está determinado por una ecuación de la forma x =

8> < >:

xo cos ! o t;

(1.1)

xo sin ! o t; xo ei! t ; o

donde ! o representa la frecuencia natural de oscilación y xo su amplitud. Un estudio sobre propiedades generales de las funciones sen(x) y cos(x) se presenta en el apéndice A: La versión física de esta de…nición consiste en a…rmar que un sistema es un MAS, si satisface la ecuación m• x + kx = 0; x• + ! 2o x = 0;

o

(1.2)

donde ! 2o = k=m; ésta ecuación resulta de aplicar la segunda ley de Newton ~ = m~a; a una masa m sometida a la acción de un resorte de dureza k; que F ha sido desplazado de su posición de equilibrio para estudiar su movimiento.


4

Observemos que cualquiera de las maneras de escribir x en (1.1) es solución de la ecuación diferencial (1.2). Otra manera física de de…nir un MAS consiste en a…rmar que un sistema oscilatorio será un MAS si en él se conserva la energía mecánica del sistema, es decir, si la suma de energía cinética más potencial es constante.

1.2.1. Energía de un MAS Mostraremos que la energía de un MAS es constante, para esto usaremos la expresióm estandard x = A cos !t;

de un resorte, en el cual suponemos que la amplitud y la frecuencia son constantes (no existen ningún tipo de fricción o forzamiento). La expresión de la energía mecánica para este caso es E = T + U; 1 1 = mx_ 2 + kx2 ; 2 2 2 1 d 1 = m (A cos !t) + k (A cos !t)2 ; 2 dt 2 1 1 = mA2 ! 2 sin2 !t + kA2 cos2 !t; 2 2 2 A = m!2 sin2 !t + k cos !t ; 2 1 2 = kA ; 2 1 = m! 2 A2 : 2









De esta manera obtenemos en el caso de un resorte la energía mecánica total es una constante y es directamente proporcional a la constante del resorte y al cuadrado de su amplitud. Los ejemplos más frecuentes para ilustrar un MAS son: El sistema masaresorte , es decir, una masa sometida a la acción de un resorte oscilando en un plano horizontal sin fricción, o verticalmente bajo la acción de la gravedad pero sin tomar en cuenta los efectos de amortiguación del aire. El péndulo simple , una masa sujeta por una cuerda (de masa despreciable) que oscila bajo la acción de la fuerza de gravedad. En el siguiente capítulo dedicaremos

1.3 FASORES

5

mucha de nuestra atención a estos problemas y a otros que son versiones un poco más complicadas de estos.

1.3. Fasores Existe un método geométrico que permite representar sistemas oscilatorios y con el cual es además posible realizar las operaciones básicas de suma y producto ( y sus inversos). El método se basa en el estudio de las componentes de vectores de magnitud constante que rotan en el plano con una velocidad angular ! . Normalmente se usan las componente verticales para estudiar el comportamiento de los sistemas oscilatorios.

1.3.1. Diagrama de Fresnel Una variación sinusoidal como I (x) = r sin !t (ver …gura 1.1), puede ser representada como la proyección sobre el eje vertical (u horizontal, esto es convencional) de un vector que gira a una velocidad angular ! alrededor del origen en el plano x; y en el sentido contrario a las agujas de un reloj, donde la longitud del vector es la amplitud r (en el caso de circuitos, esta longitud p es r= 2): Al vector construido de esta manera, se le denomina de Fresnel o fasor, y a su representación grá…ca en 2 dimensiones se le llama diagrama fasorial, donde cada vuelta completa de este vector representa un ciclo de la onda.

1.3.2. Suma y resta de fasores Ahora usaremos el diagrama de Fresnel para estudiar el problema de la suma de dos ondas armónicas (iguales dirección y fecuencia), pero permitiremos que las amplitudes puedan ser diferentes. Consideremos los fasores (…gura 1.2)  1 (t) = A1 sin(!t + );  2 (t) = A2 sin(!t +  ) =  (t) = A1 sin(!t + ) + A2 sin(!t +  );

)


6

I

r sin(wt)

r w

t t

Figura 1.1: Diagrama de representación de fasores

Figura 1.2: Suma de fasores por metodos geométricos

1.3 FASORES

7

usando la ley de los cosenos, podemos determinar la amplitud de la onda resultante, y está dada por A =

q

A21 + A22 + 2A1 A2 cos(

 );

(1.3)

el ángulo de fase del vector resultante (ángulo con el eje x), lo podemos determinar usando las componentes del vector resultante en su representación vectorial ~ = (A2 cos  + A1 cos )i + (A2 sin  + A1 sin ) j; P

por lo que el ángulo de fase del vector resultante está dado por tan  =

A2 sin  + A1 sin  ; A2 cos  + A1 cos 

(1.4)

como los vectores componentes giran con la misma frecuencia angular, el vector resultante tiene también la misma frecuencia. Usando las expresiones (1.3 y 1.4) podemos estudiar algunos casos especiales importantes: 1. Si las ondas  1 y  2 están en fase ( =  ) entonces, la onda resultante  (t) =  1 (t) +  2 (t); = A sin(!t +  );

cumple que,  =  y A = A1 + A2 ; representa la interferencia constructiva de las ondas. 2. Si  = + los movimientos armónicos están en oposición, sus vectores rotantes son antiparalelos y las ecuaciones (1.3 y 1.4) dan (en el caso de que A2 > A1 ) A = A2  A 1 ;  = ; por lo que los movimientos armónicos inter…eren atenuándose. En el caso particular en el cual A1 = A2 los dos MAS se cancelan, esto corresponde al caso de la interferencia destructiva. Estos mismos resultados pueden obtenerse también usando el álgebra de los números complejos. Dado que todo vector en 2 dimensiones ~a = ax i + ay j; puede pensarse también como el número complejo z = ax + i ay ; donde las componentes representan las proyecciones del número complejo con ángulo dependiente del tiempo podemos escribir para la suma (o resta) z = z1 z2 ; = (ax bx ) + i (ay

 

 b ); y


8

la magnitud del vector resultante está dada por

jzj = = =

q  q q (ax

bx )2 + (ay

A21 + A22

¡

A21 + A22

2

b ) ; y

 2A A (cos  cos  + sin  sin  );  2A A (cos (  )); 1

2

1

2

el ángulo de fase para la suma  = tan

1

= tan

1

 

ay by ; ax bx A1 sin  + A2 sin  : A1 cos  + A2 cos 



1.3.3. Producto y división La idea de representar a los fasores mediante números complejos nos permite realizar el producto de fasores de manera igualmente simple, si z = z1 z2 ; = (ax + i ay ) (bx + i by ) ; = (ax bx ay by ) + i (ax by + ay bx ) ;



el ángulo de fase se determina rápidamente usando  = = = =

 



ax by + ay bx tan1 ; ax bx ay by cos  sin  + sin  cos  tan1 ; cos  cos  sin  sin  tan1 (tan( +  )) ;  + :







Este resultado se puede obtener de manera prácticamente trivial si representamos el producto en la forma polar z = z1 z2 ; = A1 ei A2 ei ; = A1 A2 ei(+) :

1.3 FASORES

9

La división se trata de manera análoga y se puede mostrar que el argumento  está dado por (1.5)  =   : Esto se puede deducir fácilmente si usamos z1 = A1 ei y z2 = A2 ei ; entonces z =

z1 A1 i() = e ; z2 A2

de donde se tiene el resultado (1.5). De esta manera la generalización de la superposición para un número arbitrario de fasores con la misma frecuecia zk j z k = ak ei(!t+ ) , con amplitudes ak y ángulos de fase k , podemos representarlo mediante la expresión Z =

X



k



ak ei(!t+ ) ; k

k

!t

= e

X

ak ei ; k

k

así la magnitud del fasor resultante estará dada por A = kZ k y el ángulo de fase resultante sería  = tan

1

 Z y Z x

:

1.3.4. Un ejemplo: Circuito RLC Consideremos el ejemplo simple de un circuito RLC para mostrar la utilidad del método. Si conectamos los 3 elementos, resistencia, inductor y capacitor en serie a una fuente de corriente alterna, podemos representar a cada uno de los elementos por un número complejo (impedancias1 ): zR = R; zL = i ! L; i zC = ; ! C



donde ! representa la frecuencia angular de la fuente. Estas expresiones se pueden obtener a partir de estudio de la corriente en el circuito de corriente 1 Por

de…nición, la impedancia es el cociente entre el fasor V y el fasor intensidad de corriente Z = V=I: La impedancia extiende el concepto de resistencia a los circuitos de corriente alterna, y posee tanto magnitud como fase, a diferencia de la resistencia, que sólo tiene magnitud.


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alterna considerando cada uno de los elementos por separado y usando V = IR para de…nir las impedancias corresponidentes en cada caso. Para el caso de una resistencia, capacitor e inductor, conectados a una fuente de corriente alterna tenemos las ecuaciones: V R = iR; = io R sin !t; io V C = sin !tdt; C io = cos !t; !C io V C = sin (!t =2) ; !C di V L = L ; dt = !Lio cos (!t) ; = !Lio sin (!t + =2) ;

Z





que corresponden a las impedancias zR = R; zC = i=!C; zL = i ! L; respectivamente. En nuestro caso R; !L y 1=!C representan las amplitudes de nuestros fasores. Si necesitaramos representarlos como funciones oscilantes e incluir explícitamente la fase de cada impedancia y además incorporar el tiempo debemos entonces escribir: zR = R ei!t ; zL = !L ei(!t+=2) ; 1 i(!t=2) zC = e : !C

Dado que todos los elementos están conectados en serie, la impedancia total del circuito está dada por Z = zR + zL + zC ;



      = R + i !L

1 ; !C

o en términos de las funciones oscilatorias Z = R + i !L

1 !C

ei!t ;

1.3 FASORES

11

el ángulo del fasor resultante está dado por tan  = =

1 !C

!L

 ; R X  X ; L

C

R

1 (donde X L = !L; XC = !C ) la corriente máxima i m en el circuito se puede obtener ahora fácilmente calculando

im = =

"m ; Z

j j

R2

=

"m

q  q

+ !L "m

R2 + (X L





1 2 !C

 X ) C

2

; :

Capítulo 2 Sistemas de un grado de libertad Los sistemas que requieren de k  variables independientes para describir su movimiento se dice que tienen k grados de libertad. Un pistón moviendose en un cilindro sólo tiene un grado de libertad, un disco moviéndose sobre una mesa sin fricción tiene 2 grados de libertad, un cuerpo rígido moviendose en el espacio tiene 6 grados de libertad (3 traslacionales y 3 rotacionales). En lo que sigue nos dedicaremos a establecer algunos de los métodos más usados para determinar las ecuaciones de movimiento, a partir de la cual podemos leer la frecuencia natural de oscilación del sistema de 1 grado de libertad.

2.1. Métodos de análisis de sistemas oscilatorios El modelo matemático para el movimiento armónico simple lo podemos determinar de varias maneras: a) Usando la segunda ley de Newton b) Mediante el principio de conservación de la energía c) Modelos Lagrangianos 1 d) Ecuaciones de Hamilton 1 Ver

apéndice B

13

14

CAPíTULO 2 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

l

T

mg

Figura 2.1: Péndulo simple, la cuerda de longitud ` se supone de masa despreciable e inextensible.

e) Método de Rayleigh

Veremos la forma de usar cada uno de estos métodos en algunos problemas y más adelante usaremos básicamente sólo 2 de estos metodos, segunda ley de Newton y las Lagrangianas. Sin embargo, debemos tener presente que los métodos de la energía son más fundamentales (( b) ! (e)) dado que usan las propiedades de la energía y su transformación (la energía es una sustancia cuya cantidad total no cambia y puede ser transformada en movimiento, calor, luz y voltaje, etc.).

a) 2a Ley de Newton Para determinar la ecuación de movimiento de un péndulo simple usando la segunda ley de Newton requerimos un diagrama de cuerpo de libre de la masa, mediante la cual obtenemos la ecuación de movimiento para la componente tangencial de la gravedad (usualmente se consideran los ejes, uno a lo largo del hilo que sostiene la masa) ver …gura (2.1).

ma = ml• =

mg sin ; a = a = l •; mg sin ; =)

• + g sin  = 0: l

t

2.1 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE SISTEMAS OSCILATORIOS15 b) Energía Suponemos que no existe fricción, por lo que la energía mecánica del péndulo se conserva y en cualquier posición ( 0    =2) está dada por 1 E = mv2 + mgh; 2

donde consideraremos que h está medida desde la parte más baja de la oscilación, en estas condiciones



1 _ E = m l 2

2

+ mgl (1

 cos ) ;

como la energía es constante entonces dE=dt = 0 =) d 0 = dt

      8 2 ()

2 1 _ m l + mgl (1 cos ) ; 2 0 = ml2 _ • + mgl _ sin ; g 0 = ml2 _ • + sin   [0; =2] ; l g 0 = • + sin : l

c) Lagrangianas La lagrangiana del péndulo está dada por L = T V; 1 2 = ml2 _ 2



 mgl (1  cos ) ;

las ecuación de movimiento está dada por la ecuación de Euler-Lagrange: d dt

 

@L @ L = 0; @ @ _ ml2 • + mgl sin  = 0; • + g sin  = 0: l

16


d) Ecuaciones de Hamilton El Hamiltoniano del sistema está dado por H = T + V; 1 2 H = ml2 _ + mgl (1 2

 cos ) :

Las ecuaciones de Hamilton son (ver apéndice B): @H = p; _ @q



@H @H = q; _ = @p @t

 @L ; @t

los momentos generalizados p están dados por @L ; @ q _i @L ml2 _ = ; = @ _ p_ = ml2 •; @H = mgl sin ; @ pi =

)

sustituyendo estos resultados en la ecuación de Hamilton de la fuerza tenemos mgl sin  = ml2 •; = • + g sin  = 0: l



)

2.1.1. Solución general de la ecuación del péndulo Para determinar la solución general de la ecuación diferencial • + g sin  = 0; l

2.2 PÉNDULO TORSIONAL

17

en forma exacta, normalmente se recurre al siguiente truco para determinar una primera integral;



  

g _ • + sin  = 0 = l g _ • + _ sin  = l d 1 _2  = dt 2 1 _2  = 2 2 d = dt

)



t

=

0;

 l:g _ sin ;

Z 

g d sin  dt; l dt 2g cos  + C; = l d + to ; C + 2!2 cos 

)

Z p

g !2 = : `

La integral no se puede determinar por funciones elementales (es una integral elíptica de primera especie), pero podemos hacer un desarrollo en serie de Taylor del integrando e integrar término a término. Usualmente esta solución no se utiliza, a menos que existan problemas prácticos reales en los que la aproximación de oscilaciones pequeñas (sin  ' ) no sea válida, pero en el caso usual se supone que las oscilaciones son pequeñas lo que nos permite simpli…car considerablemente la ecuación y obtener un MAS directamente • + g  = 0; = l g !2 = ; = l

) )

T = 2

s

l : g

2.2. Péndulo Torsional Para estudiar las oscilaciones de un eje sólido …jo, podemos considerar básicamente las mismas ideas que hemos usado para los resortes y el péndulo simplemente introduciendo las cantidades relevantes para movimientos

18


rotacionales mediante la sustitución ~ F m ~a

! ~ ; ! I; ! ~ ;

donde ~ representa la torca, I el momento de inercia, ~ = • la aceleración angular. De esta manera la ecuación relevante para el estudio de las oscilaciones de una varilla es ~ = I ; ~

junto con la correspondiente ley de Hooke para movimientos torsionales ~ = K, donde K representa la constante de torsión que depende del material de la barra. Las unidades de K son: [K ] = [ ] = N L:

Ahora podemos (usando el método de Newton) determinar la frecuencia de oscilación del péndulo torsional a partir de la ecuación de movimiento (MAS) I = K; K  +  = 0; I • + K  = 0; I K ! = : I



(2.1)

r

Observemos que en el caso de 1 grado de libertad no es necesario resolver la ecuación diferencial para determinar la frecuencia de oscilación, es su…ciente con determinar la ecuación de movimiento. Podemos también obtener la ecuación (2.1) usando lagrangianas, Hamiltonianos y el método de la energía. Para usar el método de las lagrangianas debemos suponer un estado dinámico del movimiento, dado que es puramente rotacional, la energía cinéti2 ca está dada por E c = 12 I _ (ver apéndice C) y la energía potencial tiene la misma expresión que en el caso de un resorte U = 12 K2 ; de aquí que la

2.2 PÉNDULO TORSIONAL

19

lagrangiana de la barra torsional está dada por L = T V 1 2 1 = I _ K2 ; 2 2





la ecuación de movimiento está determinada por la ecuación de Euler-Lagrange d dt

 

@L @ L = 0; @ @ _ I • + K = 0; • + K  = 0: I

Para usar el método de Hamilton requerimos determinar los momentos generalizados del sistema, que en este caso está dado por @L ; @ q _i @L p = @ _ _ = I  = 2 p2 I _ = ; 2I 2 pi =

)

2

que H = T + U = 12 I _  12 K2 = p2I + 12 K2 introduciendo esta función en las ecuaciones de Hamilton obtenemos 2

@H = p = _ @ K = p = _ • + K  = 0: I

 )  I • =)

la otra ecuación de Hamilton en este caso sólo aporta una identidad: @H @H _ = q; _ = = ; @p @p p _ _ : _ =  =  = I

) )

20


2.3. Ecuaciones constitutivas del elemento resorte Los resortes son un instrumento esencial en la modelación de sistemas oscilatorios, así que es necesario entender algunas de sus propiedades básicas. Desde un punto de vista teórico, lo relevante de un resorte es su dureza, caracterizada por k cuyas unidades son [F ] ; [L] Nw = ; L

[k] =

así entre más rígido es el resorte mayor el valor de k: Supondremos normalmente que el resorte funciona en el rango de defor~ = k~x sigue siendo maciones pequeñas, de manera que la ley de Hooke F válida y el resorte no ha sufrido deformaciones permanentes. Un teorema básico sobre resortes nos permite entender un poco más el comportamiento de la rigidez k cuando conectamos varios resortes en serie o en paralelo y nos muestra que el comportamiento de un resorte tiene un análogo eléctrico, el capacitor ( k $ C ). Teorema. (a) En un sistema de resortes conectados en paralelo, la dureza del sistema resultante es mayor que la dureza de cualquiera de los resorte conectados, y está dada por n

keq (P ) =

X

ki :

i=1

(b) En un sistema de resortes conectados en serie, la dureza del sistema resultante es menor que la dureza de cualquiera de los resorte conectados, y está dada por

X ! n

keq (S ) =

ki1

1

:

i=1

Demostración Podemos proceder de manera análoga al método usado para estudiar resistencias y capacitores en circuitos eléctricos, es decir, tratando de identi…car qué es lo que tienen en común todos los resortes al conectarse en serie o en paralelo.

2.3 ECUACIONES CONSTITUTIVAS DEL ELEMENTO RESORTE21

k1

k2

k1

k2

x

F

F

Figura 2.2: Resortes en serie y paralelo

a) Para la conexión en paralelo de dos (o más) resortes, al llevar a cabo la deformación x , todos los resortes se deforman exactamente la misma longitud x; pero la fuerza de cada uno de ellos sobre la barra (ver …gura 2.2) es diferente pues depende de su dureza y dado que estamos suponiendo que el sistema está equilibrio, debe cumplirse n

F =

X

Fi ;

i=1

si hubiese n resortes conectados en paralelo sobre la barra. Ahora dado que cada resorte cumple la ley de Hooke Fi = ki x; tenemos entonces

X ! n

F =

ki x;

i=1

= keq x:

Así que podemos escribir la conclusión: En un sistema de resortes conectados en paralelo la dureza del sistema resultante es mayor que la dureza de cualquiera de los resortes conectados, es decir; n

keq (P ) =

X

ki :

i=1

b) Conexión de resortes en serie. Procediendo en forma similar, observamos que al deformar los resortes en serie por una fuerza F cada resorte se deformará ahora una cantidad diferente x i dependiendo de su dureza, en este caso cada uno de los resortes experimentan la misma fuerza F (por la 3a ley de Newton): Así que …nalmente tenemos

22

CAPíTULO 2 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD x k

r

M

Figura 2.3: Cilindro que rueda sin resbalar sujeto a la acción de un resorte

x = =

X X X X X  xi ;

F ; ki

= F

ki1 ;

1 F keq = F

ki1 ;

keq (S ) =

ki1

1

:

2.4. Ejemplos Consideremoa ahora algunos ejemplos para ilustrar el uso de estas ideas en sistemas con un grado de libertad. Para la aplicación de las ecuaciones de Newton y de Lagrange en esta parte es necesario estudiar el apéndice de la energía cinética de un cuerpo rígido.

2.4.1. Sistema cilindro-resorte Consideremos un cilindro circular de masa M y radio r unido a una pared por medio de un resorte de módulo k; ver …gura (??): Si el cilindro puede rodar sin resbalar encuentre la frecuencia de oscilación. Contestaremos la pregunta de dos formas distintas (a) usando la ecuación de Euler-Lagrange y (b) el método de Newton.

2.4 EJEMPLOS

23

(a) Debemos determinar primero las energías cinética y potencial en un

instante arbitrario del movimiento del sistema. En este caso el cilindro posee 2 tipos de energía cinética; rotacional y traslacional 1 1 T = I!2 + M x_ 2 ; 2 2

como rueda sin resbalar tenemos una ecuación adicional x = r; por lo que la expresión …nal para la energía cinética esta dada por 1 M 2 1 x_ + M x_ 2 ; 2 2 2 3 = M x_ 2 ; 4

T =

donde hemos usado que el momento de inercia de un cilindro circular respecto a un eje que pase por su centro es I = M r2 =2: La energía potencial es la que está almacenada en el resorte y está dada por U = 12 kx2 por lo que la lagrangiana del sistema está dada por L = T U; 3 1 2 = M x_ 2 kx ; 4 2





sustituyendo en la ecuación de Euler-Lagrange tenemos d dt

 

@L @ L = 0; @ x_ @x 3 M • x + kx = 0; 2 2k x• + x = 0; 3M

de donde podemos leer el valor de la frecuencia natural de oscilación ! =

r

2k : 3M

(2.2)

(b) Para usar el método de Newton debemos tener en cuenta que hay dos

tipos de movimiento: rotacional y traslacional, por lo que debemos escribir las ecuaciones para cada uno de ellos y resolverlas simultáneamente.

24


Para el movimiento traslacional las fuerzas que actúan sobre el cilindro al moverlo una distancia x hacia la pared, son 2 en la dirección del movimiento, la del resorte dada por la ley de Hooke y la fuerza de fricción f y son opuestas. La fuerza normal de la super…cie simplemente equilibra al peso. Así el movimiento traslacional está descrito por la ecuación M • x =

kx + f;

(2.3)

para el movimiento rotacional, la única fuerza que provoca la rotación, respecto al centro de masa, es la fricción f por lo que podemos escribir  = I • =

rf;

a partir de la cual podemos determinar la fuerza de fricción y sustituirla en (2.3) f =

I • = r M r2 • kx ; 2r

 ) M • x =  

como rueda sin resbalar, también disponemos de la ecuación x = r; y …nalmente podemos escribir 3 M r• + kr = 0; 2 • + 2k  = 0; 3M

y obtenemos el mismo valor, ecuación (2.2), para la frecuencia natural de oscilación.

2.4.2. Sistema resorte-cilindro-resorte Usar el método de la energía y el método de las lagrangianas para determinar la frecuencia natural de oscilación del cilindro mostrado en la …gura (2.4) que rueda sin resbalar.

2.4 EJEMPLOS

25 k

k

Figura 2.4: Cilindro que rueda sin resbalar, bajo la acción de 2 resortes

Método de la energía El método de la energía se puede usar cuando la energía mecánica (E m ) del sistema de conserva, es decir d (E m ) = 0; dt

d (T + V ) = 0: dt

(2.4)

La energía cinética está dada por 1 2 1 _ 2 mx_ + I  ; 2 2 1 2 _ 2 1 2 _ 2 = mr  + mr  ; 2 4

T =

donde hemos usado que rueda sin resbalar (x = r) y el momento de inercia de un cilindro que gira en torno a su centro de masa I = 12 mr2 ; …nalmente la energía cinética está dada por



3 2 T = mr2 _ : 4



(2.5)

La energía potencial se debe a la presencia de los 2 resortes que tienen la misma dureza k V = 2

 

1 2 ky ; 2

donde y representa la distancia que se han deformado los resortes al mover el cilindro una distancia x a la derecha.

26


Al mover el cilindro, este giró un ángulo  y como rueda sin resbalar tenemos x = r: Como los resortes están sujetos a una distancia a del centro, la deformación de estos es mayor que si estuvieran sujetos al centro del cilindro (en este caso particular su deformación sería exactamente x), por lo que debemos sumar a esta, la distancia ` = a sin ;

usualmente consideraremos la aproximación de ángulos pequeños por lo que tenemos ` = a sin  ' a ; y la energía almacenada en los resortes está dada por (2.6) V = k (r + a)2 2 ; sustituyendo (2.5) y (2.6) en la ecuación (2.4) tenemos d dt





3 2_2 mr  + k (r + a)2 2 = 0; 4 3 2 _• mr  + 2k (r + a)2 _ = 0; = 2 2 • + 4k (r + a) _ = 0; 3mr2

)

de donde podemos leer la frecuencia natural de oscilación 4k (r + a)2 ! = : 3mr2 2

A partir de este resultado podemos ver rápidamente qué sucede si sujetamos los resortes al centro del cilindro (a = 0), obtenemos el resultado del problema anterior (salvo un 2 por la presencia de 2 resortes), y cada vez que aumentamos a  r aumentamos la frecuencia de oscilación del sistema, hasta alcanzar el máximo posible dado por ! max = 4

r

k : 3m

Método de Lagrangianas Aprovechando que ya calculamos las energías cinética y potencial podemos escribir 3 2 L = mr2 _ 4

 k (r + a)

2

2 ;

2.4 EJEMPLOS

27

la ecuación de movimiento está dada por la ecuación de Euler-Lagrange d dt

  @L @ _

@ L = 0; @

3 2• mr  + 2k (r + a)2  = 0 = 2 2 (r + a) ! = r

)

r

k : 3m

Método de Newton La solución por el método de Newton requiere observar que el movimiento rotacional está afectado por 3 torcas; una por cada resorte y por la fuerza de fricción, además en este problema debe tenerse muy en cuenta la geometría del sistema.

Traslación Para la traslación sólo existen 2 fuerzas horizontales que provocan el movimiento traslacional del CM, la fuerza externa sobre el CM y la fuerza de fricción que son las que determinan el comportamiento del movimiento horizontal del centro de masas: m• x =

por lo que

f;

mr• + f = 0:

(2.7) Aquí debemos observar que la fuerzas de los resortes sólo lo pueden provocar giro pero no traslación.

Rotación Para la rotación en torno al centro de masa tenemos I • =

2 + f r; R

donde la compresión de los resortes es debida a dos movimientos, el debido a la traslación x del centro de masa y el de rotación pura en torno al centro de masa, por lo que la deformación de los resortes es x0 = y + x; = a + r; = (a + r) ;

28


de la geometría del problema tenemos ~ R ; ~ R = ~r F = rF R sin ;



donde r es la hipotenusa del triángulo

pero de la …gura F r

tenemos que  = =2 + ; por lo que sin  = sin (=2 + ) = sin  = x0 =r; y para ángulos pequeños r  = x0 ; por lo que la ecuación de la torca de los resortes queda ~ R ; ~ R = ~r F = rF R ; x0 = k x 0 ;  = k (a + r)2 ;



esto nos permite escribir las ecuación rotacional I • = = f =

2 + f r; 2k (a + r) R

2



 + f r =

)

1 • I  + 2k (a + r)2  ; r

2.4 EJEMPLOS

29

sustituyendo este último resultado en la ecuación (2.7) tenemos mr 2 • mr  +  + 2k (a + r)2  = 0; 2 3 2• mr  + 2k (a + r)2  = 0; 2 2•

de donde podemos leer la frecuencia natural de oscilación de este sistema ! = =

s

4k (a + r)2 ; 3mr2

2 (a + r) r

r

k 3m

2.4.3. Plano inclinado con lagrangianas Consideraremos un cuerpo que desliza sin fricción por un plano inclinado una ángulo : Galileo mostró que la solución de este problema es que la aceleración del objeto que baja por el plano inclinado es constante y está dada por a = g sin : Y

x

y q

X

Objeto que resbala sin friccin sobre un plano inclinado Obtendremos este mismo resultado usando un análisis con Lagrangianas. Si colocamos nuestro el sistema de referencia en la base del plano inclinado

30


tendremos 1 2 mr_ mgy; 2 1 = m x_ 2 + y_ 2 mgy: 2 dado que las coordenadas (x; y) no son independientes y tan  = ; x y = x tan ; L =



 

la lagrangiana del sistema queda de la siguiente manera 1 m x_ 2 + x2 tan2  mgx tan ; 2 1 = mx_ 2 sec2  mgx tan : 2

L =







Las ecuaciones de Euler-Lagrange para el sistema resultan:

 

d @L @ L = 0; dt @ x_ @x x• sec2  + g tan  = 0;

 gsectan ; x• = g sin  cos ; 1 =  g sin(2) ; =) 2 1 y• =  g sin(2)tan : 2 x• =

2

La aceleración del cuerpo que se desliza por el plano inclinado está dada por

j~aj = =

q 

a2x + a2y ;

1 2 2 1 g sin (2) + g 2 sin2 (2)tan2  4 4

1 g sin(2)sec ; 2 = g sin ; =

que era el resultado esperado para este problema.



1=2

;

2.4 EJEMPLOS

31

2.4.4. Objeto rodando sobre un plano inclinado con lagrangianas Consideraremos un cilindro que rueda sin resbalar por un plano inclinado una ángulo : Nos interesa determinar la aceleración con la cual el cuerpo baja sobre el plano inclinado y compararla con el valor de la aceleración de un cuerpo que rebala sin fricción sobre el mismo plano. El problema posteriormente puede combinarse con resortes que retardan la caída del objeto si se desea considerar la construcción de dispositivos que aprovechan la fuerza de gravedad para funcionar.

x

L

h a

Cilindro rodando sobre un plano inclinado La lagrangiana del sistema está dada por L = T V; 1 1 2 = mx_ 2 + I _ 2 2



 mgh;

dado que rueda sin resbalar x = R: En este punto podemos elegir al ángulo a x como la variable del problema, si elegimos x la lagrangiana …nalmente queda 1 2 1 mR2 x_ 2 L = mx_ + mg (L 2 2 2 R2 3 = mx_ 2 mg (L x)sin ; 4







 x)sin ;

32


sustituyendo en las ecuaciones de Euler-Lagrange obtenemos

 

d @L @ L = 0; dt @ x_ @x 3 m• x mg sin  = 0 = 2



)

2 x• = a = g sin ; 3

de aquí, la aceleración de un cuerpo que rueda sobre el plano inclinado (en particular el cilindro) tiene una aceleración menor que la del cuerpo que resbala sin fricción por el mismo plano, en nuestro caso 1/3 menor. ¿Por qué sucede esto? no se está disipando energía por fricción. Una posible respuesta sería que parte de la energía potencial ahora debe transformarse además en energía de giro del objeto que rueda, por lo que es de esperarse que todo cuerpo que baje por el plano girando sin resbalar (cilindro, esfera, anillo,...) tendrá siempre una aceleración menor que la del cuerpo que resbala libremente por el plano inclinado. Podemos repetir el cálculo para cada uno de estos objetos y mostrar que en realidad este es el caso: Objeto

Aceleración

Cilindro

2 3g

sin 

Esfera

5 g 7

sin 

Aro

1 g 2

sin 

2.5. Análisis de Sistemas con Amortiguamiento Los sistemas oscilatorios que consideraremos básicamente serán de 2 tipos: 1. Sistemas para los cuales el amortiguamiento depende de la velocidad. 2. Sistemas en los cuales el amortiguamiento es constante, lo que se conoce como amortiguamiento de Coulomb.

2.5 ANÁLISIS DE SISTEMAS CON AMORTIGUAMIENTO 33

c

k

m

x

Figura 2.5: Representación de un oscilador forzado y amortiguado La representación grá…ca de un sistema amortiguado es como se muestra en la …gura (2.5) donde c representa el coe…ciente de amortiguamiento responsable de la eliminación de la energía cinética del cuerpo por fricción (depende de la velocidad de oscilación), el resorte k que proporciona el carácter oscilatorio, y una fuerza externa armónica (dependencia de funciones sin  ) F ext = F sin !t que mantiene al sistema en oscilación. La …gura (2.5) correspone a un sistema oscilatorio forzado ( F ext) y amortiguado (c). Consideraremos primero el caso del sistema amortiguado sin forzamiento (el amortiguamiento depende sólo de la velocidad). Las fuerzas presentes sobre la masa son el resorte y la fuerza debida al amortiguamiento que depende de la velocidad, y están dadas por F = kx y F a =  cx_ (los signos negativos indican que ambas fuerzas se oponen al movimiento). Usando la segunda ley de Newton tenemos m• x = kx m• x + cx + kx _ = 0:

  cx;_ ()

(2.8)

La ecuación (2.8) es una ecuación diferencial de segundo orden con coe…cientes constantes cuya solución general está dada por x = e t C 1 sin t + C 2 cos t ;

f

g

(2.9)

donde  = Re (r) y  = Im (r) donde r representa una de las raíces complejas de la ecuación característica.

34

CAPíTULO 2 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD Por lo tanto es su…ciente determinar las raíces de la ecuación característica r2 +

c k r + = 0; m m

que están dadas por r = =

q      p   c2 m2

c m

4 km

2

1 2

c m

1 c2 m

;

4mk ;

(2.10)

como k = m! 2o ( !o es la frecuencia natural de oscilación sin a mortiguamiento) y de…niendo el factor de amortiguamiento  = c=(2m!o ) podemos escribir la ecuación (2.10) de la siguiente manera r = ! o

  q    2



1 ;

estas son las raíces necesarias para resolver (2.8). Observemos que  es adimensional, en efecto M T [c] [c] T [ ] = = = T = 1: M [! o ] M M

Claramente existen 3 casos para la solución dependiento del valor del radical  2  1: Las soluciones oscilatorias sólo estarán presentes en el caso en el que esta raíz represente un número complejo, por lo que es usual darle un nombre a cada uno de estos casos: a) Si  > 1 ambas raíces son reales y negativas y el movimiento se da sin oscilación y simplemente se amortigua hasta desaparecer. A esta situación se la distingue con el nombre de movimiento sobreamortiguado. b) Si  = 1 ambas raíces son iguales a la frecuencia natural de oscilación ! o y el movimiento tampoco es oscilatorio y el nombre que se le da a esta situación es el de críticamente amortiguado. c) Finalmente, la solución que nos interesa es cuando  < 1; en este caso las raíces son complejas y podemos escribirlas

p

q  q   q     q    2

1 = i 1

 2 ;

1

 2 ;

i 1

 2 ;

r1 = ! o

 + i

r2 = ! o



2.5 ANÁLISIS DE SISTEMAS CON AMORTIGUAMIENTO 35 por lo que la solución en este caso está dada por x = e !

o

t

  q   p 

 2 + C 2 cos !o t 1

C 1 sin ! o t 1

donde  = !o y  = ! 0 1 como

 q  

;

 2 ; que podemos escribir más brevemente

x = e! t C 1 sin (! d t) + C 2 cos (! d t) ; = Ce! t sin(! d t + ) ; con C 2 C = C 12 + C 22 ;  = tan1 C 1 o

 2

f

g

o

o

(2.11) (2.12)

 p  

q

donde hemos de…nido la frecuencia ! d ! o 1  2 (frecuencia natural amortiguada ). La situación física en este caso di…ere de las anteriores en que ahora, aunque al …nal el movimiento también desaparece, lo hace oscilando y disminuyendo su amplitud en cada oscilación por el factor e ! t : o

2.5.1. Ejemplos Método para medir coe…cientes de amortiguamiento En un sistema oscilatorio amortiguado, ver …gura (2.5) sin forzamiento, se observa que la amplitud decrece hasta un 25 % (1/4 de la inicial), después de 5 ciclos consecutivos de movimiento, como se muestra en la …gura (2.6). Determine el coe…ciente de amortiguamiento c del sistema si k = 20 lb=pul y la masa m = 10lb: Nuestro problema es determinar el coe…ciente de amortiguamiento c; el cual está relacionado con el factor de amortiguamiento  a través de la ecuación  = c= (2m!o ) : Usando la ecuación (2.12) para describir movimientos oscilatorios amortiguados, sabemos que la máxima amplitud se obtiene cuando la función sin(! d t + ) = 1; y en este caso las amplitudes consecutivas máximas se obtienen en los tiempos t 1 y t 2 A1 = C e!

t

o 1

;

A2 = C e!

t

o 2

;

36


Figura 2.6: Decrecimiento de la amplitud en un oscilador amortiguado

dado que la diferencia de tiempo entre dos amplitudes máximas consecutivas es el período de oscilación T = t2  t1 ; podemos escribir A1 = e ! T ; A2 o

(2.13)

el período de oscilación es T = 2=! d : Queremos determinar ; por esta razón consideramos el logaritmo natural de la ecuación (2.13) ln

 

A1 =  !o T; A2

(2.14)

a esta cantidad se le da el nombre especial de decrecimiento logarítmico y se representa por la letra griega  = ln(A1 =A2 ) = !oT; y mide la razón de decrecimiento entre amplitudes de ciclos consecutivos. Si podemos medir la razón entre amplitudes máximas después de cierto número de oscilaciones completas, podemos determinar el valor de  y por lo tanto los valors de  y c . En efecto, para nuestro caso particular sabemos que después de 5 ciclos completos la amplitud decreció a 1/4 de su valor inicial, es decir, A1 1 = 1 = 4; A6 4

podemos introducir los ciclos consecutivos entre estas dos amplitudes de manera que podamos expresar esta razón en función de : Observemos que la

2.5 ANÁLISIS DE SISTEMAS CON AMORTIGUAMIENTO 37 razón entre la primera y última amplitudes la podemos escribir como el producto A1 A1 A2 A3 A4 A5 = ; A6 A2 A3 A4 A5 A6

tomando logaritmos tenemos ln

A1 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 = ln + ln + ln + ln + ln ; A6 A2 A3 A4 A5 A6 ln 4 = 5;  = 0:28 =  ! o (2=! d ) 2 0:28 = = 1  2  = 0:044:

)

p 

p

Finalmente c = 2 km = 0:063 lb seg=pul: Podemos generalizar fácilmente este resultado. Supongamos que después de n oscilaciones completas la amplitud de la oscilación a decrecido hasta un valor dado por A0n+1 =

A1 ; m

esto determina el valor del coe…ciente de decrecimiento,  = ln(m) =n. La ecuación (2.14) nos permite escribir el factor de amortiguamiento en función de   = 2  = 2  =

!o ; !d 

p  p r 1 

42

 2 2

+ 

=

)

:

De esta manera el valor del coe…ciente de fricción c = 2m!o  está dado por c = 2

km : 42 +  2

38

CAPíTULO 2 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD k/2

k/2

m

Figura 2.7: Oscilador sometido a una fuerza de fricción constante

Amortiguamiento Coulombiano Estudiaremos ahora el caso de amortiguamiento constante e independiente de la velocidad. Para esto consideraremos que el coe…ciente de fricción entre dos super…cies (sin lubricación) (ver …gura (2.7)) tiene un valor constante  . Nuestro interés es determinar el desplazamiento en cualquier instante y el valor de la frecuencia natural amortiguada. Al desplazar el bloque una distancia x y dejarlo en libertad para que oscile, la ecuación de movimiento (usando la segunda ley de Newton) está dada por

  

mg 2 12 kx = mg  kx; x• + ! x = g: m• x = 2 o

;

(2.15)

Para determinar la solución general de esta ecuación usaremos el método estándard, que consiste en determinar la solución general de la ecuación homogénea y posteriormente una solución particular para la no homogénea de manera que la solución general estará dada por x = x h + x p :

(2.16)

La solución de la ecuación homogénea simplemente corresponde a un MAS cuya solución está dada por xh = A cos ! o t + B sin ! o t:

Determinar una solución particular en este caso no es complicado dado que el término no homogéneo es una constante, si escogemos x p = mg=k

2.6 SISTEMAS FORZADOS Y AMORTIGUADOS

39

al sustituir en la ecuación (2.15) obtenemos una identidad, por lo que la solución general está dada por x = A cos ! o t + B sin ! o t

 mg : k

Para determinar la frecuencia de oscilación no es necesario resolver la ecuación diferencial, basta reescribir la ecuación (2.15) en forma conveniente. x• + ! 2o x = g; k x• + x + g = 0; m mg m• x + k x + = 0; k







ahora de…nimos una nueva variable de desplazamiento x0  x+gm=k (cambio de orígen en x0s) de esta manera tenemos que la ecuación de movimiento para x 0 está dada por m• x0 + kx0 = 0; =

)

! 0d = ! o =

r

k ; m

así que la frecuencia amortiguada (en el caso de amortiguamiento constante) es igual a la frecuencia natural sin amortiguamiento.

2.6. Sistemas forzados y amortiguados Para sistemas de un grado de libertad 2 en los que el amortiguamiento depende de la velocidad y están sujetos a la acción externa de una función armónica (forzador) de frecuencia !; la ecuación diferencial que lo describe está dada por m• x + cx + kx = F _ (2.17) o sin !t; que resulta de aplicar la segunda ley de Newton al sistema mostrado en la …gura (2.5), donde las cantidades {m;c;k;F o } son constantes y de…nen los diferentes sistemas oscilatorios unidimensionales forzados y amortiguados. 2 Una

sola variable es su…ciente para describir su movimiento

40


Nuevamente tenemos el problema de hallar la solución de una ecuación diferencial con coe…cientes constantes no homogénea. La solución de (2.17) nuevamente la podemos determinar hallando la solución general de la ecuación homogénea y sumarle una solución cualquiera particular. La solución de la ecuación homogénea ya la concemos y está dada por cualquiera de las ecuaciones (2.11 y 2.12). Nuestro problema es hallar una solución particular de la ecuación (2.17), esto puede hacerse de varias maneras. Aquí consideraremos el método que consiste en usar números complejos y después tomaremos sólo la parte imaginaria de la solución. Para esto consideramos la variable compleja X y en vez de la función F o sin !t sustituimos la función F o ei!t (cuya parte imaginaria es precisamente el forzador armónico), es decir, consideramos ahora le ecuación • + c X _ + k X = F o ei!t ; X m m m

(2.18)

cuya solución particular está dada por X p =

F o i!t e m

p()

;

donde p() es el polinomio asociado a la ecuación característica valuado en  = i!; de manera que la solución particular es x p = Im X p ; = Im = Im

(    

)     

F o i!t me k ! 2 + mc i! + m F o ei!t m!2 + k + i!c

;

k k

m!2 m!2

F o (cos !t + i sin !t) k (k m! 2 )2 + (!c)2 F o [!c cos !t + (k m!2 )sin !t] = ; (k m!2 )2 + (!c)2 F o = sin(!t + ); 2 (k m! 2 )2 + (!c) = Im





q 

= B sin(!t + ) ;



 

 i!c ;  i!c m!  i!c 2

;


41

donde hemos usado la forma de la ecuación (2.12) con C =

q

C 12

 = tan1

q 

+ C 22

= (k !c : k m! 2

m!2 )2 + (!c)2

y



Finalmente la solución general para un sistema amortiguado y forzado está dada por x = xh + x p ; x = Ae! t sin(! d t + ) + B sin(! t + ) : o

Es necesario tener en cuenta que en esta ecuación aparecen 3 frecuencias diferentes: La frecuencia natural ! n =

p

k=m

p

La frecuencia natural amortiguada ! d = ! n 1   2 La frecuencia del forzador ! (F o sin !t)

Instrumentos sísmicos Para ilustrar el uso de esta solución consideraremos el caso de un vibrómetro que puede ser usado como sismógrafo o como acelerómetro. En la …gura (2.8) se muestra un modelo general de un medidor de vibraciones. La base se sujeta al cuerpo que mani…esta una vibración armónica desconocida A sin !t y del cual nos interesa conocer la amplitud y la frecuencia !: Suponemos conocidos los datos de nuestro aparato { c;k;m}. Este vibrómetro se puede usar como instrumento sísmico o como acelerómetro dependiendo del valor de la razón entre las frecuencias del forzador y la frecuencia natural r = !=!n: a) En el caso en el que r es muy grande (r ! 1) el instrumento se usa como sismógrafo. b) En caso contrario (r ! 0) se usa como acelerómetro. Para resolver el sistema debemos tener presente que la base del aparato funciona como el forzador. Aplicando la segunda ley de Newton a la masa m tenemos

k (x  x )  c (x_  x_ ) = m•x ; 1

2

1

2

1

42


m x1

k/2

k/2

c

x2

Figura 2.8: Representación de un sismógrafo o acelerómetro el desplazamiento relativo de la masa está caracterizado por x = x1  x2 , ahora podemos eliminar x 1 en la ecuación anterior y resulta

kx  cx_ = m (•x + x• ) ; m• x + cx + kx _ = m• x; 2

2

(2.19)

como estamos suponiendo que la vibración de la base es armónica entonces podemos escribir x2 = A sin !t; sustituyendo en la ecuación (2.19) obtenemos 2 m• x + cx + kx = Am! _ sin !t;

por lo que la solución particular (solución de estado estacionario) está dada por x p =

Am!2

q  (k

m! 2 )2

sin(!t + ) ;

(2.20)

+ ! 2 c2

podemos escribir esta expresión de manera más conveniente en terminos de la razón r = !=! n: Para esto observemos que la cantidad en el radical se puede escribir

q  (k

m!2 )2

+ ! 2 c2 = =

q  s     q  (m!2n

m! 2 )2 + 4! 2  2 m2 !2n ;

m2 ! 2n 1

= m!2n

(1

!2 ! 2n

2

 

+ m2 ! 4n 4 2

r 2 )2 + (2r)2 ;

!2 ; ! 2n


43

sustituyendo este resultado en la ecuación (2.20) x p =

Ar2

q  (1

r 2 )2

2

sin(!t + ) :

+ (2r)

La amplitud de la solución estacionaria está determinada por el factor de la función sin (!t + ) y calculando el límite de esta cantidad cuando r ! 1 observamos que esta amplitud tiende al valor constante A: La grá…ca del comportamiento de la amplitud para los diferentes valores de r (usando A = 1 y  = 1 ) es como se muestra en la siguiente …gura

Comportamiento asinttico de la amplitud para un sismgrafo o acelerometro

para hacer funcionar el vibrómetro como sismógrafo usualmente se utilizan resortes su…cientemente blandos para garantizar !n << ! (r >> 1;esto provoca un defasamiento de aproximadamente  rad). Para el caso de un acelerómetro se buscan los resortes su…cientemente duros3 para tener ! n >> ! (r << 1) , y en este caso la amplitud resultante 3 La

dureza que se use en el diseño depende de las aceleraciones que se pretenden medir.

44

CAPíTULO 2 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD k

1 O 2 c

3

m

Figura 2.9: Péndulo amortiguado. está dada aproximadamente por F o

2

/ mAr ;

!2 = mA 2 ; !n a = m 2 = !n F o 2 a ! ; m n

)

/

donde a = A!2 representa la aceleración del cuerpo que vibra ([A!2] = L=T 2 ). Ejemplo (Péndulo amortiguado) Un péndulo está pivotado en el punto O como se muestra en la …gura (2.9), si la masa de la varilla es despreciable y las oscilaciones son pequeñas, encuentre la frecuencia natural amortiguada del péndulo. Solución. En este caso usaremos el método de lagrangianas “modi…cado” para determinar la ecuación de movimiento del péndulo amortiguado:Cuando existen fuerzas mecánicas disipativas (sin considerar la producción de calor) es posible modi…car las ecuaciones de Euler-Lagrange, de manera que aún podamos usarlas para determinar las ecuaciones de movimiento, basta considerar la presencia del amortiguador como una energía “disipativa” que puede


45

obtenerse a partir de una energía potencial E D  12 cx_ 2 y escribir

Energ{as Disipativas + Forzadores externos; () d dt

  @L @ q _i

@L = @q i

 @E @ q _

D i

+ Qext ;

E L = (2.21)

en nuestro caso tenemos 1 _ 2 1 I  k L21 2 2 2 1 2 E D = cL2 _ ; 2 L =



 12 mgL  ; y 3

2

sustituyendo en la ecuación (2.21) resulta _ (kL1 + mgL3 ) = 0; = I • + cL2  + !n =

r )

kL1 + mgL3 ; I

y la frecuencia amortiguada esta dada por

q  s  r  r  s

!d = !n

1

= !n = = =

1

! 2n ! 2n

 2 ; c2

4m2 ! 2n c2

; 4m2 c 2 L22 ; 4I 2

kL1 + mgL3 mL23

  cL2 2mL23

2

;

donde hemos identi…cado c =cL2 y m =I (con I = mL23 ) de la solución general de la ecuación (2.8).

Capítulo 3 Sistemas de dos grados de libertad Ahora consideraremos el caso de sistemas oscilatorios que requieren de 2 coordenadas independientes para describir su movimiento. Los sistemas físicos con estas características normalmente son de 2 tipos: masas que oscilan en un plano, u osciladores acoplados. Aquí esencialmente dedicaremos nuestra atención a los osciladores acoplados que son útiles para modelar diversas situaciones de vibraciones en maquinaria industrial y oscilaciones en sistemas físicos (atómicos, sísmicos, etc.). Los resultados característicos más importantes del estudio de oscilaciones acopladas son los modos normales de vibración , que representan las formas de vibración en los cuales las masas oscilan de manera que alcanzan sus máximos, mínimos y puntos de equilibrio simultáneamente, es decir cuando el sistema está oscilando en fase y estos modos de oscilación representan los diferentes estados estacionarios del sistema. La descripción matemática está diseñada precisamente para determinar las frecuencias de estos estados normales de vibración, y en lo que sigue ilustraremos mediante un ejemplo las características esenciales del método. 47

48 CAPíTULO 3 SISTEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTAD k2

k1

k3

m

m

x1

x2

Figura 3.1: 2 Osciladores acoplados mediante un resorte de constante k 2

3.1. Dos MAS acoplados Consideraremos el problema de hallar las ecuaciones de movimiento y las frecuencias naturales (modos normales) del sistema de 2 masas acopladas mediante resortes (ver …gura (3.1)), en el cual suponemos conocidas las masas y las constantes de los resortes. Resolveremos el problema por el método de la segunda ley de Newton y usando las ecuaciones de Euler-Lagrange

a) Segunda Ley de Newton La fuerza sobre cada una de las masas es únicamente debida a la presencia de los resortes y estará presente sólo si los resortes se han deformado. Para la primera masa tenemos que la fuerza total está dada por m• x1 =

k x  k (x  x ) ; 1 1

2

1

2

y para la segunda masa m• x2 =

k x  k (x  x ) ; 3 2

2

2

1

el sistema de ecuaciones diferenciales a resolver es por lo tanto m• x1 + x1 (k1 + k2 ) m• x2 + x2 (k3 + k2 )

k x k x

2 2 2 1

= 0; = 0;

(3.1) (3.2)

dado que estamos buscando las soluciones oscilatorias en fase proponemos como solución x1 = A1 ei!t ; x2 = A2 ei!t ;

3.1 DOS MAS ACOPLADOS

49

sustituyendo en las ecuaciones (3.1 y 3.2) obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales

     

A1 k1 + k2 m!2 k2 A1 + A2 k3 + k2



k2 A2 = 0; m!2 = 0;

(3.3) (3.4)

claramente si A1 = A 2 = 0 resuelve este sistema de ecuaciones, pero es una solución completamente irrelevante pues el sistema estaría …jo. Si queremos soluciones no triviales debe cumplirse que el determinante del sistema debe ser nulo para poder tener soluciones distintas de cero, es decir

 

         

k1 + k2

(k1 + k2

m!

2

k2

k2

2

(k3 + k2

m! 2 ) k3 + k2

m! )

m! 2

= 0;

k22 = 0;

(3.5)

con el …n de simpli…car el análisis de este primer ejemplo supondremos que k1 = k 3 = k de manera que podemos escribir esta última ecuación (3.5)



k + k2



2 2

2 2 2

 m!  k k + k  m! 2

= 0 = = k2 ;

! =

)

 r

k + k2 m

k ; 2

de aquí que los 2 modos normales de vibración corresponden a las frecuencias !+ = ! =

r r

k + 2k2 ; m k : m

(3.6) (3.7)

Para ambas soluciones es relativamente simple identi…car a que movimientos oscilatorios corresponden. La frecuencia más pequeña !  describe el movimiento cuando las dos masas se mueven en la misma dirección exactamente la misma distancia (x1 = x2 ) de manera que el resorte intermedio no se deforma y no in‡uye en el movimiento. La segunda !+ describe el movimiento de las dos masas cuando estas se mueven en oposición y el resorte intermedio si se deforma.

50 CAPíTULO 3 SISTEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTAD Podemos demostrar que esto es realmente lo que ocurre sustituyendo la frecuencia !  (3.7) en el sistema de ecuaciones (3.3 y 3.4) tenemos A 1 = A 2 ; llamando A a esta amplitud común, el primer modo de oscilación está de…nido por p x1 = x 2 = Ae it

k=m

:

Análogamente, sustituyendo ! + en el sistema de ecuaciones obtenemos A1 = A2 ; obtenemos el segundo modo de oscilación x1 =

x ; 2

ahora las masas oscilan en direcciones opuestas con una frecuencia mayor ! + =

r

k + 2k2 : m

b) Usando las ecuaciones de Euler-Lagrange Para usar este método sólo debemos determinar la energía mecánica del sistema en un momento arbitrario. La contribución a la energía cinética es debida al movimiento de ambas masas y está dada por 1 T = m x_ 21 + x_ 22 ; 2

 

la energía potencial es la que se encuentra almacenda en la deformación de cada uno los resortes 1 1 V = k(x21 + x22 ) + k2 (x1 2 2

x ) 2

2

;

donde hemos considerado que los resortes de los extremos son iguales, de esta manera la lagrangiana del sistema está dad por 1 L = m x_ 21 + x_ 22 2

1 k(x21 + x22 ) 2

   

 12 k (x  x ) 2

1

2

2

;

dado que tenemos 2 variables independiente, ahora tendremos dos ecuaciones de movimiento d dt

@L @ x_ i

@L = 0; i = 1; 2 @x i

realizando las derivadas y simpli…cando obtenemos precisamente las ecuaciones (3.1 y 3.2). Podemos generalizar este resultado y mostrar que:

3.1 DOS MAS ACOPLADOS

51

Theorem 1 Un sistema de 2 osciladores de masa m acoplados en un plano inclinado sin fricción presenta exactamente las mismas frecuencias de oscilación en sus modos normales, independientemente del ángulo :

x2 x1

k

k2 h 2

k h 1

q

Oscilador doble en un plano inclinado

Demostración La lagrangianda del sistema está dada por L = T V; 1 L = m x_ 21 + x_ 22 2



1 k x21 + x22 2

   

1 k2 (x1 2

2

 x )  mg sin  (x + x ) ; 2

1

2

de aquí, las ecuaciones de movimiento son m• x1 + kx1 + k2 (x1 m• x2 + kx 2 k2 (x1



 x ) + mg sin  = 0;  x ) + mg sin  = 0; 2 2

(3.8) (3.9)

haciendo los cambios de variable mg sin  ; k mg sin  x02 = x2 + ; k x01 = x1 +

y sustituyendo en las ecuaciones (3.8 y 3.9) tenemos el sistema equivalente m• x01 + kx01 + k2 (x01 m• x02 + kx 02 k2 (x01



0 2 0 2

 x ) = 0; x ) = 0

52 CAPíTULO 3 SISTEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTAD cuyas soluciones son las mismas de las ecuaciones (3.1 y 3.2) independientemente del ángulo de inclinación, por lo que las frecuencias de oscilación y las relaciones entre las amplitudes de los modos normales son las mismas. | De aquí observamos que la presencia de una fuerza constante, en general, no tiene ningún efecto sobre los modos normales de vibración salvo una modi…cación en la magnitud de las amplitudes, pero no en su relación.

3.2. Pulsaciones El fenómeno de pulsaciones surge cuando se considera la superposición de vibraciones de diferente frecuencia ( pero ! 1 t !2 ), el fenómeno es más fácilmente identi…cable en el sonido, pero también se presenta en las oscilaciones mecánicas. Los pulsos se presentan de igual manera, cuando el acoplamiento entre los sistemas oscilatorios es débil (en el ejemplo anterior, cuando k2 << k ). Para determinar la expresión del desplazamiento de las masas x1 (t) en este caso, usualmente se recurre a una serie de aproximaciones que mostraremos a continuación, cuya conclusión …nal es que las frecuencias ! + y !  pueden expresarse de una manera simple como ! + = ! n (1 + ") ; !  = ! n (1 ") :



donde queda represntada de una manera clara la idea de que ! + y !  di…eren poco de una frecuencia normal ! n : Veremos en lo que sigue como hacer estas expresiones explícitas basados en nuestro resultado anterior y bajo la hipótesis de acoplamiento débil k2 << k:

Del ejemplo de los osciladores acoplados encontramos que existen 2 frecuencias en los modos normales, la frecuencia ! + =

r

k + 2k2 ; m

que describe la oscilación cuando el resorte intermedio se deforma. Si suponemos

3.2 PULSACIONES

53

que el acoplamiento es débil, podemos escribir1

s   r   r    r

!+ =

k k2 1+2 ; m k

=

k k2 1+2 m k

=

k k 2 1+ m k

=

k (1 + 2") ; m

1=2

;

;

(3.10)

donde hemos de…nido " = k2 =2k: Podemos comparar este resultado con la frecuencia natural de un oscilador que se encuentra sometido sólo a la acción de los resortes k; k2 : En este caso su frecuencia natural está dada por !n =

r 

r

k + k2 = m

r    r k k 2 1+ m k

k 1 = ! n (1 + ") = ! n (1 m



1=2

=

k (1 + ") = m

)

 ") ;

sustituyendo este resultado en la ecuación de la frecuencia de acoplamiento (3.10) tenemos

 

! + = ! n (1 ") (1 + 2") ; = ! n (1 + ") ;



(3.11)

(en este último cálculo sólo hemos conservado el término de primer orden). En forma análoga podemos escribir !  =

r 

k = ! n (1 m

 ") :

(3.12)

Las expresiones (3.11 y 3.12) muestran que ambas frecuencias son prácticamente la misma en el caso de acomplamiento débil y nos permiten mostrar que el desplazamiento x(t) presenta pulsaciones. 1 En

este cálculo usaremos en varias ocasiones la serie de Taylor: (1 + x) p = 1 + px +

p( p 1) 2 x + ::: 2!



54 CAPíTULO 3 SISTEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTAD

Figura 3.2: Representación geométrica del fenómeno de pulsaciones

Para mostrar esto basta recordar que la solución de la ecuación diferencial de segundo orden se puede escribir en términos de sus raíces en la forma xk (t) = A 1 ei!  t + A1 ei! t + A2 ei! +t + A2 ei!+ t ;

k = 1; 2

además hemos mostrado que las amplitudes coinciden en magnitud y signo (A1 = A 2 ) en el caso cuando no hay deformación del resorte central y que A1 = A2 en caso contrario. Si consideramos como condiciones iniciales2 x1 (0) = A; x2 (0) = 0; x_ 1 (0) = 0; x_ 2 (0) = 0; tendremos A 1 = A 2 = A=4 y por lo tanto x1 (t) =

Afcos(!

 t)

+ cos (! + t) ;

g

que a su vez puede escribirse como el producto



 



!  + ! + ! !+ x1 (t) = cos t cos t ; 2 2 = ( cos("!n t))cos(! n t) ;

A A



que muestra que ahora tendremos una amplitud variable característica del fenómeno de pulsación3 . En la …gura (3.2) ilustramos la presencia de las pulsaciones para los valores A = 3; !n = 2 y " = 1=25: 2 Estas condiciones iniciales nos permiten estudiar cómo

la oscilación de una masa afecta a la otra que se encuentra en resposo, si existe acoplamiento débil. 3 Ver apéndice A, para varias demostraciones de este resultado.

3.3 MATRICES DE MASA Y POTENCIAL

55

3.3. Matrices de masa y potencial En esta parte trataremos de hallar el método general para el estudio de sistemas oscilatorios acoplados con 2 o más grados de libertad. Consideraremos en primera instancia sistemas conservativos descritos por las coordenadas generalizadas q i y el tiempo t: Supondremos además que para el sistema existe una con…guración de equilibrio estable y que en esa con…guración las coordenadas generalizadas toman los valores q k = q ko; y q _k = 0; q•k = 0; k = 1; 2; :::n:4 , por lo tanto en la con…guración de equilibrio tenemos @L @q k



0

  X

@T = @q k

0

@V @q k



= 0:

(3.13)

0

Dado que la energía cinética es una función cuadrática homogénea de las velocidades generalizadas5 T =

1 2

m jk _q j _q k ;

(3.14)

j;k

en general tendremos que @T=@q k = @ k T = 0 8k = 1;::;n; de aquí y de la ecuación (3.13) tenemos @V @q k



= 0:

(3.15)

0

Aquí debemos enfatizar que las coordenadas generalizadas están medidas a partir de la posición de equilibrio. La expansión en serie de Taylor de la energía potencial en torno a la con…guración de equilibrio la podemos escribir

X

V (q 1 ; q 2 ; : : : ; qn ) = V o +

k

1 @ k V 0 q k + 2

j

X j;k

1 @ j @ k V 0 q j q k + 3!

j

X 

3 @ ijk V 0 q i q j q k +: : :

ijk

el segundo término de esta expansión se anula por la ecuación (3.15) y sin pérdida de generalidad podemos suponer que en la con…guración de equilibrio V 0 = 0; de manera que podemos escribir 1 V (q 1 ; q 2 ; : : : ; qn ) = 2

X j;k

@ j @ k V 0 q j q k ;

j

4 Con estas condiciones iniciales simplemente estamos a…rmando que

de equilibrio no existe movimiento. 5 La suma de los exponentes de las variables es constante.

en la con…guración

56 CAPíTULO 3 SISTEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTAD si nos restringimos sólo a oscilaciones armónicas6 . De esta manera tenemos ahora que el potencial es una función homogénea de las coordenadas generalizadas q i ; 1 (3.16) V (q 1 ; q 2 ; : : : ; qn ) = A jk q j q k ; 2

donde la matriz A jk está de…nida por A jk



X  j;k

@ 2 V @q j @q k

;

0

la matriz A claramente es simétrica, pues el orden de derivación no es relevante para determinar cada una de sus entradas : Ahora estamos en condiciones de hallar las ecuaciones de movimiento partiendo de las ecuacione de Euler-Lagrange tenemos

    X X d dt d dt

@L @ q _k @T @ q _k

@L = 0; @q k @V + = 0; @q k

m jk q• j +

j

A jk q j = 0; =

)

j

P

• j ) j (A jk q k + m jk q

= 0;

k = 1;:::;n

(3.17)

La ecuación de movimiento (3.17) representa n ecuaciones diferenciales de segundo orden con coe…cientes constantes, y dado que estamos considerando sistemas oscilatorios esperamos soluciones de la forma q j = a j ei!t ;

donde las a j representan las amplitudes. Sustituyendo estas coordenadas generalizadas en la ecuación (3.17) las ecuaciones de movimiento son

X

A jk

j



2 a j = 0: jk !

m

Nuevamente, para que este sistema de ecuaciones tenga soluciones fa j g distintas cero, el determinante del sistema debe ser nulo



A jk

6 Sólo

2

! m

jk



= 0;

consideramos los términos cuadráticos e ignoramos las potencias mayores

(3.18)

3.3 MATRICES DE MASA Y POTENCIAL

57

esta es llamada la ecuación secular y representa un polinomio de grado n en ! 2 ; el cual tendrá en general n raíces que se denotan usualmente por ! r2 y representa representann las frecuencias frecuencias características características asociadas a cada uno de los modos normales de vibración. De esta manera disponemos de un método para hallar las frecuencias características y los modos normales de vibración, basta resolver la ecuación (3.18) en cada caso particular, para lo cual es necesario determinar la matriz A jk y hallar las raíces del polinomio resultante. Una de las de…ciencias de este método es hallar las raíces del polinomio, pues para grados de libertad mayores a 4, en general se requieren usar métodos numéricos para determinar las raíces. Por esta razón más adelante estudiaremos métodos alternativos que de entrada consideran la necesidad de métodos aproximados. Para ilustrar el uso del método calcularemos nuevamente las frecuencias del sistema de los dos osciladores acoplados mostrados en la …gura (3.1). Para usar la ecuación secular sólo necesitamos conocer 2 matrices, la matriz A = A = (Aij )22 ; y la matriz de masa M . Aprovecharemos la energía potencial que habíamos calculado 1 1 V = k (x21 + x + x22 ) + k2 (x (x1 2 2

2

x ) 2

;

de aquí que

A =

=

0 @ 0 @

2 @ 12 V @ 12 V

2 @ 21 V

k + k + k2

@ 22V

1 A

k

2

k2 k + k + k2

;

1 A

;

2 donde @ 12 V = @ 2 V=@x1 @x 2 : Ahora determinaremos el polinomio en las frecuencias a partir de la ecuación secular

 

det A

! 2 M = 0;

58 CAPíTULO 3 SISTEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTAD O L 1 m

L 2 m

Figura 3.3: Péndulo doble con cuerdas inextensibles y de masa despreciable. de aquí tenemos det

0 @

k + k + k2

2

! m

1 A

k = 0; k k + k + k  ! m k + k + k  ! m  k = 0; k + k + k  ! m = k ; 2

2

2

2



2



2

2

2

2 2

2

2

…nalmente, las frecuencias de los modos normales son ! + =

r

k + 2k 2 k2 ; m

!  =

r

k ; m

este es precisamente el resultado obtenido anteriormente, ver ecuaciones (3.6 y 3.7).

3.4. 3. 4. Péndu éndulo lo dobl doblee En este ejemplo vamos a determinar las frecuencias características y los modos normales de vibración de un péndulo doble (ver …gura 3.3), donde suponemos conocidas las masas m y las longitudes L del péndulo. Debemos calcular la matriz A jk , para lo cual debemos determinar la energía potencial del sistema. Para determinar la energía gravitacional de cada una de las masas sólo necesitamos conocer la altura que cada una se eleva de su con…guración de

3.4 PÉNDULO DOBLE

59

equilibrio. De esta manera al subir la masa 1 se ha elevado una distancia `1 = L = L (1

 cos  ) ; 1

respecto a la con…guración de equilibrio, de aquí que la energía potencial de cada partícula está dada por V 1 = mgL(1 mgL(1 V 2 = mgL [1

 cos  );  cos  + 1  cos  ] ; 1

1

2

ahora usando la aproximación de ángulos pequeños podemos usar el desarrollo en serie de Taylor del coseno hasta segundo orden de esta manera 7 obtenemos

 

V 1 = mgL 1

 21 1+ 2

;

1 mgL21; 2 1 V 2 = mgL 21 +  +  22 ; 2 V 1 =

     

por lo que la energía potencial del sistema es

1 1 mgL21 + mgL 21 +  +  22 2 2 1 = mgL 221 +  +  22 : 2 Ahora debemos determinar la matriz M del sistema, para para lo cual debemos V =

determinar la energía cinética. La posición de cada masa está descrita por los vectores ~r1 = L sin 1 i L cos 1 j; ~r2 = (L sin 1 + L + L sin 2 ) i



 (L cos  + L + L cos  ) j; 1

2

por lo que su energía cinética está dada por

1 2 1 2 mr_ + mr_ ; 2 1 2 2 1 2 2 = mL2 2_ 1 + _2 + 2 _ 1 _ 2 cos cos (1 2 1 2 2 = mL2 2_ 1 + _2 + 2 _ 1 _ 2 : 2

T =

 7 cos 

 

= 1

2

2

h h

y 1  2  0 : = 0:

i

 ) 2

i

;

60 CAPíTULO 3 SISTEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTAD A partir de esta expresión podemos leer la matriz M (coe…cientes de la forma cuadrática de las velocidades) M =

0 @

2

1 A

2

2mL mL

mL2 mL2

;

que también resulta de leer a la energía cinética como 1 T = 2 =

 h

_ 1

0 @

_ 2

m11 m21

m12 m22

10 1 A@ A i _ 1 _ 2

;

1 2 2 m11 _ 1 + 2m12 _ 1 _ 2 + m22 _ 2 : 2

Matriz Aij Usando que A jk



@ 2 V @q j @q k

tenemos A =

=

0 @ 0 @

A11 A12 A21 A22

 1 A

;

0

;

@ 11 V @ 12 V @ 21 V @ 22 V

0 1 @ A   1 0 A @

= mgL

2 0

1 A

0 1

;

;

las frecuencias características las determinamos a partir del determinante A

0 @

2mgL

0

0

mgL

! 2 M = 0;

!2

2

2

2mL mL

mL2 mL2

1 A

3.5 ABSORVEDOR DINÁMICO DE VIBRACIONES LIBRE 61 det

0 @ 

m (2gL

2

 1   A      2

2

 2! L ) 2

2

m! L 2gL  2! L 2

2

m! L

m (gL

gL

L4 ! 4

2



! 2 L2 )

= 0;

! 2 L2 ! 4 L4 = 0; 4L3 g! 2 + 2L2 g2 = 0;

de aquí que las frecuencias correspondientes de los dos modos normales son: ! 2+ =

 p 

g 2+ L

2 ;

! 2 =

  p 

g 2 L

2 ;

el modo de oscilación más lento correspone al movimiento en fase de las dos masas (! ) y la frecuencia de oscilación más rápida (!+ ) corresponde al movimiento de las masas en oposición. Para mostrar que este es el caso es necesario sustituir estas frecuencias en las ecuaciones de movimiento del sistema al suponer soluciones armónicas.

3.5. Absorvedor dinámico de vibraciones libre En una máquina o en general en un sistema sometido a la acción de una fuerza externa de frecuencia constante es posible que aparezcan vibraciones no deseadas especialmente cuando se encuentran cercanas a la resonancia. Con el …n de desaparecer las vibraciones el primer paso es tratar de eliminar la fuerza externa que las causa, otra posibilidad es añadir pesos al sistema para alejarlo de la condición de resonancia. Debido a que usualmente esto no es posible se recurre a una tercera solución, el acomplamiento de un oscilador externo que absorva las vibraciones producidas por la fuerza exterior. Esta solución fue descubierta por Frahm en 1909 y consiste en sujetar un sistema oscilatorio a la masa M (comparativamente pequeño al sistema), de manera que la frecuencia natural del absorvedor !a que se sujeta a la masa M sea igual a la frecuencia ! de la fuerza perturbadora. Para mostrar que esto elimina las vibraciones en la masa M estudiaremos el sistema mostrado en la …gura (3.4) que nos sirve de modelo de la situación que estamos discutiendo aquí.


K

M

Fsin ut

x1

k m

x2

Figura 3.4: Método de Frahm para la eliminación de oscilaciones no deseadas Las ecuaciones de movimiento de este sistema de dos grados de libertad son M • x1 + (K + k) x1 m• x2 + k (x2

 kx = F sin !t;  x ) = 0; 2

o

(3.19) (3.20)

1

que pueden obtenerse de la lagrangiana del sistema o aplicando la segunda ley de Newton: L = d dt d dt

    @L @ x_ 1 @L @ x_ 2

1 1 M x_ 21 + mx_ 22 2 2

 12 Kx  12 k (x  x ) =) 2 1

1

2

2

@L = F o sin !t; @x 1 @L = 0: @x 2

Nuevamente aplicamos la hipótesis de soluciones armónicas del sistema xk = ak sin !t; k = 1; 2 y sustituimos en las ecuaciones (3.19 y 3.20) nos resulta el siguiente sistema de ecuaciones lineales para las amplitudes a1



   

M !2 + K + k ka2 = F o ; ka1 + a2 m!2 + k = 0;



3.6 2 GRADOS DE LIBERTAD CON AMORTIGUAMIENTO 63 ahora el sistema de ecuaciones no es homogéneo y si el determinante del sistema es no es nulo

  

2

            

M ! + K + k

k

2

k

m! + k

= ;

tedremos solución única para las amplitudes de oscilación, en particular la amplitud de oscilación a 1 de la masa M estará dada por a1 =

1 F o  0

k

m!2 + k

;

1 F o k m!2 ;  que es evidentemente nula si escogemos la constante del resorte del amortiguador como k = m! 2 o podemos decir en forma equivalente que la fre=

cuencia de oscilación del resorte que debemos escoger para el eliminador de vibraciones, es ! a  k=m, lo que determina el diseño del absorvedor de vibración8 .

p

3.6. 2 grados de libertad con amortiguamiento En este caso podemos seguir usando las ecuaciones de Euler-Lagrange para determinar las ecuaciones de movimiento, pero debemos tener en cuenta que ahora existe una fuerza de fricción que depende de la velocidad, esta fuerza puede introducirse como una fuerza generalizada de manera que ahora debemos escribir d @L  @L =  @E d ; (3.21) dt

  @ q _i

@q i

@ q _i

donde E d = 12 c q _i2 representa la energía de disipación debida a la presencia del amortiguador, y como antes suponemos que la energía potencial V = V (q i ) no depende de las velocidades. Ilustraremos el uso de la ecuación (3.21) para determinar las ecuaciones de movimiento con un ejemplo. 8 Observemos 2

k :

que ésta elección no anula el determinante del sistema que resulta  =


k1

x1

x2

k2

m1

k3

m2 c3

c2

c1

Figura 3.5: 3 Osciladores acoplados con resortes y amortiguadores

Osciladores acoplados con amortiguamiento Consideraremos el caso de dos masas acopladas entre sí con osciladores y amortiguadores como se muestra en la …gura (3.5). Suponemos conocidas todas las constantes involucradas en el diseño fci ; mi ; ki g: La lagrangiana del sistema se determina de la misma manera que lo hemos venido haciendo L = T V; 1 1 1 1 = m1 _x21 + m2 _x22 k1 x21 k3 x22 2 2 2 2 1 1 1 E d = c1 x_ 21 + c3 x_ 22 + c2 (x_ 1 x_ 2 )2 ; 2 2 2





 

 12 k (x  x ) 2

1

2

2

;

Ahora basta sustituir en la ecuación (3.21) para q 1 = x1 y para q 2 = x2 y obtenemos las ecuaciones m1 x•1 + (c1 + c2 ) x_ 1 + (k1 + k2 ) x1 m2 x•2 + (c2 + c3 ) x_ 2 + (k2 + k3 ) x2

c c

2 2

x_ 2 x_ 1

k x k x

2 2 2 1

= 0; = 0:

En general para estos sistemas de ecuaciones con amortiguamiento no existe un método general de solución y debe estudiarse cada caso en forma particular. Si el sistema además está forzado (con un forzador armónico) aún podemos seguir usando las mismas ideas, basta con añadir el forzador a las ecuaciones de Euler-Lagrange, teniendo particular cuidado de considerarlo en la variable que le corresponda (la masa sobre la cual actúa), para esto basta añadir la fuerza generalizada Q i que representa al forzador.

3.6 2 GRADOS DE LIBERTAD CON AMORTIGUAMIENTO 65

c

k1

x1

k2

Q2

m x2

Figura 3.6: Sismógrafo acoplado con un oscilador forzado

En este caso debemos escribir las ecuaciones d dt

  @L @ q _i

@L = @q i

 @E @ q _

d

i

+ Qi ;

(3.22)

y se procede de manera análoga al caso anterior. Mostraremos las diferencias que surgen debido a la presencia de forzadores armónicos con un ejemplo. Consideraremos el caso de un sismógrafo con oscilador armónico acoplado, el cual además está forzado, ver …gura (3.6). En este ejemplo el forzamiento externo sólo actúa sobre la masa m y estamos considerando que es un forzador armónico Q 2 = F o ei!t : El rectángulo en color gris sólo representa la parte donde se …ja el sistema y no tiene movimiento, y la parte donde se …ja el oscilador suponemos que es de masa despreciable para las condiciones del problema. Nuevamente suponemos conocidas las constantes de los resortes, el coe…ciente c y la masa del oscilador cuyo movimiento es el que pretendemos estudiar. En este caso existen 2 coordenadas generalizadas fx1 ; x2 g por lo que debe-

66 CAPíTULO 3 SISTEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTAD mos escribir 2 ecuaciones de movimiento. Las energías están dadas por 1 2 mx_ ; 2 2 1 1 V = k1 x21 + k2 (x1 2 2 1 E d = c x_ 21 ; 2 T =

2

x ) 2

;

y las fuerzas generalizadas son Q1 = 0; Q2 = F o ei!t :

Sustituyendo en la ecuación (3.22) para cada una de las variables obtenemos el par de ecuaciones c x_ 1 + (k1 + k2 ) x1 m• x2 + k2 x2

k x k x

2 2 2 1

= 0; = F o ei!t :

Capítulo 4 Más de 2 grados de libertad Cuando existen más de 2 grados de libertad la determinación de los modos normales de vibración mediante los métodos anteriores, se transforman poco a poco en una masa enorme de cálculos que conducen inevitablemente (en la mayoría de los casos) a el uso de métodos numéricos para resolver la ecuación secular y determinar así las frecuencias características del sistema en estudio. Mostraremos que este es el caso con algunos ejemplos, pero más adelante desarrollaremos el método de los coe…cientes de in‡uencia, que básicamente es un procedimiento de iteración matricial basado en un modelo idealizado del comportamiento elástico del sistema, este esquema mostrará ser una aproximación más práctica que de entrada acepta el hecho de que nuestra solución será aproximada. Existen más métodos disponibles en la literatura como el método Stodola y el de la impedancia mecánica que se usan básicamente en ingeniería civil para el estudio de la dinámica estructural, que nosotros no discutiremos aquí. Iniciaremos mostrando un par de ejemplos de sistemas de 3 grados de libertad aplicando nuestros metodos anteriores para tener una idea de la necesidad de generar nuevas maneras de resolver estos problemas.

4.1. 3 MAS acoplados Nuestro problema es determinar las frecuencias características asociadas a los modos normales de vibración de un sistema de 3 osciladores armónicos acoplados mediante resortes. Consideraremos el caso más simple cuando no 67

68

CAPíTULO 4 MÁS DE 2 GRADOS DE LIBERTAD x1

x3

x2

m1

m3

m2

k1

k2

k3

k4

Figura 4.1: 3 Osciladores libres acoplados

existe fricción, ni amortiguamiento ni está bajo la in‡uencia de un forzador externo, ver …gura (4.1) En este caso podemos usar la segunda ley de Newton para cada una de las masas o escribir las ecuaciones de Euler-Lagrange del sistema. Aquí usaremos la segunda ley de Newton porque es prácticamente inmediato obtener las ecuaciones de movimiento de cada una de las masas. La masa m 1 sólo experimenta las fuerzas debidas a las deformaciones de los resortes adyacentes m1x•1 =

k x  k (x  x ) ; 1 1

2

1

2

en forma análoga podemos escribir las ecuaciones de movimiento para las otras 2 masas ( y podríamos aplicar el método igualmente para un sistema de n osciladores acoplados de esta manera) m2 x•2 = m3 x•3 =

k (x  x )  k (x  x ) ; k (x  x )  k x : 2

2

1

3

3

3

2

4 3

2

3

Ahora debemos determinar la ecuación secular, para lo cual necesitamos suponer soluciones armónicas, y podemos usar cualquiera de las siguientes formas

x` =

8> >< >> :

xo cos !t; xo sin !t; i!t

xo e ; xo sin (!t + )

; ` = 1; 2; 3

4.1 3 MAS ACOPLADOS

69

en nuestro caso usaremos la forma exponencial x ` = A ` ei!t ; y sustituyéndola en las ecuaciones de movimiento obtenemos

        

k1 + k2 m1 ! 2 A1 k2 A2 = 0; k2 A1 + k1 + k2 m2 ! 2 A2 k3 A3 = 0; k3 A2 + k3 + k4 m3 ! 2 A3 = 0:



(4.1)

Sabemos que para tener soluciones distintas de cero debemos exigir que el determinante del sistema sea nulo (ecuación secular)

      

k1 + k2

m ! 1

2

k

2

k k + k  m ! k

0

2

1

2

2

2

3

k k + k  m ! 3

3

4

3

de aquí obtenemos el polinomio de grado 3 en ! 2



2

  

= 0;

k1 + k2 k 2 + k3 k 3 + k4 4 0 = !6 + + ! + m1 m2 m3 k1 k2 + k1 k3 + k2 k3 k 2 k3 + k2 k4 + k3 k4 k 1 k2 + k1 k4 + k2 k3 + k2 k4 2 + + + ! + m1 m2 m2 m3 m1 m3 k1 k2 k3 + k2 k3 k4 + k1 k3 k4 + k1 k2 k4 ; m1 m2 m3





en el interés de poder obtener alguna idea útil de este cálculo, simpli…caremos aún más el modelo, suponiendo todas las masas son iguales, lo mismo que las durezas de los resortes, por lo que la ecuación nos queda como !

6

  



k k 6 ! 4 + 10 m m

2

!

2

   k 4 m

3

= 0;

en este caso (el más simple posible) podemos obtener las frecuencias características k ; m k ! 22 = 2 m k ! 23 = 2+ m ! 21 = 2

  p   p 

2 ;

2 :

70

CAPíTULO 4 MÁS DE 2 GRADOS DE LIBERTAD

La deducción de los modos de vibración requiere que sustituyamos cada una de estas soluciones en el sistema de ecuaciones (4.1) para determinar las amplitudes. a) Al sustituir ! 21 obtenemos A2 = 0; A3 =

A ; 1

en este caso la masa intermedia no se mueve, la uno y la 3 oscilan en direcciones opuestas con la misma amplitud. b) Al sustituir la frecuencia más lenta ! 22 , obtenemos que todas las masas se mueven en la misma dirección con las amplitudes A1 = A3 ;

A2 =

p

2A1 ;

aquí la 2 la masa intermedia tiene mayor amplitud aunque se mueva exactamente con la misma frecuencia ! 2 : c) Para ! 23 (la oscilación más rápida) el movimiento es casi igual que el anterior pero la masa intermedia se mueve en dirección opuesta a las de los extremos A1 = A 3 ;

A2 =



p

2A1 :

4.2. Péndulos simples acoplados Consideraremos ahora un caso rotacional, en el que tenemos 3 péndulos simples acoplados mediante resortes ver …gura (4.2). Nos interesa determinar las frecuencias características del sistema, para lo cual suponemos que en la con…guración de equilibrio (no existe movimiento) los resortes no ejercen ninguna fuerza sobre las varillas. Sólo discutiremos el modelo más simple: en el cual todas las masas son iguales, las barras son de masa despreciable comparadas con las dimensiones relevantes del problema {mi ; i ; ki }y las longitudes de los péndulos son iguales lo mismo que las constantes que de…nen la dureza de los resortes. Usaremos el método de las lagrangianas para determinar las ecuaciones

4.2 PÉNDULOS SIMPLES ACOPLADOS

71

b

L

q2

q1

q3

m

m

m

Figura 4.2: 3 péndulos simples acoplados con resortes de movimiento del sistema. La energía cinética está dada por 1 T = 2 = =

1 2

3

X X    k=1 3

2 I k _ k ;

2 mL2 _k ;

k=1

1 2 2 2 mL2 _ 1 + _ 2 + _3 : 2

La energía potencial se encuentra almacenada en la elevación de la posición de las masas en un instante arbitrario de movimiento y en la deformación de los resortes, por lo que

"X 3

V = mgL

k=1

(1



# X

1 cos k ) + k 2

3

xi2 ;

i=1

la deformación de los resortes x i es claramente función de los ángulos de los péndulos adyacentes y de la distancia b a la cual están sujetos y está dada por x1 = = x2 = =

 

b(sin 1 sin 2 ); b ( 1  2 ) ; b (sin 2 sin 3) ; b ( 2  3 ) :

 





Donde hemos usado la aproximación de ángulos pequeños sin   = : Final-

CAPíTULO 4 MÁS DE 2 GRADOS DE LIBERT LIBERTAD

72

mente la energía potencial está dada por

 cos   cos   cos  ) + 12 kb (   ) + ((   ) mgL 1 =  +  +  +  +  + kb (   ) + ( (   ) : 2 2 Donde hemos usado cos   = 1   =2: V = mgL (3



1

2 1

2 2

2

2 3

2

3



2

2



1

2

2



1

2

2

2

2

3

2

3



2



;

En este caso tendremos 3 ecuaciones de movimiento correspondientes a cada uno de los grados de libertad del sistema  i ; i = 1; 2; 3: Para  1 tenemos d dt

 

@L @ _ 1 mL2•1 + (mgL ( mgL + + kb kb 2 )1

@L = 0; = @ 1

)

2

 kb 

2

= 0:

En forma análoga y debido a la simetría del problema tenemos mL2 •2 + (mgL ( mgL + + 2kb 2kb 2 )2 kb 2 1 mL2•3 + (mgL ( mgL + + kb kb 2 )3



2

 kb   kb  2

3 2

= 0; = 0:

Nuevamente proponemos soluciones armónicas i = Ai ei!t ; i = 1; 2; 3, y obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales ( mL2 ! 2 + mgL + mgL + kb kb 2 )A1 kb2 A2 = 0; kb 2 A1 + ( mL2 !2 + mgL + mgL + 2kb 2kb2 )A2 kb2 A3 = 0; kb2 A2 + mL2 ! 2 + mgL + mgL + kb kb 2 A3 = 0:





 

 





De aquí que la ecuación para determinar las frecuencias es

  

mgL + mgL + kb kb 2

2

 mL !

kb

2

2

kb

mgL + mgL + 2kb 2kb 2

0

kb

2

0 2

 mL !

2

2

2

que podemos escribir más brevemente como

   

B kb 2 0

kb

2

D

kb

2

0

kb B

2

  

2

kb mgL + mgL + kb kb  mL !

= 0; 0;

2

2

  

= 0;

4.2 PÉNDULOS SIMPLES ACOPLADOS

73

donde estamos representando B = mgL + kb2  mL2 !2 y D = D = mgL mgL + 2kb 2  mL2 ! 2 ; de esta manera manera podemos fácilmente fácilmente determinar determinar una de las raíces del determinante a partir de

    

B DB

k 2 b4 B DB

k2 b4 B = 0; 2k 2 b4 = 0; B = 0 o

() ()

DB

2 4

 2k b

= 0: 0:

Resolviendo cada una de estas ecuaciones obtenemos las frecuencias características !1 = !2 = !3 =

r r r

g kb 2 + ; L mL2 g ; L g 3kb2 + ; L mL2

claramente ! 2 corresponde al caso en el cual los resortes no se deforman y los 3 péndulos se mueven en la misma dirección con ésta frecuencia (que es la de un péndulo simple) 1 = 2 = 3 :

En el modo correspondiente a la frecuencia ! 1 la masa intermedia no se mueve, esto es 2 = 0 y 1 = 3 :



El caso de ! 3 es una caso es mucho menos intuitivo pues resulta que los péndulos (1) y (3) se mueven en direcciones opuestas al 2 pero con ángulos diferentes, dados por:

2 2

= 2 ; 3 = 2 1 = 3 ; 1

()

por lo que los péndulos de los extremos se mueven ambos en direcciones opuestas al movimiento del péndulo medio pero con el doble de amplitud de éste último.


74

4.3. Coe…cientes de In‡uencia Hasta ahora hemos considerado sólo sistemas discretos, es decir, aquellos en los cuales un conjunto de objetos de masas m se encuentran ligados entre sí mediante resortes y amortiguadores. Generalizar las ideas para sistemas contínuos requería de una aproximación diferente al problema, dado que ahora las conexiones elásticas serían parte del mismo objeto bajo estudio. La nueva idea para tratar estos problemas consistió en suponer que los cuerpos al vibrar tenían un comportamiento elástico lineal, necesitaban que el principio de superposición de fuerzas siguiera siendo válido, es decir, aún estaban intentando estudiar el problema más simple posible con las nuevas características. Con este …n trataban de contestar a la pregunta ¿cómo una fuerza o desplazamiento de un punto particular del cuerpo afecta o in‡uye en el desplazamiento o fuerza en otro punto arbitrario del mismo objeto. Para contestar esta pregunta es útil pensar en un cuerpo elástico arbitrario y de…nir cantidades adecuadas para el problema: q i ! desplazamiento generalizado, Qi ! fuerza generalizada, de esta manera con el par {q j ; Q j g describiremos un punto que tiene un desplazamiento lineal o angular y se le ha aplicado una fuerza o una torca, según sea el caso. La hipótesis de linealidad del sistema se puede resumir en la ecuación q i =

X

cij Q j ;

(4.2)

j

o en forma matricial

q = C Q;

donde C se llama la matriz de ‡exibilidad o matriz de in‡uencia y cada una de sus entradas cij representa la deformación en q i debida a la fuerza Q j aplicada en el lugar q j 1 . Con estas ideas la medición de la deformación en el lugar 1 {q 1} debido a una fuerza aplicada en el lugar 2 {Q2 }, nos permitiría conocer el valor c12 , ver …gura (4.3); y con el …n de estandarizar el procedimiento se consideraban siempre fuerzas Q j unitarias. Un resultado muy importante en relación con ésta teoría es el teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti, el cual a…rma que la matriz de ‡exibilidad C es simétrica, y puede enunciarse diciendo que la deformación q i debida a una 1 Aquí

debemos tener presente que cij puede mezclar los dos tipos de movimiento, rotaciones y traslaciones.

4.3 COEFICIENTES DE INFLUENCIA

75

Q2 q1

c

12

Figura 4.3: Determinación del coe…ciente de in‡uencia c12 mediante la medición de las deformaciones producidas por cargas unitarias en diferentes lugares.

Q1

Q2

Q3

Q4 Q5

Figura 4.4: Representación de cargas sobre una viga

carga unidad en lugar j es igual a la deformación q j debido a la aplicación de una carga unidad en i: Esto se puede mostrar basados en nuestra hipótesis

de linealidad, que esencialmente implica que las fuerzas son conservativas. Este teorema nos simpli…ca el trabajo a hallar sólo n(n + 1)=2, de las n2 componentes de la matriz C: En el caso de una viga con cargas en 5 puntos, ver …gura (4.4) tendríamos una representación matricial


76

3k 4m

F

k 2m

k m

~ sobre sólo uno de los 3 osciladores acoplados Figura 4.5: Acción de la fuerza F

0 BB @

q 1

.. .

q 5

1 CC A

= C 55

0 BB @

Q1

.. .

Q5

1 CC A

;

debido a la simetría de la matriz C sólo necesitamos calcular2 15 de las 25 componentes posibles de c ij :

4.3.1. Ejemplos del cálculo de la matriz de ‡exibilidad Consideraremos sólo ejemplos discretos para determinar la matriz C: Nuestro primer problema es el de 3 masas sujetas entre sí mediante resortes como se muestra en la …gura (4.5). Debemos determinar los desplazamientos de cada una de las masas al aplicar fuerzas unitarias a cada una de ellas. En este caso para determinar la matriz C debemos hallar 6 componentes, las otras 3 se tienen por simetría. Al aplicar una fuerza unidad a la masa 4m el resorte de rigidez 3k se estirará una distancia x = Q1 =3k = 1=3k; y de la ecuación (4.2) podemos leer el valor de c 11 x1 = c 11 Q1 + c12 Q2 + c13 Q3 ;

en este caso Q 2 = Q3 = 0 por lo que c 11 = 1=3k: Debido al movimiento de la masa 4m hacia abajo, las otras masas se desplazarán exactamente la misma 2 15 =

n(n+1)

2

= 5(6) 2 :

4.3 COEFICIENTES DE INFLUENCIA distancia por lo que x2 = x = x 3 =

de donde podemos concluir que c21 = c 31 reciprocidad de Maxwell tenemos

77

1 ; 3k = c 11 = 1=3k; y por el teorema de

1 ; 3k 1 = c31 = : 3k

c12 = c21 = c13

El resultado de este cálculo se puede representar en forma matricial

0 BB @

x1 x2 x3

1 CC A

=

0 BB @

1 3k

1 3k

1 3k

0 0

1 3k

0 0

10 1 CC BB CC A@ A

1 3k

1 0

:

0

Ahora determinaremos c 22 ; para esto ahora aplicamos una fuerza unidad Q2 a la masa intermedia 2m 2m y debemos determinar el desplazamiento en cada una de las masas debido a la aplicación de esta fuerza. Al aplicar la fuerza Q2 se deforman los resortes 3k 3 k y k que están en serie, por lo que la constante efectiva es

 

1 1 + 3k k 3k = ; 4

k^ =

1

;

por lo que el desplazamiento de la segunda masa al aplicar la fuerza unidad es Q2 ; k^ 4 = ; 3k = c21 Q1 + c + c22 Q2 + c + c23 Q3 ; = c22 ;

x2 =

dado que en este caso Q 1 = Q = Q3 = 0 y Q 2 = 1:

78

CAPíTULO 4 MÁS DE 2 GRADOS DE LIBERT LIBERTAD

La masa m se desplazará ésta misma distancia hacia abajo, es decir x3 = c22 ; y de x3 = c31 Q1 + c + c32 Q2 + c + c33 Q3 ; c22 = c32 :

Finalmente para deteminar c33 aplicamos una fuerza unidad3 a la masa m x3 = =

Q3

; 2 1 k

  1 3k

+

7 = c 33 : 3k

Ahora podemos presentar este sistema mediante las ecuaciones ecuaciones q = C = C Q;

0 BB @

x1 x2 x3

1 CC A

1 = 3k

0 BB @

1 1 1 1 4 4 1 4 7

10 CC BB A@

Q1 Q2 Q3

1 CC A

;

la matriz inversa de C recibe recibe el nombre de matriz de rigidez (K (K = C 1 ) a par q ( Ley tir de esto podemos expresar la matriz de fuerzas como Q = C = C 1 q =K = K q de Hooke).

0  10 BB   CC BB @  A@ 4

Q = k

1 0

1 2

0

1 1

Q1 = 4kx1 kx2 ; Q2 = kx1 + 2kx 2 kx2 Q3 = kx2 + kx + kx 3 ;

 



1

x1 x2 x3

1 CC ) A =

 kx ; 3

con estas ecuaciones podemos determinar las fuerzas que experimenta cada una de las masas al tener desplazamientos arbitrarios4 xi i = 1; 2; 3: 3 En el caso rotacional sería 4 Dentro del límite elástico

una torca unitaria.


q

79

l m1

l m2

l m3

Figura 4.6: Péndulo triple

4.3.2. 4.3 .2. Péndul énduloo Triple riple Como segundo ejemplo aplicaremos ahora estas ideas a un modelo rotacional que aún puede ser discutido como un movimiento traslacional, donde mediremos los desplazamientos q i ; a partir de la aplicación de fuerzas unitarias a cada una de las masas del sistema para determinar la matriz de ‡exibilidad. Con este …n consideraremos el péndulo triple de la …gura (4.6), en el cual todas las masas las consideraremos iguales, lo mismo que las longitudes de cada uno de los péndulos. Nuestro problema es determinar las 6 componentes diferentes cij para este sistema. Aplicamos una fuerza unitaria Q1 a la masa m1 como se muestra en la …gura (4.7) (teniendo en cuenta que la fuerza debe tener la misma dirección del desplazamiento q 1 = x1 ). Nos interesa determinar las xi i = 1; 2; 3 en equilibrio, de cada una de las masas después de aplicar esta fuerza unitaria Q1 :

En la aproximación aproximación de ángulos pequeños y aplicando el estudio de fuerzas a esta situación de equilibrio tenemos las ecuaciones

80

CAPíTULO 4 MÁS DE 2 GRADOS DE LIBERT LIBERTAD l

q

x1

Q1

m1

l m2

l m3

Figura 4.7: Consideramos la acción de la fuerza sólo sobre la primera masa

T sin sin  = Q1 ; T cos cos  = g (m1 + m + m2 + m + m3 ) = Q1 tan  = sin  = ; M 3 g x1 Q1 ) sin  = = ` M 3 g ` x1 = x2 = x = x 3 = Q1 ; M 3 g

)



(4.3)

donde M 3 = m = m1 + m + m2 + m + m3 : Éste cálculo nos permite además determinar fácilmente la primera columna o renglón de la matriz C; pues de la ecuación (4.3) podemos leer fácilmente los 3 coe…cientes de in‡uencia c11 = c = c 21 = c = c 31 =

` ; 3mg

pues en este caso después de aplicar la fuerza Q 1 podemos leer directamente de las ecuaciones q 2 = x = x 2 = c = c 21 Q1 y q 3 = x = x 3 = c = c 31 Q1 : Para determinar los coe…cientes del segundo renglón de la matriz C , aplicamos una fuerza unitaria Q2 a la ma masa m2 y determinamos los desplazamientos de cada una de las masas como consecuencia de esta acción. En la …gura (4.8) ilustramos la situación después de aplicar la fuerza unitaria a la masa m 2 :


81

l

q

m1

q

l Q2 x2

m2

q2

l m3

Figura 4.8: Repetimos el procedimiento para la segunda masa Nuevamente hacemos un estudio de las fuerzas sobre la masa m 2 que nos permitan determinar x 2 T sin  = 1; T cos  = (m2 + m3 ) g = 1 tan  = ; (m2 + m3 ) g ` tan  = sin  = ; M 2 g ` x2 = ; M 2 g

)



de donde podemos concluir q 2 = x1 + x2 = c 22 Q2 ; ` ` = + ; M 3 g M 2 g ` 1 1 = + ; g M 3 M 2 5` = : 6mg





y el coe…ciente c 23 lo leemos de la ecuación q 3 = c32 Q2 :


82

En forma análoga podemos determinar q 3 y obtenemos





` 1 1 1 q 3 = + + ; g m 2m 3m 11` = = c 33 Q3 ; = 6mg

)

C =

` 3mg

0 BB @

1 1 1 1

5 2

5 2

1

5 2

11 2

1 CC A

:

4.4. Aplicaciones de los coe…cientes de in‡uencia Ahora estamos en condiciones de aplicar un método matricial iterativo para determinar los modos normales de vibración de un sistema. Dado un sistema de ecuaciones de movimiento de la forma mij q• j + kij q j = 0; i; j = 1::n

(donde estamos considerando una suma sobre índices repetidos), podemos reemplazar este sistema por la ecuación matricial M • Q + KQ = 0;

donde: M representa la matriz de inercia

M = (mij )nn =

0 BB @

m11

.. . mn1



m1n

...

...



mnn

1 CC A

;

K es la matriz de rigidez (que es la inversa de la matriz de ‡exibilidad)

K = (kij )nn =

0 BB @

k11

.. .

kn1



k1n



knn

...

...

1 CC A

= C 1 ;

4.4 APLICACIONES DE LOS COEFICIENTES DE INFLUENCIA83 Los vectores de posición y aceleración

Q =

0 BB @

q 1

.. .

q n

1 CC A

• Q =

;

0 BB @

q•1

.. .

q•n

1 CC A

:

Consideramos que en los casos de interés físico la matriz M es invertible por lo que podemos escribir 1 • Q + M KQ = 0; • Q + DQ = 0;

donde D = M 1 K; = M 1 C 1 ; = (CM )1 ;

es llamada la matriz dinámica del sistema5 . Con estas ideas, las frecuencias naturales del sistema las determinamos a partir de la ecuación



D

2



 ! I = 0:

(4.4)

Veamos que este es el caso analizando el ejemplo de las 3 masas unidas por resortes de la …gura (4.5). Nuestro interés es determinar las frecuencias características del sistema a través de la ecuación (4.4). En nuestro cálculo previo determinamos la matriz de ‡exibilidad

C =

1 3k

0 BB @

1 1 1 1 4 4 1 4 7

1 CC A

;

ahora, la matriz dinámica está dada por D = (CM )1 = M 1 C 1 : 5 El

notación varía de un autor a otro, aquí usaremos D:

84


Podemos fácilmente leer la matriz M de la energía cinética del sistema. es decir T =

=

1 (x_ 1 x_ 2 x_ 3 ) 2

0 BB @

m1 0

10 CC BB A@

0

0 m2 0 0

0 m3

1 m1 _x21 + m2 _x22 + m3 _x23 ; 2





x_ 1 x_ 2 x_ 3

1 CC A

;

de aquí que la matriz dinámica está dada por D = M 1 C 1 ; D =

1 m

0 BB @ 0 BB  @

10  1 CC BB   CC A@  A 1  C  C A

1 4

0 0

0

1 2

4

k

0

1 2

0 0 1

D =

k m

1 1 2

0

1 0

0

1 4

1

;

1 1

0

1 2

1

1

:

1

Las frecuencias características de los modos normales son las raíces del polinomio j!2 I  Dj = 0; det

0 BB @

!

6

!

2



k m

k 2m

k 4m

!2

0





0 k m

k m

k 2m

!2

3k 4 19 k2 2 ! + ! m 8 m2

k m

1 CC A

  38 mk

= 0;

3

3

= 0;

de donde obtenemos las frecuencias k ; m 1 ! 22 = 4 4 1 ! 23 = 4+ 4 ! 21 =

  p   p 

10 ;

10 :

(4.5)

4.5 ITERACIÓN MATRICIAL

85

4.5. Iteración matricial Procedimientos numéricos son usados frecuentemente para calcular las frecuencias características de los modos normales cuando el número de grados de libertad es mayor que 3. La iteración matricial es un procedimiento numérico que permite la determinación de las frecuencias características y los modos normales respectivamente y se basa en dos herramientas fundamentales: la matriz de coe…cientes de in‡uencia combinada con las masas de los osciladores y la condición de ortogonalidad de los modos normales. El método consiste en elegir un vector inicial en forma arbitraria (normalmente se aprovechan las propiedades de simetría de la matriz de coe…cientes de in‡uencia) con el …n de determinar la frecuencia del primer modo de oscilación. Las frecuencias de los modos mayores se determinan buscando vectores ortogonales a los vectores encontrados en los pasos anteriores. Ilustraremos el método con un ejemplo. Consideraremos nuevamente el ejemplo de 3 masas unidas por resortes mostrado en la …gura (4.5). Sabemos que los desplazamientos están relacionados por la ecuación q = C Q;

o podemos también escribir las n ecuaciones que representa esta ecuación xi = ci1 Q1 + cin Qn ; i = 1;::;n xi = ci1 m1 x•1 + c12 m2 x•2 + + cinmn x•n ;



 

i = 1;::;n

Ahora usando nuestro método usual para determinar las frecuencias características, suponemos soluciones armónicas de la forma xi = ei!t (•xi = !2xi; i = 1;::;n); esto nos deja el siguiente sistema de ecuaciones xi = c i1 m1 !2 x1 + ci2 m2 ! 2 x2 +  + cin mn ! 2 xn ; (4.6a) donde hemos sustituido cada xi ! xi para simpli…car el método. Esta sustitución no tiene efecto en el resultado …nal pues es producto sólo del orígen de medición. La ecuación (4.6a) es la base para el método iterativo, y se puede representar en forma matricia como

0 BB @

x1

.. .

xn

1 CC A

= ! 2

0 BB @

m1 c11

.. .

m1 cn1



mn c1n



mn cnn

...

...

10 CC BB A@

x1

.. .

xn

1 CC A

;


86

que podemos abreviar escribiendo ~ = ! 2 U X; ~ X

(4.7a)

ésta es la ecuación básica para determinar las frecuencias de los modos normales. Para nuestro ejemplo tenemos m1 = 4m; m2 = 2m; m3 = m; y usando la matriz de coe…cientes de in‡uencia que determinamos previamente tenemos

0 BB @

x1

.. .

xn

1 CC A

m!2 = 3k

0 BB @

4 2 1 4 8 4 4 8 7

10 CC BB A@

x1

.. .

xn

1 CC A

:

Para determinar el primer modo de vibración comenzamos el procedimiento iterativo con un valor arbitrario6 pequeño (1; 2; 4) (como ensayo puede iniciarse con otro vector (1,1,1), el resultado no depende de esto pero sí la longitud del cálculo), de esta manera tenemos: Primera iteración

01 BB CC @A 1 2

m!2 = 3k

4

=

m! 3k

2

2

=

0 BB @ 0 BB @

4 2 1 4 8 4 4 8 7

10 1 CC BB CC A@ A

1 CC A 01 BB CC @A

12 36

1 2

;

4

;

48

m! (12) 3k

1 3

:

4

6 Que

podemos proponer en base a las condiciones particulares del problema, pero usualmente basta con un vector de inicio arbitrario y lo más pequeño posible.


87

Segunda iteración. Ahora nuestro vector de inicio es el (1; 3; 4)T

01 BB CC @A 1 3

=

m! 3k

2

4

=

m! 3k

2

2

=

0 BB @ 0 BB @

m! (14) k

4 2 1 4 8 4 4 8 7 14 44 56

0 BB @

1 CC A

10 1 CC BB CC A@ A 1 3

;

4

;

1 3: 142 4

1 CC A

:

Tercera iteración. El vector de incio para la tercera iteración es (1; 3: 142; 4)T

0 BB @

1 3: 142 4

1 CC A

m! 2 = k

0 BB @

=

3: 142

45: 136

;

4 2 1 4 8 4 4 8 7

m! 2 = (14) 3k

2

10 CC BB A@

0 BB @

1

14: 284

57: 136

m! (14: 284) 3k

0 BB @

1

4

1 CC A

3: 16 4

1 CC A

1 CC A

;

este último vector es prácticamente igual con el que empezamos la

88

CAPíTULO 4 MÁS DE 2 GRADOS DE LIBERTAD tercera iteración por lo que podemos escribir la ecuación m!2 (14: 284) = 1; = 3k

)

r

k : m

! 1 = 0: 456

Para obtener los modos normales superiores el método requiere del uso de las condiciones de ortogonalidad de los vectores asociados a los modos ~ a y X ~  debe cumplirse normales, es decir, para dos vectores X

X

mi X i X i = 0;

i

~ y B ~ debe tenerse con  6 =  , en nuestro caso para los vectores A A1 B1 m1 + A2 B2 m2 + A3 B3 m3 = 0;

que es equivalente a la ecuación matricial



A1 A2 A3



0  BB @

m1 0

1 3: 2 4

0

0 m2 0 0

0 m3

0  BB @

4 0 0 0 2 0 0 0 1

10 CC BB A@ 10 CC BB A@

B1 B2 B3 B1 B2 B3

1 CC A 1 CC A

= 0;

= 0;

esto nos permite determinar una de las coordenadas del segundo modo en términos de las otras dos que podemos escoger libremente 4B1 + (3: 2) 2 B 2 + 4B3 = 0; B1 = 1: 6 B 2 B3 : ~ en forma matricial y lo sustituimos en la Ahora escribimos el vector B





ecuación (4.7a) para determinar la frecuencia del segundo modo de vibración

0 BB @

B1 B2 B3

1 CC A

=

0 BB @

0

1: 6

0

1

0

0

1 0  CB CA B@ 1

B1

0

B2

1

B3

1 CC A

;


89

cuando esta ecuación se combina con la ecuación matricial del primer modo convergerá al segundo modo, es decir

0 1 BB CC @ A | {z } x1 x2

= !2

x3 ~ B

=

=

0 BB @

m! 3k

m! 3k

2

2

10  CC BB A@ | 10   10 CC BB CC BB A@ A@ 1 0 1   CB C CA B@ CA

m1 c11 m2 c12 m3 c13

0

1: 6

m1 c21 m2 c22 m3 c23

0

1

m1 c31 m3 c32 m3 c33

0

0

0 BB @ 0 BB @

0

1: 6

4 8 4

0

1

0

x2

4 8 7

0

0

1

x3

4: 4

3

x1

0 1: 6

0

x2

0 1: 6

3

x3

1

x1

x1

0

x2

1

x3

~ B

4 2 1

0

1

1 0  CB CA B@ {z1 CC A

1 CC A } ;

;

:

Nuevamente para iniciar el proceso iterativo usamos un vector arbitrario de inicio. Pero debido a la simetría de la matriz escogemos el vector (1; 0; 1)T de manera que iniciamos el proceso iterativo con este vector. Primera iteración

0 1 BB CC @ A 1 0

=

m! 3k

2

0 BB @ 0 1 BB CC @ A 0 1 BB CC @ A 0

4: 4

0 1: 6

1

0 1: 6

=

m! 3k

2

3 0

;

3

=

m! k

2

1 0

1

;

1 0 1  CB C CA B@ CA  3

0 3

1 0

1

;

90

CAPíTULO 4 MÁS DE 2 GRADOS DE LIBERTAD que es exactamente el vector con el cual iniciamos por lo que el procedimiento termina aquí y tenemos m!2 =1 = k

)

! 2 =

r

k : m

Para el tercer modo procedemos de manera similar usando primero las condiciones de ortogonalidad, que en este caso son 2 ecuaciones A~ T M ~ C = 0; T ~ ~ y B M C = 0;

 

A1 A2 A3

B1 B2 B3

0  BB @ 0  BB @

m1 0

0

0 m2 0 0

0 m3

m1 0

0

0 m2 0 0

0 m3


C 1 C 2 C 3 C 1 C 2 C 3

1 CC A 1 CC A

= 0;

= 0;

y usamos los vectores que ya determinamos previamente

0   BB @ 0    BB @ 1 3;2 4

1 0

1

4 0 0 0 2 0 0 0 1 4 0 0 0 2 0 0 0 1


C 1 C 2 C 3 C 1 C 2 C 3

1 CC A 1 CC A

= 0;

= 0;

de donde tenemos el sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas 4C 1 + 6: 4C 2 + 4C 3 = 0; 4C 1 C 3 = 0 = 1 C 1 = C 3 ; 4 C 2 = 0: 78C 3 :



)




91

Nuevamente escribimos este sistema en forma matricial

0 BB @

C 1 C 2 C 3

1 CC A

=

0 BB @

0 0 0: 25 0 0

0: 78

0 0

1

10 CC BB A@

C 1 C 2 C 3

1 CC A

;

y ahora combinamos esta ecuación con el segundo modo de manera que tenemos

0 BB @

C 1 C 2 C 3

1 CC A

=

=

m! 3k

m! 3k

2

2

0 BB @ 0 BB @

0

1 0   CB CA B@ 10 C B CA B@  4: 4

3

0 0 0: 25

0 1: 6

0

0 0

0: 78

0 1: 6

3

0 0

1

0 0 0: 432

C 1

0 0

C 2

1: 248

0 0 1: 752

C 3

1 CC A

10 CC BB A@

C 1 C 2 C 3

1 CC A

;

:

Primera iteración. Escogemos un vector arbitrario para iniciar las iteraciones.

En este caso dada la forma de la matriz tenemos la libertad de escoger los primeros 2 valores del vector como queramos y siempre obtendremos el mismo resultado así que escogemos el que nos obliga sólo a una iteración el

92


vector (0: 246; 0: 712; 1)T

0 BB  @

0: 246 0: 712 1

1 CC A

=

m! 3k

2

0 BB @ 0 BB  @

0 0 0: 432 0 0

1: 248

0 0 1: 752

m!2 = 3k

0: 432 1: 248

1: 752

m!2 = (1: 752) 3k

de donde tenemos

1 CC A

10 CC BB  A@

0: 246

1

;

;

0 BB  @

0: 246 0: 712

m!2 (1: 752) = 1 = 3k

0: 712

1 CC A

1

1 CC A

;

)

r

! 3 = 1: 308

k ; m

estos valores son prácticamente los mismos que habíamos obtenido antes en las ecuaciones (4.5).

Capítulo 5 Balanceo de rotores 5.1. Concepto de balance El balanceo es una técnica para corregir o eliminar fuerzas o momentos generados por perturbaciones vibratorias en rotores planos o cilíndricos. Sabemos que durante el funcionamiento continuado de una máquina, el desgaste natural puede provocar vibraciones que lleguen a alcanzar amplitudes peligrosas que nos obligan a su eliminación. Por el momento no existe aún una teoría bien establecida que resuelva el problema de forma integral, pero sí disponemos de varios métodos y criterios empíricos para eliminar las vibraciones no deseadas en los sistemas mecánicos, algunas de ellas las veremos en lo que sigue. Esencialmente todos los métodos tienen como fundamento el resolver las ecuaciones de equilibrio traslacional y rotacional, es decir, se busca que en la medida posible que se cumplan las condiciones

X X

~i = ~ F 0;

(5.1)

~ j = ~ 0: 

(5.2)

i

j

El problema fundamental que surge inmediatamente para poder usar estas ecuaciones es conocer la ubicación de las masas que provocan las vibraciones, y normalmente para determinar la posición de estas masas se recurre a méto93

94

CAPíTULO 5 BALANCEO DE ROTORES

dos físicos (rotaciones controladas) o geométricos para ubicar las causas del desbalance. Dado que usualmente estamos interesados en que cualquier eslabón o elemento de una máquina que se encuentre en rotación pura esté perfectamente equilibrado estática y dinámicamente, esto nos lleva a intentar eliminar todas las fuerzas y momentos generadores de vibración. En el caso del balanceo de un disco (un objeto plano) la técnica consiste en mover el centro de gravedad hacia el centro de rotación. Para el equilibrio rotacional de objetos más grandes y complejos requerimos de dos tipos de balanceo:

(i) Balanceo estático. Este se obtiene cuando no existe una fuerza centrífuga resultante y el centro de gravedad está sobre el eje de rotación. (ii) Balanceo dinámico. Este se obtiene cuando no existe ningún momento de giro a lo largo del eje.

5.1.1. Balanceo estático En el caso de un rotor delgado, la masa que produce el desbalance está en un solo plano y la fuerza que provoca el desbalance es una sola fuerza radial. En este caso el balanceo estático es todo lo que se necesita. Podemos determinar la ubicación de la masa para balancear el disco simplemente permitiendo que el rotor gire por la acción de la gravedad sobre rieles sin fricción. Esto se logra haciéndolos lo más delgados posibles, ver …gura (5.1). Permitimos que el disco gire hasta que encuentra su posición de equilibrio y posteriormente añadimos o quitamos masa (por ensayo y error) hasta que el rotor queda en reposo en cualquier posición en que lo coloquemos sobre los rieles.

5.1.2. Balanceo dinámico en un plano Si el disco está fuera de balance debido a masas que se encuentran sujetas a la super…cie del disco (ver …gura 5.2), entonces las masas son coplanares y giran en torno a un centro común, y dado que la fuerza centrífuga que actúa ~ i = mi vi2 =ri e^ = mi~ri !2 : Así que para sobre cada masa está dada por F balancear el sistema debemos añadir una masa adicional (m4 en nuestro caso) de manera que se cumpla la condición de equilibrio (ecuación (5.1)).

5.1 CONCEPTO DE BALANCE

95 P

o m

Figura 5.1: Balanceo estático

m2

m1

m3

o m4

Figura 5.2: Masas desbalanceadas en un disco.

Dado que todas las masas giran con la misma velocidad angular nuestra ~ ecuación de equilibrio F i = ~ 0 es

P 

m1~r1 + m2~r2 + m3~r3 + m4~r4 = ~ 0;

si suponemos conocida la masa m4 (conjunto de plomos de masas conocidas) debemos colocarla en la posición dada por ~r4 =

 m1

4

(m1~r1 + m2~r2 + m3~r3 ) :

96

CAPíTULO 5 BALANCEO DE ROTORES L 3

m R

O

L

Figura 5.3: Rotor desbalanceado

5.1.3. Balanceo dinámico en dos planos El balanceo en 2 planos es necesario cuando la longitud del rotor ` >> R; y la aproximación de un rotor plano ya no es adecuada. Es posible mostrar que cualquier masa desbalanceada en un rotor largo es equivalente a dos masas desbalanceadas en cualesquier dos planos perpendiculares al eje de rotación. De esta manera para balancear el rotor conocidas las posiciones de las masas que provocan el desbalance es necesario equilibrar cada una de estas por un par de masas colocadas en ángulos opuestos a esta pero en planos opuestos. Para mostrar esto consideraremos en el caso simple de un rotor de longitud ` ( ` > R) consideraremos que existe una masa no balanceada m en el punto (`=3; R) medidos desde O y que gira con una velocidad angular !; como se muestra en la …gura (5.3). Mostraremos que este problema es equivalente al de 2 masas no balanceadas colocadas en planos perpendiculares al eje de rotación como se muestra en la …gura (5.4) De la condición de equilibrio de fuerzas podemos determinar una de las 2 ecuaciones necesarias para determinar las magnitudes de las masas m 1 y m 2 que debemos colocar en los extremos del rotor; es decir debemos tener m!2 R = m1 !2 R + m2 ! 2 R = m = m1 + m2 :

)

De la condición de equilibrio rotacional (momentos calculados desde O) y suponiendo que L >> R; podemos escribir la ecuación de las componentes

5.1 CONCEPTO DE BALANCE

97

F

L 3

m

O

R

m1

m2

L

F1

F2

Figura 5.4: Rotor con 2 masas en planos perpendiculares al eje de rotación, para eliminar el desbalanceo.

perpendiculares del momento ` = m1 ! 2 R` = 3 m m1 = ; = 3 2 m2 = m: 3

m!2 R

)

)

Este argumento puede generalizarse para mostrar que para una distribución arbitraria de masas desbalanceadas distribuidas a lo largo de un rotor en posiciones angulares diferentes, el problema de balanceo es equivalente a un conjunto de masas desbalanceadas en cualesquier 2 planos.

5.1.4. Tolerancias al desbalance Las técnicas que deben usarse para el balanceo de un rotor se establecen empíricamente a partir de la relación de su radio con su longitud y las tolerancias de vibración claramente dependen de la función particular del rotor, si es una turbina, un eje de una carreta, o eje de una impresora o de un aparato de funcionamiento más delicado. Estas normalmente están de…nidas por la práctica. El método de balanceo de manera estándar queda determinado por la

CAPíTULO 5 BALANCEO DE ROTORES

98

siguiente tabla empírica de relaciones entre el radio y la longitud del rotor L=R

1 plano

2 planos

R
! 1000 rpm 1000 rpm < ! 0 ! 500 rpm 500 rpm < !

Debemos observar que los metodos anteriores funcionan basados en la hipótesis de que conocemos la ubicación de la masa que provoca el desbalance, sin embargo lo que sucede normalmente es que esta no es conocida y debemos tratar de ubicarla normalmente por ensayo y error, o por métodos geométricos1 que nos permitan además de estimar también el tamaño de su masa.

1 Balanceo

por el método de coe…cientes de in‡uencia.

Capítulo 6 Campos magnéticos alternantes 6.1. Introducción Hablar de campos magnéticos alternantes es equivalente a estudiar el campo electromagnético, es decir, campos eléctricos y magnéticos alternantes, pues como veremos más adelante las ecuaciones del campo electromagnético ~ (t) o B(t) ~ ) muestran que la variación en el tiempo de uno de los campos (E implican la existencia y variación del otro. El estudio y la aplicación del electromagnetismo ha tenido una enorme cantidad de implicaciones cientí…cas e industriales, nuestro interés en esta parte es su relación con el problema de la levitación magnética, que actualmente tiene aplicaciones espectaculares en algunos trenes europeos y asiáticos, los cuales apoyados en los principios de los campos alternantes (ver …gura 6.1) han logrado hasta el momento velocidades del orden de 400  600 km=h Iniciaremos con un breve repaso de los campos eléctricos y magnéticos y …nalmente mostraremos las ecuaciones de onda de los campos cuando estos dependen del tiempo. Tradicionalmente el estudio del electromagnetismo inicia con el enunciado de la ley experimental de fuerza eléctrica entre dos cargas separadas una distancia r; la ley de Coulomb ~ 12 = K q 1 q 2 ~r1 F ~r1

 ~r ; j  ~r j

donde K = 1=(4"o ): 99

2

2

3

(6.1)

100

CAPíTULO 6 CAMPOS MAGNÉTICOS ALTERNANTES

S

N S

N N

S

Figura 6.1: Tren sostenido por levitación magnética Partiendo sólo de ésta expresión podemos enunciar una importante cantidad de conceptos relacionados con los fenómenos electrostáticos. El campo eléctrico se de…ne por ~ ~ = F ; E q

y usando los principios de superposición de fuerzas tenemos que el campo en un punto P determinado por el vector ~r; está dado por

~ (~r) = E

1 4" o

2 66X  Z  4 | j{z j} | j {z j i

3 77 } 5

~r ~ri q i + ~r ~ri 3

~r ~r0 dq ; ~r ~r0 3

discretas

continuas

(6.2)

que incluye las contribuciones al campo de las distribuciones discretas de carga (cargas aisladas) y las distribuciones continuas (cargas distribuidas sobre líneas, super…cies o volúmenes). La ecuación (6.2) junto con la ley de Gauss para el campo eléctrico E ~ =

R

q enc ; "o

(6.3)

~  n donde  E ~ = S E ^ ds; constituyen las herramientas fundamentales para la determinación del campo eléctrico en una gran cantidad de casos prácticos. El concepto de potencial electrostático es una consecuencia de la aplicación del concepto de trabajo junto con la ley de fuerza de Coulomb, es

6.1 INTRODUCCIÓN

101

decir W = = = =

Z  Z  Z  r  Z  ~ d~r; F

~ d~r; q E

q

V d~r;

q

dV;

= qV = W V = : q

)

La idea de potencial eléctrico tiene una enorme importancia en el estudio del campo eléctrico, pues dado que es un escalar es mucho más simple de medir que el campo, y basta conocer las diferencias de potencial entre dos puntos para determinar la intensidad del campo eléctrico, además de sus claras ventajas de cálculo desde el punto de vista analítico. Es posible determinar la fórmula general para el cálculo del potencial eléctrico a partir del estudio y la generalización de la función potencial en el caso de una carga puntual, la cual está dada por V (~r) = K

q 1

j~r  ~r j ; 1

a partir de ésta expresión podemos simplemente sumar todas las contribuciones al potencial de las distribuciones discretas y continuas aprovechando que el potencial es un escalar se obtiene

V (~r) = K

2 3 66X Z 77 4 | j{z } j | j {z } j5 q i

i

~r

~ri

+

discretas

dq 0 ~r ~r0

;

continuas

conocido este potencial podemos ahora determinar el campo eléctrico a partir de la relación ~ = E

rV:

Existen muchos fenómenos y aplicaciones relacionadas con el movimiento de las cargas en presencia de campos eléctricos, pero para nuestro interés

102


particular sólo necesitamos los conceptos de corriente eléctrica i = dq=dt y densidad de corriente eléctrica ~ = i ^ J ei ;

A

donde êi representa un vector unitario en la dirección de la corriente. El experimento de Hans Christian Oersted mostró que las cargas en movimiento producían campos magnéticos, lo cual sugería la estrecha relación entre los fenómenos eléctricos y magnéticos. La producción de campos magnéticos a partir de cargas eléctricas en movimiento fue motivo de gran interés y se produjeron los primeros 2 grandes resultados: la ley de Ampere y la ley de Biot-Savart para la determinación del vector de campo magnético producido por corrientes estacionarias. ~ era el equivalente a la ley de Gauss para E; ~ La ley de Ampere para B ~ a lo largo de cualquier la ley de Ampere a…rma que la circulación de B trayectoria cerrada es directamente proporcional a la corriente encerrada por dicha trayectoria

I 

~ d~r =  o ienc ; B

C

y la ley de Biot-Savart representaba el equivalente matemático del cálculo del campo eléctrico (ecuación (6.2)) ~ r) = o B(~ 4

Z 

~r ~r0 : ~r ~r0 3

 j  j

Id~ `

Estas expresiones junto con la ley de fuerza de Lorentz ~ = q E ~ + ~v F





~ ; B

constituían las herramientas base para la determinación del campo magnético y el instrumento para estudiar algunas de sus principales consecuencias. Por otra parte la exploración de la idea de potencial magnético no resultó tan fructífera en un principio, fue prácticamente hasta los años 1950’s en los que se empezó a entender la enorme importancia de la idea del potencial magnético sobre todo en relación con las teorías de norma de Yang-Mills. Aquí nos limitaremos a mencionar que el campo magnético de puede determinar a partir del conocimiento del potencial vectorial magnético A~ tal que ~ B =

r  A:~

6.1 INTRODUCCIÓN

103

Hasta ese momento se tenía la clara comprensión de que las cargas producían campos eléctricos que le conferían propiedades especiales al espacio alrededor de las cargas y también que las cargas en movimiento producían campos magnéticos. Esto sugería cierta simetría entre ambos campos, esta idea fue explorada con éxito por Michael Faraday al demostrar que campos magnéticos variables en el tiempo provocaban el movimiento de las cargas en un circuito cerrado, es decir

 ddt ; B

"ind =

que escrita en su forma integral permitía relacionar de manera directa ambos campos

I 

~ d~ E l =



d dt

C

Z S

~ n B ^ ds:



Maxwell realizó la importante taréa de conjuntar todo el conocimiento adquirido hasta entonces sobre los fenómenos eléctricos y magnéticos y aportó una estructura lógica y coherente dentro de un marco teórico único, además de observar que debido al comportamiento simétrico de los campos era necesario añadir un término adicional a la ley de Ampere, todo estos trabajos los resumió …nalmente en las 4 ecuaciones fundamentales del campo electromagnético:

r  E ~ = ; ~ 0; r  B = r  E ~ =  ;

~ Ley de Gauss para E;

enc "o

@ ~ B @t

~ Ley de Gauss para B; Ley de F araday; ~

@ E ~ ~ r  B =  j +  " ; @t o

o o

| {z }

Ley de Ampere:

Maxwell

A partir de estas ecuaciones Maxwell pudo demostrar que el campo electromagnético puede viajar en el vacío y lo hace con una velocidad igual c = 3  105 Km=seg: Esto sugería que la luz era simplemente campo electromagnético. Para mostrar esto Maxwell mostró en primera instancia que los ~ y B ~ ambos satisfacen una ecuación de onda. los campos E

104


~ y B ~ 6.1.1. Ecuación de onda para E A partir de la ley de Faraday tenemos

  r r r r    r

~ = E

~ E

2 ~

E =

r 

 !

~ @ B ; @t

~  @t@ r  B;

(6.4)

@ ~ E ~ = 0 y r B =  ~ usando que el estudio es en el vacío r E o "o @t , sustituyendo en la ecuación (6.4) obtenemos

r

~ @ 2 E E =  o "o 2 ; @t

2 ~

que es precisamente la ecuación de onda del campo eléctrico. Comparando con la ecuación de onda general

r

2

1 @ 2   = 2 2 ; c @t

Maxwell pudo leer la velocidad de propagación del campo eléctrico c =

p 1 " : o o

En forma análoga, partiendo ahora de la ley de Ampere tenemos

  r r

@ = o "o @t @ 2 ~ B = o "o @t

~ B

~  r r(r  B)

r    !

~ ; E

~

 @ @tB

;

~ @ 2 B B = o "o 2 ; @t

2 ~

r

~ la misma velocidad de propagación. Esto le permitió sugerir y obtenía para B que la luz eran precisamente ondas electromagnéticas que se propagaban en el espacio vacío cumpliendo con las leyes descubiertas hasta entonces del electromagnetismo.

6.2 5.1.1 MODELO DE CAMPO MAGNÉTICO UNIDIMENSIONAL105 VVVV R

e

~

L

Figura 6.2: Circuito RL

6.2. 5.1.1 Modelo de campo magnético unidimensional Una forma simple de obtener un campo magnético unidimensional (las líneas de campo son todas paralelas) es mediante la construcción de un electroimán. Basta con disponer de una bobina enrollada en torno a un núcleo de hierro y tendremos una buena aproximación de un campo magnético unidimensional en las vecindades del centro de la bobina. Partiendo de la ley de Ampere

I  ~ B

d~l =  o ienc ;

C

y tomando la aproximación de un campo constante en el interior de la bobina podemos mostrar que B = ni;

donde n = N=L; es el número de vueltas por unidad de longitud, i es la corriente eléctrica que circula por la bobina y  representa la permitividad magnética del medio en el interior de la bobina. Podemos además a partir de las leyes de Kirchho¤ mostrar que la presión magnética del campo está dada por B2 P mag = : 2o

(6.5)

Para mostrar este resultado basta con considerar el circuito de la …gura (6.2)

106


Al circular una corriente alterna por el circuito podemos estudiar las variaciones de voltaje en cada uno de los elementos conectados y podemos escribir la ecuación " = V R + V L ; di = iR + L = dt di "i = i2 R + Li ; dt

)

esta ecuación nos dice que la potencia entregada por la fem es igual a la potencia disipada en cada uno de los elementos del circuito

P = P + P ; "

R

L

por lo que la energía almacenada en el campo magnético está dada por di ; dt dU B di = Li = dt dt 1 U B = Li2 ; 2

P

L

= Li

)

y usando que la inductancia de una bobina recta es L = o n2 À, tenemos …nalmente 1 U B = o Àn2 i2 ; 2 o en función del campo magnético B = o ni B 2 À U B = ; 2o U B B = ; vol B2 = : 2o

Para mostrar que esta es precisamente la presión magnética que ejerce el electroimán por unidad de área basta con recordar que la presión y el trabajo

6.3 MODELO DE LEVITACIÓN PURO

107

están dados por W = F `; W = PA`; W P = ; A` B2 P = : 2o

P =

F ; = A

)

6.3. Modelo de levitación puro La levitación magnética o suspención magnética, es un método mediante el cual un objeto puede quedar suspendido sin más soporte que los campos magnéticos. La presión magnética es usada para contrarrestar los efectos gravitacionales y cualesquier otras aceleraciones presentes. Earnshaw mostró en 1842, que una colección de cargas puntuales no puede ser mantenida en equilibrio estable únicamente por la interacción de las propias cargas. Este teorema es usualmente referenciado para campos magnéticos, pero originalmente se aplicó a campos electrostáticos. Normalmente se aplica a leyes de fuerza clásicas que varíen con la ley de inverso del cuadrado de la distancia y también a fuerzas magnéticas de magnetos permanentes y materiales paramagnéticos o cualquier combinación. La generalización del teorema de Earnshaw para campos magnéticos, muestra que no es posible levitar establemente contra la fuerza de gravedad. Pero es posible mediante el uso de materiales diamagnéticos, superconductores, o sistemas que involucren corrientes de Foucault (corrientes remolino inducidas por los campos magnéticos externos). Aunque Earnshaw mostró que no era posible levitar ningún objeto establemente usando sólo campos magnéticos estáticos, aún era posible la levitación de objetos, siempre que se usaran materiales diamagnéticos y controladores electrónicos. Puede mostrarse que los materiales diamagnéticos son estables al menos un una dirección lo que permite la estabilización electrónica en los demás ejes. Los conductores pueden tener una permeabilidad relativa a campos magnéticos alternantes por debajo de la unidad, de esta manera algunas con…guraciones simples de corriente alterna son autoestables, en este caso se dice

108


que se ha alcanzado la estabilidad dinámica, pues el sistema en levitación es capaz de amortiguar cualquier tipo de vibración.

6.3.1. Diamagnetismo El diamagnetismo es la propiedad que presentan algunos materiales, la cual consiste en la generación de un campo magnético interno en oposición a cualquier campo magnético externo que se le aplique, de manera que se produce un efecto neto repulsivo. Esto sucede debido a que los campos magnéticos externos alteran la velocidad orbital de los electrones alrededor del núcleo produciendo de esta manera un cambio en el momento dipolar magnético y de acuerdo con la ley de Lenz este se opone al campo externo. El fenómeno del diamagnetismo fue descubierto y nominado por primera vez en septiembre de 1845 por Michael Faraday cuando vio un trozo de bismuto que era repelido por un polo cualquiera de un imán; lo que indica que el campo externo del imán induce un dipolo magnético en el bismuto de sentido opuesto. Los materiales diamagnéticos son materiales que se caracterizan por tener una permeabilidad magnética  < 1: De esta manera el diamagnetismo es una forma de magnetismo que sólo se mani…esta en presencia de campos magnéticos externos y es en general un efecto bastante débil aunque en condiciones de superconductividad es bastante fuerte. La levitación diamagnética puede usarse para levitar piezas ligeras de bismuto o gra…to pirolítico sobre el campo producido por un imán permanente moderadamente fuerte. Debido a que el agua es predominantemente diamagnética, ésta técnica ha sido usada para levitar gotas de agua, animales vivos pequeños (chapulines, ranas y un ratón). Sin embargo los campos magnéticos requeridos para esto son muy grandes, típicamente alrededor de 16 teslas, lo que produce gran cantidad de problemas si existen materiales ferromagnéticos en la vecindad del experimento.

Apéndice Ondas estacionarias y viajeras Los fenómenos ondulatorios en la actualidad son tan importantes que pocas cosas podríamos hacer actualmente sin ellos, son indispensables para transmitir información a través del radio, la televisión, internet, telefonía celular, etc., captamos ondas del espacio con radiotelescopios, que nos permiten hacernos una idea del universo. Por otra parte a principios del siglo XX un conjunto de experimentos mostró que las partículas que constituyen el átomo (electrones, protones y neutrones) tienen también un comportamiento ondulatorio. Esto dió bases experimentales para la construcción de una teoría que explicaba el comportamiento de la materia a niveles atómicos, la mecánica cuántica. El propósito del presente apéndice es estudiar las propiedades básicas de las funciones que son esenciales para la modelación matemática de fenómenos oscilatorios, las funciones sin(x) y cos(x):

.1. Las curvas básicas, funciones sin(x) y cos(x): Las funciones sin x y cos x son parte esencial del lenguaje estántard para la descripción del movimiento ondulatorio. La grá…ca de la función f (x) = sin x en el intervalo [ ; ] se muestra en la …gura (.1). Los puntos de intersección con el eje x los determinan las soluciones de la ecuación x = n , sin x = 0; n 2 Z; (.1) además la función sin(x) es impar, es decir, sin x =  sin(x) para todo x ( x):

8

109

110

APÉNDICE ONDAS ESTACIONARIAS Y VIAJERAS

Figura .1: S in (x)

La grá…ca de la función g(x) = cos(x) en el intervalo [0; 2] se muestra en la …gura (.2) Los puntos de intersección con el eje x se determinan por la ecuación x = (2n

 1) 2 , cos x = 0;

n

2 Z;

(.2)

además la función cos(x) es par, es decir, cos(x) = cos(x) para todo x (8x): Ambas funciones cumplen la desigualdad

jsin xj  1; jcos xj  1; 8x 2 R:

(.3)

.1.1. Amplitud Si consideramos las funciones y = A sin x; y = A cos x; la constante A nos permite modi…car la altura de las funciones sin x y cos x de manera que ahora jA sin xj  jAj y jA cos xj  jAj ; (.4) para ejempli…car esta situación mostramos la grá…ca ( ??)de las funciones y = A sin x; con la amplitud A 2 f1; 2; 3; 5g en forma análoga, si y = A cos x; con A 2 f 12 ; 1; 2; 3; 5g está representada en la …gura (.4)

.1 LAS CURVAS BÁSICAS, FUNCIONES SI N (X ) Y COS (X ): 111

Figura .2: cos (x)

4

2

10

0

5

5

10

x

2

4

Figura .3: Representación de las funciones f (x) = A cos x; con A variable

112

APÉNDICE ONDAS ESTACIONARIAS Y VIAJERAS 6

4

2

10

0

5

5

10 x

2

4

6

Figura .4: Representación de la función f (x) = A sin x con A variable Los ceros de las funciones permanecen invariantes, sólo se modi…ca la altura de la función, y es tan grande (o pequeña) como lo sea el número A; que es llamada la .amplitud de la onda.

.1.2. Localización de ceros, máximos y mínimos de las funciones sin(x) y cos(x): Primero determinaremos los puntos del eje real en los cuales la función sin(x) toma los valores

8> < >: 

0;

sin(x) =

1; 1:

Los ceros de la función se determinan a partir de la periodicidad de la función, de la grá…ca (.1) podemos observar que los ceros en el eje x se localizan en los puntos donde sin(x) = 0

()

x = n;

n

2 Z:

.1 LAS CURVAS BÁSICAS, FUNCIONES SI N (X ) Y COS (X ): 113 De la misma manera entre 10s y 10s existe una distancia constante de 2: Ahora dado que en la parte positiva del eje el primer 1 se encuentra en x = =2; el siguiente estará en x1 = =2+2 = 5=2; x 2 = 5=2+2 = 9=2; podemos ahora infererir que la fórmula general para todos los máximos es sin(x) = 1

()

 + 2n; 2

x =

n

2 Z:

Mediante un análisis similar y tomando en cuenta que el primer 1 en la parte positiva del eje se encuentra en x = 3=2; el siguiente se encuentra en x2 = 3=2 + 2 = 7=2; x3 = 7=2 + 2 = 11=2; de donde podemos concluir que sin(x) =

1 ()

x =

 2 + 2n;

n

2 Z:

Para la función cos(x) podríamos repetir el mismo análisis y encontrar las fórmulas correspondientes, pero es más útil usar que las funciones sin(x) y cos(x) son la misma, salvo que una es traslación de la otra por una distancia =2; es decir:  cos(x) = sin x + ; (.5)

  2

a partir de esta relación podemos determinar rápidamente los 00 s; 10 s y 10 s de la función cos(x) usando el conocimiento que hemos adquirido para la función sin(x); es decir:

0’s cos(x) = 0 = sin(x + =2)  x + =2 = n = x = + n 2  x = (2n 1) ; n Z; 2

) 

()



2

así los ceros de la función cos(x) se encuentran en todos <> : 1’s cos(x) = 1 = sin(x + =2)  x + =2 = + 2n 2 x = 2n; n Z;

() 2

()

114


0,5

0 1

2

3

4

5

6

x

0,5

1

Figura .5: Representación de las funciones f (x) = sin kx; con k variable los máximos de la función cos(x) se encuentran en todos <> : -1’s cos(x) =

1 = sin(x + =2) ()  x + =2 =  + 2n () 2 x = (2n  1); n 2 Z: los mínimo se encuentran en todos << los múltiplos impares de  >> :

.1.3. Frecuencia En forma análoga ahora consideraremos las gra…cas de las funciones y = sin k x ; y = cos k x; ahora veremos el número k nos permite determinar el número de ondas completas en cualquier intervalo de longitud 2: Con éste …n mostramos las grá…cas (.5) de éstas funciones para los valores de k = f1=2; 1; 3g; en el intervalo x 2 [0; 2] El número k es llamado el número de onda , y determina el número de ondas completas en cualquier intervalo de longitud 2: De esta manera observamos que la grá…ca de la función sin(x=2) sólo debe mostrar media onda en

.2 ONDAS VIAJERAS, SU DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA 115 el intervalo de 0 a 2: Observermos que a mayor frecuencia menor longitud de onda y vicerversa. En el caso de la luz, las ondas con mayor frecuencia corresponen a la parte ultravioleta del espectro y son estas ondas las que pueden interactuar con los átomos debido a que tienen longitudes de onda del orden de los radios atómicos.

.1.4. Corrimiento de fase Podemos mover las grá…cas de las funciones trigonométricas hacia la derecha o izquierda, usando el hecho de que las grá…cas de las funciones y = f (x); e y = f (x + c);son la misma con la salvedad que una está trasladada hacia la izquierda o la derecha dependiendo del valor de c. De aquí que las grá…cas de las funciones y = A sin k(x  c) tiene la misma forma que la grá…ca de la función y = A sin kx; excepto que está corrida c unidades a la izquierda si c < 0; y está corrida c unidades a la derecha si c > 0: El número c es llamado el corrimiento de fase y mide, que tanto, la curva de la función sin x ha sido avanzada o retrasada . La grá…ca de la función y1 = 3 sin 2(x  1) tiene la misma forma que la grá…ca de la función y2 = 3sin2x excepto que está corrida 1 unidad a la derecha como se muestra en la …gura (.6) Un error que se comente frecuentemente al tratar de determinar los desplazamientos de la función, proviene de no factorizar el número de onda en la expresión de la función, por ejemplo, en la función y = 4cos(x + 2 ) ¿Cuál es el corrimiento de la función?, una respuesta común a esta pregunta es que el corrimiento es de =2 unidades hacia la izquierda, lo cual es incorrecto. Para determinar el corrimiento debemos escribir la función como y = 4 cos (x + 12 ) lo que nos permite leer correctamente el corrimiento de 1=2 unidades hacia la izquierda.

.2. Ondas viajeras, su descripción matemática La descripción matemática general del movimiento ondulatorio unidimensional se hace mediante una función que depende tanto del espacio como del

116


2

1

0 1

2

3

4

5

6

x

1

2

3

Figura .6: Representación de las funciones f (x) = sin (kx + ) con  6 = 0: tiempo, es decir:  (x; t) = A(t)sin k(x

 vt);

(.6)

donde v representa la velocidad de propagación de la onda, y es llamada la velocidad de fase, k representa el número de onda, t el tiempo y x representa el desplazamiento. En el caso particular de amplitud constante la Eq. (.6) toma la forma  (x; t) = A sin k(x

 vt);

(.7)

la longitud de onda  (distancia entre crestas consecutivas) se de…ne por 

 2k ;

(.8)

y representa el período espacial de la curva. La Eq. (.7) la podemos escribir también de la siguiente manera  (x; t) = A sin(kx = A sin(kx

 kvt)  !t);

(.9)

.2 ONDAS VIAJERAS, SU DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA 117 a la cantidad ! se le llama frecuencia angular y está de…nida por la Eq. (.9) !

 kv

2 v  = 2 =

(.10)

donde  = 1=T (T representa el periódo temporal) es la frecuencia , de éstas expresiones se deduce que la velocidad de propagación de la onda es igual al producto de la frecuencia ( ) por su longitud de onda ( ), es decir, v = ; y el período temporal T = 2=!: Es necesario tener en cuenta que el argumento de las funciones trigonométricas es adimensional, de donde se desprenden que las unidades de cada una de las cantidades de…nidas están dadas por [k] =

1 L 1 1 ; [] = L; [v] = ; [!] = ; [ ] = ; [T ] = t: L t t t

(.11)

.2.1. Principio de Superposición Consideremos la onda  1 (t) = A sin !t que representa el desplazamiento de algún punto material en una una cuerda, la super…cie del agua, etc. Si en este mismo medio se propaga a su vez otra onda  2 (t) = B sin !t; la onda resultante en el momento de encontrarse ambas ondas en el medio considerado resulta ser (.12)  (t) = A sin !t + B sin3!t; si pensamos que existen un número arbitrario de ondas propagándose en el mismo medio la onda resultante es la suma de cada una de las ondas presentes en el medio, es decir,  (t) =

X n

an cos n! +

X

bm sin m!;

(.13)

m

éste es precisamente el teorema de Fourier, que establece que cualquier función periódica con período temporal T = 2=! puede expresarse como la suma (.13) donde ! es la frecuencia natural o fundamental y las frecuencias n! son las armónicas o sobretonos . Las amplitudes a n y b m se determinan a

118


partir de las expresiones 2 an = T bm =

2 T

Z Z

T =2

 (t)cos n!t dt; n

T =2 T =2

2 N [ f0g;

 (t)sin m!t dt; m

T =2

2 N;

(.14)

de ésta manera cualquier clase de movimiento periódico puede considerarse como la superposición de movimientos armónicos simples. Si consideramos una función periódica con período espacial  = vT ; la onda se repite ahora en el espacio y en éste caso la fución  = A sin kx la podemos escribir  (x) =

X

an cos nkx +

m

X

bm sin mkx;

(.15)

m

si queremos introducir el tiempo en ésta expresión basta cambiar el argumento de las funciones sin x y cos x por x ! x  vt y obtenemos  (x; t) =

X

an cos nk(x

m

 vt) +

X

bm sin mk(x

m

 vt);

(.16)

donde las a n y b m se calculan ahora por 2 an =  bm =

2 

Z Z

=2

 (x)cos nkx dx; n

=2 =2

2 N [ f0g;

 (x)sin mkx dx; m

=2

2 N:

(.17)

Consideraremos algunos ejemplos para ilustrar el principio de superposición. El problema general que se considera en los siguientes ejemplos es: Dados los coe…cientes de Fourier para una suma de armónicas, determinar la onda resultante. 1) Si la corriente alterna a través de un circuito está dada por la función



 i(t) = 10sin 120t + 3

gra…que ésta función en un ciclo.



.2 ONDAS VIAJERAS, SU DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA 119 2) Gra…que la siguiente aproximación a un diente de sierra 1 1 y(x) = sin x + sin 3x + sin 5x 3 5

ver la siguiente …gura y

0.8 0.6 0.4 0.2

-5

-4

-3

-2

-1 -0.2

1

2

3

4

5

x

-0.4 -0.6 -0.8

3) Gra…que las siguientes versiones muy simpli…cadas de dos instrumentos musicales a) Violin y = sin x + 0;98sin2x + 0;45sin3x y

2 1

-4

-2

2

4

-1

x

-2

b) Piano y = sin x + 0;22sin2x + 0;28sin3x; y

1.0 0.5

-4

-2

2 -0.5 -1.0

4

x

120


.3. Pulsos Para mostrar la existencia de pulsos en la superposición de ondas de diferente frecuencia se requiere probar la relación: A cos  + A cos  = 2A cos

  

 +    cos : 2 2

(.18)

La demostración de esta ecuación (.18) puede hacerse de varias maneras, aquí mostraremos 3 posibilidades diferentes: (i) La más simple es a partir del LHS de esta ecuación, de la suma de las funciones coseno; esto es de cos( +  ) + cos (

  ) = cos  cos   sin  sin  +

+cos  cos  + sin  sin ; = 2cos  cos :

Ahora si hacemos 1 =  + ; 2 =  ;



entonces tendremos que  1 +  2 ; 2 1 2  = ; 2

 =



y por lo tanto cos(1 ) + cos (2 ) = 2 cos

   1 +  2 2

cos

1

2

2

H

.3 PULSOS

121

(ii) Si partimos del RHS es poco más complicado

   

 +    cos cos 2 2

=



  2

  cos cos 2 2



  sin sin 2 2

2



 

2

  cos cos 2 2 2cos

2

  sin sin 2 2

2

  sin sin 2 2

2

;

  1 sin2 + 2 2   sin2 1 cos2 ; 2 2   = cos  sin2 1 sin2 + 2 2   +cos2 1 cos2 ; 2 2 = cos  + cos  +     +sin2 sin2 cos2 cos2 ; 2 2 2 2 = cos2

   #   

            

  cos cos 2 2



"

 

    = cos cos sin sin 2 2 2 2     cos cos + sin sin 2 2 2 2



2

= cos  + cos ;

 +    cos = cos  + cos : 2 2

H

(iii) La tercera opción a partir de la representación compleja de la función coseno, también resulta muy simple; en efecto: 1  cos  = e + ei : 2



Demostración cos( +  ) + cos (



1 i(+) e + ei(+) + e() + ei() ; 2 1 i i = e e + ei + ei ei + ei ; 2 = cos  ei + ei = 2cos  cos :

  ) =

   

  





122


Nuevamente si se hacemos  1 =  + y  2 =    obtenemos la expresión

cos  + cos  = 2 cos

  

 +    cos : 2 2

Apéndice Lagrangianas y Hamiltonianos Existen varias formas alternativas al método de la segunda ley de Newton para determinar las ecuaciones de movimiento. Estos métodos se desarrollaron durante el siglo XIX, por Euler, Lagrange y Hamilton. El método estaba basado en un concepto desarrollado previamente por Pierre Louis Mapertuis y el cual se puede enunciar de manera breve como "la naturaleza es ahorrativa en todas sus acciones" y que es llamado el principio de mínima acción. Hamilton lo estableció de una manera más precisa a…rmando que: La evolución de un sistema dinámico del tiempo t1 a el tiempo t2 es tal que la acción S (t1 ; t2 ) es un mínimo con respecto a cambios arbitrarios pequeños en la trayectoria.

Euler y Lagrange le dieron la forma que usamos actualmente de…niendo la acción como la integral

Z 

t2

S (t1 ; t2 )

L(q i ; q _i ; t) dt;

(.1)

t1

esta es la cantidad que habría que estudiar (minimizar) para determinar las ecuaciones de movimiento del sistema El integrando es la Lagrangiana del sistema y está de…nida por la diferencia de las energías cinética y potencial del sistema: L(q i ; q i ; t) = T

 V;

1 = 2

n

X i=1

123

mi _q i2 + V (q i ):

124

APÉNDICE LAGRANGIANAS Y HAMILTONIANOS

Las variables q i se denominan las coordenadas generalizadas del sistema asociadas a la partícula i  esima y q _i son las velocidades generalizadas. Las ecuaciones de movimiento del sistema se determinan exigiendo que la integral (.1) sea un mínimo. El problema de determinar los mínimos de esta integral era un problema nuevo que no se podía resolver con el cálculo desarrollado por Newton y Leibiniz, era necesario construir nuevas herramientas, pues la respuesta no eran las coordenadas de un punto en el cual ésta función fuese mínima, sino que ahora se buscaba una función que hiciera de la integral, la mínima posible, es decir, la trayectoria de la partícula. Este tipo de problemas dió orígen al cálculo de variaciones, aquí simplemente ilustraremos su utilidad para los …nes de este curso, determinar las ecuaciones de Euler-Lagrange, que representan las ecuaciones de movimiento del sistema. Partimos de la acción (.1) y buscamos mediante variaciones arbitrarias de las coordenadas, ¿cuál es la trayectoria que une dos puntos …jos del espacio que hace de (.1) un mínimo (S = 0 ).

Z

t2

S = 

L dt;

t1

como estamos considerando que los extremos son …jos, podemos escribir

Z Z  Z t2

S =

L(q i ; q _i ; t)dt;

t1 t2

=

t1 t2

=

t1



@L @L q i +  _q i dt; @q i @ q _i t2 @L @L q i dt +  _q i dt; @q i _i t1 @ q

Z

(.2)

dado que sólo estamos considerando variaciones respecto a las coordendas y no a las velocidades, debemos determinar las variaciones de las velocidades ( _q i) en términos de las variaciones con respecto a las coordenadas ( q i ), esto podemos hacerlo usando el método estándard de integrar por partes el segundo término de (.2), es decir

Z

t2

t1

@L  _q i dt = @ q _i

Z    Z   t2

t1

d dt

@L q i dt @ q _i

t2

t1

d dt

@L @ q _i

q i dt; (.3)

125 como el movimiento se realiza entre 2 puntos …jos la primera de estas integrales en (.3) es nula, es decir q i (t2 ) = q i (t1 ) = 0: De aquí que

Z

t2

t1

@L  _q i dt = @ q _i

  Z  t2

t1

d dt

@L @ q _i

q i dt;

sustituyendo en (.2) tenemos

Z  t2

S =

t1

@L @q i



d dt

  @L @ q _i

q i dt = 0;

ahora, como las variaciones (q i ) son arbitrarias, la única manera de que esta integral sea siempre nula, es cuando el integrando sea cero, es decir: @L @q i



d dt

 

@L = 0; @ q _i

estas son las ecuaciones de Euler-Lagrange y serán nuestra herramienta básica para determinar las ecuaciones de movimiento de un sistema de n partículas. Nosotros usaremos y escribiremos estas ecuaciones de la manera equivalente: d @L  @L = 0 i = 1:::n; (.4) dt

  @ q _i

@q i

donde n representa el número de coordendas generalizadas independientes del sistema. Si de…nimos pq  @L=@ q _i y suponemos que estamos tratando con sistemas conservativos, es decir, F i = dp i =dt = @U (q i ) =@q i ; entonces podemos ver que la ecuación (.4) representa a la seguna ley de Newton en coordenadas generalizadas, i

d dt

    @L @ q _i d dt

@L = 0 = @q i @L @ (T U ) = ; @ q _i @q i dpi @U H = dt @q i

) 



A continuación mostraremos que la segunda ley de Newton implica las ecuaciones de Euler Lagrange, por lo que ambas formulaciones son equivalentes. Partimos de que existe una transformación de coordenadas xi =

126

APÉNDICE LAGRANGIANAS Y HAMILTONIANOS

xi (q i ) ; por lo que x_ i =

además se cumple

@x i q _i ; @q i

@x i @ x_ i = ; @q i @ q _i

pues

@ dx @ x_ i dt = dq ; @ q _i @ dt i

i

=

d @x i dt d dt @q i

=

@x i : @q i

Para sistemas conservativos tenemos @U  @x ; @U =  ; @x

F i =

i

m

dx_ i dt

i

multiplicando esta última ecuación por @U  @q



dx_ i @x i ; dt @q  dx_ i @ x_ i m ; dt @ q _ d @ x_ i m x_ i  dt @ q _ d @T dt @ q _  d @T dt @ q _  d @T dt @ q _  d @T dt @ q _ 

@x i @q 

resulta

= m = = = = = =

               

d @ x_ i ; dt @ q _  @ 2 xi  mx_ i _q ; @q  @q  @ @x i  @x i @ q _  mx_ i  q _ + mx_ i   ; @q @q  @q @q @ x_ i mx_ i  ; @q @T ; @q  mx_ i

127 donde hemos usado que

  

@ q _  @ dq  = = 0; @q  @q  dt d @q  d  =  = 0: dt @q  dt 

…nalmente tenemos

pues

@ (T U ) d @T = ; @q  dt @ q _



si U 6 = U (q _i ) entonces d @ (T U ) @ (T U ) = dt @ q _  @q  @L @L = 0: H @ q _ @q 



d dt



 

()

.0.1. Ecuaciones de Hamilton Las ecuaciones de Hamilton son un sistema equivalente de ecuaciones diferenciales a (.4) que nos permiten de igual manera determinar las ecuaciones de movimiento del sistema. El método estándar para hallar el sistema de ecuaciones de Hamilton es a partir de una transformación de Legendre, estas transformaciones aportan un método mediante el cual podemos eliminar una variable no deseada por otra que es más conveniente para la descripción de la situación física de interés. En nuestro caso (para Hamilton) la variable importante es el momentum generalizado p i ; que se de…ne por la ecuación pi

 @ @L q _ :

(.5)

i

La idea básica es determinar las ecuaciones de movimiento del hamiltoniano del sistema que se de…ne por H = T + V:

Para esto se propone la transformación de Legendre con la cual realizamos el cambio de variables q _i ! pi,

128

APÉNDICE LAGRANGIANAS Y HAMILTONIANOS H (q i ; pi ; t) = q _i pi

de esta manera

 L(q ; q _ ; t); i

i

(.6)

@H @ H @ H (.7) dq i + dpi + dt; @q i @p i @t ahora podemos estimar esta variación de H usando la transformación de dH =

Legendre (.6) y nos resulta dH = d (q _i pi )

 d (L(q ; q _ ; t)) ; @L @L @ L = p dq _ + q _ dp  dq + dq _ + dt @q @ q _ @t i

=

i

i

i



i

i

i

i

@L @ L  @q dq + q _ dp  dt @t i

i

i

i

i



;

i

observemos que el término en dq _i desaparece (esta es precisamente el objetivo de la transformación de Legendre). Ahora igualando con (.7) obtenemos las ecuaciones @H @L = ; @q i @q i @H = q _i ; @p i @H @L = ; @t @t

 

este es el sistema de ecuaciones de Hamilton. Usando las ecuaciones de EulerLagrange (.4) podemos cambiar el término @L=@q i por d dt

  @L @ q _i

@L ; @q i @L p_i = ; @q i =

así que nuestro sistema de ecuaciones …nalmente queda (usualmente consideraremos sistemas en los cuales @H =  @L = 0) @t @t @H = p_i ; @q i @H = q _i : @p i



129 Este es el sistema de ecuaciones que usaremos en las aplicaciones del método de Hamilton, observemos que las variables importantes para Hamilton son las posiciones (q i ) y los momentos generalizados ( pi = @L=@ q _i ), y para Lagrange las posiciones y las velocidades ( q i ; q _i ).

Apéndice Deltas Generalizadas de Kronecker Existe una herramienta que facilita enormemente el trabajo cuando se utilizan cantidades simétricas o antisimétricas. Estas cantidades son muy comunes en aplicaciones del análisis vectorial a problemas de física como electromagnetismo y mecánica, relatividad general, teoría cuántica de campo, etc. La intención de este apéndice es familiarizar al lector con estas cantidades que no son fácilmente accesibles en la literatura estándar de los cursos de una licenciatura de ingeniería o ciencias y enunciaremos sin demostración algunos teoremas importantes relacionados con estas cantidades.

.0.2. Delta de Kronecker La delta de Kronecker que normalmente encontramos en cursos de álgebra es el factor que sólo toma dos valores:  ij =

8< :

1; s i i = j 0; s i i = j

;

6

cuando no se está usando está cantidad en aplicaciones de relatividad, podemos escribir sin ningún problema esta misma función como  ji ; esta aparente trivialidad nos permite generalizar la delta para cualquier número de índices 131

132APÉNDICE DELTAS GENERALIZADAS DE KRONECKER como el determinante

:::rn  rc11cr22:::c n

=

  

 rc11

 rc21

 rc12  rc22

.. .

   

 rcn1

 

 rc

 rc2

... . . . ...

 rc1  rc2 n

n

n

n

n

  

;

de esta manera tendremos que una delta de 4 índices

   =

 

 

 

 

 

=    

 

01 @A 2 2

está dada por

;    

   :

Las deltas de más de 2 índices están relacionadas con el tensor completamente antisimétrico de Levi-Civita que se de…ne como la función que toma únicamente los 3 valores f1; 0; 1g en los siguientes casos

"a1 a2 :::a = n

8> < >: 

1; permutaci on par de (a1 ; a2 ; : : : ; an )

0; si hay {ndices repetidos (a1 ; a2 ; : : : ; an ) : 1; permutaci on impar de (a1 ; a2 ; : : : ; an )

Para determinar si la permutación es par o impar para un número grande de índices usualmente se recurre a una técnica geométrica para la paridad. Por ejemplo, si de…nimos que "1234 = 1; y nos preguntamos por el signo de "4231; podemos determinar el signo simplemente contando el número de

133 intersecciones como se muestra en la siguiente …gura

3

2

1

4

Metodo gra…co para determinar la paridad de una permutacin en este caso tenemos 5 puntos de intersección por lo que la permutación es impar, así que " 4231 = 1: Con estos objetos podemos representar 2 operaciones que son fundamentales en el análsis vectorial: (a) El producto escalar podemos representarlo mediante una delta de Kronecker y usando la convención de suma de índicces repetidos de Einstein: 3

~a ~ b =



X

ai bi ;

i=1

=  ij ai b j ;

donde usamos la convención de suma de Einsten: si existen índices repetidos entenderemos que hay una suma por cada par de índices repetidos, de esta manera evitamos la escritura de 2 signos de suma en este caso. (b) La componente i-ésima del producto vectorial o cruz de dos vectores podemos representarla mediante el tensor completamente antisimétrico de Levi-Civita por

 ~a

~ b = " ijk a j bk ; i

donde nuevamente se supone de antemano que existen 2 sumas por hacer para los índice j y k que aparecen repetidos en esta expresión. En este caso la componente x de este producto está dada por

 ~a

~ b

1

= "1 a b ; = "123 a2 b3 + "132 a3 b2 ; = a2 b3 a3b2 :



134APÉNDICE DELTAS GENERALIZADAS DE KRONECKER Existe un teorema que relaciona la delta de Kronecker y el tensor de Levi-Civita que sólo enunciaremos sin demostración (a) Relación del producto de " 0 s con la delta de Kronecker :::a a1 a2 :::a b1 b2 :::b =  ab11:::b ; n

n

n

n

(b) Reducción de deltas, si para una delta de tamaño L existen d {ndices diferentes y L d iguales, podemos ignorar todos los índices repetidos usando que





a :::ad I d+1 :::I L d I d+1 :::I L

 b11:::b

=

(n (n

 d)!   L)!

a1 :::ad b1 :::bd ;

donde n representa la dimensión del espacio en el cual se trabaja. Por ejemplo, en el caso tridimensional n = 3, y una delta con 1 o 2 índice repetidos resulta (3 2)! a1 a2  ; (3 3)! b1 b2 =  ab11ba22 ; (3 1)! a =  ; (3 3)! u = 2 au :

 ab11ba22LL =

 

 abc ubc

 

.1. Aplicaciones en análisis vectorial Para ilustrar la utilidad y la importancia de  0 s y "0 s consideraremos algunos teoremas importantes en análisis vectorial cuya demostración es usualmente larga por los metodos tradicionales del análisis vectorial. 1) Mostrar que ~a  ~ b  ~c 6 = ~a  ~ b ~c; es decir, mostrar que el producto cruz no es asociativo. Usando los métodos tradicionales esto implicaría el cálculo de 2 determinantes y al …nal veri…car que existen términos en el lado derecho de la ecuación que no están presentes en el lado izquierdo. Realizando

  

.1 APLICACIONES EN ANÁLISIS VECTORIAL la demostración por componentes tendremos

h    i ~ b ~c

~a



= "ijk a j ~ b ~c

i

k

;

= "ijk "k`m a j b` cm;  ijk k`m a j b` cm ;  ij `m a j b` cm ;  i`  jm  im j` a j b` cm ; ambi cm a` b` ci ; = (~a ~c) bi ~a ~ b ci ; = = = =

f

 g    

 

como esto es válido para todas las componentes tendremos ~a

  

~ b ~c = (~a ~c) ~ b



  

~a ~ b ~c:

En forma análoga podemos calcular el otro producto

h    i ~a

~ b

~c

i



= "ijk ~a

~ b ck ; j

= "ijk " j`m a` bm ck ; =

ikj `mj ` m k i k i k ` m m `

 a b c ; = f  +   ga b = a b c + a b c ; = (~a  ~c) ~ b  ~ b  ~c ~a: i k k

de aquí que

` m ck ;

k i k

 

          6         r  r  r r r ~ b)

(~a

~c = (~a ~c) ~ b

~ b ~c ~a;

y …nalmente hemos mostrado que ~a

2) Mostrar que el

~ b ~c = ~a ~ = A

~ b

~c:

~ A

2

~ A:

135

136APÉNDICE DELTAS GENERALIZADAS DE KRONECKER Solución

hr  r  i ~ A

= "ijk @ j

i

= = = =

r   ~ A

k

;

"ijk "k`m @ j @ ` Am ;  ij j @ ` Am ; `m @ i j  `  m  im  j` @ j @ ` Am ; @ m @ i Am @ ` @ ` Ai ; 2 ~ = @ i A Ai ;

f



g

r    r     r r r r r                            

de aquí obtenemos …nalmente que

~ = A

3) Mostrar que ~a ~ b Demostración ~a

~ b

~c

~c

~ A

2

~ d = (~a ~c) ~ b ~ d

~ d = ~a

~ b

i

~c

~ A:

~a ~ d

~ b ~c :

~ d ; i

= "ijk a j bk "i`m c` dm;

=  jk `m a j bk c` dm ; =  j`  km  jm  k` a j bk c` dm ; = a` bm c` dm am b` c` dm ; = (~a ~c) ~ b ~ d ~a ~ d ~ b ~c :

f





4) Mostrar que:

g

       

r  (r) = ~ 0; r  r  A~ = 0:

(a) (b)

 

La demostración de ambos resultados descansa en el hecho de que las derivadas parciales conmutan, en efecto: Demostración. (a) [

r  (r)]

i

= "ijk @ j ( )k ; = "ijk @ j @ k ; = 0;

r

.1 APLICACIONES EN ANÁLISIS VECTORIAL

137

pues la cantidad A jk = @ j @ k  es simétrica y el tensor de Levi-Civita antisimétrico, de donde se tiene "ijk @ j @ k  = = "ijk @ j @ k  "ikj @ j @ k  = 2"ijk @ j @ k  =



"ikj @ k @ j ; "ikj @ j @ k ; 0; 0:

(b) En forma análoga tendremos

    r r r ~ = @ i A

~ ; A i

= "ijk @ i @ j Ak ; = 0:

donde hemos usado nuevamente el mismo argumento que en el caso anterior. ~ = B ~  r A ~  B ~ r  A ~  A ~  r ~ 5) Mostrar que r  A~  B B + ~ A

r   hr    i

      

~ : B

Demostración ~ A

~ B

i



~ = "ijk @ j A = = = =

~ B

k

;

"ijk "kmn @ j (ambn ) ;  ij j am + am @ j bn ) ; mn (bn @  im  jn  in  jm (bn @ j am + am @ j bn ) ; b j @ j ai a j @ j bi + ai @ n bn bi @ m am ; ~ ~ ~ ai = B ai A bi + B

f

 g   r  r r

       r  

~ bi ; A

como esto es válido para cada una de las componentes, tenemos …nalmente que

          r  r  r r  r       r    r   r ~ A

~ = B ~ B

6) Mostrar que Demostración.

~ A

~ A

~ A

~ B +

~ = B ~ B

~ A

~ A ~ B

~ A

~ ~ A B:

~ : B

138APÉNDICE DELTAS GENERALIZADAS DE KRONECKER

    r   ~ A

~ B

~ = @ j A

~ B

j

;

= " jkm @ j (ak bm ) ; = " jkm ak @ j bm + bm @ j ak ; = ak "kjm @ j bm + bm "mjk @ j ak ; ~ + bm ~ = ak B A

f

g

  r ~  r  B ~ = A

  r      r   k

~ +B

m

;

~ : A

Podemos también aplicar las  0 s y " 0 s en el caso de matrices1 . En el caso particular de robótica, existe un resultado que es de gran importancia para el estudio de la cinemática y dinámica de los robots, que tiene que ver con las matrices de rotación R 33 : En nuestro caso es su…ciente decir que las matrices de rotación consideradas cumplen con el siguiente par de condiciones: (a) Si R es una matriz de rotación entonces RRT = I 3 ; (b) El determinante de la matriz R es la unidad, es decir det R = 1: Además el producto de matrices (C = AB) también se puede representar en la notación de índices, donde cada componente nueva de la matriz producto está dada por cij = aik bkj ;

donde nuevamente se considera que existe una suma sobre el índice repetido k:

El teorema en cuestión sobre matrices de rotación a…rma que si aplicamos la matriz de rotación R al producto vectorial de los vectores ~a y ~ b el resultado es igual a realizar el producto vectorial de las rotaciones de ambos vectores, es decir



R ~a

~ b = R~a

 R~ b:

Demostración Partimos del hecho de que el det R = 1 y R 1 = RT , estas dos ecuaciones las podemos escribir como 1 =  123 = ijk Ri1 R j2 Rk3 ; 1 De

hecho esta es su principal aplicación

(.1)

.1 APLICACIONES EN ANÁLISIS VECTORIAL

139

o en forma equivalente

 = ijk Ri R j Rk ;

(.2)

La condición de que la inversa es la traspuesta la podemos escribir en términos de la delta de Kronecker como

Rki Rkj =  ij :

(.3)

Como los índices en (.2) son arbitrarios podemos escribir esta relación como l  l = ijk Ri R j Rk ;

ahora usando (.3) (l Rkl ) Rk = (ijk Ri R j ) Rk ;

que es equivalente a la ecuación l Rkl =  ijk Ri R j ;

ahora, multiplicando ambos lados de esta ecuación por a  b obtenemos l Rkl a b =  ijk Ri R j a b ; Rkl l a b =  kij Ri a R j b = kij (R~a)i (R~ b) j ; Rkl (~a

y …nalmente R(~a

 ~ b)

l

= (R~a

 R~ b) ; k

 ~ b) = R~a  R~ b:

H

Apéndice Energía cinética de un cuerpo Rígido En varios problemas es necesario escribir la energía cinética de un sistema que tiene dos movimientos; traslación del centro de masas y rotación en torno a su centro de masas. La expresión para la energía cinética es afortunadamente muy simple y resulta ser sólo la suma de la energía cinética del centro de masa más la energía de rotación en torno al centro de masa. La demostración de este hecho es relativamente simple para el caso de rotaciones planas (eje de rotación …jo). Para esto basta considerar un cuerpo rígido de forma arbitraria y un par de vectores, uno que determine la ubicación del centro de masas a lo largo del movimiento rcm y otro para determinar la posición de un elemento de masa arbitrario del cuerpo rígido desde el centro de masas r0 ver Figura (.1). La energía cinética del elemento de masa dm está dada por 1 dE = _r2 dm; 2

donde r = r cm + r0 ; por lo que r_ 2 = (rcm + r0 )  (rcm + r0 ) r_ 2 = (r_ cm + _r0 ) (r_ cm + _r0 ) ; 2 = r_cm + r_ 02 + 2r_ cm r_ 0 ;



141



142APÉNDICE ENERGíA CINÉTICA DE UN CUERPO RíGIDO dm

r´

r

CM

r CM

Figura .1: Descripción del movimiento de un cuerpo rígido a partir de un sistema de referencia arbitrario por lo que la energía cinética total del cuerpo rígido está dada por E =

Z Z

dE;

1 2 (r_cm + r_ 02 + 2r_ cm r_ 0 )dm; 2 1 1 d 2 = M r_ cm + r_ 02 dm + _rcm 2 2 dt =



Z



Z

r0 dm;

el último término de esta suma es nulo por la de…nición de centro de masa (pues cada elemento de masa r0 dm tiene un elemento simétrico r0 dm que lo compensa). El segundo término requiere un poco más de trabajo, r_ 0 es la velocidad tangencial del elemento dm visto desde el centro de masa por lo que pordemos escribirlo como r_ 0 = !  r0 y su cuadrado está dado por r_ 02 = ( !

0

0

 r )  (!  r ) ;

donde ! es la velocidad angular en torno al centro de masas. Usando la relación vectorial (A

 B)  (C  D) = (A  C) (B  D)  (A  D) (B  C)

podemos desarrollar el producto dado en la ecuación (.1) y obtenemos r_ 02 = ! 2 r02

0 2

 (!  r ) ;

(.1)

143 y como ! y r0 son vectores perpendiculares (sólo para rotaciones planas) obtenemos …nalmente

Z

1 1 2 E = M r_ cm + ! 2 r02 dm; 2 2 1 1 2 E = M r_ cm + I!2 ; 2 2

esta es la expresión que usaremos repetidamente a lo largo de las notas para sistemas que se trasladan y giran.

Apéndice La matriz de Inercia Dado un cuerpo rígido R y un sistema de coordenadas con orígen en O; cuyos ejes no necesariamente están …jos en el cuerpo, existe una matriz I33 llamada matriz de inercia (o tensor de inercia) del cuerpo R con respecto a este sistema de coordenadas. Sus componentes dependen (i) del cuerpo R; (ii) de la elección del orígen y (iii) de la elección de los ejes de coordenadas. Dada uno un eje de rotación ` que pasa por el orígen O en la dirección determinada por el vector ê` ; entonces el momento de inercia de R alrededor de ` está dado por I ` = e^`

 Ie^ : `

(.1)

De esta manera, si conocemos la matriz I; podemos fácilmente conocer el momento de inercia del cuerpo para cualquier eje que pase por el orígen O: Las componentes de la matriz de inercia están dadas por I11 = I22 = I33 =

R R R

2 2 R  (y + z ) dV

I12 =

R

 (x2 + z 2 ) dV

I13

R

 (x2 + y 2 ) dV

I23

 = =

R R R R

 xy dV

R

 xz dV

R

 yz dV

(.2)

La matriz de inercia resulta a partir del teorema que nos permite separar la energía cinética de un cuerpo rígido en la forma T = T trans + T rot , CM

145

CM

APÉNDICE LA MATRIZ DE INERCIA

146 en efecto,

dm

r ´

M

r

r CM

O

de la …gura, tenemos ~r = ~rcm + ~r0 y por lo tanto 1 2 _r dm; 2 1 2 T = r_cm dm + r_ 02 dm 2 1 1 2 = M V cm + r_ 02 dm; 2 2

dT =

Z

Z  Z

pero r_ 0 representa la velocidad tangencial de dm respecto al eje de rotación considerado (en nuestro caso perpendicular al plano mostrado), así que podemos escribir r_ 02 = (~ !

0 2

 ~r )

por lo que ahora tenemos para la energía cinética que:

Z

 (~ !

1 1 T = M V cm + 2 2

 ~r)

2

dV =

 ( j`  km

R

=

R

0 2

 ~r )

dV =

 ! j2 r02

0  jm  k` ) (!` ! j rk0 rm ) dV;

! ` ! j r`0 r j0 dV;

  ij r02

! i ! j

i;j

)

0  ("ijk ! j rk0 ) ("i`m ! ` rm ) dV;

R

=

 (~ !

Z Z  Z    X Z    R

=

Z

R

ri0 r j0 dV;

147

P X !X ! X

donde hemos usado el arti…cio ! j = n

y

k ! j  ik

n

ai

b j =

i

j

ai b j :

i;j

Las cantidades que nos interesan son los elementos de matriz Iij

Z  

  ij r2

R

=

rr

i j

I ji ;



dV;

que para los diferente valores de los índices (i; j) están dados por las ecuaciones (.2). En efecto, el elemento de matriz I 11 está dado por I11

=

Z    Z  Z   Z  Z   r2

R

=

r12 dV;

 x2 + y 2 + z 2

R

=

2

x

 y2 + z 2 dV;



dV;

R

y

I21

=

 ( r1 r2 ) dV;

R

=

 xydV;

en forma análoga se calculan los demás términos.

.0.1. Cilindro Para el caso particular de un cilindro (ver …cura (.1))cuyo eje de rotación para por su eje axial de simetría tenemos:

Compomentes del tensor de inercia (i) Componente

I11


148

z

R

h

y

x

Figura .1: Momento de inercia de un cilindro respecto a un eje perpendicular a sus caras

I11 = 

Z  

y2 + z 2 dxdydz;

en coordenadas cilíndricas tenemos que x = r cos ; y = r sin  y z = z; y dV = rdrddz; de donde I11

= 

Z Z Z Z Z       2

y dxdydz +

h

= 

0 4

2

0

R

2



z dxdydz ;

r 2 sin2  rdrddz +

0 3

R h R2 =  h + 2 ; 4 3 2 R2 h 2 = M + ; 4 3 M = 3R2 + 4h2 ; 12

Z



z 2 rdrddz ;

debemos notar que los valores de las componentes del tensor de inercia dependen de la elección de nuestro orígen (es decir I = I (O)), para el mismo cilindro con el orígen en el CM el resultado es I11 =

M 3R2 + h2 ; 12





pero los valores de los mentos de inercia respecto a I cm (o cualquier otro eje) no dependen de la elección del orígen.

149 (ii) Componente

I22 I22

= 

Z   



r2 cos2  + z 2 rdrddz;

R4 h 3 R2 =   h + 2 4 3 2 M = 3R2 + 4h2 ; 12 I = 11 (iii) Componente





;

I33

I33

= 

Z 



r2 cos2  + sin2  rdrddz;

R4 =  2h; 4 MR2 = : 2

(iv) Todos los elementos no diagonales son nulos, en efecto: I12

= =

Z  



r2 sin  cos  rdrddz;



Z

2

R4 1  h 4 2



sin(2) d;

0

= 0; = I21 : (v) I13

= 

Z

zr cos  drddz;

= 0; = I 31: (vi) I23

= 

Z

= 0:

r sin  z rdrddz;


150

Por lo que la matriz de inercia para un cilindro con el orígen en una de las bases está dada por IC

=

0 BB @

M (3R2 12

2

+ 4h )

0 M 2 12 (3R

0 0

0 + 4h2 )

0 M R2 2

0

1 CC A

;

ahora haremos uso de la ecuación (.1) I ` = e^` Ie^` ; para determinar el momento de inercia para cualquier eje que pase por el orígen O : (a) Si escogemos como dirección el eje e^` = ^{ entonces I x = ^{ IC ^{; M = 3R2 + 4h2 ; 12 si el cilindro se considera delgado (R t 0; h = L) entonces







M L2 = I y ; 3 (b) el momento de inercia respecto al eje z es I x =

^ IC k ^; I z = k M R2 = : 2



Usando el teorema de los ejes paralelos tenemos que el momento de inercia de un eje que pase por el CM y sea paralelo al eje y o x está dada por M h2 3R2 + 4h2 M ; 12 4 1 1 = MR2 + Mh2 H 4 12



I cm? =



.0.2. Esfera La esfera es un caso más simple, pues debido a la simetría de la esfera respecto as cualquier eje que pase por su centro de masa resulta I E =

0 BB @

2 2 5MR

0

0

0

2 M R2 5

0

0

0

2 2 5MR

1 CC A

;

.1 PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE INERCIA

151

usando esta matriz y el teorema de los ejes paralelos podemos determinar el momento de inercia de la esfera respecto a cualquier eje que necesitemos.

.1. Propiedades de la matriz de inercia Dado que la matriz de inercia es una matriz simétrica de orden 3, en general se puede representar por

0  1 BB   CC @  A A

I

=

a

a B b

b

c

;

c C

donde A; B y C son llamados los momentos de inercia correspondientes a los ejes coordenados fx;y;zg respectivamente y de las ecuaciones (.2) observamos que no pueden ser negativos. Los elementos fuera de la diagonal fa;b;cg son llamados los productos de inercia. Dado que toda matriz no singular es diagonalizable, de aquí se sigue que es posible diagonalizar la matriz de inercia, pues los elementos de la diagonal son no nulos, por lo que podemos escribir: Teorema (de los ejes principales) Dado un cuerpo rígido R y un orígen O, siempre es posible escoger un sistema de ejes cartesianos en O tales que la matriz de inercia es diagonal. I

=

0 BB @

A 0 0 0 B 0 0 0 C

1 CC A

;

tales ejes son llamados los ejes principales en O : Demostraci on

Se sigue el procedimiento estándar para diagonalizar una matriz no singular, i.e., a partir de los valore propios de la matriz de inercia se construye la matriz P tal que ID = P 1 I P:


152

.1.1. Teorema de los ejes paralelos (Teorema de Steiner) Theorem 2 Dado un cuerpo rígido de masa M y momento de inercia I CM respecto a un eje que pase por el centro de masa entonces, el momento de inercia I respecto a cualquier eje paralelo a una distancia d está dado por I = I CM + M d2 :

dm

r

r ´

r ´

M

r

L

r CM

L o

Demostración Observemos primero que podemos garantizar las distancias perpendiculares al eje de rotación usando el producto cruz, en efecto, si llamamos n^ a un vector unitario a lo largo del eje Lk entonces la distancia r? está dada por 0 r? = j~r  n ^ j ; y en forma análoga r ? = j~r0  n ^ j ; y la distancia de separación entre los ejes está dada por d = j~rcm  n^ j : El momento de inercia respecto al nuevo eje L k está dado por I = = =

Z Z Z h

2 r? dm;

((~rcm + ~r0 )

2

(~rcm

= M d2

 n^)

2

0

dm;

 n^ ) + (~r  n^) + I | cm

R

2

+ 2 (~rcm

0

i

 n^)  (~r  n^ )

dm;

donde hemos usado que ~r0 dm = ~ 0; y que los vectores ~rcm y ^n son constantes.

Bibliografía [1] Vibraciones Mecánicas William W Seto 1971 Shaum Outline Series. [2] Classical Dynamics of particles and Systems J B Marion, S T Thorton. Saunders College Publishing. [3] Principles of electrodynamics Melvin Schwartz. Dover. [4] Wikipedia, the free encyclopedia http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page. [5] Den Hartog J. P., Mechanical Vibration, Ed Mc Graw Hill.

153

Vibraciones - Dr. Alejadro Noé

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