UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGIA, MINERA Y METALURGICA ESCULA DE MINAS
NOMBRE Y APELLIDOS: Nestor Enrique Rodriguez Jesus CURSO: Geoestadística I TEMA: Variograma (Efecto Hueco) PROFESOR: Ing. Teves
Lima, 24 de abril del 2012
Variograma (Efecto Hueco) Objetivos: El objetivo del presente informe es determinar los parámetros descriptivos de los semivariogramas, los cuales serán posteriormente usados en la estimación.
Marco teórico: Variograma:
A esta función denotada por 2γ(h) se le denomina variograma. Utilizando la definición teórica de la varianza en términos del valor esperado de una variable aleatoria , tenemos:
La mitad del variograma γ(h), se conoce como la función de semivarianza y caracteriza las propiedades de dependencia espacial del proceso. Dada una realización del fenómeno, la función de semivarianza es estimada, por el método de momentos, a través del semivariograma experimental, que se calcula mediante:
Donde Z(x) es el valor de la variable en un sitio x, Z(x + h) es otro valor muestral separado del anterior por una distancia h y n es el número de parejas que se encuentran separadas por dicha distancia. La función de semivarianza se calcula para varias distancias h. En la práctica, debido a irregularidad en el muestreo y por ende en las distancias entre los sitios, se toman intervalos de distancia {[0, h], (h, 2h], (2h, 3h],L}y el semivariograma experimental corresponde a una distancia promedio entre parejas de sitios dentro de cada intervalo y no a una distancia h específica. Obviamente el número de parejas de puntos n dentro de los intervalos no es constante. Parámetros de los variogramas:
Son tres los elementos que caracterizan la variabilidad de un atributo:
La discontinuidad en el origen (existencia del efecto de pepita: C0): Se denota por C 0 y representa una discontinuidad puntual del variograma en el origen. Puede ser debido a errores de medición en la variable o a la escala de la
misma. En algunas ocasiones puede ser indicativo de que parte de la estructura espacial se concentra a distancias inferiores a las observadas. El valor máximo de la variabilidad (meseta: C1): Es la cota superior del variograma. También puede definirse como el limite del variograma cuando la distancia h tiende a infinito. La meseta puede ser o no finita. Los variogramas que tienen meseta finita cumplen con la hipótesis de estacionariedad fuerte; mientras que cuando ocurre lo contrario, el variograma define un fenómeno natural que cumple sólo con la hipótesis intrínseca. La meseta se denota por C 1 o por (C0 + C1) cuando la pepita es diferente de cero. Si se interpreta la pepita como un error en las mediciones, esto explica porque se sugiere que en un modelo que explique bien la realidad, la pepita no debe representar mas del 50% de la meseta. Si el ruido espacial en las 25 mediciones explica en mayor proporción la variabilidad que la correlación del fenómeno, las predicciones que se obtengan pueden ser muy imprecisas. El área de influencia de la correlación (alcance: a): En términos prácticos corresponde a la distancia a partir de la cual dos observaciones son independientes. El rango se interpreta como la zona de influencia. Existen algunos modelos de variograma en los que no existe una distancia finita para la cual dos observaciones sean independientes; por ello se llama rango efectivo a la distancia para la cual el variograma alcanza el 95% de la meseta. Entre más pequeño sea el rango, más cerca se esta del modelo de independencia espacial. El rango no siempre aparece de manera explícita en la fórmula del variograma. En el caso del modelo esférico, el rango coincide con el parámetro a, que se utilizará en las ecuaciones más adelante. Sin embargo, en el modelo exponencial, el rango efectivo es a/3 y en el modelo gaussiano es a/((3)^1/2).
Modelos Teóricos de Variogramas: Modelo Esférico:
Tiene un crecimiento rápido cerca al origen, pero los incrementos marginales van decreciendo para distancias grandes, hasta que para distancias superiores al rango los incrementos son nulos. Su expresión matemática es la siguiente:
En donde C 1 representa la meseta, a el rango y h la distancia. Modelo Exponencial:
Este modelo se aplica cuando la dependencia espacial tiene un crecimiento exponencial respecto a la distancia entre las observaciones. El valor del rango es igual a la distancia para la cual el semivariograma toma un valor igual al 95% de la meseta. Este modelo es ampliamente usado. Su expresión matemática es la siguiente:
Modelo Gaussiano:
Al igual que en el modelo exponencial, la dependencia espacial se desvanece solo en una distancia que tiende a infinito. El principal distintivo de este modelo es su forma parabólica cerca al origen. Su expresión matemática es:
Comparación de los modelos exponencial, esférico y Gaussiano. La línea punteada vertical representa el rango en el caso del modelo esférico y el rango efectivo en el de los modelos exponencial y gaussiano. Este tiene un valor de 210, respecto a una esc ala simulada entre 0 y 300. El valor de la meseta es 30 y el de la pepita 0. El 95% de la meseta es igual a 28.5. Modelos Monómicos:
Corresponden a los modelos que no alcanzan la meseta (Fig. 11). Su uso puede ser delicado debido a que en algunos casos indican la presencia de no estacionariedad en alguna dirección. Su fórmula matemática es la siguiente:
Obviamente cuando el parámetro q es igual a uno el modelo es lineal y k representa la pendiente de la ecuación de regresión con intercepto cero. Gráficamente se pueden representar así:
Modelo de Independencia (Pepita Puro):
Es indicativo de carencia de correlación espacial entre las observaciones de una variable. Es común sumar este modelo a otro modelo teórico de semivarianza, para obtener lo que se conoce como semivariograma anidado. Lo anterior se sustenta en una
propiedad de los semivariogramas que dice que cualquier combinación lineal de semivariogramas con coeficientes positivos es un semivariograma. Su expresión matemática es:
Su representación gráfica es la siguiente:
Análisis de anisotropía:
Cuando el semivariograma calculado en diferentes direcciones (norte-sur, este-oeste, y en direcciones intermedias de 45º o de 22.5º, con tolerancia de 22.5o), muestra similar comportamiento, se dice que el fenómeno es Isotrópico, cuando muestran diferentes comportamientos es Anisotrópico. Los tipos de anisotropías más comunes son la Geométrica y la Zonal.
Anisotropía Geométrica: Está presente cuando los semivariogramas en diferentes direcciones tiene la misma meseta pero distintos alcance Anisotropía Zonal: Está presente cuando los semivariogramas en diferentes direcciones tiene diferentes mesetas y alcances.
Los problemas más comunes al modelar semivariogramas que complican este proceso se analizan en los siguientes casos:
Existencia de estructuras anidadas: Indica que diferentes procesos operan a diferentes escalas, como por ejemplo alguno o todos los siguientes: A muy pequeñas distancias la variabilidad puede estar presente debido a cambios de una composición mineral a otra. A pequeñas distancias la variabilidad puede estar presente debido a errores. A grandes distancia la variabilidad puede estar presente debido a casos transitorios de desgaste mineral. El cual puede ser resuelto aplicando varios modelos simultáneamente.
Existencia de efecto hueco: Indica que muy pocos pares están disponible para la comparación a una distancia específica. Y puede ser resuelto recuperando más casos para la distancia definida.
La periodicidad está presente: Indica que el comportamiento del semivariograma repite por sí mismo periodicidades, por ejemplo: El valor de la meseta puede aumentar o disminuir sistemáticamente, o un caso en que los valores son tomados alternativamente a través de diferentes estratos, como piedras areniscas, esquistos, etc. Esto puede ser resuelto si es un problema real y no un antifaz del análisis, la periodicidad puede ser también un fenómeno real mostrado por zonal ricas y pobres repetidas a espacios similares.
Código del Programa: Dim m As Single Sub generar(ByVal i As Single, ByVal j As Single) For i = 1 To m Cells(i + 3, 2) = Abs(Sin(i / 10)) Next i For j = 1 To m Cells(j + 3, 4) = j Next j End Sub Sub variograma(ByVal l As Single, ByVal k As Single) Dim f As Single, f1 As Single l=1
Do While l < m k=0 f=0 Do While k < m - l k=k+1 f1 = (Cells(k + 3, 2) - Cells(k + l + 3, 2)) ^ 2 f = f + f1 Loop Cells(l + 3, 3) = (f) / (2 * k) l=l+1 Loop End Sub Sub Efecto_Hueco() m = InputBox("Escribir Numero de Muestras") Range("c2") = m Call generar(i, j) Call variograma(l, k) MsgBox ("Fin del Proceso") End Sub
Datos y Gráficas: Datos Aleatorios 0,0998334166 0,1986693308 0,2955202067 0,3894183423 0,4794255386 0,5646424734 0,6442176872 0,7173560909 0,7833269096 0,8414709848 0,8912073601 0,9320390860
γ(h) 0,0023805930 0,0090798866 0,0194062293 0,0326437131 0,0480657853 0,0649488345 0,0825846642 0,1002940014 0,1174376309 0,1334274113 0,1477368474 0,1599094719
h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0,9635581854 0,9854497300 0,9974949866 0,9995736030 0,9916648105 0,9738476309 0,9463000877 0,9092974268 0,8632093666 0,8084964038 0,7457052122 0,6754631806 0,5984721441 0,5155013718 0,4273798802 0,3349881502 0,2392493292 0,1411200081 0,0415806624 0,0583741434 0,1577456941 0,2555411020 0,3507832277 0,4425204433 0,5298361409 0,6118578909 0,6877661592 0,7568024953 0,8182771111 0,8715757724 0,9161659367 0,9516020739 0,9775301177 0,9936910036 0,9999232576 0,9961646088 0,9824526126 0,9589242747 …Y más
0,1695660055 0,1764120013 0,1802405566 0,1809372604 0,1784810424 0,1729453951 0,1644951552 0,1533862948 0,1399600506 0,1246374026 0,1079126075 0,0903451964 0,0725503564 0,0551892705 0,0389576964 0,0246513039 0,0129913874 0,0046849386 0,0004232656 0,0008268675 0,0058113779 0,0147137688 0,0268267263 0,0414266326 0,0577869751 0,0751918331 0,0929484367 0,1103996709 0,1269350201 0,1420012414 0,1551119238 0,1658550203 0,1738996953 0,1790026426 0,1810108125 0,1798642278 0,1755965203 0,1683350354 …Y más
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 …Y más
Datos Aleatorios γ(h)
Gráfica de Vario rama
1.2000000000
1.0000000000
0.8000000000
0.6000000000
0.4000000000
0.2000000000
0.0000000000 0
60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720 780 840 900 96010201080
Media de Datos Aleatorios
0,6388639808 Varianza de Datos Aleatorios
0,0941573977 Coeficiente de Variación de Datos Aleatorios
h
0,4803068942
Conclusiones:
En conclusión se puede observar que si los datos c umplen una función periódica, entonces el variograma de estos datos va a presentar una relación periódica de igual o semejante periodo. En este caso el periodo es 31.41. El efecto hueco se observa en la grafica, cuando ocurre que se tienes pocos pares para una comparación a una distancia específica. La variación numérica entre un dato anterior y posterior es considerable.
Bibliografía:
http://ocw.upm.es/proyectos-de-ingenieria/sistemas-de-informacion-geograficatecnicas-cuantitativas-para-gestion-dedatos/contenidos/WEB/TEORIA/10krigeado.pdf http://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml Universidad Nacional de Colombia. Introducción a la Geoestadistica-Teoría y Aplicación
