ÍNDICE CARATULA.......................................... ................................................................. ............................................. ............................................ .......................... ....1 DEDICATORIA ............................................ .................................................................. ............................................ ......................................... ...................2 AGRADECIMIENTO .......................................... ................................................................. ............................................ ................................. ............3 RESUMEN ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. ........................... ....4 ABSTRACT........................................... ................................................................. ............................................ ............................................. ........................... ....5 INTRODUCCIÓN ............................................ ................................................................... ............................................. ..................................... ...............7 CAPITULO I: GENERALES ............................................. .................................................................... ......................................... ..................8 Planteamiento del problema: ................................. ...................................................... ............................................. ............................... .......9 Objetivos: ........................................... ................................................................. ............................................ ............................................. ........................... ....9 Objetivos generales: .......................................... ............................................................... ............................................ ............................... ........ 9 Objetivos específicos:................................................... ......................................................................... ......................................... ...................9 Justificación: .......................................... ............................................................... ............................................ .............................................. .......................9 CAPITULO II: I I: MARCO TEÓRICO ...................................... ............................................................ ................................... .............10 Antecedentes: ............................................ ................................................................... ............................................. ....................................... .................11 Definición:.......................................... ................................................................. ............................................. ............................................ ..........................12 Primer método para calcular los máximos y mínimos: .............................. ........................................... .............12 Criterio de la primera derivada: ...................................................... ............................................................................ ..........................13 Criterio de la segunda derivada:........................................... ................................................................. ................................... .............14 Segundo método para calcular los l os máximos y mínimos. ........................... ........................................ .............15 Aplicación de máximos y mínimos relativos en la l a solución de problemas: ...........15 CAPITULO III: APLICACIÓN Y DESARROLLO ............................................ ................................................. .....16 Ejemplo 1: .......................................... ................................................................. ............................................. ............................................ ..........................17 Ejemplo 2: .......................................... ................................................................. ............................................. ............................................ ..........................18 CONCLUSIONES ............................................ ................................................................... ............................................. ................................... .............19 RECOMENDACIONES RECOMENDACIONES ........................................... ................................................................. ............................................ ............................ ......19 BIBLIOGRAFÍA ........................................... ................................................................. ............................................ ....................................... .................20
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INTRODUCCIÓN En la actualidad los métodos para calcular máximos y mínimos de las funciones se pueden aplicar a la resolución del problema prácticos. Para resolver hay que transformar sus enunciados en funciones y ecuaciones. Es fundamental leer con atención la letra de los problemas, para identificar, por un lado, la función a maximizar o minimizar y, por otro, los restantes datos del problema que relacionan las variables. Dada una función se definir intuitivamente sus máximos y sus mínimos. Una función tiene un máximo relativo en un punto cuando su imagen (la altura) es mayor que todas las imágenes (alturas) de los puntos que están alrededor. Una función tiene un mínimo relativo en un punto cuando su imagen (la altura) es menor que todas las imágenes (alturas) de los puntos que están alrededor. Un máximo se llamará absoluto cuando su imagen es mayor que la imagen de cualquier otro punto de la gráfica (es el más alto de todos) y no sólo de los que está alrededor. Un mínimo se llamará absoluto cuando su imagen es menor que la imagen de cualquier otro punto de la gráfica (es el más bajo de todos) y no sólo de los que está alrededor.
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CAPITULO I: GENERALES
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Planteamiento del problema: Los estudiantes de la carrera profesional de ingeniería Civil del quinto ciclo no cuentan con un estudio adecuado del tema “Valores Máximos y Mínimos ”.
Objetivos: Objetivos generales: Conocer acerca del “Valores Máximos y Mínimos” mediante la recopilación de información y ejemplos.
Objetivos específicos: Recopilar información de las páginas web acerca del tema “Valores
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Máximos y Mínimos” . •
Comprender y Analizar el tema “Valores Máximos y Mínimos” .
•
Mediante ejemplos determinar el resultado de dichos problemas planteados
Justificación: El trabajo monográfico acerca del “Valores Máximos y Mínimos” , nos permitirá determinar el desarrollo del tema y obtener resultados para desarrollar posibles problemas, ya que este tema es muy importante en el curso de matemática IV y principalmente en la carrera de ing. Civil.
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CAPITULO II: MARCO TEÓRICO
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Antecedentes: Fue Pierre de Fermat (1601 – 1665) quien, en el año 1629, hizo dos importantes descubrimientos que están relacionados con sus trabajos sobre lugares geométricos. En el más importante de ellos, titulado Methodus ad disquirendam maximan et miniman ("Métodos para hallar máximos y mínimos"), Fermat expone un método muy ingenioso para hallar los puntos en los cuales una función polinómica de la forma y = f (x), toma un valor máximo o mínimo. Fermat comparaba el valor de f (x) en un cierto punto, con el valor de f (x + E) en un punto próximo; en general, estos dos valores son distintos, pero, en una "cumbre" o en el fondo de un "valle" de una curva "lisa" la diferencia es casi imperceptible. Por lo tanto, para hallar los puntos que corresponden a valores máximos o mínimos de una función, Fermat iguala f (x) con f (x + E), teniendo en cuenta que estos valores son "casi iguales". Cuanto más pequeña sea la diferencia E entre los dos puntos, más cerca está la igualdad de ser verdadera. Así, después de dividir todo por E, hace E = 0. El resultado le permite calcular las abscisas de los máximos y mínimos de la función polinómica. Aquí se puede ver ya en esencia, el proceso que ahora se llama diferenciación, ya que el método de Fermat es equivalente a calcular: f´(c) e igualar este límite a cero.
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Definición: 1. Se dice que una función f(x) tiene un máximo local M en x = x0, si f(x0) ≥ f (x) para toda x en un interv alo (a, b) tal que x0, permanezca a dicho intervalo. 2. Se dice que una función f(x) tiene un mínimo local m en x=x0, si f(x0) ≤ f(x) para toda x en un intervalo (a,
b) tal que x0 , permanezca a dicho intervalo. Esto podría interpretarse como lo siguiente: Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo. Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto crítico mínimo relativo, o simplemente mínimo.
Primer método para calcular los máximos y mínimos: Primer paso: Se halla la primera derivada de la función Segundo paso: Se igual a cero, y se igualan las raíces reales de la ecuación resultante. Estas raíces son los valores críticos de la variable.
Tercer paso: Se considera los valores críticos uno por uno, y se calculan los signos de la primera derivada en primer lugar para un valor un poco menor que el valor crítico y después para un valor un poco mayor del punto crítico. Si el signo de la derivada es
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positivo y después negativo la función tiene un máximo para este punto crítico, en el caso contrario tiene un mínimo. Si el signo no cambia, la función carece de máximo y mínimo.
Criterio de la primera derivada: Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos relativos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal.
Pasos a seguir: Obtener la primera derivada. Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación. El valor o valores obtenidos para la variable son donde pudiera haber máximos o mínimos en la función. Se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de negativo a positivo el punto crítico es mínimo. Cuando existen dos o más resultados para la variable independiente, debe tener la precaución de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los demás, a fin de evitar errores al interpretar los resultados. Sustituir en la función original (Y) el o los valores de la variable independiente (X) para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datos así obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crítico.
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Criterio de la segunda derivada: El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos. Se basa en el hecho de que, si la gráfica de una función f es convexa en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0, f(c)debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f'(c) = 0, f(c)debe ser un máximo relativo de f. Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. Se basa en que, en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia, su derivada será negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva.
Pasos a seguir: Calcular la primera y segunda derivadas Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación. Sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda derivada. Si el resultado es positivo, hay mínimo. Si la segunda derivada resulta negativa, hay un máximo. Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un máximo o mínimo. Sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original, para conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo.
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Segundo método para calcular los máximos y mínimos. Primer paso: Se halla la primera derivada de la función Segundo paso: Se igual a cero, y se igualan las raíces reales de la ecuación resultante. Estas raíces son los valores críticos de la variable. Tercer paso: Se hallar la segunda derivada. Cuarto paso. Se sustituye en la segunda derivada, en lugar de la variable, cada uno de los valores críticos obtenidos. Si el resultado es negativo, la función tiene un máximo para este valor crítico; si el resultado es positivo la función tiene un mínimo.
Aplicación de máximos y mínimos relativos en la solución de problemas: Existen muchos campos del conocimiento (aritmética, geometría, economía, física, biología, industria, etc.) donde se presentan problemas que se resuelven aplicando los conceptos de máximos y mínimos del cálculo diferencial. Para resolver los problemas a partir de los datos existentes, es importante en primer lugar, encontrar la expresión matemática de la función que represente el problema y cuyos valores máximos o mínimos se desean obtener. Si la expresión matemática contiene varias variables, deberá plantearse en función de una sola; las condiciones del problema deben aportar suficientes relaciones entre las variables, para poderse expresar a todas ellas en función de una sola variable independiente. Una vez que se tenga la función en la forma Y=f(X), se aplican las normas ya estudiadas. En muchos problemas prácticos resulta muy sencillo identificar cuales valores críticos dan máximos o mínimos; y, en consecuencia, ya no será necesario aplicar el procedimiento completo. Es conveniente construir la gráfica que represente la función en cuestión, a fin de verificar los resultados obtenidos.
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CAPITULO III: APLICACIÓN Y DESARROLLO
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Ejemplo 1: Calcule los máximos y mínimos de la siguiente función. () = − 6 + 9
Primer paso. ′() = 3 − 12 + 9
Segundo paso. 3 − 12 + 9 = 0 = 3; = 1
Tercer paso.
< 3; = 2 ) = 3 − 12 + 9 ′ (2) = 3(2) − 12(2) + 9 ′(2) = −3
< 1; = 0 ) = 3 − 12 + 9 ′ (0) = 3(0) − 12(0) + 9 ′(0) = +9
> 3; = 4 ′() = 3 − 12 + 9 ′ (4) = 3(4) − 12(4) + 9 ′(4) = +9
> 1; = 2 ) = 3 − 12 + 9 ′ (2) = 3(2) − 12(2) + 9 ′(2) = −3
í = 3 ( ) = − 6 + 9 (3) = (3) − 6(3) + 9(3) (3) = 0 í (3; 0)
á = 1 () = − 6 + 9 (1) = ( 1) − 6(1) + 9(1) (1) = 0 á(1;4)
′(
′(
′(
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Ejemplo 2: Calcule los máximos y mínimos de la siguiente función. (Segundo método) () = − 3 + 4
Primer paso. ′() = 3 − 3
Segundo paso. 3 − 3 = 0 = −1; = 1
Tercer paso. ′′() = 6
Cuarto paso.
= −1
= 1
′′(−1) = 6(−1)
′′(1) = 6(1)
′′(−1) = −6
′′(1) = +6
á = −1
í = 1
( ) = − 3 + 4
() = − 3 + 4
(−1) = ( −1) − 3(−1) + 4
(1) = ( 1) − 3(1) + 4
(−1) = 6
(1) = 2
á(−1; 6)
í(1; 2)
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CONCLUSIONES Se logro r ecopilar información de las páginas web acerca del tema “Valores Máximos y Mínimos” , para el desarrollo de la monografía.
Se realizo la comprensión y Análisis d el tema “Valores Máximos y Mínimos” , para un mejor conocimiento del tema. Se concluyo mediante los ejemplos determinar el resultado de dichos problemas planteados para un mejor aprendizaje del tema.
RECOMENDACIONES Es muy importante y recomendable que, de los dos métodos aprendidos, poder escoger uno de para un mejor entendimiento del tema. Es recomendable saber los siguientes temas para entender mejor el tema, d erivada de funciones, factorización de un trinomio, ecuación de primer grado con una incógnita y evaluar funciones. Es muy recomendable señalar que el cálculo de los mismos es una herramienta de mucha utilidad para limitar recursos, lo que contribuye incluso a la economía, ahorro de materiales y buena distribución del mismo
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BIBLIOGRAFÍA Dma.fi.upm.es: España: Administrador; 2010. [Acceso 21 Junio de 2018] Máximos y mínimos absolutos. Disponible en: http://www.dma.fi.upm.es/recursos/aplicaciones/calculo_infinitesimal/web/estud io_funciones/maxminabs.html Vitual.lat: Colombia: Virtual; 2016. [Acceso 21 Junio de 2018] Máximos y mínimos de una función. Disponible en: http://vitual.lat/maximos-y-minimos-de-una-funcion-con-el-criterio-de-la primera-derivada/ Scribd: Ecuador: Darío Xavier Herrera; 2015. [Acceso 21 Junio de 2018] Ensayo Máximos y Mínimos. Disponible en: https://es.scribd.com/document/223328549/Ensayo-Maximos-y-Minimos
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