O Necess Necessár ário io e Suficiente Suficiente para F azer do Computador Computador um u m Aliado Aliado na Resolução Resolução de Problemas Problemas de Engenhar Engenh aria ia Antonio Carlos Brandão de Araújo, João Teotônio Manzi, José Jaílson Nicácio Alves, Luís Gonzaga Sales Vasconcelos e Romildo Pereira Brito 1 Universidade Universidade Federa l de Campina Grande Gra nde – Departam Departa mento de Engenharia Engenharia Química Química – Campina Campina Grande (PB) (P B) – Bra Brasil sil
Abstract – O aperfeiçoamento dos computadores fez surgir uma gama de softwares com grande potencial para auxiliar na tarefa de ensinar engenharia, dentre os quais podemos citar: Mathcad®, Mathematica®, Matlab®, Maple™ e Polymath. Diversos artigos têm sido publicados com o objetivo objetivo de demonstrar as vantagens vantagens do uso destes destes softwares, bem como no sentido de comparar os seus desempenhos na tarefa de ensinar. Os livros mais recentes também já indicam claramente a importância desta ferramenta para a engenharia. Neste artigo, além de criticar o (muito) pouco uso do computador, os autores são enfáticos: independente do software escolhido, o pré-requisito fundamental para uso do computador na resolução de problemas da engenharia é o estudante pensar de forma lógica e sistemática. Minimizar o problema através do uso de facilidades e/ou simplificações pode custar um preço muito alto para o futuro da engenharia. A sistemática usada para resolução de problemas da engenharia defendida neste trabalho apresenta elevada taxa de sucesso em nível de pósgraduação e a idéia é antecipar o seu uso para os estudantes de graduação. graduação. Palavras-Chave – Engenharia Química; Ensino; Algoritmo; Programação; Software; Computador.
1. Introdução Mais importante do que simplificar um problema visando obter a solução, é fazer suposições, gerar soluções e escolher, a partir das alternativas obtidas e de critérios estabelecidos, estabelecidos, a solução que melhor convier. Destarte, mais do que qualquer outra ferramenta moderna, o computador tem transformado a prática da engenharia em todos os níveis. Além de permitir a resolução de problemas sem necessidade de simplificações, o computador permite uma abordagem diferente dos problemas, respondendo respondendo à questão: e se ...? Deste modo, é natural colocar o ensino de algoritmo, linguagem de programação e software ocupando lugar de destaque na formação do futuro engenheiro. Desde o início da década de 80, a presença de disciplinas sobre algoritmo, linguagem de programação e métodos numéricos para os estudantes de engenharia já era uma realidade. Tradicionalmente, o FORTRAN era a linguagem escolhida e o principal problema observado era o tempo despendido para alcançar êxito na implementação de um método numérico, para em seguida usar este código na resolução do problema propriamente dito. 1
Corresponding author: +55 83 3310-1117
[email protected] 1
Este processo fez com que muitos estudantes desistissem de usar o computador na resolução de problemas de engenharia e, para estes profissionais, o computador passou a ser usado para edição de texto, navegação na Internet e preparação de apresentações. Por outro lado, os que persistiram se tornaram profissionais diferenciados, pelo fato de possuírem a habilidade de resolver problemas mais complexos usando o computador. Ou seja, é fundamental registrar a importância do FORTRAN na boa formação de engenheiros e cientistas da atualidade. Com objetivo de eliminar a etapa de implementação do código numérico e assim aumentar o número de profissionais que usam o computador na resolução de problemas da engenharia, uma alternativa é fazer uso de softwares comerciais, dentre os quais podemos citar: Mathcad®, Mathematica®, Matlab®, Maple™ e Polymath. Diversas Universidades já oferecem disciplinas específicas com objetivo familiarizar o estudante com algum destes softwares, além de auxiliar o estudante a sistematizar o uso do computador na resolução de problemas de engenharia. Vários artigos têm sido publicados com o objetivo de demonstrar as vantagens do uso destes softwares, bem como no sentido de comparar o desempenho destes na tarefa de ensinar. Alguns autores defendem fortemente o uso de softwares que exigem um mínimo de esforço na transcrição do modelo matemático, por exemplo, o Polymath, bem como o uso em conjunto destes com softwares mais robustos (Shacham et al, 2001; Shacham et al, 2003a; Shacham et al, 2003b; Shacham e Cutlip, 2004; Shacham et al, 2008). Nasri e Binous (2008) e Binous (2008) publicaram artigos demonstrando o uso do Mathematica® e Matlab® na resolução de problemas envolvendo conteúdos de Termodinâmica e Processos de Separação; para os exemplos apresentados, os autores afirmam que o Mathematica® é mais didático que o Matlab ®. Vasconcelos et al. (2008) publicaram um artigo onde o Mathcad ® foi usado para demonstrar a aplicação do método de McCabe-Thiele a problemas com especificação não convencional. Em relação aos livros que consideram o uso do computador na resolução de problemas da Engenharia Química, alguns são dedicados à disciplinas específicas (Skogestad, 2008), outros apresentam conteúdos variados e se concentram na descrição do uso de softwares (Finlayson, 2006; Cutlip e Shacham, 2008). De fato, as soluções propostas para enfrentar o problema do (muito) pouco uso do computador na resolução de problemas de engenharia podem ser resumidas da seguinte forma: i) ensino de algoritmo e linguagem de programação; ii) uso de software; iii) publicação de livros; iv) publicação de artigos. O ponto de vista apresentado neste trabalho é resultado de mais de vinte anos de ensino de Engenharia Química, usando as mais variadas linguagens de programação, além de diversos softwares. No nosso entendimento, o estudante saber usar um software é condição necessária para resolver problemas de engenharia, mas não suficiente, se lhe falta a capacidade de pensar de forma lógica e sistemática; independente do software.
2. Caracterização do Problema Com raras exceções, o que se aprende nas disciplinas de algoritmos e linguagem de programação e métodos numéricos não é utilizado nas disciplinas subseqüentes do curso de 2
Engenharia Química. No máximo, os estudantes usam o computador nas disciplinas de final de curso, através de softwares comerciais (Aspen, Hysys, etc.) que funcionam como caixa preta. Por outro lado, é interessante observar que, ao visitar a sala do professor, na maioria das vezes o estudante vai encontrá-lo usando o computador. Todavia, de acordo com Felder e Brent (2005), no artigo "Death by PowerPoint", de maneira geral, o professor passa a maior parte do tempo usando o computador para preparar apresentações a serem usadas em sala de aula. Há mais de uma década o não uso do computador como ferramenta na resolução de problemas de engenharia já havia sido observado (Kanto e Edgar, 1996; Jones, 1998) e, considerando a quantidade de artigos relacionados a este tema, o surgimento dos softwares citados anteriormente não fez do computador um aliado forte do estudante na resolução dos problemas mais complexos da engenharia. Disciplinas fundamentais como Termodinâmica, Fenômenos de Transportes, Operações Unitárias e Cálculo de Reatores apresentam um grande número de oportunidades para uso do computador; principalmente os problemas mais realísticos. As referências citadas no item anterior apresentam excelentes exemplos de como o computador pode ser útil na resolução de problemas destas e de outras disciplinas, contudo, nenhum comentário é formulado sobre a necessidade do estudante pensar de forma lógica e sistemática antes de usar um software. Consideremos as Figuras 1, 2 e 3, as quais apresentam como o Matlab ®, o Mathcad® e o Polymath, respectivamente, foram usado para encontrar uma das raízes do polinômio de 2º grau. O Polymath usa controle de programação baseado em menu, o Mathcad usa menu ou linha de comando e o Matlab ® usa apenas linha de comando.
Figura 1 – Uso do Matlab ® (janela de comando) par a encontrar uma da s raízes de uma equação de 2º grau.
É uma situação típica em que o estudante pode demonstrar o uso do software (condição necessária), mas não significa, necessariamente, que o mesmo esteja capacitado a resolver
3
problemas da engenharia, visto que os problemas de engenharia em geral não estão dispostos explicitamente na forma de uma equação polinomial. Pelo contrário, na grande maioria das vezes o estudante deve definir uma seqüência de etapas (programar) até chegar ao equacionamento final. E é este o ponto da questão: para usar um software, antes de tudo, é necessário que o aluno equacione o seu problema e o faça de modo que o computador (software) possa ser usado na obtenção da solução (ou soluções). Obviamente, o estudante precisa ter conhecimento de como o processo de busca pela solução funciona ou, em outras palavras, ter maturidade suficiente em termos de algoritmo, programação e métodos numéricos (condição suficiente).
Figura 2 – Figura 1 – Uso do Mathcad ® par a encontr ar uma das ra ízes de uma equação de 2º gr au.
Figura 3 – Uso do Polymath par a encontrar uma da s raízes de uma equação de 2º gr au.
Por outro lado, observando as Figuras 1, 2 e 3, os mais pragmáticos podem argumentar que o importante é o resultado final: uma das raízes foi encontrada. Consideremos então, um arquivo do Mathcad ® usado para demonstrar a aplicação do método de McCabe-Thiele a problemas com especificação não convencional e que envolve uma etapa de otimização
4
(Vasconcelos et al. (2008), Figura 4. O Mathcad ® se apresenta como um caderno eletrônico, onde as equações, somatórios, integrais, etc., são digitadas praticamente da mesma forma que aparecem nos livros. Entretanto, apesar de ser um software extremamente amigável, apenas o estudante com maturidade em algoritmo e programação, e obviamente conhecendo a sintaxe do aplicativo e o assunto em questão, terá condição de criar (ou compreender) um arquivo como o da Figura 4.
Figura 4 – Uso do Mathcad ® usado para demonstrar a aplicação do método de McCabe-Thiele a pr oblemas com especificação não convencional.
3. Algoritmo, Pr ogramação e Software Na visão dos autores, pensar de forma lógica e sistemática é o único pré-requisito para usar o computador na resolução de problemas. E o caminho para obter este pré-requisito é através do uso de algoritmos e programação. Para aprofundar esta questão, o primeiro passo é definir o que entendemos por programar. De forma sucinta, um programa é um algoritmo concretizado, isto é, uma seqüência de atividades (instruções) que deve ser executada para se atingir um objetivo. Ou seja, é possível programar usando uma linguagem de programação, um software ou uma planilha eletrônica (Bjedov e Andersen,1996). No ensino de algoritmos e programação, inicialmente a recomendação é evitar a implementação de códigos mais complexos, de modo a não desestimular o estudante, pois o objetivo não é desafiá-lo a elaborar códigos para disputar com os softwares comerciais, e sim estimulá-lo a raciocinar e descobrir que programação pode ser uma atividade prazerosa. É 5
importante enfatizar para o aluno a simplicidade dos comandos, por exemplo, chamar a atenção para o fato de que com três comandos básicos (por exemplo, for, if e while, no caso do Matlab®) a maioria dos problemas pode ser resolvida (Chapra e Canale, 2008). Por exemplo, a Figura 5 apresenta o código em Matlab ® usado para calcular a soma de n termos da série S = 1 2 + 3 5 + 5 8 … e, mesmo que a probabilidade do estudante se deparar com este problema na sua vida profissional seja pequena, o objetivo deste exemplo é fazê-lo pensar logicamente: i) que o 1º termo é 1/2; i) que o numerador está variando de 2 em 2, enquanto o denominador varia de 3 em 3; iii) que será preciso usar um estrutura de repetição; iv) que será preciso definir o número de termos. Também representa um exemplo que dificilmente um software fornecerá o resultado usando uma única função interna (builtin).
� � �
Figura 5 – Código em Matlab ® par a cálculo da soma de n t er mos de uma sér ie.
No decorrer do curso, a implementação de métodos numéricos mais simples pode ser usada, por exemplo, Newton para equações algébricas não lineares e Euler para equações diferenciais ordinárias. Neste momento, o uso de funções internas (solvers) do software escolhido também deve ser introduzido e os resultados obtidos das duas formas comparados. Conforme pode ser observado, os autores não separam os assuntos algoritmos e linguagem de programação e métodos numéricos em duas disciplinas, pois, do ponto de vista da engenharia, fica difícil discernir onde termina um e onde começa o outro. Uma disciplina chamada Computação para a Engenharia Química, por exemplo, dividida em duas partes e lecionada por um engenheiro químico, poder ser usada para cobrir todo o conteúdo. A metodologia usada nos exemplos a seguir, única para problemas simples e complexos, consiste em estruturar a resolução do problema de forma modular, incluindo: Programa principal; Modelo do problema; Parâmetros; Solver.
6
De fato, foi a metodologia empregada nos primórdios do uso do computador pelas engenharias, com a diferença de que um dos módulos (solver) já está pronto e disponibilizado pelo software. É uma metodologia que apresenta elevada taxa de sucesso em nível de pósgraduação e a idéia é antecipar o seu uso para os estudantes de graduação. O Matlab® foi escolhido por ser um hibrido de software e linguagem de programação, o que torna possível dispor o modelo do problema completamente separado do solver; característica fundamental para a metodologia defendida neste artigo. Considerando o custo de aquisição do Matlab ®, uma opção é usar o Scilab ou Octave que são distribuídos gratuitamente, apesar de possuírem uma biblioteca de solvers (toolboxes) menor. Como aplicação, a Figura 6 apresenta os arquivos do Matlab ® usados para determinar uma das raízes do polinômio y = x2 + 2x 10, usando arquivos do tipo m-file. Pode parecer um dispêndio desnecessário de energia por parte do estudante, mas o objetivo é sistematizar a forma de resolver problemas, sejam simples ou complexos.
−
Figur a 6 – Arquivos do tipo m-file do Matlab ® usados para encontrar uma das r aízes de uma equação de 2º gra u.
É fundamental esclarecer para o estudante de que o arquivo do lado esquerdo (Main.m), geralmente chamado de programa principal, é o elo entre ele e o computador; de que é este arquivo, a partir de uma estimativa inicial, que chama a função embutida fzero (fzero.m) do Matlab® para resolver a equação (modelo) contida no arquivo do lado direito (Model.m). A Figura 7 apresenta um diagrama de bloco da comunicação entre os arquivos. O estudante deve entender que: i. O arquivo Main.m chama o arquivo fzero.m, que por sua vez chama o arquivo Model.m; ii. Cada vez que o arquivo Model.m é chamado, um valor para y é calculado e o retorna para o arquivo fzero.m; iii. Este mecanismo (1-2-3-2-3-2-3 ... 2-3-4) ocorre até uma tolerância para o valor de y ser alcançada iv. Visto que estamos procurando uma das raízes do polinômio, o valor de y deve ser bem próximo de zero.
7
Main
2
Model
1
fzero
3
4
Figur a 7 – Diagrama de bloco da comunicação entr e os ar quivos da Figur a 6.
É importante observar que as funções embutidas do Matlab ® aparecem apenas nos diagramas de bloco. Os outros softwares citados neste artigo também dispõem de uma linguagem de programação própria (for, while, if, continue, break, etc., no caso do Mathcad ®), entretanto, não permitem que o estudante equacione o seu problema de forma modular, de modo que, para um problema mais complexo o arquivo final fica extenso e, no nosso entendimento, mais difícil de compreender (ver Figura 4). A metodologia explicitada acima considera que algoritmo, programação e software estão intimamente ligados. Se um programa é um algoritmo concretizado, não é possível programar sem ter aprendido algoritmo. Da mesma forma, não é possível usar um software de forma eficiente sem saber programar; independente de quão amigável o software seja. Os problemas apresentados a seguir são típicos da Engenharia Química e, apesar da necessidade de uso do computador, são relativamente simples. Também é importante destacar que as implementações foram realizadas visando o aspecto didático, mas não têm característica de um guia.
4. Resolução de Pr oblemas da Engenhar ia Química 4.1. Pr oblemas Envolvendo Equações Algébr icas
A equação de estado (EOS) dos gases ideais representa de forma satisfatória a relação entre a pressão, a temperatura e o volume (PVT) apenas para os casos onde a pressão é baixa (próxima da pressão atmosférica). Para maiores valores de pressão EOS mais complexas devem ser usadas e, nestes casos, o cálculo do volume molar e do fator de compressibilidade demanda o uso de técnicas numéricas. A equação de estado de Redlich-Kwong relaciona os dados de PVT através da Equação (1): P=
− −
RT (V
b)
a
√
(1)
V(V + b) T
As constantes a e b são expressas pelas Equações (2) e (3). a = 0.42747
R2 Tc2.5
8
Pc
(2)
b = 0.08664
(3)
RTc Pc
Para um dado valor de pressão e uma dada temperatura, uma EOS pode ser usada para determinar o volume molar da substância, bem como o fator de compressibilidade. Dados de temperatura crítica (Tc) e pressão crítica (P c), além da constante Universal dos gases (R), são necessários para efetivação dos cálculos. Visto que são fornecidos valores para a P e a T e que as constantes a e b são específicas para cada substância, o problema consiste em encontrar um valor de V que satisfaça a Equação (1). Ao comparar este problema com o exemplo do polinômio, o estudante percebe que as equações (modelos) são diferentes. Neste caso, o modelo não está explicitamente definido; é fundamental mostrar que a Equação (1) deve ser transformada, antes de continuar com a resolução do problema A partir da Equação (1) fica evidente que a variável V não pode ser isolada. Passando P para o lado direito da igualdade, obtém-se a Equação (4), a qual é função apenas de V.
− −
RT (V
b)
f(V) =
a
√ −
V(V + b) T
− −
RT (V
b)
a
P = 0
√ −
V(V + b) T
P
(4a)
(4b)
Desta forma, temos um modelo na forma padrão, onde o número de variáveis é igual ao número de equações e o software pode ser usado para determinar o valor de V para o qual o valor de f é aproximadamente nulo; da mesma forma que no caso da Figura 6 encontramos um valor de x para o qual y era aproximadamente nulo. Entretanto, ainda temos um problema: as constantes a e b, as quais precisam ser calculadas antes para completar o modelo. Os modelos da Engenharia Química normalmente apresentam parâmetros associados às espécies químicas presente no processo. É recomendável que estes parâmetros estejam disponibilizados em um local específico; um m-file só para esta finalidade, de modo que apenas o arquivo contendo os parâmetros seja modificado, por ocasião da mudança de espécie química. A Figura 8 apresenta os arquivos do tipo m-file usados para resolução deste problema, onde é possível perceber a presença de um arquivo m-file apenas para armazenar dados específicos. A partir do momento que a palavra Parameters aparece, os dados contidos neste arquivo passam a ser disponíveis a partir daquele ponto. Por exemplo, no arquivo Main.m a presença da palavra Parameters torna possível o cálculo da estimativa inicial, a qual precisa do valore de R, enquanto no arquivo Model.m a presença da palavra Parameters torna possível os cálculos de a e b, os quais precisam de R, T c e P c, antes de calcular o valor da função f. A Figura 9 apresenta o diagrama de blocos da comunicação entre os arquivos. A comunicação entre os arquivos pode ser assim resumida: 1-2-3-4-5-6-7-4-5-6-7 ... 4-5-6-7-8. Após atingir a tolerância especificada, fezero.m retorna a solução para Main.m.
9
Um exemplo mais elaborado é apresentado na Figura 10, que representa de forma simplificada o diagrama de bloco do processo de fabricação de estireno, onde duas reações são consideradas. São fornecidos os seguintes dados: Seletividade para o tolueno em função da temperatura; Temperatura de operação do reator; Razão entre as vazões de etil benzeno e água na entrada do reator; Pressão de operação do reator; Vazão de produção de estireno; Constante de equilíbrio para a reação de formação do estireno.
Figura 8 – M-files usados para determinação do volume molar a partir da equação de Redlich-Kwong. 1 Main
Parameters 2
3
8
5
6
7 fzero
Model 4
Figur a 9 – Diagrama de bloco da comunicação entr e os ar quivos da Figur a 8.
O objetivo do problema é determinar a vazão de cada componente em cada corrente e o primeiro passo consiste em numerar as espécies químicas: etil benzeno (1); Água (2); Estireno (3); Tolueno (4); Metano (5) e Hidrogênio (6). O passo seguinte é realizar uma análise de graus de liberdade, a qual é apresentada na Tabela 1. O modelo deste problema é constituído por dezoito variáveis (vazões por espécie e coordenadas de reações) e dezoito equações, apresentadas na Tabela 2.
10
5 Eb 6 Hyd Met
1 Eb
Mixer
3 Eb Wa
4 Eb Wa Sty Tol Met Hyd
Reactor
2 Wa
7 Tol Separator
8 Sty
Eb à Sty + Hyd Eb + Hyd à Tol + Met
9 Wa
Figura 10 – Diagrama de blocos do pr ocesso de fabr icação de estir eno. Tabela 1 – Análise de graus de liberdade do problema da Figura 9.
Variáveis Balanço de massa Vazão Seletividade Equilíbrio Razão DF
Misturador 5 2
Reator 8+2 6
1 2
1 1 1 1
Separador 12 6 1
Global 7+2 6 1
5
2
Processo 16+2 14 1 1 1 1 0
Tabela 2 – Modelo matemático para o pr oblema da Figura 10. Equação n1,3 = n1,5 + n1,1 n2,3 = n2,2 n1,4 = n1,3 1 2 n2,4 = n2,3 n3,4 = 1 n4,4 = 2 n5,4 = 2 n6,4 = 1 2 n1,4 = n1,5 n2,4 = n2,9 n3,4 = n3,8 n4,4 = n4,7 n5,4 = n5,6 n6,4 = n6,6 n4,4 Sel = n1,3 n1,4 n3,4 n6,4 n1,4 + n3,4 + n6,4 n1,4 + n3,4 + n6,4 = P n1,4 n1,4 + n3,4 + n6,4 n2,3 R= n1,3 100000 n3,8 = 104
−ε −ε ε ε ε ε −ε
−
Keq
Origem
Número
Balanço de massa no misturador para a espécie 1 Balanço de massa no misturador para a espécie 2 Balanço de massa no reator para a espécie 1 Balanço de massa no reator para a espécie 2 Balanço de massa no reator para a espécie 3 Balanço de massa no reator para a espécie 4 Balanço de massa no reator para a espécie 5 Balanço de massa no reator para a espécie 6 Balanço de massa no separador para a espécie 1 Balanço de massa no separador para a espécie 2 Balanço de massa no separador para a espécie 3 Balanço de massa no separador para a espécie 4 Balanço de massa no separador para a espécie 5 Balanço de massa no separador para a espécie 6 Seletividade para o tolueno
(5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19)
Constante de equilíbrio da reação 1
(20)
Razão de reagentes para o reator
(21)
Produção de estireno
(22)
Aos olhos do estudante, este problema é completamente diferente daquele apresentado no início deste artigo (polinômio do 2º grau), quando na verdade não é; apenas deve ser escrito na forma padrão antes de resolvê-lo. 11
Passando os termos do lado direito das equações que constituem o modelo para o lado esquerdo, é possível obter as 18 funções na forma padrão, conforme mostra a Tabela 3. Neste caso, o problema consiste em resolver um sistema de equações algébricas não lineares. Tabela 3 – Sistema de equações algébricas não lineares par a o pr oblema da Figur a 9. Equação
− − − − ε ε
f 1 = n1,3 n1,5 n1,1 f 2 = n 2,3 n 2,2 f 3 = n 1,4 n 1,3 + 1 +
. . . f 18 = n3,8
−
100000
2
Origem
Número
Balanço de massa no misturador para a espécie 1 Balanço de massa no misturador para a espécie 2 Balanço de massa no reator para a espécie 1 . . . Produção de estireno
(23) (24) (25) . . . (40)
104
A Figura 11 apresenta parte dos arquivos m-file usados na resolução deste problema. Neste caso, por se tratar de um sistema de equações algébricas, foi usada a função fsolve (fsolve.m) do Matlab®.
Figur a 11 – M-files usados par a deter minação das vazões de fluxogra ma da Figura 10.
Por se tratar de um problema envolvendo mais de uma equação, a estimativa inicial fornecida no programa principal deve ser fornecida na forma de um vetor (com dezoito elementos). No arquivo contendo o modelo (Model_II.m) as variáveis estão contidas no vetor x; por isto, antes de calcular o valor das funções (f 1, f 2, f 3, ... , f 18), didaticamente é recomendável associar cada variável escrita na modelagem com um elemento do vetor x. A comunicação entre os arquivos ocorre conforme apresentado na Figura 7, apenas mudando a função embutida (de fzero para fsolve).
12
O modelo do problema ainda apresenta a equação que relaciona a seletividade para o tolueno com a temperatura; um polinômio de segundo grau obtido usando o Matlab ®. A constante de equilíbrio (K eq ) é calculada usando a Equação (41): LnKeq = 15.5408
−
(41)
14852.6 T
4.2. Pr oblemas En volvendo Estimativa de Par âmetr os (Otimização)
A Tabela 3 apresenta os dados de pressão versus composição (líquido e vapor) para o sistema metanol(1)-água(2). O objetivo é determinar os parâmetros da equação de Margules que melhor representa os dados, considerando que a mistura segue a Lei de Raoult modificada. Tabela 3 – Dados de equilíbrio líquido-vapor par a o sistema metanol(1)-água(2) à 60 oC. P (kPa)
x1
y1
19.953 39.223 42.984 48.852 52.784 56.652 60.614 63.998 67.924 70.229 72.832 84.562
0.0 0.1686 0.2167 0.3039 0.3681 0.4461 0.5282 0.6044 0.6804 0.7255 0.7776 1.0
0.0 0.5714 0.6268 0.6943 0.7345 0.7742 0.8085 0.8383 0.8733 0.8922 0.9141 1.0
A Lei de Raoult modificada apresenta a seguinte forma: yi =
γ
i Psat xi
(42)
i
P
onde γ representa o coeficiente de atividade da fase líquida, P a pressão do sistema, x a composição da fase líquida e y a composição da fase vapor. O subscrito i representa o componente i. Uma expressão bastante usada para calcular γ é a equação de Margules:
γ γ
ln
1
= x22 [A12 + 2(A21
ln
2
= x12 [A21 + 2(A12
− −
A12 )x1 ]
(43a)
A21 )x2 ]
(43b)
onde A12 e A21 são as constantes de Margules. A pressão de vapor P sat i é calculada usando a Equação de Antoine: i lnPsat = Ai +
Bi Ci + T
onde A, B e C são constantes específicas para cada componente.
13
(44)
Sabendo que a soma das frações molares em cada fase é igual a 1, obtém-se a equação:
γ
1 P = Psat x1
1 +
γ
2 Psat x2
2
(45)
A Equação (45) permite calcular o valor de P (calculado) a partir dos dados de T e x. Entretanto, isto somente é possível se dispusermos das constantes de Antoine e de Margules. Considerando que as constantes de Margules estão indisponíveis, as únicas variáveis da Equação (45) são as constantes de Margules. Visto que a Tabela 4 disponibiliza dados de P (experimental), a seguinte equação pode ser definida: f obj =
− Pcalc
Pexp
2
(46)
j
A função f obj representa a soma da diferença para todos os experimentos j, entre o valor experimental (P exp) e o valor teórico (P calc). Para minimizar esta diferença, os parâmetros a serem variados são as constantes de Margule (A12 e A21). E é isto que as rotinas de otimização fazem; minimizam (ou maximizam) uma função. Uma vez que não colocamos restrições quanto aos valores de A 12 e A21, o problema foi resolvido usando a função fminunc do Matlab ®. A Figura 12 apresenta os arquivos do tipo mfile usados para resolver o problema, enquanto a Figura 13 mostra a comunicação entre estes (1-2-3-4-5-2-3-4-5-2-3-4-5 ... 2-3-4-5-6-7-8).
Figura 12 – M-files usados para determinação das constantes de Margules.
Deve ficar claro para o estudante que a Equação (46) somente pode ser obtida depois de calcular P sat i e γi, os quais dependem dos dados de P, T e x. Por esta razão, o arquivo contendo os parâmetros e os dados experimentais, deve ser chamado logo no início arquivo contendo o modelo. Ou seja, deve ser enfatizado para o estudante que todos os dados necessários para formação da função objetivo devem ser fornecidos nas linhas anteriores.
14
1 Main
fminunc 6
7
8
5
2
4 Parameters_Marg ules
Margules_Model 3
Figura 13 – Diagra ma de blocos da comunicação entr e os m-files da Figur a 12.
Outra observação importante é quanto ao cálculo da P sat i. No arquivo principal, após a chamada da função fminunc e a obtenção dos valores de A 12 e A21, o cálculo desta variável é realizado usando a principal característica do Matlab ®: as operações com matrizes e vetores. Por outro lado, no arquivo contendo o modelo do problema, a P sat i é calculada usando um comando for, apesar de tornar mais lento a execução do arquivo. O objetivo foi demonstrar o uso do comando for quando o Matlab ® é usado como linguagem de programação. 4.3. Pr oblemas Env olvendo Equações Diferenciais
A Figura 14 apresenta dois reatores do tipo mistura perfeita (CSTR). Considerando a operação isotérmica, reação de 1ª ordem ( ), constantes o volume dos reatores (V1 e V2) e a densidade da mistura, o modelo matemático que descreve a variação da concentração do componente A (CA1 e CA2) na saída dos reatores é dada por duas equações diferenciais ordinárias (EDO) não-lineares:
→
V1
V2
dCA1 dt dCA2 dt
= F0 CA0
= F1 CA1
− −
F1 CA1
F2 CA2
− −
(47a)
KCA1 V1
(47b)
KCA2 V2
onde F é a vazão de entrada (ou saída) dos reatores e K a taxa de reação específica. Fin CA in 1 1
V K
F1 CA 1
2 2
V K
F2 CA 2
Figur a 14 – CSTR isotérmicos.
Trata-se de um sistema de EDO e o raciocínio para resolução deste problema é semelhante aquele empregado no item 4.1, com a diferença de que no lado esquerdo da igualdade de cada equação aparecerá um operador diferencial (após a divisão pelo volume). O sistema de EDO foi resolvido usando a função ode45 (ode45.m) do Matlab ®. A Figura 15 apresenta os arquivos m-file usados para resolução do problema. A comunicação entre os
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arquivos ocorre conforme apresentado na Figura 7, apenas mudando a função embutida (de fzero para ode45); entretanto, o término do processo é ditado pelo tempo final de integração. Semelhante ao sistema de equações algébricas, no arquivo contendo o modelo do problema as EDO são colocadas como elementos de um vetor (dydt), o qual somente será formado na última linha de comando. Também é interessante chamar a atenção do estudante para o fato de que os elementos do vetor dydt serão definidos pelo lado direito de cada EDO. No arquivo do modelo do problema foi utilizado um comando if com objetivo, mais uma vez, de demonstrar o uso do Matlab ® também como linguagem de programação.
Figur a 15 – M-files usados par a r esolução do pr oblema dos CSTR´s.
5. Conclusões Das soluções propostas para enfrentar o problema em questão, o ensino de algoritmo e de linguagem de programação é o mais importante, pois se o estudante raciocina de forma lógica e sistemática, a escolha do software dependerá da conveniência e do tipo de problema a ser abordado. Em outras palavras, independente do software é fundamental que o estudante de engenharia tenha uma base sólida em algoritmo, programação e métodos numéricos. O uso dos softwares citados neste trabalho apresenta grande potencial para auxiliar na tarefa de ensinar engenharia. Entretanto, é necessário tomar as devidas precauções no uso destes softwares, de modo a evitar que o estudante seja estimulado a minimizar a importância da programação, a qual, normalmente, está relacionada com pensar de forma lógica e sistemática. São quase três décadas diante do problema de como fazer o estudante pensar logicamente e de forma sistemática; minimizar o problema através da introdução de facilidades para o estudante pode custar um preço muito alto para o futuro da engenharia. Neste sentido, é recomendável iniciar com um software que exija mais do estudante, para em seguida, se for o caso, passar para um software mais amigável. 16
Na visão dos autores, dificilmente professores com aversão ao uso do computador na resolução de problemas mudarão a sua postura. Isto significa que, se pretendemos ter estudantes usando o computador na resolução sistemática de problemas da engenharia, o passo inicial é ter professores com este objetivo nas primeiras disciplinas do ciclo profissional. Também é fundamental que as disciplinas de algoritmos e linguagem de programação e métodos numéricos sejam ministradas por professores da Engenharia Química.
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