MA36 - Recursos Computacionais no ensino de Matemática

Recursos Computacionais no Ensino de Matemática (MA36) Victor Giraldo (UFRJ), Francisco Mattos (UERJ), Paulo Caetano (UFSCar)

Concepção do Material 

De forma geral, o livro é estruturado por atividades seguidas de discussão sobre essas atividades, enfocando: •

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objetivos; conteúdos matemáticos tratados; papel do uso da tecnologia (vantagens e limitações).

Essas discussões não são precedidas de textos teóricos de educação matemática ou sobre tecnologias no ensino. Os docentes responsáveis pela disciplina podem acrescentar textos com essas características, quando considerarem apropriados. Toda a reflexão sobre o uso de tecnologias digitais em sala de aula de Matemática é organizada a partir das discussões sobre as atividades propostas.


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As atividades são planejadas para execução, prioritariamente, em softwares gratuitos. Os capítulos são organizados pelos tipos de recursos empregados. Entretanto, o foco da discussão não está nos softwares ou nos recursos computacionais específicos, e sim nas atividades em si. Assim, muitas atividades podem ser feitas com diversos softwares diferentes. O livro não é concebido para ser um manual de uso de softwares educacionais, mas sim para aprofundar a reflexão dos professores sobre o uso de tecnologias digitais em sala de aula de Matemática. O objetivo é capacitar o professor para planejar a integração de tecnologias digitais na sala de aula, escolhendo softwares e recursos de acordo com as especificidades de cada contexto.


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Procuramos explorar não só as potencialidades técnicas dos softwares, mas sobretudo suas limitações (erros de arredondamento, interpolação, etc.). Os objetivos são: •

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evitar que os alunos formem uma ideia sobre o computador como “critério absoluto de validação de fatos matemáticos”, mostrando que os resultados da máquina devem sempre ser interpretados à luz de argumentos matemáticos (e não ao contrário); aproveitar a exploração dessas limitações para aprofundar a compreensão dos alunos da “Matemática que está por trás”.


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De forma geral, as atividades procuram conduzir a conclusões e generalizações matemáticas, sem o apoio do computador. Os professores devem ser orientados no sentido de que, em sala de aula, as atividades com o computador devem, sempre que possível, ser complementadas com discussões e argumentações matemáticas, sem o uso de tecnologias. As abordagem pedagógica com o uso de tecnologias digitais deve ser planejada de tal forma que a aprendizagem dos conceitos matemáticos dos alunos não dependa permanentemente do apoio dessas tecnologias.

Concepção do Material  

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De forma geral, as atividades não são planejas para a aplicação direta em sala de aula. O objetivo é capacitar o professor a refletir e avaliar o uso de tecnologias e, a partir daí, criar suas próprias atividades, de acordo com as especificidades de cada público de alunos. Este deve ser o principal papel da disciplina. Muitas atividades estão em nível superior à Matemática dos ensinos fundamental e médio, visando colocar o professor em uma posição de aprendiz com o uso de tecnologias, com estratégia para promover as reflexões acima.


Visando as considerações feitas anteriormente, ao final de cada grupo de atividades com objetivos (mais ou menos) semelhantes são propostas atividades de fechamento do tipo:


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Os professores-cursistas devem ser estimulados a fazer essas atividades de fechamento e trazer suas propostas para discussão em sala de aula, com os colegas e docente responsável pela disciplina. Recomendamos também que as atividades de fechamento sejam empregadas na avaliação da disciplina.

Concepção do Material  

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O livro é estruturado em 8 capítulos, divididos em seções, totalizando 24 seções. Na estrutura do PROFMAT, cada seção corresponde a uma Unidade. Em cada semana de aulas, são abordadas 2 Unidades. Nesta oficina, discutiremos atividades dos 5 capítulos iniciais: 1.

O Uso da Calculadora no Ensino de Matemática

2.

Planilhas Eletrônicas Ambientes Gráficos Ambientes de Geometria Dinâmica Sistemas de Computação Algébrica e Simbólica

3. 4.

5.

Recursos Computacionais no Ensino de Matemática Victor Giraldo (UFRJ) Paulo Caetano (UFSCar) Francisco Mattos (UERJ / CP2) 13 de Janeiro de 2012

Conte´ udo 1 O Uso da Calculadora no Ensino de Matem´ atica 5 1.1 Opera¸co˜es e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Aproxima¸co˜es, Arredondamentos e Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Planilhas Eletrˆ onicas 17 2.1 Simbologia Algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Tratamento da Informa¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 Ambientes Gr´ aficos 3.1 Articulando Representa¸co˜es . . . . . . . . . . . 3.2 Fam´ılias de Fun¸co˜es Dependendo de Parâmetros 3.3 Pontos de Vista e Perspectivas . . . . . . . . . 3.4 Mais Explora¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Ambientes de Geometria Dinˆ amica 4.1 Explorando a Geometria de Forma Dinâmica . . . . . . 4.2 Aprofundando a Explora¸cão . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Articulando Geometria e Fun¸co˜es: Manipulando Gráficos 4.4 Articulando Geometria e Fun¸co˜es: Novos Olhares . . . . 5 Sistemas de Computa¸c˜ ao Alg´ ebrica e Simb´ olica 5.1 Explorando Fun¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Operando com Fun¸co˜es . . . . . . . . . . . . . 5.3 Conceitos Básicos do Cálculo Infinitesimal . . . 5.4 Explora¸co˜es Aritméticas . . . . . . . . . . . . . 6 Ensino a Distˆ ancia 6.1 Ambientes Virtuais de Matemática . . . 6.2 Aprendizagem Colaborativa . . . . . . . 6.3 Projetos de Ensino a Distância – Parte 1 6.4 Projetos de Ensino a Distância – Parte 2

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31 32 38 45 55

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63 63 70 73 76

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81 81 82 82 84

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7 Pesquisas Eletrˆ onicas, Processadores de Texto e Hipertexto 99 7.1 Pesquisas Eletrônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.2 Processadores de Texto e Hipertexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 8 Crit´ erios e Instrumentos para Avalia¸c˜ ao de Softwares Educativos 115 8.1 Avalia¸cão de Softwares Educativos – Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 8.2 Avalia¸cão de Softwares Educativos – Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3

Cap´ıtulo 1 O Uso da Calculadora no Ensino de Matem´ atica Introdu¸c˜ ao A entrada das tecnologias digitais na sala de aula de Matemática, sobretudo nas u ´ltimas duas décadas, foi acompanhada de um intenso debate sobre seus efeitos na aprendizagem. Inicialmente, este debate, que não se restringiu ao Brasil e se espalhou por todos os pa´ıses em que recursos computacionais foram sistematicamente introduzidos na escola, concentrou-se na tentativa de responder à questão se tais efeitos seriam “benéficos” ou “maléficos”. Por exemplo, especificamente sobre o uso de calculadoras no ensino de Matemática, o pesquisador inglês David Tall [57] já observava há 10 anos passados: O uso de calculadoras e computadores em Matemática nem sempre tem sido tão bem sucedido quanto poderia ser. Na Inglaterra, o uso de calculadoras com crian¸cas tem sido desencorajado na esperan¸ca de que sua ausência permitiria que as crian¸cas construissem rela¸co˜es aritméticas mentais. Talvez esta atitude tenha mais a ver com o mal uso da calculadora (para efetuar cálculos sem ter que pensar) do que com qualquer falha inerente ao próprio aparato. Bem usada – para encorajar reflexão sobre idéias matemáticas – a calculadora pode ser muito benéfica. David Tall, 2001, p.212 (tradu¸caõ nossa)

Neste sentido, temores iniciais de que o uso de calculadoras na sala de aula, por si só, atrofiaria as habilidades aritméticas dos alunos eram, de certa forma, mal colocados. Os efeitos da ferramenta na aprendizagem estão muito mais relacionados com a forma como ela é usada do que com suas caracter´ısticas intr´ınsecas. De fato, esta constata¸cão aplica-se a qualquer tecnologia usada no ensino, seja esta de natureza computacional ou não. Hoje, as tecnologias digitais estão cada vez mais presentes em praticamente todos os setores da atividade humana, portanto não faria sentido bani-las da sala de aula – sob pena de tornar a escola tão anacrônica em rela¸cão à vida exterior a seus muros a ponto de ter um efeito inócuo na forma¸cão dos alunos. Paralelamente a isso, a reflexão sobre os usos pedagógicos dessas tecnologias vem amadurecendo. Assim, o foco do debate deslocou-se da questão de se as tecnologias digitais têm efeitos benéficos para a aprendizagem, para a questão de como us´ a-las de forma que seus efeitos sejam ben´ eficos para a aprendizagem. As calculadoras são certamente as tecnologias digitais mais simples, baratas e de mais fácil uso. Mesmo as calculadoras com menos recursos matemáticos podem ser usadas de forma a enriquecer significativamente a abordagem. Seu uso como instrumento didático oferece ao contexto de sala de aula, em situa¸co˜es espec´ıficas, uma metodologia de ensino que permite ao professor dinamizar de modo simples as aulas teóricas tratadas geralmente com metodologias tradicionais. O objetivo central deste primeiro 5

´ CAPÍTULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMATICA

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Cap´ıtulo é discutir como é poss´ıvel desenvolver atividades pedagógicas 1 interessantes e enriquecedoras mesmo quando se dispõe apenas de recursos computacionais m´ınimos. Por isso, todas as atividades propostas podem ser feitas com a calculadoras simples (em geral chamadas calculadoras de bolso), que dispõem apenas das quatro opera¸co˜es elementares. Atividades de natureza mais complexa, que demandariam mais recursos tecnológicos serão abordadas nos cap´ıtulos subsequentes. O Cap´ıtulo está dividido em duas se¸co˜es: na primeira, o foco das atividades estará mais na estrutura as opera¸co˜es e suas propriedades; e na segunda nas caracter´ısticas da representa¸cão decimal, com ênfase em aproxima¸co˜es e erros.

1.1

Opera¸co ˜es e Propriedades

Nesta se¸cão, propomos atividades com objetivo de utilizar a calculadora para enriquecer a aprendizagem da estrutura das opera¸co˜es elementares (principalmente com números inteiros) e suas propriedades. Em geral, essas propriedades são ensinadas como “regras”, enunciadas no quadro negro. Atividades com a calculadora podem articular-se com a abordagem tradicional de sala de aula, oferecendo aos alunos uma oportunidade de lidar com a estrutura das opera¸co˜es de forma mais concreta e dinâmica. Para que esses objetivos sejam atingidos, é fundamental que os alunos sejam encorajados a interpretar matematicamente os resultados da m´ aquina e a desenvolver uma atitude cr´ıtica em rela¸c˜ ao a estes – em lugar de simplesmente aceitá-los como verdades inquestionáveis. Assim, o papel da calculadora em sala de aula não deve se limitar a apenas “conferir” resultados obtidos manualmente. Seu uso é mais rico em situa¸co˜es cuja interpreta¸cão pelos alunos leve ao aprofundamento da compreensão sobre as propriedades matemáticas envolvidas, por exemplo, por meio da explora¸cão de resultados inesperados ou aparentemente errados. Por este motivo, o papel do professor em planejar e aplicar adequadamente as atividades é decisivo – não é a calculadora, por si só, que pode trazer efeitos positivos (ou negativos) à aprendizagem, e sim a forma como ela é empregada em sala de aula. Atividades 1. Considere os números: 49, 71 e 180. Com a ajuda da calculadora, construa exemplos de opera¸co˜es (adi¸cão, subtra¸cão, multiplica¸cão e divisão), que tenham cada um desses números como resultados. (a) Primeiro, dê exemplos de opera¸co˜es envolvendo apenas números naturais. (b) Agora, use quaisquer números (podendo ser inteiros, racionais ou irracionais). 2. Suponha que você queira fazer uma conta envolvendo números grandes, como por exemplo: ´ bem provável que use uma calculadora para obter o resultado. Como 987123 × 110357. E se tratam de números com muitos algarismos, mesmo com uma calculadora, não é imposs´ıvel enganar-se ao digitar algum algarismo e obter um resultado errado. (a) Suponha que depois de digitar os dados, tenha aparecido no visor o seguinte resultado: 989455911. Este resultado pode estar certo? Justifique a sua resposta. (b) Constatando que o resultado anterior não estava correto, você apaga e digita novamente os dados. Desta vez o visor mostra o seguinte: 108935822554. E este resultado, pode estar certo? Justifique a sua resposta. (c) Quantos algarismos você espera que o resultado tenha? 1

Grande parte as atividades propostas neste Cap´ıtulo foram inspiradas ou adaptadas diretamente de [46]. Agradecemos o autor e amigo Carlos Mathias pelas ideias e conversas inspiradoras.

˜ 1.1. OPERAC ¸ OES E PROPRIEDADES

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(d) Qual deve ser o u ´ltimo algarismo do resultado? (e) Você seria capaz de descobrir que erros você cometeu nos ´ıtens (a) e (b)? 3. Suponha que você queira saber o resultado da conta 7 × (581 + 399), com ajuda de uma calculadora. Você digita os dados e a máquina fornece o resultado 4466. O resultado está correto? O que você acha que aconteceu? As atividades iniciais 1 a 3 procuram explorar apenas as propriedades das opera¸co˜es elementares, sendo apropriadas para alunos do 1o. segmento ou do in´ıcio do 2o. segmento de ensino fundamental. A atividade 1 tem por objetivo inverter a lógica usual de resolver contas e obter resultados, propondo que os alunos inventem diferentes contas que levem a um mesmo resultado dado. O exerc´ıcio de inventar contas pode ser explorado pelo professor para a reflexão sobre as propriedades das opera¸co˜es, além de colaborar com a prática de cálculo mental, estimulando os estudantes a pensarem sobre a rela¸cão entre as ordens de grandeza do resultado e dos operandos. Para isso, o professor pode ainda incluir na atividade questões chave mais direcionadas, como por exemplo: • Quantas multiplica¸co˜es você consegue exibir, envolvendo apenas números naturais, cujo resultado seja 49? E 71? E 180? • Observando que 90 + 90 = 180, como você pode descobrir outras contas de adi¸cão que dêem o mesmo resultado? • Observando que 2 × 90 = 180, como você pode descobrir outras contas de multiplica¸cão, apenas com números inteiros, que dêem o mesmo resultado? • Observando que 2 × 90 = 180, como você pode descobrir outras contas de multiplica¸cão, com números inteiros ou fra¸co˜es, que dêem o mesmo resultado? • Pode existir uma adi¸cão, envolvendo apenas números naturais, cujo resultado seja 49 e uma das parcelas seja 60? • Pode existir uma adi¸cão, envolvendo números inteiros, cujo resultado seja 49 e uma das parcelas seja 60? • Pode existir uma multiplica¸cão, envolvendo apenas números naturais, cujo resultado seja 49 e um dos fatores seja 60? • Pode existir uma multiplica¸cão, envolvendo apenas números naturais, cujo resultado seja 49 e um dos fatores seja 40? • Pode existir uma multiplica¸cão cujo resultado seja 49 e um dos fatores seja 60?

• Pode existir uma multiplica¸cão cujo resultado seja 49 e um dos fatores seja 40?

• Em uma adi¸cão, quando você aumenta uma das parcelas, o que deve acontecer com a outra para que o resultado não se altere? • Em uma subtra¸cão, quando você aumenta um dos termos, o que deve acontecer com o outro para que o resultado não se altere? • Em uma multiplica¸cão, quando você aumenta um dos fatores, o que deve acontecer com o outro para que o resultado não se altere? • Em uma divisão, quando você aumenta o dividendo, o que deve acontecer com o divisor para que o resultado não se altere? • Que propriedades das opera¸co˜es você empregou para chegar às conclusões acima?


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Questões como as exemplificadas acima podem contribuir com a compreensão de algumas propriedades importantes das opera¸co˜es. Por exemplo, quando adicionamos um número a uma das parcelas de uma soma, para manter o mesmo resultado, devemos subtrair o mesmo número da segunda parcela. Verifica¸co˜es análogas podem ser propostas para as demais opera¸co˜es. Tais verifica¸co˜es podem favorecer a explora¸cão da rela¸cão entre as opera¸co˜es e sua respectivas inversas, além da rela¸cão entre as ordens de grandeza do resultado e dos operandos. As questões podem ainda ser empregadas na explora¸cão das limita¸co˜es das opera¸co˜es em cada um dos conjuntos numéricos. Em particular, é importante chamar aten¸cão para o fato de que a quantidade de multiplica¸co˜es resultando em número dado está relacionada com a quantidade de fatores primos deste número (por exemplo, no caso da atividade 1 proposta acima, são dados um número primo e dois números compostos, sendo um quadrado de um primo e o outro com diversos divisores distintos). Finalmente, o exerc´ıcio de procurar por um dos termos de uma opera¸cão, dados o outro termo e o resultado, pode ser explorado como uma introdu¸cão à no¸cão de equa¸cão. Na atividade 1, o papel da calculadora é apenas o de dar mais agilidade aos cálculos, permitindo que o aluno foque mais aten¸cão na reflexão sobre o comportamento dos resultados e as propriedades ´ importante observar que a atividade n˜ operatórias empregadas. E ao deve se resumir ` a mera verifica¸c˜ ao de resultados com a calculadora. Seu desenvolvimento em sala de aula deve sempre incluir as justificativas matem´ aticas desses resultados. Por outro lado, o uso da calculadora em sala de aula não precisa – e não deve – limitar-se simplesmente a facilitar ou conferir contas. As atividades 2 e 3 enfocam a interpreta¸cão cr´ıtica de resultados produzidos por usos errôneos da calculadora, visando estimular a forma¸cão de uma expectativa para os resultados, e o desenvolvimento prática da verifica¸cão por meio de estimativas e cálculo mental. Quando os alunos no ensino fundamental memorizam os algoritmos das opera¸co˜es, sem entender sua estrutura, dificilmente eles desenvolverão qualquer no¸cão das rela¸co˜es entre o resultado e os operandos. Nestes casos, resultados provenientes de erros na aplica¸cão dos algoritmos são aceitos, mesmo quando claramente incompat´ıveis com a conta efetuada. Se os cálculos são feitos com a calculadora, os resultados são geralmente aceitos como corretos sem hesita¸cão. Na atividade 2, podemos verificar que os resultados dados nos ´ıtens 2a e 2b são incompat´ıveis com os fatores da multiplica¸cão. Uma estimativa simples fornece-nos uma ideia da ordem de grandeza dos resultado da conta. Como 987123 > 9×105 e 110357 > 105 , então 987123×110357 > 9×105 ×105 = 9 × 1010 , isto é, 987123 × 110357 tem pelo menos 11 algarismos. Além disso, como os fatores terminam com os algarismos 3 e 7, o u ´ltimo algarismo do produto deve ser necessariamente 1. Os resultados 989455911 e 108935822554 dos 2a e 2b são obtidos pela omissão ou troca de algarismos na conta. Assim, 989455911 = 87123 × 11357 e 108935822554 = 987122 × 110357. De forma semelhante, na atividade 3, percebemos que o resultado de 7 × (581 + 399) deve ser múltiplo de 10, portanto não pode ser 4466. O erro decorre da omissão dos parênteses, isto é, 4466 = 7 × 581 + 399. Há uma ampla gama de atividades com objetivos semelhantes a estes que podem ser propostas, dependendo do ano escolar. As atividades anteriores constituem apenas alguns exemplos. Sugerimos que você formule outras, levando em conta as especificidades de seu público de alunos. Atividades 4. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 3. (a) (b) (c) (d)

Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados? Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades? Qual é o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸cão a abordagens com recursos convencionais (isto é, sem o uso da calculadora)?


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5. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 3, que seja adequada para as turmas em que você leciona. Que questões chave você incluiria na atividade, para ajudar a direcionar a resolu¸cão dos alunos.

Reconhecendo Padr˜ oes e Regularidades As atividades a seguir exploram o reconhecimento de padrões nos resultados de opera¸co˜es aritméticas. Em livros didáticos do ensino fundamental, não é incomum encontrarmos exerc´ıcios do tipo “complete a sequência”, que pedem que o aluno reconhe¸ca e generalize um padrão numérico ou geométrico em uma sequência, a partir de um pequeno conjunto de termos dados. O reconhecimento de padrões é sem dúvida uma habilidade fundamental para o desenvolvimento do pensamento matemático elementar. Entretanto, é importante considerar que a regra de forma¸cão de uma sequência não pode ser inferida tendo como base apenas a verifica¸cão de um conjunto finito de exemplos (uma sequência numérica não precisa nem mesmo ter uma regra algébrica de forma¸cão). Assim, as atividades que se seguem não visam apenas inferir o padrão a partir da verifica¸cão dos exemplos dados e generalizá-lo para outros números quaisquer. O objetivo é reconhecer o padrão, justificá-lo matematicamente, e determinar para que outros números este pode ser generalizado. A busca por essas justificativas matemáticas pode ajudar na compreensão dos algoritmos das opera¸co˜es e suas rela¸co˜es com a estrutura do sistema de numera¸cão decimal. As atividades propostas abordam padrões nas representa¸co˜es decimais de números naturais (6 e 7) e de números racionais (8 e 9). Atividades 6. Use a calculadora para fazer as seguintes contas de multiplica¸cão por 11: 13 × 11, 24 × 11, 35 × 11. Observe que há um padrão nos resultados. (a) Descreva o padrão observado. (b) Explique o padrão, com base no algoritmo da multiplica¸cão. (c) Este padrão vale para qualquer multiplica¸cão de um número de dois algarismos por 11? Justifique sua resposta. (d) O que acontece se multiplicamos um número com mais de dois algarismos por 11? Também observaremos algum tipo de padrão? Justifique sua resposta. 7. Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 21 × 202, 48 × 202, 35 × 202, 17 × 202. (a) Descreva o padrão observado nos resultados. (b) Explique o padrão, com base no algoritmo da multiplica¸cão. (c) Para que tipo de multiplica¸cão esse padrão vale? Justifique sua resposta. 8. Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 1 ÷ 9, 2 ÷ 9, . . ., 8 ÷ 9. Explique o padrão observado nos resultados. 9. Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 1 ÷ 99, 25 ÷ 9, 43 ÷ 9, 76 ÷ 9. Explique o padrão observado nos resultados. Na atividade 6, observamos que se um número natural n possui 2 algarismos quando representado na forma decimal, então podemos escreve-lo na forma n = 10a + b, com a, b ∈ N, 0 6 a, b < 10. Logo: 11 n = 11 (10a + b) = 10 (10a + b) + (10a + b) = 100a + 10 (a + b) + b


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Observe que o desenvolvimento acima reproduz os passos do algoritmo usual da multiplica¸cão. Portanto, se n = 10a + b é um número com 2 algarismos, cuja soma é menor que 10, então a representa¸cão decimal de 11 n tem três algarismos, sendo o das centenas a, o das dezenas a + b e o das unidades b. Na atividade 7, o padrão observado pode ser justificado de forma análoga. O papel da calculadora nessas atividades é justamente permitir que o aluno obtenha os resultados sem usar o algoritmo, para posteriormente refletir sobre o mesmo com base no padrão observado. Nas atividades 8 e 9, é interessante chamar a aten¸cão dos alunos para a determina¸cão da fra¸cão geratriz de um d´ızima periódica como soma de uma progressão geométrica infinita. Atividades 10. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 6 a 9. (a) (b) (c) (d)


11. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 6 a 9, que seja adequada para as turmas em que você leciona.

Aprofundando a Compreens˜ ao das Opera¸co ˜es Como já comentamos, existem muitas outras formas de explorar os recursos das calculadoras simples para enriquecer a aprendizagem das opera¸co˜es elementares, sua estrutura e suas propriedades. A ideia geral é aproveitar os recursos da calculadora para oferecer aos alunos uma vis˜ ao das operaço ˜es que seja diferente da abordagem usual de sala de aula, e que se articula e enrique¸ca essa abordagem. Nas atividades a seguir, damos mais alguns exemplos. Porém leitor é fortemente encorajado a elaborar outras, de acordo com as caracter´ısticas e dificuldades espec´ıficas de seu público de alunos (como vimos propondo). Atividades como as 14 a 17 podem ser aplicadas em forma de jogo entre os alunos. Atividades 12. (a) Digite 2 + 3 na calculadora. Em seguida, tecle o sinal de = várias vezes. Tome nota dos números que vão aparecendo na tela. Que tipo de sequência esses números formam? (b) Agora, fa¸ca a mesma experiência com a multiplica¸cão: digite 2 × 3 na calculadora e, em seguida, o sinal de = várias vezes. Que tipo de sequência esses números formam? 13. (a) Suponha que você tenha depositado R$150, 00 em uma caderneta de poupan¸ca que rende 0,7 0, 7% ao mês. Passado o primeiro mês, você terá R$150, 00+R$150, 00× 100 = R$150, 00× 1, 007 = R$151, 05. Quantos meses você deverá esperar (sem fazer nenhum saque ou novo depósito) para obter 10% a mais da quantia aplicada? Você poderá responder esta pergunta usando uma calculadora de bolso apenas com as quatro opera¸co˜es elementares. Multiplique 150 por 1, 007 e aperte a tecla = sucessivamente, até que o resultado mostrado na tela fique ultrapasse 150 × 1, 1 = 165. Conte o número de vezes que a tecla = foi pressionada.


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(b) Repita a experiência, supondo agora que você tenha aplicado R$350, 00 e queira obter um lucro de 10% da quantia inicial. (c) As respostas dos ´ıtens anteriores dependem da quantia aplicada? Justifique sua respostas com base em argumentos matemáticos. 14. Complete as espa¸cos em branco nas expressões abaixo, com os sinais das quatro opera¸co˜es elementares (+, −, × e ÷), de forma que as igualdades sejam válidas. (a) (53 36) 15 = 1335 (c) 17 (25 83) = −41 (e) (14 66) 16 = 5

(b) 53 36 15 = 1923 (d) 11 17 23 = 4301 (f) 14 66 16 = 18, 125

15. Use uma calculadora para encontrar aproxima¸co˜es para os números a seguir, empregados apenas √ as teclas numéricas e as teclas + , − , × , ÷ , e = (isto é, sem empregar a tecla de potencia¸cão a um expoente qualquer, se houver).

(a) 30,5

(b) 3−0,125

(c)

√ 4

3

(d) 33,125

16. Em uma calculadora defeituosa, apenas as teclas 3 , 8 , + , − e = estão funcionando. Você conseguiria obter todos os números naturais de 1 a 10 apenas usando essas teclas? 17. Em uma calculadora defeituosa, apenas as teclas 5 , + , − , × , ÷ e = estão funcionando. Obtenha cada um dos números naturais de 1 a 10 apenas usando o menor número poss´ıvel de teclas. Na maior parte das calculadoras de bolso, quando pressionamos a tecla correspondente ao sinal de igualdade seguidamente, a u ´ltima opera¸cão realizada é repetida. Este recurso pode ser empregado no ensino de diversas maneiras. As atividades 12 e 13 apresentam duas sugestões neste sentido. Na atividade 14, em lugar de obter os resultados conhecendo os operandos e as opera¸co˜es, a proposta é que os alunos descubram as opera¸co˜es conhecendo os operandos e os resultados. Para escolher os sinais que tornam as igualdades verdadeiras, eles deverão avaliar as rela¸co˜es entre os operandos e os resultados (tais como ordens de grandeza e caracter´ısticas da representa¸cão decimal), assim como nas atividades 2 e 3. A atividade 15 visa à explora¸cão das propriedades de potencia¸cão e radicia¸cão, por meio da decomposi¸cão potências de diversos expoentes em ra´ızes quadradas. De forma semelhante, na resolu¸cão das atividades 16 e 17, os alunos deverão decompor números naturais de 1 a 10 de diferentes maneiras. O exerc´ıcio de decompor números naturais de diferentes formas é importante para a compreensão dos sistema de numera¸cão decimal e das estruturas dos algoritmos das quatro opera¸co˜es. Atividades 18. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 12 a 17. (a) (b) (c) (d)




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1.2

Aproxima¸co ˜es, Arredondamentos e Erros

Na se¸cão 1.1, destacamos a importância do desenvolvimento de uma atitude de interpreta¸cão cr´ıtica dos resultados produzidos pela calculadora por parte dos alunos. As atividades 2 e 3 daquela se¸cão visavam à forma¸cão dessa atitude cr´ıtica a partir de usos errôneos da máquina, isto é, erros cometidos pelo próprio usuário. Entretanto, não são apenas erros de uso que provocam resultados aparentemente errados ou inesperados – estes podem ser causados por limita¸co ˜es inerentes ` a pr´ opria m´ aquina. Tais resultados são produzidos, de forma geral, por erros de arredondamento: como uma calculadora só tem capacidade para armazenar números com representa¸cão decimal finita, todos os números com representa¸cão infinita (e mesmo aqueles com representa¸cão finita, porém superior a capacidade da máquina) são aproximados por números com representa¸cão finita. Isto é, as calculadoras (pelo menos as mais simples) não operam com números com representa¸cão decimal infinita, e sim com aproxima¸co˜es para esses números. A imprecisão nos resultados de cálculos aproximados pode aumentar quando os erros de arredondamento são propagados, isto é, quando resultados aproximados são usados em novos cálculos, gerando aproxima¸co˜es sobre aproxima¸co˜es. Evidentemente, algumas máquinas possuem capacidade de armazenamento superior a outras, podendo produzir resultados mais precisos, porém todas têm capacidade finita. Portanto cálculos com decimais infinitos envolverão necessariamente imprecisões e erros de alguma ordem. Desta forma, a atitude de interpreta¸cão cr´ıtica dos resultados por parte dos alunos não se refere apenas a seus próprios eventuais erros de uso, mas sobretudo ao funcionamento e às limita¸co˜es da máquina. A consciência das limita¸co˜es da calculadora e do fato de que ela pode produzir resultados imprecisos ou aparentemente errados é fundamental para a compreensão de que a m´ aquina n˜ ao pode ser usada como crit´ erio de valida¸c˜ ao matem´ atica. Os resultados da máquina devem ser interpretados e avaliados com base em argumentos matemáticos (e não ao contrário). Este será o enfoque desta se¸cão. Algumas das atividades propostas a seguir (1 a 3) visam especificamente chamar aten¸cão para as limita¸co˜es da calculadora, por meio da interpreta¸cão de resultados aparentemente errados ou imprecisos. As seguintes (6 a 10) abordam processos de aproxima¸co˜es sucessivas, que podem ser empregados como introdu¸cão ao conceito de limite. A princ´ıpio, pode-se pensar que os erros de aproxima¸cão da máquina constituem-se necessariamente em um obstáculo para a aprendizagem do conceito de limite. Porém, justamente esses erros podem ser explorados pelo professor para introduzir de forma mais expl´ıcita a natureza matemática da no¸cão de limite: o conceito matemático de limite escapa da precisão da máquina, por melhor que esta seja, ou de qualquer precisão finita. Atividades 1. As figuras abaixo representam resultados de certas opera¸co˜es matemáticas feitas em uma calculadora, mostrados no visor. Sem saber as opera¸co˜es que foram efetuadas, é poss´ıvel saber se esses números são racionais ou não, apenas nos resultados do visor? Justifique sua resposta.

˜ 1.2. APROXIMAC ¸ OES, ARREDONDAMENTOS E ERROS

13

2. Ao usar uma calculadora de bolso para fazer uma conta cujo resultado não é um número inteiro, o visor mostrará uma aproxima¸cão desse resultado, usando todas as casas decimais dispon´ıveis. Levando isso, em conta, responda as perguntas a seguir, justificando suas respostas. (a) Use a calculadora para fazer a conta 1 ÷ 3. Se você multiplicar o resultado mostrado no visor por 3, você encontrará o número 1 novamente? √ (b) Use a calculadora para fazer a conta 2. Se você elevar o resultado mostrado no visor a quadrado, você encontrará o número 2 novamente? 3. Considere a conta 0, 0000111 × 9999456 ÷ 9999123. Como sabemos, podemos fazer efetuar essa conta de diversas maneiras diferentes: (0, 0000111 × 9999456) ÷ 9999123, ou 0, 0000111 × (9999456 ÷ 9999123), ou ainda (0, 0000111 ÷ 9999123) × 9999456. As propriedades das opera¸co˜es de multiplica¸cão e divisão garantem-nos que obteremos o mesmo resultado. Use uma calculadora para fazer a conta dessas duas maneiras. Compare os resultados. Você pode explicar o que aconteceu? Muitos livros didáticos do ensino básico apresentam exerc´ıcios propondo a classifica¸cão de números como racionais ou irracionais, com base em sua representa¸cão decimal. Entretanto, frequentemente tais exerc´ıcios não incluem informa¸co˜es suficientes para a conclusão pedida. O objetivo da atividade 1 é mostrar que, apenas com uma amostra finita da representa¸cão decimal de um número real, não é poss´ıvel concluir se este é racional ou não. Por exemplo, embora a expressão que aparece na tela da esquerda possa sugerir a representa¸cão de um número irracional (pois os algarismos não repetem), trata-se apenas de uma expressão decimal finita que pode representar uma aproxima¸cão, tanto para 1 é uma d´ızima um irracional quanto para um racional. De fato, a representa¸cão decimal da fra¸cão 19 periódica cujo per´ıodo tem 18 d´ıgitos, sendo os 16 primeiros coincidentes com a expressão dada: 1 = 0, 052631578947368421 . 19 Em continuidade, as atividades 2 e 3 ilustram erros causados por arredondamentos. Para fazer a experiência proposta na atividade 2, os alunos poderão anotar o resultado da primeira opera¸cão que é mostrado na tela, limpar a memória da calculadora, digitar o mesmo resultado, efetuar a opera¸cão inversa, verificando que não se retorna ao número original. A atividade 3 exemplifica uma situa¸cão em que um erro de arredondamento pode fazer com que a calculadora forne¸ca resultados diferentes para uma mesma opera¸cão efetuada em ordens diferentes (dependendo da precisão da calculadora utilizada). Observe que neste exemplo, essencialmente, estamos multiplicando um número próximo de 0 por um número próximo de 1. Assim, se a divisão for efetuada primeiro, em uma calculadora com precisão baixa, esse resultado parcial pode ser arredondado para 1, afetando o resultado final. Atividades 4. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 3. (a) (b) (c) (d)

Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados? Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades? Qual é o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades? Faria sentido aplicar essas atividades sem o uso da calculadora?



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Aproxima¸co ˜es e Limites Nas atividades a seguir, lidamos com aproxima¸co˜es – ou em termos matemáticos formais, limites de sequências de números reais. O conceito de limite é um dos mais importantes e centrais de toda a Matemática, e mesmo não figurando explicitamente nos curr´ıculos, este pode (e deve) ser introduzido informalmente no ensino básico, por meio da ideia intuitiva de aproxima¸cão. A calculadora pode ser um recurso didático de grande ajuda para esta introdu¸cão. Em particular, a ideia de aproxima¸cão é importante para o ensino do conceito de número irracional. Em geral, a abordagem de números irracionais no ensino básico é bastante restrita. Usualmente, recebem pouca ênfase as motiva¸co˜es para a própria necessidade de amplia¸cão do conjuntos dos números reais (isto é, de que problemas matemáticos os números racionais não dão conta), e as justificativas para propriedades referentes à representa¸cão decimal de irracionais (tais como, um número é irracional se, e somente se, sua expressão decimal é infinita e não periódica), ou mesmo para as expressões decimais de exemplos espec´ıficos de números irracionais. Aproxima¸co˜es para números irracionais, desenvolvidas com ajuda da calculadora, pode enriquecer significativamente a abordagem de números irracionais, sua representa¸cão decimal e localiza¸cão na reta real. Atividades √ 6. O objetivo desta atividade é determinar aproxima¸co˜es √ decimais para 2. Sabemos que 12 = 1 < 2 < 4 = 22 . Isto nos permite concluir que 1 < 2 < 2. De forma análoga, temos que 1, 42 = 1, 96 < 2 < 2, 25 = 1, 52 . Continuando este procedimento, use a calculadora √ (sem √ ) para completar a tabela abaixo, obtendo aproxima¸co˜es para 2 com n empregar a tecla casas decimais. n 1 2 3 4 5

√

2∼ =

7. Conhecendo aproxima¸ ˜es com n casas decimais depois da v´ırgula para √co aproxima¸co˜es para 2 2 . Complete a tabela abaixo. n 1 2 3 4 5

√

2∼ 2 = 1, 4 1, 41 1, 414 1, 4142 1, 41421

√ 2

√

2, podemos determinar

∼ =

O procedimento acima pode nos dar certeza do número da casas decimais exatas das aproxima¸co˜es √ 2 para 2 obtidas? Justifique sua resposta. 8. Digite um número positivo qualquer na calculadora. Em seguida, digite a tecla

√

vezes. Em algum momento o visor mostrará o número 1. Explique o que aconteceu.

sucessivas

˜ 1.2. APROXIMAC ¸ OES, ARREDONDAMENTOS E ERROS

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Em livros didáticos do ensino básico, as expressões decimais aproximadas para números irracionais são quase sempre apresentadas como se fossem simplesmente dadas, sem quaisquer justificativas √ teóricas. Na atividade 6, propomos um processo para determinar aproxima¸co˜es decimais para 2, usando apenas a potencia¸cão números racionais. Por meio desse processo, √ podemos (pelo menos teoricamente) determinar quantas casas decimais quisermos para o número 2. Atividades como esta são muito importantes para que os alunos no final do ensino fundamental e no ensino médio formem uma ideia mais concreta dos números irracionais e sua localiza¸cão na reta real. A atividade 7 tem como objetivo introduzir um significado intuitivo (e não formalizado) para a potencia¸cão de expoente irracional. A opera¸cão de potencia¸cão é definida primeiramente para expoentes naturais, e posteriormente generalizada para expoentes inteiros e naturais por meio de argumentos baseados na preserva¸cão de certas propriedades aritméticas (por exemplo, devemos ter a 0 = 1 para a 6= 0, pois caso contrário não valeria am an = am+n , para m, n ∈ Z). Entretanto, raramente encontramos em livros didáticos alguma forma de conceitua¸cão para a potencia¸cão com expoentes irracionais. Contraditoriamente, alguns cap´ıtulos a frente, a fun¸cão exponencial é definida com dom´ınio em R, sem que esta inconsistência seja sequer apontada. De fato, a extensão da opera¸cão de potencia¸cão dos números racionais para os irracionais não pode ser justificada apenas por meio de argumentos algébricos (como as extensões anteriores), e requer necessariamente uma ideia de convergência, o que a torna a sua formula¸cão teórica de dif´ıcil compreensão, mesmo no ensino médio. Isto não é justificativa, no entanto, para que este problema não seja tratado, mesmo que de forma intuitiva. Em geral, os estudantes no ensino médio não têm maiores dificuldades em explicar√o que significam potencia¸co˜es com expoentes 3 4 inteiros ou racionais (por exemplo, 2−3 = 213 , ou 2 4 = 23 ). Mas, é preciso também que eles atribuam algum significado a expressões do tipo 2π – que número é esse? Uma introdu¸cão a esta discussão, que pode ser feita com ajuda da calculadora, é o que propõe a atividade 7. Nas atividades 6 e 7 é fundamental claro para os alunos que a expressões decimais obtidas √ √ que fique representam aproxima¸co˜es para os 2 e 2 2 . Os erros associados a cada uma dessas aproxima¸co˜es podem ser feitos tão pequenos quanto se queira, isto é, tratam-se de sequências de números reais √ √ convergindo aos números 2 e 2 2 . Porém, essas aproxima¸co˜es jamais coincidirão com os números. A atividade 8 envolve uma situa¸cão em que os arredondamentos feitos pela má√quina geram um √ n resultado errôneo. Sabemos que, se a > 0 então lim a = 1, portanto o erro | n a − 1| pode ser n→+∞

feito tão pequeno quanto se queira, para n ∈ N suficientemente grande. Entretanto, não podemos ter √ n a = 1 para nenhum a 6= 1. A discussão proposta na atividade 8 pode ser usada para mostrar que, por melhor que seja a √ precisão de uma calculadora, é sempre poss´ıvel tomar n grande o suficiente para que a diferen¸ca entre n a e 1√fique ainda menor que esta precisã√o. Assim, pode-se ilustrar concretamente o fato de que dizer que n a tende a 1 significa dizer que | n a − 1| fica menor que qualquer precisão finita. Atividades 9. Use o mesmo procedimento da atividade 6, encontre aproxima¸co˜es para os números abaixo, com erro menor que 0, 01. (a)

√ 3

(b)

√ 3 2

2

(c) 3 3

10. Use o mesmo procedimento da atividade 7, encontre aproxima¸co˜es sucessivas para o número 10 π . 11. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 6 a 10. (a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados? (b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades?

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´ CAPÍTULO 1. O USO DA CALCULADORA NO ENSINO DE MATEMATICA (c) Qual é o papel da calculadora no desenvolvimento das atividades? (d) Que vantagens e desvantagens o uso da calculadora nas atividades pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸cão a abordagens com recursos convencionais (isto é, sem o uso da calculadora)?


Cap´ıtulo 2 Planilhas Eletrˆ onicas Introdu¸c˜ ao Os recursos dispon´ıveis nas planilhas eletrônicas possibilitam diversas aplica¸co˜es no ensino de Matemática. Dentre esses recursos destacam-se: • manipula¸cão e opera¸co˜es com grandes quantidades de dados numéricos;

• articula¸cão entre diversas formas de representa¸cão; • ferramentas lógicas;

• ferramentas estat´ısticas. Neste Cap´ıtulo, propomos atividades com planilhas eletrônicas, explorando os recursos acima em dois campos do ensino de Matemática: simbologia algébrica, equa¸co˜es e fun¸co˜es; e tratamento da informa¸cão. Quando os alunos no ensino básico têm os primeiros contatos com a simbologia algébrica, não são incomuns as dificuldades com os diferentes significados dos s´ımbolos (variáveis, incógnitas, constantes, parâmetros) e com as regras sintáticas a que estão sujeitas esses s´ımbolos. As planilhas eletrônicas possuem um sistema simbólico próprio. A própria experiência concreta de codifica¸cão e manipula¸cão da simbologia nesse sistema, especialmente a verifica¸cão de erros de codifica¸cão indicados pelo software, pode ajudar os alunos a entenderem os significados e regras sint´ aticas dos s´ımbolos. No ensino de fun¸co˜es, as planilhas eletrônicas possibilitam a articula¸c˜ ao de diversas formas de representa¸c˜ ao, que podem ser constru´ıdas concretamente no software pelo próprio aluno, em cada situa¸cão. Essas representa¸co˜es podem também ser utilizadas para a resolu¸cão numérica de equa¸co˜es, ou mesmo de sistemas de equa¸co˜es, especialmente em situa¸co˜es que envolvam modelos aproximados, permitindo a procura de solu¸co˜es aproximadas em um determinado intervalo. Na abordagem de tratamento da informa¸cão e Matemática Financeira, as planilhas podem ser empregadas com dados extra´ıdos de situa¸co˜es concretas, que podem ser coletados pelos próprios alunos. As ferramentas estat´ısticas e gráficas dispon´ıveis nas planilhas eletrônicas possibilitam a representa¸c˜ ao desses dados de diferentes formas num´ ericas e gr´ aficas, e a an´ alise, compara¸c˜ ao e interpreta¸c˜ ao dessas representa¸co ˜es, visando à formula¸cão de conclusões e hipóteses.

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ˆ CAPÍTULO 2. PLANILHAS ELETRONICAS

18

2.1

Simbologia Alg´ ebrica

Explorando Regularidades e Limites Nesta se¸cão, propomos atividades utilizando os recursos das planilhas eletrônicas para a explora¸cão de regularidades e limites de sequências numéricas. Atividades com objetivos semelhantes já foram propostas no cap´ıtulo anterior. Entretanto, além das planilhas oferecem muito mais recursos e fun¸co˜es que as calculadoras de bolso, seu uso em atividades desta natureza apresenta algumas diferen¸cas importantes do ponto de vista pedagógico, em rela¸cão ao uso da calculadora: • De forma geral as planilhas possuem maior precisão que as calculadoras, portanto possibilitam a visualiza¸cão e o tratamento de dados numéricos com mais casas decimais. • Os recursos das planilhas também oferecem a possibilidade de manusear os dados das atividade de forma mais dinâmica e com menos uso de teclas, uma vez que as fórmulas e dados digitados em uma célula podem ser generalizados para outras por meio do recurso de arrastar. • Aa planilhas geram automaticamente um registro tanto das opera¸co˜es e fun¸co˜es matemáticas empregadas no problema, quanto dos dados da solu¸cão. Para guardar tais registros com o uso da calculadora, é preciso manter um controle paralelo em papel. • Por outro lado, os s´ımbolos encontrados nas calculadoras de bolso são essencialmente os mesmos e obedecem às mesmas regras com que os alunos estão acostumados a lidar desde a alfabetiza¸cão matemática nos anos inicias, enquanto as planilhas eletrônicas possuem simbologia e sintaxe próprias, cuja aprendizagem por si só demanda maior maturidade por parte do aluno. Essas caracter´ısticas podem ser mais ou menos aproveitadas, dependendo dos objetivos pedagógicas da atividade em questão e do ano escolar dos alunos. Por exemplo, para explorar propriedades das opera¸co˜es e propriedades aritméticas com alunos dos anos inicias do ensino fundamental, a calculadora é possivelmente mais adequada, por possibilitar um foco mais espec´ıfico nesses objetivos. Por outro lado, a planilha eletrônica pode ser adequada em anos escolares mais adiantados, contribuindo com uma transi¸cão gradativa do trabalho com aritmética nos anos inicias, em dire¸cão ao pensamento algébricosimbólico, de natureza mais sofisticada e abstrata. A atividade 1 visa justamente comparar as vantagens e desvantagens da realiza¸cão das mesmas atividades com a calculadora e com a planilha. O uso da planilha eletrônica para construir aproxima¸co˜es para números irracionais (como propõem as atividades 1 a 4) pode enriquecer significativamente a abordagem desses números. Em geral, expansões decimais para números irracionais são apresentadas no ensino básico sem maiores justificativas matemáticas e ou manipula¸co˜es concretas. As aproxima¸co˜es constru´ıdas em planilhas eletrônicas, empregadas em uma abordagem cuidadosamente planejada pelo professor, podem promover uma maior familiaridade dos alunos com as representa¸co ˜es decimais para n´ umeros irracionais e suas propriedades, especialmente quando a programa¸cão é feita por eles próprios. Em particular, a experiência com planilhas pode fornecer uma ideia mais concreta para o fato de que as aproxima¸co˜es decimais finitas para um número real dado constituem os termos de uma sequência convergente, cujo limite é este número. Entretanto, como no Cap´ıtulo 1, é importante observar ainda que devem ser exploradas não são as potencialidades técnicas, como também as situa¸co˜es em que o software produz resultados inesperados ou aparentemente errados. Atividades 1. Repita as atividades 6 e 7 da se¸cão 1.2 usando uma planilha eletrônica. Aumente o número de casas decimais da aproxima¸cão. Que vantagens e desvantagens pedagógicas você vê no uso da planilha, em rela¸cão ao uso da calculadora, para realizar esta atividade?

´ 2.1. SIMBOLOGIA ALGEBRICA

19

2. Digite o número 2 na célula A1 de uma planilha eletrônica. Na célula A2, digite =(A1+2/A1)/2. Em seguida, selecione e arraste a célula A1 ao longo da coluna A. De que número os valores que aparecem nessa coluna estão se aproximando? Justifique matematicamente a sua resposta. √ 3. Utilizando a mesma ideia da atividade 2, crie uma sequência de números reais que tenda a 3. 4. Digite o número 1 na célula A1 de uma planilha eletrônica. Na célula A2, digite =(A1+1)∧0,5. Em seguida, selecione e arraste a célula A1 ao longo da coluna A. De forma análoga à atividade 2, podemos concluir que o número para o qual os valores da coluna A estão se aproximando satisfaz√a equa¸cão x2 − x − 1 = 0. Esta equa¸cão possui duas ra´ızes √ 1− 5 1+ 5 reais: x1 = e x2 = . Por que os valores que aparecem na planilha se aproximam 2 2 da primeira raiz, e não da segunda? 5. Um aluno estava estudando o comportamento de duas sequências numéricas infinitas, para tentar descobrir para onde elas tendiam. Sem pistas para obter a resposta, ele decidiu recorre a uma planilha eletrônica. Para programar essa planilha, o aluno procedeu da seguinte forma: 1. A coluna A foi numerada com números naturais em sequência de 1 a 1. 2. Nas posi¸co˜es correspondes à primeira linha das colunas B, C, D e E, ele escreveu, respectivamente: =1/A1; =B1; =1/A1∧2; =D1. 3. Nas posi¸co˜es correspondes à segunda linha das colunas B, C, D e E, ele escreveu, respectivamente: =1/A2; =C1+B2; =1/A2∧2; =E1+D2. 4. A primeira e a segunda linhas da tabela foram selecionadas e arrastadas até completar a milésima linha. A figura abaixo mostra um trecho da planilha programada por ele.


20 (a) (b) (c) (d)

Explique o comportamento dos valores mostrados nas colunas B, C, D e E da planilha. Na sua opinião, que sequências o aluno estava tentando estudar? Você considera que a planilha pode ajudá-lo a determinar os limites procurados? Se o aluno arrastasse até a milionésima linha, em lugar de parar na milésima, você acha que ele teria mais pistas para a resposta do problema? (e) Determine os limites.

Como já comentamos, um primeiro objetivo das atividades anteriores é o entendimento da pr´ opria simbologia e regras sint´ aticas das planilhas eletrˆ onicas, em particular, como as fórmulas inicialmente digitadas em uma célula se generalizam com a ferramenta de arrastar. Na atividade 2, os valores que aparacem na coluna A correspondem aos termos da sequência de números reais definida recursivamente da seguinte forma: (

x1 = 2

(2.1) xn + 2/xn ∀n > 1 2 Observando a planilha, √ podemos perceber que os valores que aparecem na coluna A parecem se aproximar do número 2. Para ter certeza da validade deste fato, devemos buscar uma justificativa matemática. Empregando as opera¸co˜es aritméticas com limites observamos que, caso o limite da sequência (xn )n∈N definida em 2.1 exista, teremos: lim xn + 2/ lim xn xn + 2/xn . lim xn+1 = lim = 2 2 xn+1 =

Além disso, é claro que lim xn+1 = lim xn . Portanto, x = lim xn deverá satisfazer à equa¸cão: x=

x + 2/x , 2

que é equivalente a x2 = 2. Um argumento de indu¸cão finita garante-nos que, se come¸camos com um termo inicial x1 > 0, então todos os demais termos da√sequência (xn ) definida em 2.1 serão todos positivos. Isso nos leva a concluir que, de fato, lim xn = 2. Entretanto, este argumento não está completo! Para que ele seja válido precisamos, de antemão, ter certeza que o limite existe, pois caso contrário nenhuma das opera¸co˜es que foram feitas com ele seria válida. Para demonstrar a existência do limite, come¸camos considerando a fun¸cão real f : R → R definida por: x + 2/x f (x) = . 2 √ √ A análise da√derivada de f nos diz que a fun¸cão possui um m´ınimo absoluto no ponto ( 2, √ 2), isto é, f (x) > 2 ∀ x √ > 0. Como xn+1 = f (xn ) e já√sabemos que xn √ > 0 ∀ n ∈ N, então xn+1 > 2 ∀ n > 1, isto é, xn > 2 ∀ n > 2.√ Como x1 = 2 > 2, então, xn > 2 ∀ n > 1. Logo, a sequência (xn ) é limitada inferiormente por √ 2. Agora, observe que: xn > 2 ⇒ x2n > 2 ⇒ xn > x2n . Portanto: xn + 2/xn xn + x n 6 = xn ∀ n > 1. 2 2 Logo, (xn ) é monótona decrescente. Assim a sequência é limitada inferiormente e monótona decrescente, o que garante que (xn ) é convergente, isto é, existe o limite. xn+1 =


21

A atividade 3 pede uma adapta¸cão da atividade 2. De forma mais geral, dados a ∈ R, a > 0, e k ∈ √ k N, você poderá obter aproxima¸co˜es para o número a, utilizando a sequência definida recursivamente da seguinte forma (verifique): ( x1 = 1 (k − 1) xn + a/xn ∀n > 1 xn+1 = k A atividade 4 explora uma ideia semelhante à da atividade 2, para construir uma sequência convergindo ao número áureo. Na atividade 5, as colunas B, C, D e E da planilha representam, respectivamente, os termos das seguintes sequências: 1 an = n

n X 1 sn = k

1 bn = 2 n

k=1

n X 1 tn = . k2 k=1

Entretanto, uma análise pouco cuidadosa dos valores mostrados na planilha pode sugerir conclusões errôneas sobre o comportamento das sequências. Sabemos que o comportamento de convergência dessas sequências é como dado abaixo. Provas para estes fatos podem ser facilmente encontradas em livros de análise real. 1 1 lim = lim 2 = 0 n n

lim

n X 1 k=1

k

= +∞

n X 1 π2 lim = . 2 k 6 k=1

Assim, as sequências (an ) e (bn ) têm ambas limite 0. Porém, as colunas B e D da planilha (que correspondem, respectivamente, a seus termos) parecem sugerir comportamentos distintos: os valores mostrados nessas colunas parecem se estabilizar em 0, 001 e 0, respectivamente. Como a sequência (an ) tende a 0, seus termos não podem se estabilizar em 0, 001; e embora (b n ) tenda a 0, seus termos nunca atingem o valor 0. Isto ocorre porque (bn ) converge a 0 a uma taxa inferior que a de (an ). Por outro lado, (sn ) e (tn ) têm comportamentos distintos: a primeira diverge a infinito, enquanto a segunda converge a um valor finito. Porém, as colunas C e E podem sugerir o mesmo comportamento para essas sequências: ambas parecem se estabilizar em valores finitos. Isto ocorre porque (s n ) tende a +∞ a uma taxa de crescimento muito baixa. Os exemplos da atividade 5 mostram que a simples verifica¸cão do comportamento dos termos de uma sequência no computador pode sugerir conclusões errôneas sobre a existência ou não de seus limites. Sem dúvida, a programa¸cão e manipula¸cão de sequência de números reais em planilhas eletrônicas propicia uma experiˆ encia concreta, que pode contribuir significativamente com a aprendizagem dos alunos. Porém, como já observamos, as conclusões devem sempre ser sustentadas por argumentos matemáticos. Atividades 6. Na atividade 2, come¸camos digitando o número 2 na célula A1 da planilha. Isto significa que o primeiro termo da sequência definida é 2. (a) Aproveite a planilha que você construiu na atividade 2 e altere o valor da célula A1 para 1. O valor do limite da sequência continua o mesmo? (b) Experimente alterar a célula A1 para outros valores positivos. Observe o comportamento da sequência. (c) Agora, altere a célula A1 para valores negativos. Observe o comportamento da sequência. (d) Investigue e justifique matematicamente o que você observou nos ´ıtens anteriores.


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7. Na atividade 2, a planilha eletrônica foi empregada para representar o comportamento de uma sequência definida recursivamente. Frequentemente utilizamos as propriedades de opera¸co˜es com limites para determinar o limite de sequências desse tipo. Entretanto, para isso, devemos ter garantia de antemão da existência desses limites. Caso contrário, estaremos aplicando opera¸co˜es sem validade, que podem levar a conclusões errôneas. Como exemplo desses erros, considere a sequência de números reais (an )n∈N definida da seguinte forma: a1 = 2 an+1 = 12 (a2n + 1), se n ≥ 1. (a) Mostre que (an ) é crescente. (b) Use uma planilha eletrônica para representar os termos de (a n ). (c) Considere o seguinte argumento para determinar o limite de (a n ): Temos que x = lim an+1 = lim an . Então, podemos tomar x = lim an+1 = lim an . Logo, 1 1 an+1 = (a2n + 1) ⇒ lim an+1 = (lim an )2 + 1 ⇒ 2 2 1 2 2 x = (x + 1) ⇒ x − 2x + 1 = 0 ⇒ x = 1 2 Logo, lim an = 1. Este argumento está correto? Justifique sua resposta. (d) O que você pode concluir sobre a convergência desta sequência? Justifique sua resposta. Suponhamos que o limite da sequência (an ) da atividade 7 exista. Então este limite deve ser, por um lado, maior ou igual a 2 (pois, pelo item 7a, (an ) é crescente e seu primeiro termo é 2), e por outro, igual 1 (pelo argumento do item 7c). Logo, (an ) não é convergente. Por isso, a aplica¸cão das propriedades operatórias com o limite – que não existe – levam-nos a uma conclusão contraditória. Nas atividades anteriores, observamos diferentes exemplos, em que as representa¸co ˜es para as sequˆ encias num´ ericas nas planilhas eletrˆ onicas nem sempre sugerem, pelo menos a primeira vista, comportamentos consistentes com o comportamento matem´ atico. Desta forma, vimos exemplos de: sequências convergentes e sequências divergentes a infinito cujo comportamento pode ser facilmente observado nas planilhas, assim como sequências convergentes que parecem tender a um limite diferente do verdadeiro e sequências divergentes a infinito que parecem convergir um limite finito quando representadas nas planilhas. Ressaltamos que a busca pelas justificativas matem´ aticas para essas aparentes diferen¸cas de comportamento podem ser explorados pelo professor para enriquecer a compreens˜ ao dos alunos sobre sequˆ encias e representa¸c˜ ao decimais de n´ umeros reais. Atividades 8. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 7. (a) (b) (c) (d)

Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados? Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades? Qual é o papel da planilha eletrônica no desenvolvimento das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso da planilha nas atividades pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸cão a abordagens com recursos convencionais (isto é, sem o uso de recursos computacionais)?



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Articulando Representa¸co ˜es As atividades 10 a 13 propostas a seguir procuram explorar os recursos das planilhas eletrônicas para o tra¸cado de fun¸co˜es reais de variável real. Este tema será tratado em mais detalhes no Cap´ıtulo 3, em que será discutido o uso de softwares desenhados especialmente para esse objetivo. Este não é o caso das planilhas eletrônicas: o recurso que adaptamos para tra¸car gráficos de fun¸co˜es reais é originariamente concebido para a representa¸cão de dados estat´ısticos em gráficos de linhas. Essa adapta¸cão causa algumas limita¸co˜es para a realiza¸cão das atividades. Em primeiro lugar, os gráficos são obtidos pela interpola¸cão de pontos por meio de segmentos de reta. Assim, eles podem ter aspecto mais de poligonais do que de curvas suaves. Além disso, não é poss´ıvel ter controle do intervalo de visualiza¸cão no eixo vertical, pois este é determinado automaticamente pelo software a partir dos valores da variável. Em alguns casos, isso pode prejudicar a visualiza¸cão dos gráficos. Entretanto, estas limita¸co˜es não inviabilizam o uso das planilhas eletrônicas para a abordagem de gráficos de fun¸co˜es em sala de aula. Como já comentamos, as limita¸co ˜es t´ ecnicas dos software podem ser exploradas como potencialidades pedag´ ogicas, para motiva explora¸co ˜es matem´ aticas. Por exemplo, as situa¸co˜es em que os gráficos adquirem o aspecto de poligonais podem ser usadas para mostrar que o método de tra¸car gráficos simplesmente por meio de marca¸cão e interpola¸cão de pontos pode conduzir a erros. Esta discussão é proposta aos alunos nos ´ıtens 10b e 11c. Retomaremos e aprofundaremos essa questão no Cap´ıtulo 3. Atividades 10. Nesta atividade, propomos a constru¸cão de gráficos de fun¸co˜es a partir de tabelas de valores. Neste exemplo inicial, ficaremos restritos a curvas de grau menor ou igual a 2, descrevendo o procedimento passo a passo. 1. Insira diferentes valores de entrada da fun¸cão (elementos do dom´ınio) na coluna A da planilha. 2. Escreva a fórmula para a fun¸cão escolhida na primeira célula da coluna B e arraste esta célula para baixo ao longo da coluna, até o fim dos valores inseridos na coluna A. 3. Em seguida, selecione a coluna B e use o recurso do software para construir um gráfico com os dados inseridos. 4. A figura abaixo exemplifica um tipo de sa´ıda poss´ıvel para uma parábola do tipo y = ax2 + bx + c, com a = −1, b = −1 e c = 2.

(a) Atribua novas valores a, b e c e interprete o comportamento da fun¸cão. (b) Observe que o gráfico mostrado parece ser formado por pequenos segmentos de reta. Como você explica esse comportamento?

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11. (a) Numere a coluna A de uma planilha de −3 a 3, de 1 em 1. Escreva =A1∧2 na primeira célula da coluna B e arraste esta célula para baixo ao longo da coluna, até o fim dos valores inseridos na coluna A. Selecione a coluna B e use o recurso do software para construir gráficos. Observe o gráfico tra¸cado. (b) Agora, repita a opera¸cão, numerando a coluna A de −3 a 3, de 0, 5 em 0, 5. Trace o gráfico e compare com o aspecto do gráfico anterior. (c) Qual dos gráficos melhor retrata a curva y = x2 ? Como você poderia melhorar mais o aspecto desse gráfico? 12. Numere a coluna A de uma planilha de −3 a 3, de 0, 5 em 0, 5. (a) Escreva =A1+1 na célula B1 e =B1+1 na célula C1. Em seguida, arraste as células B1 e C1 para baixo, até o fim dos valores inseridos na coluna A. Selecione as colunas B e C use o recurso do software para construir gráficos. Qual é rela¸cão entre os gráficos tra¸cados? (b) Agora, altere a célula B1 para =A1∧2 e arraste esta célula para baixo ao longo da coluna B, até o fim dos valores inseridos na coluna A, sem alterar a coluna C. Observe as mudan¸cas nos dois gráficos tra¸cados. Qual é rela¸cão entre esses gráficos? (c) Altere novamente a célula B1 para =SEN(A1) e repita a opera¸cão do item anterior: arraste esta célula para baixo ao longo da coluna B, até o fim dos valores inseridos na coluna A, sem alterar a coluna C. Qual é rela¸cão entre os gráficos tra¸cados? 13. (a) Aproveitando a constru¸cão da atividade 12, insira =A1+1 na célula B1 e =ABS(B1) na célula C1 e arraste estas células para baixo até o fim dos valores inseridos na coluna A. Use o recurso do software para construir os gráficos correspondentes aos dados nessas duas colunas. Explique a rela¸cão entre os gráficos tra¸cados. (b) Altere a célula B1 para =A1∧2-1 e arraste-a para baixo, até o fim dos valores inseridos na coluna A. Observe as mudan¸cas nos gráficos e explique a rela¸cão entre eles. (c) Agora, altere a célula B1 para =SEN(A1) e arraste-a para baixo, até o fim dos valores inseridos na coluna A. Mais uma vez, observe as mudan¸cas nos gráficos e explique a rela¸cão entre eles. (d) Repita os ´ıtens anteriores, alterando a célula C1 para B1∧2. Compare o comportamento dos diferentes gráficos tra¸cados. (e) Fa¸ca novas altera¸co˜es nas colunas B e C, sempre procurando explicar o comportamento dos gráficos tra¸cados. As atividades 10 e 11 são de caráter introdutório e visam à familiariza¸cão com os recursos dispon´ıveis em planilhas eletrônicas para o tra¸cado de gráficos. Como comentamos no in´ıcio desta se¸cão, a própria aprendizagem da simbologia e da sintaxe do software pode ser um exerc´ıcio enriquecedor por si só. A representa¸cão e manipula¸cão de objetos matemáticos na planilha eletrônica deve obedecer a regras sintáticas espec´ıficas – assim como a linguagem simbólica matemática usual. Porém, no caso do software, a corre¸cão das regras é condi¸cão necessária para a obten¸cão de resultados, o que não ocorre quando o aluno resolve problemas com papel e lápis. Assim, a experiˆ encia com a planilha pode contribuir com aprendizagem da simbologia alg´ ebrica e com a transi¸c˜ ao do pensamento puramente aritm´ etico para o pensamento alg´ ebrico. As atividades 12 e 13 exploram a idéia de composi¸cão de fun¸co˜es. A coluna B e C da planilha f representam respectivamente os valores de uma fun¸cão f e de uma fun¸cão composta g ◦f . Na atividade 12, a fun¸cão g é mantida fixa e a fun¸cão f é alterada (figura 2.1). Na atividade 13, as fun¸co˜es f e g


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são alteradas (figura 2.2). Os recursos do software permitem que as mudan¸cas de comportamento nos gráficos de f e de g ◦ f sejam visualizadas ao mesmo tempo que as fun¸co˜es são alteradas. No ensino médio, em geral os exerc´ıcios sobre composi¸co˜es de fun¸co˜es reduzem-se a procedimentos para determinar expressões algébricas das compostas, dada as expressões algébricas das fun¸co˜es originais. O uso do computador permite a compara¸cão das propriedades das fun¸co˜es compostas com as propriedades das fun¸co˜es originais, a partir da articula¸cão das representa¸co˜es algébricas, numéricas e gráficas.

Figura 2.1: Composi¸cão de fun¸co˜es em planilhas eletrônicas: os gráficos de y = g(x + 1), y = g(x 2 ) e y = g( sen x), sendo g(x) = x + 1.

Figura 2.2: Composi¸cão de fun¸co˜es em planilhas eletrônicas: os gráficos de y = g(x + 1), y = g(x 2 ) e y = g( sen x), sendo g(x) = |x|; e de y = g(x + 1), y = g(x2 ) e y = g( sen x), sendo g(x) = x2 . Atividades 14. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 10 a 13. (a) (b) (c) (d)




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2.2

Tratamento da Informa¸c˜ ao e Matem´ atica Financeira

Os recursos tecnológicos dispon´ıveis, atualmente com amplo uso na sociedade, ampliaram as possibilidades de tratamento de dados de modo a transformá-los em informa¸co˜es com grande potencial de análise e aplica¸cão em diversos campos do conhecimento. Tais possibilidades têm sido cada vez mais aplicadas no ensino básico de Matemática, mobilizando os conhecimentos desenvolvidos pelos alunos em estat´ıstica básica. Inclui-se a´ı a an´ alise de dados obtidos em coletas emp´ıricas que, mesmo quando em grande volume, podem ser organizados e interpretados, por meio de gráficos de diversos tipos, tabelas, e de medidas estat´ısticas de tendência central, como média, mediana e moda. Tais ferramentas conceituais podem cumprir dupla finalidade. Por um lado, contribuem com a forma¸c˜ ao cidad˜ a do aluno, na medida em que oferecem acesso, de modo rápido, a diversificadas formas de apresenta¸cão da informa¸cão, que possibilitam interpreta¸co˜es de situa¸co˜es e dão suporte a tomadas de decisões. Ao mesmo tempo, permitem a utiliza¸cão de contextos familiares do dia a dia para o aprendizado de conceitos matem´ aticos e sua articula¸c˜ ao com outros campos do conhecimento. Assim, abordagem de tratamento da informa¸cão com apoio de recursos computacionais pode promover uma nova dinâmica à sala de aula. No ensino básico, espera-se que o trabalho com Estat´ıstica seja calcado em um processo investigativo, por meio do qual o estudante manuseie dados desde a coleta at´ e a interpreta¸c˜ ao, e formula¸c˜ ao de conclus˜ oes finais. Apresentamos a seguir algumas atividades que visam explorar o uso de planilhas eletrônicas para apresentar a coleta, organiza¸cão, interpreta¸cão e apresenta¸cão de dados numéricos em tabelas e gráficos. Exploramos ainda o cálculo de medidas estat´ısticas como média, mediana, moda e seus significados. Atividades 1. Solicite aos alunos da turma formem grupos de até seis componentes e construam uma tabela que relacione a altura (em metro) com o tamanho do palmo (em cent´ımetros) de cada um dos estudantes. Cada grupo deve anotar esses dados em uma planilha eletrônica e usar os recursos dispon´ıveis para responder as questões a seguir. (a) Determine os valores da média, moda e mediana para os dados de seu grupo. (b) Explique o significado estat´ıstico da média, da moda e da mediana. Podemos afirmar que necessariamente existe um aluno da grupo cuja altura coincide exatamente com o valor da média? E da mediana? E da moda? Justifique suas respostas. (c) Construa uma tabela de frequência para cada uma das medidas: altura e palmo. (d) Escolha uma representa¸cão conveniente e represente graficamente os dados: altura × palmo. (e) Você considera que há alguma rela¸cão entre a altura e o tamanho do palmo dos colegas? Justifique sua resposta. (f) Anote os dados de cada um dos outros grupos e compare os dados tabelados e os valores das medidas estat´ısticas calculadas no item 1a. (g) Você considera que há alguma rela¸cão entre a média, da moda e da mediana das alturas e dos tamanhos dos palmos dos diferentes grupos? Justifique sua resposta. 2. Formule uma atividade de coleta e organiza¸cão de dados que possa ser aplicada em uma turma de ensino médio. (a) Escolha a melhor representa¸cão gráfica dentre as possibilidades da planilha eletrônica. (b) Use as fun¸co˜es da planilha de cálculo e determine os valores da média, moda e mediana. (c) Relate que conclusões você pode inferir sobre os dados coletados com base nas representa¸co˜es gráficas e nas medidas?

˜ E MATEMATICA ´ 2.2. TRATAMENTO DA INFORMAC ¸ AO FINANCEIRA

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Outro campo em que a educa¸cão para a cidadania pode se articular com a aprendizagem de conceitos matemáticos importantes é a Matemática Financeira. No estágio econômico por que passa o Brasil, com grande parte da popula¸cão tendo acesso a créditos e financiamentos em modelos diversificados, cabe ao ensino básico de Matemática oferecer ao aluno uma forma¸cão sólida neste campo. A Matemática Financeira aplicada aos diversos ramos da atividade econˆ omica pode representar importante instrumento para auxiliar em an´ alises e decis˜ oes de ordem pessoal e social. Assim, além de servir como aporte a conceitos de outros campos, o aprendizado de Matemática Financeira instrumentaliza o cidadão a melhor entender, interpretar e escolher adequadamente d´ıvidas, crediários, descontos, reajustes salariais, aplica¸co˜es financeiras. Dentre essas decisões, destacamos as escolhas entre de propostas de financiamentos a longo, médio e curto prazo, relacionadas a experiências do cotidiano. A seguir apresentamos atividades que exploram análises de diferentes modos de composi¸cão de financiamentos com pagamentos periódicos muito utilizados em créditos de longo prazo para aquisi¸cão de ve´ıculos (carros, motos) e imóveis. Atividade 3. Para a maioria das opera¸co˜es financeiras as taxas de juros compostos são aplicadas a cada per´ıodo sobre um capital aplicado ou a uma d´ıvida contratada. Desse modo, se o per´ıodo de capitaliza¸cão ou incidência dos juros difere do per´ıodo da taxa de juros informada é necessário uma conversão de modo a adequar o per´ıodo à taxa. A tabela abaixo pode ser constru´ıda com as fun¸co˜es de uma planilha de cálculo.

(a) Reproduza esta planilha para as conversões indicadas e proponha a conversão para outros valores de taxas, considerando os per´ıodos do exemplo. (b) Apesar de não estar expl´ıcita, a conversão acontece para valores de taxas dadas ao ano e que devem ser calculadas para valores ao mês. Que valores estariam nas células Q e R se a taxa dada fosse calculada ao ano e as taxas aplicadas ao trimestre? (c) Simule conversões para diferentes per´ıodos (por exemplo: semestre para bimestre, etc). (d) Observe a fun¸cão referente à célula S3. Escreva uma justificativa matemática para esta fun¸cão. Que conceito matemático é empregado para encontrar os valores? (e) Com esta mesma tabela de conversão, sem mudar a fun¸cão, é poss´ıvel converter uma taxa dada ao mês no sistema de juros compostos para o equivalente ao ano? Em caso afirmativo, qual é a justificativa matemática para tal conversão?


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O foco das atividades 4 a 7 a seguir está nos sistemas utilizados para financiamentos de longo prazo. Nestes tipos de financiamentos, consideram-se sempre parcelas periódicas constitu´ıdas por duas partes: a amortiza¸cão, que corresponde ao que é efetivamente abatido da d´ıvida; e os juros, calculados sobre o saldo devedor no per´ıodo do pagamento. Há duas modalidades principais encontradas no mercado para este tipo de financiamento: • No sistema SAC (Sistema de Amortiza¸cão Constante), um valor constante é amortizado a cada parcela. Portanto, o valor das parcelas decresce com o tempo. Este sistema é muito usado em financiamentos de casa própria. • No sistema PRICE, as parcelas constantes são mantidas constantes. Este pode ser mais encontrado em financiamentos de ve´ıculos e bens duráveis. Muitas vezes, o sistema PRICE é informado pelos vendedores como sendo sem juros, porém os juros totais são calculados e dilu´ıdos nas parcelas fixas. Podemos utilizar as fun¸co˜es estat´ısticas das planilhas eletrônicas para calcular valores para essas modalidades de financiamento. Atividades 4. O trecho da tabela abaixo representa um financiamento pelo sistema SAC, no valor de R$ 50.000,00 para compra de um imóvel em um per´ıodo de 300 meses, com taxa de 0,9% ao mês.

(a) Reproduza esta tabela do Sistema SAC em uma planilha de cálculo. Observe que para utilizar células que terão valor constante devemos utilizar o rótulo da coluna sempre entre $. Por exemplo, toda vez que nesta tabela usar a taxa fixa de 0,9% devo criar referência a $B$3. Os valores da coluna B, de B4 em diante são obtidos pela subtra¸cão de 1 do valor antecessor: E5=E4-1.


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(b) Justifique matematicamente cada um dos valores numéricos presentes nas células da linha 4 (B4:F4). (c) O que podemos observar relacionado a cada uma das colunas? (d) Qual o comportamento das parcelas da presta¸cão neste sistema? Justifique. (e) Utilize o assistente de gráficos da planilha e em u ńico sistema cartesiano represente os valores das colunas C, D, E, e F com as parcelas da coluna B. (f) Experimente variar os valores da quantidade de parcelas ou da taxa de juros. O que podemos observar em cada caso? 5. A tabela abaixo apresenta o mesmo financiamento da atividade 4, utilizando o sistema PRICE.

(a) O que podemos observar diferente nesta tabela? Justifique. A figura abaixo ilustra a situa¸cão retratada pela tabela PRICE acima. Ou seja, temos um valor principal e devemos encontrar as parcelas iguais, em modo composto, obtidas a partir do VF. Cabe ressaltar que este valor pode ser obtido por meio das fun¸co˜es estat´ısticas da planilha. Por exemplo o conteúdo obtido em K4 é dado por Cálculo da Presta¸cão Constante: =PGTO(i%; n; -VP; Vf; 0) em que: • • • • •

i é a tx de juros; n é a quantidade de per´ıodos; VP é o valor do empréstimo; VF é usualmente zero; 0 indica que os pagamentos serão ao final do per´ıodo.

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ˆ CAPÍTULO 2. PLANILHAS ELETRONICAS (b) Justifique matematicamente cada um dos valores numéricos presentes nas células da linha 4 (J4:M4). (c) Observe a fun¸cão referente à célula S3. Escreva uma justificativa matemática para esta fun¸cão. Que conceito matemático é empregado? (d) Qual o comportamento das parcelas da presta¸cão neste sistema? Justifique. (e) Utilize o assistente de gráficos da planilha e em u ńico sistema cartesiano represente os valores das colunas C, D, E, e F, com as parcelas da coluna B. (f) Experimente variar os valores da quantidade de parcelas ou da taxa de juros. O que podemos observar em cada caso? 6. Construa em uma mesma planilha as tabelas com os sistemas SAC e PRICE. Para cada um dos casos, represente em eixos cartesianos a amortiza¸cão, os juros, as presta¸co˜es e saldo devedor. Comente as vantagens e desvantagens de cada sistema. 7. Construa as tabelas análogas às anteriores, para o caso da taxa dada ao ano com per´ıodos de presta¸co˜es mensais. Veja a figura abaixo, como uma sugestão para inserir a nova entrada com taxa ao ano.

Fecharemos este Cap´ıtulo com uma atividade interessante (e talvez surpreendente) de Matemática Financeira. Além do número π, o número irracional transcendente mais conhecido e importante da Matemática é certamente a constante de Euler: e = 2, 718281828459 . . . Embora o número e tenha um papel importante em Matemática superior, além de inúmeras aplica¸co˜es na modelagem de problemas em diversas áreas, motiva¸co˜es para a sua introdu¸cão no ensino básico não são muito difundidas – diferentemente do que ocorre com o número π, cuja defini¸cão como razão entre o per´ımetro e a diagonal do c´ırculo tem forte apelo geométrico. No caso da constante de Euler, uma dificuldade está no fato de que, embora haja algumas formas equivalentes de definir este número, todas envolvem de alguma forma o conceito de limite. Podemos definir e por meio do seguinte limite, conhecido como Segundo Limite Fundamental do Cálculo: n 1 e = lim 1 + . n→+∞ n Uma das formas de motivar a defini¸cão da constante de Euler envolve uma situa¸cão de Matemática Financeira, apresentada na atividade 8. Como observará, a planilha eletrônica tem um papel importante


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nessa atividade, pois são necessários muitos cálculos. Como nas atividades 1 a 6 da se¸cão 2.1, para aplicar esta atividade no ensino médio, não é necessário empregar linguagem de limites, mas apenas fazer com que os alunos percebam intuitivamente o processo de aproxima¸cão, que pode ser usado como prepara¸cão para a futura introdu¸cão ao conceito de limite. Atividade 8. Em uma planilha eletrônica, considere as colunas A, B, e C. Nessas colunas realize as seguintes opera¸co˜es: 1. Na coluna A, digite nas células A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9 e A10, respectivamente, os valores 1, 2, 3, 4, 6, 12, 365, 8760, 525600 e 31536000. 2. Digite =1+1/A1 na célula B1 e =B1∧A1 na célula C1. 3. Arraste as células B1 e C1, ao longo das colunas B e C, até o final dos valores digitados na coluna A. n (a) Na coluna C estamos calculado 1 + n1 para n igual a cada um dos valores digitados na coluna A. O que você observa nestes cálculos? n (b) Como explicar que 1 + n1 aproxima-se de um número real à medida que n aumenta?

n Uma explica¸cão intuitiva para a convergência de 1 + n1 quando n aumenta indefinidamente está na Matemática Financeira, mais precisamente nos juros pagos por uma caderneta de poupan¸ca. Pense que você possui uma quantia Q0 aplicada na caderneta de poupan¸ca de um certo banco, que paga pela aplica¸cão dessa quantia uma taxa de rendimentos de 100% ao ano, e você ainda decide as datas para a capitaliza¸cão de sua aplica¸cão. Se você optar pela capitaliza¸cão anual (uma vez ao ano), a cada ano o banco paga a você o saldo integral (100% = 1) existente na capitaliza¸cão anterior. Assim, após um ano você terá: • capitaliza¸cão anual: Q0 + Q0 = 2 Q0 . Se você optar pela capitaliza¸cão semestral (duas vezes ao ano), a cada seis meses o banco paga a 1 cão anterior. Assim, vocˆ você metade (50% = 2 ) do saldo existente na capitaliza¸ após seis meses e terá 1 1 Q0 + 2 Q0 = 1 + 2 Q0 e após um ano você terá 1 + 12 Q0 + 12 1 + 12 Q0 = 1 + 12 1 + 12 Q0 de saldo, ou seja: 2 • capitaliza¸cão semestral: 1 + 21 Q0 = 2, 25 Q0 . Se você optar pela capitaliza¸cão quadrimestral (três vezes ao ano), a cada quatro meses o banco paga a vocêum ter¸co do saldo existente na capitaliza¸cão anterior. Assim, após quatro meses seu saldo 2 será 1 + 13 Q0 , após oito meses seu saldo será 1 + 31 Q0 e após um ano seu saldo será: • capitaliza¸cão quadrimestral: 1 +

1 3 3

Q0 = 2, 370 Q0 .

Desta forma, o juro anual da aplica¸cão é parcelado linearmente no per´ıodos de capitaliza¸cão, ou seja, dividido em partes iguais pelo número de capitaliza¸co˜es anuais. Ao fim de cada per´ıodo de capitaliza¸cão, este juro parcelado é aplicado sobre o saldo da capitaliza¸cão existente ao fim do respectivo per´ıodo. Perceba que, ao final de um ano, os juros sobre juros vão aumentando seu rendimento inicial Q 0 à medida que aumentamos o número de capitaliza¸co˜es anuais. Assim, se você optar pela capitaliza¸cão trimestral (4 vezes ao ano), bimestral (6 vezes ao ano), mensal (12 vezes ao ano), diária (356 vezes ao ano), ao final do ano o saldo total da aplica¸cão será cada vez maior:


32 • capitaliza¸cão trimestral: 1 + • capitaliza¸cão bimestral: 1 + • capitaliza¸cão mensal: 1 + • capitaliza¸cão diária: 1 +

1 4 4

1 6 6

1 12 12

1 365 365

Q0 = 2, 44140625 Q0. Q0 = (2, 521626 . . .) Q0 .

Q0 = (2, 613035 . . .) Q0 . Q0 = (2, 714567 . . .) Q0 .

Não há no mercado aplica¸co˜es com prazo de capitaliza¸cão inferior a um dia, mas se pudéssemos aumentar indefinidamente o número de capitaliza¸co˜es anuais, diminuindo consequentemente o per´ıodo de capitaliza¸cão, verificar´ıamos que o saldo da aplica¸cão ao final do ano continuaria aumentando. Hipoteticamente, poder´ıamos pensar por exemplo em capitaliza¸cão horária (365 × 24 = 8760 vezes ao ano), minuto a minuto (8760 × 60 = 525600 vezes ao ano) ou segundo a segundo (525600 × 60 = 31526000 vezes ao ano). Assim, ter´ıamos: 8756 1 Q0 = (2, 718127 . . .) Q0 . • capitaliza¸cão horária: 1 + 8756 525600 1 Q0 = (2, 718279 . . .) Q0 . • capitaliza¸cão minuto a minuto: 1 + 525600 315360006 1 • capitaliza¸cão segundo a segundo: 1 + 31536000 Q0 = (2, 718282 . . .) Q0 . Mas, será que o fato deste saldo final anual aumentar significa que ele aumenta ilimitadamente? Isto é, podemos obter um saldo final tão grande quanto queiramos, tomando per´ıodos de capitaliza¸cão suficientemente pequenos? Veremos que a resposta é não: o saldo final sempre aumenta, mas nunca ultrapassa certa cota superior. Perceba que os valores calculados na planilha eletrônica na atividade 8 correspondem às taxas finais de rendimentos, (isto é, às razões entre cada saldo final anual obtido e o respectivo valor aplicado inicialmente) correspondes aos per´ıodos de aplica¸cão relacionadas acima. Esses valores parecem convergir para um número próximo de 2, 71828. Entretanto, para ter certeza dessas respostas, precisamos abordar o problema matematicamente. As taxas finais de rendimentos, para uma aplica¸cão com n capitaliza¸co˜es anuais, são dadas pela sequência de exponenciais: n 1 , n = 1, 2, 3, . . . en = 1 + n Evidentemente, a existência do limite dessa sequência, que determina a constante de Euler, precisa ser demonstrada matematicamente. Essa demonstra¸cão passa por mostrar que a sequência de números reais (en ) é estritamente crescente e limitada superiormente por 3. Demonstrado isso, a completude dos números reais garante a existência do limite, que chamaremos de e. Observe inicialmente que a potência en se expande em n + 1 parcelas, como abaixo: n 1 1 n(n − 1) 1 n(n − 1)(n − 2) 1 1 1 =1+ n+ + + · · · + n n−1 + n . 1+ 2 3 n n 2 n 2! n n n 1 A (j + 1)-ésima parcela, do ponto de vista de , se escreve como j! n(n − 1)(n − 2) · · · (n − j + 1) 1 j! nj

n(n − 1)(n − 2) · · · (n − j + 1) 1 nj j! n n−1 n−j +1 1 = ··· n n n j! 1 2 j−1 1 = 1− 1− ··· 1− n n n j! =


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Como cada um dos parênteses acima aumenta de valor se trocarmos n por n+1, segue que e n < en+1 para todo n. Além disso, cada um desses parênteses é sempre menor do que 1, tornando a parcela em 1 questão menor do que . Assim: j! n 1 1 1 1 1 1 1 en = 1 + < 1+ + + + + +···+ n 1! 2! 3! 4! 5! n! 8 A soma das quatro primeiras parcelas da desigualdade acima resulta em 3 . Para as demais parcelas 1 1 vamos usar que < n para todo n ≥ 4. Podemos então limitar en por n! 2 n 8 1 1 1 1 < + 4 + 5 +···+ n en = 1 + n 3 2 2 2 1 1 1 1 8 < + 1+ + + +··· 3 24 2 4 8 8 1 67 = + ·2= = 2, 7916 < 3 3 16 24 O número n 1 e = lim 1 + n→+∞ n conhecido na matemática como a constante de Euler, é um valor que aparece naturalmente na modelagem matemática de problemas reais, conforme já vimos no exemplo do rendimento da caderneta de poupan¸ca. Note que o que foi provado acima é que o limite da sequência e n existe e é um número real menor ou igual a 3, que chamamos de e. Portanto, por enquanto sabemos apenas que 0 < e 6 3. A experiência que realizamos com a planilha eletrônica fornece aproxima¸co˜es para o número e. Porém, apenas com base nessa experiência, não há como saber quantos algarismos das aproxima¸co˜es geradas em cada passo coincidem com as casas decimais exatas de e. Determinar com precisão as casas decimais de e é outro problema, que demanda outras ferramentas matemáticas, como por exemplo polinômios de Taylor. Cabe observar ainda que, evidentemente, juros de 100% ao ano não é uma situa¸cão realista. Entretanto, estabelecemos este valor apenas para facilitar as contas. Se, em lugar disso, fixássemos uma taxa p de juros qualquer, as taxas finais de rendimentos, em fun¸cão do número n de aplica¸co˜es anuais, seriam dadas por: p n 1+ , n = 1, 2, 3, . . . n ´ poss´ıvel mostrar que a sequência acima converge para o número e p . E Atividades 9. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 8. (a) (b) (c) (d)



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Cap´ıtulo 3 Ambientes Gr´ aficos Introdu¸c˜ ao No ensino básico, as principais formas de representa¸cão empregadas na abordagem de fun¸co˜es reais de variável real são: algébricas (fórmulas), gráficas (gráficos) e numéricas (tabelas). Entretanto, de forma geral, observa-se grande ênfase em fórmulas e procedimentos algébricos rotineiros executados sem maiores reflexões, o que tende a favorecer a concep¸cão de fun¸cão simplesmente como fórmula. Em conseqüência, não é incomum que os alunos passem a considerar fun¸cão como tudo aquilo que tem uma fórmula, negligenciando outros aspectos importantes do conceito, e confundindo-o com outras idéias, especialmente a de equa¸cão. O modelo usado em grande parte dos exerc´ıcios com essas formas principais de representa¸cão para fun¸co˜es segue o roteiro (ilustrado na figura 3.1): 1. partir de uma fórmula dada; 2. construir uma tabela por substitui¸cão de valores (em geral, inteiros positivos e negativos próximos de 0); 3. marcar os pontos correspondentes no plano cartesiano e ligar esses pontos, obtendo um esbo¸co do gráfico.

Tabela

Fórmula

Gráfico

Figura 3.1: Representa¸co˜es para fun¸co˜es na escola: rela¸co˜es limitadas. Este é um modelo essencialmente quantitativo, pois se baseia apenas nos valores da fun¸cão em um número finito (e em geral pequeno) de elementos do dom´ınio, com pouca reflexão matemática levando em conta caracter´ısticas qualitativas espec´ıficas da fun¸cão. Tanto a escolha dos elementos do dom´ınio para compor tabelas quanto a interpola¸cão de pontos para tra¸car gráficos são em geral feitas de forma indiscriminada, o que, efetivamente, pouco contribui para uma melhor compreensão do comportamento da fun¸cão. Assim, esse modelo envolve rela¸co˜es limitadas entre as formas de representa¸co˜es. ´ um objetivo importante para o ensino de fun¸co˜es procurar “completar” o diagrama da figura E 3.1, como mostra a figura 3.2, enriquecendo a abordagem com atividades que promovam articula¸co ˜es m´ ultiplas entre diferentes formas de representa¸c˜ ao e, desta forma, contribuam para uma compreensão mais qualitativa sobre fun¸co˜es reais. Por exemplo, relacionar as caracter´ısticas geométricas do 35

´ CAPÍTULO 3. AMBIENTES GRAFICOS

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gráfico de uma fun¸cão diretamente com as propriedades algébricas de sua fórmula, sem a intermedia¸cão de tabelas de valores. Tabela

Fórmula

Gráfico

Figura 3.2: Representa¸co˜es para fun¸co˜es na escola: completando articula¸co˜es. Existem alguns softwares dispon´ıveis que podem ajudar neste objetivo (por exemplo, [2, 7]). Esses programas não requerem comandos ou sintaxe de programa¸cão espec´ıficos e permitem manipular gráficos de fun¸co˜es de forma integrada com representa¸co˜es algébricas e numéricas, usando essencialmente a mesma simbologia algébrica usual. Neste cap´ıtulo, exploraremos possibilidades de uso desse tipo de software no ensino básico. Assim como no caso do cap´ıtulo 1, o objetivo central é destacar a riqueza das explora¸co˜es matemáticas que podem ser feitas com recursos tecnológicos relativamente simples e acess´ıveis. As atividades propostas podem ser feitas com os programas Graphmatica [2], WinPlot [7] (que podem ser facilmente encontrados na internet), com outros equivalentes de sua preferência, ou ainda com planilhas eletrônicas que tenham recursos para tra¸car gráficos dispon´ıveis (como veremos no cap´ıtulo 2, a seguir).

3.1

Articulando Representa¸co ˜es

As atividades que seguem o modelo representado na figura 3.1 não são necessariamente ruins. Porém para que contribuam de fato para a aprendizagem do conceito de fun¸cão, é importante que tanto a escolha dos valores na tabela quanto a constru¸cão do gráfico não sejam feitas de forma mecânica, e levem em considera¸cão as propriedades espec´ıficas da fun¸cão dada. Observe os exemplos da atividades a seguir. Atividades 1. Considere a fun¸cão f1 : R → R dada por f1 (x) = 9x2 − 9x + 2. (a) (b) (c) (d)

Construa uma tabela de valores e esboce o gráfico desta fun¸cão com lápis e papel. Agora, construa o gráfico da fun¸cão no computador. Qual é o menor valor atingido pela fun¸cão? Que valores você escolheria para construir uma tabela, de forma a realmente ajudar a entender o comportamento desta fun¸cão? (e) Como a reta y = 2 pode ajudar a entender este gráfico?

2. Considere a fun¸cão f2 : R → R dada por f2 (x) = (x − 1) (4x − 1) (4x − 3). (a) Construa uma tabela de valores e esboce o gráfico desta fun¸cão com lápis e papel. (b) Agora, construa o gráfico da fun¸cão no computador. (c) Determine para que valores de x a fun¸cão é positiva e para que valores de x a fun¸cão é negativa. (d) Que valores você escolheria para construir uma tabela, de forma a realmente ajudar a entender o comportamento desta fun¸cão?

˜ 3.1. ARTICULANDO REPRESENTAC ¸ OES 3. Considere a fun¸cão f3 : R \ (a) (b) (c) (d)

1 2

→ R dada por f3 (x) =

37 1 . (2x − 1)

Construa uma tabela de valores e esboce o gráfico desta fun¸cão com lápis e papel. Agora, construa o gráfico da fun¸cão no computador. Esta fun¸cão está definida para todos os valores x ∈ R? Que valores você escolheria para construir uma tabela, de forma a realmente ajudar a entender o comportamento desta fun¸cão? (e) Como a reta x = 12 pode ajudar a entender este gráfico?

As três atividades acima são varia¸co˜es da mesma idéia, mas com graus de dificuldade progressivamente crescentes, pois envolvem exemplos de fun¸co˜es cada vez menos familiares aos alunos. Basicamente, a idéia básica é propor exerc´ıcios envolvendo constru¸cão de tabelas e esbo¸co gráficos sem o uso do computador, e em seguida usar a visualiza¸cão dos gráficos no computador para questionar, por meio de uma questão chave, as escolhas possivelmente feitas durante as resolu¸co˜es. Nesses três exemplos, se os valores escolhidos restringirem-se a números inteiros e os pontos correspondentes forem ligados indiscriminadamente, então os esbo¸cos dos gráficos obtidos deixarão de captar aspectos importantes do comportamento de cada uma das fun¸co˜es, que ocorrem para valores de x entre 0 e 1. Portanto, é necessário escolher os valores e ligar os pontos convenientemente. O software Graphmatica dispõe de um recurso que exibe uma tabela de valores determinada automaticamente de acordo com o intervalo em que o gráfico é tra¸cado. Este recurso pode ser usado para explorar a rela¸cão entre os valores da tabela e o gráfico no próprio software. Na atividade 1, é dada uma fun¸cão polinomial do segundo grau, que deve ser familiar aos alunos a partir do final do ensino fundamental. Portanto, eles não devem ter dificuldades em perceber que o ponto de m´ınimo da fun¸cão ocorre em 21 , − 41 . A partir da´ı, os alunos poderão constatar que a estratégia de substituir apenas valores inteiros e ligar os pontos, sem levar em conta as propriedades da fun¸cão dada, pode não ser eficiente para tra¸car o gráfico (figura 3.3). Esta constata¸cão pode ajudá-los a questionar a estratégia também no caso de exemplos menos familiares, como nas atividades 2 e 3.

Figura 3.3: O gráfico de f1 (x) = 9x2 − 9x + 2 tra¸cado no software Graphmatica, com uma tabela de valores.


38

A fun¸cão f2 da atividade 2 é polinomial do terceiro grau. Como a fun¸cão já é dada na forma fatorada, podemos determinar facilmente suas ra´ızes: x1 = 14 , x2 = 34 e x3 = 1. Além disso, a análise de sinais do produto permite concluir que f2 é: • negativa para x < 14 ; • positiva para • negativa para

1 4

3 4

< x < 34 ; < x < 1;

• positiva para x > 1. Com base nessas co˜es (como f2 é cont´ informa¸ ınua), é poss´ıvel concluir que f2 tem (pelo menos) um máximo local em 14 , 34 e um m´ınimo local em 34 , 1 . Os gráficos de fun¸co˜es polinomiais de terceiro grau não têm as mesmas propriedades de simetria das fun¸co˜es de segundo grau, portanto, não podemos concluir, por exemplo, que esses pontos de máximo e m´ınimo ocorrem em pontos médios das ra´ızes, ou de valores de x para determinado valor dado de y. Para determinar sua localiza¸cão analiticamente, seria necessário recorrer a métodos do cálculo infinitesimal. Entretanto, uma tabela de valores pode ajudar a encontrar sua posi¸cão aproximada e, assim, entender melhor o comportamento da fun¸cão. Porém, para este fim, a tabela deve incluir pontos entre 0 e 41 , entre 41 e 34 e entre 34 e 1 (ver figura 3.4). Neste caso, a questão chave da atividade é: Determine para que valores de x a fun¸cão é positiva e para que valores de x a fun¸cão é negativa.

Figura 3.4: O gráfico de f2 (x) = (x − 1) (4x − 1) (4x − 3) tra¸cado no software Graphmatica, com uma tabela de valores. A fun¸cão f3 da atividade 3 não está definida em x = 21 . Além disso, como o numerador de f3 é igual a 1 e seu denominador se anula neste ponto, então, nos pontos próximos a x = 12 , a fun¸cão assume valores indefinidamente grandes em módulo (positivos do lado direito e negativos do lado esquerdo). Em termos de limites, sabemos que: lim+ f3 (x) = +∞

x→ 12

e

lim− f3 (x) = −∞ .

x→ 12

˜ 3.1. ARTICULANDO REPRESENTAC ¸ OES

39

Entretanto, não é necessário recorrer a linguagem de limites para dar uma idéia intuitiva do comportamento da fun¸cão. Isto pode ser feito por meio da observa¸cão da rela¸cão entre o comportamento do gráfico e os valores da fun¸cão em pontos próximos x = 12 (ver figura 3.5). Como veremos na se¸cão 2.1, tabelas de valores (que podem ser feitas por meio de planilhas eletrônicas) podem ajudar a construir uma idéia intuitiva do comportamento de limites infinitos e limites no infinito, sem que seja preciso empregar linguagem de limites. Este comportamento não seria percebido se constru´ıssemos uma tabela apenas com valores inteiros de x e, especialmente, se ligássemos os pontos em considerar a interrup¸cão do gráfico em x = 21 . A questão chave neste caso é: Esta fun¸cão está definida para todos os valores x ∈ R?

Figura 3.5: O gráfico de f3 (x) = valores.

1 tra¸cado no software Graphmatica, com uma tabela de (2x − 1)

Cabem ainda algumas observa¸co˜es importantes sobre as atividades anteriores. Em primeiro lugar, os valores para montar as tabelas devem ser calculados com a ajuda dos recursos do próprio software, de outros softwares ou de uma calculadora. Estes cálculos podem ser trabalhosos, e o objetivo das atividades n˜ ao ´ e treinar a destreza em contas e sim enfatizar as rela¸co ˜es qualitativas entre as propriedades da f´ ormula alg´ ebrica, o comportamento do gr´ afico e os valores da fun¸c˜ ao. Por este mesmo motivo, estas representa¸co ˜es devem ser discutidas pelo professor de forma articulada: quando cada uma delas for enfocada, é importante, sempre que poss´ıvel, fazer referência às demais e explicitar as rela¸co˜es. O software pode ser um aliado importante para estabelecer mais claramente estas articula¸co˜es. Outra forma particularmente interessante de fazer isso é relacionar os conceitos de fun¸cão e equa¸cão, que em muitos casos aparecem separados nos curr´ıculos e livros didáticos e são freqüentemente confundidos pelos alunos. Para tra¸car o gráfico de uma fun¸cão f , é u ´til determinar suas ra´ızes, isto é, encontrar os valores de x no dom´ınio de f tais que f (x) = 0. Para discutir mais estas idéias, veja as atividades 6 a 7. Além disso, é fundamental observar que a id´ eia n˜ ao ´ e simplesmente usar o software para verificar o que est´ a certo ou errado no gr´ afico da fun¸c˜ ao. Em lugar disso, a visualiza¸cão no software deve ser explorada para motivar reflexões e conjecturas sobre as fun¸co˜es, que devem ser verificadas posteriormente por meio de ferramentas matemáticas. Esta observa¸cão está alinhada com o objetivo mais geral de usar o computador para promover aprendizagem matem´ atica s´ olida o


40

suficiente para permanecer e se transferir para outras situa¸co ˜es – mesmo sem o apoio da m´ aquina. Assim, para que o computador não se torne um critério absoluto de verdade matemática para os alunos, é importante explorar situa¸co˜es envolvendo resultados inesperados ou aparentemente errados, cuja interpreta¸cão exija a compreensão mais aprofundada dos conceitos matemáticos relacionados. Neste sentido, veja as atividades 1 a 5, da se¸cão 3.3. Atividades 4. Responda às perguntas a seguir, considerando as atividades 1, 2 e 3. (a) (b) (c) (d)

Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados? Quais são, na sua opinião, os principais objetivos dessas atividades? Qual é o papel das questões chave feitas em cada uma das atividades? Que outras perguntas você proporia para ajudar os alunos no desenvolvimentos das atividades? (e) Que rela¸co˜es entre as representa¸co˜es das fun¸co˜es como fórmula, gráfico e tabela podem ser exploradas com as atividades? (f) Qual é o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do software pode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸cão à abordagem convencional (isto é, sem o computador)? (g) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplica¸cão dessas atividades em sala de aula?

5. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1, 2 e 3, que seja adequada para as turmas em que você leciona. Procure incluir uma ou mais questões chave na atividade que você elaborar, para ajudar a encaminhar a resolu¸cão dos alunos.

Fun¸co ˜es e Equa¸co ˜es Observamos acima que a rela¸cão entre os conceitos de fun¸cão e equa¸cão pode ser uma maneira interessante de articular diferentes representa¸co˜es. As no¸co˜es de equa¸cão e de fun¸cão são freqüentemente abordadas por meio de procedimentos algébricos rotineiros, levando os alunos a desenvolverem uma concep¸cão confusa de equa¸cão e de fun¸cão simplesmente como fórmula. Por isso, é muito importante relacionar estas no¸co˜es, de forma a deixar clara a diferen¸ca conceitual entre elas, e articular representa¸co˜es numéricas, algébricas e gráficas na resolu¸cão de equa¸co˜es. Em geral, quando esbo¸camos o gráfico de uma fun¸cão f , procuramos resolver a equa¸cão f (x) = 0 (como abordamos no u ´ltimo item da atividade 1). De forma mais geral, podemos procurar os elementos x do dom´ınio de f cujas imagens são iguais a um valor fixado a ∈ R, isto é, resolver a equa¸cão f (x) = a. Isto pode ajudar, por exemplo, a explorar propriedades gráficas de simetria no caso das parábolas, como propõe a atividade 6. Atividades 6. Considere a fun¸cão g1 : R → R, g1 (x) = x2 − 4x + 3. (a) (b) (c) (d)

Esboce o gráfico de g1 . Resolva as equa¸co˜es: g1 (x) = 0, g1 (x) = 3, g1 (x) = −1 e g1 (x) = −2. Qual é a rela¸cão entre as solu¸co˜es das equa¸co˜es acima e o ponto x = 2? Represente as solu¸co˜es das equa¸co˜es do item 6b graficamente.

˜ 3.1. ARTICULANDO REPRESENTAC ¸ OES

41

(e) Determine todos os valores de a ∈ R tais que a equa¸cão g 1 (x) = a tenha: duas solu¸co˜es reais distintas, uma u ńica solu¸cão real, nenhuma solu¸cão real. (f) De forma geral, qual é a rela¸cão entre as solu¸co˜es das equa¸co˜es acima e o ponto x = 2? (g) Relacione a resposta do item 6e com o gráfico de g1 . 7. Considere a fun¸cão g2 : R → R, g2 (x) = (x + 1) (x − 1)2 . (a) Esboce o gráfico de g2 . (b) Resolva as equa¸co˜es g2 (x) = 0. (c) Quantas solu¸co˜es tem a equa¸cão g2 (x) = −1? Você saberia determinar o valor exato da solu¸cão desta equa¸cão? (d) Existe algum valor a ∈ R tal que g2 (x) = a tenha exatamente duas solu¸co˜es reais distintas? Justifique sua resposta. (e) Existe algum valor a ∈ R tal que g2 (x) = a tenha exatamente três solu¸co˜es reais distintas? Justifique sua resposta. (f) Existe algum valor a ∈ R tal que g2 (x) = a não tenha solu¸co˜es reais? Justifique sua resposta. (g) Relacione as respostas dos ´ıtens anteriores com o gráfico de g 2 . A atividade 6 tem como objeto uma fun¸cão polinomial do segundo grau, que deve ser familiar ao alunos. Assim, eles deverão ser capazes de resolver as equa¸co˜es analiticamente e que estabelecer uma interpreta¸cão gráfica para as solu¸co˜es: as solu¸co˜es das equa¸co˜es f (x) = a são dadas pelos pontos de interse¸cão entre o gráfico de f e a reta horizontal y = a (figura 3.6, à esquerda).

Figura 3.6: Os gráficos de g1 (x) = x2 − 4x + 3 e g2 (x) = (x + 1) (x − 1)2 , com solu¸co˜es gráficas de equa¸co˜es. Assim, a atividade 6 pode preparar os alunos para a 7. Esta envolve uma fun¸cão polinomial do terceiro grau, que é menos familiar aos alunos e não pode ser manipulada algebricamente com as ferramentas matemáticas usualmente ensinadas no ensino médio. Como a fun¸cão é dada na forma fatorada, os estudantes podem concluir que as solu¸co˜es da equa¸cão g 2 (x) = 0 são −1 e 1. No entanto, eles n˜ ao ter˜ ao ferramentas para determinar respostas anal´ıticas exatas para as demais seguintes propostas na atividade. Este é um aspecto determinante para esta atividade, pois é justamente isso que pode levá-los a buscar as respostas por meio da interpreta¸cão do gráfico: a equa¸cão f (x) = −1 tem uma u ńica solu¸cão real, existem valores a ∈ R tais que a equa¸cão f (x) = a tem duas (um dos quais sendo a = 0) e três solu¸co˜es reais, mas não existem valores a ∈ R tais que f (x) = a não tenha solu¸co˜es reais. Lembramos ainda que podemos elaborar atividades envolvendo valores aproximados para solu¸co˜es de equa¸co˜es, com calculadoras (ver cap´ıtulo 1) ou planilhas eletrônicas (ver cap´ıtulo 2).


42 Atividades

8. Responda às perguntas a seguir, considerando as atividades 6 e 7. (a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados? (b) Quais são, na sua opinião, os principais objetivos dessas atividades? (c) Qual é o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do software pode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸cão à abordagem convencional (isto é, sem o computador)? (d) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplica¸cão dessas atividades em sala de aula? 9. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 6 e 7, que seja adequada para as turmas em que você leciona.

3.2

Fam´ılias de Fun¸co ˜es Dependendo de Parˆ ametros

Em muitas situa¸co˜es de sala de aula, desejamos estudar a influência de determinados coeficientes nos aspectos dos gráficos de certas fam´ılias de fun¸co˜es. Por exemplo, sabemos que o coeficiente angular de uma fun¸cão polinomial de primeiro grau determina a inclina¸cão de seu gráfico. A possibilidade de articular representa¸co˜es gráficas e algébricas de forma dinâmica em ambientes computacionais gráficos pode ajudar em explora¸co˜es deste tipo, especialmente em casos não tão simples.

Fun¸co ˜es Polinomiais do Segundo Grau Quando estudamos fun¸co˜es polinomiais do segundo grau, sabemos que o coeficiente a está relacionado com a concavidade da parábola, e o coeficiente c translada o gráfico verticalmente. Mas qual é a influência do coeficiente b, do termo de primeiro grau, no aspecto da parábola? Observe as atividades a seguir. Atividades 1. Considere a fam´ılia de parábolas y = 2 x2 + b x + 3, com b ∈ R. (a) Esboce as parábolas desta fam´ılia para b ∈ Z, −10 ≤ b ≤ 10. (b) De que forma o parâmetro b influi o aspecto gráfico das curvas? (c) Determine a equa¸cão do lugar geométrico do vértices da fam´ılia de parábolas. 2. De forma mais geral, determine a equa¸cão do lugar geométrico dos vértices de uma fam´ılia de parábolas y = ax2 + bx + c, em que a e c são mantidos constantes e b ∈ R varia. Na atividade 1, em primeiro lugar, pede-se que sejam esbo¸cados os gráficos da fam´ılia de parábolas dada no computador (figura 3.7). Estes gráficos dão uma idéia intuitiva do movimento no plano que a varia¸cão do coeficiente b provoca e sugerem que o lugar geométrico descritos pelos vértices é uma curva com a forma semelhante a uma parábola.

˜ ˆ 3.2. FAMÍLIAS DE FUNC ¸ OES DEPENDENDO DE PARAMETROS

43

Figura 3.7: A fam´ılia de parábolas y = 2 x2 + b x + 3. Assim, a visualiza¸cão dos gráficos na tela pode indicar um caminho para resolu¸cão anal´ıtica do problema. Para determinar analiticamente a equa¸cão deste lugar geométrico, devemos empregar as fórmulas de coordenadas do vértice de uma parábola: xv = −

b 2a

e

yv = −

∆ . 4a

Portanto, no caso da nossa fam´ılia de parábolas, temos: b xv = − 4

e

b2 − 24 b2 yv = − = − +3. 8 8

Logo: yv = −2 x2v + 3 . Em seguida, podemos tra¸car o gráfico que a equa¸cão acima representa na mesma tela em que foram tra¸cados os gráficos da fam´ılia de parábolas, ilustrando visualmente a conclusão obtida (figura 3.8).

Figura 3.8: A fam´ılia de parábolas y = 2 x2 + b x + 3, e o lugar geométrico de seus vértices.


44

A atividade 2 pede a generaliza¸cão da conclusão da da atividade 1. Observe que, nesta atividade, o computador não é usado diretamente. O papel do software foi motivar a explora¸cão inicial de um exemplo particular para levar a uma conclusão geral. Novamente, tomamos as fórmulas de coordenadas do vértice, considerando a e c como constantes e b como uma parâmetro variando em R: xv = −

b 2a

e

yv = −

∆ . 4a

Isto é: x2v =

b2 4a2

e

yv = −

b2 − 4ac b2 = − +c. 4a 4a

Logo: yv = −a x2v + c . Observe o encaminhamento das duas atividades anteriores, como proposto acima. Primeiro, partimos da explora¸cão de um exemplo particular no ambiente gráfico, o que nos permitiu chegar a uma conjectura sobre a solu¸cão do problema. Em um segundo momento, verificamos matematicamente a validade desta conjectura. Em seguida, voltamos ao computador para a interpreta¸cão gráfica do resultado. Finalmente, generalizamos o resultado, por meio de argumentos matemáticos. Este encaminhamento é ilustrado na figura 3.9. computador explora¸caõ inicial conjecturas

verifica¸c˜ ao matem´ atica do problema

computador interpreta¸caõ da solu¸caõ

generaliza¸c˜ ao matem´ atica da solu¸c˜ ao

Figura 3.9: O papel do computador na explora¸cão inicial e interpreta¸cão de resultados. No exemplos destas atividades, o computador desempenha um papel importante ao permitir que um grande número de gráficos seja tra¸cado com facilidade. O objetivo das atividades não é desenvolver ou avaliar da destreza dos alunos em tra¸car gráficos, e sim estimular a compreensão qualitativa do problema. Provavelmente, sem o computador, o trabalho dos estudantes para tra¸car os gráficos seria tamanho, que sua aten¸cão ficaria focada nos aspectos técnicos, desviando-se dos objetivos das atividades. Além disso, é importante destacar que, no encaminhamento proposto acima, não é papel do computador converter-se em um critério para verificar ou confirmar a validade matemática da solu¸cão. O papel fundamental do computador é o de motivar conjeturas e indicar caminhos para a solu¸c˜ ao do problema e para a generaliza¸c˜ ao desta solu¸c˜ ao, al´ em de enriquecer a compreens˜ ao desta solu¸c˜ ao por meio da articula¸c˜ ao entre as representa¸co ˜es alg´ ebrica e gr´ afica. A validade ou não da solu¸cão devem ser baseadas exclusivamente em critérios de argumenta¸cão matemática.

Gr´ aficos e Transforma¸co ˜es no Plano A seguir, propomos mais algumas atividades com estrutura semelhante à das anteriores. As resolu¸co˜es devem seguir essencialmente a mesma estrutura proposta acima. Por exemplo, no caso de fun¸co˜es trigonométricas, podemos explorar os significados dos parâmetros a, b, c e d na fam´ılia de fun¸co˜es ´ o que propomos nas atividades 3 a 5 a seguir. Para facilitar f : R → R, f (x) = c sen (d x + b) + a. E o encaminhamento, analisamos separadamente os casos f (x) = sen (x + b) + a e f (x) = c sen (d x), e em seguida combinamos as conclusões.


45

Atividades 3. Considere a fam´ılia de fun¸co˜es f : R → R, f (x) = sen (x + b) + a, em que a e b são parâmetros reais. (a) Trace o gráfico de f para a = b = 0. (b) Considere b = 0 e trace os gráficos de f para vários valores diferentes de a. Escolha valores positivos e negativos para a. O que você observa no aspecto de gráfico de f em cada um destes casos? (c) Agora, considere a = 0 e trace os gráficos de f para vários valores diferentes de b. Escolha valores positivos e negativos para b. O que você observa no aspecto de gráfico de f em cada um destes casos? (d) Trace os gráficos de f para vários valores, variando a e b simultaneamente. (e) Qual é a influência dos parâmetros a e b no aspecto gráfico de f ? 4. Considere a fam´ılia de fun¸co˜es f : R → R, f (x) = c sen (d x), em que c e d são parâmetros reais. (a) Trace o gráfico de f para c = d = 1. (b) Considere d = 1 e trace os gráficos de f para vários valores diferentes de c. Escolha valores para c tais que |c| < 1 e |c| > 1. O que você observa no aspecto de gráfico de f em cada um destes casos? (c) Agora, considere c = 1 e trace os gráficos de f para vários valores diferentes de d. Escolha valores para d tais que |d| < 1 e |d| > 1. O que você observa no aspecto de gráfico de f em cada um destes casos? (d) Trace os gráficos de f para vários valores, variando c e d simultaneamente. (e) Qual é a influência dos parâmetros c e d no aspecto gráfico de f ? 5. Considere agora a fam´ılia de fun¸co˜es f : R → R, f (x) = c sen (d x + b) + a, em que a, b, c e d são parâmetros reais. Trace os gráficos de f para vários valores de a, b, c e d. Tenha certeza de escolher valores para a e b positivos e negativos e para c e d com módulos menores e maiores que 1. Como nas atividades 3 a 5, o computador tem o papel de possibilitar as explora¸co˜es inicias do problema, permitindo que sejam tra¸cados um grande número de gráficos, e a interpreta¸cão das conclusões, articulando diferentes representa¸co˜es. Neste caso, podemos concluir que: • os parâmetros aditivos a e b determinam transla¸co˜es horizontais e verticais nos gráficos das fun¸co˜es (figura 3.10); • os parâmetros multiplicativos c e d determinam dilata¸co˜es horizontais e verticais nos gráficos das fun¸co˜es (figura 3.10). No caso da atividade 3, não é dif´ıcil entender o que ocorre quando variamos o parâmetro aditivo a. Como estamos somando uma mesma constante às ordenadas de cada um dos pontos pertencentes ao gráfico, o resultado é um deslocamento vertical: • no sentido positivo do eixo (para cima), se o valor do parâmetro for positivo;

• no sentido negativo do eixo (para baixo), se o valor do parâmetro for negativo.


46

Figura 3.10: A fun¸cão f (x) = sen x, suas transla¸co˜es f (x) = sen x + 1, f (x) = sen x − π4 e f (x) = sen x − π4 + 1 (à esquerda), e suas dilata¸co˜es f (x) = 21 sen x, f (x) = sen (3 x) e f (x) = 12 sen (3 x) (à direita). No entanto, pode ser mais dif´ıcil para interpretar a influência do parâmetro b no gráfico. A soma de uma constante positiva à variável independente da fun¸cão (dentro dos parênteses) acarreta em um movimento é para a esquerda, e não para a direita como poderia ser inicialmente esperado pelos alunos. Neste caso, justamente porque definimos uma nova fun¸cão somando b unidades à variável x, para que um elemento do dom´ınio da nova fun¸cão tenha a mesma imagem que um elemento do dom´ınio da fun¸cão original, este deve ser subtra´ıdo de b unidades. Isto provoca um deslocamento horizontal do gráfico: • no sentido positivo do eixo (para a direita), se o valor do parâmetro for negativo;

• no sentido negativo do eixo (para a esquerda), se o valor do parâmetro for positivo.

Uma tabela com valores conhecidos da fun¸cão seno também podeajudar a entender o efeito de deslocamento horizontal. Considere o exemplo de f (x) = sen x − π4 . Observe na tabela abaixo a rela¸cão entre os valores da variável x, de x − π4 e da variável y. Compare esses valores com os gráficos de f (x) = sen (x) e f (x) = sen x − π4 na figura 3.10. x− 0 π 2

π 3π 2

2π

π 4

x

π 4 3π 4 5π 4 7π 4 9π 4

y 0 1 0 −1 0

De forma semelhante, na atividade 3, podemos perceber que, ao multiplicarmos a fun¸cão por c, estamos multiplicando por um o parâmetro com valor positivo as ordenadas de cada um dos pontos pertencentes ao gráfico. O resultado é uma dilata¸cão vertical. Se o parâmetro tiver valor negativo, além da dilata¸cão, o gráfico sofre também uma reflexão em rela¸cão ao eixo horizontal. Assim, temos: • um esticamento vertical se valor do parâmetro for maior que 1;

• um encolhimento vertical se valor do parâmetro estiver entre 0 e 1;

• um esticamento vertical composto com reflexão em rela¸cão ao eixo horizontal se valor do parâmetro for menor que −1;

• um encolhimento vertical composto com reflexão em rela¸cão ao eixo horizontal se valor do parâmetro estiver entre −1 e 0.


47

Resta entender o efeito do parâmetro d. Como constru´ımos uma nova fun¸cão multiplicando a variável dependente por uma constante d, para que um elemento do dom´ınio da nova fun¸cão tenha a mesma imagem que um elemento do dom´ınio da fun¸cão original, este deve ser dividido por d. Isto provoca uma dilata¸cão horizontal do gráfico, que será composta com uma reflexão em rela¸cão ao eixo vertical, se o valor o parâmetro tiver valor negativo: • um encolhimento horizontal se valor do parâmetro for maior que 1;

• um esticamento horizontal se valor do parâmetro estiver entre 0 e 1;

• um encolhimento horizontal composto com reflexão em rela¸cão ao eixo vertical se valor do parâmetro for menor que −1; • um esticamento composto com reflexão em rela¸cão ao eixo vertical se valor do parâmetro estiver entre −1 e 0.

Como no caso das transla¸co˜es horizontais, uma tabela pode ajudar a entender o efeito de dilata¸cão horizontal. Considere o exemplo de f (x) = sen 21 x . A tabela abaixo relaciona os valores da variável x, de 12 x e da variável y. Compare esses valores com os gráficos de f (x) = sen (x) e f (x) = sen 12 x na figura 3.10. 1 2

x 0 π 2

π 3π 2

2π

x y 0 0 π 1 2π 0 3 π −1 4π 0

Escolhemos o exemplo da fun¸cão seno nas atividades anteriores porque o formato de seu gráfico facilita a visualiza¸cão dos efeitos dos parâmetros. Porém, é claro que as conclusões obtidas são gerais, e não exclusivas das fun¸co˜es trigonométricas Considere, por exemplo, as atividades 6 e 7 a seguir. Observe que, na atividade 6, o objetivo é aplicar as conclus˜ oes obtidas com suporte da explora¸c˜ ao computacional, mas computador n˜ ao ´ e usado diretamente. Além disso, não é dada nenhuma informa¸cão sobre a fórmula algébrica da fun¸cão. Portanto, o aluno deve resolver o problema apenas com os dados gráficos. Atividades 6. Abaixo vemos os gráficos de duas fun¸co˜es q1 : R → R (à esquerda) e q1 : R → R (à direita). Sabemos que na forma q1 (x) = p(a x + b) + c, em que a, b e c são constantes reais. Determine os valores de a, b e c. Justifique sua resposta. y

y

3

2

2

1

1

x −2

−1 −1 −2

1

2

x −2

−1 −1 −2

1

2

3

4

5

6


48

7. Considere a fun¸cão 1 : R → R, h(x) = |x2 − 1|. Esboce os gráficos de h e das fun¸co˜es definidas por h1 (x) = h(x + 1) − 2, h2 (x) = 3 h(2 x) e h3 (x) = 21 h(3 x − 1) − 2. Uma aplica¸cão interessante de transla¸co˜es de gráficos é a obten¸cão das fórmulas de coordenadas do vértices de uma parábola (que usamos nas atividades 1 e 2 desta se¸cão) por meio de transla¸co˜es de uma parábola com vértice em na origem. Primeiro, devemos escrever uma parábola y = a x 2 + b x + c qualquer na chamada forma canônica, completando quadrados: y = a x2 + b x + c = b 2 = a x + x+ + c = a b2 b2 b 2 = a x + x+ 2 − +c= a 4a 4a 2 b 4ac − b2 = a x+ + . 2a 4a Portanto: y = a (x − x0 )2 + y0 .

4ac − b2 ∆ b e y0 = =− . em que: x0 = − 2a 4a 4a Estas são as conhecidas fórmulas de coordenadas do vértice de uma parábola. Pelo que já estudamos de transla¸co˜es, sabemos que a parábola acima é dada pela transla¸cão de y = a x 2 , de x0 unidades na horizontal e y0 unidades na vertical. Assim, podemos deduzir a seguinte propriedade: qualquer parábola é dada por uma transla¸cão de uma parábola com mesmo valor de a e vértices na origem. Decorre ainda desta propriedade que quaisquer duas parábolas com mesmo valor de a são congruentes, isto é, uma qualquer uma delas pode ser obtida a partir da outra por meio de uma transla¸cão. Da forma canônica, podemos deduzir também outras propriedades importantes das parábolas, como a existência do eixo de simetria vertical e a própria fórmula das ra´ızes. Em sala de aula, esta discussão pode ser conduzida, partindo-se de exemplos mais simples, até a conclusão geral. Este é o objetivo da atividade 8. Atividades 8. Considere a fun¸cão p : R → R, p(x) = 2 x2 . Esboce os gráficos de p e das fun¸co˜es definidas por p1 (x) = p(x − 2), p2 (x) = p(x) + 1 e p3 (x) = p(x − 2) + 1. Qual é rela¸cão entre estes gráficos? 9. Determine a equa¸cão de uma parábola y = a x2 + b x + c, com a = 2 e vértice no ponto (−1, 3). 10. Responda às perguntas a seguir, considerando as atividades 1 a 9 propostas nesta se¸cão. (a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados? (b) Quais são, na sua opinião, os principais objetivos das atividades? (c) Qual é o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do software pode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸cão à abordagem convencional (isto é, sem o computador)? (d) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplica¸cão dessas atividades em sala de aula? 11. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das propostas nesta se¸cão, que seja adequada para as turmas em que você leciona.

3.3. PONTOS DE VISTA E PERSPECTIVAS

3.3

49

Pontos de Vista e Perspectivas

Como salientamos anteriormente, ´ e importante explorar pedagogicamente n˜ ao s´ o as potencialidades como tamb´ em as limita¸co ˜es t´ ecnicas do computador. A interpreta¸cão de resultados aparentemente errados ou inesperados pode motivar explora¸co˜es matemáticas, além de contribuir para a forma¸cão de uma postura cr´ıtica dos estudantes. No caso de ambientes gráficos, este tipo de resultado está relacionado principalmente com arredondamento de valores numéricos e interpola¸cão de pontos para tra¸car gráficos. Observe o exemplo da atividade a seguir. Atividade 1. A figura ao lado representa o gráfico da x , tra¸cado fun¸cão h : R? → R, h(x) = |x| em um programa de computador. Você consideraria este gráfico correto? Explique por que o gráfico adquiriu este aspecto. Para interpretar a figura da atividade acima, devemos entender a estrutura dos algoritmos mais simples usados pelos programas computacionais para tra¸car gráficos, baseados essencialmente em substitui¸cão e interpola¸cão: dada uma fórmula algébrica, montar uma tabela por substitui¸cão de valores (em ´ interessante geral, em grande quantidade), interpolar os pontos correspondentes no plano cartesiano. E observar que este é basicamente o mesmo método do modelo de exerc´ıcios comentado no come¸co desta se¸cão (figura 3.1, p. 35). A diferen¸ca é que o computador tem capacidade de cálculo e precisão muito maiores que as do ser humano, o que permite a constru¸cão de tabelas com muito mais valores. Por outro lado, para tra¸car o gráfico da atividade 1, o software não levou em conta uma propriedade qualitativa importante da fun¸cão1 : x = 0 não faz parte do dom´ınio e há uma interrup¸cão do gráfico neste ponto. Este exemplo pode ser usado para mostrar aos estudantes que este método pode conduzir a erros – mesmo com a capacidade de cálculos do computador – e que, portanto, evidenciar a importância de levar em considera¸cão propriedades qualitativas da fun¸cão. As atividades 2 a 3 a seguir também envolvem respostas do software cujas interpreta¸co˜es podem ser usadas para motivar explora¸cão matemática. No desenvolvimento de atividades deste tipo, é recomendável que os alunos tenham liberdade para manusear livremente o software, alterando janelas gráficas da forma que desejarem. Ao mesmo tempo, eles devem ser estimulados a procurar entender o comportamento dos gr´ aficos e os aspectos adquiridos em diferentes janelas gr´ aficas ` a luz de argumentos matem´ aticos. Sem orienta¸co˜es espec´ıficas do professor neste sentido, os alunos podem se perder na manipula¸cão do software e na mudan¸ca de janelas gráficas. Estas manipula¸co˜es devem sempre ser orientadas pela análise matemática dos dados do problema e das questões propostas, de forma a ajudar de fato na compreensão do problema.

1

Há softwares com recursos mais sofisticados que permitem considerar propriedades qualitativas como a da atividade 1, como veremos no cap´ıtulo 5. Entretanto, neste cap´ıtulo, visamos enfocar o uso de softwares gráficos com recursos mais limitados. O objetivo destas atividades não é discutir que programa possui recursos mais sofisticados, e sim destacar justamente a possibilidade de empregar as pr´ oprias limita¸co ˜es dos softwares como potencialidades pedag´ ogicas.


50 Atividades 2. A figura ao lado representa o gráfico da fun¸cão p : 1 R? → R definida por p(x) = x2 + 2 , tra¸cado em x um programa de computador para −100 ≤ x ≤ 100, 0 ≤ y ≤ 5000. Justifique suas respostas.

(a) O gráfico de p é uma parábola? (b) A fun¸cão p possui pontos de m´ınimo locais ou absolutos? Em caso afirmativo, que pontos são estes? (c) A fun¸cão p possui ass´ıntotas verticais ou horizontais? (d) Discuta o aspecto do gráfico na figura, considerando as respostas dos ´ıtens anteriores.

3. A figura ao lado √ representa o gráfico da fun¸cão r : R → R, r(x) = x2 + 1, tra¸cado na janela gráfica −1000 ≤ x ≤ 1000, 0 ≤ y ≤ 1000. Explique porque o gráfico adquire este aspecto. 4. A figura ao lado representa o gráfico da fun¸cão q : R → R, q(x) = (5 x − 7)(x2 − 2). (a) Quais são as ra´ızes reais de q? Você consegue visualizar estas ra´ızes no gráfico ao lado? (b) Encontre uma janela gráfica na qual seja poss´ıvel visualizar todas as ra´ızes de q. 5. Considere a fun¸cão u : R → R, u(x) =

x6

1 . + 100

(a) Trace o gráfico de u na janela −10 ≤ x ≤ 10, −10 ≤ y ≤ 10. A fun¸cão u é constante igual a 0? Explique o ocorrido. (b) Trace o gráfico de u na janela −0, 1 ≤ x ≤ 0, 1, −0, 1 ≤ y ≤ 0, 1. A fun¸cão u é constante igual a 0, 01? Explique o ocorrido. (c) Qual o maior valor atingido por u? Escolha uma janela gráfica na qual seja poss´ıvel visualizar o gráfico de u. Na atividade 2, à figura com o gráfico da fun¸cão sugere que a curva é uma parábola. No entanto, esta impressão errônea se deve a escala em que o gráfico foi tra¸cado. A inspe¸cão da fórmula algébrica da fun¸cão mostra que esta não é polinomial do segundo grau, portanto o gráfico não pode ser uma parábola. Além disso, x = 0 não é um ponto m´ınimo, como uma primeira olhada no gráfico poderia sugerir. Este ponto nem mesmo pertence ao dom´ınio de p e corresponde a uma ass´ıntota vertical da fun¸cão. Uma mudan¸ca na janela gráfica revela melhor o comportamento de p na vizinhan¸ca de x = 0, como monstra figura 3.11 (em que o gráfico de p é mostrado e azul e a parábola y = x 2 em cinza). 1 Verificamos que, para valores grandes da variável x, o termo 2 fica próximo de 0, portanto p(x) ≈ x2 . x


51

Por isso, o gráfico fica muito parecido com uma parábola em janelas com valores grandes de x. Porém, 1 para valores de x próximos de 0, é o termo x2 que fica próximo de 0, portanto p(x) ≈ 2 , cuja aparência x nada tem a ver com a de uma parábola. Em atividades deste tipo, os alunos devem ser estimulados a observar a fórmula algébrica da fun¸cão e alterar livremente as janelas no computador. Desta forma, a articula¸cão das representa¸co˜es gráfica e algébrica contribui para uma compreensão mais profunda do comportamento da fun¸cão.

Figura 3.11: O gráfico de p(x) = x2 +

1 e a parábola y = x2 , para −10 ≤ x ≤ 10, −10 ≤ y ≤ 100. x2

Como na atividade 2, o aspecto do gráfico exibido na atividade 3 é determinado pela ordem de grandeza dos intervalos horizontal e vertical da janela gráfica. Quando aumentamos os valores de x, a constante√1 tende a √ ficar desprez´ıvel em rela¸cão ao termo x 2 . Assim, para valores grandes de x temos que x2 + 1 ≈ x2 = |x|. Por isso, o gráfico tende a adquirir o aspecto da curva y = |x|. ´ importante observar que esta aproxima¸cão só é razoável para valores grandes de x. A figura 3.12 E mostra a janela gráfica −5 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 5, em que se pode distinguir claramente o gráfico de r (em azul) da curva y = |x| (em cinza).

Figura 3.12: O gráfico de r(x) =

√

x2 + 1 e a curva modular y = |x|, para −5 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 5.


52

Como a fun¸cão polinomial da atividade 4 já é dada √ √ na forma fatorada, podemos determinar sem 7 dificuldades suas ra´ızes: x1 = 5 , x2 = 2 e x3 = − 2. Como os valores de x1 e x2 são próximos (sua diferen¸ca é da ordem de centésimos), a escala em que o gráfico é mostrado não permite a distin¸cão destas ra´ızes. Para distinguir x1 e x2 , é necessário alterar a janela gráfica para valores de x próximos de 1, 4, e valores de y próximos de 0 (figura 3.13, à esquerda). Para distinguir as três ra´ızes em uma mesma janela, é necessário tomar para valores de x próximos do intervalo entre a menor raiz e a maior raiz, e valores de y próximos de 0. (figura 3.13, à direita). Como na atividade anterior, uma observa¸cão superficial do gráfico mostrado pode levar a uma conclusão errônea sobre a fun¸cão, e uma análise mais cuidadosa da fórmula algébrica é necessária.

Figura 3.13: O gráfico de q(x) = (5 x − 7)(x2 − 2), para 1, 39 ≤ x ≤ 1, 42, −0, 001 ≤ y ≤ 0, 001 e com −1, 5 ≤ x ≤ 1, 5, −0, 001 ≤ y ≤ 0, 001, respectivamente. Verificamos que a fun¸cão u da atividade 5 é estritamente positiva e atinge um máximo absoluto 1 1 no ponto 0, 100 . Logo, a imagem da fun¸cão é o intervalo 0, 100 . Então, se tra¸carmos o gráfico para −10 ≤ x ≤ 10, −10 ≤ y ≤ 10, os valores da fun¸cão serão muito pequenos em rela¸cão à escala da janela, e o gráfico adquirirá um aspecto semelhante ao da reta horizontal y = 0 (figura 3.14, à esquerda). Por outro lado, se reduzirmos muito os valores de x e de y, por exemplo −0, 1 ≤ x ≤ 0, 1, 1 −0, 1 ≤ y ≤ 0, 1, observaremos que o gráfico ficará semelhante à reta horizontal y = 100 (figura 3.14, à 6 direita). Isto ocorre por que, para valores pequenos de x, temos que x fica muito próximo de 0, então 1 u(x) ≈ 100 . Au ńica maneira de visualizar a varia¸cão da fun¸cão no gráfico é escolher escalas muito diferentes para as duas variáveis: valores grandes para x, para que a varia¸cão de u(x) não fiquem muito 1 próximos de 100 ; e valores pequenos para y, para que os valores de u(x) não fiquem muito pequenos em rela¸cão à escala do eixo vertical (figura 3.15).

Figura 3.14: O gráfico de u(x) =

x6

−0, 1 ≤ y ≤ 0, 1, respectivamente.

1 , para −10 ≤ x ≤ 10, −10 ≤ y ≤ 10 e −0, 1 ≤ x ≤ 0, 1, + 100


Figura 3.15: O gráfico de u(x) =

x6

53

1 , para −5 ≤ x ≤ 5, −0, 005 ≤ y ≤ 0, 1. + 100

Em atividades desta natureza, em que os gráficos adquirem aspectos distintos conforme alteramos as janelas gráficas, é importante que fique claro para os alunos que o que muda n˜ ao ´ e o gr´ afico da fun¸c˜ ao, mas apenas o seu aspecto. Isto é, quando alteramos a janela gráfica não passamos a observar um gráfico diferente, nem o gráfico que estamos observando muda de comportamento. Apenas o aspecto do gráfico é alterado, pois o estamos observando de outra janela gráfica, isto é, de outro ponto de vista. Por exemplo, no caso da atividade 3, r não passa a ser uma fun¸cão modular na janela gráfica mostrada no enunciado da questão. A fun¸cão continua sendo a mesma. O que ocorre é que, em compara¸cão à ordem de grandeza das variáveis na janela gráfica de observa¸cão, a diferen¸ca entre o gráfico de r e o da fun¸cão modular é tão pequena que não pode ser percebida. Quando alteramos a janela gráfica na figura 3.12, em compara¸cão aos valores da nova janela, esta mesma diferen¸ca não é mais tão pequena, e pode ser claramente percebida. O mesmo ocorre na 2 com rela¸cão ao gráfico de p e a parábola. Como os exemplos acima mostram, observar um mesmo gr´ afico de diferentes pontos de vista pode ajudar a perceber propriedades da fun¸c˜ ao e, portanto, a entender mais profundamente o seu comportamento. Em alguns casos, os alunos estão acostumados à ideia de que o gráfico de uma fun¸cão tem “uma u ńica cara”, e ideia que um mesmo gráfico possa ter aspectos radicalmente distintos em janelas gráficas diferentes pode causar alguma resistência inicialmente. Atividades 6. Responda às perguntas a seguir, considerando as atividades 2 a 5. (a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados nas atividades? (b) Quais são, na sua opinião, os principais objetivos dessas atividades? (c) Em cada uma das atividades, são propostas questões chave para ajudar na interpretar do gráfico gerado pelo computador. Identifique essas questões. (d) Que outras perguntas você proporia para ajudar os alunos no desenvolvimentos das atividades? (e) Qual é o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do software pode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸cão à abordagem convencional (isto é, sem o computador)? (f) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplica¸cão dessas atividades em sala de aula? 7. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 5, que seja adequada para as turmas em que você leciona.


54

Comportamento Assint´ otico de Fun¸co ˜es Polinomiais e Racionais Já sabemos que um mesmo gráfico pode adquirir aspectos bem distintos em janelas gráficas diferentes, dependendo das escalas empregadas. Nas atividades a seguir, usaremos esta ideia para entender melhor o comportamento assintótico (isto é, o comportamento da fun¸cão quando a variável independente tende a ±∞) de fun¸co˜es polinomiais e racionais. Atividade 8. Considere as fun¸co˜es f, f1 , f2 : R → R, dadas respectivamente por f (x) = x2 + 10 x, f1 (x) = x2 e f2 (x) = 10 x. (a) Trace, na janela −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1, os gráficos das três fun¸co˜es. Os gráficos de duas das fun¸co˜es ficaram muito semelhantes. Que fun¸co˜es são estas? (b) Mude a janela para −1000 ≤ x ≤ 1000, −10000 ≤ y ≤ 10000. Os gráficos de duas das fun¸co˜es ficaram muito semelhantes. Que três fun¸co˜es são estas? (c) Explique o observado nos ´ıtens anteriores. Como nas atividades da se¸cão 3.2, o que está em jogo são as ordens de grandeza das janelas gráficas empregadas. Quando tra¸camos os gráficos para −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1, o termo x 2 fica muito pequeno em compara¸cão ao termo 10 x (figura 3.16, à esquerda). Então, neste caso temos f (x) = x2 + 10 x ≈ 10 x = f2 (x). Por outro lado, para −1000 ≤ x ≤ 1000, −10000 ≤ y ≤ 10000, é 10 x que fica muito pequeno em compara¸cão a x2 (figura 3.16, à direita). Logo, temos f (x) = x2 + 10 x ≈ x2 = f1 (x). Portanto, o gráfico de f fica muito parecido com o de f 2 na janela gráfica da esquerda e com o de f1 na janela gráfica da direita. Para entender mais claramente essas aproxima¸co˜es, é importante sugerir que os alunos substituam alguns valores para as três fun¸co˜es nos intervalos a cada uma das janelas gráficas e comparem os resultados. Também é interessante propor aos alunos que aumentem gradativamente a janela gráfica, e observem o gráfico de f “descolar” aos poucos de f 2 e “colar” em f1 . Ainda nesta atividade, podemos observar que, quanto mais aumentamos a janela gráfica, o gráfico de f fica mais parecido com o de f1 . Isto ocorre porque, na fun¸cão f (x) = x2 + 10 x, embora o coeficiente do termo de grau 2 seja bem menor que o do termo de grau e 1 (1 e 10, respectivamente), para valores de x suficientemente grandes, o termo de grau 1 fica desprez´ıvel em rela¸cão ao de grau 2. De fato, esses termos se igual quando x = 10 e, a partir da´ı, x2 passa a crescer a uma taxa muito maior que x: x2 passa a ser x vezes maior que 10 x e, para valores cada vez maiores de x, esta razão é cada vez mais significativa. Portanto para valores grandes de x, o comportamento da fun¸cão é dominado pelo termo de maior grau x2 . Esta propriedade é válida em geral: o comportamento de fun¸cão polinomial é dominado pelo termo de maior, independente dos coeficientes de seus termos. Outros exemplos como este podem ser usados para motivar esta conclusão genérica, que deve ser enunciada precisamente e verificada formalmente. Seja f : R → R, f (x) = an xn + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 , com an , . . . , a0 ∈ R, uma fun¸cão polinomial real de grau n. Pondo o termo de maior grau em evidência, podemos escrever f da seguinte forma (para x 6= 0): an−1 a1 a0 n f (x) = an x 1+ ...+ + . an x an xn−1 an xn an−1 a1 a0 Seja g(x) = ...+ + . Então: lim g(x) = lim g(x) = 0. x→−∞ x→−∞ an x an xn−1 an xn


55

Figura 3.16: Os gráficos de f (x) = x2 + 10 x, f1 (x) = x2 e f2 (x) = 10 x, para −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1 e para −1000 ≤ x ≤ 1000, −10000 ≤ y ≤ 10000, respectivamente. Uma primeira propriedade que podemos deduzir da´ı é que f (x) e a n xn têm o mesmo sinal para |x| suficientemente grande. De fato, como g(x) fica tão pequeno pequeno queiramos, temos que g(x) < 1 para valores de x com módulo suficientemente grande. Para esses valores de x, teremos 1 + g(x) < 0, portanto terão o mesmo sinal. Esta propriedade dá uma ideia inicial de que o termo a n xn domina o comportamento assintótico de f , independente dos demais termos. Além disso, sabemos a n xn tende a −∞ ou a +∞ quando x tende a −∞ ou a +∞ (dependendo do sinal de a n e da paridade de n). Da´ı, segue a propriedade mais forte: lim f (x) = lim (an xn ) e

x→−∞

x→−∞

lim f (x) = lim (an xn ) .

x→+∞

x→+∞

Podemos também usar mudan¸cas de janelas gráficas para motivar o estudo do comportamento assintótico de fun¸co˜es racionais, isto é fun¸co˜es dadas pela razão de duas fun¸co˜es polinomiais. Observe as atividades a seguir. Atividades 9. Considere a fun¸cão p1 : R → R definida por p1 (x) =

x2 . x2 − 1

(a) Trace o gráfico de p1 na janela −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5. (b) Amplie gradativamente a janela gráfica, aumentando o intervalo da variável x e mantendo o intervalo da variável y fixo. Que aspecto adquire o gráfico de p 1 ? Explique o comportamento observado. 10. Considere a fun¸cão p2 : R → R definida por p2 (x) =

x3 . x2 − 1

(a) Trace o gráfico de p2 na janela −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5. (b) Amplie gradativamente a janela gráfica, aumentando simultaneamente os intervalos das variáveis x e y. Que aspecto adquire o gráfico de p2 ? Explique o comportamento observado. x4 11. Considere a fun¸cão p3 : R → R definida por p3 (x) = 2 . x −1 (a) Trace o gráfico de p3 na janela −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5. (b) Amplie gradativamente a janela gráfica, aumentando simultaneamente os intervalos das variáveis x e y. Que aspecto adquire o gráfico de p3 ? Explique o comportamento observado.

56


x2 Figura 3.17: O gráfico de p1 (x) = 2 , para −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5 e para −100 ≤ x ≤ 100, x −1 −5 ≤ y ≤ 5, respectivamente.

Figura 3.18: O gráfico de p2 (x) = −100 ≤ y ≤ 100, respectivamente.

x3 , para −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5 e para −100 ≤ x ≤ 100, x2 − 1

x4 , para −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5 e para −100 ≤ x ≤ 100, x2 − 1 −1000 ≤ y ≤ 1000, respectivamente.

Figura 3.19: O gráfico de p3 (x) =

Nas três atividades acima, quando observamos os gráficos das fun¸co˜es em janelas com valores pequenos das variáveis (figuras 3.17, 3.18 e 3.19, à esquerda), podemos observar algumas caracter´ısticas das fun¸co˜es, tais como máximos e m´ınimos locais e ass´ıntotas verticais nos pontos em que os denominadores se anulam. Quando aumentamos as janelas gráficas não somos mais capazes de enxergar essas caracter´ısticas locais, porém outro tipo de comportamento é revelado: as fun¸co˜es p 1 , p2 e p3 ficam parecidas com uma reta horizontal, com uma reta vertical e com uma parábola, respectivamente. (figuras 3.17, 3.18 e 3.19, à direita). Para entender o que está acontecendo, devemos observar que, quando aumentamos os valores de x, a constante 1 no denominador tende a ficar desprez´ıvel em rela¸cão aos termos polinomiais. Portanto, para valores grandes de x, valem as aproxima¸co˜es a seguir,que explicam o comportamentos dos gráficos:

3.3. PONTOS DE VISTA E PERSPECTIVAS p1 (x) =

x2 x2 ≈ = 1, x2 − 1 x2

p2 (x) =

57

x3 x3 ≈ =x e x2 − 1 x2

p3 (x) =

x4 x4 ≈ = x2 . x2 − 1 x2

Como na atividade 8, podemos generalizar a conclusão para qualquer fun¸cão racional. Seja q : D ⊂ f (x) R → R uma definida por q(x) = , em que f (x) = am xm + . . . + a0 e g(x) = bn xn + . . . + b0 são g(x) dois polinômios. Em primeiro lugar, devemos observar que os limites de q quando x → ±∞ dependem da rela¸cão entre os graus do numerador e do denominador. Uma maneira de determinar esses limites é dividir o numerador e o denominador de q pelo termo de maior grau. Caso 1. m < n Neste caso, dividimos o numerador e o denominador de p por x n : p(x) =

am + . . . + xan0 a m xm + . . . + a 0 xn−m = . b0 b n xn + . . . + b 0 bn + bn−1 + . . . + n x x

Na expressão acima, o numerador tende a 0 e o denominador tende à constante b n 6= 0. Então, conclu´ımos que: lim p(x) = lim p(x) = 0 . x→−∞

x→+∞

Caso 2. m = n Neste caso, dividimos o numerador e o denominador de p por x m = xn : am + a m xm + . . . + a 0 = p(x) = b m xm + . . . + b 0 bm +

am−1 x bm−1 x

+...+ +...+

a0 xn b0 xn

.

Na expressão acima, o numerador e o denominador tendem respectivamente às constante a m 6= 0 e bm 6= 0. Então, conclu´ımos que: lim p(x) = lim p(x) =

x→−∞

x→+∞

am bm

Caso 3. m > n Neste caso, dividimos o numerador e o denominador de p por x m : +...+ am + am−1 a m xm + . . . + a 0 x p(x) = = bn b n xn + . . . + b 0 + . . . + xb0n xm−n

a0 xn

.

Na expressão acima, o numerador tende à constante am 6= 0 e o denominador tende a 0. Então, conclu´ımos que os limites lim p(x) e lim p(x) = 0 são ambos infinitos. Os sinal entre desses x→−∞

x→+∞

limites depende da rela¸cão entre dos sinais de am e bn . Em resumo, os limites no infinito de uma fun¸cão racional são determinados pela rela¸cão entre as taxas de crescimento do numerador e o denominador, que, por sua vez, depende de qual destes tem o maior grau. Se o denominador tem grau maior, então a fun¸cão tende a 0. Se o denominador e numerador têm o mesmo grau, então a fun¸cão tende a uma constante não nula. Se o numerador tem grau maior, então a fun¸cão tende a infinito. Este resultado é usualmente estudos em cursos de cálculo em uma variável. A atividade 9 é um exemplo do caso 2 acima, enquanto as atividades 10 e 11 exemplificam o caso 3.


58

Embora as atividades 10 e 11 representem o mesmo tipo de comportamento assintótico – tender a infinito – a fun¸cão p2 da atividade 10 fica parecida com uma reta e a fun¸cão p 3 da atividade 11 com um parábola. Essa diferen¸ca de comportamento – que em geral não é estudada nos cursos de cálculo – corresponde a maior aprofundamento matemático do caso em que a fun¸cão racional tende a infinito, pois estabelece formas qualitativamente diferentes de tender a infinito. Com base nesses dois exemplos, podemos intuir que o comportamento assintótico dessas fun¸co˜es seja determinado pela diferen¸ca entre os graus do numerador e do denominador. Na verdade, podemos obter uma conclusão matemática mais precisa que esta. Como estamos tratando do caso em que ∂f > ∂g, pelo divisão polinomial, sabemos que existem polinômios q e r (quociente e resto), com ∂r < ∂g tais que: f (x) = q(x) g(x) + r(x) . Logo: p(x) =

r(x) f (x) = q(x) + . g(x) g(x)

Como ∂r < ∂g, podemos concluir pelo caso 1 acima que: lim (p(x) − q(x)) = lim

x→±∞

x→±∞

r(x) = 0. g(x)

Assim, sempre que tra¸carmos o gráfico de um fun¸cão racional, cujo numerador tem grau maior que o denominador, e aumentarmos progressivamente a janela gráfica, observaremos este gráfico ficar cada vez mais parecido com o do polinômio quociente entre o numerador e o denominador. Em particular o gráfico da fun¸cão racional adquirirá o aspecto de um polinômio cujo grau é diferen¸ca entre os graus do numerador e do denominador. Voltando aos exemplos das atividades 10 e 11, se efetuarmos as divisões polinomiais, concluiremos que: x3 = x (x2 − 1) + x e

x4 = (x2 + 1) (x2 − 1) + 1 .

Logo: p2 (x) =

x3 x = x + (x2 − 1) (x2 − 1)

e

x 2 x→±∞ (x − 1)

e

p3 (x) =

x4 1 2 = (x + 1) + . (x2 − 1) (x2 − 1)

Portanto: lim (p2 (x) − x) = lim

x→±∞

lim

x→±∞

p3 (x) − (x2 + 1) = lim

x→±∞ (x2

1 . − 1)

Como lim (p2 (x) − x), dizemos que a reta y = x é uma ass´ıntota inclinada de p 2 : os valox→±∞

res da fun¸cão ficam muito da reta, quando x cresce indefinidamente. Como próximos dos valores 2 2 ´ lim p3 (x) − (x + 1) , a parábola y = x + 1 tem esse mesmo papel em rela¸cão à fun¸cão p3 . E

x→±∞

interessante fazer mais exemplos para observar desse comportamento no computador. Observe que o computador tem um papel importante na argumenta¸cão para chegar a essa conclusão, pois a partir da visualiza¸cão dos diferentes gráficos na tela, podemos perceber essas diferentes formas de tender a infinito. Não é absurdo supor que uma das razões pelas quais esse aprofundamento matemático não é abordado em geral nos cursos de cálculo é o fato de que software gráficos ainda são pouco ´ importante destacar ainda que o papel do computador aqui é o mesmo das atividades explorados. E anteriores neste cap´ıtulo: possibilitar uma explora¸cão que sugere um fato matemático que deve ser

˜ 3.4. MAIS EXPLORAC ¸ OES

59

verificada por meio de argumenta¸cão dedutiva. Neste caso, passamos da ideia informa de aproxima¸cão para a ideia formal de limite. No ensino básico, a ideia formal de limite não precisa ser tratada. Mesmo assim, as atividades não podem ser reduzir à explora¸cão no computador. As conclus˜ oes devem ser sistematizadas por meio de argumenta¸c˜ ao dedutiva compat´ıvel com cada n´ıvel escolar. Atividades 12. Responda às perguntas a seguir, considerando as atividades 8 a 11. (a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados nas atividades? (b) Quais são, na sua opinião, os principais objetivos dessas atividades? (c) Que ideias matemáticas podem ser motivadas por essas atividades, que não são em geral tratadas abordagem convencional (isto é, sem o computador)? (d) Qual é o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do software pode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸cão à abordagem convencional (isto é, sem o computador)? (e) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplica¸cão dessas atividades em sala de aula? 13. Seria poss´ıvel formular uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 8 a 11, que seja adequada para as turmas em que você leciona? Justifique sua resposta.

3.4

Mais Explora¸co ˜es

Neste cap´ıtulo, foram propostas atividades com ambientes computacionais gráficos simples, isto é cujo uso não requer a aprendizagem de comandos espec´ıficos, visando expor aspectos dos conceitos matem´ aticos que seriam dif´ıceis de ser abordados com recursos e representa¸co ˜es convencionais. Além disso, procurou-se empregar potencialidades e, especialmente, limita¸co˜es técnicas dos softwares para motivar explora¸co˜es das questões matemáticas envolvidas, além de incentivar o desenvolvimento de uma postura cr´ıtica por parte dos estudantes em rela¸cão aos resultados mostrados na tela. Nesta se¸cão, apresentamos mais algumas atividades com esse esp´ırito, em que rela¸co˜es e propriedades entre fun¸co˜es que são usualmente tratados no ensino médio. Entretanto, o uso do software permite que essas rela¸co˜es e propriedades sejam abordadas de um novo ponto de vista, e que as apliquemos a exemplos de fun¸co˜es que normalmente não são estudados. Atividades 1. Considere a fun¸cão s : R → R definida por s(x) = x sen x. (a) Esboce o gráfico de s, juntamente com as retas y = x e y = −x. (b) Explique o comportamento do gráfico. Como as retas podem ajudar a entender esse comportamento? (c) Você deve ser observado que as retas tangenciam o gráfico de s em certos pontos. Que pontos são esses? Esses pontos correspondem a máximos e m´ınimos locais da fun¸cão s? Justifique suas respostas. (d) Que propriedades da fun¸cão seno você usou para responder às questões acima? (e) Que aspecto você espera que tenha o gráfico de t(x) = x 2 sen x? 2. Considere a fun¸cão u : R → R definida por u(x) = 2 sen x .


60 (a) (b) (c) (d)

Esboce o gráfico de u. Determine a imagem de u. A fun¸cão u é periódica? Justifique sua resposta. Que propriedades das fun¸co˜es exponencial e seno você usou para responder às questões acima?

3. Considere a fun¸cão v : R → R definida por v(x) = sen (2x ). (a) (b) (c) (d)

Esboce o gráfico de v. Determine a imagem de v. A fun¸cão v é periódica? Justifique sua resposta. Que propriedades das fun¸co˜es exponencial e seno você usou para responder às questões acima?

4. Considere a fun¸cão ω : R → R definida por ω(x) = sen (log 10 x). (a) Esboce o gráfico de ω, na janela gráfica 0 ≤ x ≤ 10, −2 ≤ y ≤ 2. ´ poss´ıvel determinar a menor raiz de ω? E a menor? Justifique (b) Determine as ra´ızes de ω. E suas respostas. A fun¸cão s da atividade 1 é dada pelo produto da fun¸cão seno por x. Como a fun¸cão seno varia entre −1 e 1, então s varia entre −x e x (figura 3.20). De forma mais geral, podemos concluir que, sempre que multiplicarmos a fun¸cão seno pelo por outra fun¸cão f , o resultado será uma fun¸cão que varia entre −f (x) e f (x). A pergunta do item 1d tem por objetivo ajudar o aluno a perceber a sistematizar esta propriedade, e a pergunta do item 1e visa levá-los a perceber sua generaliza¸cão.

Figura 3.20: O gráfico de s(x) = x sen x, com as retas y = −x e y = x. Nos pontos em sen x = 1, temos que s(x) = x, nos pontos em sen x = −1, temos que s(x) = −x, e nos demais pontos, temos −1 < s(x) < 1. Portanto, o gráfico de s a reta y = x para x = π2 + 2kπ, e a reta y = −x para x = − π2 + 2kπ, com k ∈ Z. A imagem do gráfico mostrada na tela, além do fato destes valores de x corresponderem a pontos de máximo e m´ınimo da fun¸cão seno, pode sugerir que esses sejam também máximos e m´ınimos de s. Entretanto, justamente o fato do gráfico tangenciar as retas nesses pontos fornece um argumento para mostrar o contrário: em pontos de máximos e m´ınimo


61

a reta tangente (caso exista) são horizontais, porém nesse casos elas têm inclina¸cão ±1. Assim, no exemplo desta atividade o gráfico mostrado na tela pode sugerir uma ideia, que se revela falsa – e é a justamente a explora¸cão motivada pela visualiza¸cão desse gráfico que pode indicar o caminho para o argumento matemático para refutá-la. Na atividade 2 (figura 3.21, à esquerda), o menor valor e o maior valor atingidos por u ocorrem para os mesmos valores de x em que ocorrem o menor valor e o maior valor da fun¸cão seno. Portanto, a ´ importante observar aqui que só podemos chegar a esta conclusão imagem de u é o intervalo 21 , 2 . E porque a fun¸cão exponencial é estritamente crescente. Isto é, a fun¸cão u é uma composi¸cão u(x) = f ( sen (x)), de uma fun¸cão estritamente crescente com a fun¸cão seno, portanto a ordem dos valores da fun¸cão seno é preservada ( sen x1 < sen x2 ⇒ 2 sen x1 < 2 sen x2 ). Não ter´ıamos esta garantia se estivéssemos compondo uma fun¸cão que não fosse crescente com a fun¸cão seno (para fixar as ideias, experimente esbo¸car o gráfico de y = ( sen x)2 , por exemplo). Além disso, temos que u é periódica, com per´ıodo 2 π. A justificativa para isto também está no fato de que u é a composi¸cão u(x) = f ( sen (x)): como os valores da fun¸cão seno repetem-se, os valores também se repetirão quando uma fun¸cão f qualquer é calculada sobre a fun¸cão seno. Na atividade 3 (figura 3.21, sen (2 x ) = à esquerda), o valor máximo de v ocorre nos pontos em que π 1, isto é x = log2 2 + 2 k π , com k ∈ Z; e o valor m´ınimo nos pontos em que sen (2x ) = −1, isto é x = log2 − π2 + 2 k π , com k ∈ Z. Portanto, a imagem de v é o intervalo [−1, 1]. Neste caso, a fun¸cão u é uma composta v(x) = sen (f (x)). Como −1 6 sen x 6 1, então −1 6 sen (f (x)) 6 1 qualquer que seja a fun¸cão f . Além disso, observamos que v oscila entre os valores −1 e 1, porém esta oscila¸cão não ocorre em intervalos regulares. Assim, embora a fun¸cão seno seja periódica, v não será periódica, pois a fun¸cão exponencial não é. Na verdade, percebemos que a oscila¸cão de v fica cada vez mais “intensa” (tanto que ocorre um erro de interpola¸cão no gráfico tra¸cado pelo software), isto é, os intervalos entre dois pontos de máximo (ou de m´ınimo) consecutivos ficam cada vez mais curtos. Esta propriedade está relacionada com o crescimento acentuado da fun¸cão exponencial. Para entender essa propriedade, podemos também voltar a observar as abscissas dos pontos de máximo: x k = log2 π2 + 2 k π , com k ∈ Z. Como a fun¸cão logar´ıtmica é crescente (pois a derivada primeira log 2 é positiva), então xk é crescente. Porém, como a taxa de crescimento da fun¸cão logar´ıtmica é cada vez menor (pois a derivada segunda log2 é negativa), então a distância entre xk e xk+1 é cada vez menor.

Figura 3.21: Os gráficos de u(x) = 2 sen x e v(x) = sen (2x ). Nas questões 1 a 3, inclu´ımos uma questão chave: Que propriedades das fun¸co˜es você usou para responder às questões acima? Com isso, procuramos direcionar a aten¸cão dos estudantes para os argumentos matemáticos que justificam as propriedades observadas na tela e suas poss´ıveis generaliza¸co˜es. Nessas atividades lidamos essencialmente com opera¸co˜es entre fun¸co˜es (produto na atividade 1 e composi¸cão nas atividades 2 e 3), que são tópicos usualmente presentes nos curr´ıculos e livros didáticos do ensino médio. Porém, procuramos usar o ambiente computacional para olhar para esses t´ opicos

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de um novo ponto de vista. Em geral, os exerc´ıcios envolvendo opera¸co˜es entre fun¸co˜es reduzemse a procedimentos rotineiros para determinar fun¸co˜es compostas e coisas assim. Aqui, procuramos propor atividades em que as propriedades qualitativas da fun¸c˜ ao produto ou composta sejam estudadas ` a luz da an´ alise das propriedades qualitativas das fun¸co ˜es originais. Além disso, buscamos ampliar o universo de fun¸co ˜es familiares aos estudantes, empregamos exemplos cujos gráficos em geral não são tra¸cados no ensino básico. Tra¸car tais gráficos seria provavelmente uma ´ claro que a tarefa de dif´ıcil realiza¸cão em sala de aula, sem o apoio do recurso computacional. E abordagem com o computador não deve se reduzir a tra¸car esses gráficos, mas sobretudo motivar a explora¸c˜ ao matem´ atica e a compreens˜ ao de suas propriedades. Continuando para a atividade 4, a visualiza¸cão do gráfico na janela indicada, pode sugerir que a menor raiz da fun¸cão ω seria x = 1 (figura 3.22). No entanto, as ra´ızes de ω são os pontos x tais que sen (log10 x) = 0, isto é, x = 10kπ , como k ∈ Z. Portanto, não existe uma maior raiz (pois o conjunto das ra´ızes não é limitado superiormente), nem uma menor raiz de ω (pois, embora o conjunto das ra´ızes seja limitado inferiormente, dada qualquer raiz, sempre podemos exibir outra menor que ´ interessante observar ao contrário do que ocorre com a fun¸cão v da atividade 3, a oscila¸cão esta). E de ω é bastante “espa¸cada”. Mais precisamente, a razão entre duas ra´ızes consecutivas é de 10 π , isto é, cada raiz é mais de 1.000 vezes maior que imediatamente anterior. Em conseqüência, embora a fun¸cão tenha infinitas ra´ızes, em cada intervalo escolhido para o eixo horizontal só é poss´ıvel visualizar claramente uma delas, pois as demais ou são muito pequenas ou muito grandes para a janela. Além disso, a diferen¸ca de ordens de grandeza das ra´ızes faz com o gráfico adquira aspectos completamente diferentes em cada nova janela (figura 3.23).

Figura 3.22: O gráfico de ω(x) = sen (log10 x).

Figura 3.23: O gráfico de ω(x) = sen (log10 x), em novas janelas.


63

Logaritmos e Escalas Logar´ıtmicas Alguns software (incluindo o Graphmatica [2]) possuem um recurso para tra¸car gráficos em sistemas de eixos graduados em escalas logar´ıtmicas. Em um eixo em escala logar´ıtmica de base β > 1, as potências inteiras de β são representadas em intervalos com um comprimento fixo (figura 3.24). Assim, conforme caminhamos no sentido positivo do eixo, cada um desse intervalos corresponde a uma multiplica¸cão pela base (e não à soma de uma constante, como em um eixo linear convencional). Portanto, dado x ∈ R+ , se x0 é a posi¸cão que representa x no eixo em escala logar´ıtmica de base β, vale a seguinte rela¸cão: x0 = logβ x. x0. . .

... β −4

β −3

β −2

β −1

1

β

β2

β3

β4

Figura 3.24: Um eixo em escala logar´ıtmica de base b. Atividades 5. As figuras abaixo representam as fam´ılias de curvas y = k x (à esquerda) e y = x k (à direita), ambas com k =, tra¸cadas em um sistema de coordenadas logar´ıtmicas decimais x 0 y 0 , na janela gráfica 10−3 ≤ x ≤ 103 , 10−3 ≤ y ≤ 103 . (a) Explique porque as curvas adquirem o aspecto de retas neste sistema de coordenadas. (b) Caracterize todas as fun¸co˜es f : R+ → R+ cujos gráficos adquirem o aspecto de retas no sistema de coordenadas logar´ıtmicas decimais.

6. No exerc´ıcio anterior, os dois eixos do sistema de coordenadas são graduados em escalas logar´ıtmicas. Podemos também graduar apenas um dos eixos em escala logar´ıtmica e manter o segundo em escala linear convencional. (a) Em um sistema de coordenadas xy 0 , em que apenas o eixo vertical é graduado em escala logar´ıtmica decimal, enquanto o eixo horizontal é mantido em escala linear convencional, caracterize todas as fun¸co˜es f : R → R+ cujos gráficos adquirem o aspecto de retas. (b) Em um sistema de coordenadas x0 y, em que apenas o eixo horizontal é graduado em escala logar´ıtmica decimal, enquanto o eixo vertical é mantido em escala linear convencional, caracterize todas as fun¸co˜es f : R+ → R cujos gráficos adquirem o aspecto de retas. 7. Explique em que tipo de situa¸co˜es, envolvendo varia¸cão de grandezas, você considera que é conveniente empregar sistemas coordenadas com: ambos os eixos graduados em escalas logar´ıtmicas; com apenas o eixo vertical graduado em escala logar´ıtmica; com apenas o eixo horizontal graduado em escala logar´ıtmica.

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Na atividade 5, o aluno deve ser estimulado a explorar livremente a visualiza¸cão dos gráficos no computador, em particular alterando a janela de visualiza¸cão entre eixos em escalas logar´ıtmicas e eixos ´ importante observar que a alterna¸cão entre diferentes sistema de coordecartesianos convencionais. E nadas para visualiza¸cão de uma fam´ılia de curvas, e observa¸cão imediata das mudan¸cas de aspecto nas curvas, consiste em uma possibilidade de explora¸c˜ ao oferecida pelo software, que dificilmente poderia ser reproduzida sem recursos computacionais. Da mesma foram que sugerimos em diversas atividades anteriores, a explora¸cão deve conduzir a alguma forma de sistematiza¸cão matemática. Este é o objetivo do item 5b. Um gráfico de fun¸cão que tenha o aspecto de uma reta no sistema x 0 y 0 deve ter equa¸cão na forma y 0 = a x0 + b, com a, b ∈ R+ . Assim, teremos: y 0 = a x0 + b ⇒ log10 y = a log10 x + b ⇒ y = 10a log10 x+b = 10b xa = c xa . Portanto, as fun¸co˜es f : R+ → R+ cujos gráficos adquirem o aspecto de retas no sistema de coordenadas logar´ıtmicas decimais são aquelas na forma f (x) = c x a , com a, c ∈ R+ . A abordagem do conceito de logaritmo no ensino médio com freqüência reduz-se a séries de exerc´ıcios rotineiros envolvendo, por exemplo, empregar as propriedades algébricas dos logaritmos em resolu¸cão de equa¸co˜es ou para a determina¸cão de valores numéricos. Em exerc´ıcios deste tipo, há pouco enfoque conceitual na ideia de logaritmo, suas rela¸co˜es com ordens de grandeza, ou o comportamento e a varia¸cão das fun¸co˜es logar´ıtmicas. Atividades envolvendo escalas logar´ıtmicas, especialmente com o apoio de ambientes gráficos, podem ser usadas para fornecer um novo olhar para o conceito de logaritmo. Em escalas logar´ıtmicas, representamos as ordens de grandeza dos números (em rela¸cão à uma base fixada), em lugar de seus valores absolutos. Assim, sistemas de coordenadas logar´ıtmicas são convenientes para estudar fenômenos envolvendo amplas varia¸co˜es de ordens de grandeza, desde valores muito próximos de 0 até valores muito grandes. Por exemplo, voltemos à atividade 8 da se¸cão 3.3. Foi observado que o gráfico de f (x) = x 2 +10 x é aproximado por f2 (x) = 10 x, para valores de x muito próximos de 0; e por f1 (x) = x2 , para valores de x muito grandes (figura 3.16). Entretanto, quando a janela é pequena o suficiente para distinguirmos valores de x muito próximos de 0, os valores grandes ficam de fora; e quando aumentamos a janela para incluir valores grandes de x, não podemos mais distinguir valores muito próximos de 0. Portanto, não é poss´ıvel visualizar essas duas aproxima¸co˜es ao mesmo tempo em uma mesma janela gráfica – pelo menos no sistema de coordenadas cartesianas convencional. Porém, quando mudamos o sistema de eixos para coordenadas cartesianas passamos a enxergar não os valores das variáveis, mas suas ordens de grandeza, e o gráfico de f adquire outro aspecto (figura 3.25, à esquerda). Podemos então visualizar ao mesmo tempo, em uma mesma janela gráfica, as aproxima¸co˜es de f por f 2 (x) = 10 x, para valores de x muito próximos de 0, e por f1 (x) = x2 para valores de x muito grandes (figura 3.25, à direita).

Figura 3.25: O gráfico de f (x) = x2 + 10 x e o gráfico de f (x) = x2 + 10 x com f1 (x) = x2 e f2 (x) = 10 x, tra¸cado em um sistema de coordenadas logar´ıtmicas, para −10 −3 ≤ x ≤ 105 , −10−3 ≤ y ≤ 105 .


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De forma semelhante, se tra¸carmos o gráfico da fun¸cão ω da atividade 4 em um sistema de coordenadas em que o eixo horizontal é graduado em escala logar´ıtmica e o vertical é mantido em escala linear convencional, seremos capazes de visualizer diversas oscila¸co˜es em uma mesma janela gráfica (figura 3.26).

Figura 3.26: O gráfico de ω(x) = sen (log10 x), tra¸cado em um sistema de coordenadas com eixo horizontal em escala logar´ıtmica, para −10−7 ≤ x ≤ 107 , −2 ≤ y ≤ 2. Atividades 8. Responda às perguntas a seguir, considerando as atividades 1 a 5. (a) (b) (c) (d)

Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados? Quais são, na sua opinião, os principais objetivos dessas atividades? Qual é o papel das questões chave feitas em cada uma das atividades? Que outras perguntas você proporia para ajudar os alunos no desenvolvimentos das atividades? (e) Qual é o papel do software para o desenvolvimento das atividades? O que o uso do software pode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸cão à abordagem convencional (isto é, sem o computador)? (f) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplica¸cão dessas atividades em sala de aula?

9. (a) Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 5, que seja adequada para as turmas em que você leciona. (b) Que questões chave você proporia para ajudar os alunos no desenvolvimentos da atividade proposta?

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Cap´ıtulo 4 Ambientes de Geometria Dinˆ amica Introdu¸c˜ ao Segundo um conhecido dito popular, uma imagem vale mais do que mil palavras. Em ambientes de geometria dinâmica, são utilizadas literalmente centenas de imagens sobrepostas, que se articulam entre si e são manipuladas de forma interativa. Imagine, então, quantas ideias podem ser traduzidas, com o aux´ılio da geometria dinâmica! As ferramentas de geometria dinâmica permitem a constru¸cão de objetos geométricos de acordo com propriedades ou rela¸co˜es estabelecidas. Estes podem então ser manipulados dinamicamente, de tal maneira que as propriedades e rela¸co˜es sejam preservadas. Esse modo particular de constru¸cão geométrica apresenta caracter´ısticas especiais, que podem ter consequências importantes para a aprendizagem. Quando um objeto geométrico é representado por meio de papel e lápis, em geral procura-se empregar certas nota¸co˜es para indicar suas propriedades. Portanto, essas propriedades determinam a maneira de se representar, e se fazem notar na representa¸cão. Entretanto, o processo de construir uma representa¸cão para um objeto em ambientes de geometria dinâmica dispara outra qualidade de reflexão sobre suas propriedades e rela¸co˜es matemáticas. Por exemplo, quando esbo¸camos um losango com papel e lápis (figura 4.1), comumente marcamos pequenos tra¸cos sobre cada um dos lados para indicar a sua congruência. Porém, se constru´ımos um losango em geometria dinâmica (figura 4.2), além de saber que um losango é, por defini¸cão, um quadrilátero com todos os lados congruentes, somos impelidos a refletir sobre como garantir, na própria constru¸cão, que esses lados sejam de fato congruentes.

Figura 4.1: A representa¸cão de um losango, com papel e lápis.

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68

ˆ CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA

Figura 4.2: A representa¸cão de um losango, em geometria dinâmica. Assim, em uma representa¸cão feita com papel e lápis apenas (sem nenhum outro instrumento), as propriedades dos objetos são indicadas apenas pela nota¸cão usada. Em geometria dinâmica, por outro lado, a garantia de validade das propriedades e rela¸co ˜es matem´ aticas do objeto representado ´ e incorporada concretamente no pr´ oprio processo de constru¸c˜ ao da representa¸c˜ ao. Desta forma, as próprias experiências de construir representa¸co˜es em geometria dinâmica já constituem, por si só, exerc´ıcios que demandam um maior n´ıvel de conhecimento matemático dos objetos. Essas experiências podem ainda fornecer pistas sobre outras propriedades e rela¸co˜es dos objetos constru´ıdos, além daquelas que fazem parte de suas defini¸co˜es ou são dadas nos enunciados dos problemas, sugerindo porque estas são válidas (ou não válidas) e indicando caminhos para sua dedu¸cão. Assim, o processo de constru¸cão pode nos levar a perceber ou a conjecturar propriedades, que, evidentemente, deverão ser confirmadas ou refutadas por argumentos matemáticos. No caso do losango dinâmico da figura 4.2, podemos questionar, por exemplo as poss´ıveis rela¸co˜es entre congruência e paralelismo dos lados: A congruência dos lados é suficiente para garantir seu paralelismo. Isto é, todo losango é um paralelogramo. Mas, será que a congruência dos lados é também necessária para garantir seu paralelismo? Isto é, será todo paralelogramo um losango? ´ claro que, em constru¸co˜es com de régua não graduada e compasso (f´ısicos) ou outros instrumentos E mecânicos de desenho, a validade das propriedades matemáticas também é incorporada no processo de constru¸cão, como ocorre em geometria dinâmica. De fato, a concep¸cão dos ambientes de geometria dinâmica é primordialmente inspirada nas constru¸co˜es com régua não graduada e compasso f´ısicos, os assim chamados instrumentos euclidianos. No entanto, uma diferen¸ca importante entre esses ambientes e os instrumentos euclidianos está justamente no aspecto dinâmico das constru¸co˜es. Com régua e compasso, uma constru¸cão geométrica, uma vez feita, é estática. Em geometria dinâmica, as constru¸co˜es não apenas podem ser manipuladas, como também as condi¸co˜es que a determinaram inicialmente são preservadas pela manipula¸cão. O aspecto dinˆ amico dos ambientes pode indicar a validade matem´ atica das constru¸co ˜es, e especialmente sua n˜ ao validade. Voltando ao exemplo da figura 4.2, para construir nosso losango em geometria dinâmica, nada nos impede de simplesmente marcar quatro pontos que, visualmente pare¸cam formar um paralelogramo quando ligados. Entretanto, o fato de que a constru¸cão não leva em conta garantias matemáticas para a congruência desses segmentos ficará claro quando esses pontos forem arrastados. Alguns pesquisadores em educa¸cão matemática (e.g. [15, 41]) destacam duas modalidades distintas de concep¸cão de imagens materiais de objetos matemáticos, do ponto de vista da aprendizagem: um desenho, se a imagem é vista como representa¸cão particular de um objeto isolado; ou uma figura, se a imagem é percebida como representa¸cão genérica de uma classe de objetos matemáticos, que

69 compartilham um conjunto comum de propriedades. Neste sentido, perceber a imagem material de um losango como uma figura corresponde a entendê-la não apenas com um desenho isolado, mas como um representante de um classe de quadriláteros, sendo desta forma capaz de incorporar todas as propriedades matemáticas comuns a esta classe. As potencialidades destacadas anteriormente sugerem que os ambientes de geometria dinâmica podem ser explorados para ajudar os estudantes a expandirem sua concep¸cão de uma representa¸cão geométrica de desenho para figura – o que constitui um passo de abstra¸cão matemática. Tais potencialidades fornecem, portanto, um terreno vasto para a explora¸cão de objetos matemáticos e formula¸cão de conjecturas sobre suas rela¸co˜es e propriedades, que deverão ser comprovadas ou refutadas por meio de argumentos matemáticos formais. Por outro lado, alguns autores (e.g. [61]) apontam uma preocupa¸cão com um poss´ıvel efeito indesejável do uso de ambientes de geometria dinâmica no ensino: seus recursos, em particular a ferramenta de arrastar, podem tornar as propriedades de objetos geométricos tão evidentes ao ponto de convencer os estudantes de que demonstrá-las como teoremas matemáticos seria desnecessário. Uma forma de prevenir esse efeito é também propor aos estudantes situa¸co˜es em que nem tudo transcorre como o esperado, como aquelas envolvendo limita¸co˜es dos ambientes de geometria dinâmica e resultados surpreendentes ou contrários à sua intui¸cão. Tais reflexões evidenciam, mais uma vez, que os efeitos do uso de recursos computacionais no ensino de Matemática não são determinados unicamente por suas caracter´ısticas intr´ınsecas, mas principalmente pela forma como eles são usados na abordagem pedagógica. Portanto, destaca-se o papel central do professor, em planejar adequadamente a abordagem com tecnologias computacionais. Este cap´ıtulo abordará o uso de ambientes de geometria dinâmica no ensino de Matemática, em dois campos principais: geometria euclidiana plana e fun¸co˜es. Em particular, como nos cap´ıtulos anteriores, serão exploradas não só as potencialidades, como também as limita¸co˜es técnicas dos softwares e situa¸co˜es em que são produzidos resultados inesperados ou aparentemente errados. Desta forma, objetiva-se destacar a impossibilidade de tomar os resultados do computador como critério de verdade matemática e enfatizar a necessidade de argumentos formais. No campo da geometria, serão propostas atividades envolvendo constru¸co˜es geométricas elementares, com ênfase no estudo das propriedades das figuras planas que permanecem invariantes nas constru¸co˜es geométricas dinâmicas. Embora as aplica¸co˜es dos ambientes de geometria dinâmica no ensino de geometria plana sejam mais difundidas, seu uso também pode ser muito enriquecedor para o ensino de fun¸co˜es reais. Por exemplo, podem ser exploradas rela¸co˜es entre as propriedades algébricas e o comportamento qualitativo de gráficos de fam´ılias de fun¸co˜es dependendo de parâmetros, de maneira semelhante às atividades propostas no cap´ıtulo 3. Porém, tais explora¸co˜es podem agora ser realizadas de forma dinâmica, isto é, em lugar de digitar valores numéricos para os parâmetros, o aluno pode controlar esses valores por meio da ferramenta de arrastar dos ambientes, observando em tempo real as mudan¸cas de aspecto provocadas nos gráficos. Além disso, os ambientes de geometria dinâmica permitem a abordagem do conceito de fun¸cão em situa¸co˜es que usualmente são pouco exploradas no ensino básico, tais como rela¸co ˜es de dependˆ encia funcional em constru¸co ˜es geom´ etricas (isto é, situa¸co˜es em que certos elementos das constru¸co˜es são fun¸co˜es de outros). De fato, em constru¸co˜es geométricas ocorrem naturalmente rela¸co˜es de dependências entre objetos, que valem a pena ser exploradas. Se a constru¸cão é feita em geometria dinâmica, essas rela¸co˜es, que muitas vezes podem passar despercebidas, tornam-se mais evidentes. Por exemplo, se constru´ımos um quadrado inscrito em um c´ırculo, então o lado e a área do quadrado são fun¸co˜es do raio c´ırculo – ou podemos mesmo dizer que neste caso o próprio quadrado é fun¸cão do c´ırculo. Em geometria dinâmica, se alteramos o c´ırculo, podemos ver as altera¸co˜es acarretadas no quadrado inscrito; e se apagamos o c´ırculo, o quadrado inscrito (que dele é dependente) também desaparecerá. Situa¸co˜es como essa oferecem algumas possibilidades de explora¸cão pedagógica que podem ser muito enriquecedoras.


70

´ poss´ıvel estudar o comportamento de fun¸co˜es diretamente por meio da dinâmica do ambiente, • E sem a media¸cão das representa¸co˜es usuais em sala de aula, especialmente a representa¸cão gráfica. Isto é, o comportamento da fun¸cão pode ser analisado ao se alterar um objeto no ambiente, e observar as consequentes altera¸co˜es nos objetos que são dependentes deste. Assim, a própria dinâmica do ambiente converte-se em uma forma não convencional de representa¸cão. • Além disso, pode-se ampliar o universo de fun¸co˜es familiares aos alunos, uma vez que são apresentados exemplos de fun¸co˜es cujos dom´ınios ou contradom´ınios não são números, e sim conjuntos de objetos geométricos. Nos livros didáticos, em geral a abordagem de fun¸co˜es tem in´ıcio com a defini¸cão de fun¸cão em contexto abstrato, como rela¸cão entre dois conjuntos genéricos. Entretanto, quase todos os exemplos que se seguem são de fun¸co˜es entre conjuntos numéricos. Desta forma, verifica-se lacuna brusca na abordagem – e a apresenta¸cão de exemplos de fun¸co˜es de outra natureza é importante para preenche-la. • Finalmente, como são constru´ıdas fun¸co˜es entre objetos geométricos, essas situa¸co˜es estabelecem uma articula¸cão entre geometria e fun¸co˜es, campos da Matemática que quase sempre são abordados de forma dissociada no ensino básico. Nas atividades propostas neste cap´ıtulo, teremos como referência os softwares GeoGebra [1] e Tabulæ [6]. A razão para esta escolha deve-se apenas ao fato de que esses softwares podem ser encontrados facilmente e sem custo na internet. Entretanto, como já observamos, nosso foco não estará em nenhum software espec´ıfico, e sim na discussão sobre as vantagens e limita¸co˜es que o uso de ambientes de geometria dinâmica em geral pode trazer para o ensino e a aprendizagem de conceitos matemáticos.

4.1

Explorando a Geometria de Forma Dinˆ amica

De forma geral, os ambientes de geometria dinâmica fornecem uma representa¸cão computacional para o plano euclideano, e suas ferramentas básicas são concebidas para reproduzir régua não graduada e compasso f´ısicos – os chamados instrumentos euclidianos. Esta estrutura permite a simula¸cão de constru¸co˜es geométricas que podem ser feitas com os instrumentos euclidianos, sendo que nesses ambientes, as constru¸co˜es tornam-se dinâmicas, isto é, podem ser manipuladas de forma que as propriedades e rela¸co˜es dos objetos constru´ıdos sejam preservadas. A maior parte dos ambientes de geometria dinâmica incorpora ainda outros recursos, tais como tra¸cado de lugares geométricos, representa¸cão de se¸co˜es cônicas, coordenadas cartesianas e medidas aproximadas para comprimentos e áreas. Cabe ressaltar que, em virtude das limita¸co˜es inerentes ao software, as representa¸co˜es computacionais apresentam diferen¸cas importantes em rela¸cão ao modelo matemático. De fato, no modelo matemático teórico, o plano euclidiano constitui-se de infinitos pontos, é completo (isto é, desprovido de “buracos”) e ilimitado. Nas representa¸co˜es em geometria dinâmica, por outro lado, lidamos sempre com uma região retangular formada por uma quantidade muito grande, porém finita de pixels. O objetivo das atividades a seguir é apresentar possibilidades de uso de ambientes de geometria dinâmica no ensino de geometria euclidiana plana, tanto para a aprendizagem de conceitos geométricos espec´ıficos quanto para o desenvolvimento do racioc´ınio matemático dedutivo envolvido, buscando sempre a forma mais geral e s´ olida poss´ıvel para que os conhecimentos adquiridos possam ser reconhecidos e aplicados, mesmo sem o apoio do computador. As atividades iniciais (1 a 6) visam a ambienta¸cão com os ambientes geometria dinâmica, que de um modo geral possuem ferramentas semelhantes. Propomos constru¸co˜es relativamente simples e procuramos explorar a investiga¸cão dos conceitos matemáticos envolvidos. As atividades propostas envolvem, principalmente, a investiga¸cão de regularidades, a generaliza¸cão de propriedades, a formula¸cão de conjecturas, e como desdobramento, a confirma¸cão ou refuta¸cão dessas conjecturas por meio de argumentos matemáticos.

ˆ 4.1. EXPLORANDO A GEOMETRIA DE FORMA DINAMICA

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Atividades 1. Foi proposta a uma turma do ensino médio a tarefa de construir um triângulo equilátero de lado AB dado, usando um ambiente de geometria dinâmica. Um dos alunos da turma propôs a seguinte solu¸cão: 1. trace a mediatriz do segmento AB; 2. usando o recurso para tra¸car c´ırculos do ambiente, escolha o ponto A como centro e mova o cursor até que o c´ırculo “encoste” no ponto B, marcando assim um ponto C, que define o raio AC; 3. marque o ponto D, de interse¸cão entre a mediatriz de AB e esse c´ırculo; 4. ligue os pontos, obtendo o triângulo ABD.

(a) Você considera que a constru¸cão está correta? (b) Qual é o segmento que determina a medida do raio do c´ırculo constru´ıdo? Este segmento depende de AB? (c) Usando a constru¸cão proposta pelo aluno, arraste o ponto C. O que acontece com o triângulo constru´ıdo? (d) O que podemos garantir sobre esse triângulo, com base na constru¸cão do aluno? Isto é, o que, de fato o aluno está construindo? Justifique sua resposta por meio de argumentos matemáticos.

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ˆ CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA 2. Para resolver a mesma tarefa da atividade 1, outro aluno da turma propôs a seguinte constru¸cão: 1. trace a mediatriz do segmento AB; 2. usando o recurso para tra¸car c´ırculos, escolha o ponto A como centro e mova o cursor até que o c´ırculo “encoste” no ponto B, de forma que o ponto C, que define o raio AC, esteja sobre a mediatriz de AB; 3. ligue os pontos, obtendo o triângulo ABC. Responda às mesmas perguntas da atividade 1, para esta constru¸cão.

3. Descreva uma maneira correta de construir um triângulo equilátero de lado AB dado em um ambiente de geometria dinâmica, isto é, uma constru¸cão de forma que a propriedade de ser equilátero seja preservada quando quaisquer dos elementos da constru¸cão forem arrastados. Justifique a validade de sua constru¸cão por meio de argumentos matemáticos. 4. Agora, o professor propôs a essa mesma a constru¸cão, em um ambiente de geometria dinâmica, de um quadrado de lado AB dado. Um aluno propôs a seguinte solu¸cão: 1. trace um c´ırculo de centro em A e raio AB; 2. trace um c´ırculo de centro em B e raio AB; 3. marque um ponto C sobre o c´ırculo de centro A de tal forma que o segmento AC seja visualmente perpendicular a AB, e um ponto D sobre o c´ırculo de centro B de tal forma que o segmento BD seja visualmente perpendicular a AB; 4. ligue os pontos, obtendo o quadrado ABDC.


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(a) Você considera que a constru¸cão está correta? (b) O que garante a perpendicularidade dos lados do quadrilátero nesta constru¸cão? (c) Usando a constru¸cão proposta pelo aluno, arraste o ponto C e, em seguida, o ponto D. O que acontece com o quadrilátero? (d) O que podemos garantir sobre esse quadrilátero, com base na constru¸cão do aluno? Isto é, o que, de fato o aluno está construindo? Justifique sua resposta por meio de argumentos matemáticos. 5. Questionando a solu¸cão do colega, outro aluno da turma propôs a seguinte constru¸cão para a tarefa da atividade 4: 1. trace um c´ırculo de centro em A e raio AB; 2. trace um c´ırculo de centro em B e raio AB; 3. marque um ponto C sobre o c´ırculo de centro A de tal forma que o segmento AC seja visualmente perpendicular a AB; 4. trace um c´ırculo de centro em C e raio CB; 5. marque o ponto, de interse¸cão dos c´ırculos de centro B e de centros C; 6. ligue os pontos, obtendo o quadrado ABDC. Responda às mesmas perguntas da atividade 4, para esta constru¸cão.

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6. Descreva uma maneira correta de construir um quadrado de lado AB dado em um ambiente de geometria dinâmica, isto é, uma constru¸cão de forma que a propriedade de ser quadrado seja preservada quando quaisquer dos elementos da constru¸cão forem arrastados. Lembre-se de que, para garantir que um quadrilátero seja um quadrado, precisamos garantir a congruência dos lados e dos ângulos internos, pois uma não implica na outra, como ocorre no caso dos triângulos. Justifique a validade de sua constru¸cão por meio de argumentos matemáticos. As atividades anteriores envolvem constru¸co˜es em que não há garantias de que o objeto geométrico obtido de fato satisfaz às condi¸co˜es dadas no problema. Estas atividades ilustram como os ambientes de geometria dinâmica, em particular o recurso de arrastar, podem ser explorados para motivar a distin¸c˜ ao entre argumentos matematicamente v´ alidos e argumentos emp´ıricos ou indutivos, que implicam logicamente nas propriedades desejadas. Para que estes objetivos sejam atingidos, ´ e fundamental que as conclus˜ oes dos alunos sejam fundamentadas em argumentos matem´ aticos, e não na simples visualiza¸cão do software. Note que foram inclu´ıdas questões chaves nas atividades, com o papel de disparar essa discussão. Por exemplo, no caso das atividades 1 e 2, só é poss´ıvel garantir que os triângulos constru´ıdos são isósceles, mas não necessariamente equiláteros. Esta conclusão decorre, por um argumento baseado em congruência de triângulos, do fato do vértice oposto ao lado AB estar sobre a mediatriz deste lado. Na atividade 4 a constru¸cão só garante a congruência de três dos lados do quadrilátero, e na 5 de todos os lados. Na atividade 5 obtemos apenas um quadrilátero equilátero, isto é, um losango, que não necessariamente é equiângulo, portanto não necessariamente é um quadrado. Desta forma, pode-se motivar uma discussão sobre as rela¸co˜es entre congruência dos lados e dos ângulos de um pol´ıgono: apenas nos casos dos triângulos essas propriedades são equivalentes.


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Observe que a maior parte dos principais softwares de geometria dinâmica preservam o registro das constru¸co˜es efetuadas. Esses registros podem e devem ser explorados em sala de aula, pois ajudam a estabelecer pontes entre as constru¸co˜es geométricas e os argumentos matemáticos que as justificam. Atividades 7. (a) Mostre que um triângulo é equilátero se, e somente se, é equiângulo. (b) Mostre que a propriedade do item anterior não vale para pol´ıgonos com número de lados maior ou igual a 4. 8. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 6. (a) (b) (c) (d) (e)

Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados? Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades? Qual é o papel do ambiente de geometria dinâmica no desenvolvimento das atividades? Qual é o papel das questões chave feitas em cada uma das atividades? Que outras perguntas você proporia para ajudar os alunos no desenvolvimentos das atividades? (f) Na sua opinião, que discussões sobre propriedades de triângulos e quadriláteros podem ser motivadas pela resolu¸cão das atividades? (g) Que vantagens e desvantagens o uso do ambiente de geometria dinâmica pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸cão a abordagens com recursos convencionais (isto é, sem o uso de recursos computacionais)? (h) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplica¸cão dessas atividades em sala de aula? 9. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 6, que seja adequada para as turmas em que você leciona. Procure incluir uma ou mais questões chave na atividade que você elaborar, para ajudar a encaminhar a resolu¸cão dos alunos. Nas atividades a seguir, damos continuidade à apresenta¸cão de situa¸co˜es de geometria plana com apoio de ambientes de geometria dinâmica, enfocando as possibilidades de explora¸cão dos ambientes para a formula¸cão de conjecturas sobre as propriedades geométricas dos objetos. Atividades 10. (Adaptado de [11]) (a) Em um ambiente de geometria dinâmica, construa pol´ıgonos de n lados, com n = 3, 4, 5, 6. Use os recursos do software para medir a soma dos ângulos internos de cada um desses pol´ıgonos. Arraste os vértices dos pol´ıgonos e observe o que acontece. O valor da soma dos ângulos internos varia? (b) Deduza um fórmula para a soma dos ângulos internos de um pol´ıgono, em fun¸cão do número de lados. (c) Agora, use os pol´ıgonos que você construiu para calcular a soma dos ângulos externos (isto é, os complementares dos ângulos internos) dos pol´ıgonos. (d) Deduza um fórmula para a soma dos ângulos externos de um pol´ıgono, em fun¸cão do número de lados.

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11. (Adaptado de [11]) O objetivo desta questão é investigar, com apoio de um ambiente de geometria dinâmica, sob que condi¸co˜es dois triângulos, com um grupo de elementos (lados e ângulos) congruentes, são congruentes. (a) Dado um triângulo ABC, construa outro triângulo DEF , satisfazendo: DE = AB e b = D. b Arraste os vértices desses triângulos e investigue a rela¸cão entre eles. A b=D b (b) Dado um triângulo ABC, construa outro triângulo DEF , satisfazendo: DE = AB, A b = E. b Arraste os vértices desses triângulos e investigue a rela¸cão entre eles. eB ´ poss´ıvel construir um triângulo DEF com um lado e dois ângulos congruentes a um lado e (c) E dois ângulos de ABC, mas que não seja congruentes a ABC. Em caso afirmativo, construa este triângulo. Caso contrário, justifique sua resposta. (d) Quantos lados e ângulos não congruentes podem ser encontrados nos triângulos não congruentes constru´ıdos no item anterior? ´ poss´ıvel construir um par de triângulos não congruentes, com cinco pares de elementos (e) E correspondes congruentes? Em caso afirmativo, construa estes triângulos. Caso contrário, justifique sua resposta. ´ poss´ıvel construir um par de triângulos não congruentes, com seis pares de elementos (f) E correspondes congruentes? Em caso afirmativo, construa estes triângulos. Caso contrário, justifique sua resposta. 12. (a) Em um ambiente de geometria dinâmica, construa um trapézio ABCD qualquer, de forma que as posi¸co˜es de todos os vértices possam ser alteradas, preservando o paralelismo das bases. (b) Construa as diagonais de ABCD e chame de G seu ponto de interse¸cão. Em seguida, trace uma paralela às bases por G e chame de F e E, seus pontos de interse¸cão com os lados AD e BC, respectivamente. (c) Agora, arraste os vértices do trapézio e observe os triângulos EGD e GCF . O que você pode afirmar sobre a rela¸cão entre essas áreas? (d) Justifique matematicamente a propriedade que você observou no item anterior. (e) Como as propriedades dinâmicas do software ajudou a formular a conjectura?


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13. O objetivo desta atividade é demonstrar a existência dos chamados pontos notáveis de um triângulo qualquer. Esses pontos são definidos da seguinte forma: • • • •

incentro: interse¸cão das bissetrizes relativas a cada um dos ângulos internos de um triângulo; circuncentro: interse¸cão das mediatrizes relativas a cada um dos lados de um triângulo; baricentro: interse¸cão das medianas relativas a cada um dos lados de um triângulo; ortocentro: interse¸cão das alturas relativas a cada um dos lados de um triângulo.

Portanto, demonstrar a existência desses pontos corresponde a provar que cada uma das linhas notáveis (bissetriz, mediatriz, mediana e altura) se interceptam em um u ńico ponto. Para entender claramente as defini¸co˜es acima, você deverá recordar as defini¸co˜es de bissetriz, mediatriz, mediana e altura. (a) Em um ambiente de geometria dinâmica, construa uma representa¸cão para cada uma das situa¸co˜es propostas neste problema. Arraste os vértices dos triângulos e verifique o que ocorre com os pontos notáveis. (b) Demonstre formalmente a existência do incentro e do circuncentro. Essas provas decorrem diretamente das defini¸co˜es de bissetriz e mediatriz, respectivamente. (c) Demonstre formalmente a existência do baricentro. A dica é tomar o ponto de intercessão entre duas das medianas (que certamente existe) e determinar as razões entre as medidas dos segmentos determinados por este ponto em cada uma das duas medianas. (d) Demonstre formalmente a existência do ortocentro. Esta prova é provavelmente mais dif´ıcil das quatro. Neste caso, a dica é a seguinte. Dado um triângulo ABC, construa um triângulo DEF de tal forma que cada um dos lados de DEF contenha um dos vértices de ABC e seja paralelo ao lado ABC oposto a este vértice. Qual é a rela¸cão entre as alturas de ABC e o triângulo DEF ? Fa¸ca esta constru¸cão no ambiente de geometria dinâmica e escreva a prova formal. (e) Com ajuda do ambiente de geometria dinâmica, investigue quais dos pontos notáveis são sempre interiores ao triângulo. Justifique suas conclusões por meio de argumentos formais. (f) Verifique se as demonstra¸co˜es que você escreveu no ´ıtens 13b, 13c e 13d continuam valendo no caso dos pontos serem exteriores ao triângulo. (g) A razão para os nomes incentro e circuncentro está nos seguintes teoremas: • O incentro de um triângulo é o centro do c´ırculo inscrito neste este triângulo. • O circuncentro de um triângulo é o centro do c´ırculo circunscrito a este triângulo.

Represente estes enunciados no ambiente de geometria dinâmica e justifique-os formalmente. 14. Considere o seguinte problema: Dados uma circunferência C, de centro O e raio r, e uma reta a, construir todos os c´ırculos simultaneamente tangentes a C e a a, passando por um ponto P ∈ a fixado. O objetivo desta atividade é analisar as solu¸co˜es do problema, levando em conta todas as diferentes possibilidades para as posi¸co˜es relativas entre o c´ırculo C e a reta a. Suponha, inicialmente, que a não corte C. (a) Quantas solu¸co˜es tem o problema? Isto é, existem quantos c´ırculos simultaneamente tangentes a C e a a, e passando por P ?


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(b) Em um ambiente de geometria dinâmica, fa¸ca a seguinte constru¸cão. 1. 2. 3. 4.

(c) (d) (e) (f)

Trace a reta b, perpendicular a a que passa por P . Sobre a reta b, marque os pontos C e D tais que AP = BP = r. Trace as mediatrizes dos segmentos OA e OB. Marque os pontos M e N de interse¸cão dessas mediatrizes com a reta b.

Mostre que M e N são os centros dos c´ırculos tangentes procurados. Construa os c´ırculos tangentes, com centros em M e em N e raios em M P e em N P , respectivamente. Para completar, construa as retas M P e N P e marque os pontos de tangência S e T , respectivamente. A constru¸cão do item 14b também vale no caso em que a é secante a C? O que acontece quando a é tangente a C? Existe algum caso em que o problema tenha menos de duas solu¸co˜es? E mais de duas solu¸co˜es? A constru¸cão do item 14b também vale nestes casos? Agora, suponha que você uma pequena altera¸cão no final da constru¸cão do item 14b. Proceda da mesma forma até obter os pontos M e N . Em seguida, construa primeiro as retas M P e N P e marque os pontos de tangência S e T . Depois, construa os c´ırculos tangentes, com centros em M e em N e raios em M S e em N T . As constru¸co˜es são equivalentes? Arraste a reta a até que ela seja secante a C. A constru¸cão é preservada? Explique o observado.

15. Na Matemática da Grécia antiga, os problemas de determina¸cão de áreas de figuras planas eram chamados problemas de quadraturas. Isto por que esses problemas não eram interpretados como de medi¸co˜es numéricas, como fazemos hoje, e sim como constru¸co˜es geométricas (realizadas com os instrumentos euclidianos). Assim, para os gregos, determinar uma área significava construir, com régua não graduada e compasso, um quadrado com mesma área da figura dada. Considere o seguinte problema a seguir. Com ajuda de um ambiente de geometria dinâmica, vamos resolvê-lo da forma como os gregos antigos fariam.


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Dado um pentágono qualquer, construir um quadrado com mesma área. (a) A resolu¸cão deste problema pode ser facilitada com algumas constru¸co˜es auxiliares. Fa¸ca as seguintes constru¸co˜es em um ambiente de geometria dinâmica: i. construir um retângulo com mesma área de um triângulo qualquer dado; ii. construir um quadrado com mesma área de um retângulo qualquer dado; iii. construir um quadrado cuja área seja igual a soma das áreas de dois outros quadrados dados. (b) Como você pode usar as constru¸co˜es do item anterior para resolver o problema proposto? 16. As homotetias são transforma¸co˜es no plano que correspondem a amplia¸co˜es ou redu¸co˜es. Assim, as homotetias preservam medidas angulares e multiplicam todas as medidas lineares por uma razão constante k ∈ R. Portanto, podemos também chamar as homotetias de transforma¸co˜es de semelhan¸ca, pois as figuras transformadas são sempre semelhantes às originais. Diversas constru¸co˜es geométricas e demonstra¸co˜es podem ser resolvidas com a ajuda de homotetias. A constru¸cão de homotetias em ambientes de geometria dinâmica pode ajudar os alunos a perceberem os efeitos dessas transforma¸co˜es de maneira mais concreta. Considere o seguinte problema: Dados uma circunferência C e um segmento de reta AB, inscrever na circunferência, um triângulo equilátero que tenha um lado paralelo ao segmento AB. (a) Inicialmente descreva as idéias e conceitos matemáticos que podem ajudar na solu¸cão do problema. (b) Construa no ambiente de geometria dinâmica os elementos enunciado do problema. (c) Como o conceito de homotetia pode ajudar na solu¸cão? (d) Agora que a constru¸cão está conclu´ıda, apresente uma prova formal para a sua solu¸cão envolvendo transforma¸co˜es de homotetia. 17. (Adaptado de [53]) Considere o seguinte problema: Dado um triângulo ABC qualquer, inscrever um quadrado QRST neste triângulo. (a) (b) (c) (d)

Identifique os dados do problema e as condi¸co˜es iniciais do problema. O que é desconhecido neste problema? Quais as condi¸co˜es para a constru¸cão da solu¸cão? ´ poss´ıvel resolver este problema? Use um ambiente de geometria dinâmica para investigar E as possibilidades de solu¸cão.

Caso a solu¸cão não lhe pare¸ca trivial, uma poss´ıvel estratégia é pensar em um problema similar, com menos hipóteses. Observe que, para que QRST esteja inscrito em ABC, é preciso que todos os vértices de QRST estejam sobre os lados de ABC. Assim, podemos propor, por exemplo o seguinte problema: Dado um triângulo ABC qualquer, construir um quadrado QRST que tenha três de seus vértices sobre os lados de ABC. Quando diminuem-se as exigências de um problema, é natural que sua solu¸cão torne-se mais simples.

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ˆ CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA (e) Experimente construir com um ambiente de geometria dinâmica uma figura que satisfa¸ca às condi¸co˜es deste problema. (f) Como as propriedades dinâmicas do ambiente podem ajudar a relacionar este novo problema com o proposto originalmente? (g) Utilize as propriedades dinâmicas do ambiente para investigar a localiza¸cão do quarto vértice. (h) Escreva uma prova matemática para o resultado obtido.

As atividades 10 e 11 foram desenhadas para provocar sensa¸co˜es de surpresa ou incerteza nos alunos (ver [31]). Como observamos na introdu¸cão deste cap´ıtulo, situa¸co˜es em que o computador produz resultados inesperados ou aparentemente errados são importantes para evidenciar aos estudantes a necessidade de construir argumentos matem´ aticos, e evitar que eles atribuam ao computador um estatuto de verdade matem´ atica. As atividades 11 e 10 são apenas exemplos. Evidentemente, a escolha do tipo de questões que podem ter este efeito depende do público de alunos, seu ano escolar e sua bagagem de conteúdos. Na atividade 11, observamos que a soma dos ângulos internos de um pol´ıgono convexo, dada por Sn = 180◦ (n − 2), depende do número de lados, e cresce com esse número. Como cada ângulo externo depende do ângulo interno correspondente, isto pode sugerir que a soma dos ângulos externos também varia com o número de lados do pol´ıgono. No entanto, a soma dos ângulos externos de um pol´ıgono convexo é constante, igual a 360◦ . Além disso, como o cálculo de valores numéricos dos ambientes de geometria dinâmica envolve arredondamentos, este pode produzir resultados aproximados, que podem inclusive mudar de aluno para aluno. A discussão sobre as razões matemáticas destes erros de arredondamento pode, mais uma vez, ser usada para evidenciar a necessidade de buscar argumentos matemáticos. A atividade 10 envolve várias situa¸co˜es investigativas, em que a explora¸cão no computador pode ser duvidosa ou inconclusiva. Algumas das situa¸co˜es propostas serão mais familiares aos alunos, e outras menos. Assim, o professor pode conduzir a atividade para a necessidade de buscar argumentos matemáticos para decidir que condi¸co˜es garante a congruência. Esta investiga¸cão pode levar ainda à discussão sobre o que significa enunciar os chamados “casos de congruência de triângulos”: estabelecer condi¸co˜es suficientes para a congruência, isto é condi¸co˜es que impliquem na congruência. Note que, nos enunciados das atividades 12, 13 e 15, empregamos os termos “trapézio qualquer”, “triângulo qualquer” e “pentágono qualquer”. Nosso objetivo com isto é chamar aten¸cão para a importância da generalidade das constru¸co˜es no ambiente. Isto é, estas devem corresponder exatamente às condi¸co˜es estabelecidas nos enunciados dos problemas, sem propriedades que tornem os objetos representados mais particulares ou mais gerais. Por exemplo, a constru¸cão feita na atividade 12 não pode gerar apenas trapézios isósceles, por um lado, nem quadriláteros que deixem de ser trapézios, por outro – deve ser constru´ıdo um trapézio genérico. Portanto, a u ńica suposi¸cão que pode ser usada é o paralelismo das bases. A propriedade dinâmica do ambiente ajuda a verificar a generalidade dessa constru¸cão, uma vez que as altera¸co˜es sofridas pelo pol´ıgono podem ser observadas quando seus vértices são arrastados. Um aspecto importante no desenvolvimento do pensamento dedutivo em Matemática é a compreensão de que, em uma demonstra¸cão não podem ser usadas suposi¸co˜es diferentes daquelas estabelecidas pelas hipóteses dadas. Quando fazemos uma representa¸cão estática (isto é, em papel e lápis) para um objeto geométrico, somos quase que inevitavelmente obrigados a incorporar na representa¸cão caracter´ısticas mais particulares que as hipóteses dadas. Por exemplo, quando temos a inten¸cão de desenhar um triângulo qualquer, quase sempre representamos nosso triângulo com base na posi¸cão “horizontal” e todos os ângulos agudos. Em alguns casos, as particulariza¸co˜es nas representa¸co˜es podem levar a particulariza¸co˜es indevidas nos argumentos matemáticos. Por outro lado, o uso de representa¸co˜es dinâmicas, especialmente por meio da ferramenta de arrastar, pode ajudar a tornar mais evidente o fato de que


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devemos pensar em uma figura como uma representa¸c˜ ao gen´ erica, que incorpora todas as rela¸co ˜es e propriedades comuns ` a classe de objetos matem´ aticos representada. Um dos objetivos da atividade 13, especialmente nos ´ıtens 13e e 13f, é explorar a rela¸cão entre a generalidade das representa¸co˜es e a generalidade dos argumentos matemáticos. Na atividade 14, a constru¸cão é válida em geral se a não intercepta C. De fato (figura 4.3, à esquerda), pelo caso lado-ângulo-lado de congruência de triângulos, temos que ACM ≡ OCM , logo AM ≡ OM . Como, por constru¸cão OS = P A = r, então M S ≡ M P . Da´ı, decorre o fato de o c´ırculo de centro M e raio M S = M P é tangente a C e a a (por que?). Analogamente (figura 4.3, à direita), temos que BDN ≡ ODN , logo BN ≡ ON , Como, por constru¸cão OS = P A = r, então N T ≡ N P . Segue que o c´ırculo de centro N e raio N T = N P é tangente a C e a a (por que?).

Figura 4.3: Constru¸cão dos c´ırculos tangentes a um c´ırculo C e a uma reta a, passando por um ponto P ∈ a fixado, no caso a exterior a C. Se a é secante a C, a constru¸cão vale, a não ser no caso em que P está sobre o c´ırculo C. Se P 6∈ C, a justificativa da constru¸cão vem das congruências de triângulos ACM ≡ OCM e BDN ≡ ODN , como acima (figura 4.4). Entretanto, no caso em que P ∈ C, temos que OP = r. Como além disso, por constru¸cão, P A = P B = r, então, P A ≡ OP e P B ≡ OP . Portanto, P está nas mediatrizes dos segmentos P A e P B, logo P é o ponto de interse¸cão destas mediatrizes com a reta a. Por isso, M e N coincidirão com P . Assim, não é poss´ıvel construir os c´ırculos tangentes. De fato, neste caso o problema não tem solu¸cão, isto é, não existe nenhum c´ırculo tangente a C e a a, passando por P .

Figura 4.4: Constru¸cão dos c´ırculos tangentes a um c´ırculo C e a uma reta a, passando por um ponto P ∈ a fixado, no caso a secante a C.

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Finalmente, vejamos o que acontece se a é tangente a C. Se a 6∈ C, podemos repetir a constru¸cão, porém uma das mediatrizes tra¸cadas é paralela a a (figura 4.5). Portanto, só conseguimos obter um c´ırculo tangente a C e a a. De fato, o problema tem uma u ńica solu¸cão. No caso em que P ∈ C (isto é, P é o próprio ponto de tangência entre C e a), ambas as mediatrizes seriam paralelas a a. Portanto, não conseguir´ıamos construir nenhum c´ırculo tangente. De fato, neste caso, o problema tem infinitas solu¸co˜es, isto é, existem infinitos c´ırculos tangentes a C e a a, passando por P .

Figura 4.5: Constru¸cão dos c´ırculos tangentes a um c´ırculo C e a uma reta a, passando por um ponto P ∈ a fixado, no caso a tangente a C. A tabela 4.1 resume o número de solu¸co˜es do problema proposto na atividade 14, para todos os casos poss´ıveis. Existem vários outros problemas envolvendo tangência a objetos geométricos, cuja diversidade de solu¸co˜es torna a investiga¸cão enriquecedora. Nestes casos, os ambientes de geometria dinˆ amica podem dar um suporte importante ` as explora¸co ˜es dos aluno, desde que estas sejam acompanhadas dos devidos argumentos matem´ aticos. n´ umero de solu¸co ˜es P 6∈ C P ∈ C a exterior a C 2 — a secante a C 2 0 a tangente a C 1 ∞ Tabela 4.1: Número de solu¸co˜es do problema de constru¸cão dos c´ırculos tangentes a um c´ırculo C e a uma reta a, passando por um ponto P ∈ a fixado. Neste sentido, o item 14f exemplifica uma situa¸cão em que a dinâmica do ambiente torna evidente a importância de cada escolha feita em uma constru¸cão – ou, em outras palavras, a importˆ ancia de precis˜ ao com que cada objeto ´ e definido na generalidade de um argumento matem´ atico. Com a “pequena” altera¸cão proposta na constru¸cão, observamos que esta não se preserva para o caso em que a reta a é secante a C, pois um dos c´ırculos constru´ıdos passa a ser tangente apenas a a, mas não a C (figura 4.6). Como entender por que isto ocorre? Observe que, a diferen¸ca fundamental entre as constru¸co˜es propostas nos ´ıtens 14b e 14f está na defini¸cão dos raios dos c´ırculos tangentes: estes são definidos como M P e N P em 14b, e como M S


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e N T em 14f. Os pontos S e T , por sua vez, são definidos pelas interse¸co˜es entre a reta OM e C e entre a reta ON e C. Porém, cada uma destas retas possui dois pontos de interse¸cão com C, mas somente um de cada dois são os pontos de tangência procurados. Portanto, em 14f o raio dos c´ırculos constru´ıdos são definidos tendo como base não os pontos de tangência, mas sim pontos de C que podem ou não coincidir com os pontos de tangência. Por isso, a constru¸cão não é estável, ou seja quando os elementos são movidos, os c´ırculos constru´ıdos podem deixar de ser tangentes.

Figura 4.6: Por que a constru¸cão não se preserva? Desta forma, a explora¸cão no ambiente de geometria dinâmica de uma escolha inadequada (pois não vale para todos os casos que a constru¸cão deve contemplar) permite o aprofundamento da compreensão da própria constru¸cão geométrica e dos conceitos matemáticos envolvidos. Sem o recurso dinâmico do ambiente, a diferen¸ca entre as escolhas e suas consequências para a constru¸cão poderiam facilmente passar despercebidas. Portanto, como nas atividades 10 e 11, a incerteza que esta situa¸cão pode causar nos alunos pode ser aproveitada pelo professor para motivar a explora¸cão matemática de aspectos pouco evidentes do problema. A atividade 15 explora a ideia de determinar a área de uma figura geométrica por meio de composi¸cão e decomposi¸cão em figuras mais simples. Na matemática grega, estas eram ideias fundamentais na abordagem dos problemas de quadraturas, expressas por duas das no¸co˜es comuns (ou axiomas) enunciadas por Euclides: Se iguais são somados a iguais, então os todos são iguais. Se iguais são subtra´ıdos de iguais, então os restos são iguais. No ensino básico, a abordagem de áreas (e também de volumes) frequentemente reduz-se a um repertório de fórmulas, apresentadas sem justificativas, que devem ser memorizadas pelos alunos. Ironicamente, isto faz com que a abordagem de geometria na escola seja mais algébrica ou numérica do que geométrica! Em geral, os alunos têm pouca oportunidade de explorar rela¸co˜es e propriedades geométricas em um contexto puramente geométrico, antes da apresenta¸cão de fórmulas. Por exemplo, é fundamental para a aprendizagem da no¸cão de área explorá-la e percebê-la antes de mais nada como um atributo de natureza geométrica das figuras planas, ao qual, eventualmente, podem-se atribuir medidas numéricas (uma vez fixada uma unidade) e que – em certos casos muito particulares – pode ser representado por fórmulas algébricas. Assim, o resgate da abordagem de áreas por composi¸cão e decomposi¸cão é muito importante, e os ambientes de geometria dinâmica podem ser grande ajuda

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em atividades desse tipo. No caso da atividade 15, a ideia é decompor o pentágono em triângulos (figura 4.7) e usar equivalências de áreas dos triângulos para obter a quadrado com mesmo área que o pentágono (figura 4.8).

Figura 4.7: Um pentágono decomposto em triângulos.

Figura 4.8: Um retângulo com mesma área de um triângulo dado; um quadrado com mesma área de um retângulo dado; e um quadrado cuja área é a soma de dois quadrados dados. Na atividade 16, a ideia é usar o fato de que, uma vez que as homotetias preservar ângulos, em particular, preservam paralelismo (figura 4.9). O ambiente de geometria dinâmica oferece uma representa¸cão mais concreta da transforma¸cão: os alunos podem efetivamente ver e manipular sua a¸c˜ ao em figuras geom´ etricas.

Figura 4.9: Aplicando uma transforma¸cão de homotetia para resolver uma constru¸cão geométrica.

˜ GEOMETRICA ´ 4.2. APROFUNDANDO A EXPLORAC ¸ AO

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O encaminhamento da atividade 17 é inspirado na abordagem de Pólya 1 para a resolu¸cão de problemas. A estratégia empregada para resolver um problema relativamente dif´ıcil é pensar primeiro em um problema semelhante, com condi¸co˜es mais simples. Por sua própria natureza, este tipo de estratégia envolve a investiga¸cão livre de diversos casos e, possivelmente, a formula¸cão e verifica¸cão de diversas conjecturas intermediárias. Para esse processo, os ambientes de geometria dinâmica podem ser de grande ajuda. Atividades 18. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 10 a 17. (a) (b) (c) (d) (e)

Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados? Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades? Qual é o papel do ambiente de geometria dinâmica no desenvolvimento das atividades? Que questões chave você proporia para ajudar os alunos no desenvolvimentos das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso do ambiente de geometria dinâmica pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸cão a abordagens com recursos convencionais (isto é, sem o uso de recursos computacionais)? (f) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplica¸cão dessas atividades em sala de aula?


4.2

Aprofundando a Explora¸c˜ ao Geom´ etrica

Existem incontáveis maneiras de aproveitar os recursos dos ambientes de geometria dinâmica no ensino. Na se¸cão anterior, selecionamos algumas atividades como exemplos, com o objetivo principal de discutir alguns aspectos relevantes para o planejamento da abordagem de geometria euclidiana plana com apoio desses ambientes. Nesta se¸cão, apresentamos mais algumas sugestões de atividades, enfocando conteúdos um pouco mais avan¸cados.

Lugares Geom´ etricos A maior parte dos ambientes de geometria dinâmica dispõem de ferramentas de lugar geométrico 2 ou rastro, que geram representa¸co˜es geométricas para o conjunto descrito por um ou mais pontos de uma constru¸cão, quando um de seus elementos é variado. Essas ferramentas acrescentam aos recursos dinˆ amicos de arrastar, os registros geom´ etricos das varia¸co ˜es consequentes. Isto é, além de observar essas varia¸co˜es, pode-se obter um registro concreto para elas. Desta forma, é poss´ıvel revelar novas rela¸co˜es entre os elementos de uma constru¸cão (que não são percebidas em uma primeira análise), 1

Gy¨ orgy P´ olya (1887-1985) foi um matemático h´ ungaro. Além de ter contribu´ıdo em diversos campos da pesquisa em Matemática, seu importante trabalho em Ensino de Matemática tornou-se uma referência para a pesquisa em resolu¸cão de problemas. 2 Do ponto de vista matemático, o termo lugar geométrico nada mais é que um sinˆ onimo do conceito de conjunto, empregado no contexto particular da geometria plana ou espacial. Alguns autores criticam o uso do termo, argumentando que isto pode causar a impressão de que se tratam de conceitos matemáticos diferentes. Neste texto, optamos por manter o termo lugar geométrico, não apenas por ele ser usado na maioria dos softwares de geometria dinâmica, como também por julgar que, do ponto de vista pedag´ ogico, seu uso enfatiza a ideia de definir conjunto de pontos do plano que compartilham uma propriedade em comum.


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visualizar os lugares geométricos descritos pela varia¸cão desses elementos e explorar suas propriedades – levando a resultados às vezes surpreendentes. As atividades 1 e 2 a seguir apresentam alguns exemplos de explora¸cão dessas ferramentas. Atividades 1. O objetivo desta atividade é utilizar a ferramenta de lugar geométrico do ambiente de geometria dinâmica para construir a imagem de um objeto por uma transforma¸cão no plano. Neste caso, usamos o exemplo da constru¸cão da imagem de um c´ırculo por uma homotetia. Considere um ponto H e um número real k > 0 fixados (por exemplo, tome k = 1, 5). Construa um c´ırculo C, de centro O e raio r > 0 qualquer (considere inicialmente H exterior a C). Marque um ponto P sobre C. Construa o ponto P 0 na reta que contém H e P , tal que P ∈ HP 0 e: HP 0 = k. HP (a) Temos que P 0 é a imagem de P pela homotetia de centro H e razão k. Justifique esta afirma¸cão. (b) Arraste o ponto P ao longo do c´ırculo C e observe o comportamento de P 0 . O que você verifica? (c) Use os recursos de ambiente para tra¸car o lugar geométrico de P 0 quando P percorre C. Este lugar geométrico corresponde à imagem de C pela homotetia de centro H e razão k. Mostre que este lugar geométrico também é um c´ırculo. (d) Qual é a medida do raio do c´ırculo constru´ıdo no item 1c? Como se pode construir o centro desse c´ırculo? (e) Se construirmos outra figura geométrica, como por exemplo um quadrado, qual seria a imagem dessa figura pela homotetia? (f) Mova o ponto O até que H fique interior a C. Em seguida, mova O até que ele coincida com H. Justifique matematicamente o que você observa. (g) Agora, repita toda a constru¸cão acima, alterando a razão de homotetia k para um número menor que 1 (tome, por exemplo, k = 0, 5). Justifique matematicamente o que você observa. 2. Aproveite as telas que você construiu na atividade 14 da se¸cão 4.1 para tra¸car os lugares geométricos dos centros dos c´ırculos simultaneamente tangentes a uma reta e um c´ırculo dados. (a) Para isso, use o recurso do ambiente geometria dinâmica para gerar os lugares geométricos dos centros dos c´ırculos tangentes ao c´ırculo C e à reta a, quando o ponto P varia sobre a. Considere os casos: a exterior a C, a secante a C e a tangente a C. (b) Que tipo de subconjuntos dos planos são esses lugares geométricos? Justifique sua respostas com argumentos matemáticos. As ferramentas de lugar geométrico e rastro dos ambientes de geometria dinâmica propiciam um novo n´ıvel de análise das constru¸co˜es geométricas. Como exploramos em diversas situa¸co˜es na se¸cão anterior, ferramentas como a de arrastar permitem observar de forma dinâmica as altera¸co˜es em uma constru¸cão quando um de seus elementos varia. As ferramentas de lugar geométrico acrescentam a esse recurso a possibilidade de gerar registros concretos de tais altera¸co˜es. Esses registros podem então ser percebidos e estudados como objetos geométricos em si – cujas altera¸co ˜es tamb´ em podem ser


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observadas dinamicamente de acordo com a varia¸c˜ ao de elementos da constru¸c˜ ao. Assim, ´ e poss´ıvel analisar propriedades comuns a um ou mais pontos de uma constru¸c˜ ao geom´ etrica e suas rela¸co ˜es com a varia¸c˜ ao das condi¸co ˜es iniciais da constru¸c˜ ao, do ponto de vista dos subconjuntos do plano euclidiano formados por esses pontos. Por exemplo, na atividade 1, pode-se construir primeiro a imagem pela transforma¸cão de homotetia de um ponto P fixado no c´ırculo C. Em seguida, pode-se construir o conjunto formado pelas imagens de todos os pontos P ∈ C, isto é, a imagem de C (figura 4.10). Em em segundo n´ıvel de análise, pode-se observar o que acontece com esse conjunto imagem quando são alteradas as condi¸co˜es iniciais da constru¸cão, tais como a posi¸cão relativa entre o centro de homotetia e o centro do c´ırculo (figura 4.11), ou a razão de homotetia (figura 4.12).

Figura 4.10: A imagem de um c´ırculo por uma transforma¸cão de homotetia.

Figura 4.11: O que acontece quando a posi¸cão relativa entre o centro de homotetia e o centro do c´ırculo é alterada.

Figura 4.12: O que acontece quando a razão de homotetia é alterada.

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Na atividade 2, no caso em que a é exterior a C, a visualiza¸cão no ambiente de geometria dinâmica sugere que o lugar geométrico dos centros dos c´ırculos simultaneamente tangentes a C e a a é união de duas parábolas (figura 4.13). Para provar matematicamente este fato, observamos que um ponto X no plano é centro de um c´ırculo simultaneamente tangente a C e a a se, e somente se, d(X, O) = d(X, a) + r (este é o caso do ponto M na figura) ou d(X, O) = d(X, a) − r (este é o caso do ponto N na figura). Assim, essas parábolas têm focos em O e diretrizes nas retas paralelas a a que distam r unidades de a.

Figura 4.13: O lugar geométrico dos c´ırculos tangentes a um c´ırculo C e a uma reta a, no caso a exterior a C. No caso em que a é secante a C (figura 4.14), a posi¸cão de uma das parábolas inverte-se. O lugar geométrico é formado pelas duas parábolas, exclu´ıdos os pontos de interse¸cão entre C e a. De fato, o argumento acima continua válido, mas esses pontos não são centros de nenhum c´ırculo tangente a C e a a. Analogamente, no caso em que a é tangente a C (figura 4.15), o lugar geométrico é formado por uma u ńica parábola, da qual é exclu´ıdo o (único) ponto de interse¸cão entre C e a.

Figura 4.14: O lugar geométrico dos c´ırculos tangentes a um c´ırculo C e a uma reta a, no caso a secante a C.


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Figura 4.15: O lugar geométrico dos c´ırculos tangentes a um c´ırculo C e a uma reta a, no caso a tangente a C. Atividades 3. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 e 2. (a) (b) (c) (d)

Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados? Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades? Qual é o papel do ambiente de geometria dinâmica no desenvolvimento das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso do ambiente de geometria dinâmica pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em rela¸cão a abordagens com recursos convencionais (isto é, sem o uso de recursos computacionais)? (e) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplica¸cão dessas atividades em sala de aula?

4. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 1 e 2, que seja adequada para as turmas em que você leciona.

Geometria Espacial Podemos empregar representa¸co˜es em geometria dinâmica para a geometria especial da mesma forma que fazemos quando usamos papel e lápis: usamos representa¸co˜es planas para representar objetos tridimensionais. Assim, podemos aproveitar os recursos e funcionalidades dos ambientes de geometria dinâmica para explorar o espa¸co, assim como fazemos com a geometria plana, como discutimos na se¸cão anterior. No caso da geometria especial, essas funcionalidades permitem alterar o ponto de vista de observa¸cão de um objeto tridimensional de forma dinâmica, contribuindo com a explora¸cão do espa¸co e com o desenvolvimento da visualiza¸cão espacial. Entretanto, é importante lembrar sempre que ainda lidamos com representa¸co˜es planas para objetos tridimensionais. Esta limita¸cão na forma de representar é sem dúvida um obstáculo para o ensino de geometria espacial, que não é sanado pelo uso de ambientes de geometria dinâmica. Da que maneira que fazemos esbo¸cos de objetos tridimensionais em papel e lápis, ao construir representa¸co˜es para desses


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objetos em geometria dinâmica, buscamos retratar aspectos relacionados à visualiza¸cão, mas abrimos mão da preserva¸cão das propriedades métricas. Por exemplo, a representa¸cão do cubo da atividade 6 deve ser de tal forma que os movimentos no ambiente não distor¸cam as interse¸co˜es entre arestas e faces. Poder´ıamos obter representa¸co˜es um pouco mais precisas usando, por exemplo, conceitos da geometria projetiva. Porém, nas atividades a seguir, optamos por propor representa¸co˜es simples, respeitando principalmente as rela¸co˜es de incidência e paralelismo entre os elementos, sem levar em conta as propriedades métricas dos objetos originais. Acreditamos que esta op¸cão é suficiente para os objetos pedagógicos das atividades. Atividades 5. Seja ABCD um tetraedro regular. Considere R e S os pontos médios de BC e de AD, respectivamente. Utilize o ambiente de geometria dinâmica para investigar se as afirma¸co˜es a seguir são verdadeiras ou falsas. Dê uma justificativa formal para cada um de suas conclusões. (a) (b) (c) (d) (e)

O O O O O

segmento AR é altura do triângulo ABC. segmento RS é altura do triângulo ARD. segmento RS é mediana do triângulo BSC. triângulo BSC é isósceles. triângulo ARD é equilátero.

6. (Adaptado de Provão/2000) Considere um cubo, em que CC 0 é uma aresta e ABCD e A0 B 0 C 0 D 0 são faces opostas. O plano que contém o vértice C 0 e os pontos médios das arestas AB e AD determina no cubo uma se¸cão. (a) Então, essa se¸cão é um: i. triângulo isósceles; ii. triângulo retângulo; iii. quadrilátero; iv. pentágono; v. hexágono. Justifique sua resposta.


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(b) Construa uma representa¸cão para este cubo e a se¸cão em um ambiente de geometria dinâmica. Examine novamente a resposta do item 6a? (c) Como o ambiente de geometria dinâmica ajudo a responder 6a? Como já observamos, as representa¸co˜es para objetos tridimensionais nas atividades propostas devem respeitar principalmente a incidência e o paralelismo entre os elementos. Por exemplo, para construir o cubo da atividade 6a, podemos partir do quadrado frontal BCB 0 C 0 e construir as demais arestas de forma que o paralelismo entre as demais arestas seja respeitado. Assim, para que a dinâmica da constru¸cão preserve a visualiza¸cão do objeto geométrico tridimensional, podemos tomar como base as seguintes rela¸co˜es espaciais (figura 4.16): • A reta determinada pelos pontos M e N está contida no plano superior ABCD. Portanto, o ponto I1 , de interse¸cão entre as retas M N e BC pertence ao mesmo plano. • Como a reta BC também está contida no plano BCB 0 C 0 , então I1 também pertence a este plano. Assim, a reta determinada por I1 e C 0 está contida no plano BCB 0 C 0 e necessariamente intercepta a aresta BB 0 . Chamamos de R o ponto de interse¸cão entre as retas I1 C 0 e BB 0 . • Como I1 pertence à reta M N (por constru¸cão) e esta reta está contida no plano C 0 M N , então I1 pertence a este plano. Como C 0 também pertence ao plano C 0 M N , então a reta I1 C 0 está contida neste plano. Isto garante que o ponto R pertence ao plano C 0 M N . • Analogamente, tomamos o ponto I2 , de interse¸cão entre as retas M N e CD, definimos S o ponto de interse¸cão entre as retas I2 C 0 e DD 0 , e temos a garantia de que S pertence ao plano C 0M N .

Figura 4.16: Representando de um objeto tridimensional em geometria dinâmica.


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Com esta constru¸cão, garantimos que os pontos C 0 , M , N , R e S, que são os vértices do pentágono são, de fato, coplanares. Experimente movimentar os pontos livres da constru¸cão do cubo. Você deverá verificar que, apesar de qualquer deforma¸cão visual (ou mudan¸ca do ponto de vista) que o movimento possa produzir na representa¸cão do cubo, sempre teremos a imagem de um pentágono (figura 4.17). Observe ainda que existe uma posi¸cão que o pentágono é visto como um segmento de reta. O que isto significa?

Figura 4.17: Movimentando um objeto tridimensional em geometria dinâmica. Atividades 7. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 5 e 6. (a) (b) (c) (d)


8. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 5 e 6, que seja adequada para as turmas em que você leciona.

Haberdasher’s Puzzle Existem diversos quebra-cabe¸cas matemáticos que podem ser usados para a explora¸cão lúdica de rela¸co˜es entre figuras geométricas bidimensionais e tridimensionais. Alguns desses quebra-cabe¸cas podem ter pe¸cas suas constru´ıdas em ambientes de geometria dinâmica. Apresentamos a seguir uma proposta de uso do GeoGebra para explorar a dinâmica de um quebracabe¸cas geométrico criado por Henry Dudeney3 em 1902: o Haberdasher’s Puzzle. Este quebra-cabe¸ca consiste em fazer cortes retil´ıneos em um triângulo equilátero para montar um retângulo com os peda¸cos recortados (figura 4.18). 3

Henry Ernest Dudeney (1857-1930) foi um matemático inglês autor de diversos jogos e quebra-cabe¸cas matemáticos.


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[foto:http://es.wikipedia.org/wiki/Henry Dudeney]

Figura 4.18: Ilustra¸cão do Haberdasher’s Puzzle. No Haberdasher’s Puzzle, para se obter peda¸cos com quatro ângulos retos compat´ıveis com a montagem de um retângulo são suficientes três cortes retil´ıneos. Esses cortes dividem o triângulo equilátero em três peda¸cos quadrangulares e um peda¸co triangular: • o primeiro corte deve partir de um ponto F na base do triângulo equilátero, a uma distância x (menor do que a metade do lado do triângulo) de um dos vértices, e chegar no ponto médio do lado oposto a este vértice; • o segundo corte deve ser perpendicular ao primeiro corte e partir de um segundo ponto G na base do triângulo equilátero, a uma distância do primeiro ponto igual à metade do lado do triângulo; • o terceiro corte também deve ser perpendicular ao primeiro corte a partir do ponto médio E do u ńico lado do triângulo equilátero que não foi seccionado pelos outros dois cortes. Para montar o quadrado basta fixar o primeiro peda¸co quadrangular, dar um giro de 180 ◦ nos outros dois peda¸cos quadrangulares e transladar o peda¸co triangular. A seguir apresentamos uma sequência de expressões (figura 4.2) que, após digitadas no campo de Entrada do GeoGebra, produzem o Haberdasher’s Puzzle em geometria dinâmica (figura 4.19). Nesta constru¸cão, toda a geometria dinâmica do Haberdasher’s Puzzle é determinada pela posi¸cão do ponto F , que pode arrastado ao longo do lado AB do triângulo equilátero, entre o vértice A e o ponto médio deste lado. Os pontos D e F são os médios dos lados BC e CA, respectivamente. O ponto G se move de forma que F G = 21 AB, e os pontos H e I se movem de forma que os segmentos GH e EI sejam ambos perpendiculares a F D. Os peda¸cos do triângulo ficam reposicionados, numa configura¸cão retangular II 0 LH 0 que depende da distância x do ponto F ao vértice A. Com a dinâmica do Haberdasher’s Puzzle, podemos perceber que é poss´ıvel encontrar uma posi¸cão do ponto F de tal forma que II 0 LH 0 seja um quadrado. Assim, é natural propor o seguinte problema. Qual é a distância x do ponto F ao vértice A que corresponde a configura¸cão quadrada na geometria dinâmica do Haberdasher’s Puzzle? Se a pergunta acima fosse de múltipla escolha provavelmente a alternativa x = 14 AB seria a mais escolhida. Porém, por mais provável que se pare¸ca, essa alternativa não é a correta. A atividade 9 a seguir fornece um roteiro para encontrar a resposta correta para esse problema.


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1. A = (0, 0) 2. B = (6, 0) 3. C = girar[B, 60◦ , A] Observa¸cão: o s´ımbolo Entrada.

◦

da unidade graus deve ser selecionado na caixa de escolha logo ao lado do campo

4. a = Segmento[B, C] 5. b = Segmento[A, C] 6. c = Segmento[A, B] Observa¸cão: desabilitar a exibi¸cão dos r´ otulos dos segmentos a, b e c.

7. D = PontoMédio[B, C] 8. E = PontoMédio[A, C] 9. F = Ponto[Segmento[A, PontoMédio[A, B]]] Observa¸cão: provavelmente esse ponto será criado sobre o vértice A: movimente-o para um lugar pr´ oximo a este vértice.

10. G = F + Vetor[A, B]/2 11. corte1 = Segmento[F, D] 12. H = Interse¸caõ[corte1, Perpendicular[G, corte1]] 13. corte2 = Segmento[G, H] 14. I = Interse¸caõ[corte1, Perpendicular[E, corte1]] 15. corte3 = Segmento[E, I] Observa¸cão: desabilitar a exibi¸cão dos r´ otulos dos segmentos corte1, corte2 e corte3.

16. peda¸co1 = Pol´ıgono[C, D, I, E] Observa¸cão: desabilitar a exibi¸cão dos r´ otulos dos segmentos criados.

17. peda¸co2 = Girar[Pol´ıgono[A, E, I, F ], 180 ◦ , E] Observa¸cão: desabilitar a exibi¸cão dos r´ otulos dos segmentos criados e dos pontos A 0 e E 0 .

18. peda¸co3 = Girar[Pol´ıgono[B, D, H, G], −180 ◦ , D]

Observa¸cão: desabilitar a exibi¸cão dos r´ otulos dos segmentos criados e dos pontos B 0 e D0 .

19. peda¸co4 = Transladar[Transladar[Pol´ıgono[F, G, H], Vetor[F, C]], Vetor[F, A]] Observa¸cão: desabilitar a exibi¸cão dos r´ otulos dos segmentos e dos pontos criados.

Tabela 4.2: Constru¸cão do Haberdasher’s Puzzle em geometria dinâmica.


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Figura 4.19: Geometria dinâmica do Haberdasher’s Puzzle. Atividades 9. O objetivo desta atividade é determinar a medida da distância x de tal forma que o retângulo formado no Haberdasher’s Puzzle seja um quadrado. (a) Mostre que a região retangular formada é bem definida, isto é, os pontos F 0 , C e G0 estão alinhados. (b) Mostre que o segundo e o terceiro cortes têm a mesma medida, ou seja, GH = EI. (c) Mostre que as medidas dos lados do retângulo formado são dadas pelo primeiro corte e pelo dobro do segundo corte, isto é, DF e 2 · GH. (d) Da equivalência entre as áreas do triângulo inicial e do retângulo formado, conclua que √ 3 2 DF · GH = · AB . 8 (e) Mostre que o retângulo formado será um quadrado quando √ 4 3 · AB . DF = 2 (f) Das rela¸co˜es métricas do triângulo BF D, conclua que o retângulo formado será um quadrado quando p √ 3− 4 3−3 x= · AB . 4 Observamos que o número

p √ 4 3−3 ' 0, 25450761671624 . . . 4 é construt´ıvel com régua e compasso. 3−

10. Explore a geometria dinâmica do Haberdasher’s Puzzle para um triângulo qualquer, refazendo sua constru¸cão com C = (3, 5) e movimentando, além do ponto F , os pontos A, B e C. Fa¸ca conjecturas sobre as condi¸co˜es para a existência de configura¸co˜es retangulares e quadradas. 11. Idealize uma sequência didática com o Haberdasher’s Puzzle em uma aula de 50 minutos. Quais conceitos geométricos podem ser explorados? De que forma esses conceitos podem ser explorados?


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4.3

Articulando Geometria e Fun¸co ˜es: Gr´ aficos Dinˆ amicos

Esta se¸cão e a seguinte abordarão o uso de ambientes de geometria dinâmica no ensino de fun¸co˜es. Embora esses ambientes sejam mais largamente usados no ensino de geometria plana, seu uso também pode contribuir com aspectos importantes da aprendizagem de fun¸co˜es, n˜ ao apenas no que diz respeito ` as diferentes representa¸co ˜es de fun¸co ˜es e das rela¸co ˜es entre elas, como tamb´ em ao pr´ oprio conceito de fun¸c˜ ao. Além disso, as atividades envolvendo fun¸co˜es em ambientes de geometria dinâmica promovem naturalmente a articula¸c˜ ao entre fun¸co ˜es e geometria – campos da Matemática que em geral são apresentados de forma estanque nos livros didáticos e curr´ıculos do ensino básico. Tal articula¸cão se dá fundamentalmente em dois sentidos: por um lado, quando gr´ aficos de fun¸co ˜es reais s˜ ao constru´ıdos em geometria dinˆ amica, ´ e necess´ ario aplicar diversos conceitos da geometria plana; e por outro lado, os recursos dinˆ amicos dos ambientes permitem reconhecer e explorar concretamente rela¸co ˜es funcionais entre objetos geom´ etricos. Nesta se¸cão, enfocaremos a constru¸cão de gráficos de fun¸co˜es reais de uma variável real em ambientes de geometria dinâmica. A própria constru¸cão de gráficos em geometria dinâmica é, por si só, um exerc´ıcio interessante, que mobiliza e articula diversos conceitos geométricos de fun¸co˜es. Além disso, é poss´ıvel explorar rela¸co˜es entre as propriedades algébricas e o comportamento qualitativo de gráficos de fam´ılias de fun¸co˜es dependendo de parâmetros. Atividades dessa natureza com ambientes computacionais gráficos já foram discutidas no cap´ıtulo 3. No entanto, os ambientes de geometria dinâmica acrescentam aos recursos gráficos usuais a possibilidade de controlar os valores numéricos dos parâmetros por meio da ferramenta de arrastar, propiciando uma nova perspectiva de explora¸cão de fun¸co˜es.

Dan¸ca com Gr´ aficos O software GeoGebra é concebido para integrar recursos geométricos e algébricos em um só ambiente (da´ı vem o seu nome). Com isso, podemos facilmente gerar gráficos de fun¸co˜es reais elementares a partir de suas expressões algébricas, como propõe a atividade 1. Além disso, é poss´ıvel introduzir um ou mais parâmetros reais nos gráficos tra¸cados, gerando-se assim fam´ılias de fun¸co˜es reais, como propõem as atividades 2 em diante. A varia¸cão dinâmica desses parâmetros modifica o gráfico original da fun¸cão em um movimento cont´ınuo, como em uma dan¸ca. Cada parâmetro, quando alterado dinamicamente, conduz o gráfico nesta dan¸ca com um passo caracter´ıstico, em um movimento espec´ıfico. Neste baile das fun¸co˜es elementares, a aprendizagem dos conceitos envolvidos pode se tornar muito mais significativa com o aux´ılio da geometria dinâmica. Atividades 1. Use o software GeoGebra para gerar gráficos de várias fun¸co˜es reais elementares à sua escolha. Para isto, basta digitar as expressões algébricas das fun¸co˜es no campo Entrada, como mostra a figura abaixo. Compare esta atividade com as que você realizou no cap´ıtulo 3. Você vê alguma vantagem no uso do ambiente de geometria dinâmica?

2. Use agora o GeoGebra para representar fam´ılias de fun¸co˜es reais dependendo de parâmetros, por meio de gráficos dinâmicos. Como exemplo, consideremos as fun¸co˜es f : R → R definidas por f (x) = a cos(b x + c), com a, b, c ∈ R. Exploraremos o movimento gráfico de f , a partir da mudan¸ca dinâmica nos valores dos parâmetros.

˜ ´ ˆ 4.3. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNC ¸ OES: GRAFICOS DINAMICOS

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(a) Primeiro, você deverá definir os seletores de valores para os parâmetros a, b e c. Para definir cada um deles, escolha a op¸cão Seletor na barra de ferramentas superior (como mostra a figura abaixo) e, em seguida, clique na área de trabalho para marcar a posi¸cão em que o respectivo seletor aparecerá. Depois, digite f (x) = a cos(b x + c) e, em seguida, g(x) = cos(x) no campo Entrada. Os valores dos parâmetros podem ser controlados arrastando os seletores que aparecem na tela. Assim, você poderá observar as mudan¸cas no gráfico dinâmico, comparando-as com o gráfico de g, que é fixado como referência. (b) Que questões você pode propor aos seus alunos com esta atividade?

3. Como já comentamos, muitas das atividades com ambientes computacionais gráficos propostas no cap´ıtulo 3 também podem ser realizadas em geometria dinâmica. Em alguns casos, os recursos dinâmicos podem trazer vantagens pedagógicas a estas atividades. Por exemplo, repita a atividade 1 da se¸cão 3.2 usando o ferramenta Seletor do GeoGebra para definir os parâmetros. Que vantagens e desvantagens pedagógicas você vê no uso do ambiente de geometria dinâmica, em rela¸cão ao ambiente gráfico, para realizar esta atividade? 4. Crie um roteiro para ajudar seus alunos a responderem as questões propostas nas atividades 6 e 7 da se¸cão 3.2, com apoio de um ambiente de geometria dinâmica. 5. Crie um roteiro para ajudar seus alunos a responderem as questões propostas nas atividades 8 e 9 da se¸cão 3.2, com apoio de um ambiente de geometria dinâmica.

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ˆ CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA 6. Considere a fam´ılia de fun¸co˜es polinomiais h : R+ → R definida por h(x) = xk , com k ∈ R. Use o GeoGebra para criar um gráfico dinâmico representando essa fam´ılia. (a) Explique o comportamento dos gráficos, considerando os casos em que k < 0, 0 6 k < 1 e k > 1. (b) Você observará que para alguns valores de k o programa mostra um trecho do gráfico para x < 0. Que valores são esses? Explique por que isso ocorre. 7. Considere a fam´ılia de fun¸co˜es polinomiais do terceiro grau p : R → R definida por p(x) = x (x − 1) (x − a), com a ∈ R. Use o GeoGebra para criar um gráfico dinâmico representando essa fam´ılia. (a) Varie a e observe as mudan¸cas no gráfico de p. (b) Para que valores reais de a a fun¸cão admite três ra´ızes reais distintas? Quantas ra´ızes reais tem p para os demais valores de a? Justifique sua resposta. 8. Considere a fam´ılia de fun¸co˜es polinomiais do terceiro grau q : R → R definida por q(x) = x (x2 − a), com a ∈ R. Use o GeoGebra para criar um gráfico dinâmico representando essa fam´ılia. (a) Varie a e observe as mudan¸cas no gráfico de p. (b) Para que valores reais de a a fun¸cão admite três ra´ızes reais distintas? Quantas ra´ızes reais tem p para os demais valores de a? Justifique sua resposta. (c) Você observará que, quando os valores positivos de a aumentam, o gráfico parece adquirir o aspecto de uma reta. Por que isso ocorre?

A atividade 1 visa simplesmente à familiariza¸cão com os recursos de GeoGebra para o tra¸cado de gráficos de fun¸co˜es reais. Como o enunciado da atividade sugere, procure comparar o uso de ambientes gráficos com o uso de ambientes de geometria dinâmica para gerar gráficos de fun¸co˜es reais elementares. As vantagens dos ambientes de geometria dinˆ amica no ensino de fun¸co ˜es reais tornam-se mais significativas quando seus recursos s˜ ao explorados para gerar gr´ aficos dinˆ amicos. Por exemplo, no caso da atividade 3, é poss´ıvel mover dinamicamente a parábola e observar o movimento do vértice ao longo do lugar geométrico descrito por y = −2 x 2 + 3 (figura 4.20).

Figura 4.20: Gráfico dinâmico da fam´ılia de parábolas y = 2 x 2 + b x + 3.


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Assim como na atividade 2, as atividades 4 e 5 envolvem a aplica¸cão de transforma¸co˜es em gráficos de fun¸co˜es (figura 4.21). Como sabemos (ver cap´ıtulo 3): • os parâmetros aditivos determinam transla¸co˜es horizontais e verticais nos gráficos;

• os parâmetros multiplicativos determinam dilata¸co˜es horizontais e verticais nos gráficos. Com os recursos do ambiente de geometria dinâmica, é poss´ıvel criar seletores para controlar os valores dos parâmetros por meio da ferramenta de arrastar, que permitem manipular dinamicamente e visualizar os efeitos das transforma¸co˜es de transla¸cão e dilata¸cão nos gráficos.

Figura 4.21: O efeito dinâmico de transforma¸co˜es de transla¸cão e dilata¸cão em gráficos de fun¸co˜es reais. As atividades 6 a 8 exploram a varia¸cão dinâmica de parâmetros em fun¸co˜es polinomiais. De forma semelhante ao que já discutimos no cap´ıtulo 3, atividades desta natureza podem contribuir para a aprendizagem de fun¸co˜es reais em pelo menos dois aspectos fundamentais. Em primeiro lugar, os recursos do ambiente computacional permitem a explora¸c˜ ao das propriedades qualitativas das fun¸co ˜es, articulando representa¸co ˜es alg´ ebricas e gr´ aficas de forma dinˆ amica. Isto é, o aluno pode manipular dinamicamente os valores dos parâmetros e observar, ao mesmo tempo, as altera¸co˜es consequentes nos gráficos. Em segundo lugar, torna-se mais acess´ıvel o estudo de tipos de fun¸co˜es cuja abordagem no ensino básico apenas com recursos usuais seria dif´ıcil (tais como fun¸co˜es polinomiais de grau maior que 2). Este aspecto possibilita a expans˜ ao do repert´ orio de fun¸co ˜es reais familiares aos alunos – que muitas vezes são levados a desenvolver uma imagem bastante limitada, por terem sido apresentados apenas a fun¸co˜es polinomiais de grau menor ou igual a 2. Atividades 9. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 8. (a) (b) (c) (d)

Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados? Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades? Qual é o papel do ambiente de geometria dinâmica no desenvolvimento das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso do ambiente de geometria dinâmica pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em compara¸cão com abordagens com recursos convencionais (isto é, sem o uso de recursos computacionais), e com ambientes gráficos simples (como aqueles discutidos no cap´ıtulo 3)? (e) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplica¸cão dessas atividades em sala de aula?

10. Para cada um dos ´ıtens a seguir, elabore uma atividade usando gráficos dinâmicos de fun¸co˜es dependendo de parâmetros, com os mesmos objetivos das atividades 1 a 8, que seja adequada para as turmas em que você leciona. Formule também uma sequência didática para aplica¸cão de cada uma das atividades que você elaborar em uma aula de 50 minutos. Especifique os objetivos, os conceitos matemáticos explorados e de que maneiras esses conceitos podem ser explorados.

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ˆ CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA (a) fun¸co˜es polinomiais; (b) fun¸co˜es trigonométricas; (c) fun¸co˜es exponenciais e logar´ıtmicas.

Construindo Gr´ aficos Como Lugares Geom´ etricos Nesta se¸cão, estamos enfocando a constru¸cão de gráficos de fun¸co˜es reais em ambientes de geometria dinâmica. Até aqui, lan¸camos mão, para este fim, dos recursos espec´ıficos incorporados no GeoGebra: eixos cartesianos, digita¸cão direta de expressões algébricas no campo Entrada, uso de Seletores para controlar valores de parâmetros (se quisermos usar gráficos dinâmicos para representar fam´ılias de fun¸co˜es). Tais recursos não estão dispon´ıveis em todos os softwares de geometria dinâmica. Entretanto, mesmo naqueles que não os oferecem, também é poss´ıvel gerar gráficos de fun¸co˜es. Nesses casos, porém, é preciso construir do in´ıcio toda a estrutura matemática necessária para representar esses gráficos – isto é, deve-se munir o plano euclidiano sintético com um sistema de coordenadas cartesianas. Evidentemente, quando o objetivo está em ensinar tópicos espec´ıficos sobre fun¸co˜es reais e o comportamento de seus gráficos, não há motivo para desprezar os recursos do software que tornam seu estudo mais acess´ıvel. Por outro lado, o exerc´ıcio de construir um sistema de coordenadas cartesianas em um ambiente de geometria dinâmica pode ser muito enriquecedor para a aprendizagem dos conceitos que fundamentam a geometria anal´ıtica. Por exemplo, ao se construir o sistema cartesiano, é necessário pensar em como estabelecer precisamente, com as ferramentas dispon´ıveis no software, a unidade linear, a orienta¸cão dos eixos, sua perpendicularidade (se for o caso), e assim por diante. O pr´ oprio processo de constru¸c˜ ao ressalta a importˆ ancia te´ orica desses conceitos, que s˜ ao t˜ ao elementares que seu papel constituinte na teoria ´ e em geral esquecido. Além disso, uma vez estabelecido o sistema cartesiano, para construir o gráfico de uma fun¸cão, emprega-se basicamente a ferramenta de lugar geométrico do ambiente. O uso dessa ferramenta tem como base o próprio conceito matemático de gráfico: o lugar geométrico dos pontos do plano cartesiano cujas coordenadas verificam a lei de forma¸cão da fun¸cão. Em geral, os alunos aprendem tantos procedimentos para tra¸car gráficos em casos particulares, que essa no¸cão fundamental fica em segundo plano. Em suma, quanto menos ferramentas prontas est˜ ao dispon´ıveis para a constru¸c˜ ao, mais conceitos matem´ aticos elementares s˜ ao mobilizados. Outro aspecto importante dessas constru¸co˜es é a integra¸cão de diversos conceitos da geometria euclidiana no estudo de geometria anal´ıtica, fun¸co˜es reais e gráficos. Além da própria idéia de lugar geométrico são explorados os conceitos de paralelismo, perpendicularidade, razão entre medidas, transforma¸co˜es no plano (homotetias). Assim, é poss´ıvel explicitar na abordagem pedagógica as múltiplas rela¸co˜es de um mesmo conceito a diversos campos da Matemática, em lugar de atrelá-lo a uma forma espec´ıfica de representa¸cão. As atividades a seguir constituem um roteiro para a constru¸cão de um sistema de coordenadas cartesianas e de gráficos de fun¸co˜es reais em ambientes de geometria dinâmica que não possuem essas ferramentas espec´ıficas incorporadas. Ao longo das atividades, procuraremos ressaltar elementos geométricos e conceitos relacionados com cada constru¸cão. Teremos como referência o software Tabulæ. Esse roteiro será organizado em três etapas, mas ou menos independentes, a saber: • constru¸cão do sistema de coordenadas cartesianas, a partir de um tela em branco (atividade 11);

• constru¸cão de gráficos de fun¸co˜es reais como lugares geométricos, a partir de uma tela com sistema cartesiano previamente constru´ıdo (atividade 12); • defini¸cão de parâmetros e constru¸cão de gráficos dinâmicos, representando fam´ılias de fun¸co˜es (atividade 13).


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Atividades 11. (Adaptado de [27]) O roteiro a seguir visa à constru¸cão de um sistema de coordenadas cartesianas em geometria dinâmica. 1. Construa uma reta livre de referência (preferencialmente em posi¸cão visualmente horizontal). Construa uma reta paralela e uma reta perpendicular à reta de referência. Chame essas duas retas de ox e oy, respectivamente. Chame de O o ponto de interse¸cão entre ox e oy. Esconda a reta de referência. 2. Marque um ponto Ux na reta ox, à direita do ponto O. Construa um c´ırculo de centro O e raio OUx . Chame de Uy o ponto de interse¸cão entre esse c´ırculo e a reta oy, que está acima do ponto O. Esconda o c´ırculo constru´ıdo. 3. Marque um ponto livre X sobre o eixo ox, e um ponto livre Y sobre o eixo oy. Use a OX OY ferramenta Razão por 3 pontos para definir as razões x = OU e y = OU . x

y

4. Trace as retas perpendiculares a ox passado por X e a oy passando por Y , e chame de P o ponto de interse¸cão destas retas. Se quiser, você poderá esconder essas retas em seguida.

(a) No primeiro passo, foi constru´ıda uma reta de referência, que depois foi escondida. Qual é a vantagem de construir essa reta? Por que não construir diretamente os eixos horizontal e vertical? (b) No sistema cartesiano constru´ıdo, qual é o papel dos pontos U x e Uy ? OX OY (c) Qual é o significado das razões x = OU e y = OU calculadas? Arraste os pontos X e Y x y ao longo dos eixos e observe a varia¸cão desses valores. (d) Observe que, a partir de certo ponto da constru¸cão, passamos a usar a palavra eixo em lugar de reta. Por que esta palavra não foi usada desde o come¸co? (e) Arraste o ponto Ux ao longo do eixo horizontal, mantendo os pontos X e Y parados. Observe o que acontece com os valores de x e y enquanto você arrasta U x . Interprete esses resultados nos casos em que:

i. Ux está entre O e X; ii. X está entre O e Ux ; iii. O está entre X e Ux . (f) Suponha que você fa¸ca a seguinte altera¸cão na constru¸cão proposta: em lugar de marcar o ponto Uy como interse¸cão do c´ırculo com o eixo oy, marque U y como um ponto livro nesse eixo. Assim, você poderá mover os pontos Ux e Uy independentemente. Que diferen¸ca esta altera¸cão representa no sistema de eixos constru´ıdo?

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12. (Adaptado de [27]) O roteiro a seguir visa à constru¸cão do gráfico de uma fun¸cão real em geometria dinâmica, a partir de um sistema de coordenadas cartesianas previamente constru´ıdo. Assim, comece com uma tela com um sistema de eixos cartesianos constru´ıdo. 1. Como na atividade anterior, marque um ponto livre X sobre o eixo ox, e use a ferramenta OX Razão por 3 pontos para definir a razão x = OU . x 2. Use a ferramenta Calculadora para inserir a expressão algébrica da fun¸cão cujo gráfico você deseja tra¸car. Neste exemplo, tra¸camos o gráfico de y = x 2 − 4x + 3. Para inserir a expressão na calculadora, você deverá selecionar x na própria tela e digitar os números e sinais no teclado da calculadora que aparecerá na tela. Chame de y o valor gerado.

3. Para marcar o ponto Y no eixo vertical cuja ordenada é y = x 2 − 4x + 3, você deverá usar a ferramenta Homotetia. Construa a imagem do ponto Uy pela homotetia de centro O e razão y. 4. Trace as retas perpendiculares a ox passado por X e a oy passando por Y , e chame de P o ponto de interse¸cão destas retas. 5. Agora você poderá representar o gráfico de y = x2 − 4x + 3, usando as ferramentas Rastro de objetos ou Locus (lugar geométrico). Para usar a ferramenta Rastro de objetos, você deverá marcar o ponto P e, em seguida, selecionar a ferramenta. Para usar a ferramenta Locus, você deverá marcar o ponto P e, em seguida, selecionar a ferramenta. Para usar a ferramenta Locus, selecione a ferramenta e, em seguida marque os pontos P e X: com isso, o software representará o lugar geométrico de P quando X varia.


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(a) Justifique o uso da transforma¸cão de homotetia, incluindo a escolha de y e O como razão e centro de homotetia, para determinar o ponto no eixo oy que corresponde à ordenada do ponto P . (b) Discuta como o uso das ferramentas Rastro e Locus nesta atividade pode contribuir com a aprendizagem do conceito de fun¸cão. Compare o uso dessas duas ferramentas, do ponto de vista pedagógico. (c) Arraste o ponto Ux ao longo do eixo horizontal, mantendo os pontos X e Y parados. Observe e explique as mudan¸cas sofridas pelo gráfico. (d) Explique por que a parábola sempre passa pelo ponto OU x , quanto arrastamos os pontos X e Ux . Qual deve ser a rela¸cão entre os segmentos OX e OUx para que o ponto P coincida com o outro ponto em que a parábola intercepta o eixo horizontal? Justifique sua resposta. (e) Qual deve ser a rela¸cão entre os segmentos OX e OUx para que o ponto P coincida com o vértice da parábola? Justifique sua resposta. 13. (Adaptado de [27]) O roteiro a seguir visa à constru¸cão de um gráfico dinâmico para representar uma fam´ılia de fun¸co˜es reais dependendo de um ou mais parâmetros, a partir de um sistema de coordenadas cartesianas previamente constru´ıdo. Como na atividade anterior, comece com uma tela com um sistema de eixos cartesianos constru´ıdo. 1. Como nas atividades anteriores, comece marcando um ponto livre X sobre o eixo ox, e use OX a ferramenta Razão por 3 pontos para definir a razão x = OU . x 2. Para definir os parâmetros, você deverá proceder de forma semelhante à constru¸cão das coordenadas x e y na atividade 11. Primeiro, trace uma reta r, sobre esta marque dois pontos Oa e Ua . Esta reta servirá como eixo de varia¸cão do parâmetro, e os pontos O a e Ua servirão para marcar o zero e a unidade. Agora, marque um ponto livre A sobre a reta OA . r e use a ferramenta Razão por 3 pontos para definir a razão a = OU a Por meio desse procedimento, você poderá definir quantos parâmetros quiser.

A partir da´ı, a constru¸cão segue como a anterior. 3. Usar a ferramenta Calculadora para inserir uma expressão algébrica. Neste exemplo, tra¸camos a fam´ılia de parábolas y = a x2 + b x + c, com a, b, c ∈ R. Construa os parâmetros a, b e c. Para inser¸cão na calculadora, selecione x, a, b e c na própria tela. Chame de y o valor gerado.

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ˆ CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA 4. Use a ferramenta Homotetia para marcar o ponto Y no eixo vertical cuja ordenada é y = a x2 + b x + c. 5. Trace as retas perpendiculares a ox passado por X e a oy passando por Y , e chame de P o ponto de interse¸cão destas retas. 6. Crie um gráfico dinâmico para representar a fam´ılia y = a x 2 + b x + c com a ferramenta Locus.

(a) Altere os valores dos parâmetros. Observe e explique as mudan¸cas no gráfico. (b) Observe que nesta constru¸cão não nos preocupamos em garantir que as unidades dos diferentes parâmetros fossem iguais. Ao definir mais de um parâmetro em uma constru¸cão como esta, é necessário que haja algum tipo de rela¸cão entre as unidades fixadas para cada um deles? Justifique sua resposta. (c) Compare esta atividade as anteriores desta se¸cão, e com aquelas do cap´ıtulo 3 que envolvem fun¸co˜es dependendo de parâmetros. Discuta as vantagens e desvantagens pedagógicas. Observe que com a ferramenta Calculadora dispon´ıvel no Tabulæ, é poss´ıvel definir fun¸co˜es polinomiais, trigonométricas, exponenciais, logar´ıtmicas e combina¸co˜es destas. Procure pensar em atividades semelhantes abordando diferentes tipos de fun¸co˜es reais e compare-as com as desta se¸cão e as do cap´ıtulo 3. Estes processos de constru¸cão exercitam a compreensão de conceitos sobre quais em geral não se reflete quando são empregados software com mais recursos prontos.


105

Por exemplo, os ´ıtens 11e, 11f e 12c tratam dos efeitos de mudan¸cas de coordenadas em pontos e em subconjuntos do plano cartesiano (no caso, gráficos de fun¸co˜es). Cabem algumas observa¸co˜es importantes a esse respeito. Nos ´ıtens 11e e 11f, arrastar os pontos U x e Uy corresponde a alterar as escalas dos eixos coordenados. Quando essas escalas são alteradas, a posi¸cão de P permanece fixa, porém os valores de suas coordenadas mudam. De fato, o ponto P é constru´ıdo de maneira independente dos pontos Ux e Uy , entretanto suas coordenadas x e y dependem de Ux e Uy , pois são definidas como razões: x=

OUx OX

y=

OUy OY

(4.1)

Assim, arrastar os pontos Ux e Uy corresponde a observar as altera¸co˜es dos valores das coordenadas de um ponto fixo, enquanto são aplicadas mudan¸cas no sistema de coordenadas do plano. No caso, as mudan¸cas de coordenadas em questão correspondem simplesmente a altera¸co˜es de escala, porém essas não são as u ńicas formas poss´ıveis de mudan¸cas de coordenadas no plano (ver atividade 15). Na atividade 12, como o objetivo não é construir pontos X e Y independentes, mas estabelecer uma dependência funcional entre eles, a constru¸cão é feita de forma diferente. As rela¸co˜es 4.1 também são verdadeiras, porém a ordem da constru¸cão é diferente. Para entender bem essas diferen¸cas e seus significados matemáticos, você deverá percorrer atentamente os passos da constru¸cão. Exatamente como em 11, o ponto X é constru´ıdo de maneira independente de U x e Uy ; e, em seguida, a coordenada x é definida como razão entre OX e OUx . Entretanto, a diferen¸ca está na constru¸cão da coordenada vertical: a coordenada y é definida primeiro, como fun¸cão da coordenada x; e o ponto Y é constru´ıdo em seguida, como imagem de Uy pela homotetia de centro O e razão y. Assim, Y depende de y, que, por sua vez, é fun¸cão de x. Isto é, o ponto Y e o valor de y não são arbitrários, e sim fun¸co˜es de y x. A rela¸cão y = OU é válida, mas neste caso não é a defini¸cão da coordenada y (como em 11), e OY sim uma consequência da constru¸cão do ponto Y como imagem por uma homotetia. Em consequência dessa constru¸cão, no item 12c, quanto Ux é arrastado, a posi¸cão do ponto X permanece fixa, mas a de Y muda. Ou seja, quando as escalas são alteradas, tanto a posi¸cão de P quanto os valores de suas coordenadas mudam. Além disso, em 12c, quando o ponto Ux é arrastado, o aspecto do gráfico da fun¸cão também se altera. Isto ocorre porque a equa¸cão que define o lugar geométrico permanece fixa, enquanto a escala dos dois eixos é alterada. Ou seja, a parábola visualizada permanece sendo o conjunto {(x, y) ∈ R2 | y = x2 − 4x + 3}, porém a escala dos eixos muda. Portanto, arrastar o ponto U x corresponde a ampliar ou reduzir a escala de visualiza¸cão deste conjunto. Os ´ıtens 12e e 12d podem ajudar a entender este aspecto: quando X ou Ux são arrastados, o efeito é o mesmo se a rela¸cão entre esses pontos (isto é, a razão entre os segmentos OX e OUx ) for mantida. ´ importante observar ainda que, no item 11e, as escala dos dois eixos coordenados estão vinculadas E entre si. Portanto, as mudan¸cas de coordenadas em questão consistem da aplica¸cão de uma transforma¸cão por homotetia. Por outro lado, no item 11f as escala dos eixos não estão vinculadas, isto é, é poss´ıvel alterá-las independentemente. Compare essas atividades com as da se¸cão 3.3 que envolve mudan¸cas de escala. Por exemplo, nas atividades 4 e 5 daquela se¸cão (p. 50), é preciso usar escalas muito diferentes nos eixos para entender o comportamento das fun¸co˜es. Atividades 14. Proponha um roteiro para a constru¸cão de gráficos de fun¸co˜es, de forma que seja poss´ıvel alterar as escalas dos eixos coordenados independentemente (como no item 11f).


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15. Evidentemente, existem outras formas de mudan¸cas de coordenadas no plano, além daquelas discutidas nas atividades 11 e 12. De fato, qualquer transforma¸cão invert´ıvel R 2 → R2 pode ser vista como uma mudan¸ca de coordenadas (e o mesmo vale em R 3 , bem como em dimensões superiores). Como exemplo, proponha um roteiro para uma constru¸cão que permita visualizar os efeitos das mudan¸cas de coordenadas dadas por rota¸co˜es no plano cartesiano. 16. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 11, 12 e 13. (a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados? (b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades? (c) Como se pode usar essas atividades para promover a articula¸cão entre conceitos de geometria euclidiana, geometria anal´ıtica e fun¸co˜es em sala de aula? (d) Qual é o papel do ambiente de geometria dinâmica no desenvolvimento das atividades? (e) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplica¸cão dessas atividades em sala de aula? Que estratégias você adotaria para superar esses obstáculos.

4.4

Articulando Geometria e Fun¸co ˜es: Novas Formas de Olhar

Na se¸cão anterior, apontamos dois aspectos importantes do uso de ambientes de geometria dinâmica no ensino de fun¸co˜es reais (p. 99): articular representa¸co˜es algébricas e gráficas dinamicamente, e expandir o repertório de exemplos familiares aos alunos. Entretanto, as potencialidades de aplica¸cão desses ambientes no ensino de fun¸co˜es vão ainda mais além. Por exemplo, é poss´ıvel empregar outras formas de representa¸c˜ ao para fun¸co ˜es reais, diferentes daquelas usualmente presentes em sala de aula no ensino básico (tipicamente, algébricas e gráficas). Esta é a proposta do aplicativo apresentado na tabela 4.3 e das atividades 2 a 8, a seguir. Além disso, é poss´ıvel estudar o comportamento de fun¸co˜es reais sem a media¸c˜ ao das representa¸co ˜es usuais, por meio da explora¸c˜ ao dinˆ amica da dependˆ encia funcional entre objetos em uma constru¸c˜ ao geom´ etrica, como propõem as atividades 10 a 14. Tais aplica¸co˜es ainda dizem respeito ao campo das fun¸co˜es reais – porém a geometria dinâmica oferece caminhos interessantes para se explorar além desse território. Os recursos dinâmicos permitem a experiˆ encia concreta com fun¸co ˜es cujos dom´ınios e contradom´ınios n˜ ao s˜ ao conjuntos num´ ericos. Por exemplo, as atividades 17 a 20 enfocam transforma¸co˜es no plano. Assim, além de apresentar novas representa¸co˜es e expandir o repertório de exemplos de fun¸co˜es reais apenas, é poss´ıvel ampliar o pr´ oprio universo de fun¸co ˜es abordadas, articulando os campos de geometria plana e fun¸co ˜es e aproximando mais a abordagem pedag´ ogica da generalidade matem´ atica do conceito de fun¸c˜ ao.

Desenrolando o Seno Ensinar o conceito de radiano não é uma tarefa fácil. Muitos alunos saem do ensino médio sem qualquer percep¸cão intuitiva de medidas angulares em radianos. Esse fato pode ser verificado, solicitando aos alunos que representem medidas angulares em graus e em radianos por meio de aberturas com os bra¸cos: provavelmente, eles não terão dificuldades para representar uma abertura de 60 ◦ , por exemplo, mas não terão ideia de como abrir os bra¸cos para indicar 1 rad. Apresentaremos a seguir o aplicativo Desenrolando o Seno, que permite relacionar graus com radianos e, de quebra, desenrolar arcos no eixo horizontal para tra¸car o gráfico da fun¸cão seno (figura 4.22). Os passos da constru¸cão desse aplicativo no GeoGebra são dados na tabela 4.3. A geometria dinâmica

˜ 4.4. ARTICULANDO GEOMETRIA E FUNC ¸ OES: NOVAS FORMAS DE OLHAR

107

do aplicativo Desenrolando o Seno dá-se pelo movimento do ponto P sobre o eixo horizontal, desde a origem O até o ponto A de abscissa igual a π. Diversos aspectos interessantes da trigonometria podem ser explorados observando o desenrolar do arco de circunferência no eixo horizontal, juntamente com o tra¸cado do gráfico do seno.

Figura 4.22: Aplicativo GeoGebra: Desenrolando o Seno.


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1. O = (0, 0) Propriedades desse ponto: na aba básico habilitar a op¸cão Fixar Objeto.

2. C = (−1, 0) Propriedades desse ponto: na aba básico habilitar a op¸cão Fixar Objeto.

3. c = C´ırculo[C, O] Propriedades desse c´ırculo: na aba básico desabilitar Exibi¸cão de R´ otulo, na aba estilo mudar o estilo da linha para tracejado.

4. A = (2pi, 0) Propriedades desse ponto: na aba básico habilitar a op¸cão Fixar Objeto.

5. P = Ponto[Segmento[O, A]] Propriedades desse ponto: na aba cor escolher vermelho, na aba estilo escolher Espessura da Linha 5; movimente esse ponto sobre o eixo horizontal até a abscissa 1.

6. radiano = Segmento[O, P ] Propriedades desse segmento: na aba básico em Exibir R´ otulo escolher a op¸cão Valor, na aba cor escolher verde escuro, na aba estilo escolher Espessura da Linha 9.

7. Q = Girar[O, radiano, C] Propriedades desse ponto: na aba cor escolher vermelho.

ˆ 8. grau = Angulo[O, C, Q] Propriedades desse ângulo: na aba básico em Exibir R´ otulo escolher a op¸cão Valor, na aba estilo escolher Tamanho 50.

9. cc = Arco[c, Q, O] Propriedades desse arco: na aba básico desabilitar Exibir de R´ otulo, na aba cor escolher verde escuro, na aba estilo escolher Espessura da Linha 9.

10. h = Reta[Q, EixoX] Propriedades dessa reta: na aba básico desabilitar Exibir de R´ otulo, na aba estilo escolher Estilo da Linha pontilhado.

11. v = Perpendicular[P, EixoX] Propriedades dessa reta: na aba básico desabilitar Exibi¸cão de R´ otulo, na aba estilo escolher Estilo da Linha pontilhado.

12. seno = Fun¸caõ[sin(x), x(O), x(A)] Propriedades desse gráfico: na aba cor escolher vermelho, na aba estilo escolher Espessura da Linha 9.

Tabela 4.3: Constru¸cão do aplicativo Desenrolando o Seno. Atividade 1. Elabore uma sequência didática com a utiliza¸cão do aplicativo Desenrolando o Seno, apresentado na tabela 4.3 em uma aula de 50 minutos. Quais conceitos trigonométricos podem ser explorados? De que forma esses conceitos podem ser explorados?


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Eixos Paralelos As atividades 2 a 8 a seguir apresentam uma forma diferente de analisar o comportamento de fun¸co˜es reais em geometria dinâmica: as variáveis independente e dependente são representadas em um sistema de eixos paralelos, em lugar de perpendiculares. Assim, quando o ponto X que representa a variável independente em um dois eixos é arrastado, o ponto Y que representa a variável dependente no segundo eixo move-se de acordo com os valores correspondentes da fun¸cão. Se os pontos XY são ligados por um segmento de reta, o comportamento da fun¸cão pode ser mais claramente percebido por meio da observa¸cão do movimento do segmento XY . O exerc´ıcio de compreender o comportamento de uma fun¸cão real, a partir da interpreta¸cão de uma forma de representa¸cão diferente das mais familiares, pode ser enriquecedor para os alunos. Nas constru¸co˜es a seguir, teremos como referência o GeoGebra. Atividades 2. (Adaptado de [35]) A seguir, apresentamos um roteiro para constru¸cão de um sistema de eixos paralelos para representar fun¸co˜es reais no GeoGebra. Neste roteiro, constru´ımos eixos paralelos horizontais. Porém, esta escolha é arbitrária, uma vez que a posi¸cão dos eixos não tem qualquer papel no desenvolvimento das atividades. 1. Marque os pontos Ox = (0, 0), Ux = (1, 0), Ox = (0, 2), Ux = (1, 2). A maneira mais fácil de fazê-lo é digitar diretamente no campo Entrada. Selecione a op¸cão Fixar Objeto nas Propriedades de cada um destes pontos. 2. Trace as retas ox, passando por Ox e Ux , e oy, passando por Oy e Uy . 3. Marque um ponto livre X na reta ox. Os pontos Ox e Oy representarão as origens dos eixos ox e oy, respectivamente, e os segmentos Ox Ux e Oy Uy as unidades desses eixos. Observe que na constru¸cão acima a distância entre os eixos ox e oy é igual 2, porém esta distância é arbitrária e você poderá escolhê-la como quiser.

Agora, você poderá usar esse sistema de eixos paralelos para representar o comportamento de uma fun¸cão real. Para isso, siga o roteiro abaixo, em que damos o exemplo da fun¸cão f : R → R, f (x) = x2 . 1. No campo Entrada, defina k =RazãoAfim[Ox , Ux , X]. 2. No campo Entrada, defina o ponto Y = (k 2 , 2) (basta escrever Y=(k^2,2)). 3. Construa um segmento ligando os pontos X e Y .

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ˆ CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA O número k corresponde à coordenada do ponto X em rela¸cão ao eixo ox. Usamos a letra k, em lugar de x, porque x é um “s´ımbolo reservado” no GeoGebra, isto é, tem um significado espec´ıfico. (a) Justifique cada passo da constru¸cão acima. (b) Arraste o ponto X ao longo do eixo de ox e observe o movimento do segmento XY . Explique esse comportamento.

3. (Adaptado de [35]) Você poderá usar o roteiro proposto na atividade 2 para representar diversas fun¸co˜es reais. Para isso, basta alterar a defini¸cão do ponto Y , entrando nas Propriedades do ponto. Verifique as fun¸co˜es dispon´ıveis no GeoGebra no campo localizado logo à direita de Entrada. 1 Como exemplo, represente em eixos paralelos a fun¸cão f : R ? → R, f (x) = . Arraste o ponto x X ao longo do eixo de ox e observe o movimento do segmento XY . (a) Explique o comportamento do segmento XY quando você aproxima o ponto X de O x . Por que o ponto Y parece “sumir” e “reaparecer” do outro lado? (b) Explique o comportamento do segmento XY quando você afasta o ponto X de O x . 4. Represente em eixos paralelos a fun¸cão f : R → R, que, a cada x ∈ R associa a parte inteira de x. Para isto, use a fun¸cão floor do GeoGebra. Arraste o ponto X ao longo do eixo de ox e observe o movimento do segmento XY . O segmento XY parece dar pequenos “saltos”. Por que isto ocorre? 5. Também é poss´ıvel usar o sistema de eixos paralelos para representar mais de uma fun¸cão simultaneamente. Por exemplo, a figura abaixo mostra a representa¸cão das fun¸co˜es f 1 , f2 : R → R, dadas por f1 (x) = x2 e f2 (x) = x3 . (a) Fa¸ca essa constru¸cão, adaptando o roteiro proposto na atividade 2. Para fazer esta adapta¸cão, você deverá definir um ponto Y1 , da mesma forma que o ponto Y foi definido na atividade 2, e definir um segundo ponto Y2 no eixo oy. Como este segundo ponto deve ser constru´ıdo? (b) Arraste o ponto X ao longo do eixo de ox e explique o comportamento dos segmento XY 1 e XY2 .

6. Você poderá ainda usar eixos paralelos para representar opera¸co˜es entre fun¸co˜es, tais como soma, produto ou composi¸cão. Por exemplo, a figura abaixo representa as fun¸co˜es f 1 , f2 : R → R, dadas por f1 (x) = x2 e f2 (x) = f1 (x) + 1.


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(a) Fa¸ca essa constru¸cão, adaptando o roteiro proposto na atividade 2. Para fazer esta adapta¸cão, você deverá definir p =RazãoAfim[Oy , Uy , Y1 ], por meio do campo Entrada. Em seguida, defina o ponto Y2 = (p + 1, 2). (b) Arraste o ponto X ao longo do eixo de ox e explique o comportamento dos segmento XY 1 e XY2 .

Como as atividades anteriores ilustram, diversos aspectos interessantes sobre o comportamento de fun¸co˜es reais podem ser explorados por meio de sistemas de eixos paralelos. Observe que, nas atividades 3 e 4, foram inclu´ıdas questões chave para ajudar seu desenvolvimento pelos alunos. No caso da atividade 3, essas questões procuram encaminhar a análise dos limites infinitos e no infinito da fun¸cão. Assim, o “sumir e reaparecer do outro lado” corresponde à existência de um ass´ıntota vertical em x = 0. Na atividade 4, os “pequenos saltos” correspondem aos infinitos pontos de descontinuidade da fun¸cão. Questões como essas, se convenientemente formuladas, podem ajudar a entender as propriedades particulares de cada exemplo abordado. Atividades 7. Elabore uma atividade, com os mesmos objetivos das atividades 2 a 6, que seja adequada para as turmas em que você leciona. Procure incluir questões chave (como as propostas nas atividades 3 e 4). 8. Outra possibilidade de explora¸cão de representa¸cão de fun¸co˜es em eixos paralelos é fornecer constru¸co˜es prontas e pedir para que os alunos tentem adivinhar a fun¸cão representada. Elabore uma atividade desta natureza, que seja adequada para as turmas em que você leciona. Inclua questões chave que ajudem os alunos a chegarem à resposta. 9. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 2 a 8. (a) Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados? Que questões conceituais podem ser exploradas quando utilizamos os eixos paralelos para representar fun¸co˜es? (b) Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades? (c) Qual é o papel do ambiente de geometria dinâmica no desenvolvimento das atividades? (d) Como você considera que atividades como essas podem contribuir com a aprendizagem de fun¸co˜es reais no ensino básico? (e) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplica¸cão dessas atividades em sala de aula?


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Rela¸co ˜es de Dependˆ encia entre Grandezas Geom´ etricas O objetivo das atividades 10 a 14 a seguir é investigar rela¸co˜es de dependência funcional entre grandezas geométricas (basicamente, comprimentos e áreas), com o apoio de ambientes de geometria dinâmica. Essas atividades (que têm como referência o software GeoGebra) são organizadas de acordo com a seguinte estrutura: • Em primeiro lugar, procura-se investigar as rela¸co˜es de dependência sem a media¸cão de representa¸co˜es algébricas e gráficas, explorando-se apenas a constru¸cão geométrica dinâmica. • Em seguida, a varia¸cão dos valores das fun¸co˜es é explorada por meio de pontos variáveis sobre um eixo. • Somente depois dessa explora¸cão inicial, é constru´ıdo o gráfico da fun¸cão, ainda se empregando os recursos do software. Propõe-se então que as perguntas feitas em cada problema sejam respondidas por meio de métodos anal´ıticos. Esta estrutura visa incentivar uma percep¸cão intuitiva da varia¸cão das fun¸co˜es reais, antes de analisálas por meio de representa¸co˜es algébricas e gráficas. Tais representa¸co˜es são muito poderosas para a resolu¸cão de problemas modelados por fun¸co˜es reais e, por isso, são as mais largamente empregadas em sala de aula. Entretanto, justamente devido a esse grande poder de resolu¸cão, as representa¸co˜es algébricas e gráficas são muitas vezes abordadas de forma mecanizada e com pouca reflexão, o que pode comprometer seriamente o desenvolvimento da ideia intuitiva de varia¸cão. A investiga¸c˜ ao de rela¸co ˜es dependˆ encia entre grandezas geom´ etricas constituem uma oportunidade para recuperar a percep¸c˜ ao intuitiva da ideia de varia¸c˜ ao, e os ambientes de geometria dinâmica podem fornecer um apoio importante para esse objetivo. Atividades 10. (Adaptado de [10]) O objetivo desta atividade é investigar a varia¸cão da área de um retângulo, quando um de seus lados é mantido fixo e o segundo varia. Em um ambiente de geometria dinâmica, construa um retângulo ABCD de lados AB = CD = 4 e BC = DA = 3. Marque um ponto livre X ∈ AB e um ponto Y ∈ CD tal que XY ⊥ AB.

(a) Use os recursos do software para exibir o comprimento de AX e a área do retângulo AXY D. Arraste o ponto X ao longo de AB e observe a varia¸cão da área de AXY D. Como você caracterizaria essa varia¸cão?


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(b) Construa um eixo para representar a varia¸cão da área de AXY D. Para fazer isso no GeoGebra, você poderá seguir o roteiro abaixo. Neste roteiro, constru´ımos um eixo vertical, porém esta é uma escolha arbitrária e você poderá constru´ı-lo na posi¸cão que desejar. 1. Marque os pontos O = (0, 0), U = (0, 1), por meio do campo Entrada, e selecione a op¸cão Fixar Objeto nas Propriedades de cada um destes pontos. 2. Trace a reta ox passando por O e U . ´ 3. Defina S=Area[A,X,Y ,D], digitando esta expressão no campo Entrada. Com isso, você criará uma variável numérica S, cujo valor é a área de AXY D. 4. Marque o ponto P = (0, S), pelo campo Entrada. Portanto, este ponto variará sobre a reta determinada por O e U . Arraste X ao longo de AB e observe o movimento do ponto P .

(c) Agora construa, no ambiente de geometria dinâmica, o gráfico que representa a área de AXY D em fun¸cão do lado AX. Para fazer isso no GeoGebra, você poderá seguir o roteiro: 1. 2. 3. 4.

Selecione a op¸cão Exibir Eixos no menu. Defina k=Comprimento[Vetor[A,X]], pelo campo Entrada. ´ Defina S=Area[A,X,Y ,D], pelo campo Entrada. Marque o ponto P = (k, S), pelo campo Entrada.

Antes de completar a constru¸cão, arraste X ao longo de AB e observe o movimento do ´ o caminho deste ponto que descreve o gráfico de S. ponto P . E 5. Construa o lugar geométrico do ponto P = (k, S), quando X varia sobre AB. (d) Defina a fun¸cão S que a cada k = AX associa a área do retângulo AXY D, especificando seu dom´ınio e seu contradom´ınio. Qual é a imagem desta fun¸cão? 11. (Adaptado de [10]) Suponha que agora você pretenda investigar a varia¸cão da área de um triângulo retângulo, quando um de seus lados varia. Nesta atividade, a investiga¸cão será conduzida seguindo os mesmos passos da atividade 10. Construa em um ambiente de geometria dinâmica um triângulo retângulo ABC de catetos AB = 4 e BC = 3. Marque um ponto livre X ∈ AB e um ponto Z ∈ BC tal que XZ ⊥ AB.

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(a) Exiba o comprimento de AX e a área do triângulo AXZ no ambiente geometria dinâmica. Arraste o ponto X ao longo de AB e observe a varia¸cão da área de AXZ. Como você caracterizaria essa varia¸cão? (b) Construa um eixo para representar a varia¸cão da área de AXZ, adaptando o roteiro dado no item 10b. Arraste X ao longo de AB e observe o movimento do ponto P que você construiu sobre o eixo. Você considera que esta explora¸cão pode ajudar a entender a varia¸cão da área do triângulo AXZ? (c) Construa, no ambiente de geometria dinâmica, o gráfico que representa a área de AXZ em fun¸cão do lado AX adaptando o roteiro de 10c. Antes de completar a constru¸cão, arraste X ao longo de AB e observe o movimento do ponto P . (d) Defina a fun¸cão S1 que a cada k = AX associa a área do triângulo AXZ, especificando seu dom´ınio e seu contradom´ınio. Qual é a imagem desta fun¸cão? 12. (Adaptado de [10]) Considere uma altera¸cão no problema proposto na atividade 11. Com o mesmo enunciado, agora você investigará a varia¸cão da área do trapézio retângulo BXZC, em fun¸cão dos valores de XB. Repetiremos os passos das atividades 10 e 11.


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(a) Exiba o comprimento de BX e a área do trapézio BXZC. Arraste X ao longo de AB e observe a varia¸cão da área de BXZC. Como você caracterizaria essa varia¸cão? (b) Construa um eixo para representar a varia¸cão da área de BXZC, adaptando o roteiro dado no item 10b. Arraste X ao longo de AB e observe o movimento do ponto P . Você considera que esta explora¸cão pode ajudar a entender a varia¸cão da área? (c) Construa, no ambiente de geometria dinâmica, o gráfico que representa a área de BXZC em fun¸cão do lado XB adaptando o roteiro de 10c. Antes de completar a constru¸cão, arraste X ao longo de AB e observe o movimento do ponto P . (d) Defina a fun¸cão S2 que a cada k = XB associa a área de BXZC, especificando seu dom´ınio e seu contradom´ınio. Qual é a imagem desta fun¸cão? (e) Qual é a rela¸cão entre as fun¸co˜es S (definida na atividade 10), S 1 (definida na atividade 11) e S2 (definida nesta atividade)? 13. (Adaptado de [11]) Considere o seguinte problema. Dentre todos os triângulos isósceles ABC com AB = AC = a fixos, determine aquele que tem a maior área. Para investigar a solu¸cão deste problema, seguiremos os mesmos passos das atividades anteriores.

(a) Em um ambiente de geometria dinâmica, construa um triângulo ABC tal que os comprimentos AB = AC = 1 sejam fixos e o comprimento de BC seja variável. Use os recursos do software para exibir os valores do comprimento de BC e da área de ABC. Arraste os pontos B e C e observe a varia¸cão da área do triângulo ABC. (b) Como a existência do ponto de máximo procurado pode ser justificada, apenas com base nas condi¸co˜es geométricas do problema? Como a explora¸cão feita no item anterior pode ajudar a responder esta questão? (c) Construa um eixo para representar a varia¸cão da área de ABC, adaptando o roteiro dado no item 10b. Arraste os pontos B e C e observe o movimento do ponto P e o seu valor máximo. Com base nesta explora¸cão, você é capaz de ter uma idéia de que triângulo isósceles tem a maior área? (d) Construa, no ambiente de geometria dinâmica, o gráfico que representa a área de ABC em fun¸cão do lado BC adaptando o roteiro de 10c. Antes de completar a constru¸cão, arraste B e C e observe o movimento do ponto P . (e) Defina a fun¸cão S que a cada k = BC associa a área de ABC, especificando seu dom´ınio e seu contradom´ınio. Qual é a imagem desta fun¸cão? (f) Determine analiticamente o ponto de máximo absoluto da fun¸cão S.


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14. (Adaptado de [27]) Considere o seguinte problema. Dentre todos os retângulos com per´ımetro p fixo, determine aquele com a maior área. Para investigar a solu¸cão deste problema, seguiremos os mesmos passos das atividades anteriores.

(a) Em um ambiente de geometria dinâmica, construa um retângulo ABCD, cujos lados possam ser alterados mantendo-se fixo o per´ımetro. Uma maneira de fazer essa constru¸cão no GeoGebra é dada no roteiro a seguir. Nesta constru¸cão, fixamos o per´ımetro do retângulo em 20 unidades, mas esta é um escolha arbitrária. 1. Marque um ponto A qualquer. Defina o ponto W = A + (10, 0), pelo campo Entrada. Trace o segmento AW . Marque um ponto livre B no segmento AW . Esta constru¸cão garante que o ponto B nunca poderá ficar a uma distância de A superior a 10 unidades. Em seguida, esconda o ponto W e o segmento AW . 2. Defina a=Comprimento[Vetor[A,B]], pelo campo Entrada. 3. Defina b = 10 − a, pelo campo Entrada. 4. Defina C = B + (0, b) e D = A + (0, b), pelo campo Entrada. 5. Ligue os pontos A, B, C e D por segmentos de reta, e defina o pol´ıgono ABCD.

(b)

(c)

(d)

(e) (f)

Agora, use os recursos do software para exibir os valores do comprimento de BC e da área de ABCD. Arraste o vértice B do retângulo e observe a varia¸cão da área de ABCD. Como a existência do ponto de máximo procurado pode ser justificada, apenas com base nas condi¸co˜es geométricas do problema? Como a explora¸cão feita no item anterior pode ajudar a responder esta questão? Construa um eixo para representar a varia¸cão da área do retângulo ABCD em fun¸cão da varia¸cão de AB, adaptando o roteiro dado no item 10b. Arraste o vértice B e observe o movimento do ponto P e o seu valor máximo. Com base nesta explora¸cão, você é capaz de ter uma idéia de que retângulo tem a maior área? Construa, no ambiente de geometria dinâmica, o gráfico que representa a área de ABCD em fun¸cão do lado AB adaptando o roteiro de 10c. Antes de completar a constru¸cão, arraste o ponto B e observe o movimento do ponto P . Defina a fun¸cão S que a cada k = AB associa a área de ABCD, especificando seu dom´ınio e seu contradom´ınio. Qual é a imagem desta fun¸cão? Determine analiticamente o ponto de máximo absoluto da fun¸cão S.


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No problema proposto na atividade 10, é poss´ıvel verificar que acréscimos iguais no lado variável do retângulo implicam em acréscimos iguais em sua área. Isto pode ser constatado, observando que a medida do lado XY permanece constante enquanto a medida de AX varia. Este tipo de varia¸cão caracteriza as fun¸co˜es afins, o que é confirmado pelo tra¸cado do gráfico da fun¸cão S (figura 4.23) e por sua defini¸cão: S : [0, 4] → R ,

S(x) = 3 x .

Figura 4.23: O gráfico da fun¸cão área do retângulo, constru´ıdo em geometria dinâmica. Já nos problemas das atividades 11 e 12, verifica-se que os acréscimos nos valores nas fun¸co˜es não ´ claro que tanto a área do triângulo dependem apenas dos acréscimos nas variáveis independentes. E quanto a área do trapézio crescem quando os respectivos lados variáveis aumentam. Isto é, as fun¸co˜es S1 e S2 são ambas crescentes. Entretanto, os acréscimos da fun¸cão S 1 crescem, enquanto que os da fun¸cão S2 decrescem quando os lados aumentam. Esses acréscimos nas áreas do triângulo e do trapézio podem ser observados por meio das varia¸co˜es nas medidas dos lados XZ de cada um dos pol´ıgonos, enquanto as medidas dos lados AX e XB, respectivamente, variam. Em termos de cálculo diferencial, isto equivale a dizer que tanto S1 quanto S2 têm derivadas positivas, porém S1 tem derivada segunda positiva e S2 tem derivada segunda negativa (ver, por exemplo [48]). Assim, as medidas dos lados XZ representam “acréscimos infinitesimais” nas fun¸co˜es área. Finalmente, podemos construir os gráficos das fun¸co˜es S 1 e S2 no ambiente de geometria dinâmica (figuras 4.24 e 4.25) e escrever suas defini¸co˜es: 3 2 1 3 3 S2 (x) = x 6 − x = 3 x − x2 . S1 , S2 : [0, 4] → R , S1 (x) = x , 8 2 4 8

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Figura 4.24: O gráfico da fun¸cão área do triângulo, constru´ıdo em geometria dinâmica.

Figura 4.25: O gráfico da fun¸cão área do trapézio, constru´ıdo em geometria dinâmica. Assim, é poss´ıvel verificar que, para cada valor de x, vale a rela¸cão: S(x) = S1 (x) + S2 (x) . Esta rela¸cão pode ser interpretada geometricamente de forma simples, que também pode ser representada em geometria dinâmica, como mostra a figura 4.26.


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Figura 4.26: A rela¸cão entre as áreas, representada em geometria dinâmica. Na atividade 13, a explora¸cão da constru¸cão geométrica dinâmica no ambiente pode ajudar a perceber a justificativa geométrica para a existência da solu¸cão do problema. De fato, nos casos em que B = C e em que BC = 2 AB, o triângulo se degenera em segmentos de reta, e a área vale 0. Como a área assume apenas valores positivos e varia continuamente, então esta assume um máximo absoluto para algum valor de BC entre 0 e 2 AB. Em termos do cálculo diferencial, esta conclusão é consequência do Teorema de Weierstrass (ver, por exemplo [48]). A princ´ıpio, a intui¸cão pode nos sugerir que a solu¸cão do problema esteja no ponto médio de 0 e 2 AB, isto é, que o triângulo isósceles de maior área poss´ıvel seja o triângulo equilátero. Entretanto, o gráfico que representa a área (figura 4.27) sugere que a solu¸cão não é essa. Tomando AB = AC = a, temos que a fun¸cão área é definida da seguinte forma: 1 √ 2 x 4 a − x2 . 4 Para determinar analiticamente o ponto de máximo a partir dessa fun¸cão, precisamos de métodos do cálculo. Determinando a derivada de S, obtemos: S : [0, 2 a] → R ,

S(x) =

2 a 2 − x2 √ 2 4 a 2 − x2 √ Como a solu¸cão da equa¸cão S 0 (x) = 0 é x = a 2 , podemos concluir que este é o ponto de máximo de S. Portanto, o triângulo isósceles de maior área poss´ıvel é o triângulo retângulo isósceles. Assim, a solu¸cão do problema é “metade de um quadrado”. Esta observa¸cão nos lembra um problema equivalente, cuja solu¸cão é mais intuitiva: Dentre todos os losangos com lado fixo, aquele que tem a maior área é quadrado. S 0 (x) =


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Figura 4.27: O gráfico da fun¸cão área do triângulo isósceles, constru´ıdo em geometria dinâmica. p De maneira análoga, na atividade 14, observamos que, se AB = 0 ou AB = , o retângulo se 2 degenera em segmentos de reta, e a área vale 0. Então, como a área é positiva e cont´ınua, podemos p concluir que a área assume um máximo absoluto para algum valor de AB entre 0 e . A figura 4.28 2 mostra o gráfico que representa a área tra¸cado em um ambiente de geometria dinâmica. A fun¸cão área é definida por: p h pi S : 0, →R, S(x) = x −x . 2 2 p Portanto, a solu¸cão do problema é a quadrado de lado . 4 Atividades 15. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 10 a 14. (a) (b) (c) (d)

Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados? Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades? Qual é o papel do ambiente de geometria dinâmica no desenvolvimento das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso do ambiente de geometria dinâmica pode trazer para a aprendizagem dos conceitos estudados, em rela¸cão a abordagens com recursos convencionais (isto é, sem o uso de recursos computacionais)? (e) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplica¸cão dessas atividades em sala de aula?



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Figura 4.28: O gráfico da fun¸cão área de um retângulo com per´ımetro fixo, constru´ıdo em geometria dinâmica.

Transforma¸co ˜es no Plano A partir de agora, apresentamos alguns exemplos de atividades em ambientes de geometria dinâmica que envolvem fun¸co˜es cujos dom´ınios e contradom´ınios não são conjuntos de números reais, visando à amplia¸cão do universo de fun¸co˜es exploradas pelos alunos no ensino básico. Transforma¸co˜es no plano podem ser vistas como fun¸co˜es R 2 → R2 . A maioria dos ambientes de geometria dinâmica, incluindo o GeoGebra e o Tabulæ, dispõem de recursos prontos que permitem a constru¸cão direta e a explora¸cão das propriedades dos principais tipos de transforma¸co˜es no plano, tais como homotetias, reflexões, rota¸co˜es, transla¸co˜es e inversões. Por outro lado, constru¸co˜es de transforma¸co˜es no plano em geometria dinâmica desde o come¸co, sem que esses recursos prontos sejam utilizados (como propõe as atividades 18 a 19), também podem ser exerc´ıcios interessante, pois mobilizam os elementos e propriedades fundamentais que servem para definir cada tipo de transforma¸cão. O objetivo dessas atividades é justamente aprofundar o conhecimento sobre as defini¸co˜es das transforma¸co˜es. Já no caso da atividade 20, em que se pede que seja usado o recurso pronto dispon´ıvel no GeoGebra, o objetivo é usar a dinâmica do ambiente para explorar as propriedades da transforma¸cão e, posteriormente, justificar sua validade com base na defini¸cão formal. Atividades 17. Reveja as atividades 16 da se¸cão 4.1 e 1 da se¸cão 4.2, que enfocam propriedades das transforma¸co˜es de homotetia. Responda às perguntas a seguir, justificando as suas respostas. Lembrese que, para que uma homotetia fique bem definida é preciso que sejam conhecidos seu centro (um ponto no plano) e sua razão (um número real). (a) Escreva a defini¸cão de homotetia.

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ˆ CAPÍTULO 4. AMBIENTES DE GEOMETRIA DINAMICA (b) Homotetias são fun¸co˜es injetivas? (c) Homotetias são fun¸co˜es sobrejetivas? (d) Seja C um c´ırculo de centro O e raio r. Mostre que a imagem de C também é um c´ırculo. Como se pode encontrar o centro e o raio do c´ırculo imagem a partir do centro e do raio do c´ırculo original? (e) Se A é um subconjunto qualquer do plano, explique a rela¸cão entre A e seu conjunto imagem por uma homotetia.

18. Existem dois tipos principais de reflexões ortogonais no plano: as centrais (em rela¸cão a um ponto) e as axiais (em rela¸cão a uma reta). Uma reflexão axial pode ser definida da seguinte forma. Seja r uma reta fixada no plano. A reflexão ortogonal em rela¸cão a r é definida como a fun¸cão R : R 2 → R2 que a cada ponto P no plano associa o (único) ponto P 0 6= P tal que: (i) P P 0 é perpendicular a r; (ii) se Q é o ponto de interse¸cão entre P P 0 e r, então P Q ≡ P 0 Q.

(a) Com base na defini¸cão acima, elabore um roteiro para constru¸cão da reflexão de um ponto P em rela¸cão a uma reta em um ambiente de geometria dinâmica. (b) Use a ferramenta Lugar geométrico do ambiente para obter as imagens de uma reta e de um c´ırculo pela reflexão que você construiu. (c) Seja R : R2 → R2 uma reflexão ortogonal em rela¸cão a uma reta. Se P é um ponto e A é um subconjunto no plano, o que se pode afirmar sobre R(R(P )) e R(R(A))? Justifique a sua resposta. 19. Repita a atividade 18 para reflexões centrais. 20. As inversões são tipos de transforma¸co˜es do plano, definidas da seguinte forma. Seja C um c´ırculo, de centro O e raio r, fixado no plano. A inversão em rela¸cão a C é definida como a fun¸cão que a cada ponto P no plano −→ associa o (único) ponto P 0 pertence à semi-reta OP tal que: OP · OP 0 = r 2 . Use os recursos do GeoGebra para fazer a seguinte constru¸cão. 1. Construa um c´ırculo C de centro O. 2. Marque um ponto livre P . Use o recurso do software para marcar o ponto P 0 , dado pela imagem de P pela transforma¸cão de inversão em rela¸cão ao c´ırculo C. 3. Construa uma reta r e marque um ponto livre A sobre r. Marque A 0 , imagem de A pela inversão em rela¸cão a C. Use a ferramenta Locus para construir o lugar geométrico de A 0 quanto A varia sobre r. Esse conjunto corresponde à imagem da reta r pela transforma¸cão de inversão. 4. Construa um c´ırculo K de centro C e marque um ponto livre B sobre K. Marque B 0 , imagem de B pela inversão em rela¸cão a C. Use a ferramenta Locus para construir o lugar geométrico de B 0 quanto B varia sobre K. Esse conjunto corresponde à imagem da reta K pela transforma¸cão de inversão.


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(a) Mova livremente o ponto P . Observe o que acontece com P 0 , nos casos em que P : é exterior a C; é interior a C; está sobre a circunferência de C. O que acontece quando P se aproxima de O? E quanto P se afasta muito de O? (b) Você observará que a imagem da reta r pela transforma¸cão de inversão é um c´ırculo, que chamaremos de r 0 . Mova livremente a reta r. Observe o que acontece com o c´ırculo r 0 , nos casos em que r é: exterior a C; secante a C; tangente a C. O c´ırculo r 0 sempre passa pelo centro de C? (c) Você observará que a imagem do c´ırculo K pela inversão também é um c´ırculo, que chamaremos de K0 . Mova livremente o c´ırculo K. Observe o que acontece com K 0 , considerando as diferentes posi¸co˜es relativas entre K e C. O que acontece quando os centros de K e de C coincidem? Existe alguma situa¸cão em que o c´ırculo K 0 passe pelo centro de C? (d) Demonstre rigorosamente todas as propriedades observadas nos ´ıtens anteriores, com base na defini¸cão de inversão. 21. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 17 a 20. (a) (b) (c) (d)




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Anexo: Utilizando o GeoGebra O GeoGebra [1] é um software livre de matemática dinâmica idealizado para professores e alunos de todos os n´ıveis educacionais. Disponibilizado gratuitamente na internet, o GeoGebra reúne recursos de geometria dinâmica, álgebra e cálculo em um mesmo programa, e com o mesmo grau de importância. Do ponto de vista da geometria, ´ıcones em uma barra de ferramentas localizada na parte superior do aplicativo permitem a constru¸cão dinâmica de diversos objetos geométricos por meio da manipula¸cão do mouse do computador. Do ponto de vista da álgebra, um campo de entrada localizado na parte inferior do aplicativo permite a digita¸cão de equa¸co˜es e coordenadas para a constru¸cão desses mesmos objetos geométricos. No GeoGebra, uma expressão na janela de álgebra a esquerda do aplicativo corresponde a um objeto na janela de visualiza¸cão geométrica a direita do aplicativo, e vice-versa.

Figura 4.29: Aplicativo GeoGebra. Por exemplo, na figura 4.29 vemos um triângulo e sua circunferência circunscrita. Para fazer essa constru¸cão via barra de ferramentas geométricas, na parte superior do aplicativo, basta realizar a seguinte sequência de a¸co˜es: 1. habilitar a op¸cão Pol´ıgono:

clicar em três locais distintos na janela de visualiza¸cão geométrica para definir os vértices do triângulo; clicar novamente no primeiro vértice para fechar o ciclo de vértices do triângulo. 2. habilitar a op¸cão Mediatriz:

selecionar um lado ou dois vértices para construir uma primeira mediatriz; selecionar outro lado ou outros dois vértices para construir uma segunda mediatriz.


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3. habilitar a op¸cão Interse¸cão de Dois Objetos:

selecionar as mediatrizes constru´ıdas para construir o ponto onde elas se cruzam. 4. habilitar a op¸cão C´ırculo definido pelo centro e um de seus pontos:

selecionar o encontro das mediatrizes e um vértice do triângulo para construir a circunferência circunscrita. 5. habilitar a op¸cão Mover:

usar o mouse para movimentar qualquer um dos vértices do triângulo; você irá vivenciar o poder da geometria dinâmica. Para fazer essa mesma constru¸cão via campo de entradas algébricas, na parte inferior do aplicativo, basta digitar no campo Entrada a seguinte sequência de expressões e comandos: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Além das constru¸co˜es via campo de entrada ou barra de ferramentas, o GeoGebra permite a manipula¸cão e formata¸cão dos objetos constru´ıdos. A seguir listamos algumas dicas que podem ser u ´teis durante uma constru¸cão geométrica no GeoGebra. Com esse software, você pode: • usar os ´ıcones Desfazer e Refazer no lado direito da barra de ferramentas para desfazer ou refazer a(s) u ´ltima(s) constru¸cão(¸co˜es); • esconder objetos clicando sobre eles com o botão direito do mouse e escolhendo Exibir objeto para desativar ou reativar a exibi¸cão; • alterar a aparência dos objetos (nome, cores, espessura, etc), clicando sobre eles com o botão direito do mouse e escolhendo Propriedades para habilitar a caixa de diálogo espec´ıfica para esse fim; • arrastar a janela de visualiza¸cão com o mouse habilitando o ´ıcone Deslocar Eixos na barra de ferramentas; • escolher letras gregas e comandos algébricos diversos ao lado do campo de entrada;

• ativar ou desativar a exibi¸cão de muitos objetos e elementos gráficos na op¸cão de menu Exibir;

• alterar muitas coisas na op¸cão de menu Op¸co˜es.

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Cap´ıtulo 5 Sistemas de Computa¸c˜ ao Alg´ ebrica Introdu¸c˜ ao Os sistemas de computa¸cão algébrica (CAS, abrevia¸cão do termo em inglês Computer Algebra Systems) são softwares matemáticos que integram recursos num´ ericos, gr´ aficos e simb´ olicos. Do ponto de vista numérico e gráfico, os sistemas de computa¸cão algébrica podem ser vistos como poderosas calculadoras cient´ıficas, capazes de efetuar cálculos e produzir gráficos com grande precisão e versatilidade. Porém, seu aspecto mais interessante é a possibilidade de operar com √ expressõ√es simbólicas que representam objetos matemáticos. Por exemplo, se efetuamos o cálculo 2 48 + 4 144 numericamente em uma calculadora, a resposta fornecida será uma aproxima¸cão decimal para o resultado, como por exemplo 0, 12830005981992. Os recursos dos sistemas de computa¸cão algébrica permitem também operar√simbolicamente com esta expressão numérica, fornecendo como resultado a expressão além disso, operar com express˜ oes simplificada 10 3. Os sistemas de computa¸cão algébrica √ √ podem, √ 4 2 algébricas simbólicas. Assim, é poss´ıvel operar com 2 16 x + 16 x , por exemplo, obtendo 10 x como resultado. Os recursos dispon´ıveis nos sistemas de computa¸cão algébrica fornecem ferramentas para abordar, numérica e simbolicamente, problemas envolvendo uma ampla gama de conceitos matemáticos: desde os mais básicos, como opera¸co˜es aritméticas elementares, passando por gráficos em duas ou três dimensões, resolu¸cão de equa¸co˜es e sistemas, opera¸co˜es vetoriais e matriciais, até os mais avan¸cados, tais como limites, derivadas, integrais, expansões em séries de fun¸co˜es, resolu¸cão de equa¸co˜es diferenciais. Entretanto, o uso de tais recursos requer linguagem de programa¸cão com comandos e sintaxe espec´ıficos, que podem ser bastante sofisticados, e cuja aprendizagem pode ser dif´ıcil para alunos no ensino básico. Por outro lado, esse grau de dificuldade pode ser dosado de acordo com o n´ıvel escolar, por meio do planejamento de atividades envolvendo sintaxe mais elementar. Como veremos neste cap´ıtulo, mesmo com alguns poucos comandos, é poss´ıvel realizar uma grande variedade de atividades nos sistemas de computa¸cão algébrica. A pr´ opria aprendizagem de uma sintaxe de programa¸c˜ ao j´ a constitui, por si s´ o, exerc´ıcios de simboliza¸c˜ ao matem´ atica de natureza diferente daqueles que fazemos com papel e l´ apis. De fato, quando aprendemos certa simbologia matemática, devemos nos familiarizar com a consistência lógica de suas regras para expressar ideias e procedimentos matemáticos adequadamente. Quando aprendemos as regras sintáticas de uma linguagem de programa¸cão computacional, as eventuais inconsistências lógicas cometidas já são indicadas pelo próprio software, na forma de mensagens de erro. Isto é, de certa forma, o software responde às tentativas (corretas ou incorretas) do usuário para expressar procedimentos matemáticos. Cálculos simbólicos não acarretam em erros acumulados gerados por arredondamentos ou aproxima¸co˜es, como ocorre com cálculos numéricos, pois seus resultados não são aproxima¸co˜es numéricas, e sim representa¸co˜es simbólicas. Entretanto, isto n˜ ao significa que as ferramentas simb´ olicas 127

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˜ ALGEBRICA ´ CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO

dos sistemas de computa¸c˜ ao alg´ ebrica sejam isentas de limita¸co ˜es. Como você observará em diversos exemplos neste cap´ıtulo, essas ferramentas podem produzir resultados inesperados ou aparentemente contraditórios, mesmo em situa¸co˜es relativamente simples. Desta forma, a interpreta¸c˜ ao de resultados produzidos por ferramentas computacionais simb´ olicas, mesmo nos sistemas de computa¸c˜ ao alg´ ebrica mais poderosos, n˜ ao dispensa ou substitui o conhecimento dos conceitos matem´ aticos envolvidos. Neste cap´ıtulo, enfocaremos apenas uma fra¸cão bastante restrita das vastas possibilidades de aplica¸cão dos sistemas de computa¸cão algébrica. Serão priorizados exemplos de atividades que tenham rela¸cão mais direta com os conteúdos do ensino básico e cujo desenvolvimento não demande o uso de um grande número de comandos ou sintaxe excessivamente complicada. Também serão propostas algumas atividades sobre conceitos um pouco mais avan¸cados, que, embora esses conceitos não figurem explicitamente nos curr´ıculos escolares, envolvem ideias importantes para a fundamenta¸cão teórica da abordagem de Matemática no ensino básico. Essas atividades são mais direcionadas à reflexão do próprio professor. De forma geral, as sugestões propostas neste cap´ıtulo tem objetivo de enriquecer o repertório de recursos didáticos do professor. Deste modo, o professor pode incorporar algumas das atividades aqui apresentadas em seus planos de aula, e sobretudo adquirir autonomia para elaborar outras, mais adequadas às turmas em que leciona, na medida que passa a dominar as ferramentas tecnológicas para o ensino de Matemática. Existem diversos sistemas de computa¸cão algébrica dispon´ıveis, cujas sintaxes de programa¸cão podem diferir muito. Por isso, neste cap´ıtulo teremos como principal o software Maxima [3]. Como nos cap´ıtulos anteriores, esta escolha deve-se ao fato de o Maxima poder ser obtido gratuitamente na internet. Além disso, a a interface wxMaxima, também dispon´ıvel gratuitamente, oferece um conjunto de atalhos que tornam o programa consideravelmente mais amigável. Cabe ressaltar que o objetivo deste cap´ıtulo n˜ ao ´ e aprender a sintaxe espec´ıfica do Maxima, e sim usá-la como exemplo para ilustrar o que pode ser feito com sistemas de computa¸cão algébrica e como esses sistemas podem contribuir para o ensino básico de Matemática. A se¸cão 5.1 visa fornecer um panorama geral das ferramentas básicas do Maxima que podem ser aplicadas à abordagem de conteúdos matemáticos do ensino médio. Procuraremos ainda discutir para que situa¸co˜es os sistemas de computa¸cão algébrica são realmente vantajosos. Como o uso desses sistemas requer a familiariza¸cão com linguagens de programa¸cão espec´ıficas, em geral vale a pena usá-los quando suas ferramentas espec´ıficas são relevantes de fato para as questões tratadas. Na se¸cão 5.2, apresentamos algumas ferramentas mais sofisticas, porém ainda com foco em conteúdos do ensino médio. Nas se¸co˜es 5.3 e 5.4, passamos a enfocar conceitos matemáticos um pouco mais avan¸cados, de cálculo infinitesimal e de aritmética, respectivamente.

5.1

Integrando C´ alculo Num´ erico e Simb´ olico

Nesta se¸cão, serão explorados as ferramentas básicas do Maxima para resolver equa¸co˜es, definir fun¸co˜es e tra¸car gráficos. Procuraremos comparar o desenvolvimento das atividades com o sistema de computa¸cão algébrica, com de atividades semelhantes propostas em cap´ıtulos anteriores, visando avaliar que potencialidades pedagógicas podem ser acrescentadas pela integra¸cão de recursos simbólicos. Como nos cap´ıtulos anteriores, também serão enfocadas algumas limita¸co˜es técnicas dos sistemas de computa¸cão algébrica, destacando a possibilidade de convertê-las em potencialidades pedagógicas. Basicamente, na interface wxMaxima, você poderá digitar os comandos diretamente na linha de comando. Para indicar o encerramento de cada bloco de comandos, você deverá pressionar simultaneamente as teclas Shift e Enter. O software executará então a instru¸cão programada, registrando a entrada e a resposta, respectivamente, nas linhas indicadas pelos s´ımbolos %i e %o (abrevia¸co˜es dos

´ ´ ´ 5.1. INTEGRANDO CALCULO NUMERICO E SIMBOLICO

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termos em inglˆ √es input e output), seguidos de um número. Por exemplo, a figura 5.1 mostra o cálculo simbólico de 12. Para efetuar o mesmo cálculo numericamente, você deverá acrescentar na instru¸cão o comando numer (figura 5.2).

Figura 5.1: Cálculos simbólicos básicos no wxMaxima.

Figura 5.2: Cálculos numéricos básicos no wxMaxima. Alternativamente, é poss´ıvel efetuar primeiro o cálculo simbolicamente e depois obter o resultado numérico (figura 5.3), usando o comando float. O s´ımbolo % é usado para representar o resultado do comando imediatamente anterior. Assim, no caso da instru¸cão da figura 5.3, o s´ımbolo % representa √ ´ 2 3. E poss´ıvel ainda executar dois comandos dentro de um mesmo bloco. Para isto, basta encerrar cada linha com o s´ımbolo ; e separar da linha seguinte pressionando a tecla Enter (lembre-se que para encerrar cada bloco de comandos, é preciso pressionar simultaneamente Shift e Enter).

Figura 5.3: Cálculos simbólicos e numéricos básicos no wxMaxima. Para atribuir letras a constantes numéricas, ou a objetos matem´ √ aticos em √ geral, o s´ımbolo : é empregado (figura 5.4). Assim, para representar por exemplo a = 12 e b = 27, você deverá digitar a:sqrt(12) e b:sqrt(27). Você poderá então operar com estes s´ımbolos. Além disso, os próprios s´ımbolos %i e %o, de input e output, podem ser usados para representar e operar com objetos matemáticos (figura 5.5).

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Figura 5.4: Atribuindo nomes a objetos no wxMaxima.

Figura 5.5: Atribuindo nomes a objetos no wxMaxima. Para resolver equa¸co˜es, o comando básico do Maxima é o solve. Este comando pode ser digitado diretamente, porém a interface wxMaxima oferece uma op¸cão que facilita seu uso e dispensa a memoriza¸cão de sua sintaxe. Assim, basta escolher no menu superior a op¸cão Equa¸co˜es e em seguida Resolver. O sistema abrirá uma caixa com campos para digita¸cão da equa¸cão a ser resolvida e sua incógnita correspondente (figura 5.6).

Figura 5.6: Resolvendo equa¸co˜es com o wxMaxima.


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O comando permite também a resolu¸cão de equa¸co˜es envolvendo constantes literais. Por isso, é necessário especificar qual é a incógnita (figura 5.7 e 5.8). O comando solve pode ser usado ainda para resolver sistemas de equa¸co˜es (figura 5.9). Para isso, as equa¸co˜es, assim como as incógnitas, devem ser separadas por v´ırgulas.



Figura 5.9: Resolvendo sistemas de equa¸co˜es com o wxMaxima.


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Para tra¸car gráficos de fun¸co˜es reais de uma variável, o comando básico é o wxplot2d. Assim como no caso do solve, este comando pode ser acessado no menu superior do wxMaxima, bastando para isso escolher a op¸cão Gráfico e em seguida Gráfico 2d. O sistema abrirá uma caixa com campos para digita¸cão da expressão algébrica da fun¸cão, dos intervalos dos dois eixos nos quais o gráfico será visualizado, dentre outras op¸co˜es. Também é poss´ıvel tra¸car gráficos de várias fun¸co˜es em uma mesma janela gráfica (figura 5.10).

Figura 5.10: Tra¸cando gráficos com o wxMaxima. Atividades 1. Para definir fun¸co˜es no Maxima, o s´ımbolo := deve ser usado. Considere como exemplo a fun¸cão polinomial g : R → R, g(x) = x3 − 2 x + 1. Fa¸ca o que é pedido abaixo no software. Use, a figura a seguir como guia. (a) Defina a fun¸cão g. Note que, uma vez definida g, você não precisará digitar novamente sua expressão algébrica cada vez que a fun¸cão for usada. A partir de agora, basta digitar simplesmente g(x).

´ ´ ´ 5.1. INTEGRANDO CALCULO NUMERICO E SIMBOLICO (b) (c) (d) (e) (f)

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Trace o gráfico de g na janela −5 ≤ x ≤ 5, −10 ≤ y ≤ 10. Encontre as ra´ızes de g. Determine representa¸co˜es decimais para as ra´ızes de p. Determine os valores de g em x = −3, x = −1, x = 1 e x = 3. Determine representa¸co˜es decimais para esses valores.

2. Considere a fun¸cão de segundo grau definida por p(x) = x 2 − 5 x + 3, para x ∈ R. Como você sabe, se p possui ra´ızes reais, então sua média aritmética é a abscissa do ponto de m´ınimo do gráfico da fun¸cão. Para determinar o ponto de m´ınimo com o Maxima, usando este fato, siga o roteiro abaixo. (a) Defina a fun¸cão p.


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(b) Encontre as ra´ızes de p, usando a op¸cão Equa¸co˜es e Resolver.

(c) Atribua nomes a esta ra´ızes. Para isto, você precisará acessar os números que foram obtidos na linha de comando anterior, que é indicada pelo s´ımbolo %o2. Em primeiro lugar, devemos observar que a linha anterior é formada por uma lista ordenada com duas entradas (no Maxima, listas ordenadas são representados por colchetes). Cada um dos elementos de uma lista ordenada é representado pelo nome da lista seguido da respectiva ordem entre colchetes. Assim, √ neste caso,√%o2[1] e %o2[2] representam, respectivamente, as expressões x = 13 − 5 13 + 5 − ex= . Em segundo lugar, observamos que queremos associar nomes 2 2 aos lados direitos destas expressões. O comando em Maxima para fazer isso é rhs (do inglês, right hand side). Assim, devemos definir x1=%o2[1] e x2=%o2[2].

(d) Encontre xv a média aritmética das duas ra´ızes.

(e) Você observará que o software não gerará o resultado em sua forma mais simplificada. Porém, o comando ratsimp pode ser usado para efetuar a simplifica¸cão. Este comando pode ser acessado no menu do wxMaxima, nas op¸co˜es Simplificar e, em seguida, Simplificar expressão.

(f) Calcule yv = p(xv ).

(g) Simplifique também a expressão de yv .


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´ poss´ıvel ainda definir fun¸co˜es por mais de uma expressão com o Maxima. Para isso, devem ser 3. E usados os comandos if, then e else. (a) Considere a fun¸cão u : R → R definida por: 2 x se x < 0 u(x) = x se x > 0 Para definir esta fun¸cão no Maxima, devemos escrever u(x):=(if x<0 then xˆ2 else x);. Isto significa dizer que: se x < 0. então u(x) = x2 ; para os demais valores de x, u(x) = x.

Assim, pode-se tra¸car o gráfico de u, com o comando wxplot.

(b) Considere agora a fun¸cão v : R → R definida por: x2 se x < 0 v(x) = x − 1 se x > 0 Defina a fun¸cão v no máxima e trace seu gráfico. O que você observa? O gráfico foi tra¸cado corretamente? Como você interpreta esse resultado? 4. Use o Maxima para resolver a equa¸cão cos(x) = 0, para x ∈ R. Como você interpreta a resposta do software? Foram exibidas todas as solu¸co˜es da equa¸cão? Justifique suas respostas. 5. Considere a equa¸cão: √

x = 1, para x ∈ R. x+1

(a) Resolva a equa¸cão usando o comando solve. A resposta do software soluciona o problema? (b) O software precisa de uma “ajuda” para resolver a equa¸cão. Eleve ao quadrado a equa¸cão gerada no item anterior. (c) Use novamente o comando solve para resolver a nova equa¸cão obtida. As solu¸co˜es dadas pelo software são de fato ra´ızes de equa¸cão proposta?


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6. Considere a equa¸cão: cos x = x2 , para x ∈ R. (a) Tente resolver a equa¸cão no Maxima, por meio o comando solve. A resposta do software soluciona o problema? (b) A equa¸cão dada têm solu¸co˜es reais? Sugestão: para responder a esta pergunta, analise os gráficos das curvas y = cos x e y = x 2 . (c) Você saberia encontrar expressões para as solu¸co˜es das equa¸co˜es? (d) Como na atividade 5, você observará que o comando solve não ajuda em nada a resolver a equa¸cão. No entanto, neste caso, as solu¸co˜es das equa¸co˜es dadas não têm expressão anal´ıtica. Porém, podemos determinar aproxima¸co˜es numéricas para essas solu¸co˜es. Para isso, use o comando find root. Para acessar o comando, escolha as op¸co˜es Entrada e em seguida Encontrar raiz no menu superior do wxMaxima. Será aberta uma caixa par a digita¸cão da equa¸cão, a incógnita e o intervalo em que a raiz deverá ser procurada. O padrão deste intervalo no software é −1 a 1. Mantenha este padrão e acione o comando.

Você observará que o software retorna uma mensagem de erro. A que se deve este erro? (e) Como você pode alterar os parâmetros de defini¸cão escolhidos para o comando find root no item anterior, de forma a encontrar aproxima¸co˜es numéricas para cada uma das ra´ızes reais da equa¸cão proposta. 7. Use os recursos do Maxima para encontrar aproxima¸co˜es numéricas para cada uma das ra´ızes reais das seguintes equa¸co˜es: (a) ln x =

1 x

(b) 2x = x2

(c) 2x = x3

8. Considere a fun¸cão polinomial do terceiro grau h : R → R, h(x) = x 3 − 4 x + 1. (a) Defina h no Maxima e use o software para gerar o gráfico da fun¸cão. Quantas ra´ızes reais tem h? Quantas ra´ızes complexas tem h no total? (b) Use o comando solve para obter as ra´ızes de h. Para facilitar seu trabalho nas questões a seguir, dê nomes às ra´ızes. Como na atividade 2, você poderá definir esses nomes por meio das instru¸co˜es x1:rhs(%o3[1]), x2:rhs(%o3[2]) e x3:rhs(%o3[3]). No Maxima, o s´ımbolo %i representa a unidade imaginária i. Você pode concluir que as ra´ızes de h exibidas pelo software são números complexos não reais?


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(c) Para verificar melhor a resposta do item anterior, você poderá determinar as partes imaginárias das ra´ızes de h. Para fazer isso, use o comando imagpart do Maxima. Este comando pode também ser acessado no menu do wxMaxima, escolhendo as op¸co˜es Simplificar, Simplifica¸cão complexa e Obter parte imaginária. Agora, com base no resultado produzido por este comando, você pode concluir que as ra´ızes de h exibidas pelo software são números complexos não reais? (d) Use o comando ratsimp para simplificar as partes imaginárias obtidas no item anterior. O que você pode concluir sobre as ra´ızes de h? Justifique sua conclusão com base em argumentos matemáticos. 9. Considere a fun¸cão polinomial do terceiro grau f : R → R, f (x) = x 3 − 4 x + k, em que k é uma constante real. (a) Use Maxima para tra¸car o gráfico de f , para k = 1. Quantas ra´ızes reais distintas f possui neste caso?

(b) Agora, trace o gráfico de f para k = 4. Quantas ra´ızes reais distintas f possui neste caso? (c) Considere a seguinte questão: Determine um valor de k para o qual f possua uma raiz real dupla. Os ´ıtens anteriores sugerem que o valor de k procurado está entre 1 e 4, mas o sistema de computa¸cão algébrica pode ajudar a encontrar a resposta exata desta questão. Para que f tenha uma raiz real dupla, a ordenada de um dos pontos de extremo local de f deve ser igual 0. Para obter os valores das abscissas desses pontos de extremo local, deve-se determinar as ra´ızes da derivada de f . Em seguida, deve-se determinar k tal que a imagem por f de um desses valores é 0. Assim, deve-se resolver uma equa¸cão cuja incógnita é k. Para fazer esta opera¸cão no Maxima, será preciso limpar o valor de k da memória do software, uma vez o u ´ltimo valor numérico atribu´ıdo à constante (no caso, k = 4) ainda deve estar guardado. Isto pode ser feito com o comando kill.

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˜ ALGEBRICA ´ CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO Para determinar a derivada, deve ser empregado o comando diff, que, no wxMaxima, pode ser acessado no menu superior, nas op¸co˜es Cálculo e, em seguida, Diferenciar.

Em seguida, pode-se continuar a solu¸cão da questão de acordo com o procedimento acima.

Finalmente, você poderá gerar uma representa¸cão gráfica para a solu¸cão do problema. Para isso, atribua à constante k o valor encontrado na equa¸cão anterior e use este valor para gerar o gráfico.

(d) O valor de k que soluciona a questão proposta no item anterior é u ńico? Justifique usa resposta.


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10. Considere o seguinte sistema, com (x, y) ∈ R2 e em que k é uma constante real:

x2 − y = 0 x − 2y = k

Use o sistema de computa¸cão algébrica para responder as questões a seguir. (a) Resolva o sistema para k = −1 e fa¸ca um esbo¸co representando a solu¸cão. (b) Resolva o sistema para k = 1 e fa¸ca um esbo¸co representando a solu¸cão. (c) Determine todos os valores de k para os quais o sistema tem: i. apenas uma solu¸cão; ii. duas solu¸co˜es; iii. nenhuma solu¸cão. Fa¸ca um esbo¸co representando a solu¸cão do sistema no caso em que a mesma é u ńica. 11. Repita as atividades 6 e 7 da se¸cão 3.1 (pp. 40 a 41) usando um sistema de computa¸cão algébrica. Procure usar os recursos do software para estudar as solu¸co˜es das equa¸co˜es propostas. 12. Repita a atividade 5 da se¸cão 3.2 (p. 45) usando um sistema de computa¸cão algébrica. Procure usar os recursos do software para estudar as solu¸co˜es das equa¸co˜es propostas. Compare com o uso e ambientes gráficos simples e de ambiente de geometria dinâmica. 13. Repita a atividade 4 da se¸cão 3.3 (p. 50) usando um sistema de computa¸cão algébrica. Procure usar os recursos do software para encontrar as ra´ızes da fun¸cão. 14. Repita a atividade 4 da se¸cão 3.4 (p. 60) usando um sistema de computa¸cão algébrica. Ao empregar o comando solve para encontrar as ra´ızes da fun¸cão ω(x) = sen (log 10 x), será poss´ıvel determinar todas as ra´ızes reais? Observe a mensagem que o software retorna quando esta instru¸cão é executada. 15. Repita as atividades 5 e 6 da se¸cão 3.4 (p. 63) usando um sistema de computa¸cão algébrica. Observe que o comando solve oferece a possibilidade de gerar gráficos em escalas logar´ıtmicas. 16. Repita as atividades 7 e 8 da se¸cão 4.3 (p. 98) usando um sistema de computa¸cão algébrica. Procure usar os recursos do software para estudar as ra´ızes das fun¸co˜es. As atividades 1 a 3 visam apresentar os recursos básicos do Maxima para definir fun¸co˜es, calcular seus valores numérica e simbolicamente, gerar gráficos e resolver equa¸co˜es determinadas por fun¸co˜es. Esses recursos servirão de suporte para o desenvolvimentos das demais atividades desta se¸cão. De forma geral, essas atividades procuram ilustrar o fato de que o uso de sistemas de computa¸c˜ ao alg´ ebrica no ensino ´ e mais vantajoso as situa¸co ˜es em que o uso das ferramentas simb´ olicas do sistema s˜ ao efetivamente relevantes para as quest˜ oes tratadas. Tipicamente, este é o caso das atividades 6 e 7, que envolvem equa¸co˜es cujas solu¸co˜es reais existem, porém não admitem expressões anal´ıticas. Portanto, a integra¸cão de ferramentas simbólicas e numéricas é importante neste caso. Por outro lado, é importante que o aluno desenvolva a consciência de que, apesar dos poderosos recursos simbólicos dos sistemas de computa¸cão algébrica, seus resultados sempre devem ser analisados criticamente. A atividade 3 ilustra este aspecto com um exemplo muito simples: o gráfico de uma função descont´ınua. Observe que o software liga indevidamente os pontos, como se o segmento vertical de (0, −1) a (0, 0) pertencesse ao gráfico (figura 5.11). Este é uma limita¸cão no algoritmo de interpola¸cão, que já foi discutida no Cap´ıtulo 3 (ver atividade 1 da se¸cão 3.3, p. 49).

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Figura 5.11: O gráfico de uma fun¸cão descont´ınua no Maxima. Portanto, os resultados fornecidos pelos sistemas de computa¸c˜ ao alg´ ebrica devem contribuir para o enriquecimento dos conhecimentos matem´ aticos dos alunos, mas n˜ ao substitu´ı-los – esses resultados devem sempre ser encarados criticamente. Neste sentido, o papel do professor é determinante, pois tal atitude cr´ıtica por parte dos alunos nem sempre se desenvolve naturalmente. De fato, tem-se observado que, em certas situa¸co˜es, os estudantes tendem a valorizar mais os resultados do computador que seus próprios conhecimentos matemáticos – mesmo quanto tem seguran¸ca desses conhecimentos (ver por exemplo, [8]). Por isso, é importante explorar situa¸co˜es simples (para as quais o uso do sistema de computa¸cão algébrica nem mesmo seria necessário), mas cujas solu¸co˜es são exibidas de forma incompleta pelo software. A limita¸cão ilustrada na figura 5.11 é de natureza numérica, pois se deve a forma como o software liga pontos para gerar um gráfico. Entretanto, os sistemas de computa¸c˜ ao alg´ ebrica podem ainda apresentar limita¸co ˜es na pr´ opria estrutura simb´ olica, que constituem a principal especificidade desse tipo de software. A atividade 4 ilustra uma limita¸cão dessa natureza, também com um exemplo bastante simples: a resolu¸cão da equa¸cão cos(x) = 0. Evidentemente, não precisamos de um sistema de computa¸cão algébrica para resolver essa equa¸cão, pois sabemos que suas solu¸co˜es são dadas por x = π2 + k π, com k ∈ Z. Entretanto, o software exibe apenas uma solu¸cão x = π2 (figura 5.12). Observe que o próprio sistema retorna uma mensagem apontando para esta limita¸cão: Algumas solu¸co˜es serão perdidas.

Figura 5.12: Resolvendo equa¸co˜es no Maxima. A atividade 5 exemplifica de outra maneira ainda a importância o uso de conhecimentos matemáticos para a interpreta¸cão de resultados gerados pelo sistema de computa¸cão algébrica. Neste caso, o Maxima


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não reconhece a manipula¸cão algébrica necessária para resolver a equa¸cão, e o aluno deverá ser capaz de identificar tal manipula¸cão para “ajudar” o software (figura 5.13).

Figura 5.13: Ajudando o Maxima a resolver uma equa¸cão. Além disso, para interpretar os resultados dados pelo Maxima, o aluno também deverá recorrer a seu conhecimento qualitativo sobre a questão proposta. Quando a equa¸cão original foi elevada ao quadrado, a nova equa¸cão obtida nã√ o é equivalente à original, pois foi acrescentada uma raiz (figura 5.14). Como a equa¸cão original é x = x + 1, para que um número x ∈ R seja ra´ız, este deve necessariamente ser positivo. Portanto, a solu¸cão negativa dada pelo Maxima deve ser descartada. A u ńica solu¸cão real da √ 5+1 equa¸cão é . 2

Figura 5.14: Interpretando resultados do Maxima. ´ claro que este é um exemplo relativamente simples, que também poderia ser resolvido sem o E sistema de computa¸cão algébrica. Entretanto, é importante entender a necessidade de interpretar os resultados do computador em situa¸co˜es mais simples, das quais temos mais clareza, para saber lidar com aquelas em que as propriedades matemáticas não são tão evidentes. Uma situa¸cão um pouco mais sutil é dada na atividade 6. Como na atividade 5, o Maxima não consegue resolver simbolicamente a equa¸cão dada (figura 5.15). Porém, diferentemente da atividade anterior, isto não se deve apenas a uma limita¸cão do software em identificar a estratégia algébrica que conduz à solu¸cão. Neste caso, as solu¸co˜es da equa¸cão proposta não admitem expressões anal´ıticas. Isto é, embora seja poss´ıvel mostrar que a equa¸cão possui solu¸co˜es reais, estas solu¸co˜es não podem ser expressas como combina¸co˜es das opera¸co˜es elementares, potências e radicais, e das fun¸co˜es transcendentes elementares usuais (trigonométricas, exponenciais e logaritmos). Então, só resta tentar encontrar aproxima¸co˜es numéricas para essas solu¸co˜es. No entanto, ao se tentar encontrar essas aproxima¸co˜es numéricas, a princ´ıpio o Maxima retorna uma mensagem de erro (figura 5.16).

Figura 5.15: Tentando resolver a equa¸cão cos(x) = x2 simbolicamente no Maxima.

Figura 5.16: Tentando resolver a equa¸cão cos(x) = x2 numericamente no Maxima.

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O gráfico das curvas y = cos(x) e y = x2 podem ajudar a entender porque a mensagem de erro foi gerada. O algoritmo usado pelo software para encontrar aproxima¸co˜es numéricas para solu¸co˜es de equa¸co˜es se baseia nos seguinte fato: se uma fun¸cão cont´ınua f : [a, b] → R é tal que f (a) e f (b) possuem sinais opostos, então existe (pelo menos) um elemento c ∈ ]a, b[ tal que f (c) = 0 (isto é, a equa¸cão f (x) = 0 tem pelo menos uma raiz no intervalo ]a, b[ ). Esta é uma consequência do Teorema do Valor Intermediário (ver [48, 52]). No caso desta equa¸cão, o software está tentando encontrar para a fun¸cão f (x) = x2 − cos(x). Porém, como f (−1) e f (1) são ambos negativos, não há garantias da existência de ra´ızes no intervalo ] − 1, 1[ (que o intervalo padrão do comando solve no wxMaxima). Verificaremos que, na verdade há duas ra´ızes neste intervalo, no entanto o algoritmo do software não consegue encontrá-las.

Figura 5.17: Explorando graficamente a equa¸cão cos(x) = x 2 Maxima. Os gráficos também ajudam a perceber as localiza¸co˜es das solu¸co˜es da equa¸cão, e a escolher intervalos menores, que permitam ao software encontrar encontrar aproxima¸co˜es numéricas para as mesmas. Por exemplo, temos que f (−π) = f (−π) = π 2 e f (0) = −1. Logo, o Teorema do Valor Intermediário nos garante que a equa¸cão cos(x) = x2 tem pelo menos uma raiz no intervalo ] − π, 0[ e pelo menos uma raiz no intervalo ]0, π[ (figura 5.18).

Figura 5.18: Resolvendo a equa¸cão cos(x) = x2 numericamente no Maxima. A atividade 7 apresenta exemplos de equa¸co˜es semelhantes, que podem ser resolvidas numericamente pelo mesmo procedimento. Em particular no caso do item 7b, um primeiro olhar para os gráficos das curvas y = 2x e y = x2 (figura 5.19, à esquerda) pode sugerir que a equa¸cão 2 x = x2 possui somente duas solu¸co˜es: uma negativa, no intervalo ] − 1, 0[ , e outra igual a 2. Entretanto, temos que 4 também é uma solu¸cão de 2x = x2 , que pode ser visualizada se alteramos a janela gráfica (figura 5.19, à direita). Na figura 7, vemos que, para x suficientemente grande, os valores fun¸cão exponencial ultrapassam os da fun¸cão polinomial. De forma, mais geral, os valores de qualquer fun¸cão exponencial ultrapassam os de qualquer fun¸cão polinomial, para x suficientemente grande. Da´ı, pode-se concluir que a equa¸cão 2x = x3 também tem duas solu¸co˜es reais positivas, sendo uma no intervalo ]1, 2[ e outra no intervalo ]9, 10[ (figura 5.20).


143

Figura 5.19: As curvas y = 2x e y = x2 .

Figura 5.20: As curvas y = 2x e y = x3 . Equa¸co˜es cujas solu¸co˜es não admitem expressões anal´ıticas podem contribuir para a amplia¸cão da concep¸cão dos alunos sobre a resolu¸cão de equa¸co˜es. Em geral, os alunos estão acostumados a lidar com equa¸co˜es “bem comportadas” – cujas solu¸co˜es podem ser determinadas facilmente pela aplica¸cão ´ importante que eles sejam apresentados também a exemplos em de certos procedimentos algébricos. E que é poss´ıvel provar que existem solu¸co˜es reais, porém estas não podem ser obtidas analiticamente. (De fato, em certo sentido, pode-se afirmar que estes constituem a maioria dos casos.) O uso de recursos computacionais no ensino de Matemática torna esses exemplos mais acess´ıveis. Outra situa¸cão cuja interpreta¸cão demanda a compreensão cuidadosa dos conceitos matemáticos envolvidos ocorre na atividade 8. Ao se gerar o gráfico da fun¸cão h(x) = x 3 − 4 x + 1 com o Maxima, a figura mostrada na tela sugere que a fun¸cão tem 3 ra´ızes reais distintas (figura 5.21). Entretanto, ao se resolver a equa¸cão h(x) = 0 com o software, são exibidas 3 ra´ızes complexas cujas partes imaginárias parecem ser diferentes de 0 (figura 5.22). Assim, há um aparente conflito entre as representa¸co˜es gráfica e numérica produzidas pelo software. Somente após se extrair e simplificar as partes imaginárias dessas ra´ızes, verifica-se que estas são nulas (figura 5.23).

Figura 5.21: O gráfico de h(x) = x3 − 4 x + 1 no Maxima.

144


Figura 5.22: As ra´ızes de h(x) = x3 − 4 x + 1 no Maxima.

Figura 5.23: Explorando o comportamento de h(x) = x3 − 4 x + 1 no Maxima. As atividades 9 e 10 exploram a resolu¸cão de equa¸co˜es e de sistemas (respectivamente) dependendo de parâmetros. Assim, os recursos do sistema de computa¸cão algébrica são empregados para determinar os valores dos parâmetros para os quais as equa¸co˜es ou sistemas têm certo número dado de solu¸co˜es. As respostas para tais questões envolvem a resolu¸cão de novas equa¸co˜es, cujas incógnitas passam a ser esses parâmetros. Na atividade 10, para determinar os valores de k para os quais o sistema tem uma u ńica solu¸cão, deve-se, em primeiro lugar, obter expressões para as solu¸co˜es do sistema, em fun¸cão de k (figura 5.24). Em seguida, deve-se igualar as abscissas das duas solu¸co˜es do sistema e resolver a equa¸cão em k assim formada (figura 5.25). Observe que, as solu¸co˜es do sistema são exibidas na forma de duas listas


145

ordenadas dentro de uma lista ordenada. Por isso, para obter os valores de suas abscissas, precisamos usar as instru¸co˜es solucao[1][1] e solucao[2][1], que se referem ao primeiro elemento da primeira lista e ao primeiro elemento da segunda lista. Finalmente, pode-se gerar o gráfico que representa o (único) caso em que o sistema tem uma u ńica solu¸cão (figura 5.26).

Figura 5.24: Explorando o número de solu¸co˜es de um sistema no Maxima.




146 Atividades

17. Discuta as vantagens e desvantagens pedagógicas do uso do sistema de computa¸cão algébrica para realizar as atividades 11 a 16, em rela¸cão a ambientes gráficos simples ou ambiente de geometria dinâmica. Note que, nos casos em que os recursos espec´ıficos do sistema de computa¸cão algébrica não são aproveitados, provavelmente seu uso provavelmente não oferecerá vantagens significativas. 18. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 4 a 10. (a) (b) (c) (d)

Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados? Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades? Qual é o papel do sistema de computa¸cão algébrica no desenvolvimento das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso do sistema de computa¸cão algébrica pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em compara¸cão com abordagens com recursos convencionais (isto é, sem o uso de recursos computacionais), e com outros tipos recursos (especialmente aqueles que não possuem recursos simbólicos)? (e) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplica¸cão dessas atividades em sala de aula?

19. Para cada um dos ´ıtens a seguir, elabore uma atividade usando gráficos um sistema de computação algébrica, com os mesmos objetivos das atividades 4 a 10, que seja adequada para as turmas em que você leciona. 20. Formule uma sequência didática para aplica¸cão de atividades semelhantes à 2, para cada um dos tipos de fun¸cão abaixo. Especifique os objetivos, os conceitos matemáticos explorados e de que maneiras esses conceitos podem ser explorados. (a) fun¸co˜es polinomiais; (b) fun¸co˜es trigonométricas; (c) fun¸co˜es exponenciais e logar´ıtmicas.

5.2

Aprofundando a Explora¸c˜ ao Simb´ olica

Nesta se¸cão, apresentamos algumas ferramentas um pouco mais avan¸cadas do Maxima, ainda abordando conteúdos do ensino básico. Embora essas ferramentas envolvam sintaxe de programa¸cão mais elaborada que aqueles apresentados na se¸cão anterior, os resultados gerados podem ser interessantes para a sala de aula. Assim, mesmo nos casos em que a sintaxe é complicada demais para os alunos do ensino médio, os recursos a seguir podem ser usados pelo professor para produzir recursos para uso em aula. Por exemplo, na atividade 10 da se¸cão anterior, foi abordada representa¸cão gráfica da solu¸cão de um sistema composto pela equa¸cão de uma reta e pela equa¸cão de uma parábola. Na atividade 1 a seguir, é proposto um sistema composto pela equa¸cão de uma reta e pela equa¸cão de um c´ırculo. As solu¸co˜es desse sistema não podem, portanto, ser representadas por meio de gráficos de y como fun¸co˜es de x. Neste caso, temos basicamente duas op¸co˜es para representar graficamente as solu¸co˜es do sistema: por meio de curvas parametrizadas ou de expressões definidas implicitamente. Para gerar curvas planas parametrizadas ou impl´ıcitas no Maxima, pode-se empregar o comando wxdraw2d. Este comando é mais geral que o wxplot2d, que permite apenas desenhar gráficos de fun¸co˜es.

˜ SIMBOLICA ´ 5.2. APROFUNDANDO A EXPLORAC ¸ AO

147

Também apresentaremos alguns exemplos de gera¸cão de objetos em três dimensões, incluindo gráficos de fun¸co˜es de duas variáveis reais (fun¸co˜es R 2 → R) e outras curvas e superf´ıcies no espa¸co. Para isto, serão empregados os comandos wxplot3d e wxdraw3d. Serão apresentados ainda exemplos de produ¸cão de anima¸co˜es, com o comando with slider.

Representando Objetos no Plano e no Espa¸co Antes de iniciar as atividades desta se¸cão, apresentamos algumas novas ferramentas do Maxima, que ajudarão no seu desenvolvimento. Come¸camos apresentando uma forma diferente (e um pouco mais “econômica”) de resolver a atividade 10, em que foi proposto o sistema: 2 x −y =0 (5.1) x − 2y = k A atividade pede a solu¸cão do sistema 5.1 para certos valores fixos de k e, depois, a explora¸cão do seu número de solu¸co˜es, em fun¸cão de k. Para que não seja necessário repetir as equa¸co˜es do sistema várias vezes, podemos usar as ferramentas do Maxima para dar nomes às equa¸co˜es (figura 5.27). Assim, o software passará a identificar pelo nome parabola a equa¸cão x 2 − y = 0.

Figura 5.27: Atribuindo um nome a um objeto matemático no Maxima. Analogamente, podemos nomear a segunda equa¸cão que compõe o sistema. Porém, observamos que esta equa¸cão na verdade representa uma fam´ılia de retas, indexada pelo parâmetro real k. Podemos usar a ferramenta de definir fun¸co˜es no Maxima para criar esta fam´ılia (figura 5.28). Assim, o software passará a identificar por reta(k) a equa¸cão x − 2 y = k para um valor dado de k.

Figura 5.28: Atribuindo um nome a uma fam´ılia de objetos matemáticos no Maxima. Esses nomes para as equa¸co˜es podem então ser usados para efetuar quaisquer opera¸co˜es ou procedimentos que as envolva no Maxima, como por exemplo resolver o sistema 5.1 para k = 1 (figura 5.29), ou para k ∈ R genérico (figura 5.30).

Figura 5.29: Resolvendo um sistema no Maxima.

Figura 5.30: Resolvendo um sistema no Maxima. Na atividade 1 a seguir, serão desenhadas curvas a partir de equa¸co˜es paramétricas e impl´ıcitas, com o comando wxdraw2d, combinado com os comandos implicit ou parametric. Por exemplo, para

148


desenhar o c´ırculo de equa¸cão x2 + y 2 = 1 com o comando wxdraw2d, podemos proceder basicamente de duas maneiras: • implicitamente (figura 5.31): a instru¸cão implicit(xˆ2+yˆ2=1, x,-2,2, y,-2,2) indica a curva plana de equa¸cão cartesiana x2 + y 2 = 1, tra¸cada na janela gráfica −2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2;

• parametricamente (figura 5.32): a instru¸cão parametric(cos(t), sen(t), t,0,2*%pi) indica a curva plana de equa¸cão paramétrica (cos t, sen t), tra¸cada para t ∈ [ 0, 2 π ]. O formato adquirido pela curva deve-se a uma distor¸cão causada pelas escalas dos eixos.

Figura 5.31: Gerando curvas por equa¸co˜es impl´ıcitas no Maxima.

Figura 5.32: Gerando curvas por equa¸co˜es paramétricas no Maxima. As atividades 2 a 7 envolvem a representa¸cão de objetos no espa¸co tridimensional. Os comandos wxplot3d e wxdraw3d podem ser usados de forma análoga aos comandos wxplot2d e wxdraw2d. Por exemplo, a figura 5.33 mostra o gráfico da fun¸cão f : R 2 → R, f (x, y) = x2 + y 2 , gerado com o comando wxplot3d (que pode ser acessado no menu superior do wxMaxima, da mesma forma que o comando wxplot2d). O gráfico dessa fun¸cão é um parabolóide circular, que também pode ser gerado como equa¸cão impl´ıcita por meio do comando wxdraw3d (figura 5.34). Como você notará, a resolu¸cão das curvas geradas pelo comando wxplot3d é, em geral, melhor que a das geradas pelo comando wxdraw3d. Para gerar superf´ıcies que não são gráficos de fun¸co˜es R 2 → R, como é o caso do cilindro x2 + (y − 1)2 = 1, deve-se necessariamente usar o comando wxdraw3d (figura 5.35).


Figura 5.33: Gerando gráficos de fun¸co˜es reais de duas variáveis no Maxima.

Figura 5.34: Gerando superf´ıcies por equa¸co˜es impl´ıcitas no Maxima.

Figura 5.35: Gerando superf´ıcies por equa¸co˜es impl´ıcitas no Maxima.

149

150


Para tra¸car curvas no espa¸co com o Maxima, deve-se representá-la parametricamente. Por exemplo, consideremos a curva C no espa¸co, dada pela interse¸cão entre o parabolóide z = x 2 + y 2 e o cilindro x2 + (y − 1)2 = 1. Para obter equa¸co˜es paramétricas a esta curva C, observamos que ela é dada pela imagem do c´ırculo de equa¸cão x2 + (y − 1)2 = 1 pela fun¸cão f (x, y) = x2 + y 2 . Uma parametriza¸cão do c´ırculo é dada por (x(t), y(t)) = (cos t, sen t + 1). Assim, para completar a parametriza¸cão de C, fazemos: z(t)=f (cos t, sen t + 1) = (cos t)2 + ( sen t + 1)2 = cos2 t + sen 2 t + 2 sen t + 1 =2 sen t + 2 Tendo as equa¸co˜es paramétricas, pode-se usar os comandos wxdraw3d e parametric, de forma análogo ao caso bidimensional (figura 5.36). A figura 5.37 mostra as duas superf´ıcies tra¸cadas juntamente com a curva dada por sua interse¸cão.

Figura 5.36: Gerando curvas no espa¸co por equa¸co˜es paramétricas no Maxima.

Figura 5.37: Gerando objetos no espa¸co tridimensional no Maxima.


151

Atividades 1. Considere o seguinte sistema, com (x, y) ∈ R2 e em que k é uma constante real:

x2 + y 2 = 1 2x+y = k

Use o sistema de computa¸cão algébrica para responder as questões a seguir. (a) Resolva o sistema para k = 1 e fa¸ca um esbo¸co representado a solu¸cão. (b) Determine todos os valores de k para os quais o sistema tem uma u ńica solu¸cão. Para cada um desses valores de k, fa¸ca um esbo¸co representado a solu¸cão do sistema. 2. O Maxima possui uma ferramenta para resolu¸cão de sistemas lineares, por meio do comando linsolve, que pode ser acessado no menu superior do wxMaxima, na op¸cão Equa¸co˜es, em seguida Resolver sistema linear. (a) Considere, por exemplo, o sistema linear:   x + 2y + z = 0 2x − y − z = 1  x − 2z = −1

Ao acessar o comando linsolve no wxMaxima, o sistema abrirá uma caixa para digita¸cão do número de equa¸co˜es (abaixo, à esquerda), em seguida uma caixa para digita¸cão de cada uma das equa¸co˜es e as incógnitas (abaixo, à direita).

O software retornará então a solu¸cão do sistema.

Use o comando linsolve para resolver os sistemas abaixo. Como você interpreta as respostas dadas pelo Maxima?   x + 2y + z = 0 (b) 2x − y − z = 1  3x + y = 1

  x + 2y + z = 0 (c) 2x − y − z = 1  3x + y = −1


152

3. O Maxima oferece ferramentas para definir e operar com matrizes. O comando matrix, que serve ´ para definir matrizes, pode ser acessado no menu superior do wxMaxima, na op¸cão Algebra, em seguida Introduzir matriz. (a) Considere, por exemplo, a matriz associada ao sistema linear do item 2a: 

 1 2 1 A =  2 −1 −1  1 0 −2 Ao acessar o comando matrix no wxMaxima, o sistema abrirá uma caixa para digita¸cão do número de linhas e do número de colunas (abaixo, à esquerda), em seguida uma caixa para digita¸cão de cada uma das entradas da matriz (abaixo, à direita).

O software retornará então a matriz definida.

(b) Os comandos determinant e invert servem para calcular o determinante e a inversa de uma matriz. Use esses comandos para calcular o determinante e a inversa da matriz A definida acima. (c) Sabemos que todo sistema linear pode ser escrito na forma matricial. Por exemplo, o sistema linear do item 2a pode ser escrito na forma: 

    1 2 1 x 0  2 −1 −1   y  =  1  1 0 −2 z −1 Portanto, para resolver o sistema, deve-se multiplicar a matriz inversa de A pelo vetor (0, 1, −1). No Maxima, deve-se usar um ponto para representar o produto entre matrizes e entre matrizes e vetores. Compare com a solu¸cão obtida no item 2a.


153

´ poss´ıvel obter a solu¸cão desse (d) Escreva os sistemas dos ´ıtens 2b e 2c na forma matricial. E sistema por meio do produto pela matriz inversa? Justifique sua resposta. 4. Em transforma¸co˜es lineares, uma interpreta¸cão geométrica do determinante de uma matriz é a razão entre a medida da imagem de um conjunto e a medida do conjunto original. Assim, no caso bidimensional, sabemos que uma matriz A ∈ M2×2 (R) define uma transforma¸cão linear TA : R2 → R2 , dada por: x TA (x, y) = A y Então, se X ⊂ R2 é um subconjunto do plano e S(X) é área de X, temos:

(a) (b)

(c) (d)

S(A(X)) = | det A| S(X) 2 −1 Considere, por exemplo, a matriz: A = . −2 3 Use o sistema de computa¸cão algébrica para calcular o determinante de A. Considere quadrado Q em R2 , cujos vértices são os pontos (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1). A imagem de Q por A é o paralelogramo A(Q), cujos vértices são Q(0, 0), Q(1, 0), Q(1, 1) e Q(0, 1). Qual é a área desse paralelogramo? Fa¸ca um esbo¸co do paralelogramo A(Q) com o Maxima. Sugestão: use o software para determinar os vértices de A(Q) e escreva equa¸co˜es paramétricas para seus lados. Qual é a interpreta¸cão geométrica do determinante no caso em que det A = 0? Qual é a interpreta¸cão geométrica do determinante no caso tridimensional, isto é, para A ∈ M3×3 (R)?

5. Voltemos ao sistema linear do item 2b. Podemos observar que a terceira equa¸cão do sistema é a soma das outras duas, portanto esta pode ser eliminada. Então, o sistema é indeterminado, isto é, possui infinitas solu¸co˜es. Mais precisamente, o sistema original é equivalente a:

x + 2y + z = 0 2x − y − z = 1

Da´ı, podemos concluir que o conjunto solu¸cão do sistema é a interse¸cão de dois planos distintos no R3 . Logo, este conjunto é uma reta no espa¸co. A resposta dada pelo Maxima para a resolu¸cão do sistema por meio do comando linsolve corresponde a equa¸co˜es paramétricas para essa reta (o s´ımbolo %r1 representa o parâmetro das equa¸co˜es). (a) Represente o conjunto solu¸cão do sistema no Maxima, por meio de equa¸co˜es paramétricas. (b) Represente o conjunto solu¸cão do sistema no Maxima, como interse¸cão entre dois planos.


154

6. Sejam A a matriz associada ao sistema do item 2a e B a matriz associada aos sistemas dos ´ıtem 2b e 2c. (a) Determine e represente geometricamente os vetores A(1, 0, 0), A(0, 1, 0) e A(0, 0, 1). Qual é a rela¸cão entre esses vetores? (b) Determine e represente geometricamente os vetores B(1, 0, 0), B(0, 1, 0) e B(0, 0, 1). Qual é a rela¸cão entre esses vetores? 7. Use o Maxima para gerar as seguintes superf´ıcies no espa¸co. x2 y 2 + =1 4 9

(a) z = x2 + y 2

(b)

(d) z 2 = x2 + y 2

(e) z 2 = x2 + y 2 + 1

(c)

x2 y 2 z 2 + + =1 2 4 9

(f) z 2 = x2 + y 2 − 1

Na atividade 1, podemos atribuir nomes para as equa¸co˜es do sistema, considerando a segunda equa¸cão como um fam´ılia indexada pelo parâmetro k (figura 5.38). Assim, podemos resolver o sistema, por meio do comando solve, e representar a graficamente as solu¸co˜es, por meio dos comandos wxdraw2d e implicit (figura 5.39).

Figura 5.38: Resolvendo sistemas no Maxima.

Figura 5.39: Resolvendo sistemas no Maxima.


155

De forma análoga aos exemplos anteriores, obtemos as expressões das solu¸co˜es do sistema, para k genérico. Para determinar os valores de k para os quais o sistema tem uma u ńica solu¸cão, igualamos as abscissas dessas solu¸co˜es e resolvemos a equa¸cão assim obtida tendo k como incógnita (figura 5.40). Em seguida, representamos graficamente o sistema, para os dois valores de k para os quais a solu¸cão é u ńica (figura 5.41).




156

As atividades 2 a 6 buscam chamar aten¸cão para a integra¸cão entre a resolu¸cão de sistemas lineares, os conceitos de matriz e determinante, e para as interpreta¸co˜es geométricas dessas no¸co˜es. No ensino médio, abordagem de sistemas lineares em geral se resume à apresenta¸cão de procedimentos de resolu¸cão e classifica¸cão quanto ao número de solu¸co˜es (como determinado, indeterminado ou imposs´ıvel). Entretanto, pouca ênfase é dada para o significado geométrico desses tipos de solu¸co˜es, para a interpreta¸cão geométrica do determinante de uma matriz como medida e para as rela¸co˜es entre estas ideias. Por exemplo, não é incomum que os alunos saibam identificar que um dado sistema é indeterminado e que isto significa que o mesmo tem infinitas solu¸co˜es, porém não consigam reconhecer que solu¸co˜es são essas e que tipo de conjunto elas formam. Os sistemas de computa¸cão algébrica podem ajudar a produzir recursos que tornem essas no¸co˜es mais concretas para os alunos. Na atividade 2, as respostas dadas pelo Maxima indicam que os sistema do item (b) tem infinitas solu¸co˜es (figura 5.42) e o sistema do item (c) não tem solu¸co˜es (figura 5.43).

Figura 5.42: Solu¸co˜es de sistemas lineares no Maxima.

Figura 5.43: Solu¸co˜es de sistemas lineares no Maxima. A atividade 3 enfoca a resolu¸cão de sistemas lineares na forma matricial, e a atividade 4 a interpreta¸cão geométrica de determinante como razão entre medidas de conjuntos. No caso bidimensional, explorado na atividade 4, a medida é área. Porém, no caso tridimensional, vale a interpreta¸cão análoga, de determinante como razão entre volumes. Para o professor, é importante que fique clara a rela¸cão entre essas ideias, especialmente no caso de sistemas sem solu¸co˜es ou com infinitas solu¸co˜es. Por exemplo, no caso tridimensional, temos que qualquer sistema linear pode ser escrito na forma matricial:   a11 x + a12 y + a13 z = b1 a21 x + a22 y + a23 z = b2  a31 x + a32 y + a33 z = b3 m



    a11 a12 a13 x b1  a21 a22 a23   y  =  b2  a31 a32 a33 z b3

Se a matriz A = (aij ) tem determinante 0, isto significa que ela transforma conjuntos com volumes diferentes de 0 em conjunto com volumes iguais a 0. Isto é, a matriz transforma objetos tridimensionais em objetos bidimensionais ou unidimensionais. Neste caso, essa transforma¸cão não pode ser injetiva nem sobrejetiva. Como a transforma¸cão não é injetiva, cada elemento da imagem está associado a mais de um elemento do dom´ınio. Como a transforma¸cão não é sobrejetiva, existem elementos do contradom´ınio que não estão associados a nenhum elemento do dom´ınio (isto é, que não pertencem à imagem). Se o vetor (b1 , b2 , b3 ) pertence à imagem de A, então o sistema tem infinitas solu¸co˜es (como é o caso do item 2b). Se, por outro lado, o vetor (b1 , b2 , b3 ) não pertence à imagem de A, então o sistema não tem solu¸co˜es (como é o caso do item 2c).


157

Na atividade 3, calculamos em primeiro lugar os vértices do paralelogramo A(Q) (figura 5.44). Como Q tem área 1 e det A = 4, então a área de A(Q) é igual a 4.

Figura 5.44: Matrizes, determinantes e áreas no Maxima. Em seguida, determinamos equa¸co˜es paramétricas para os lados de A(Q). Para isso, usamos o fato de que o segmento que liga u e v pode ser parametrizado por t u + (1 − t) v, com t ∈ [0, 1]. (figura 5.45). Usamos então essas equa¸co˜es paramétricas para gerar uma representa¸cão para A(Q) no Maxima (figura 5.46).

Figura 5.45: Matrizes, determinantes e áreas no Maxima.

158


Figura 5.46: Matrizes, determinantes e áreas no Maxima. A atividade 5 explora a interpreta¸cão geométrica da solu¸cão do sistema linear do item 2b. Como este sistema é indeterminado, admite infinitas solu¸co˜es. Mais precisamente, como esse sistema pode ser interpretado com a interpreta¸cão de dois planos no espa¸co (representados na figura 5.47, à esquerda), então conclu´ımos que seu conjunto solu¸cão é uma reta no R 3 (representada por meio de suas equa¸co˜es paramétricas na figura 5.47, à direita). A figura 5.48 mostra a representa¸cão da juntamente com os dois planos.

Figura 5.47: Interpreta¸cão geométrica da solu¸cão de um sistema linear no Maxima.


159

Figura 5.48: Interpreta¸cão geométrica da solu¸cão de um sistema linear no Maxima. A atividade 6 tem como objetivo ilustrar o fato de que uma matriz M ∈ M 3×3 (R) transforma vetores não coplanares em: vetores não coplanares se det M 6= 0, e em vetores coplanares se det M = 0. Esta é outra interpreta¸cão para o fato de que uma matriz com determinante nulo transforma objetos tridimensionais em objetos unidimensionais ou bidimensionais. Por exemplo, temos que det B = 0 e que B(1, 0, 0) = (1, 2, 3), B(0, 1, 0) = (2, −1, 1) e B(0, 0, 1) = (1, −1, 0). Então, podemos observar que: B(1, 0, 0) = 3 B(0, 1, 0) − 5 B(0, 0, 1) Portanto, os vetores B(1, 0, 0), B(0, 1, 0) e B(0, 0, 1) são coplanares. Entretanto, representa¸co˜es geométricas geradas no software nem sempre permitem uma percep¸cão clara desta propriedade. Por exemplo, como observamos na figura 5.49, as imagens geradas pelo Maxima não oferecem uma percep¸cão de profundidade clara, que permita distinguir vetores não coplanares de coplanares. Mais uma vez, esta situa¸cão ilustra o fato de que os resultados produzidos pelo computador não dispensam a compreensão dos conceitos matemáticos envolvidos.

Figura 5.49: Representa¸cão de vetores não coplanares (à esquerda) e de vetores coplanares (à direita) no Maxima.

160


Para gerar as superf´ıcies na atividade 7, deve-se observar em que casos em que pode ser usado o comando wxplot3d e aqueles em que deve ser usado o comando wxdraw3d. (figuras 5.50 a 5.52). Você perceberá que a resolu¸cão dos gráficos gerados pelo software nem sempre favorece a compreensão imediata do aspecto geométrico das superf´ıcies, porém esses gráficos podem ajudar a explorar as propriedades geométricas dessas superf´ıcies. O Maxima possui ferramentas que permitem melhorar a qualidade das imagens geradas. Entretanto, não é objetivo deste texto abordar estes aspectos técnicos do software. O leitor que se interessar não terá dificuldades em encontrar referências dispon´ıveis na internet.

Figura 5.50: Um parabolóide hiperbólico e um parabolóide el´ıptico no Maxima.

Figura 5.51: Um elipsóide e cone circular no Maxima.

Figura 5.52: Hiperbolóide de duas folhas e de uma folha no Maxima.


161

Anima¸co ˜es Encerramos esta se¸cão com um exemplo de constru¸cão de anima¸co˜es no Maxima (atividade 8 e 9). Anima¸co˜es de gráficos podem ser particularmente interessantes para o estudo do comportamento de fam´ılias de fun¸co˜es dependendo de parâmetros. No Maxima, o comando básico para para gerar anima¸co˜es é with slider. Para empregar esse comando, devem ser declarados os valores de um parâmetro com os quais se deseja produzir a anima¸cão, e a expressão algébrica de uma fam´ılia de fun¸co˜es dependente desse parâmetro. de acordo com a sintaxe mostrada na figura 5.53. Os software gerará então os gráficos da fam´ılia de fun¸co˜es correspondentes aos valores declarados para o parâmetro, e a anima¸cão será produzida pela proje¸cão quadro a quadro desses gráficos. O menu superior do wxMaxima dispõe de botões para controlar a anima¸cão.

Figura 5.53: Construindo anima¸co˜es no Maxima. Em lugar de se digitar os valores do parâmetro um a um, pode se usar o comando makelist para criar uma lista com esses valores. Por exemplo, a instru¸cão da linha %i2 da figura 5.54 gera uma lista com valores inteiros de k de 1 a 10. Portanto, a instru¸cão da linha %i3 produzirá um resultado equivalente ao da figura 5.53. O comando makelist é particularmente u ´til quando se deseja criar uma lista com uma quantidade grande de valores. Por exemplo, a instru¸cão mostrada na figura 5.55 corresponde à gera¸cão da lista forma pelos valores de k4 , para k inteiro variando de 1 a 40. Entretanto, uma anima¸cão com quantidade muito grande de quadros pode tomar um tempo de processamento pelo Maxima excessivamente prolongado.

Figura 5.54: Construindo anima¸co˜es no Maxima.

Figura 5.55: Construindo anima¸co˜es no Maxima.


162 Atividades

8. Para cada um dos ´ıtens a seguir, elabore uma atividade usando anima¸co˜es de fam´ılias de gráficos de fun¸co˜es dependendo de parâmetros, que seja adequada para as turmas em que você leciona. Formule também uma sequência didática para aplica¸cão de cada uma das atividades que você elaborar em uma aula de 50 minutos. Especifique os objetivos, os conceitos matemáticos explorados e de que maneiras esses conceitos podem ser explorados. (a) fun¸co˜es polinomiais; (b) fun¸co˜es trigonométricas; (c) fun¸co˜es exponenciais e logar´ıtmicas. 9. Discuta as vantagens e desvantagens do uso de anima¸co˜es produzidas com sistemas de computa¸cão algébrica para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em compara¸cão com abordagens convencionais (isto é, sem o uso de recursos computacionais), e com gráficos dinâmicos produzidos em ambiente de geometria dinâmica (como os apresentados na se¸cão 4.3). 10. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 8. (a) (b) (c) (d)

Quais são os principais conceitos matemáticos enfocados? Quais são, na sua opinião, os objetivos das atividades? Qual é o papel do sistema de computa¸cão algébrica no desenvolvimento das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso do sistema de computa¸cão algébrica pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em compara¸cão com abordagens com recursos convencionais (isto é, sem o uso de recursos computacionais)? (e) Quais dessas atividades poderiam ser adaptadas para o ensino médio? (f) Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplica¸cão dessas atividades em sala de aula?

5.3

Conceitos Fundamentais do C´ alculo Infinitesimal

Esta se¸cão enfocará o uso de sistemas de computa¸cão algébrica na abordagem dos conceitos fundamentais do cálculo infinitesimal de fun¸co˜es reais de uma variável real: limite, derivada e integral. Embora o cálculo infinitesimal não fa¸ca parte dos curr´ıculos da maioria das escolas no Brasil, suas ideias estão intrinsecamente ligadas com a fundamenta¸cão matemática de muitos tópicos estudados no ensino médio, tais como números reais e fun¸co˜es. Portanto, o conhecimento dessas ideias é importante para a forma¸cão do professor. Além disso, diversas cole¸co˜es de livros didáticos para o ensino médio têm trazido cap´ıtulos de “introdu¸cão ao Cálculo”, porém, em grande parte dos casos, estes apresentam apenas procedimentos e regras para cálculo de limites e derivadas. A incorpora¸cão de recursos computacionais no ensino abre novas possibilidades para a abordagem de cálculo infinitesimal. Por exemplo, as ferramentas simbólicas dispon´ıveis nos sistemas de computa¸cão algébrica permitem que o foco da abordagem não fique tão centrado em procedimentos pesados de cálculo, e seja mais direcionado para a interpreta¸cão e análise de propriedades qualitativas de resultados. Assim, recursos computacionais, desde que integrados em abordagens pedagógicas cuidadosamente planejadas e conduzidas, podem contribuir para que os conceitos do cálculo infinitesimal sejam apresentados de forma mais acess´ıveis e, em certos casos, possibilitar a antecipa¸cão de sua abordagem. O Maxima dispõe de ferramentas para calcular limites, derivadas e integrais numérica e simbolicamente, como veremos a seguir.

´ 5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CALCULO INFINITESIMAL

163

Limites O comando básico para cálculo de limites é limit, que pode ser acessado no menu superior do wxMaxima, seguindo as op¸co˜es Cálculo e Encontrar limites. Este comando permite o cálculo de limites globais (figura 5.56) e laterais (figura 5.58), por meio da sele¸cão das op¸co˜es dispon´ıveis no campo Dire¸cão.

Figura 5.56: Calculando limites com o wxMaxima.

Figura 5.57: Calculando limites com o wxMaxima.

Figura 5.58: Calculando limites laterais com o wxMaxima.


164

Também podem ser calculados limites no infinito (figura 5.59). Para isto, a op¸cão Infinito deve ser selecionada no campo Especial. Podem ainda ser calculados limites de expressões envolvendo constantes (figura 5.60). Neste caso, é importante indicar corretamente a variável segundo a qual o limite deve ser calculado.

Figura 5.59: Calculando limites no infinito com o wxMaxima.

Figura 5.60: Calculando limites com o wxMaxima. Atividades 1 1 e f2 (x) = 2 . Use o Maxima x x para calcular os limites lim f1 (x) e lim f2 (x). Compare os resultados dados pelo software. Agora,

1. Considere as fun¸co˜es f1 , f2 : R? → R, definidas por f1 (x) = x→0

x→0

calcule os limites laterais lim− f1 (x), lim+ f1 (x), lim− f2 (x) e lim+ f2 (x). Como você interpreta x→0

esses resultados?

x→0

x→0

x→0

x 1 2. Considere as fun¸co˜es g1 , g2 : R → R, definidas por g1 (x) = e g2 (x) = sen . Use o |x| x Maxima para calcular lim g1 (x) e lim g2 (x). Compare os resultados dados pelo software. Agora, ?

x→0

x→0

calcule lim− g1 (x), lim+ g1 (x), lim− g2 (x) e lim+ g2 (x). Como você interpreta esses resultados? x→0

x→0

x→0

x→0


165

3. Repita as atividades 8 a 11 da se¸cão 3.3 (p. 54 a 55) usando um sistema de computa¸cão algébrica. Procure usar os recursos do software para determinar os limites necessários. Que vantagens e desvantagens pedagógicas você vê no uso do sistema de computa¸cão algébrica para realizar estas atividades? Na atividade 1, todos os limites laterais são infinitos. Porém, os limites laterais de f 1 possuem sinais 1 opostos, enquanto que os de f2 têm o mesmo sinal. Assim, temos que lim 2 = +∞, que corresponde x→0 x 1 à resposta dada pelo Maxima. Porém, não podemos representar lim pelo s´ımbolo de infinito. Por x→0 x 1 isso, o Maxima retorna o palavra Infinity ao cálculo de lim , significando apenas que os limites laterais x→0 x são infinitos.

Figura 5.61: Limites infinitos no wxMaxima. Na atividade 2, ambos os limites propostos não existem, porém com comportamentos distintos (figura 5.62). No caso da fun¸cão g1 , o limite global não existe porque os limites laterais existem mas são diferentes. Porém, no caso de g2 nem mesmo os limites laterais existem. Para apontar essa diferen¸ca de comportamento, o Maxima retorna os termos: und, no caso em que o limite global não existe por que os limites laterais existem mas são diferentes; e ind no caso em que o limite não existe por outros motivos. Para entender melhor o comportando dessas fun¸co˜es, você poderá usar o próprio software para tra¸car seus gráficos1 (figura 5.63). Observe que, por exemplo, que: 1 1 sen = 0 ⇐⇒ x = ,n ∈ Z x nπ 1 1 sen ,n ∈ Z = 1 ⇐⇒ x = π x +nπ 2

Portanto, existem sequências de números reais positivos (a n )n∈N e (bn )n∈N tais que lim an = lim bn = 0, mas lim g2 (an ) = 0 e lim g2 (bn ) = 1. Por isso, não pode existir lim+ g2 (x). Analox→0

gamente, não pode existir lim+ g2 (x). Na verdade, para cada α ∈ [0, 1], podemos construir uma x→0

sequência de números reais (positivos ou negativos) (x n )n∈N tal que lim xn = 0 e lim g2 (xn ) = α. 1

Observe que o Maxima não representa graficamente o fato de o ponto x = 0 não pertencer ao dom´ınio das fun¸co ˜es. Este tipo de limita¸cão computacional já foi amplamente discutida no cap´ıtulo 3.

166


Figura 5.62: Limites inexistentes no wxMaxima.

Figura 5.63: Limites inexistentes no wxMaxima.


167

Derivadas Para calcular derivadas, o comando básico do Maxima é diff. Esse comando também é acess´ıvel no menu superior do wxMaxima, nas op¸co˜es Cálculo e Diferenciar, em que devem ser informadas a fun¸cão a ser derivada, a variável de deriva¸cão e a ordem da derivada (figura 5.64). Assim, este comando permite também o cálculo direto de derivadas de ordem superior (figura 5.65). Também podem ser calculadas derivadas de fun¸co˜es cujas expressões envolvem constantes ou várias variáveis, o que, em particular, permite o cálculo de derivadas parciais (figura 5.66).

Figura 5.64: Calculando derivadas com o wxMaxima.




168 Atividades

4. Considere a fun¸cão h : R → R definida por h(x) = ||x| − 1|. (a) Use o Maxima para calcular h0 . Esta derivada está definida para todos os valores de x? (b) Trace os gráficos de h e de h0 . Como você interpreta esses resultados? √ 5. Considere a fun¸cão p : R → R definida por p(x) = x4 − 3 x2 − 2 2 x + 2. Use o Maxima para responder às questões a seguir. (a) Defina a fun¸cão derivada2 de p. Para isso, siga os passos mostrados na figura abaixo: você deverá primeiro atribuir um nome à expressão simbólica de p 0 gerada pelo software e, em seguida, usar o comando ev (que serve para atribuir valores numéricos a uma expressão simbólica) para definir a fun¸cão com essa expressão.

(b) Determine todos os valores de x ∈ R em que a p0 (x) = 0. Use o comando ratsimp para simplificar as expressões geradas pelo programa. (c) Determine as equa¸co˜es das retas tangentes ao gráfico de p no pontos (1, p(1)), (2, p(2)), e em todos os pontos em que a reta tangente é horizontal. (d) Esboce os gráficos de p e p0 na mesma janela gráfica. (e) Esboce o gráfico de p e todas as retas tangentes obtidas no item 5c na mesma janela gráfica. x2 − 4 6. Considere a fun¸cão q : R \ 0, 21 → R definida por q(x) = . Use o Maxima para 2 x2 − x responder às questões a seguir. (a) Defina a fun¸cão derivada de q. (b) Calcule lim q(x) e lim q(x). x→+∞

x→−∞

(c) Determine todos os pontos de máximo e de m´ınimo locais de q. (d) Fa¸ca esbo¸cos do gráfico de p em janelas gráficas em que seja poss´ıvel visualizar esses pontos de máximo e de m´ınimo. 7. Em muitos casos não é poss´ıvel resolver analiticamente equa¸co˜es do tipo f (x) = 0, isto é, não é poss´ıvel encontrar os valores exatos das ra´ızes da fun¸cão f . Por exemplo, considere as equa¸co˜es dadas nas atividades 6 e 7 da se¸cão 5.1 (p. 136). Nessas situa¸co˜es, só é poss´ıvel procurar demonstrar a existências das ra´ızes e buscar valores aproximados para elas. 2

Você não poderá usar o s´ımbolo p0 para definir uma fun¸cão, portanto escolha outro s´ımbolo, que envolva apenas letras e n´ umeros, para representar a derivada de p.

´ 5.3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO CALCULO INFINITESIMAL Uma das principais formas de obter aproxima¸co˜es para ra´ızes de fun¸co˜es é o chamado método de Newton, que consiste no seguinte. Seja f : ]a, b[ ⊂ R → R uma fun¸cão cujas ra´ızes deseja-se aproximar. Come¸camos com um valor x0 e encontramos a reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0 , f (x0 )). Tomamos o ponto x1 , de interse¸cão entre essa reta tangente e o eixo x. Aplicamos então o mesmo procedimento a x1 , obtendo o ponto x2 , de interse¸cão da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x1 , f (x1 )) com o eixo x. Assim, constru´ımos uma sequência (xn )n∈N tal que xn+1 é o ponto de interse¸cão da reta tangente ao gráfico de f no ponto (xn , f (xn )) com o eixo x. Como essa reta tem equa¸cão dada por y = f 0 (xn )(x − xn ) + f (xn ), então a sequência (xn ) é definida recursivamente da seguinte forma: xn+1 = xn −

169 y

x

f (xn ) f 0 (xn )

´ poss´ıvel mostrar que, se f tem uma raiz no intervalo ]a, b[ , é duas vezes diferenciável com f 00 E cont´ınua, e f 0 não se anula, então é poss´ıvel escolher um valor inicial x 0 para o qual a sequência definida pelo método de Newton convirja para uma raiz de f (ver, por exemplo [48, 52]). (a) Elabore um procedimento para aplicar o método de Newton no Maxima. (b) Considere a fun¸cão polinomial f : R → R, f (x) = x5 + x3 + 1. Como f é de grau ´ımpar e f 0 (x) = 5 x4 + 3 x2 > 0 ∀ x ∈ R, podemos concluir que f tem uma u ńica raiz real. Tente usar o comando solve para resolver a equa¸cão f (x) = 0 simbolicamente. Aplique o método de Newton para encontrar uma aproxima¸cão para essa raiz. Compare o resultado com o comando find root, que serve resolver equa¸co˜es numericamente. 8. O objetivo desta atividade é usar o Maxima para explorar o comportamento local de uma fun¸cão diferenciável f próximo a um ponto x0 de seu dom´ınio, comparando a rela¸cão entre o gráfico de f e a sua reta tangente em (x0 , f (x0 )) com a rela¸cão entre o gráfico e outras retas que passam por (x0 , f (x0 )) mas não são tangentes. Em primeiro lugar, você deverá escolher: uma fun¸cão diferenciável f ; um ponto x 0 no dom´ınio de f ; um valor a ∈ R (que será a inclina¸cão de uma reta passando pelo ponto (x 0 , f (x0 ))). Esta reta terá, portanto, a seguinte equa¸cão: r(x) = m (x − x0 ) + f (x0 ) .

No exemplo a seguir, foram escolhidos f (x) = x2 , x0 = 1 e a = 2 (que é corresponde à f 0 (x0 )).

170

˜ ALGEBRICA ´ CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO Agora, digite no Maxima a seguinte rotina3 , que chamaremos de aproxima¸cão linear:

O valor de h na primeira linha da rotina representa o varia¸cão h = ∆x = x − x 0 . Você poderá alterar livremente este valor, e acionar novamente a rotina. O software dará então o seguinte retorno: • o valor de h; • a diferen¸ca ρ(h) entre os valores de f e de r em x = x0 + k:

ρ(h) = f (x0 + h) − r(x0 + h) = f (x0 + h) − f (x0 ) − a h ;

• a razão ρ entre a diferen¸ca acima e h: f (x0 + h) − r(x0 + h) ρ(h) = α(h) = h h f (x0 + h) − f (x0 ) − a h f (x0 + h) − f (x0 ) = = −a; h h • uma figura exibindo: os gráficos de f (em azul) e de r (em lilás) no intervalo [x 0 −h, x0 +h]; juntamente com um segmento de reta horizontal (em vermelho), cujo comprimento é |h|; um segmento de reta vertical (em vermelho), que liga esses dois gráficos na extremidade superior do intervalo, e, portanto, cujo comprimento é igual a |ρ(h)|.

3

As defini¸co ˜es de y1, y2, xrange e yrange visam apenas ajustar o tamanho da janela gráfica para melhor visualiza¸cão. Portanto, não constituem parte conceitual importante da atividade.


171

(a) Mantendo a = 2, acione a rotina aproxima¸cão linear para h = 0, 1 e em seguida para ρ(h) h = 0, 01. Explique os comportamentos de ρ(h), de e dos gráficos. h (b) Agora, altere o valor de a para a = 2, 5. Acione a rotina aproxima¸cão linear para h = 1, para ρ(h) h = 0, 1 e para h = 0, 01. Explique os comportamentos de ρ(h), de e dos gráficos. h A atividade 4 ilustra mais um exemplo de limita¸co˜es do software, que geram resultados aparente´ claro que a derivada de h é a mente contraditórios. Observe o gráfico da fun¸cão h na figura 5.67. E 0 fun¸cão h : R \ {−1, 0, 1} → R dada por: −1 se x < −1 ou 0 < x < 1 1 se −1 < x < 0 ou x > 1

Figura 5.67: O gráfico de f (x) = ||x| − 1| no wxMaxima. Entretanto, quando h0 é calculada simbolicamente no Maxima, não são considerados os pontos em que h não é diferenciável (figura 5.68). Observe que, de fato, a resposta do software coincide com h0 (x) para os valores de x em que h0 está definida.

Figura 5.68: Calculando derivadas no wxMaxima. Além disso, ao gerar o gráfico do h0 , o software liga indevidamente os pontos em que h0 não está definida (figura 5.67), gerando um gráfico que não pode representar uma fun¸cão real. Erros computacionais deste tipo já foram abordados no cap´ıtulo 3 (ver atividade 1 da se¸cão 3.3, p. 49).

172


Figura 5.69: O gráfico da derivada de f (x) = ||x| − 1| no wxMaxima. As atividades 5 e 6 visam à familiariza¸cão com algumas das ferramentas do Maxima que podem ajudar a estudar o comportamento gráfico de fun¸co˜es. Na atividade 5, é necessário simplificar as ra´ızes da equa¸cão p0 (x) = 0 determinadas pelo software, para perceber que ambas são reais.

Figura 5.70: Explorando derivadas no wxMaxima. O exerc´ıcio de analisar o gráfico de uma fun¸cão com a de sua derivada, tra¸cados em uma mesma janela gráfica, pode ajudar na explora¸cão das rela¸co˜es entre as propriedades gráficas da fun¸cão e da derivada. Por exemplo, figura 5.71, podemos observar as propriedades nos gráficos de h (em azul) e h 0 (em vermelho): √ √ • Nos pontos x em p0 (x) = 0, no caso, x1 = − 22 e x2 = 2, a reta tangente ao gráfico de p é horizontal. • Nos intervalos em p0 (x) > 0, p é crescente.

• Nos intervalos em p0 (x) < 0, p é decrescente. √

• Analisando a primeira raiz de p0 , x1 = − 22 , observamos que é poss´ıvel encontrar um raio δ1 > 0 tal que p0 (x) < 0 para x1 − δ1 < x < x1 e também para x1 < x < x1 + δ1 . Logo, conclu´ımos que p é decrescente em ]x1 − δ1 , x1 [ e também em ]x1 , x1 − δ1 [ e, portanto, que (x1 , f (x1 )) é ponto de inflexão de p. √ • Analisando a segunda raiz de p0 , x2 = 2, é poss´ıvel encontrar um raio δ2 > 0 tal que p0 (x) < 0 para x2 − δ2 < x < x2 e p0 (x) > 0 para x2 < x < x2 + δ2 . Logo, conclu´ımos que p é decrescente em ]x2 − δ2 , x2 [ e crescente em ]x2 , x2 − δ2 [ e, portanto, que (x2 , f (x2 )) é m´ınimo local de p.


173

Da análise acima, conclu´ımos que p é decrescente em ] − ∞, x 2 [ e crescente em ]x2 , +∞[ , e que (x2 , f (x2 )) é, de fato, um ponto de m´ınimo absoluto de p.

Figura 5.71: Explorando derivadas e gráficos no wxMaxima. Para obter as equa¸co˜es das retas tangentes ao gráfico de p (figura 5.72), nos pontos x 0 em que p (x0 ) 6= 0, no caso x3 = 1√e x4 = 2, fazemos y = p0 (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 ). Nos pontos x0 em que √ p0 (x0 ) = 0, no caso x1 = − 22 e x2 = 2, basta fazer y = f (x0 ). Finalmente, geramos o gráfico de p com as retas tangentes obtidas (figura 5.73). 0

Figura 5.72: Explorando derivadas no wxMaxima.

174


Figura 5.73: Explorando derivadas e gráficos no wxMaxima. √ √ Na atividade 6, verificamos que a derivada de q tem duas ra´ızes, x 1 = 8 − 2 15 e x2 = 8 + 2 15, e, pelo teste da derivada segunda, conclu´ımos que (x1 , q(x1 )) é um ponto de m´ınimo local e (x1 , q(x1 )) é um ponto de máximo local (figura 5.74).

Figura 5.74: Calculando extremos locais no wxMaxima.


175

Entretanto, se esbo¸camos o gráfico em uma janela gráfica “convencional”, como não por exemplo a da figura 5.75, não conseguimos visualizar esses pontos de máximo e de m´ınimo.

Figura 5.75: O gráfico de q(x) =

x2 − 4 na janela gráfica −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5. 2 x2 − x

Para buscar janelas gráficas nas quais seja poss´ıvel visualizar os pontos de máximo e de m´ınimo, devemos calcular os valores de suas coordenadas (figura 5.77). Verificamos que x 1 é próximo de 0, mas q(x1 ) é relativamente grande (próximo de 30); e que x2 é relativamente grande (próximo de 15), mas mas q(x2 ) é próximo de 21 . Por isso, esses pontos ficaram fora da janela da figura 5.75. Para obter uma janela gráfica adequada para a visualiza¸cão de (x 1 , q(x1 )), deve-se escolher valores próximos de x1 na horizontal e q(x1 ), como por exemplo 0 ≤ x ≤ 0, 5, 30 ≤ y ≤ 35 (figura 5.77, à esquerda). Como q(x2 ) ∼ = 21 é y = 12 é uma ass´ıntota horizontal de q, a varia¸cão da fun¸cão q na região próxima a x2 é muito sutil. Portanto, para que seja poss´ıvel perceber visualmente essa varia¸cão, deve-se escolher um intervalo horizontal extenso e um intervalo vertical muito próximo de q(x 2 ), como por exemplo 5 ≤ x ≤ 25, 0, 5 ≤ y ≤ 0, 51 (figura 5.77, à direita).

Figura 5.76: Calculando extremos locais no wxMaxima.

176


x2 − 4 Figura 5.77: O gráfico de q(x) = nas janelas gráficas 0 ≤ x ≤ 0, 5, 30 ≤ y ≤ 35 e 2 x2 − x 5 ≤ x ≤ 25, 0, 5 ≤ y ≤ 0, 51. Na atividade 7, verificamos que não é poss´ıvel resolver a equa¸cão f (x) = 0 analiticamente no f (x) Maxima (figura 5.78). Introduzimos no software a fórmula do método de Newton: N (x) = x − 0 f (x) (figura 5.79). Escrevemos uma instru¸cão para aplicar a fórmula a um valor x 0 escolhido, obtendo x1 = N (x0 ), e atualizamos o valor de x0 , com o valor de x1 obtido. Acionado essa instru¸cão sucessivas, os valores obtidos aproxima¸cão de raiz de f . Depois de algumas itera¸co˜es, verificamos que o aproxima¸cão obtida para a raiz coincide com o valor dado pelo comando find root do Maxima (figura 5.80).

Figura 5.78: Uma equa¸cão que não pode ser resolvida analiticamente no wxMaxima.

Figura 5.79: Aplicando o método de Newton no wxMaxima.

Figura 5.80: Resolvendo uma equa¸cão numericamente no wxMaxima.


177

Atividade 8 explora uma interpreta¸cão para a defini¸cão de derivada dinamicamente. Como sabemos, f : D ⊂ R → R é diferenciável em x0 ∈ D se existe o limite: f (x0 + h) − f (x0 ) . (5.2) h→0 h O valor deste limite é chamado de derivada de f em x0 e denotado por f 0 (x0 ). Uma forma equivalente de enunciar esta defini¸cão é afirmar que f é diferenciável em x 0 se existe a ∈ R tal que: lim

f (x0 + h) − f (x0 ) − a h =0. (5.3) h→0 h Neste caso, temos a = f 0 (x0 ). A equa¸cão da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x 0 , f (x0 )) será então r(x) = a (x − x0 ) + f (x0 ). Fixado x0 , o denominador da expressão 5.3, dado por ρ(h) = f (x0 + h) − f (x0 ) − a h, é chamado de resto. Assim, o resto corresponde à diferen¸ca entre os valores de f e da reta r em x = x0 + h. Se tomamos agora um número real qualquer a 6= f 0 (x0 ), então r(x) = a (x − x0 ) + f (x0 ) representa uma reta que intercepta o gráfico de f em (x0 , f (x0 )), mas não é tangente ao gráfico nesse ponto. Neste caso, temos que: lim

lim ρ(h) = 0 ,

h→0

mas

lim

h→0

ρ(h) 6= 0 . h

Por outro lado, se a = f 0 (x0 ), a defini¸cão de derivada afirma que: ρ(h) =0. h Desta forma, podemos dizer que qualquer reta que intercepta o gráfico de f em (x 0 , f (x0 )) aproxima a fun¸cão nesse ponto, nos sentido em que ρ(h) tende a zero. Porém, dentre todas as retas que interceptam o gráfico de f em (x0 , f (x0 )), aquela cuja inclina¸cão é a = f 0 (x0 ) (isto é, a reta tangente) ρ(h) é a u ńica para a qual também tende a zero – ou seja, o resto tende a zero mesmo quando h ρ(h) comparado com h. Em outras palavras, lim = 0 significa que, para valores pequenos de h, o resto h→0 h ρ(h) fica muito menor que h. Neste sentido, a reta tangente é a melhor aproxima¸cão linear local para f em (x0 , f (x0 )). A rotina aproxima¸cão linear, proposta na atividade 8, visa explorar esta interpreta¸cão de derivada, articulando representa¸co˜es numéricas e gráficas de forma dinâmica. Para este fim, a rotina exibe os ρ(h) valores numéricos de h, do resto ρ(h) e da razão α(h) = ; juntamente com a os gráficos de f h e da reta de equa¸cão r(x) = a (x − x0 ) + f (x0 ), em que são destacados um segmento vertical cujo comprimento é |ρ(h)| e um segmento horizontal cujo comprimento é |h|. Este segmento de tamanho h determina o tamanho da janela gráfica, uma vez sua dimensão horizontal é dada pelo segmento [ x0 − h, x0 + h ]. Desta forma, é poss´ıvel observar os valores ρ(h) e de h, numérica e geometricamente, e comparar seu comportamento quando h se aproxima de 0, ao mesmo tempo que se observa a rela¸cão entre o gráfico de f e a reta r. De fato, no caso em que a = f 0 (x0 ) (figura 5.81), quando aproximamos os valores de h de 0, ρ(h) podemos observar os valores de ρ(h) e de α(h) = se aproximando de 0. Ao mesmo tempo, h verificamos que o segmento vertical de comprimento |ρ(h)| deixar ser vis´ıvel – pois este fica muito menor que |h| (que determina o tamanho da janela gráfica). Portanto, o gráfico de f tende a se confundir com a reta r. lim ρ(h) = lim

h→0

h→0


178

Figura 5.81: Comportamento local de uma fun¸cão diferenciável e sua reta tangente. Por outro lado, se a 6= f 0 (x0 ) (figura 5.82), quando aproximamos os valores de h de 0, observamos ρ(h) que os valores de ρ(h) se aproximando de 0, mas os de α(h) = não. Verificamos que o segmento h vertical de comprimento |ρ(h)| é sempre vis´ıvel e o gráfico de f sempre pode ser distinguido da reta r.

Figura 5.82: Comportamento local de uma fun¸cão diferenciável e uma reta não tangente. ´ importante observar que o sistema de computa¸cão algébrica desempenha um papel central nesta E atividade, pois as representa¸co˜es numéricas e gráficas não poderiam ser articuladas desta maneira apenas com recursos didáticos não computacionais.

Integrais Nesta se¸cão, não nos aprofundaremos muito no cálculo de integrais com o Maxima. Serão propostas apenas algumas atividades visando a familiariza¸cão com o uso do comando básico integrate, por meio de situa¸co˜es em que este é usado de forma integrada com outras ferramentas do software, apresentadas anteriormente neste cap´ıtulo. O comando integrate também pode ser acessado no menu superior do wxMaxima, nas op¸co˜es Cálculo e Integrar, em que devem ser informadas a fun¸cão integrando e a variável de integra¸cão. Este comando permite o cálculo de integrais indefinidas (figura 5.83) e definidas (figura 5.84). No caso de integrais definidas, o Maxima retornará uma fun¸cão primitiva da fun¸cão integrando. Para calcular integrais indefinidas, é necessário escolher esta op¸cão no menu e informar os limites de integra¸cão. Também é poss´ıvel digitar o comando integrate diretamente, sem usar o menu. Neste caso, para calcular uma integral definida, basta incluir os limites de integra¸cão (de acordo com a sintaxe mostrada na figura 5.84). Se os limites de integra¸cão forem omitidas, o software interpretará a instru¸cão como uma integral indefinida. Com o comando integrate é poss´ıvel ainda calcular integrais impróprias. Os limites de integra¸cão infinitos podem ser selecionados na op¸cão Especial. Se a integral for divergente, o Maxima retornará uma mensagem com esta informa¸cão (figura 5.85). Se a integral for convergente, o software retornará o seu valor (figura 5.86).


Figura 5.83: Calculando integrais indefinidas com o wxMaxima.

Figura 5.84: Calculando integrais definidas com o wxMaxima.

Figura 5.85: Calculando integrais impróprias com o wxMaxima.

Figura 5.86: Calculando integrais impróprias com o wxMaxima.

179


180 Atividades

9. Use o Maxima para calcular a integral indefinida:

Z

xn dx .

(a) O Maxima retornará esta solicita¸cão perguntando se n + 1 é zero ou diferente de zero:

Por que você acha que o software retorna esta pergunta? (b) Você poderá responder à pergunta do Maxima na mesma linha de comando:

Explique o resultado dodo pelo software. 10. (a) Para cada n ∈ N, considere An a região limitada entre a curva y = xn e o eixo x, para 0 6 x 6 1. Seja an a área de An : Z 1 an = xn dx . 0

Determine lim an . Interprete geometricamente este resultado. n→+∞ Z t 1 (b) Para cada n ∈ N, considere tn ∈ ]0, 1[ tal que: xn dx = an . Isto é, x = tn é a 2 0 reta vertical que divide An em duas regiões de igual área. Determine lim tn . Interprete n→+∞

geometricamente este resultado. (c) Fa¸ca uma anima¸cão para representar a fam´ılia de curvas y = x n , quando n cresce. 11. A figura ao lado representa uma região plana P, de base b a altura h, delimitada por um arco de parábola e um segmento de reta perpendicular ao seu eixo de simetria. h

(a) Determine uma fórmula para a área de P, em fun¸cão de b e h. (b) Determine uma fórmula para o volume do sólido Q, gerado pela rota¸cão de P em torno de seu eixo de simetria, em fun¸cão de b e h.

b

(c) Supondo que b + h = k, sendo k é uma constante real, determine a rela¸cão entre b e h para que a área de P seja o maior poss´ıvel. (d) Ainda supondo b + h = k, determine a rela¸cão entre b e h para que o volume de Q seja o maior poss´ıvel.


181

As perguntas feitas pelo software, como a exemplificada na atividade 9, visam estabelecer propriedades dos dados que podem alterar a forma do resultado. Na atividade 10, também será necessário responder algumas perguntas dessa natureza. Nesta atividade, usar o comando integrate para deter1 minar que an = (figura 5.87). Portanto, lim an = 0. n→+∞ n+1

Figura 5.87: Resolvendo problemas de integra¸cão com o wxMaxima. Em seguida, encontramos a área delimitada entre y = xn e o eixo x, para 0 6 x 6 t, que é Z t tn+1 (figura 5.88). Então, o número tn procurado será solu¸cão da equa¸cão dada por xn dx = n+1 0 1 1 tn+1 = . Logo, tn = 2− n+1 . Portanto, lim tn = 1. Isto significa que, quando n cresce, n→+∞ 2 (n + 1) a área an tende a ficar mais concentrada na extremidade superior do intervalo [ 0, 1 ]. A anima¸cão proposta no item 10c pode ajudar a entender melhor este comportamento.

Figura 5.88: Resolvendo problemas de integra¸cão com o wxMaxima. Na atividade 11, primeiro representamos o arco de parábola que delimita P como gráfico de uma fun¸cão f do segundo grau. Como P deve ter base b e altura h, podemos buscar f de tal forma que b b f − 2 = f 2 = 0 e f (0) = h. Então, obtemos (figura 5.89): 4h f (x) = 2 b

b2 − x2 4


182

Conhecida a fun¸cão f , podemos obter por integra¸cão as fórmulas de S, a área de P, e V , o volume de V (figura 5.89): π 2 S = bh V = b2 h 3 8 Z x2 O volume V foi obtido pela fórmula de volume sólidos de revolu¸cão: 2 π x f (x) dx. x1

Figura 5.89: Resolvendo problemas de integra¸cão com o wxMaxima. Estabelecendo a restri¸cão h = k − b, podemos definir a fun¸cão s : [0, k] → R, que a cada valor b associa o valor correspondente da área de P (figura 5.90): 2 2 b (k − b) = (k b − b2 ) . 3 3 Determinamos a derivada de s e resolvemos a equa¸cão s 0 (x) = 0, obtendo b = Portanto, a região de maior área poss´ıvel é aquela tal que b = h. s(b) =

1 2

k como solu¸cão.

Figura 5.90: Resolvendo problemas de integra¸cão com o wxMaxima. Analogamente, definimos a fun¸cão v : [0, k] → R, que a cada valor b associa o valor correspondente da volume de Q (figura 5.91): π 2 π b (k − b) = (k b2 − b3 ) . 8 8 Determinamos a derivada de V e resolvemos a equa¸cão v 0 (x) = 0, obtendo b = 23 k como solu¸cão. Portanto, devemos ter h = 31 k. Logo, a região que determina o sólido de maior volume poss´ıvel é aquela tal que b = 2 h. v(b) =


183

Figura 5.91: Resolvendo problemas de integra¸cão com o wxMaxima. ´ claro que muitos dos cálculos feitos nas atividades 9, 10 e 11 são relativamente simples e não E demandariam o uso do software. Entretanto, o objetivo é empregar essas situa¸co˜es para ilustrar como é poss´ıvel integrar as diversas ferramentas do sistema de computa¸cão algébrica apresentadas neste cap´ıtulo no encadeamento da resolu¸cão de um problema.

Polinˆ omios de Taylor Encerraremos esta se¸cão apresentando anima¸co˜es para gerar gráficos de polinômios de Taylor aproximando fun¸co˜es reais. Como sabemos, dada uma fun¸cão f : D ⊂ R → R, k vezes diferenciável, definimos o polinômio de Taylor de ordem n de f em torno de um ponto x 0 ∈ D como (ver, por exemplo [48, 52]): pn (x) =

n X f (n) (x0 ) k=0

k!

(x − x0 )k .

Conceitualmente, o polinômio de Taylor de ordem n de f em torno de x 0 é, dentre todos os polinômios de grau menor ou igual a n, aquele que melhor aproxima o gráfico de f na vizinhan¸ca de x0 . Além disso, quanto maior for a ordem do polinômio, melhor será a aproxima¸cão. Por exemplo, o polinômio de Taylor de ordem 5 de f (x) = sen (x) em torno de x 0 = 0 é dado por: x3 x5 + . 6 120 Como todas as derivadas de ordem par de f (x) = sen (x) em x0 = 0 se anulam, então todos os polinômios de Taylor de f em torno de x0 = 0 só apresentam termos de grau ´ımpar. No Maxima, o comando taylor permite calcular polinômios de Taylor. Para isso, devem ser informados, nesta ordem: a fun¸cão; o ponto em torno do qual de deseja determinar o polinômio de Taylor; e a ordem do polinômio (figura 5.92). p5 (x) = x −

Figura 5.92: Determinando polinômios de Taylor com o wxMaxima. Com o Maxima, podemos construir anima¸co˜es para ilustrar graficamente a propriedade de que, quanto maior a ordem do polinômio de Taylor melhor será a aproxima¸cão da fun¸cão. Para isso, devemos

184


usar o comando with slider (ver p. 161). Segundo a sintaxe do comando, devem ser informados, nesta ordem: o parâmetro da anima¸cão; os valores desse parâmetro; a fam´ılia de fun¸co˜es dependendo desse parâmetro; e a janela gráfica. Pode-se ainda usar o comando makelist para a gerar uma lista com os valores do parâmetro. Como exemplo, construiremos uma anima¸cão para os polinômios de Taylor de f (x) = sen (x) em torno de x0 = 0. Neste caso, a fam´ılia de fun¸co˜es é formada pelos polinômios de Taylor, e o parâmetro é a ordem do polinômio. Portanto, só interessam os polinômios de ordem ´ımpar. Devemos gerar então uma lista com números ´ımpares. Por exemplo, podemos gerar uma lista com os 11 primeiros números ´ımpares (figura 5.93). Com esta lista, criaremos uma anima¸cão com os polinômios de Taylor de ordens 1 a 21. Usamos então a lista gerada para criar a anima¸cão com o comando with slider (figura 5.94). A figura 5.95 mostra os três primeiros quadros desta anima¸cão.

Figura 5.93: Determinando polinômios de Taylor com o wxMaxima.


Figura 5.95: Determinando polinômios de Taylor com o wxMaxima. Para ilustrar mais claramente a aproxima¸cão, podemos ainda representar os gráficos dos polinômios juntamente com o gráfico da fun¸cão na anima¸cão constru´ıda (figuras 5.96 e 5.97).



˜ ´ 5.4. EXPLORAC ¸ OES ARITMETICAS

185

Atividades 12. Use o Maxima para construir anima¸co˜es para os polinômios de Taylor de: (a) f (x) = cos x, em torno de x0 = 0. (b) f (x) = ex , em torno de x0 = 0. (c) f (x) = ln x, em torno de x0 = 1. 13. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 12. (a) (b) (c) (d)


5.4

Explora¸co ˜es Aritm´ eticas

Conceitos como os de múltiplo, divisor, número primo, decomposi¸cão em fatores primos, e as ideias ´ interessante relacionadas, estão entre os principais tópicos abordados na aritmética do ensino básico. E saber que conceitos tão elementares como esses podem dar origem a problemas com solu¸co˜es matematicamente sofisticadas, incluindo até mesmo problemas que permanecem em aberto, isto é, cujas solu¸co˜es ainda não são conhecidas. Alguns desses problemas foram propostos há vários séculos e apresentam enunciados simples, que são acess´ıveis mesmo para alunos do ensino médio. Por outro lado, questões envolvendo divisibilidade e números primos despertam grande interesse na pesquisa matemática de ponta até os dias de hoje, pois possuem muitas aplica¸co˜es importantes, especialmente na área de códigos e criptografia (ver, por exemplo [24]). Assim, é poss´ıvel estabelecer uma conexão entre Matemática elementar e Matemática superior: mesmo problemas com enunciados simples, envolvendo apenas conceitos b´ asicos que aprendemos na escola, podem ser de grande relevˆ ancia em Matem´ atica superior, e levar a solu¸co ˜es que demandam ferramentas matem´ aticas avan¸cadas. Os sistemas de computa¸cão algébrica permitem abordar esses problemas históricos por meio de uma perspectiva computacional, realizando alguns dos cálculos pesados envolvidos e permitindo que os alunos explorem propriedades qualitativas dos resultados. Nesta se¸cão, utilizaremos o Maxima para realizar explora¸co˜es aritméticas com números de Fermat, primos de Mersenne e uma certa fun¸cão aritmética envolvendo números perfeitos (ver, por exemplo [38]). Aproveitaremos para apresentar algumas novas ferramentas do Maxima.

Os Primos de Fermat e de Mersenne Iniciamos com os números de Fermat, que são obtidos a partir de um número natural n > 0 pela opera¸cão aritmética: n

Fn = 2 2 + 1 . Os primeiros quatro números de Fermat, obtidos a partir de n = 1, 2, 3, 4, são:

(5.4)

186

˜ ALGEBRICA ´ CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE COMPUTAC ¸ AO F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537.

Em 1640, o matemático Pierre de Fermat observou que esses primeiros quatro números eram primos e conjecturou que todos os outros números dados pela expressão 5.4 também seriam primos. Entretanto, verificar a primalidade de um número n ∈ N grande (isto é, verificar se n é ou não primo) pode√ser uma tarefa bastante dif´ıcil, pois envolve testar a divisibilidade de n por todos os primos p 6 n. Supondo que todos esses números primos sejam conhecidos, cada uma dessas verifica¸co˜es envolve uma grande quantidade de cálculos aritméticos elementares. Na época de Fermat, as ferramentas dispon´ıveis (basicamente, papel e lápis) não possibilitavam fazer tantos cálculos. Hoje, com o aux´ılio de computadores, é poss´ıvel constatar rapidamente que Fermat não estava correto em sua conjectura. Por exemplo, com o Maxima (figura 5.98), verificamos que o sétimo número de Fermat F7 = 340282366920938463463374607431768211457 , que possui 39 algarismos, não é primo, pois é composto pelo produto dos primos: F7 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721 .

(5.5)

Figura 5.98: Explorando os números de Fermat o wxMaxima. Na tela mostrada na figura 5.98, empregamos os comandos do Maxima: slength, para determinar a quantidade de algarismos de um número; primep para verificar a primalidade de um número; divisors para determinar todos os divisores de um número. Assim, foi poss´ıvel verificar que o número de


187

Fermat F7 não é primo, que possui dois fatores primos e que, portanto, a expressão 5.5 corresponde à decomposi¸cão em fatores primos desse número. Entretanto, quando lidamos com números ainda maiores, a verifica¸cão da primalidade pode ser dif´ıcil, mesmo com o aux´ılio dos computadores mais poderosos de que dispomos no momento. Assim, não conhecemos hoje nenhum outro primo de Fermat além dos que já eram conhecidos em 1640, e nem mesmo sabemos se a quantidade desses primos é finita ou infinita. Tais questões permanecem em aberto. O desafio de saber a quantidade de certos números especiais também ocorre com os chamados primos de Mersenne, obtidos a partir de um número primo p pela opera¸cão aritmética Mp = 2 p − 1 .

(5.6)

Nem todos os números Mp = 2p −1, com primo p, são primos. Executando um sistema de computação algébrica em um microcomputador comum (figura 5.99), não é preciso esperar nem um minuto para testar a primalidade dos números de Mersenne Mp = 2p − 1 correspondentes aos primeiros duzentos primos p, e listar os catorze primos de Mersenne encontrados.

Figura 5.99: Explorando os números de Mersenne o wxMaxima. Na tela mostrada na figura 5.99, utilizamos os comandos for, while e do, que servem para executar uma instru¸cão (especificada entre parênteses) enquanto uma condi¸cão dada for verdadeira. Neste caso, iniciamos definindo p = 1 e criando uma lista vazia. Em seguida, come¸camos a incrementar o contador i, de uma em uma unidade, e, a cada passo, executamos a seguinte instru¸cão: • determinados o número primo p seguinte, por meio do comando next prime; • calculamos o número de Fermat correspondente a p, fazendo M p = 2p − 1;

• verificamos se Mp é primo, por meio da instru¸cão primep, e, em caso afirmativo, inclu´ımos p na lista.


188

Por exemplo, quando i = 1, determinados o número primo seguinte ao valor inicial p = 1, que é p = 2, calculamos M2 = 22 − 1 = 3 e verificamos se M2 é primo. Como M2 é primo, inclu´ımos p = 2 na lista. Em seguida, determinamos o próximo número primo, que é p = 3, e repetimos a instru¸cão. Executamos essa instru¸cão até que o valor do contador i seja igual a 200. Ao final desse processo, teremos produzido uma lista com os números p, dentre os 200 números primos, tais que o número de Meresenne Mp = 2p − 1 correspondente é primo. Verificamos ainda que o décimo quarto primo de Mersenne, M607 = 53113799281676709868958820655246862732959311772703 19231994441382004035598608522427391625022652292856 68889329486246501015346579337652707239409519978766 587351943831270835393219031728127 possui 183 algarismos. Até dezembro de 2001 eram conhecidos apenas trinta e nove primos de Mersenne. Hoje, após quase dez anos de computa¸cão ininterrupta em poderosos supercomputadores, o grupo GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) de busca de primos de Mersenne conseguiu aumentar essa quantidade em apenas oito novos números, sendo que o u ´ltimo deles, M 43112609 , possui mais de doze milhões de algarismos. Atividades 1. Utilize o Maxima para verificar que o quinto e o sexto números de Fermat não são primos e encontre a lista de seus divisores. 2. Utilize o Maxima para verificar que não existem primos de Mersenne com 608 < p < 1278. 3. Utilize o Maxima para verificar que p = 1279 é um número primo, gerador do primo de Mersenne M1279 , com 386 algarismos.

N´ umeros Perfeitos Os sistemas de computa¸cão algébrica também podem ser utilizados na explora¸cão de algumas fun¸co˜es aritméticas interessantes envolvendo a fun¸cão σ(n), que calcula a soma de todos os divisores positivos de um número natural n. Dentre estas está uma fun¸cão f que subtrai de cada número natural n a soma de seus divisores positivos próprios (isto é, diferentes de 0 e do próprio n). Assim, esta fun¸cão pode ser calculada da seguinte forma: f : N∗ → Z ,

n 7→ f (n) = n − [σ(n) − n] = 2n − σ(n)

De certa forma, a fun¸cão f compara um número natural n com a soma de seus divisores próprios. Por exemplo: f (1) = 1 = 1 − [0] = 1 f (6) = 6 − [1 + 2 + 3] = 0 f (24) = 24 − [1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12] = −12 f (111) = 111 − [1 + 3 + 37] = 70 Então, os elementos do conjunto dos zeros da fun¸cão f , f −1 (0) = {n ∈ N∗ | f (n) = 0} = {6, 28, 496, 8128, 33550336, . . .}


189

são os números naturais n com a seguinte propriedade: n é igual à soma de seus divisores próprios. Esses números fascinaram os gregos antigos a ponto de serem chamados de números perfeitos. Atualmente, os elementos conhecidos desse conjunto são todos pares e estão relacionados com os primos de Mersenne por meio de um teorema devido parte a Euclides e parte a Euler (para a prova, veja por exemplo [38]): Teorema 5.1 Um número natural n é um número perfeito par se, e somente se, n = 2 p−1 Mp , onde Mp é um primo de Mersenne. O comando divsum do Maxima calcula σ(n), para n ∈ N∗ (figura 5.100). O Maxima permite também criar uma lista com os pares ordenados (n, f (n)) e utilizar essa lista para gerar o gráfico da fun¸cão f . A figura 5.101 mostra esse gráfico restrito ao retângulo de visualiza¸cão 0 < n < 10000 e −100 < f (n) < 100.

Figura 5.100: Explorando a fun¸cão f (n) = 2 n − σ(n) no wxMaxima.

Figura 5.101: O gráfico da fun¸cão f (n) = 2 n − σ(n).

190


A dispersão dos pontos (n, f (n)) do gráfico da fun¸cão f é um verdadeiro convite à Matemática. Observe essa dispersão na figura 5.101. Muitos pontos do gráfico de f se apresentam alinhados. Por quê? Para entender porque muitos pontos do gráfico de f se apresentam alinhados, vamos explorar inicialmente os alinhamentos horizontais. O caso mais evidente, logo abaixo do eixo x, corresponde aos naturais n para os quais f (n) = −12. Com o aux´ılio do Maxima (figura 5.102) podemos rapidamente listar esses números e obter f −1 (−12) = {n : f (n) = −12} = {24, 30, 42, 54, 66, 78, 102, 114, 138, 174, . . .} .

Figura 5.102: Explorando o alinhamento f (n) = −12. Observando a decomposi¸cão em fatores primos dos naturais n para os quais f (n) = −12, temos a seguinte proposi¸cão: Proposi¸c˜ ao 5.1 Se n = 6p com p primo distinto de 2 e 3, então f (n) = −12. Demonstra¸c˜ ao: Como p é um primo distinto de 2 e 3 segue que 6 e p não possuem divisores comuns além do 1. Logo, os divisores de n = 6p são 1, 2, 3, 6, p, 2p, 3p e 6p. A soma desses divisores é σ(n) = 12 + 12p e f (n) = 2n − σ(n) = 12p − (12 + 12p) = −12. O segundo caso de alinhamento horizontal na figura 5.101 corresponde aos naturais n para os quais f (n) = −56. Para este caso temos a seguinte proposi¸cão, cuja demonstra¸cão será deixada como exerc´ıcio. Proposi¸c˜ ao 5.2 Se n = 28p com p primo distinto de 2 e 7, então f (n) = −56.


191

Observe que, nas duas proposi¸co˜es anteriores, aparecem os dois primeiros números perfeitos, 6 e 28. A generaliza¸cão para os demais números perfeitos se dá na proposi¸cão a seguir, cuja demonstra¸cão também será deixada como exerc´ıcio. Proposi¸c˜ ao 5.3 Se K é um número perfeito e se n = Kp com p primo não divisor de K, então f (n) = −2K.

Passemos agora a proposi¸co˜es que justificam os alinhamentos obl´ıquos da figura 5.101 e também fornecem uma interpreta¸cão geométrica para a raridade dos números perfeitos pares. Essas proposi¸co˜es envolvem uma fam´ılia de retas rk indexadas em k = 0, 1, 2, . . ., com inclina¸co˜es mk = 2−k e intercep tando o eixo vertical em bk = − 2k+1 − 1 (figura 5.103).

Figura 5.103: A fam´ılia de retas rk :

1 x − 2k+1 − 1 . k 2

Proposi¸c˜ ao 5.4 Para todo k = 0, 1, 2, . . . fixo, os pontos (n, f (n)) de abscissas n = 2 k p para p primo distinto de 2 pertencem à reta rk . Demonstra¸c˜ ao: Seja k um inteiro positivo fixo e seja n = 2 k p com p primo distinto de 2. Os divisores de n são 1, 2, 22 ,. . ., 2k , p, 2p, 22 p,. . . e 2k p. A soma desses divisores é: σ(n) = 1 + 2 + 22 + · · · + 2k (1 + p) = 2k+1 − 1 (1 + p) . Assim:

f (n) = 2n − σ(n) = 2 2kp − 2k+1 − 1 (1 + p) = 2k+1 p − 2k+1− 1 (1 + p) = −2k+1 + 1 + p k k+1 = p − 2k+1 − 1 = 2−k −1 ·2 p− 2 −k k+1 =2 · n − 2 −1


192

−k k+1 Observe que as retas r cortam o eixo horizontal quando 0 = 2 x − 2 − 1 , ou seja, quando k k k+1 x=2 2 − 1 . Em consequência do Teorema 1, temos a seguinte proposi¸cão.

Proposi¸c˜ ao 5.5 Todo número perfeito par é o zero de alguma reta r k . Atividades

4. Explique porque a reta y = x limita superiormente o gráfico de f (n) = 2n − σ(n). Ou seja, explique porque nenhum ponto (n, f (n)) se encontra acima da reta y = x. 5. Utilize o Maxima para explorar e fazer conjecturas sobre a existência de uma reta y = −mx (m > 0) que limita inferiormente o gráfico de f (n) = 2n − σ(n). 6. Utilize o Maxima para explorar o conjunto f −1 (−56) = {n | f (n) = −56}. 7. Utilize o Maxima para explorar o conjunto f −1 (1) = {n | f (n) = 1}. 8. Demonstre a Proposi¸cão 5.2. A rec´ıproca dessa proposi¸cão é verdadeira? 9. Demonstre a Proposi¸cão 5.3. 10. Demonstre a Proposi¸cão 5.5. A rec´ıproca dessa proposi¸cão é verdadeira? 11. Enuncie e demonstre uma proposi¸cão envolvendo os elementos do conjunto: f −1 (1) = {n | f (n) = 1} . 12. Utilize um CAS para tentar encontrar algum natural n tal que f (n) = 3. 13. Responda as perguntas a seguir considerando as atividades 1 a 7. (a) (b) (c) (d)


Aten¸cão: Se você encontrar uma resposta conclusiva para os problemas 5 e 12, por favor, entre em contato com os autores.

Cap´ıtulo 6 Ensino a Distˆ ancia Introdu¸c˜ ao O termo Educa¸cão a Distância representa uma variedade de modelos educacionais que possuem uma caracter´ıstica em comum: estudantes e professores separados fisicamente e interligados por meio de algum canal de comunica¸cão. Atualmente, muitos dos modelos de educa¸cão a distância usam diferentes tecnologias e aplica¸co˜es diversas. Estudantes e professores podem estar separados apenas no espa¸co, como também, em muitas das situa¸co˜es, também em rela¸cão ao tempo, constituindo as modalidades de educa¸cão a distância conhecidas como s´ıncrona e ass´ıncrona, respectivamente. Como em outros modelos de ensino, a educa¸cão a distância pode ser concebida com base nos seguintes componentes fundamentais: conteúdos curriculares; intera¸cão com professores, colegas e equipamentos; aplica¸co˜es práticas; e avalia¸cão. De forma geral, a educa¸cão à distância como uma possibilidade didática deve ter como objetivo fornecer instru¸cão de qualidade aos estudantes separados geograficamente dos locais de ensino, oferecendo acesso ao ensino a uma parcela significativamente maior de estudantes e, ao mesmo tempo, diminuindo os custos materiais e humanos do processo instrucional. As novas tecnologias da informa¸cão têm sido utilizadas como ferramentas importantes nos projetos de educa¸cão a distância. Uma categoria das novas tecnologias emergentes é a de tecnologias de colabora¸cão mediada por computador. O principal desafio nesse processo é o conhecimento necessário para utilizar diferentes ferramentas que permitam efetivo aprendizado de conteúdos matemáticos. Neste cap´ıtulo, apresentaremos propostas para atividades baseadas em resolu¸cão de problemas em que os alunos podem participar tanto estando reunidos presencialmente como distribu´ıdos remotamente, e tanto de modo s´ıncrono, como ass´ıncrono. Serão apresentadas e discutidas as principais ferramentas, possibilidades e limita¸co˜es de ambientes de educa¸cão a distância, e, com base nessa discussão, serão propostos pequenos projetos de elabora¸cão e avalia¸cão de atividades à distância.

6.1

Ambientes Virtuais de Aprendizagem de Matem´ atica

Chamamos de ambientes virtuais de aprendizagem (também chamados sistema de gerenciamento de cursos, ou sistema de gerenciamento de aprendizagem) quaisquer ambientes virtuais que permitam a cria¸cão e gerenciamento de s´ıtios de aprendizagem dispon´ıveis na internet, com acesso aberto ou restrito (isto é, mediante apresenta¸cão de senha), em que são oferecidas atividades didáticas mediadas por tecnologia computacional. Esses ambientes são geralmente implementados em complexos sistemas computacionais, chamados de plataformas de educa¸cão a distância. Atualmente, o Moodle (Modular Object-Oriented Dynamic Learning Environment) [4] é o ambiente virtual de aprendizagem mais utilizada no Brasil e no mundo. Nesta se¸cão, daremos uma visão geral dos principais recursos dispon´ıveis 193

194

ˆ CAPÍTULO 6. ENSINO A DISTANCIA

em ambientes virtuais de aprendizagem, e na próxima nos aprofundaremos nas ferramentas espec´ıficas do ambiente Moodle. Um bom ambiente virtual de aprendizagem, além de viabilizar a comunica¸cão entre todos os envolvidos no processo de ensino e aprendizagem virtual, deve permitir o armazenamento de conteúdos e atividades didáticas, a realiza¸cão de fóruns de discussão, a entrega de trabalhos e tarefas diversas, a avalia¸cão de atividades com registro e divulga¸cão de notas, e a publica¸cão de mensagens e de not´ıcias. Os ambientes virtuais de aprendizagem geralmente possuem uma estrutura básica de usuários que inclui os perfis de administrador, de professor e de aluno: • O administrador é o responsável pela instala¸cão, configura¸cão e gerenciamento da plataforma. Ele pode criar ambientes, cadastrar e excluir usuários, criar novos perfis de usuários e designar fun¸co˜es, além de várias outras atividades de suporte. • O professor é o responsável por um ambiente espec´ıfico da plataforma. Nesse ambiente, ele gerencia parâmetros como inser¸cão de alunos, escolha de formatos e aparências, composi¸cão das atividades, acompanhamento e rastreamento de usuários através de relatórios gráficos e estat´ısticos, publica¸cão de notas e configura¸cão dos critérios de avalia¸cão. • O aluno participa de um ambiente da plataforma, acessando as atividades programadas, realizando as tarefas propostas, enviando arquivos e interagindo com o professor e demais alunos via fóruns e chats do ambiente. Dentre os diversos recursos de um ambiente virtual de aprendizagem, destacaremos os fóruns, as li¸co˜es, as tarefas e os questionários. Essas atividades podem ser elaboradas pelo professor para realiza¸cão nas modalidades s´ıncrona ou ass´ıncrona. Por exemplo, é poss´ıvel restringir a realiza¸cão de uma atividade durante uma hora de um determinado dia, obrigando todos os alunos a realizarem a atividade simultaneamente. Também é poss´ıvel liberar a realiza¸cão de uma atividade durante uma semana de um determinado mês, permitindo a cada aluno fazer e refazer a atividade a seu tempo, enquanto ela estiver dispon´ıvel.

O F´ orum de Discuss˜ oes O fórum de discussões (figura 6.1) é possivelmente o recurso mais importante para a intera¸cão entre todos os personagens envolvidos em um ambiente virtual de aprendizagem. As discussões em um fórum virtual sempre come¸cam a partir de um convite ou provoca¸cão inicial do professor, instigando os alunos a publicarem novos tópicos de discussão ou a responderem aos tópicos já publicados (figura 6.2). O sucesso do fórum depende muito dessa provoca¸cão inicial: é preciso riscar o fósforo para que o fogo se alastre. As discussões podem ser tanto s´ıncronas quanto ass´ıncronas, de qualquer lugar onde haja um computador conectado a internet. Todas as postagens ficam registradas em ordem cronológica no histórico do fórum, e acess´ıveis a todos os usuários do ambiente a qualquer tempo. Algumas pesquisas mostram que alunos com maiores dificuldades de expressão em público, tendem a se comunicar muito melhor em fóruns virtuais (por exemplo, [51]). Por exemplo, o professor pode criar um fórum desafio, propondo um desafio matemático como provoca¸cão, como na figura 6.1, e convidando seus alunos a postarem ideias ou sugestões que encaminhem a resolu¸cão (figura 6.2). Um outro tipo de fórum muito interessante é o fórum de dúvidas. Nele o professor pode convidar seus alunos a postarem livremente dúvidas sobre alguma questão espec´ıfica ou algum conteúdo em novos tópicos de discussão, permitindo que todos respondam aos tópicos postados. As dúvidas são socializadas desta forma e qualquer aluno pode responder a dúvida de um colega, cabendo ao professor monitorar as respostas e intervir quando necessário. Assim, as contribui¸co˜es múltiplas do grupo em um fórum de discussões podem ajudar cada aluno a desenvolver suas reflexões, relacionando-as com as dos demais colegas.

´ 6.1. AMBIENTES VIRTUAIS DE APRENDIZAGEM DE MATEMATICA

Figura 6.1: Um fórum de discussões.

Figura 6.2: Tópico de discussão de um fórum de discussões e respectivas respostas.

195

196


A Li¸c˜ ao Virtual A li¸cão virtual é um tipo de recurso de estudo dirigido em que o aluno passa por uma sequência encadeada de páginas com conteúdos espec´ıficos, devendo ao final de cada página realizar certa a¸cão programada pelo professor para passar para a página seguinte. Este tipo de estudo se caracteriza como dirigido porque o resultado da a¸cão do aluno em cada página determina a página seguinte. Por exemplo, se a a¸cão solicitada é escolher uma dentre quatro alternativas, então é poss´ıvel direcionar o aluno para quatro páginas diferentes ou para a própria página em questão, dependendo da escolha realizada. Por outro lado, se a a¸cão solicitada é digitar um número, então é poss´ıvel direcionar o aluno para a próxima página somente se o número digitado for coerente com o estipulado na configura¸cão da página em questão pelo professor. A figura 6.3 mostra, como exemplo, a primeira página de uma li¸cão virtual sobre trigonometria, utilizando o aplicativo de geometria dinâmica Desenrolando o Seno apresentado no cap´ıtulo 4.

Figura 6.3: Uma li¸cão virtual sobre trigonometria.

´ 6.1. AMBIENTES VIRTUAIS DE APRENDIZAGEM DE MATEMATICA

197

A a¸cão para se passar de uma página para outra em uma li¸cão é definida e configurada pelo professor. Essa a¸cão pode ser simplesmente clicar em um botão do tipo continuar, ou responder a questões de diversos tipos: múltipla-escolha, numéricas, calculadas via uma fórmula, associativas, verdadeiro ou falso, dissertativas. O resultado da a¸cão do aluno é comparado com um gabarito também definido e configurado anteriormente pelo professor. Esse resultado pode determinar uma nota obtida pelo aluno em cada página, bem como para que página ele será direcionado a seguir. O aluno poderá inclusive ser redirecionado para a mesma página, caso o resultado seja considerado insatisfatório. Neste caso, o professor deve definir na configura¸cão da li¸cão quantas vezes o aluno pode repetir a a¸cão em uma mesma página, bem como um desconto na nota pela repeti¸cão da a¸cão. Uma li¸cão virtual fica dispon´ıvel para os alunos no ambiente dentro de um per´ıodo definido pelo professor. Além disso, sua libera¸cão para um determinado aluno pode depender também de seu resultado em uma li¸cão anterior. Por exemplo, é poss´ıvel restringir uma li¸cão para um aluno que não tenha alcan¸cado determinada nota, com um certo tempo de dedica¸cão em uma li¸cão anterior.

A Tarefa Virtual Uma tarefa virtual é um recurso em que os alunos geralmente produzem arquivos digitais, que podem ser dos mais diversos tipos e m´ıdias, sobre temas e conteúdos definidos pelo professor, a serem postados ´ poss´ıvel permitir o atraso na postagem, com ou no ambiente virtual dentro de um prazo estipulado. E sem descontos na nota da tarefa, ou permitir o atraso na postagem. A data e a hora das postagens ficam registradas no ambiente e o professor publica a nota com ou sem comentários sobre a tarefa enviada.

Figura 6.4: Uma tarefa virtual. A forma mais simples de tarefa virtual consiste em propor uma questão e pedir que os alunos enviem suas solu¸co˜es digitadas em arquivos, ou mesmo escritas de próprio punho e escaneadas ou fotografadas, dentro do prazo estipulado. Também é poss´ıvel propor tarefas virtuais em grupo, e solicitar aos alunos que enviem v´ıdeos rápidos gravados em uma câmera digital ou celular, explicando a participa¸cão de cada um no trabalho. Outro tipo interessante de tarefa virtual é a proposi¸cão de um desafio matemático, premiando o aluno que postar primeiro a resposta correta de acordo com as datas e horas das postagens.

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O Question´ ario Virtual Um questionário virtual é um tipo de recurso em que os alunos respondem a uma lista de exerc´ıcios escolhidos convenientemente de um banco de questões previamente constru´ıdo pelo professor no ambiente. Como nas li¸co˜es virtuais, as questões que compõem esse banco podem ser de vários tipos: múltipla-escolha, numéricas (com margem de erro), calculadas via uma fórmula, associativas, verdadeiro ou falso, dissertativas. O professor insere suas questões no ambiente, bem como as configura¸co˜es de gabarito para a corre¸cão automática (excluindo-se, é claro, o caso de questões dissertativas). As questões são arquivadas por categorias e podem ser disponibilizadas de forma colaborativa, para serem usadas por qualquer professor em qualquer ambiente da plataforma.

Figura 6.5: Questões virtuais. A partir do banco de questões, a configura¸cão de um questionário virtual compreende, dentre outras coisas: a escolha das questões; o per´ıodo de disponibilidade; a forma de apresenta¸cão de comentários e feedbacks; o sistema de avalia¸cão com o peso de cada questão e a possibilidade de novas tentativas; com ou sem aplica¸cão de descontos nas notas. Cada questão pode ser escolhida de forma espec´ıfica ou de forma aleatória, dentro de uma categoria do banco de questões. Também é poss´ıvel estabelecer um número máximo de tentativas de resolu¸cão do questionário, bem como um limite de tempo para cada tentativa. Ao concluir uma tentativa de resolu¸cão de uma questão, o aluno recebe automaticamente a nota alcan¸cada. A nota final do questionário pode ser configurada para ser a maior, a menor ou a média das notas de todas as tentativas efetuadas pelo aluno dentro do prazo estipulado. A seguir, propomos a elabora¸cão de algumas atividades explorando os recursos apresentados acima. Por enquanto, propomos apenas o planejamento geral dessas atividades. Na se¸cão a seguir, daremos instru¸co˜es mais detalhadas para a implementa¸cão de atividades como essas na plataforma Moodle. Para desenvolver estas atividades, o professor necessita articular conhecimentos sobre a matemática, sobre aspectos pedagógicos do conteúdo e sobre as principais dificuldades de aprendizagem dos alunos.

6.2. A PLATAFORMA MOODLE

199

Atividades 1. Planeje um fórum para discussão de um problema de matemática. Pense em uma forma criativa para provocar os alunos a participarem desse fórum. Procure utilizar uma linguagem dialógica como forma de comunica¸cão. Por exemplo, para provocar as discussões, orientar os diálogos, e direcionar os estudantes durante uma atividade, experimente usar expressões do tipo: Eu proponho...; Por que?; O que podemos fazer agora?; Você concorda?; etc. 2. Planeje uma li¸cão virtual sobre trigonometria com pelo menos 10 páginas. Se preferir, a primeira página pode ser a da Figura 6.3. Pense em conteúdos progressivos e a¸co˜es distintas para mudan¸ca de páginas. Defina também a sequência de mudan¸ca de páginas na li¸cão de acordo com o resultado das a¸co˜es em cada página. 3. Planeje uma tarefa individual sobre equa¸co˜es do segundo grau. Imagine que tipo de arquivos devam ser enviados (texto, v´ıdeos, fotos, gráficos, tabelas, planilhas, etc.). Defina os prazos, a forma de corre¸cão e os critérios para a determina¸cão da nota dessa tarefa. 4. Seus colegas professores do ensino médio de Matemática decidiram implementar um banco de questões na plataforma de educa¸cão a distância da escola. Cada professor ficou responsável por inserir, semanalmente, dez questões nesse banco, sobre o conteúdo ministrado durante a semana, em cada uma das três séries do ensino médio. Discuta formas de categoriza¸cão dessas questões, bem como poss´ıveis formas de utiliza¸co˜es desse banco nos anos seguintes. 5. Um professor idealizou uma olimp´ıada de matemática em sua cidade, em duas fases: a primeira fase em ambiente virtual e a segunda fase em sala de aula, com uma prova tradicional para os dez melhores classificados na primeira fase. Comente as vantagens e desvantagens pedagógicas e econômicas desse tipo de olimp´ıada.

6.2

A Plataforma Moodle

O Moodle é atualmente o ambiente virtual de aprendizagem mais utilizada no Brasil e no mundo. Seu projeto é concebido para apoiar uma filosofia construcionista social de educa¸cão, e possibilita a cria¸cão de cursos, disciplinas, grupos de trabalho e comunidades virtuais de aprendizagem. O Moodle apresenta estrutura dinâmica, modular e orientada a objetos, e é de desenvolvimento aberto e cont´ınuo, em uma comunidade mundial (www.moodle.org) que congrega mais de 32 milhões de usuários, em cerca de 205 pa´ıses, falando mais de 80 idiomas. Na linguagem do Moodle, cada um dos s´ıtios espec´ıficos de aprendizagem, é chamado um curso virtual. Nesta se¸cão, faremos uma descri¸cão geral dos procedimentos básicos para usar o ambiente Moodle no ensino: cadastrar usuários, criar e gerenciar cursos virtuais e implementar as atividades virtuais descritas na se¸cão anterior. Esses procedimentos serão descritos com base no site de demonstra¸cão do Moodle, dispon´ıvel na página sobre o Moodle do portal de sua comunidade mundial, ou no endere¸co eletrônico demo.moodle.net (figura 6.7). Entretanto, é importante observar que todas as a¸co˜es que podem ser feitas no site de demonstra¸cão do Moodle reproduzem aquelas que podem ser feitas em uma instala¸cão local. Isto é, o site de demonstra¸cão pode ser encarado como um treinamento para cria¸cão e gerenciamento de cursos virtuais e atividades em uma instala¸cão em uma instala¸cão local. A explora¸cão do site de demonstra¸cão do Moodle pode ser feita com os perfis de administrador, professor ou aluno. Cada um desses perfis possui privilégios espec´ıficos na plataforma. Por exemplo, as permissões no ambiente são m´ınimas para o aluno e máximas para o administrador. Compare na figura 6.8 as op¸co˜es de configura¸co˜es do administrador, do professor e do aluno. Observamos que cada uma dessas op¸co˜es se desdobram em sub-op¸co˜es clicando sobre o s´ımbolo triangular posicionado ao lado.

200


Figura 6.6: Portal da comunidade Moodle – www.moodle.org.

Figura 6.7: Acessando o site de demonstra¸cão do Moodle.

Figura 6.8: Janelas de configura¸cão do Moodle.


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Fun¸co ˜es do Perfil de Administrador Cadastrando um Novo Usu´ ario Para cadastrar um novo usuário na plataforma, o administrador escolhe a op¸cão Acrescentar novo usuário, na parte reservada à Administra¸cão do site, dentro da op¸cão Usuários e sub-op¸cão Contas. A escolha desta op¸cão habilita a janela da figura 6.9, com campos para inser¸cão dos dados do novo usuário. Próximo aos campos existem c´ırculos com interroga¸co˜es que habilitam explica¸co˜es sobre a funcionalidade dos campos. Observe que os campos obrigatórios são: nome de usuário, nova senha, nome, sobrenome, endere¸co de e-mail, cidade e pa´ıs. Os demais campos não são obrigatórios, e poderão ser modificados pelo próprio usuário na atualiza¸cão de seu perfil.

Figura 6.9: Página para cadastramento de usuários.


202 Criando um Curso Virtual

Para criar um curso virtual, o administrador do escolhe a op¸cão Acrescentar/modificar cursos, na parte reservada à Administra¸cão do site, dentro das op¸co˜es de Cursos. A escolha dessa op¸cão leva o administrador para uma tabela em que estão todos os cursos do ambiente, agrupados em categorias (figura 6.10). Na parte inferior dessa tabela existem dois botões que permitem criar um novo curso ou acrescentar uma nova categoria de curso.

Figura 6.10: Página para agrupar cursos virtuais em categorias. Acionando o botão Acrescentar uma nova categoria, o administrador habilita a janela da figura 6.11, com campos para inser¸cão de dados para uma nova categoria de curso. Observe que o u ńico campo obrigatório é o nome da categoria. Acionando o botão Criar um novo curso, o administrador habilita a janela da figura 6.12, com campos para inser¸cão de dados de um o novo curso. Observe que os campos obrigatórios são: nome completo e nome breve do curso.

Figura 6.11: Página para acrescentar categorias. Ao finalizar a cria¸cão do curso virtual, no botão Salvar mudan¸cas, o Moodle direciona o administrador para uma página de inscri¸cão de usuários no curso (Figura 6.13). Nessa página é poss´ıvel inscrever qualquer usuário cadastrado na plataforma, e designar que fun¸cão esse usuário terá no curso. Ao clicar no botão Inscrever usuários, uma janela de busca de usuários cadastrados na plataforma é disponibilizada, sendo poss´ıvel escolher um usuário, um perfil e inscrever esse usuário no curso em questão com o perfil escolhido. Geralmente o administrador inscreve pelo menos um usuário com perfil de professor, deixando as demais inscri¸co˜es a critério desse professor.


Figura 6.12: Página para criar cursos virtuais.

Figura 6.13: Página para criar cursos virtuais.

203


204

Fun¸co ˜es do Perfil de Professor Agora exploraremos o site de demonstra¸cão do Moodle do ponto de vista de um professor, descrevendo como ele insere atividades em um curso. O formato inicial de um curso no Moodle é uma programa¸cão (ou agenda) contendo um fórum de not´ıcias, seguida de uma estrutura de tópicos (ou semanas). O perfil de professor permite ativar e desativar a edi¸cão do curso, acionando o botão que aparece no canto superior direito da página do curso. Com a edi¸cão ativada, o professor pode escolher uma série de recursos ou atividades para serem inseridos na programa¸cão do curso ou em um de seus tópicos espec´ıficos. Além disso, a edi¸cão do curso habilita uma lista de ´ıcones ao lado de cada recurso ou atividade, que permitem movimentar, editar, duplicar, excluir, ocultar/exibir para os alunos, definir grupos ou designar fun¸co˜es espec´ıficas para o recurso ou para a atividade em questão.

Figura 6.14: Modelo de um curso no formato de tópicos.

Criando um F´ orum Para criar um fórum, o professor deve escolher a atividade Fórum na caixa de escolha de atividades do local do curso virtual desejado para o fórum. Essa escolha direciona o professor para a página da figura 6.15. Os campos obrigatórios da página: Nome do fórum, que aparecerá no curso virtual como um link de acesso ao fórum; e Introdu¸cão ao fórum, que deve conter um breve resumo do tema do fórum. Além disso, é interessante incluir nesse resumo uma provoca¸cão para motivar a discussão sobre o tema. Os demais campos já são pré-definidos e devem ser alterados de acordo com os objetivos do fórum. As interroga¸co˜es próximos aos campos são muito u ´teis, pois habilitam explica¸co˜es sobre a funcionalidade de cada campo. Uma vez criado, um fórum é organizado como uma lista de tópicos. Em geral, os participantes podem acrescentar novos tópicos (de acordo com as restri¸co˜es de cada tipo de fórum, descritos a seguir), e enviar mensagens dentro de cada tópico. Os tipos de fóruns dispon´ıveis são: • Fórum geral: é um fórum aberto, em que todos os participantes podem iniciar tópicos de discussão sempre que quiserem. • Discussão simples: é um fórum formado por um u ńico tópico, em uma u ńica página, normalmente usado para organizar discussões breves com foco em um tema espec´ıfico.


205

• Cada usuário inicia apenas um novo tópico: cada participante pode acrescentar apenas um novo tópico de discussão, mas todos podem responder livremente às mensagens. Este formato é usado, por exemplo, nas atividades em que cada participante apresenta um tema a ser discutido, e atua como moderador da discussão desse tema. • Fórum de perguntas e respostas: um estudante pode ler as mensagens dos outros somente após publicar a sua mensagem, o que permite que a primeira mensagem de cada estudante seja original e independente.

Figura 6.15: Página de cria¸cão de fórum.

206


Criando uma Li¸c˜ ao A cria¸cão de uma li¸cão em um curso virtual do Moodle se dá em dois momentos distintos: primeiro é preciso inserir a atividade, e depois seu conteúdo. Para inserir a atividade, o professor deve escolher a op¸cão Li¸cão na caixa de escolha de atividades do local do curso desejado para a li¸cão. Essa escolha direciona o professor para a página da figura 6.16. O u ńico campo obrigatório é o campo Nome, que aparecerá no curso virtual como um link de acesso à li¸cão. Os demais campos são pré-definidos e devem ´ poss´ıvel, por exemplo, estipular um tempo máximo ser alterados de acordo com os objetivos da li¸cão. E (em minutos) para a execu¸cão da li¸cão, bem como o per´ıodo no qual ela ficará dispon´ıvel. Como nos demais páginas, as interroga¸co˜es próximos aos campos explicam a funcionalidade de cada campo.

Figura 6.16: Página de cria¸cão de li¸cão.


207

Ao finalizar a cria¸cão da atividade li¸cão, pressionando o botão Salvar e mostrar da página da figura 6.16, o Moodle direcionará o professor para uma página de inser¸cão do conteúdo da li¸cão, mostrada na figura 6.17.

Figura 6.17: Inserindo páginas em uma li¸cão. Os conteúdos de uma li¸cão de matemática são, em geral, páginas com questões. Escolhendo a op¸cão Inserir página com questão, o professor é direcionado para a escolha do tipo de questão a ser inserida como página da li¸cão, que podem ser os seguintes: associa¸cão, disserta¸cão, múltipla escolha, numérica, resposta curta ou verdadeiro/falso. Cada um desses tipos possuem páginas espec´ıficos, com campos para o t´ıtulo da página, conteúdo, respostas, pontua¸cão e destina¸cão (isto é, para que página o aluno será direcionado), tanto no caso de respostas certas quanto erradas.

Figura 6.18: Página para inser¸cão de página em uma li¸cão.

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Criando uma Tarefa As tarefas no Moodle podem ser dos seguintes tipos: envio de arquivo u ńico, modalidade avan¸cada de envio de arquivos, texto online ou atividade offline para registro de nota de uma atividade externa ao ambiente virtual do curso. Para criar uma tarefa no Moodle, o professor deve escolher o tipo de tarefa desejada na caixa de escolha de atividades do local desejado. Essa escolha direciona o professor para uma página (figura 6.19) em que é poss´ıvel definir, dentre outras coisas, o t´ıtulo da tarefa, sua descri¸cão, a nota máxima, os prazos para entrega e os descontos na nota no caso de envio fora do prazo.

Figura 6.19: Página de cria¸cão de tarefa.


209

Inserindo Perguntas no Banco de Quest˜ oes O perfil de professor disponibiliza, na janela de Configura¸co˜es do curso, uma lista de op¸co˜es para o Banco de questões do ambiente. Essas op¸co˜es permitem, basicamente, a inser¸cão de perguntas no banco de questões da plataforma Moodle, e seu armazenamento por categorias. As categorias de perguntas são criadas pelo professor na op¸cão Categorias. Escolhendo essa op¸cão, o professor é direcionado para uma tabela contendo todas as categorias existentes no curso, sendo poss´ıvel adicionar novas categorias ou subcategorias. As perguntas devem ser inseridas pelo professor na op¸cão Perguntas. Escolhendo essa op¸cão, o professor é direcionado para uma página de inser¸cão de perguntas no banco de questões (figura 6.20). Nessa página é poss´ıvel escolher a categoria ou subcategoria, bem como o tipo de pergunta a ser inserida.

Figura 6.20: Página para inser¸cão de perguntas no banco de questões. Os tipos de questões poss´ıveis são: múltipla escolha (com uma ou mais alternativas corretas), verdadeiro/falso, resposta curta (onde a resposta é uma palavra ou um texto curto), numérico (onde a resposta é um valor numérico fixo), calculado (onde a resposta é um valor numérico variável, obtido a partir de uma fórmula), associa¸cão de ´ıtens, ensaio (resposta dissertativa) e respostas embutidas (combinando vários tipos numa mesma pergunta). Cada tipo de pergunta possui uma página espec´ıfica para inser¸cão, que em geral contém campos para o t´ıtulo, o texto da pergunta, respostas certas e erradas, defini¸cão de percentuais de notas para respostas certas e erradas e mensagens diversas na forma de feedback. Na figura 6.21, ilustramos as páginas para inser¸cão de questões de múltipla escolha e numérica, respectivamente, exibidas na figura 6.5 da se¸cão anterior.


210

Figura 6.21: Questões de múltipla escolha e numérica. Criando um Question´ ario As questões inseridas no banco de questões do ambiente Moodle são utilizadas em atividades do tipo Questionário dos cursos virtuais. O professor pode elaborar diversos questionários a partir do banco, escolhendo questões de forma aleatória ou determinada em categorias espec´ıficas ou gerais. Para inserir um questionário, o professor deve escolher a atividade Questionário na caixa de escolha de atividades do local desejado. Essa escolha direciona o professor para a página da figura 6.22.


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Figura 6.22: Página para cria¸cão de um questionário. Ou ńico campo obrigatório na página para cria¸cão de um questionário é o seu nome, que irá aparecer no curso como um link de acesso ao questionário. Os demais campos são pré-definidos e devem ser alterados de acordo com os objetivos do questionário. Após finalizar a cria¸cão do questionário no botão Salvar e mostrar, o Moodle direciona o professor para uma página em que é poss´ıvel montar o questionário com as perguntas do banco de questões do curso, conforme ilustra a figura 6.23.

212


Figura 6.23: Página para edi¸cão de um questionário. Atividades 1. Acesse o site de demonstra¸cão do Moodle (demo.moodle.net) como administrador, usando admin como usuário e demo como senha. Cadastre um novo usuário, crie um novo curso e inscreva esse novo usuário como professor desse novo curso. Lembramos que você pode bagun¸car esse site a vontade, pois ele é restaurado de hora em hora: o que você fizer no site hoje, não permanecerá nele amanhã. 2. Acesse agora o site de demonstra¸cão do Moodle com o login e senha do usuário que você cadastrou na atividade anterior. Procure o curso que você criou no qual esse usuário é professor. Explore o perfil de professor desse curso para implementar as atividades 1 a 4 da se¸cão 6.1. Para esta atividade, você pode usar qualquer plataforma Moodle em que você possua acesso a um curso virtual como professor.

Cap´ıtulo 7 Pesquisas Eletrˆ onicas, Processadores de Texto e Hipertexto Introdu¸c˜ ao O advento das tecnologias digitais abriu novas possibilidades para a produ¸cão e veicula¸cão de informa¸cão em larga escala. Tanto as formas de acesso à informa¸cão quanto as formas de organiza¸cão, expressão e registro do conhecimento como texto escrito vêem se transformando cada vez mais rapidamente – às vezes mais rapidamente que nossa própria capacidade de adapta¸cão aos novos modelos. Evidentemente, essas transforma¸co˜es têm impactos importantes na sala de aula, e o ensino de Matemática não é uma exce¸cão. Iniciaremos este curso abordando possibilidades de busca e organiza¸cão de conteúdos matemáticos oferecidas pelas novas tecnologias computacionais para uso em sala de aula. Assim, este primeiro cap´ıtulo não enfocará propriamente o uso de recursos computacionais para o ensino de conceitos matemáticos espec´ıficos (que será a tônica dos cap´ıtulos subseqüentes). Tampouco nos aprofundaremos nas questões complexas sobre as novas formas produ¸cão e veicula¸cão de conhecimento acadêmico. Nosso objetivo limita-se a apresentar e discutir algumas formas de aproveitar recursos computacionais para elaborar textos matemáticos (curtos ou não) para uso em sala de aula. A elabora¸cão de pequenos textos (sejam textos teóricos ou listas de exerc´ıcios) pelo professor pode se constituir em um enriquecimento importante para os livros didáticos convencionais, pois confere ao professor a autonomia para aprofundar e complementar a abordagem dos conteúdos com base no conhecimento dos alunos que só ele próprio pode ter.

7.1

Pesquisas Eletrˆ onicas

Cada vez mais o acesso à Internet permite a qualquer indiv´ıduo recursos que permitem a procura por todo o tipo de informa¸co˜es, documentos, not´ıcias, aplicativos, sugestões para a sala de aula, conteúdos matemáticos, livros e praticamente tudo que temos no mundo real está de algum modo dispon´ıvel no mundo virtual, além da facilidade de comunica¸cão. A rede mundial de computadores é por outro lado uma ferramenta para publica¸cão e divulga¸cão de todo o tipo de produ¸cão, e por este meio configura-se um espa¸co onde podemos disponibilizar ao grande público qualquer produ¸cão individual, sem a necessidade de maiores controles em rela¸cão ao que se deseja publicar. E neste cenário de intera¸cão virtual em atividades diversas atuam professores, licenciandos, alunos, a fam´ılia, formadores, pesquisadores dentre outros profissionais. Os diversos aplicativos e ferramentas possibilitam a forma¸cão de comunidades virtuais que por meio 213

ˆ 214 CAPÍTULO 7. PESQUISAS ELETRONICAS, PROCESSADORES DE TEXTO E HIPERTEXTO de trabalho colaborativo ou individual trabalham com o objetivo de prover e trocar os mais diversos tipos de informa¸co˜es. No ensino de Matemática é usual um grande volume de informa¸co˜es por estes canais. O professor que busca por pesquisas eletrônicas para atividades educacionais ou para própria forma¸cão necessita cuidado quanto a natureza e alcance destas atividades, uma vez que na maioria das vezes não existem mecanismos de controle e certifica¸cão acadêmica a respeito de muitas das informa¸co˜es dispon´ıveis nos meio eletrônicos. Mantendo o cuidado em confrontar as informa¸co˜es colhidas por pesquisas eletrônicas com produ¸co˜es acadêmicas é poss´ıvel utilizar em diferentes possibilidades de aprendizagem, bem como em atividades que podem contribuir para o ensino de diversos conteúdos a partir de valorosas contribui¸co˜es disponibilizadas na rede. Dar exemplos de coisas inadequadas na internet.

7.2

Processadores de Texto e Hipertexto

Ao redigir textos matemáticos, enfrentamos comumente algumas dificuldades particulares, no que diz respeito tanto à forma da reda¸cão quanto à organiza¸cão de seu conteúdo. As dificuldades quanto à forma devem-se ao fato de a Matemática usar s´ımbolos gráficos próprios, além daqueles que constituem escrita usual (quase como se tratasse de outra l´ıngua, com um alfabeto próprio). Os s´ımbolos matemáticos não estão dispon´ıveis (pelo menos de forma adequado) nos editores de texto convencionais. O LATEX é o processador de texto padrão em Matemática, que permite a representa¸cão gráfica de qualquer s´ımbolo matemático, além de dispor de outros recursos importantes para a edi¸cão de textos. Quanto à organiza¸cão de conteúdo, pode ser interessante estabelecer liga¸co˜es múltiplas entre as idéias matemáticas que queremos expor, de forma a apontar as rela¸co˜es de um mesmo tópico com vários outros. Para este fim, pode não ser suficiente organizar o texto em estrutura linear, em que os tópicos vão simplesmente se sucedendo uns aos outros e cada um deles liga-se diretamente apenas ao precedente e ao seguinte. Neste caso, pode-se recorrer a uma estrutura em rede, em que cada tópico não precisa estar ligado somente a um precedente e um seguinte, mas a vários outros. Este tipo de estrutura chama-se hipertexto.

Editando Textos Matem´ aticos Nesta se¸cão, apresentamos apenas uma introdu¸cão geral a alguns dos recursos mais básicos do LATEX, que permita a prepara¸cão de pequenos textos teóricos, provas, ou listas de exerc´ıcios. Para uma abordagem mais abrangente sobre o LATEX, porém ainda acess´ıvel, recomendamos a leitura de [18]. Para os que desejem se aprofundar mais, há diversas referências dispon´ıveis, como por exemplo [31], além de uma extensa variedade de recursos dispon´ıveis na internet. Antes de mais nada, é preciso entender que o LATEX não é um editor de texto convencional, e sim uma linguagem de programa¸cão. Isto significa que os textos não são digitados e visualizados diretamente (como nos editores convencionais). Os documentos LATEX são programados, por meio de um código sintaxe espec´ıfica, e compilados para que o texto seja gerado. As estruturas básicas dessa sintaxe são: • comandos (identificados pelo s´ımbolo \);

• ambientes (demarcados pelos comandos \begin e \end). Uma estrutura m´ınima para um documento em LATEX é exemplificado na figura 7.1 a seguir. O texto propriamente dito deve ser digitado entre os comandos \begin{document} e \end{document} (isto é, dentro do comando document). Esta é a parte que será visualizada após a compila¸cão do arquivo. A parte anterior ao comando \begin{document} é chamado preâmbulo e nela devem ser declaradas as configura¸co˜es quanto à formata¸cão do documento. A declara¸cão m´ınima no preâmbulo é o comando

7.2. PROCESSADORES DE TEXTO E HIPERTEXTO

215

\documentclass, que indica o estilo (que define a formata¸cão geral) e o tamanho de letra padrão para o documento (no caso do exemplo da figura 7.1, article e 12pt, respectivamente). Há outros estilos dispon´ıveis em LATEX (como report e book), e também é poss´ıvel criar um próprio, porém article é o mais simples e conveniente para redigir pequenos textos. No preâmbulo também é poss´ıvel declarar outras propriedades gerais da formata¸cão do documento, tais como tamanho das páginas e das margins, estilo de pagina¸cão, etc. \documentclass[12pt]{article} \begin{document} \end{document} Figura 7.1: Estrutura m´ınima para um documento LATEX. Além disso, em LATEX devemos diferenciar o modo de texto comum do modo matemático, usado para representar a simbologia matemática. Há duas formas principais de demarcar o modo matemático em LATEX: $ e $$. A diferen¸ca é que o demarcador simples $ gera a simbologia matemática dentro da própria linha de texto, e faz algumas adapta¸co˜es de formato para tornar o s´ımbolo menor, enquanto o demarcador duplo $$ gera a simbologia em destaque, centralizado em uma linha. Esta diferen¸ca é exemplificada nos quadros a seguir, em que mostramos os códigos fonte LATEX e os respecvos resultados gerados. Exemplos: Demarcadores de modo matem´ atico. 1. Se tentarmos resolver a equa\c{c}\~ao racional $$\frac{1}{x^2+1} = 1$$ n\~ao encontraremos solu\c{c}\~oes reais. Se tentarmos resolver a equa¸cão racional x2

1 =1 +1

não encontraremos solu¸co˜es reais.

2. Se tentarmos resolver a equa\c{c}\~ao racional $\frac{1}{x^2+1} = 1$ n\~ao encontraremos solu\c{c}\~oes reais. Se tentarmos resolver a equa¸cão racional x2

1 =1 +1

não encontraremos solu¸co˜es reais.

Os exemplos acima ilustram ainda alguns aspectos importantes da sintaxe de LATEX:

ˆ 216 CAPÍTULO 7. PESQUISAS ELETRONICAS, PROCESSADORES DE TEXTO E HIPERTEXTO • Alguns comandos de LATEX dependem de parâmetros que, neste caso, são demarcados por: { }. Por exemplo, este é o caso do comando \frac, que aparece nos exemplos acima. O comando serve para representar fra¸co˜es e depende de dois parâmetros, que correspondem ao numerador e ao denominador. • Quebras de linha e espa¸cos digitados no código fonte em LATEX não geram quebras de linha e espa¸cos correspondentemente no resultado gerado. Este é um recurso que permite melhor organiza¸cão do código fonte, pois as quebras de linha e os espa¸cos podem ser usados para este fim. Há comandos espec´ıficos para gerar espa¸cos horizontais e verticais no modo matemático e no modo texto. • A sintaxe para gerar acentos em LATEX segue o padrão: \ acento letra. Com isso, podemos botar qualquer acento sobre qualquer letra, não apenas as vogais usualmente acentuadas em português. Por exemplo, os códigos \~n e \^z geram n ˜ e ˆz, respectivamente. O comando \c gera o sinal de cedilha, que também pode se posto sob qualquer letra. Por exemplo, \c{s} gera ¸s. Há editores de código LATEX que simplificam esta sintaxe, permitindo incluir os acentos como fazemos nos editores de texto usuais, inclusive com corre¸cão ortográfica. A seguir, veremos como escrever simbologia no modo matemático. Os quadros abaixo, mostram alguns exemplos genéricos de códigos fonte LATEX, seguidos dos respectivos resultados gerados, em que procuramos percorrer os s´ımbolos mais usados: sinais da quatro opera¸co˜es elementares; sinais de diferente, maior ou igual e menor ou igual; ´ındices inferiores e superiores; fra¸co˜es; letras gregas; fun¸co˜es trigonométricas; logaritmos; somatórios; limites; integrais; quantificadores e implica¸co˜es lógicas; opera¸co˜es e rela¸co˜es entre conjuntos. Em todos os exemplos o modo matemático foi demarcado com $$. Experimente escrever os exemplos 2, 5, 8, 9 e 11 demarcando com $, e observe as diferen¸cas de formata¸cão. Exemplos: Simbologia matem´ atica em LATEX. 1. \{ [ (2+3) - 5 ] \times 6 \} \div 7 \neq 1 {[(2 + 3) − 5] × 6} ÷ 7 6= 1 2. \sqrt[4]{ \frac{1}{4} } = \frac{\sqrt{2}}{2} r √ 2 4 1 = 4 2 3. (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \: \forall\, a,b\in\mathbb{R} (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ∀ a, b ∈ R 4. | |a|-|b| | \leq |a+b| \leq |a|+|b| \: \forall\, a,b\in\mathbb{R} ||a| − |b|| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b| ∀ a, b ∈ R 5. \frac{2}{x^2-1} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} x2

2 1 1 = − −1 x−1 x+1


217

6. \sec^2 \theta = 1 - \tan^2 \theta sec2 θ = 1 − tan2 θ 7. (1+\alpha)^n \geq 1+n\,\alpha \: \forall\,\alpha>0,n\in\mathbb{N} (1 + α)n ≥ 1 + n α ∀ α > 0, n ∈ N 8. \sum_{j=1}^n a_1\,q^{j-1} = a_1\, \frac{q^j-1}{q-1} n X

a1 q j−1 = a1

j=1

qj − 1 q−1

9. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} +∞ X 1 π2 = n2 6 n=1

10.

\lim_{h\rightarrow0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e 1

lim (1 + h) h = e

h→0

11.

\int_1ê x^k\ln x \,dx = \frac{e^{k+1}}{k+1} - \frac{1}{k+1} \int_1ê x^k \,dx Z e Z e ek+1 1 k x ln x dx = − xk dx k + 1 k + 1 1 1

12.

\forall\,\varepsilon>0 \: \exists\,\delta>0 \:|\: 0<|x-x_0|<\delta \: \Rightarrow \: |f(x)-a|<\varepsilon ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 | 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − a| < ε

13.

2|n \Leftrightarrow 2|n^2 2|n ⇔ 2|n2

14.

\Omega = \{ x\in\mathbb{R} \:|\: x\not\in\mathbb{Q} \} \subset \mathbb{\R} Ω = {x ∈ R | x 6∈ Q} ⊂ R

15.

\{ 2\,k \:|\: k\in\mathbb{Z} \} \not\supset \{ 3\,k \:|\: k\in\mathbb{Z} \} {2 k | k ∈ Z} 6⊃ {3 k | k ∈ Z}

ˆ 218 CAPÍTULO 7. PESQUISAS ELETRONICAS, PROCESSADORES DE TEXTO E HIPERTEXTO 16.

\{ 2\,k \:|\: k\in\mathbb{Z} \} \cap \{ 3\,k \:|\: k\in\mathbb{Z} \} = \{ 6\,k \:|\: k\in\mathbb{Z} \} {2 k | k ∈ Z} ∩ {3 k | k ∈ Z} = {6 k | k ∈ Z}

17.

(A\cup B) \setminus C = (A\setminus C) \cup (B\setminus C) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C)

Cabem algumas observa¸co˜es sobre a sintaxe no modo matemático: • O comando \mathbb serve para gerar o tipo de fonte que usamos para representar os conjuntos numéricos N, Z, Q, R e C. Podemos usar este comando para representar qualquer letra neste tipo de fonte, não somente as que representam usualmente os conjuntos numéricos, por exemplo: A ou Y. • O comando \not serve para sobrepor o tra¸co de nega¸cão ao s´ımbolo seguinte. Assim, por exemplo, os códigos \not\exists e \not\subset geram os s´ımbolos 6 ∃ e 6⊂, respectivamente.

• Como comentamos acima, há comandos espec´ıficos para gerar espa¸cos entre os s´ımbolos no modo matemático. Os comandos \, \; \: que aparecem nos exemplos acima têm esta fun¸cão. Além disso, comentamos outro aspecto sobre comandos dependendo de parâmetros: • Observe que, para gerar o s´ımbolo de raiz quarta, empregamos o código \sqrt[4]. A expressão que aparece entre colchetes corresponde a um parâmetro opcional do comando \sqrt. De forma geral, os comandos de LATEX podem ter parâmetros obrigatórios e parâmetros opcionais. Os parâmetros opcionais podem ser omitidos, mas os obrigatórios devem necessariamente ser inclu´ıdos no código, caso contrário a compila¸cão indicará um erro. Os parâmetros obrigatórios aparecem entre chaves, e os opcionais entre colchetes. Por exemplo, o comando \sqrt possui um parâmetro obrigatório, o radicando, e um parâmetro opcional, o ´ındice da radicia¸cão. No caso da omissão do parâmetro opcional, o s´ımbolo gerado será o de raiz quadrada.

Em muitos casos, deseja-se ajustar o tamanho de delimitadores de expressões matemáticas (como parênteses, colchetes ou chaves) de acordo com o que está dentro. Em LATEX, isto é feito com os comandos \left e \right. Veja os exemplos a seguir. Exemplos: Delimitadores em LATEX. 1. \left( \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \right) \times \frac{7}{8} = \frac{14}{15} 1 2 3 7 + × = 2 3 4 8 2. \left[ \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) \times \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \right) \right] - 1 = -\frac{5}{8} 1 1 1 1 5 + × + −1=− 2 3 4 5 8


219

3. \left] \frac{1}{n+1} , \frac{1}{n} \right[ \subset \left[ \frac{1}{n+1} , \frac{1}{n} \right[ \subset \left[ \frac{1}{n+1} , \frac{1}{n} \right] 1 1 1 1 1 1 , ⊂ , ⊂ , n+1 n n+1 n n+1 n 4. \mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{n} \;|\; \left\{ \frac{m}{n} \;|\; m\in\mathbb{Z}, n\in\mathbb{Z}^\star \right\} o nm | m ∈ Z, n ∈ Z? Q= n 5. \left| \int_a^b f(x)\:dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|\:dx Z b Z b f (x) dx ≤ |f (x)| dx a

a

6. \|u\| = \sqrt{ \left[ \sun_{i=1}^n x_i^2 \right] } v ! u n u X kuk = t x2i i=1

7. \left\| \left( \frac{1}{2},\frac{2}{3} \right) \right\|^2 = \left\langle \left( \frac{1}{2},\frac{2}{3} \right), \left( \frac{1}{2},\frac{2}{3} \right) \right\rangle = \frac{25}{36}

1 2 2 1 2 1 2 25

,

= , , , =

2 3 2 3 2 3 36

Para criar matrizes, tabelas ou para dispor s´ımbolos em arranjo retangular no modo matemático em LATEX, usa-se o ambiente array. Como veremos nos exemplos a seguir, o número de colunas e o alinhamento dos s´ımbolos em cada coluna são definidos pelo parâmetro que segue o comando \begin{array}. Há três formas principais de alinhamento de colunas em arrays: centralizado (c), à esquerda (l), à direita (r). Por exemplo, \begin{array}{cc} abre um array com duas colunas, todas centralizadas; \begin{array}{lcr} abre um array com três colunas, sendo a primeira alinhada à esquerda, a segunda centralizada, e a terceira alinha à direita. No interior de uma ambiente array, usa-se & para mudar de coluna dentro de cada linha, e \\ para mudar de linha. Para criar arranjos retangulares fora do modo matemática, usa-se o ambiente tabular, cuja sintaxe é exatamente a mesma do ambiente array. Exemplos: Tabelas em LATEX.

ˆ 220 CAPÍTULO 7. PESQUISAS ELETRONICAS, PROCESSADORES DE TEXTO E HIPERTEXTO 1. \det\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right] = ad-bc a b det = ad − bc c d 2. \left( \begin{array}{rrr} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2x-y-z \\ -x+2y-z \\ -x-y+2z \end{array} \right)       2 −1 −1 x 2x − y − z  −1 2 −1  ·  y  =  −x + 2y − z  −1 −1 2 z −x − y + 2z 3. \left\{ \begin{array}{lcc} 2x-y-z &=& 0 \\ -x+2y-z &=& 0 \\ -x-y+2z &=& 0 \end{array} \right.  = 0  2x − y − z −x + 2y − z = 0  −x − y + 2z = 0 4. (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} n \\k

\end{array} \right) x^n y^{n-k}

n X n (x + y) = xn y n−k k n

k=0

5. \begin{array}{cccl} f: & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & ax^2+bx+c \end{array} f : R −→ R x 7−→ ax2 + bx + c A partir dos exemplos acima, Cabe uma observa¸cão sobre o uso de delimitadores: • No exemplo três, desejamos delimitar o sistema com chaves à esquerda e sem nada à direita. Em situa¸co˜es como essa, deve-se fechar a delimita¸cão com o comando \end. para que definir o tamanho ao qual o delimitador deve se ajustar. Outra tipo de ambiente muito u ´til em LATEX são os ambientes tipo lista, que servem para criar listas de ´ıtens, numeradas ou não. Os dois principais tipos de ambiente tipo lista são o itemize, que gera listas não numeradas, o enumerate, que gera listas numeradas. No interior de um ambiente lista, cada ´ poss´ıvel configurar todos os parâmetros em um ambiente item é iniciado com o comando item. E


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tipo lista, incluindo as distâncias das margens, dos parágrafos anterior e posterior, entre os ´ıtens, etc., ´ poss´ıvel também definir novos ambientes tipo lista. Entretanto, além do tipo de marcador utilizado. E não nos aprofundaremos nesses aspectos neste texto. Os interessados poderão encontrar um descri¸cão completa dos recursos dos ambientes tipo lista nas referências recomendadas.

Exemplos: Tabelas em LATEX.

1. \begin{enumerate} \item primeiro item \begin{enumerate} \item primeiro subitem \begin{enumerate} \item primeiro subsubitem \item segundo subsubitem \item terceiro subsubitem \end{enumerate} \item segundo subitem \item terceiro subitem \end{enumerate} \item segundo item \item terceiro item \end{enumerate} 1. primeiro item (a) primeiro subitem i. primeiro subsubitem ii. segundo subsubitem iii. terceiro subsubitem (b) segundo subitem (c) terceiro subitem 2. segundo item 3. terceiro item

ˆ 222 CAPÍTULO 7. PESQUISAS ELETRONICAS, PROCESSADORES DE TEXTO E HIPERTEXTO 2. \begin{itemize} \item primeiro item \begin{itemize} \item primeiro subitem \begin{itemize} \item primeiro subsubitem \item segundo subsubitem \item terceiro subsubitem \end{itemize} \item segundo subitem \item terceiro subitem \end{itemize} \item segundo item \item terceiro item \end{itemize} • primeiro item – primeiro subitem ∗ primeiro subsubitem ∗ segundo subsubitem ∗ terceiro subsubitem

– segundo subitem – terceiro subitem • segundo item • terceiro item

Como já comentamos, esta se¸cão visa apenas fornecer uma visão geral sobre o processador de texto EX, suficiente para come¸car a utilizá-lo na prepara¸cão de pequenos textos para uso em sala de aula, especialmente apostilas, provas e listas de exerc´ıcios. Por isso, optamos por não propor exerc´ıcios espec´ıficos. Procure pensar em exemplos de simbologia matemática que você queira representar e tente expressá-los em LATEX. Se preferir, [18] contém uma grande quantidade de exerc´ıcios.

LAT

Organizando Conte´ udos na Forma de Hipertexto Textos convencionais são organizados em estrutura linear, na qual os tópicos se sucedem uns aos outros de maneira seqüencial. Entretanto, dependendo de seus objetivos, um texto pode ser consideravelmente enriquecido se são estabelecidas liga¸co˜es diversificadas entre as idéias tratadas. Este é o caso de textos matemáticos com fins didáticos, em que geralmente se deseja estabelecer liga¸co˜es múltiplas que apontem para diferentes aspectos de um mesmo conceito e para diferentes conceitos relacionados. Por outro lado, também é desejável equilibrar essa multiplicidade de liga¸co˜es, de forma que a linha principal do texto seja preservada e este não se torne excessivamente disperso ou perca o foco. Evidentemente, em textos convencionais, essas liga¸co˜es múltiplas podem ser feitas como referências, a outras partes do próprio texto ou a outros textos e materiais. Em um hipertexto, os conteúdos são organizados de forma n˜ ao seq¨ uencial e n˜ ao hier´ arquica. As liga¸co˜es (ou hiperlinks) tornam-se mais concretas e acess´ıveis, pois o leitor pode, a qualquer momento


223

o leitor pode se desviar ou retornar facilmente à leitura anterior. Assim, a estrutura de hipertexto abre a possibilidade de criar rela¸co ˜es mais dinˆ amicas entre id´ eias abordadas e, ao mesmo tempo, preservar a linha principal do texto. Essa estrutura permite que um mesmo material seja percorrido de diversas maneiras – neste sentido, um hipertexto incorpora diversas possibilidades de textos em um u ńico material. Como o próprio leitor pode construir seu percurso através do hipertexto, essa estrutura pode ser aproveitada pelo professor para contemplar as necessidades e os diferentes ritmos de aprendizagem de um p´ ublico diversificado de estudantes. Por exemplo, enquanto alguns alunos podem se deter mais na revisão de pré-requisitos para um dado conteúdo, outros podem ficar livres para explorar seus aprofundamentos teóricos. Além disso, os hiperlinks não precisam apontar apenas para textos escritos, mas também para materiais em outras m´ıdias (tais como imagens, v´ıdeos, softwares, anima¸co˜es, jogos, etc.), que podem ser disponibilizados tanto localmente como pela internet (caso haja possibilidade de acesso). Desta forma, os hipertextos podem ser utilizados em processos de ensino/aprendizagem em Matemática, de ´ claro que o uso de hipertextos modo a contribuir para o incremento e diversifica¸cão das atividades. E demanda a utiliza¸cão de tecnologias digitais. Em particular, havendo a possibilidade de acesso à internet, o uso de hipertextos pode permitir uma expansão do espa¸co da sala de aula, agregando pesquisas ou de aprofundamentos relacionados a temas que não estariam necessariamente no contexto usual de aula, e que, por este meio, podem ser acessados e compartilhados em ambientes virtuais. Os diversos modos de ensino à distância, que utilizam computadores e internet como meio, fazem uso de hipertextos e outras m´ıdias para formar uma rede que interliga conhecimento. A caracteriza¸cão do hipertexto, pela possibilidade de liga¸cão entre um grande número de textos e outros materiais enredados de modo não seqüencial, permite a cria¸cão de diversificadas possibilidades de atividades. A própria internet está repleta de materiais (com fins educacionais ou não) estruturados em forma de hipertexto (por exemplo, Wikipedia é um grande hipertexto). Podemos assim propor atividades em disponibilizamos aos estudantes indica¸co˜es de hiperlinks a v´ıdeos, softwares, rela¸co˜es com a história da Matemática, textos de aprofundamento sobre o conteúdo abordado, e uma série de outros caminhos que podem compor a atividade e permitir ao aluno maior acesso ao conhecimento abordado. No planejamento de um hipertexto é importante selecionar os tópicos que serão apontados por meio de hiperlinks e as m´ıdias adequadas para cada um deles, levando-se em conta os objetivos do material e o público alvo. Estes tópicos podem contemplar diferentes n´ıveis de rela¸co˜es: aprofundamentos teóricos, revisão de pré-requisitos, fundamenta¸cão histórica, conexões com outros conceitos, e assim por diante. ´ claro que a elabora¸cão do texto deverá levar em conta o fato de que haverá materiais dispon´ıveis E em hiperlinks, o que também determinará seu conteúdo e sua organiza¸cão. Portanto, um hipertexto não precisa necessariamente ser concebido como um texto raiz no qual são “pendurados” hiperlinks, embora este seja um modelo básico e de mais simples elabora¸cão que pode ser u ´til em muitas situa¸co˜es. A concep¸cão dos conteúdos e m´ıdias dispon´ıveis nos diversos hiperlinks articulam-se mutuamente. Para montar um hipertexto para uso em sala de aula, você poderá utilizar materiais dispon´ıveis na internet, desde que não haja viola¸cão de direitos autorais. Considere o exemplo do texto a seguir 1 . Nele, indicamos (em azul), alguns trechos que podem ser vinculados a hiperlinks apontando para outros materiais. Em seguida, discutipos que tipo de materiais seriam esses e alguns critérios de sele¸cão. Representa¸c˜ ao Decimal dos N´ umeros Reais Na escola, lidamos frequentemente com números racionais representados na forma decimal. De fato, este tipo de representa¸cão se aplica ao conjunto dos reais como um todo. São sempre ensinados alguns fatos importantes sobre este conteúdo, tais como: toda fra¸cão pode ser representada como um decimal finito ou uma d´ızima periódica [1]; e, reciprocamente, 1

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ˆ 224 CAPÍTULO 7. PESQUISAS ELETRONICAS, PROCESSADORES DE TEXTO E HIPERTEXTO toda d´ızima periódica pode ser representada na forma de fra¸cão [2]. Uma consequência imediata deste fato é que um número é racional se, e somente se, sua representa¸cão decimal é finita ou periódica. Algumas questões importantes relacionadas a esta propriedade têm merecido pouca ênfase no ensino básico de Matemática. Em primeiro lugar, escrever um número real positivo em representa¸cão decimal significa expressá-lo como uma soma cujas parcelas são produtos de algarismos entre 0 e 9 por potências de 10, de expoentes inteiros, positivos e negativos. Esta é a generaliza¸cão da representa¸cão decimal para números naturais [3], em que aparecem apenas expoentes positivos. Entretanto, quando se tratam de números reais, as somas podem ter uma quantidade infinita de parcelas com expoentes negativos. Assim, um número real positivo a se escreve na forma a = a0 + a1 10−1 + a2 10−2 + · · · (7.1) sendo a0 um número natural e os ai , i > 0, algarismos entre 0 e 9. Neste caso, não se tratam mais de simples somas no sentido algébrico, que teriam necessariamente que ser finitas, mas sim, de somas infinitas, o que é representado pelo s´ımbolo de reticências. Isto é, tratam-se de séries [4]. Mas, o que é uma série? Bem, a princ´ıpio uma série pode ser pensada simplesmente como uma soma formal com infinitas parcelas S = x0 + x1 + x2 + · · · + x n + · · · . Porém, calcular o “resultado” desta soma não é o mesmo que calcular o resultado de uma soma finita. A soma de uma série deve ser encarnada como o limite de uma seqüencia [5]. Assim, dizemos que a série S converge quando a seqüencia de suas somas parciais S0 = x 0 , S1 = x 0 + x 1 , S2 = x 0 + x 1 + x 2 , . . . , Sn = x 0 + x 1 + · · · + x n , · · · for convergente. O fato, que se assume tacitamente, de que as séries como em (7.1) são sempre convergentes – o que equivale a dizer que o conjunto dos números reais é completo [6]. Na verdade pode-se demonstrar, assumindo a completude de R que estas séries são convergentes por meio de uma compara¸cão com séries geométricas [7] convergentes. Portanto, ao fazermos opera¸co˜es com d´ızimas periódicas para obter fra¸co˜es geratrizes, estamos na verdade efetuando opera¸co˜es com limites – que só são leg´ıtimas porque sabemos de antemão que as séries envolvidas são convergentes. Para entender d´ızimas periódicas como limites, é fundamental compreender bem a igualdade 1 = 0, 9999 . . . [8], que é fonte de muitas dúvidas. Muitos estudantes concebem esta igualdade como não exata, ou como uma aproxima¸cão. Talvez estas concep¸co˜es estejam relacionadas com certa confusão entre os termos de uma seqüencia e seu limite. Não é incomum ouvirmos comentários do tipo “o limite da seqüencia tende a x”. O limite de uma seqüencia é um número fixo, portanto, não pode tender a lugar algum! O correto é dizer que “o limite da seqüencia é igual a x”, ou então que “a seqüencia tende a x”. Neste caso, os termos da seqüencia se aproximam indefinidamente de seu limite. No caso da igualdade 1 = 0, 9999 . . ., observamos que o s´ımbolo 0, 9999 . . . representa o limite da seqüencia cujos termos são x1 = 0, 9, x2 = 0, 99, x3 = 0, 999, e assim por diante. Podemos mostrar que esta seqüencia tende a 1 [9]. Assim, podemos dizer que os termos x 1 = 0, 9, x2 = 0, 99, x3 = 0, 999, . . . se aproximam de 1, mas o limite 0, 9999 . . . é igual a 1!


225

Para converter d´ızimas periódicas em fra¸co˜es, usamos o procedimento que envolve multiplica¸co˜es por potências de 10 e adi¸co˜es. Como já comentamos, esse procedimento envolve opera¸co˜es com limites. Reciprocamente, para converter fra¸co˜es em representa¸co˜es decimais, empregamos divisões sucessivas. Como há uma quantidade finita de restos poss´ıveis e, a partir da primeira vez que um resto se repetir todos os algarismos do quociente se repetirão, obtemos necessariamente uma d´ızima periódica. Em particular, se aparecer um resto 0, temos um decimal finito. Tais procedimentos, se devidamente organizados, constituemse em um prova matemática rigorosa para o fato de que um número real é racional se, e somente se, sua representa¸cão decimal é finita ou periódica [10]. A prova de que R não é enumerável [11], argumento conhecido como Diagonal de Cantor [12], também se baseia na representa¸cão decimal (ou na representa¸cão binária [13]) para os números reais. Como Q é enumerável [14], uma consequência direta deste fato é que o conjunto dos números irracionais também é não enumerável. Assim, em um certo sentido, existem muito mais números irracionais do que racionais. Este fato é surpreendente e pode parecer anti-intuitivo, pois na escola, em geral, os alunos têm muito mais contato com exemplos diversos de racionais do que de irracionais. No entanto, se pensarmos mais uma vez na representa¸cão decimal, como os racionais são d´ızimas periódicas e os irracionais, não, poderemos verificar, de um ponto de vista intuitivo, o seguinte: se pudéssemos formar uma expressão decimal infinita, sorteando ao acaso d´ıgito por d´ıgito de 0 a 9, a probabilidade de obtermos um irracional é muito maior que a de obtermos um racional. Isto seria como jogarmos um dado (honesto) infinitamente e esperar que os d´ıgitos obtidos aleatoriamente se repetissem em um mesmo padrão para sempre! De fato, a probabilidade de obtermos um número racional com este processo é igual a zero [15]. Para conceber um hipertexto no qual o texto acima esteja inserido, dois aspectos importantes devem ser considerados: • o p´ ublico alvo, que neste caso constitui-se de professores de Matemática do ensino básico;

• os objetivos centrais, que neste caso podem ser resumidos como discutir a estrutura da representa¸cão decimal para números reais, sua importância e suas aplica¸co˜es.

Basicamente, os hiperlinks selecionados neste exemplo referem-se a três tipos de rela¸co˜es com o conteúdo do texto: revisões de pré-requisitos básicos (no caso de [1], [2], [3], [7], [13]); aprofundamentos de conteúdos avan¸cados relacionados (no caso de [4], [5], [6], [14]); aprofundamentos do próprio conteúdo (no caso de [8], [9], [10], [11], [12], [15]). Essa classifica¸cão leva em conta o público alvo e os objetivos destacados acima. Assim, aprofundamentos teóricos do próprio conteúdo do texto referem-se diretamente aos objetivos centrais do hipertexto. Os revisões de pré-requisitos básicos e os aprofundamentos de conteúdos avan¸cados relacionados levam em conta o conhecimento esperado do público alvo. Devemos observar que também que a linguagem empregada foi concebida para ser compat´ıvel com o público alvo, e os materiais selecionados para o hiperlinks devem ser preferencialmente também coerentes com esta linguagem. Lembramos ainda que os materiais vinculados aos hiperlinks não precisam se limitar a textos, e podem se incluir m´ıdias diversas. Por exemplo, no caso dos hiperlinks [3], [4], [5] e [7], é poss´ıvel encontrar softwares e anima¸co˜es. A estrutura de hipertexto permite organizar o material de forma que as idéias principais fiquem concentradas e suas rela¸co˜es e aprofundamentos ramifiquem-se em estrutura de rede.

ˆ 226 CAPÍTULO 7. PESQUISAS ELETRONICAS, PROCESSADORES DE TEXTO E HIPERTEXTO Atividades 1. Selecione materiais em diversas m´ıdias na internet, que possam ser vinculados aos hiperlinks marcados no texto Representa¸cão Decimal dos Números Reais acima. Leve em conta os critérios discutidos na se¸cão anterior. 2. Considere o texto a seguir2 . Suponha que você queira inseri-lo como parte de um material em forma de hipertexto. (a) Escolha trechos que possam ser vinculados a hiperlinks apontando para outros materiais. Explique e justifique seus critérios de escolha, levando em conta o público alvo e os objetivos do hipertexto. (b) Selecione materiais em diversas m´ıdias na internet, que possam ser vinculados a cada um dos hiperlinks escolhidos. Leve em conta os critérios discutidos na se¸cão anterior, certificando-se que cada informa¸cão disponibilizada seja correta. Trigonometria no Triˆ angulo e no C´ırculo A trigonometria é certamente um dos tópicos cuja abordagem no Ensino Médio é mais artificialmente mistificada. Em primeiro lugar, observamos que, em geral, a abordagem de trigonometria em livros didáticos é fortemente calcada por uma quantidade excessiva de fórmulas (em muitos casos redundantes) e procedimentos memorizados, apresentados com interpreta¸cão geométrica insuficiente. Um segundo problema está relacionado com os dois contextos matemáticos fundamentais em que a trigonometria é desenvolvida: a trigonometria no triângulo retângulo e a trigonometria no chamado c´ırculo trigonométrico. No triângulo retângulo, o seno e o cosseno de um ângulo agudo são definidos como razões entre comprimentos de lados. Portanto, neste contexto, falamos de seno e cosseno de ângulos, definidos como razões trigonométricas. No contexto do c´ırculo trigonométrico, tomamos como referência um c´ırculo unitário C, com centro na origem de um sistema de eixos cartesianos e consideramos os ângulos centrais que possuem um dos lados no eixo horizontal e o outro definido por um segmento OB, em que B é um ponto sobre a circunferência. Se B está no primeiro quadrante, os ângulos determinados são agudos e tudo ocorre como no contexto das razões trigonométricas no triângulo retângulo. Como as hipotenusas dos triângulos medem uma unidade, o seno e o cosseno corresponderão às medidas das suas proje¸co˜es sobre os eixos cartesianos. Existe uma correspondência entre os ângulos centrais e os arcos correspondentes determinados por este ângulos. Portanto, podemos pensar que o seno e o cosseno dependem apenas do comprimento desses arcos – por isso, o radiano aparece como um unidade natural no contexto das fun¸co˜es trigonométrica. Agora, podemos mover livremente o ponto B sobre a circunferência, obtendo ângulos obtusos, dando mais de uma volta completa no c´ırculo e andando no sentido negativo (horário). Desta forma, os conceitos inicialmente constru´ıdos, tendo o triângulo retângulo como referência, são estendidos e, assim, passamos a tratar de seno e cosseno de números reais. Isto nos possibilita definir as fun¸co˜es trigonométricas, com dom´ınio em R. O problema é que esses dois contextos são tratados de forma completamente estanque, sem que as rela¸co˜es entre eles sejam explicitadas e devidamente esclarecidas. Isto pode até mesmo causar nos alunos a impressão de que, quando falamos de seno e cosseno no triângulo retângulo, ou no c´ırculo trigonométrico, ou nas 2

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fun¸co˜es trigonométricas, estamos nos referindo a conceitos matemáticos inteiramente desconectados, que talvez “por acaso” tenham o mesmo nome. Antes de mais nada, é importante observar a importância do conceito de semelhan¸ca para a boa defini¸cão das razões trigonométricas no triângulo retângulo. De fato, se dois triângulos retângulos possuem um ângulo agudo em comum, então estes serão necessariamente triângulos semelhantes. Portanto, as razões entre seus lados correspondentes serão iguais. Isto nos garante que o seno e o cosseno fiquem bem definidos, isto é, que seus valores dependam apenas do ângulo, e não do triângulo retângulo escolhido. De forma geral, ao ler esta se¸cão, procure atentar para o fato de que todas as rela¸co˜es entre razões trigonométricas são na verdade expressões algébricas de propriedades geométricas envolvendo os triângulos retângulos, seus lados e ângulos. Por exemplo, o fato de que o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complementar é uma conseqüência direta da Lei Angular de Tales e das próprias defini¸co˜es das razões trigonométricas. Chamar aten¸cão para essas interpreta¸co˜es geométricas, dando significado às rela¸co˜es algébricas, deve ser uma atitude permanente no ensino de trigonometria na Educa¸cão Básica. A constru¸cão do c´ırculo trigonométrico pode ser feita por meio da fun¸cão de Euler E : R → C, que enrola a reta no c´ırculo a partir do ponto (1, 0) = E(0). Observe como o radiano surge naturalmente neste contexto como uma unidade de medida linear de comprimento de arco. Como já observamos, o seno e o cosseno são representados geometricamente pelas proje¸co˜es do raio do c´ırculo nos eixos coordenados. A partir da´ı, suas principais propriedades apresentam representa¸co˜es geométricas simples no c´ırculo trigonométrico. O c´ırculo trigonométrico é a base para a constru¸cão das fun¸co˜es trigonométricas. 3. Suponha que você queira elaborar um pequeno resumo, em formato de hipertexto, empregando referências de sites encontrados na internet, para introduzir o conceito de logaritmo para alunos do Ensino Médio. (a) Elabore uma lista de tópicos relacionados que você incluiria no corpo do texto principal e como hiperlinks. Explique e justifique seus critérios de escolha, levando em conta o público alvo e os objetivos do hipertexto. (b) Selecione materiais em diversas m´ıdias na internet, que possam ser vinculados a cada um dos hiperlinks escolhidos. Leve em conta os critérios discutidos na se¸cão anterior, certificando-se que cada informa¸cão disponibilizada seja correta. (c) Elabore a estrutura geral para o hipertexto, utilizando os tópicos e hiperlinks relacionados nos ´ıtens anteriores. 4. Considere um problema abaixo3 . Suponha que você queira propor a seus alunos um roteiro de estudos para a solu¸cão do problema, que forne¸ca diversas possibilidades para explora¸cão. O roteiro deve ser baseado em pesquisa eletrônica e utiliza¸cão de hipertexto. Se dois paralelep´ıpedos têm uma base comum e suas bases superiores pertencem a um mesmo plano, paralelo ao plano da base comum, então esses dois paralelep´ıpedos possuem o mesmo volume. (a) Escreva o problema proposto e o roteiro que os alunos devem executar. 3

Proposi¸cão VII do Livro VI dos Elementos de Geometria de Adrien Marie Legendre [46].

ˆ 228 CAPÍTULO 7. PESQUISAS ELETRONICAS, PROCESSADORES DE TEXTO E HIPERTEXTO (b) Acrescente ao roteiro hiperlinks para: i. informa¸co˜es históricas pesquisadas na internet; ii. formas de representa¸co˜es ou simula¸co˜es para o problema, tais como aplets, constru¸co˜es com geometria dinâmica, softwares de representa¸cão 3D. iii. textos que reproduzam a solu¸cão do problema, que possam ser consultados pelos alunos. Ao selecionar o conteúdo desses hiperlinks, leve em conta os critérios discutidos na se¸cão anterior, certificando-se de sua corre¸cão. (c) Pe¸ca que cada estudante apresente uma solu¸cão para o problema e que utilize as diversas formas de representa¸cão fornecida pelo editor e os hiperlinks fornecidos. 5. Desenvolva o exerc´ıcio 4 em dois modelos: (a) utilizando links remotos cujo acesso é obtido por internet; (b) modo reúna todo material poss´ıvel em um diretório local, de modo que o problema pode ser desenvolvido como atividade em local onde não há disponibilidade de acesso à internet.

Cap´ıtulo 8 Crit´ erios para Sele¸c˜ ao de Recursos Computacionais no Ensino de Matem´ atica Introdu¸c˜ ao Nos cap´ıtulos anteriores, apresentamos algumas modalidades de recursos computacionais e discutimos suas possibilidades de aplica¸cão a diferentes tópicos do ensino básico de Matemática. Neste cap´ıtulo final, em lugar de conduzir a discussão sob perspectiva dos recursos computacionais, abordaremos a escolha de modalidades de recursos computacionais adequadas a partir dos tópicos a serem apresentados. Isto é, discutiremos critérios para sele¸cão de recursos computacionais no ensino de Matemática. Como procuramos exemplificar em diversas situa¸co˜es ao longo deste texto, a incorpora¸cão de tecnologias computacionais no ensino de Matemática possibilita novas abordagens, em alguns casos revelando aspectos dos conceitos matemáticos que dificilmente poderiam ser ensinados por meio de recursos convencionais. Desta forma, surgem novos problemas e são necessárias novas estratégias para resolvê-los. A introdu¸cão de uma ferramenta tecnológica em sala de aula deve se orientar por objetivos e competências a serem adquiridas pelos estudantes. Caso contrário, é bastante provável que a ferramenta não seja realmente integrada ao processo de ensino, convertendo-se apenas em um simples adere¸co. Este processo deve envolver a compreens˜ ao da adequa¸c˜ ao da ferramenta aos conceitos matem´ aticos ´ abordados, bem como as perspectivas did´ aticas em que ocorre a integra¸c˜ ao da tecnologia. E fundamental que sejam consideradas ainda as potencialidades e prov´ aveis limita¸co ˜es dos recursos tecnológicos quando aplicados ao contexto de ensino e aprendizagem em questão. Face a esta problemática, a avalia¸cão cr´ıtica da incorpora¸cão de tecnologias computacionais no ensino de Matemática, levando em conta tanto os aspectos conceituais dos tópicos matemáticos, quanto as especificidades de cada contexto educacional, não é um problema de solu¸cão trivial. Nas duas se¸co˜es a seguir, apresentamos exemplos de planos de aula empregando recursos computacionais, e discutimos a escolha e adequa¸cão desses recursos aos objetivos conceituais e pedagógicos. Neste sentido, é importante destacar que tais objetivos não podem ser estabelecidos a priori, como se o planejamento fosse concebido para uma aula convencional – a pr´ opria op¸c˜ ao em usar recursos computacionais cria novas possibilidades instrucionais. Procuramos selecionar exemplos de atividades que possibilitem o uso de mais de uma modalidade de recursos computacionais. Assim, serão discutidos critérios para sele¸cão desses recursos para um determinado contexto educacional, em ambientes de sala de aula convencional ou de laboratório, levando em conta as especificidades de cada situa¸cão.

231

´ ˜ DE RECURSOS COMPUTACIONAIS NO ENSINO DE MATEM 232CAPÍTULO 8. CRITERIOS PARA SELEC ¸ AO

8.1

Interpretando Dados do Cotidiano

Analisar e interpretar dados numéricos reais é, sem dúvida, uma boa proposta de aula com recursos tecnológicos. Em muitos casos, dados numéricos que podem ser facilmente pesquisados na internet possuem consequências relevantes para a vida cotidiana, porém sua análise pode envolver cálculos pesados, dif´ıceis de serem realizados manualmente. Softwares computacionais acess´ıveis a professores e alunos do ensino básico podem ser usados para analisar e interpretar esses dados. Trazer essas análises para a sala de aula e discutir seus resultados a luz dos conteúdos matemáticos ensinados pode tornar a aprendizagem muito mais significativa. Como exemplo, vamos apresentar como usar dados relacionados ao clima de uma região para encontrar fun¸co˜es periódicas que ajustam esses dados ao longo dos meses do ano. Temperaturas médias, volume de chuvas e outros dados climáticos podem ser facilmente obtidos na internet, e uma boa fonte de busca é o Banco de Dados Climáticos do Brasil, da Embrapa 1 . Nesse banco é poss´ıvel encontrar dados de muitas cidades brasileiras, em per´ıodos significativos (figura 8.1).

Figura 8.1: Banco de dados climáticos do Brasil. O professor pode planejar uma aula em que cada aluno trabalhe com os dados climáticos de uma determinada cidade brasileira. Assim cada aluno terá seu próprio conjunto de dados. O trabalho pode se concentrar, por exemplo, nos dados relativos às temperaturas médias mensais da cidade escolhida. Vamos desenvolver essa proposta com a cidade de Curitiba. As temperaturas mensais médias da capital paranaense no per´ıodo de 1963 a 1990 são mostradas na segunda coluna da tabela da figura 8.1. Os alunos podem calcular inicialmente alguns valores que exprimem o comportamento desses dados, tais como: 1

www.bdclima.cnpm.embrapa.br/resultados

8.1. INTERPRETANDO DADOS DO COTIDIANO

233

• temperatura média anual: 16, 5◦ C (aproximadamente); • maior temperatura média mensal: 19, 9◦ C (fevereiro);

• menor temperatura média mensal: 12, 2◦ C (junho);

• varia¸cão das temperaturas médias mensais: 7, 7◦ C;

• temperatura média mensal mais próxima da média anual: 16, 5 ◦ C (outubro). Dependendo da quantidade e complexidade dos dados, cálculos como os acima podem ser feitos com uma calculadora de bolso, ou como uma planilha eletrônica. Usar uma planilha eletrônica também pode ser uma primeira op¸cão para representar os dados graficamente (figura 8.2). A interpreta¸cão gráfica pode ajudar os alunos a perceberem mais claramente a tendência do comportamento dessas temperaturas ao longo das esta¸co˜es do ano. Essa discussão pode ser feita mesmo com alunos do ensino fundamental, e constitui uma maneira interessante de introduzir representa¸co˜es gráficas nesse segmento escolar. Além disso, o comportamento das médias mensais de temperatura serão influenciados pelas condi¸co˜es climáticas da cidade em questão, o que propicia uma oportunidade de abordagem interdisciplinar com a disciplina de Geografia.

Figura 8.2: Gráfico das temperaturas mensais médias em Curitiba no per´ıodo de 1963 a 1990. Uma questão, um pouco mais avan¸cada que pode ser proposta a partir da visualiza¸cão do gráfico é a seguinte: Que tipo de fun¸cão pode ser usada para aproximar o comportamento das temperaturas médias ao longo do ano? Como a varia¸cão anual das temperaturas apresenta certa periodicidade (mesmo que não no sentido matemático estrito do termo), uma op¸cão razoável pode ser procurar uma fun¸cão trigonométrica que ajuste a curva mostrada na figura 8.2. Tal fun¸cão de ajuste pode ter a forma: T (x) = a + b sen (cx + d) . Os parâmetros a, b, c, d da fun¸cão T podem ser explorados empiricamente por meio de uma constru¸cão em um software de geometria dinâmica (como mostraremos a seguir). Tal explora¸cão pode ajudar os alunos a entenderem o comportamento de fun¸co˜es trigonométricas de forma mais concreta, tornando seu ensino mais interessante. No GeoGebra, a constru¸cão pode ser feita de acordo com os seguintes passos:

´ ˜ DE RECURSOS COMPUTACIONAIS NO ENSINO DE MATEM 234CAPÍTULO 8. CRITERIOS PARA SELEC ¸ AO 1. introduza os pontos (x, T ) correspondentes aos valores tabelados para os meses x e para as temperaturas médias, digitando no campo Entrada; 2. ajuste a janela de visualiza¸cão geométrica para uma varia¸cão horizontal (eixo do tempo t em meses) de −1 a 13 e vertical (eixo das temperaturas T em graus Celsius) de −1 a 30;

3. introduza os parâmetros a, b, c, d como variáveis dinâmicas do aplicativo, com a variando de 10 a 30, b variando de 0 a 10, c variando de 0 a 2 e d variando de −10 a 0; 4. construa o gráfico da fun¸cão T (x) = a + b sen(cx + d), digitando a expressão no campo Entrada.

Figura 8.3: Ajuste trigonométrico no GeoGebra. Após esses passos, os alunos podem brincar a vontade, variando os parâmetros a, b, c, d para buscar, via observa¸cão da geometria dinâmica, valores dos parâmetros que resultem em um bom ajuste dos pontos ao gráfico da fun¸cão. Na figura 8.3 temos um poss´ıvel resultado dessa brincadeira para a cidade de Curitiba, que resultou no ajuste f (x) = 16, 5 + 3, 85 sen (0, 52 x − 5, 2) . Ao final da brincadeira com a constru¸cão dinâmica, o professor poderá explorar questionamentos sobre as propriedades matemáticas da fun¸cão de ajuste, como aqueles propostos na atividade 1.

8.2. RESOLVENDO UM PROBLEMA DE DIVERSAS FORMAS

235

Atividades 1. (a) O parâmetro a é muito próximo da temperatura média anual. Por quê? (b) O parâmetro b é muito próximo da metade da varia¸cão das temperaturas médias mensais. Por quê? π . Por quê? (c) O parâmetro c é muito próximo de 12 (d) O parâmetro d possui uma rela¸cão com o mês em que a temperatura média mensal foi mais próxima da temperatura média anual. Qual seria essa rela¸cão? 2. Considerando a explora¸cão de dados numéricos proposta nesta se¸cão, responda às questões a seguir. (a) Quais são os objetivos matemáticos (isto é, que conceitos matemáticos podem ser abordados) da explora¸cão com apoio da planilha eletrônica? (b) Como a planilha eletrônica pode enriquecer a explora¸cão? (c) Para que etapas do ensino básico você considera que o uso da planilha eletrônica nesta explora¸cão é adequado? (d) Que questões você proporia a seus alunos para ajudar a explora¸cão dos dados com apoio da planilha eletrônica? 3. Considerando a explora¸cão de dados numéricos proposta nesta se¸cão, responda às questões a seguir. (a) Quais são os objetivos matemáticos (isto é, que conceitos matemáticos podem ser abordados) da explora¸cão com apoio do ambiente de geometria dinâmica? (b) Como o ambiente de geometria dinâmica pode enriquecer a explora¸cão? (c) Para que etapas do ensino básico você considera que o uso do ambiente de geometria dinâmica nesta explora¸cão é adequado? (d) Que propriedades de fun¸co˜es trigonométricas podem ser estudadas nesta explora¸cão com apoio do ambiente de geometria dinâmica? (e) Que questões você proporia a seus alunos para ajudar a explora¸cão dos dados com apoio do ambiente de geometria dinâmica?

8.2

Resolvendo um Problema de Diversas Formas

Muitos problemas de otimiza¸cão, que recaem em fun¸co˜es do segundo grau, são acess´ıveis a alunos ensino médio. Considere, por exemplo, o seguinte problema. Dentre todos os retângulos com 10 cm de per´ımetro, determine aquele que tem a maior área. Se chamamos de x e y os lados do retângulo, então temos que y = 5 − x. Logo, a área do retângulo é dada em fun¸cão de x por S = x(5 − x). Portanto, para resolver este problema, devemos determinar o ponto de máximo da fun¸cão: S : ]0, 5[ → R ,

S(x) = x(5 − x) .

Assim, conclu´ımos que o retângulo procurado é o quadrado de lado 2, 5 cm.

´ ˜ DE RECURSOS COMPUTACIONAIS NO ENSINO DE MATEM 236CAPÍTULO 8. CRITERIOS PARA SELEC ¸ AO Outros problemas de otimiza¸cão são modelados por fun¸co˜es cuja análise requer técnicas de cálculo diferencial. Mesmo esses problemas podem ser explorados no ensino médio, com o apoio de recursos computacionais. Para ilustrar esse tipo de explora¸cão, considere o problema a seguir. Será constru´ıda uma caixa (sem tampa) com uma folha quadrada de cartolina com 2 m de lado. Para isso, será cortado um quadrado de lado x em cada vértice da folha, como mostra a figura ao lado. Em seguida, as abas assim determinadas serão dobradas e coladas, formando a caixa. Qual deve ser o valor de x para que a caixa tenha o maior volume poss´ıvel? A caixa assim constru´ıda será um paralelep´ıpedo reto cuja base é um quadrado de lado 1 − 2x e a altura é igual a x. Logo, o volume da caixa é dado por V = x (2 − 2x) 2 . Os valores de x variam entre 0 e 1. Portanto, para resolver este problema, devemos buscar o ponto de máximo da fun¸cão: V : ]0, 1[ → R ,

V (x) = x (2 − 2x)2 .

Como V é uma fun¸cão do terceiro grau, para resolver o problema precisar´ıamos determinar a derivada de V . Entretanto, a existência da solu¸cão deste problema e a busca por uma solu¸cão aproximada podem ser exploradas no ensino médio, por meio de softwares computacionais. Uma primeira op¸cão é empregar um ambiente gráfico simples para tra¸car o gráfico da fun¸cão (figura ´ importante alertar os alunos para o dato de que o dom´ınio da fun¸cão V no problema 8.4, à esquerda). E em questão é o intervalo aberto ]0, 1[ (que corresponde aos valores de x que fazem sentido para o problema). Portanto, embora, de forma geral, o software gerará o gráfico para todos os valores de x ∈ R, só devemos considerar o trecho correspondente a 0 < x < 1. Observando o gráfico gerado, é poss´ıvel perceber a existência de um ponto de máximo no intervalo ]0, 1[ . Em seguida, é poss´ıvel usar os recursos do software para aproximar a janela gráfica desse ponto de máximo (figura 8.4, à direita). Pode-se verificar assim que o valor da abscissa do ponto de máximo é próximo de 0, 33.

Figura 8.4: Aproximando a solu¸cão do problema de otimiza¸cão em um ambiente gráfico. Observe que a existência (mas não a unicidade) do ponto de máximo pode ser justificada analiticamente pela análise do sinal da fun¸cão. De fato, como V (0) = V (1) = 0 e V (x) > 0 para x ∈ ]0, 1[ (e V é cont´ınua), deve existir pelo menos um ponto de máximo no intervalo ]0, 1[ . Entretanto, para determinar analiticamente o valor desse ponto de máximo, são necessárias técnicas do cálculo diferencial. Os alunos podem supor, por exemplo, que o ponto de máximo encontra-se no ponto médio das ra´ızes, generalizando indevidamente a propriedade familiar a fun¸co˜es do segundo grau. O professor deve alertar, neste caso, que essa propriedade não se aplica a fun¸co˜es polinomiais de grau maior ou igual a 3, com apoio de visualiza¸cão no ambiente gráfico. Estas discussões são acess´ıveis ao ensino médio e


237

corresponde a maneira de abordar fun¸co˜es polinomiais pouco explorada em geral. Além disso, é poss´ıvel motivar a necessidade de outras técnicas para determinar o valor exato do ponto de máximo, quanto os métodos algébricos estudados no ensino médio não são suficientes. Outra op¸cão é, em um ambiente de geometria dinâmica, construir o gráfico da fun¸cão, diretamente a partir da situa¸cão geométrica. Para isso, no GeoGebra, iniciamos fazendo a constru¸cão geométrica correspondente ao problema. Primeiro, constru´ımos um quadrado ABCD de lado 2 (figura 8.5).

Figura 8.5: Explorando um problema de otimiza¸cão GeoGebra. Em seguida, completamos a constru¸cão geométrica (figura 8.6) por meio dos seguintes passos: 1. Marque M , o ponto médio do lado AB do quadrado, e marque um ponto móvel X 1 sobre AM . Trace o c´ırculo de centro A e raio AX1 , e marque o ponto X2 , de interse¸cão desse c´ırculo com o lado AD. 2. Trace a reta perpendicular ao lado AD passando por X2 , e marque o ponto X3 , de interse¸cão dessa reta com o lado BC. Trace o c´ırculo de centro B e raio BX 3 , e marque o ponto X4 , de interse¸cão desse c´ırculo com o lado AB. 3. Trace a reta perpendicular ao lado AB passando por X4 , e marque o ponto X5 , de interse¸cão dessa reta com o lado CD. Trace o c´ırculo de centro C e raio CX 5 , e marque o ponto X6 , de interse¸cão desse c´ırculo com o lado BC. 4. Trace a reta perpendicular ao lado BC passando por X6 , e marque o ponto X7 , de interse¸cão dessa reta com o lado AD. Trace a reta perpendicular ao lado AB passando por X 1 , e marque o ponto X8 , de interse¸cão dessa reta com o lado AD.

Figura 8.6: Explorando um problema de otimiza¸cão GeoGebra.

´ ˜ DE RECURSOS COMPUTACIONAIS NO ENSINO DE MATEM 238CAPÍTULO 8. CRITERIOS PARA SELEC ¸ AO Finalmente, usamos essa constru¸cão para gerar o gráfico da fun¸cão volume V . Para isso, exiba os eixos cartesianos no GeoGebra, e digite a seguinte sequência de expressões no campo Entrada: 1. X = comprimento[vetor[A, X1 ]] que corresponde ao valor da altura da caixa (Usamos X maiúsculo, pois x e y minúsculos são reservados no software para as variáveis associadas aos eixos cartesianos); 2. L = comprimento[vetor[X1 , X4 ]] que corresponde ao valor do lado da base da caixa; 3. P = (X, X ∗ L ∗ L) que corresponde ao ponto no plano cuja abscissa é o valor de x, e a ordenada é o valor de V (x) correspondente. Agora, você poderá pedir que os alunos movam o ponto X 1 sobre o segmento AM e observem o movimento consequente do ponto P (figura 8.7). Em seguida, podemos usar a ferramenta de lugar geométrico do software para gerar o lugar geométrico do ponto P quanto X 1 varia, que corresponde ao gráfico da fun¸cão V (figura 8.8).




239

´ importante observar que tanto as explora¸co˜es descritas acima, tanto no ambiente gráfico quanto E no ambiente de geometria dinâmica, ajudam a entender o problema de otimiza¸cão, fornecem abordagens para fun¸co˜es reais diferentes das usuais, e podem servir como motiva¸cão para a introdu¸cão do cálculo diferencial. No entanto, estas não conduzem à solu¸cão exata do problema. No caso de alunos que já têm familiaridade com cálculo, este problema pode ainda ser explorado em um sistema de computa¸cão algébrica, como o Maxima (figura 8.9).

Figura 8.9: Explorando um problema de otimiza¸cão Maxima. 4 1 Assim, o valor de x que gera à caixa de maior volume é x 0 = , que corresponde a V (X) = . 3 9 Atividades 1. Considerando a explora¸cão do problema de otimiza¸cão proposta nesta se¸cão, responda às questões a seguir. (a) Quais são os objetivos matemáticos (isto é, que conceitos matemáticos podem ser abordados) da explora¸cão com apoio do ambiente gráfico? (b) Como o ambiente gráfico pode enriquecer a explora¸cão? (c) Para que etapas do ensino básico você considera que o uso do ambiente gráfico nesta explora¸cão é adequado? (d) Que questões você proporia a seus alunos para ajudar a explora¸cão dos dados com apoio do ambiente gráfico?

´ ˜ DE RECURSOS COMPUTACIONAIS NO ENSINO DE MATEM 240CAPÍTULO 8. CRITERIOS PARA SELEC ¸ AO 2. Considerando a explora¸cão do problema de otimiza¸cão proposta nesta se¸cão, responda às questões a seguir. (a) Quais são os objetivos matemáticos (isto é, que conceitos matemáticos podem ser abordados) da explora¸cão com apoio do ambiente de geometria dinâmica? (b) Como o ambiente de geometria dinâmica pode enriquecer a explora¸cão? (c) Para que etapas do ensino básico você considera que o uso do ambiente de geometria dinâmica nesta explora¸cão é adequado? (d) Que questões você proporia a seus alunos para ajudar a explora¸cão dos dados com apoio do ambiente de geometria dinâmica? 3. Considerando a explora¸cão do problema de otimiza¸cão proposta nesta se¸cão, responda às questões a seguir. (a) Quais são os objetivos matemáticos (isto é, que conceitos matemáticos podem ser abordados) da explora¸cão com apoio do sistema de computa¸cão algébrica? (b) Como o sistema de computa¸cão algébrica pode enriquecer a explora¸cão? (c) Para que etapas do ensino básico você considera que o uso do sistema de computa¸cão algébrica nesta explora¸cão é adequado? (d) Que questões você proporia a seus alunos para ajudar a explora¸cão dos dados com apoio do sistema de computa¸cão algébrica? 4. Suponha que elaborar uma atividade, com apoio de recursos computacionais, abordando o conceito de logaritmo para alunos do ensino médio. (a) Escolha pelo menos duas modalidades de recursos computacionais diferentes, levando em conta: • as potencialidades e limita¸co˜es espec´ıficas dos recursos computacionais; • a adequa¸cão dos recursos computacionais à etapa escolar dos alunos; • a adequa¸cão dos recursos computacionais ao conceito matemático escolhido.

(b) (c) (d)

(e)

Justifique a escolha dos recursos computacionais, com base nos critérios acima. Elabore um plano de aula para a atividade, explicitando seus objetivos. Qual é o papel dos recursos computacionais no desenvolvimento das atividades? Que vantagens e desvantagens o uso do dos recursos computacionais pode trazer para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em compara¸cão com abordagens com recursos convencionais? Que obstáculos e desvantagens você considera que seriam enfrentados na aplica¸cão dessas atividades em sala de aula?

5. Escolhe um tópico do ensino fundamental e elabore um plano de aula com apoio de recursos computacionais, respondendo às mesmas questões da atividade 4. 6. Escolhe um tópico do ensino médio e elabore um plano de aula com apoio de recursos computacionais, respondendo às mesmas questões da atividade 4.

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MA36 - Recursos Computacionais no ensino de Matemática

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