UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
DINAMICA
Autor Ing. Tito Roberto Vilchez Vilchez
2012
INTRODUCCIÓN PRINCIPIOS DE LA DINAMICA Objetivo- Es el predecir a través del calculo, el comportamiento de los componente s y dispositivos o sistemas en las que intervienen fuerzas y movimiento. APLICACIONES 1.- Análisis y diseño de nuevas estructuras fijas y móviles, sometidas a cargas de cho ques (fluctuantes y no fluctuantes). 2.- De mecanismos calculadores de gran velocidad. 3.- De sistemas automatizados, maquinas, dispositivos eléctricos, vehículos de aire, mar y tierra.
CONCEPTOS FUNDAMENTALES a. Punto material o partícula.- Es el cuerpo, las dimensiones del cual se pue den despreciar en las condiciones del problema dado (rotación nula y sin vibración). b. Cuerpo rígido o solido.- Es un sistema de puntos materiales, la distancia entre las cuales no varia durante el proceso de movimiento. c. Sistema de referencia.- La búsqueda de un sistema de referencia tal, es aq uel en el cual las leyes de la mecánica sean las mas simples posibles, d. haciendo la salvedad que todos los sistemas de referencia son equivalen tes. e. Sistema de referencia inercial.- es aquel sistema que se mueve de modo u niforme y rectilíneo con relación a un sistema heliocéntrico (el tiempo es homogéneo, el espacio es homogéneo e isótropo). f. Sistema de referencia no inercial.- Es aquel sistema que se mueve con ac eleración, respecto a los sistemas inerciales.
CAPITULO 1 CINEMATICA DE LA PARTICULA Es la parte de la mecánica donde se estudia los procedimientos de descripción de los movimientos absolutos, independientemente de las causas que las originan o cond icionan. Asumiéndosele el estudio geométrico del movimiento es considerado como la p arte introductoria de la Dinámica. Como ciencia aplicada, constituye el fundamento de la teoría de los mecanismos. PARTES DE ESTUDIO DE LA CINEMATICA DE LA PARTICULA • •
Movimiento absoluto de la partícula Movimiento relativo de la partícula
MOVIMIENTO RECTILINEO DE UNA PARTICULA a) Cuando b) Cuando Mov. Vertical (caída libre) c) Cuando a d) Velocidad media ( ): e) Velocidad instantánea ( f) Aceleración media ( : g) Aceleración instantánea Casos que se presentan: De (e) y (g) h)
Cuando
i)
Cuando
También j)
Cuando
k)
Cuando
: :
MCU: MCUV: Ecuaciones del MCUV: • • • • • • • • Velocidad angular media: Velocidad angular instantánea: = Propiedad: Aceleración angular media ( Aceleración angular instantánea ( Cuando una partícula no se desplaza en línea recta se dice que la partícula describe u n movimiento curvilíneo. Tanto en el plano, como en el espacio existen tres proced imientos de descripción del movimiento de una partícula: a) Procedimiento vectorial b) Procedimiento de coordenadas c) Procedimiento natural
•
Vector posición (
•
Velocidad media:
•
;
; para Velocidad instantánea (
•
Aceleración media(
•
Aceleración instantánea
MOVIMIENTO CURVILÍNEO EN COORDENADAS RECTANGULARES •
Vector posición (
•
Velocidad (
•
=
Aceleración (
=
MOVIMIENTO DE LA PARTÍCULA EN COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL Se utiliza en el plano y en el espacio, pero es de más utilidad práctica en problema s de movimiento plano. • Velocidad ( ) •
Aceleración( )
Del gráfico: También: →
⊾ ⇔ ⊾
→
De lo anterior tenemos que: Análogamente ; De la figura: • Algunas propiedades importantes: ; ; ; En 2D: ; Movimiento de la partícula en componentes radial y transversal
Nos sirve para aplicaciones en problemas de movimiento en el plano: •
Vector posición: ( )
•
Velocidad: ( )
•
Aceleración: ( )
Donde:
• CASO PARTICULAR: Movimiento circular: Movimiento de la particula en coordenadas cilíndricas •
Vector posición: ( )
•
Velocidad: ( )
•
Aceleración: ( )
Movimiento de la particula en coordenadas esféricas •
Posición: ( )
•
Velocidad: ( )
Donde: •
;
;
Aceleración: ( )
Donde:
APLICACIÓN. COORDENADAS CILINDRICAS PROBLEMA 01 El auto está viajando a lo largo de un piso de estacionamiento por una rampa cilíndr ica espiral con rapidez constante de v = 1.5 m/s. Si la rampa desciende una dist ancia de 12 m. en cada revolución completa, según se muestra en la figura. Si r = 10 m. Calcule: a) La velocidad radial vR. (m/s) b) La aceleración radial aR. (m/s2) c) La componente de la aceleración en el eje X. (m/s2) d) La componente de la aceleración en el eje Y. (m/s2) e) La componente de la aceleración en el eje Z. (m/s2)
SOLUCIÓN: Por la forma de la trayectoria del auto será mejor tratar este problema en coorden adas cilíndricas. Considerando que el auto se encuentra en plano XY tenemos que y además se encuentra sobre el eje Y tenemos que . Como el radio no aumenta, en
tonces Datos:
y
Hallando
.
:
Por dato del problema el auto viaja con una velocidad constante de 1.5 m/s, ento nces desdoblando el recorrido del auto: Del grafico:
De donde: • • Como ambas velocidades son constantes, entonces Calculando las velocidades y las aceleraciones en coordenadas cilíndricas:
Entonces: Como Como Hallando las velocidades en coordenadas esféricas:
Hallando las aceleraciones en coordenadas esféricas:
Hallando las aceleraciones en coordenadas cartesianas:
TABLA DE RESPUESTAS: a. 1.4734 m/s b. -0.2167 m/s2 c. 0 m/s2 d. -0.2167 m/s2 e. 0 m/s2 PROBLEMA 02 La Grúa Liebherr telescópica móvil de 10m de largo en el instante mostrado, gira alr ededor del eje vertical CD a razón constante de 3 rad/s y el extremo B se aleja de A a razón constante de 0,2m/s. Si ɸ disminuye a razón constante de 2 rad/s. Para el i nstante mostrado cuando ɸ = 30°. Determine: a) La magnitud de la velocidad de B en coordenadas esféricas. (m/s). b) La magnitud de la aceleración en B en el eje X. (m/s2)
c) d)
La magnitud de la aceleración en B en el eje Y. (m/s2) La magnitud de la aceleración en B en el eje Z. (m/s2)
SOLUCION: Para poder resolver el problema seguiremos los siguientes pasos: 1.- Determinar el método a utilizar se escogerá dependiendo de los dados recopilados del problema. Tomando los datos del problema se tiene: ɵ = 90° R = 10 m φ = 60° = 3 rad/s (cte) = 0.2 m/s (cte) = 2 rad/s (cte) = 0 rad/s2 = 0m/s2 = 0 rad/s2 2. Al observar los datos se tiene en cuenta que el método más apropiado es la solución mediante coordenadas esféricas.
• Hallando la velocidad en coordenadas esféricas Rθφ= + + • Remplazando los datos en la ecuación: Rθφ = 0,2 +10 3 cos (60°) + 10 2 Rθφ= 0,2 +15 + 20 • Determinando el módulo de la velocidad absoluta de B = 25,008m/s • Luego determinando la aceleración también en coordenadas esféricas Rθφ = + + = = ( ) – 2 R sen ( ) = ( ) + • Remplazando los datos en las expresiones de las aceleraciones: = 0 – 10. – 10. . = -62,5 m/ = . = -103,323 m/ = . = 39,7711 m/ • Por lo cual la aceleración en coordenadas esféricas es: Rθφ = + + m/s2 • Finalmente aplicamos el procedimiento de transformación de coordenadas esféricas a r ectangulares (caso VI) en términos de las aceleraciones:
(m/s2)
TABLA DE RESPUESTAS:: Pregunta Respuesta a. 25,008 m/s b. 103,723 m/s2 c. 65,3463 m/s2 d. 34,441 m/s2
Unidades
PROBLEMA 03 La barquilla C tiene una velocidad angular ω = 20j (rad/s) y aceleración angular α = 1 0j (rad/s2) en el mismo sentido, se sabe que = (π/3)t y para este instante cuando t = 1s y = 60°, determine: a) la magnitud de la velocidad de C (m/s) b) la aceleración transversal a Φ (m/s2) c) la aceleración az (m/s2) d) la aceleración radial aR (m/s2) e) la aceleración ax (m/s2)
SOLUCION: Calculo de la velocidad en C por concepto de movimiento relativo en 2D B= A + x + rel B = x = [4.6; 0;0] = [0; 20; 0] B = [0; 0;-92] C= B + x + rel =[7.9674;-4.6;0] B =[0;0;-92] C = [4.8171; 8.3434;-251.348] Calculo de la aceleración por concepto de movimiento relativo en 2D B= A + x + x( x ) + 2 x rel + rel = [0; 10; 0] = [0; 20; 0] = [4.6; 0; 0] B= [-1840; 0; -46] C= B + x + x( x ) + 2 x rel + rel
Donde: B= = 1 + 2 = [7.9674; c= [-5035;
[-1840; 0; -46] + 1x 2 = [0; 10; 0] + [0; 20; 0]x[0; 0; π/3]= [20.944; 10; 0] -4.6; 0] 5.0445; -318.3588]
Por la teoría de coordenadas cilíndricas: Del grafico y datos: R= 4.6 + 9.2 sen θ θ = 0 θ‘ = 20 R’=9.2 (θ’cosθ)= 4.8171 R’’= 9.2(-θ’senθ + θ’’cosθ) = -8.3435 θ‘’ = 10
Z= 9.2cosθ = 4.6 Z’=- 9.2θ’senθ = -8.3435 Z’’=-9.2(θ’‘senθ+θ’2cosθ) = -5.044
Velocidades: Vr = 4.8171 V= 2.51348 VZ = -8.3435 326 m/s Por la teoría de transformación de coordenadas: Obtenemos pero como z=-y ; y=-z Aceleraciones: ar = -5035.3035 a θ = 318.358 aZ = -5.0445 Por la teoría de transformación de coordenadas: Obtenemos pero como z=-y ; y=-z Cálculo de las aceleraciones en coordenadas esféricas: Del grafico tenemos los datos: Usamos la conversión: Resolviendo obtenemos Pero volviendo a las coordenadas originales z=-y y= -z
VC = 251.5
