UNIVERSIDAD NACIONAL SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
Damac Heights (420 m)
ANÁLISIS SÍSMICO ESTÁTICO DE EDIFICIOS
Mg.Ing. Rolando Cisneros Ayala
ANÁLISIS ESTÁTICO O DE FUERZAS ESTÁTICAS EQUIVALENTES
Este método representa las solicitaciones sísmicas mediante un conjunto de fuerzas actuando en el centro de masas de cada nivel de la edificación.
¿QUÉ TIPO DE ESTRUCTURAS SE PUEDE ANALIZAR MEDIANTE ESTE MÉTODO DE ANÁLISIS?
Podrán analizarse mediante este procedimiento todas las estructuras regulares o irregulares ubicadas en la zona sísmica 1 , las estructuras clasificadas como regulares de no más de 30 m de altura y las estructuras de muros portantes de concreto armado y albañilería armada o confinada de no más de 15 m de altura, aun cuando sean irregulares.
CORTANTE BASAL O FUERZA CORTANTE EN LA BASE
La fuerza cortante total en la base de la estructura, correspondiente a la dirección considerada, se determinará por la siguiente expresión:
El valor de C/R no deberá considerarse menor que:
ESTIMACIÓN DEL PESO DE LA EDIFICACIÓN (P)
CARGA MUERTA (CM)
CARGA VIVA(CV)
PERIODO FUNDAMENTAL DE VIBRACIÓN DE ACUERDO A E.030 2016 El período fundamental de vibración para cada dirección se estimará con la siguiente expresión:
Dónde: ℎ =Altura de la edificación en metros. =coeficiente que varía en función de los elementos resistentes de la estructura en la dirección analizada.
=35
Pórticos de concreto armado sin muros de corte. dúctiles de acero con uniones resistentes o Pórticos momentos, sin arrostramiento. o
a
Pórticos de concreto armado con muros en las cajas de ascensores y escaleras. o Pórticos de acero arriostrados. o
o
Para edificios de albañilería y para todos los edificios de concreto armado duales, de muros estructurales, y muros de ductilidad limitada.
ALTERNATIVAMENTE EL PERIOD O DE VIBRACIÓN DE LA ESTRUCTURA SE PUEDE DETERMINAR A TRÁVES DE LA SIGUIENTE EXPRESIÓN: Periodo en función de los desplazamientos laterales y de las fuerzas aplicadas .
Dónde: =Peso reactivo del piso i = Fuerza horizontal apl icada en el piso i = Desplazamiento lateral del piso i
DISTRIBUCIÓN DE LA FUERZA SÍSMICA EN ALTURA
Las fuerzas sísmicas horizontales en cualquier nivel i, correspondientes a la dirección considerada, se calcularán mediante:
Dónde: “n ” es número de pisos, “ V ” cortante basal, “k ” exponente relacionado con el periodo de vibración de la estructura y Pi es el peso sísmico. T ≤ 0,5
Seg.
K=1 T>0,5 Seg. K=(0,75+0,5 T ) ≤ 2
EJEMPLO DE APLICACIÓN DE ANÁLISIS ESTÁTICO
Realizar un análisis sísmico estático para la estructura de 6 pisos, cuya configuración en planta es la indicada en la figura inferior. . Las dimensiones de las vigas y columnas se indican en la tabla 1 al igual que el peso total reactivo (peso sísmico) de cada uno de los pisos. La altura de cada entrepiso es de 3m. Considerar para este ejemplo el módulo de Young E=1738965,21T/m2.
Distribución en planta de edificio de 6 pisos.
Luego de realizar el análisis sísmico estático Indicar las fuerzas laterales en centro de masa, sin torsión accidental, los desplazamientos inelásticos, las derivas de piso y las fuerzas laterales finales considerando en fo rma aproximada la torsión accidental.
Dimensiones de columnas, vigas y peso total sísmico de piso.
CÁLCULO DE MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL
Con los datos de la tabla 1, se obtienen dos matrices de rigidez lateral, una para los pórticos exteriores y otra para los pórticos interiores. Estas son:
PÓRTICO 1 Y 4
PÓRTICO 2 Y 3
MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO
La matriz de rigidez en coordenadas de piso, para el modelo de un grado de libertad por planta resulta:
Dónde “ n ” es el número de pórticos en la dirección de análisis sísmico. Para este ejemplo se tiene:
CÁLCULO DE PERIODO Y FACTOR DE AMPLIFICACIÓN SÍSMICA
CALCULAMOS PREVIAMENTE LOS PARÁMETROS SÍSMICOS : Zona: 2
•
Z = 0,25
Suelo Intermedio: S2 S=1,20 y Tp=0,6 y TL=2
•
•
Ro=8
•
Ia=Ip=1 (regular tanto en planta como en elevación)
•
U=1 (Vivienda)
PERIODO DE VIBRACIÓN: =
18 35
= 0.51
FACTOR DE AMPLIFICACIÓN SÍSMICA •
Como T
CORTANTE BASAL O FUERZA CORTANTE EN LA BASE
Reemplazando los parámetros sísmicos anteriores se tiene:
=
0.2512.51.2 811
877.50 = 82.27
DISTRIBUCIÓN DE LA FUERZA SÍSMICA EN ALTURA
Como T=0,51seg entonces el valor de k es: = 0.75 + 0.5 ∗ 0.51 = 1.005 ≤ 2
CÁLCULO DE LOS DESPLAZAMIENTOS LATERALES ELÁSTICOS
Una vez que se hallan las fuerzas laterales se obtienen los desplazamientos laterales elásticos "q ” en cada piso empleando la ecuación básica de estructuras:
Al considerar un modelo de un grado de libertad por planta, el vector de cargas está compuesto por las fuerzas laterales de cada uno de los pisos y la matriz de rigidez es igual a la suma de las matrices de rigidez lateral de cada uno de los pórticos, en la dirección del análisis sísmico. 3.131 6.740 10.818 = 15.362 20.372 25.847
3.1310 6.7400 10.8180 15.3620 20.3720 25.8470
166770.00 -101800.00 35780.00 -7580.00 1620.00 -230.00
q1 q 127460.00 -84760.00 28980.00 -6200.00 890.00 2 -84760.00 108660.00 -71040.00 22880.00 -3280.00 q3 28980.00 -71040.00 89130.00 -54130.00 12890.00 q4 -6200.00 22880.00 -54130.00 59060.00 -22860.00 q5 890.00 -3280.00 12890.00 -22860.00 12530.00 q6
-101800.00
35780.00
q
-7580.00
0.0046
0.0265 0.0386 0.0497 0.0591 0.0146
1620.00
-230.00
DESPLAZAMIENTOS INELÁSTICOS
Los desplazamientos anteriores obtenidos son DESPLAZAMIENTOS ELÁSTICOS debido a que la ecuación Q=Kq es la ecuación matricial de estructuras en el rango elástico. Para hallar los desplazamientos inelásticos de acuerdo a la Norma E,030 los desplazamientos “ q” se multiplican por el factor de reducción de las fuerzas sísmicas 0,75R (para estructuras regulares) y R (para estructuras irregulares).
qineslastico
0.0274
0.1591 0.2318 0.2984 0.3544 0.0874
DERIVA DE PISO ( )
La deriva de piso o distorsión de piso se halla dividiendo el desplazamiento relativo de piso inelástico, para la altura de entrepiso.
El subíndice i representa el piso i . La deriva máxima de piso de todo el edificio, es el mayor de las derivas de piso. 6 5 4 3 2 1
0,3544 0,2984 0,2318 0,1591 0,0874 0,0274
3 3 3 3 3 3
0,019 0,022 0,024 0,024 0,020 0,009
LA DERIVA MAXIMA DE PISO ES 0 ,024. LA DERIVA DE PISO PERMITIDO POR LA NORMA PERUANA ES 0,007 PARA CºAº. POR LO QUE SE DEBE INCREMENTAR LAS DIMENSIONES DE VIGAS Y COLUMNAS.
FUERZAS FINALES
En el presente ejercicio n o se ha c alculado momentos debidos a torsión accidental y por ende .
6
25,847
28,432
5
20,372
22,409
4
15,362
16,898
3
10,818
11,900
2
6,740
7,414
1
3,131
3,444
EXCENTRIDAD ESTÁTICA
La excentricidad estática , y el
“e ”
es la distancia que existe entre el
CENTRO DE MASA (C.M) Y CENTRO DE RIGIDEZ( C.R)
CENTRO DE MASA (C.M) Se define el Centro de Masas C.M, como el lugar geométrico en el cual se supone que esta concentrada la masa en cada uno de los pisos.
CENTRO DE RIGIDEZ (C.R) Se define el C.R como el punto en el cual al aplicar las fuerzas sísmicas la estructurase desplaza y no rota. Solo hay traslación pura. Para estructuras de un piso el C.R, siempre existe pero para estructuras de varios pisos el C.R no siempre existe. En el año de 1984 Vásquez y Ridell en estudios realizados demuestran que el C.R, existe únicamente en estructuras compensables.
EXCENTRICIDAD DE DISEÑO La excentricidad de diseño es igual a la excentricidad estática , mayorada por un factor de amplificación dinámica más la excentricidad accidental que es función de un porcentaje de la distancia de la planta en la dirección perpendicular a la del análisis sísmico.
= Factor de amplificación dinámica torsional para la zona débil de la planta de edificio.
= Factor de control de diseño de la zona rígida de la planta para la dirección considerada. 5%@15%
L= Distancia perpendicular a la dirección de análisis sísmico
ojo
MOMENTOS DE TORSIÓN Al multiplicar la excentricidad de diseño por el cortante de cada piso, se tiene los momentos de torsión que son aquellos que van a generar fuerzas de torsión adicionales en cada pórtico. Los momentos de torsión se evalúan con las siguientes ecuaciones:
D ónde es el cortante de cada piso i, es la excentricidad estática del piso i; es la distancia perpendicular a la dirección del análisis en el piso.
A N Á L I S I S E S T Á T I C O C O N D O S G D L P O R P L A N TA
Para poder incluir la torsión accidental es necesario considerar un modelo con dos grados de libertad por planta , la componente de desplazamiento horizontal y la rotación, con respecto a un eje perpendicular a la losa.
Modelo numérico de cálculo
Los grados de libertad se agrupan en el vector de coordenadas generalizadas q
Los desplazamientos horizontales de piso se han agrupado en el vector , por que en la figura anterior se está realizando el análisis sísmico con respecto a la dirección X. Para esta dirección la matriz de rigidez, triangular superior, en coordenadas de piso, resulta:
La sumatoria de las sub matrices se extiende a todos los pórticos en sentido X. Cuando la estructura es simétrica en planta, la sub matriz es nula.
CÁLCULO DE MOMENTOS DE TORSIÓN ACCIDENTAL
Para encontrar las fuerzas que se generan en los pórticos debido a la torsión accidental se aplica en cada uno de los pisos un momento de torsión como se ilustra en la figura inferior:
Este momento de torsión en cada piso se halla: M ti (0.05) Li F i Norma E,030.
de acuerdo a la
VECTOR DE CARGAS GENERALIZADAS Q PARA EL PROBLEMA DE TORSIÓN ACCIDENTAL, PARA EL MODELO NUMÉRICO DE CÁLCULO ANTERIOR Los momentos de torsión accidental de la figura anterior se han considerado positivos , en realidad actúan con cualquier signo . Se toma positivo pero los desplazamientos laterales que se generan en los pórticos por efecto de estos momentos se obtienen en valor absoluto. Lo importante es que se mayoran las fuerzas estáticas debidas al desplazamiento lateral. El vector de cargas generalizadas Q, para el problema de torsión accidental para el modelo numérico de dos grados de libertad por planta es:
Donde es el vector que contiene los momentos de torsión en cada piso
PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE FUERZAS GENERADAS POR LA EXCENTRICIDAD ACCIDENTAL
Se halla la matriz de rigidez en coordenadas de piso, para el modelo de dos grados de libertad por planta.
Se encuentra el vector de coordenadas generalizadas siguiente sistema de ecuaciones lineales.
“q ”
resolviendo el
Se determinan los desplazamientos laterales en cada pórtico, con la siguiente ecuación .
se hallan las fuerzas laterales en cada pórtico, multiplicando la matriz de rigidez lateral por el vector de desplazamientos p .
Al sumar las fuerzas laterales de cada piso, se hallan las fuerzas laterales en el centro de masa, las mismas que se deben sumar a las fuerzas que se encuentran con la ecuación de la distribución de las fuerzas en altura.
EJEMPLO DE APLICACIÓN
Realizar el análisis sísmico de la estructura del ejemplo 1, si las dimensiones de vigas y columnas son ahora las indicadas en la tabla inferior. El peso total sísmico se ha incrementado en 5% debido al aumento de las secciones de los elementos estructurales. Efectuar el análisis sísmico con el modelo de dos grados de libertad por planta.
DISTRIBUCIÓN DE LA FUERZA EN ALTURA
CÁLCULO DE CORTANTE BASAL =
FUERZAS EN ALTURA
0.2512.51.2 811
921,38 = 86,379
CÁLCULO DE MOMENTO DE TORSIÓN
3,287 7,077 11,358 = 0.0515 16,129 21,389 27,138
2.47 5.31 8.52 MT 12.10 16.04 20.35
VECTOR DE CARGAS GENERALIZADAS Q PARA EL PROBLEMA DE TORSIÓN ACCIDENTAL
MATRIZ DE RIGIDE Z LATERAL DE LOS PÓRTICOS:
MATRIZ RIGIDEZ LATERAL DE LOS PÓRTICOS 1 Y 4
K (1) K (4)
1.0e+04*
5.7267 -3.3127 -3.3127
0.8663 -0.1328
4.7771 -2.9281
0.8663 -2.9281
0.0237 -0.0029
0.6914 -0.1214
4.0631 -2.3901
0.0147
0.6179 -0.0740
-0.1328 0.6914 -2.3901 3.4583 -2.0314 0.3805 0.0237 -0.1214 0.6179 -2.0314 2.6411 -1.1255 -0.0029
0.0147 -0.0740
0.3805 -1.1255
0.8067
MATRIZ RIGIDEZ LATERAL DE LOS PÓRTICOS 2 Y 3
K
(2)
K (3) 1.0e+05*
1.0294 -0.6116 -0.6116
0.8289 -0.5327
0.1869 -0.5327 -0.0347
0.0043
0.1377 -0.0189
0.6253 -0.3807
0.1377 -0.3807
0.0043 -0.0189
0.0070 -0.0010
0.1551 -0.0313
0.7209 -0.4557
0.1551 -0.4557
0.0070 -0.0313 -0.0010
0.1869 -0.0347
0.0836
0.4616 -0.1929
0.0836 -0.1929
0.1247
VECTORES
0 0 0 0 0 -7.5000 0 -7.5000 0 0 0 0 0 0 -7.5000 0 0 0 r 1 0 0 0 -7.5000 0 0 0 0 0 0 -7.5000 0 0 0 0 0 0 -7.5000
0 0 0 0 0 2.5000 0 2.5000 0 0 0 0 0 0 2.5000 0 0 0 3 r 0 0 0 2.5000 0 0 0 0 0 0 2.5000 0 0 0 0 0 0 2.5000
()
0 0 0 0 0 -2.5000 0 -2.5000 0 0 0 0 0 0 -2.5000 0 0 0 2 r 0 0 0 -2.5000 0 0 0 0 0 0 -2.5000 0 0 0 0 0 0 -2.5000
0 0 0 0 0 7.5000 0 7.5000 0 0 0 0 0 0 7.5000 0 0 0 4 r 0 0 0 7.5000 0 0 0 0 0 0 7.5000 0 0 0 0 0 0 7.5000
MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO
K XX
-188574 261322 -165102 44848 -8688 1154 54706 -165102 225442 -138942 39898 -5260 -9596 44848 -138942 194226 -116768 24330 1874 -8688 39898 -116768 145142 -61090 -258 1154 -5260 24330 -61090 41074 320414
-188574
54706
-9596
1874
-258
7729287.50 -4491287.50 1208212.50 -192775.00 35412.50 -4512.50 -4491287.50 6410362.50 -3959987.50 971700.00 -175700.00 21912.50 1208212.50 -3959987.50 5472112.50 -3258487.50 867262.50 -106875.00 K -192775.00 971700.00 -3258487.50 4672212.50 -2761200.00 532562.50 35412.50 -175700.00 867262.50 -2761200.00 3548237.50 -1507312.50 -4512.50 21912.50 -106875.00 532562.50 -1507312.50 1063412.50
0 0 0 0 0 0.0000 0.3204 -0.1886 0.0547 -0.0096 0.0019 -0.0003 -0.1886 0.2613 -0.1651 0.0448 -0.0087 0.0012 0 0 0.0000 -0.0000 0 0 0.0547 -0.1651 0.2254 -0.1389 0.0399 -0.0053 0 0.0000 0 0 -0.0000 0 0 -0.0000 0 0 0 0 -0.0096 0.0448 -0.1389 0.1942 -0.1168 0.0243 0.0019 -0.0087 0.0399 -0.1168 0.1451 -0.0611 0 0 -0.0000 0 -0.0000 0 -0.0003 0.0012 -0.0053 0.0243 -0.0611 0.0411 0.0000 0 0 0 0 0 K E 1.0e+06 * 0 0 0 0 0 0.0000 7.7293 -4.4913 1.2082 -0.1928 0.0354 -0.0045 0 0 0.0000 -0.0000 0 0 -4.4913 6.4104 -3.9600 0.9717 -0.1757 0.0219 0 0.0000 0 0 -0.0000 0 1.2082 -3.9600 5.4721 -3.2585 0.8673 -0.1069 0 -0.0000 0 0 0 0 -0.1928 0.9717 -3.2585 4.6722 -2.7612 0.5326 0 0 -0.0000 0 -0.0000 0 0.0354 -0.1757 0.8673 -2.7612 3.5482 -1.5073 0.0000 0 0 0 0 0 -0.0045 0.0219 -0.1069 0.5326 -1.5073 1.0634
CÁLCULO DE VECTOR ( )
q 1.0e-03 *
0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0357 0.0951 0.1553 0.2181 0.2721 0.3093 0.0000
MATRICES DE COMPATIBILIDAD (A)
0 0 0 0 0 -7.5000 0 0 0 0 0 1.0000 0 1.0000 0 0 0 0 0 -7.5000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 -7.5000 0 0 0 A1 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 -7.5000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 -7.5000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 -7.5000
0 0 0 0 0 2.5000 0 0 0 0 0 1.0000 0 1.0000 0 0 0 0 0 2.5000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 2.5000 0 0 0 A3 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 2.5000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 2.5000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 2.5000
0 0 0 0 0 -2.5000 0 0 0 0 0 1.0000 0 1.0000 0 0 0 0 0 -2.5000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 -2.5000 0 0 0 A2 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 -2.5000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 -2.5000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 -2.5000
0 0 0 0 0 7.5000 0 0 0 0 0 1.0000 0 1.0000 0 0 0 0 0 7.5000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 7.5000 0 0 0 A4 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 7.5000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 7.5000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 7.5000
DESPLAZAMIENTOS LATERALES ( )
(1) p
p (3)
1.0e-03 *
-0.0003 -0.0007
-0.0012
-0.0016 -0.0020
-0.0023
p (2)
-0.0892 -0.2378 -0.3883 1.0e-03 * -0.5453 -0.6801 -0.7733
0.0892 0.2378
0.3883 0.5453 0.6801 0.7733
p
(4)
0.0003 0.0007
0.0012
0.0016 0.0020
0.0023
FUERZAS LATERALES EN CADA PÓRTICO (P)
Pero los desplazamientos laterales se consideran en valor absoluto, ya que los momentos de torsión que actúan en cada piso pueden actuar en sentido horario o anti-horario. P 1
0.2770 0.5522 0.6884 0.9417 1.2097
0.0297
P 2
0.2305 0.0471 0.3541 0.3832 0.4415
0.4038
P 3
0.4038
0.2305 0.0471 0.3541 0.3832 0.4415
P 4
0.0297
0.5522 0.6884 0.9417 1.2097 0.2770
FUERZAS LATERALES EN C.M. DE BIDO A TORSIÓN ACCIDENTAL
La suma de las fuerzas laterales de los cuatro pórticos, reporta las fuerzas laterales en el C.M. debido a torsión accidental. Estas son las siguientes:
Ftorsión P (1) P (2) P (3) P (4)
F torsión
0.8671
1.1986 2.0850 2.6498 3.3025 1.0151
FUERZAS LATERALES FINALES EN EL C.M.
Finalmente las fuerzas finales en el C.M. se hallan sumando las fuerzas laterales debido al Método Estático más las fuerzas laterales debido a la Torsión Estática. Estas resultan.
F
TOTALES
F F torsión
3.287 7.077 11.358 F TOTALES 16.129 21.389 27.138 F TOTALES
0.8671
1.1986 2.0850 2.6498 3.3025 1.0151
4.1541
12.5566 18.2140 24.0388 30.4405 8.0921
CÁLCULO DE LOS D ESPLAZAMIENTOS LATERALES ELÁSTICOS CON LAS FUERZAS LATERALES FINALES 0 0 0 0 0 0.0000 0.3204 -0.1886 0.0547 -0.0096 0.0019 -0.0003 -0.1886 0.2613 -0.1651 0.0448 -0.0087 0.0012 0 0 0.0000 -0.0000 0 0 0.0547 -0.1651 0.2254 -0.1389 0.0399 -0.0053 0 0.0000 0 0 -0.0000 0 0 -0.0000 0 0 0 0 -0.0096 0.0448 -0.1389 0.1942 -0.1168 0.0243 0.0019 -0.0087 0.0399 -0.1168 0.1451 -0.0611 0 0 -0.0000 0 -0.0000 0 -0.0003 0.0012 -0.0053 0.0243 -0.0611 0.0411 0.0000 0 0 0 0 0 K E 1.0e+06 * 0 0 0 0 0 0.0000 7.7293 -4.4913 1.2082 -0.1928 0.0354 -0.0045 0 0 0.0000 -0.0000 0 0 -4.4913 6.4104 -3.9600 0.9717 -0.1757 0.0219 0 0.0000 0 0 -0.0000 0 1.2082 -3.9600 5.4721 -3.2585 0.8673 -0.1069 0 -0.0000 0 0 0 0 -0.1928 0.9717 -3.2585 4.6722 -2.7612 0.5326 0 0 -0.0000 0 -0.0000 0 0.0354 -0.1757 0.8673 -2.7612 3.5482 -1.5073 0.0000 0 0 0 0 0 -0.0045 0.0219 -0.1069 0.5326 -1.5073 1.0634
q
0.0015
0.0067 0.0094 0.0118 0.0134 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0040
4.1541 8.0921 12.5566 18.2140 24.0388 30.4405 Q 0 0 0 0 0 0
DESPLAZAMIENTOS INELÁSTICOS
q INELÁSTICO
0.0241 0.0400 0.0565 0.0707 0.0806 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0088
