Universidad Nacional De San Cristobal De Huamanga: Facultad De Ingenier´Ia De Minas Geolog´Ia Y Civil

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA Departamento Acad´ Academico e´ mico de Ingenier´ Ingenierıa ıá de Minas y Civil

´ DE MINAS FACULTAD DE INGENIERIA ´ Y CIVIL GEOLOGIA ´ PROFESIONAL DE INGENIERIA ´ ESCUELA DE FORMACION CIVIL

TRABAJO N°01 ´ DE PROBLEMAS SELECCIONADOS DEL RESOLUCION ´ LIBRO LIBRO MECANICA VECTORIAL PARA PARA INGENIEROS ´ ´ DINAMICA R.C.HIBBELER 10ma EDICION

ASIGNATURA ASIGNATURA : DINAMICA DINAMICA (IC-244) ALUMNOS : ARROY ARROYO OSORIO, Jose Alberto BARRIENTOS RAMIREZ, Hennry GARCIA SAEZ,Edwin Carlos LUQUE MENDEZ, Yoel DOCENTE: Ing. Cristian CASTRO PEREZ Ayacucho- Peru 2013

RESUMEN ´ de los principales problemas seleccionados referidos a El presente trabajo contiene la resoluci on cinem´ cinematica a´ tica de una part´ part´ıcula ıcula y cinematica a´ tica de un cuerpo r´ r ´ıgido ıgido del libro Mec anica a´ nica Vectorial para ´ ´ del autor R.C.Hibbeler. Ingenieros DIN AMICA D´ Decima e´ cima Edicion

´ Indice ´ de una part´ıcula 1. Problemas de Cinematica

4

1.1. Movimiento de un proyectil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

ıneo: componentes normal y tangencial . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Movimiento Curvil´

5

ıneo: componentes cil´ ındricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Movimiento Curvil´

8

on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4. Movimiento Relativo: ejes en traslaci ´

1.5. Ecuaciones de Movimiento : Coordenadas rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . 15 ´ 2. Problemas de Cinematica de un Cuerpo R´ıgido

17

2.1. Movimiento Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Movimiento Relativo: Aceleraci on on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Movimiento Relativo: Ejes en rotaci ´

Universidad Nacional De San Cristobal De Huamanga

1 Problemas de Cinemática de una part´ıcula

´ Problemas de Cinematica de una part´ıcula

1. 1.1.

Movimiento de un proyectil

PROBLEMA 01: Un carro viajando a lo largo de las posiciones rectas del camino tiene las velocidades indicadas en la figura cuando llega a los puntos A,B y C. Si le toma 3s ir de A a B, y luego 5 s ir de B a C, determine la aceleración promedio entre los puntos A y B; y entre A y C.

solución Datos:

t AB = 3 s tBC = 5s v A = 20 m/s vB = 30 m/s vC = 40m/s θ = 45 ◦ Cuando se analiza el movimiento entre dos puntos, hallamos los componentes de la velocidad:

→ −v A (x) = 20 im/s ˆ → −v A (y ) = 0 jm/s ˆ → −v B (x) = 30 cos 45im/s ˆ ˆ = 21 ,2132im/s → −v B (y) = 30 sen 45jm/s ˆ ˆ = 21 ,2132jm/s → −v C (x ) = 40im/s ˆ → −v C (y ) = 0 jm/s ˆ ´ Resolución de ejercicios propuestos DIN AMICA R.C.HIBBELER 10ma EDICION

≺4


1.2

Movimiento Curvil´ ıneo: componentes normal y tangencial

Como:

→ −a = → −v˙ a =

dv dt

t

v

  a dt =

to

a = tramo AB:

dv

vo

(v − vo ) ............ (a) (t − to )

→ −a AB = ((21,2132iˆ + 21,2132j ˆ) − (20iˆ + 0j ˆ))m/s 3s

→ −a AB = (0 ,4044iˆ + 7,071j ˆ)m/s2 tramo AC:

→ −a AC = ((40iˆ + 0j ˆ) − (20iˆ + 0j ˆ))m/s 8s

→ −a AC = 2,5im/s 2 ˆ 1.2.


PROBLEMA 02: Un tren esta viajando con rapidez constante de 14m/s por la trayectoria curva. Determine la mag´ del tren frente del tren B , en el instante en que alcanza el punto A ( y=0). nitud de la aceleracion

solución ´ en el punto A. Por definici o´ n la velocidad siempre esta Pide hallar la magnitud de la aceleracion dirigida tangencialmente a la trayectoria. Como: y

x = 10 e 15 ´ Resolución de ejercicios propuestos DIN AMICA R.C.HIBBELER 10ma EDICION

≺5


1.2


Entonces:

ln

x

y

10

y 15

= ln (e 15 )

= ln

x 10

y = 15 ∗ ln

x

10 15

dy = dx x d2y 15 =− 2 2 dx x ´ es determinada a partir de: La aceleracion

v 2 → −a = vu ˙ t + un ρ

Sin embargo; primero es necesario determinar el radio curvatura de la trayectoria en A. Como:

d 2 y −15 = 2 ;y dx 2 x dy 15 = dx x en el punto , x =10, el radio de curvatura: dy

ρ =

ρ =

[ 1 + ( dx )2 ]3 / 2 d2y dx 2 2 3 / 2 [ 1 + ( 15 10 ) ]

−15 102

ρ = 39 ,06m Como:

at = v˙ at =

dv dt

at = 0 ,puestoque : v = 14 m/s Entonces:

v 2 an = ρ an =

142 39,06

an = 5 ,02m/s2



a = at

2 +a 2

n

=



(0)2 + (5,02)2

a = 5 ,02m/s2

´ Resolución de ejercicios propuestos DIN AMICA R.C.HIBBELER 10ma EDICION

≺6


1.2


PROBLEMA 03: El carro de carreras tiene una rapidez inicial v A = 15 m/s en A. Si mientras recorre la pista circular ´ el carro aumenta si rapidez a razonde at = (0,4s )m/s2 , donde s esta en metros, determine el tiempo necesario para que viaje 20m. Tome ρ = 150m.

solución Primero es necesario formular a y v para ser evaluadas a s = 20 m , entonces:

at = v˙ = 0 ,4s d v dt dv ds . ds dt dv v ds

v˙ =

Ahora:

at =

d v v ds

at.ds = v.dv Reemplazando:

s

v

      0,4s ds =

so

v dv

vo

0,4.s2 2

s

0,4s 2

v 2

2 2

=

0

v2 2

v 15

152 = − 2 2

0,2s =

v 2 − 225 2

v 2 = 0,4s 2 +225



v = 0,4s 2 + 225 = s˙ ´ Resolución de ejercicios propuestos DIN AMICA R.C.HIBBELER 10ma EDICION

≺7


1.3

Movimiento Curvil´ ıneo: componentes cil´ ındricos

´ El tiempo necesario para que el carro viaje puede ser determinado observando que la posici on cambia, tenemos:

ds dt ds dt = v v =

Reemplazando:

s

 0

t

1

√

0,4s2 +225

ds =



dt

0

s



ds = t 0 0,4s 2 +225 s = 0,63246t √ 2 ds 0 s +562,5

√

   

ln s +

s



s2 +562,5

0

= 0,63246t

ln (s + s2 +562,5) − ln (23,717) = 0,63246t

√

l n(s + s 2 +562,5) − ln(23,717) t = 0,63246

El tiempo necesario para que viaje 20 m es por tanto.

t = 1 ,21s

1.3.


PROBLEMA 04: Un automobil esta viajando por la curva circular de radio r=300 pies. En el instante mostrado, su razón angular de rotación es θ . = 0,4rad/s, la cual esta creciendo a razón de θ .. = 0,2rad/s. ´ del automobil en ese instante. Determine la magnitud de la velocidad y la aceleraci on

solución


≺8


1.3


Sabemos que la velocidad:

vr = r ˙ = 0 vθ = r θ˙ = 300(0,4) = 120pies/s Entonces la magnitud de la velocidad es:



2 +v 2

v = vr

θ



= 02 +1202

v = 120 pies/s ´ Ahora la aceleracion: 2

ar = ¨r − r θ˙ = 0 − 300(0,4)2 = −48,0pies/s2 ˙ . 2 = 300(0,2) + 2(0)(0,4) = 60pies/s2 aθ = r ¨θ + 2rθ ´ Ahora la magnitud de la aceleraci on:



a = ar 2 + aθ 2 =

 −

48,02 + 602

a = 76 ,8pies/s2 PROBLEMA 05: ˙ = 2 rad/s y aceleEn el instante mostrado el rociador de agua esta girando con rapidez angular , θ ración angular θ¨ = 3 rad/s2 . Si la tobera se halla en elplano vertical y el agua fluye por ella a razón ´ de una part´ıcula de constante de 3 m/s. determine las magnitudes de la velocidad y la aceleraci on agua cuando esta sale por el extremo abierto; r = 0 ,2m.

solución

r = 0 ,2 r ˙ = 0 r ¨ = 0 hallando velocidad radial:

vr = r ˙ vr = 3m/s ´ Resolución de ejercicios propuestos DIN AMICA R.C.HIBBELER 10ma EDICION

≺9


1.3


hallando velocidad angular: ˙ 2 = 2 , θ¨ = 3 vθ = r θ

vθ = (0 ,2)(2) vθ = 0 ,4 m/s Hallando la magnitud de la velocidad:

 

v =

vr 2 + vθ2

v = 32 + 0,42 v = 3 ,03 m/s ´ radial: hallando aceleracion ˙ 2 − r θ˙ 2 sen 2 θ ar = ¨r − r θ

     0

ar = ¨r − r θ˙ 2

ar = 0 − (0,2)(2)2 ar = −0,80 m/s 2 ´ zenital o colatitud: Hallando aceleracion

aθ = r ¨θ − r − 2r ˙θ˙ − r φ˙ 2 senθcosθ

     0

aθ = r ¨θ − r − 2r ˙θ˙

aθ = (0 ,2)(3) + (2)(3)(2) aθ = 12,6 m / s2

PROBLEMA 06: un automobil esta viajando a lo largo de una pista de estacionamiento por una rampa cil´ındrica espiral con rapidez constante de v=1.5m/s. si la rampa desciende una distancia 12m en cada re´ del automobil al moverse volución completa. θ = 2 πrad , determine la magnitud de la aceleraci on ´ advierte que en cualquier punto la por la rampa, r=10m. Sugerencia para parte de la soluci on tangente a la rampa esta a un angulo de φ = tan −1 (12 / [2π (10)]) = 10 ,81◦ ,desde la horizontal. Use esto para determinar las componentes de velocidad vθ y vz .que a su vez se usan para determinar θ˙ y z ˙ .


≺ 10 


1.3


solución Analizando en la formula:

ar = θ¨ − r θ˙ 2 − r θ˙ 2 sin2 θ

     0

ar = θ¨ − r θ˙ 2 reemplazando en la formula tenemos: ˙ vθ = rθ

con r = 10 , ˙r = 0 , ¨r = 0 v θ r 1 ,473 θ˙ = θ˙ =

10

θ˙ = 0 ,1473 ´ radial: Hallando aceleracion

ar = θ¨ − rθ 2 ar = 0 − (10)(0,1473)2 ar = −0,217 m/s2 Hallando la aceleración Zenital o Colatitud:

aθ = r ¨θ − r − 2r ˙θ˙ − rφ 2 senθcosθ

     0

aθ = r ¨θ − r − 2r ˙θ˙

aθ = 10(0) − r − 2(0)(0,1473) aθ = 0 m/s2 Hallando la aceleracio´ n Zenital: ˙ ˙ ¨ + 2r θϕcosθ + r ϕsenθ aϕ = 2 r ˙ϕsenθ ´ Resolución de ejercicios propuestos DIN AMICA R.C.HIBBELER 10ma EDICION

≺ 11 


1.3


aϕ = 0m/s2 ϕ = arctan

12 2π(10)

ϕ = 10 ,81◦ v = 1 ,5 m/s vr = r ˙ vr = 0 Por formula tenemos que: ˙ v = r ˙ + r θ˙ + r ϕsenθ

vθ = 1 ,5cos (10,81) vθ = 1 ,473 m/s vϕ = −1,5sen (10,81) vϕ = −0,2814 m / s

PROBLEMA 07: el doble collar C esta conectado mediante un pasador de manera tal que un collar se desliza sobre una barra fija y el otro sobre una barra giratoria AB, si la velocidad angular de AB esta 2 dada por θ˙ = (e0,5t ), donde et esta en segundos y la trayectoria definida por la barra fija es r =

´ 0,4senθ + 0,2m, determine las componentes radial y transversal de la velocidad y la aceleraci on del collar cuando t=1s, cuando t=0, θ = 0. Use la regla de simpson para determinar θen,t = 1 s.

solución


≺ 12 


1.3


θ˙ = e 0,5t

2



rad ⇒ θ˙ = 1 ,649 s t =1

θ¨ = e 0,5t

2



rad ⇒ θ¨ = 1 ,649 s t =1

Hallando θ :

1

θ =



2

e0,5t dt

0

θ = 1 ,195rad/s θ = 68 ,47◦

la trayectoria de la barra fija es:

r = 0 ,4sinθ + 0,2........(1) derivando para hallar la velocidad: ˙ )........(2) r ˙ = 0 ,4cos (θ )(θ derivando para hallar la aceleraci on: ´ ˙ )(θ ¨ )2 + 0,4cos (θ )(θ ¨ )........ (3) r ¨ = −0,4sen (θ reemplazando el a´ ngulo en las ecuaciones tendremos los siguientes resultados:

r = 0 ,4sinθ + 0,2........(1) r = 0 ,4sin(68,47)+0,2 r = 0 ,5721 ˙ )........(2) r ˙ = 0 ,4cos (θ )(θ

r ˙ = 0 ,4cos (68,47)(1,649) r ˙ = 0 ,2424 ˙ )(θ ¨ )2 + 0,4cos (θ )(θ ¨ )........ (3) r ¨ = −0,4sin(θ

r ¨ = −0,4sin(68,47)(1,649)2 + 0,4cos (68,47)(1,649) r ¨ = −0,7694m/s2 Hallando velocidad radial: vr = ˙r


≺ 13 


1.4

´ Movimiento Relativo: ejes en traslaci on

vr = 0,242 m/s ˙ vθ = rθ

vθ = 943 m/s ¨ + 2˙rθ ¨ aθ = rθ aθ = ( 0,572)(1,649) + 2(0,242)(1,649) aθ = 1,74 m / s2

1.4.

Movimiento Relativo: ejes en traslaci ´ on

PROBLEMA 08: ´ Si entonces se desliza con velocidad La arena cae del reposo 0.5m verticalmente sobre un canal on. ´ vc = 2 m/s por el canal o´ n, determine la velocidad relativa de la arena justo al caer sobre el canal on ´ Este forma un en el punto A con respecto a la arena que se desliza hacia abajo por el canal on. angulo de 40° con la horizontal.

solución Datos:

h = 0 ,5m vc = 2 m/s Calculamos la velocidad en el punto A; pero como se trata de un movimiento vertical que ademas parte del reposo la vo = 0. Asiendo uso dela siguiente ecuación:

v A 2 = v0 2 + 2gh ´ Resolución de ejercicios propuestos DIN AMICA R.C.HIBBELER 10ma EDICION

≺ 14 


1.5

Ecuaciones de Movimiento : Coordenadas rectangulares

v A 2 = 2(9,81)(0,5) v A = −3,1321m/s Expresando vectorialmente :

→ −v A = −3,1321j........ ˆ (α ) Calculamos la velocidad relativa V A/C para lo cual sabemos por definicio´ n que:

→ −v A = −→ → v C + − v A/ C ...............(1) Expresando vectorialmente:

→ −v C = −→ → v C (x),iˆ + − v C (y )j → −v C = 2cos 40iˆ − 2sen 40j.............. ˆ (β ) y;

→ −v A/ C = − → → v A/C x iˆ + − v A/C y j ˆ...........(θ ) ( )

( )

Sustituyendo ( α ); (β )y (θ )en (1) :

→ → −3,1321j ˆ = 2 cos 40i − 2sen 40j ˆ + − v A/ C (x)i + − v A/C (y )j ˆ ordenado y luego comparando termina:

→ −2cos 40iˆ + (2sen 40 − 3,1321)j ˆ = −→ v A/C (x)iˆ + − v A/C (y )j ˆ → −v A/C x iˆ = −2cos 40 = −1,5321 ( )

→ −v A/C y j ˆ = 2sen 40 − 3,1321 = −1,8465 ( )

Calculamos:

 

→ −v A/ C =

2 2 v A/C (x ) + v A/C (y )

→ −v A/ C = −1,53212 + −1,84652 → −v A/ C = 2,4 m/s 1.5.


PROBLEMA 09: ´ de mina de 400kg es levantado por el plano inclinado usando el cable y el motor M. Por El vagon un corto tiempo la fuerza en el cable es F = (3200t 2 )N . donde t esta en segundos. Si el vagon tiene velocidad inicial v1 = 2 m/s en s=0 y t= 0, determine la distancia que se mueve hacia arriba por el plano cuando t=2s.


≺ 15 


1.5


solución Datos:

mcarro = 400kg F cable = 3200t 2 N v1 = 0 m/s t1 = 0 s t2 = 2 s v2 =? m/s Considerando el eje de referencia en el plano donde el carrito realiza movimiento. Calculamos la ´ para la cual hacemos uso la segunda ley de newton. aceleracion



F x = mcar ax

3200t 2 − 400(9,81)senθ = 400a Sustituyendo senθ =

8 17 ;luego

despejando se tiene: 8 3200t 2 − 400(9,81) 17 = a 400

a = 8 t 2 − 4,616...........(1) ´ se sabe que: Calculamos la velocidad, por definici on

a =

dv dt

dv = adt............. (β ) Sustituyendo (1) en ( β ):

dv = (8 t 2 − 4,616)dt integrando:

v2



v1

dv =

t2



t1

(8t 2 − 4,616) dt


≺ 16 


2 Problemas de Cinemática de un Cuerpo R´ıgido

v

t

   dv =

0

0

8t 3 v = 3

v = 2 ,667t

3

(8t 2 − 4,616) dt

− 4,616t



t

+2 0

− 4,616t + 2..............(θ )

Calculando el espacio recorrido: t = 2 s:

v =

dx dt

dx = vdt................. (δ) Sustituyendo ( θ )en (δ ) e integrando: x

2

  ds =

0

0

(2,667t 3 − 4,616t + 2) dt

x = 5 ,93 m

´ Problemas de Cinematica de un Cuerpo R´ıgido

2. 2.1.

Movimiento Absoluto

PROBLEMA 10: La placa inclinada se mueve hacia la izquierda con velocidad constante v. Determine la velocidad ´ angular y la aceleración angular de la barra esbelta de longitud l. La barra pivotea en el escal on localizado en C al deslizarse sobre la placa.

solución calculamos el desplazamiento en x, hacemos uso de la ley d senos: 1 x = sen (φ − θ ) sen (180 − φ )


≺ 17 


2.1

Movimiento Absoluto

Despejando por trigonometria se sabe sen(180 − φ ) = sinφ

xsenφ = sen (φ − θ )...................... (1) calculamos la velocidad, por teor´ıa v = x˙ derivando(1): ˙ ˙ = −cos (φ − θ ).θ...................... (2) xsenφ Por teor´ıa se sabe que θ˙ = w luego despejando: ˙ = −cos (φ − θ ).w......................(2) xsenφ ˙ xsenφ cos (φ − θ ) vsenφ w = − rad/s.......... (3) cos (φ − θ )

w = −

vsenφ w = − cos rad/s (φ −θ )

calculamos la aceleración angular. por teor´ıa se sabe que α = θ¨ para lo cual derivamos(2): ¨ − sen (φ − θ )(θ ˙ )2 ¨ xsenφ = −cos (φ − θ ).θ 0 = −cos (φ − θ ).α − sen (φ − θ )w2

α = − sustituyendo (3) en (4):

α = −

sen (φ − θ )w2 ......... (4) cos (φ − θ )

sen (φ − θ ) vsenφ 2 ) . (− cos (φ − θ ) cos (φ − θ )

α = − v

2 (senφ )2 sen (φ

−θ ) rad/s2

1.(cos (φ −θ ))3

PROBLEMA 11: Los pasadores ubicados en A y B, está n confinados para moverse en las gu´ıas vertical y horizontal. Si el brazo ranurado ocasiona que A se mueva hacia abajo a V A , determine la velocidad de B en el instante mostrado.


≺ 18 


2.2

´ Movimiento Relativo: Aceleraci on

solución Hallando el vector posición de A y B:

→ −r A = −d iˆ − y j ˆ → −r B = xiˆ − hj ˆ Derivando tenemos las velocidades:

→ −v A = −y˙ = −v A j ˆ → −v B = −x˙ = −vB j ˆ de donde tenemos:

y˙ = v A y

x˙ = vB por otro lado:

tanθ =

h d = x y

h x = ( )y d derivando tenemos:

h x˙ = ( ) ˙y d vB = ( dh )v A

2.2.

Movimiento Relativo: Aceleraci ´ on

PROBLEMA 12: En el instante dado el miembro AB tiene los movimientos angulares mostrados. Determine la velocidad y la aceleracion ´ del bloque deslizable C en ese instante.


≺ 19 


2.2

´ Movimiento Relativo: Aceleraci on

solución Datos:

ω = 3 rad/s ω˙ = 2 rad/s Calculemos velocidad en ” B”:

vB = ω.R = 3,7 = 21pulg/s Calculemos velocidad en ” C ”:

−v→ −→ −→ −−−→ C = vB + ω × r C/ B 4 5

3 5

vC [ iˆ − j ˆ] = −21iˆ + ωkˆ × (−5iˆ − 12j ˆ) igualando vectores coordenados:

−0,8vC = −21+12ω −0,6vC = −5ω resolviendo el sistema tenemos:

ω = 1 ,125rad/s vC = 9,38pulg/s por otro lado tenemos: (aB )n = ω2 .R = 3 2 7 = 63pulg/s ´ Resolución de ejercicios propuestos DIN AMICA R.C.HIBBELER 10ma EDICION

≺ 20 


2.3

´ Movimiento Relativo: Ejes en rotaci on

(aB )t = 2 ,7 = 14pulg/s luego

a C = a B +  α × r C / B − ω2 r C / B reemplazando los valores, tenemos:

−aC ( 45 iˆ − aC ( 35 j ˆ = −14iˆ − 63j ˆ + α kˆ × (−5iˆ − 12j ˆ) − 1,1252 (−5iˆ − 12j ˆ) igualando los vectores coordenados tenemos:

−0,8aC = −14+12α + 6,33 −0,6aC = −63 − 5α + 15,19 resolviendo tenemos

aC = 54,7pulg/s2 α = −3,00 rad/s

2.3.


PROBLEMA 13: ˜ insignificante rueda a trav e´ s del tubo de manera que en el instante mostrado La bola B de tamano tiene velocidad de 5 pies/s y aceleracion ´ de 3pies/s2 ,medidas con respecto al tubo, Si el tubo tiene velocidad angular de ω = 3rad/s , y aceleración angular de α = 5rad/s en este mismo instante, determine la velocidad y aceleración de la pelota.

solución Datos:

v0 = 0 a0 = 0 ´ Resolución de ejercicios propuestos DIN AMICA R.C.HIBBELER 10ma EDICION

≺ 21 


2.3


ˆ ω  = 3 krad/s ˆ ω  ˙ = 5 krad/s ˆ v B/ 0 = 5 ipies/s 2 ˆ aB/ 0 = 3 ipies/s 

Utilizando las ecuaciones de la cinem a´ tica:

v B =  v0 +  ω × rB /o + (v B/ 0 )rel ...... (1) aB = a0 + ω   ˙ × rB / 0 +  ω × (ω  × rB / 0 ) + 2 ·  ω × v B/ 0 + aB/ 0 ...... (2) ´ (1) ,tenemos: reemplazando los datos en la ecuaci on

v B = 0 + 3kˆ × 2iˆ + 5iˆ realizando las operaciones tenemos

v B = (5 iˆ + 6j ˆ)pies/s vB = 7 , 81 pies/s ´ (2) ,tenemos: análogamente reemplazando en la ecuacion

aB = 0 + 5kˆ × 2iˆ + 3kˆ × (3kˆ × 2iˆ) + 2,3kˆ × 5iˆ + 3iˆ realizando las operaciones se tiene:

aB = ( −15iˆ + 40j ˆ)pies/s2 aB = 42 , 72pies/s2


≺ 22 

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