Unit 1 ( KAEDAH TINDIHAN ) - teori struktur

1

KAEDAH TINDIHAN

OBJEKTIF Objektif am : Mempelajari, memahami dan menggunakan kaedah tindihan dalam proses menyelesaikan masalah bagi rasuk tidak boleh tentu statik. Objektif khusus :  Mendapatkan persamaan momen bagi rasuk.  Menentukan nilai daya tindakbalas rasuk.  Menentukan nilai serta melakarkan gambarajah daya ricih dan momen lentur rasuk.  Menyelesaikan masalah yang disebabkan oleh beban tumpu , beban teragih seragam dan beban gabungan .

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/2

INPUT Pengenalan 1.1

Kaedah Macaulay Kaedah macaulay ini digunakan dalam analisis cerun dan pesongan

bagi rasuk boleh tentu statik. Kita ketahui dalam kaedah kamiran ganda dua, pertimbangan hanya melibatkan kes pembebanan sekata dan bersambungan dari penyokong ke penyokong sahaja. Untuk menyelesaikan masalah ini kaedah Macaulay telah dirumuskan. Persamaan yang dihasilkan melalui kaedah ini sah untuk keseluruhan rasuk dan akan hanya mempunyai dua pemalar sahaja. 1.2

Kaedah Momen Luas Kaedah Momen Luas juga digunakan dalam analisis cerun dan

pesongan sesuatu rasuk. Di sini kita akan menggunakan gambarajah momen lentur bagi mengenal pasti pesongan yang berlaku pada sesuatu titik rasuk. 1.3

Kaedah Tindihan Seperti yang kita ketahui kaedah Macaulay dan kaedah Momen Luas

hanya boleh menyelesaikan kes rasuk boleh tentu statik. Kaedah ini telah diubahsuai supaya ianya dapat digunakan bagi menyelesaikan masalah rasuk tidak boleh tentu statik yang dikenali sebagai kaedah tindihan. Ciri-ciri kaedah ini ialah menjadikan rasuk tidak boleh tentu statik kepada rasuk boleh tentu statik. Di sini kita akan menyinkirkan tupang-tupang yang tidak diperlukan. Proses penyelesaian kaedah ini terbahagi kepada 2 kes :-

KAEDAH TINDIHAN

1.3.1

C4303/U1/3

Kes 1 Dalam kes ini kita perlu menjadikan rasuk tidak boleh tentu statik

kepada rasuk boleh tentu statik seperti rasuk julur atau rasuk tupang mudah dengan menyinkirkan tupang-tupang yang berkenaan. Pada kes ini kita perlu mengambil semua daya yang bertindak bagi menerbitkan persamaan momen. Pada keadaan ini pesongan dan lenturan rasuk akan berlaku ke bawah. 1.3.2

Kes 2 Pada kes ini kita perlu mengambil semua daya yang disingkirkan dalam

kes 1 untuk menerbitkan persamaan momen bagi kes tersebut. Pada keadaan ini pesongan dan lenturan rasuk akan berlaku ke atas. 1.4

Bentuk-bentuk rasuk.

a) Rasuk yang diikat tegar pada tupang A dan pin pada tupang B. . A

B L

Lakaran bagi kes 1 dan kes 2 setelah tupang B disingkirkan akan menjadikannya rasuk julur. x

Mx

Kes 1

x

yB1

B (pesongan ke bawah)

A

x x Mx

Kes 2

yB2 (pesongan ke atas)

X A

VB x

b) Rasuk yang diikat tegar pada tupang A dan pin pada tupang B dan C.

KAEDAH TINDIHAN A

B

C4303/U1/4

L

A

.

.

B

C

L

Lakaran kes 1 dan kes 2 setelah tupang B dan C disingkirkan menjadikannya rasuk julur.

x Mx

Kes 1 x A

B

yB1

yC C1

x x Mx

Kes 2

yC2

yB2

x A

VB x

Contoh 1.1

Rasuk di bawah mempunyai rentang 4 m panjang yang dikenakan beban tumpu 6 kN pada pertengahan rentang dan rasuk diikat tegar pada tupang A dan pin pada tupang B. Lakarkan gambarajah kes 1 dan kes 2 bagi rasuk di bawah serta terbitkan persamaan momen bagi setiap kes dan tentukan juga keadaan sempadan pada setiap tupang. 6 kN

.

A

B 2m

Penyelesaian

2m

Lakaran gambarajah bagi kes 1.

6 kN

x Mx x A

x-2

B

x

yB1

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/5

Persamaan momen untuk kes 1. Mx + 6(x-2) = 0 Mx = - 6(x-2) Lakaran gambarajah bagi kes 2. x

Mx x A

VB

yB2

x

Persamaan momen untuk kes 2. Mx – VB(x) = 0 Mx = VB(x) Keadaan sempadan pada tupang A (diikat tegar) Jarak x = 4;

Kecerunan dy = 0; dx

Pesongan y = 0

Keadaan sempadan pada tupang B (pin) Jarak x = 0;

Contoh 1.2

Kecerunan dy ≠ 0; dx

Pesongan y = yB1 atau yB2

Rasuk di bawah mempunyai rentang 4 m panjang yang dikenakan beban tumpu 12 kN pada 1 m dari tupang A dan rasuk diikat tegar pada tupang A dan pin pada tupang B. Lakarkan gambarajah kes 1 dan kes 2 bagi rasuk di bawah serta terbitkan persamaan momen bagi setiap kes dan tentukan juga keadaan sempadan pada setiap tupang. 12 kN

.

A

B 1m

3m

KAEDAH TINDIHAN

Penyelesaian

C4303/U1/6

Lakaran gambarajah bagi kes 1. 12 kN x Mx x A

B x-3

yB1

x Persamaan momen untuk kes 1. Mx + 12(x-3) = 0 Mx = - 12(x-3) Lakaran gambarajah bagi kes 2. x Mx

yB2

x A

VB x



Pesongan y = 0


Contoh 1.3



Rasuk di bawah mempunyai rentang 4 m panjang yang dikenakan beban teragih seragam 5 kN/m di sepanjang rentang dan rasuk diikat tegar

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/7

pada tupang A dan pin pada tupang B. Lakarkan gambarajah kes 1 dan kes 2 bagi rasuk di bawah serta terbitkan persamaan momen bagi setiap kes dan tentukan juga keadaan sempadan pada setiap tupang. 5 kN/m

B.

A 4m

Penyelesaian

x Lakaran gambarajah bagi kes 1. Mx

5 kN/m

A x

B x

yB1

Persamaan momen untuk kes 1. Mx + 5(x)( x ) = 0 2 Mx = - 5( x )2 2 Lakaran gambarajah bagi kes 2. x Mx

yB2

x A

VB x



Pesongan y = 0


Kecerunan dy ≠ 0;


KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/8

dx Contoh 1.4

Rasuk di bawah mempunyai rentang 4 m panjang yang dikenakan beban tumpu 12 kN dan 6 kN dan beban teragih seragam 5 kN/m di sepanjang rentang dan rasuk diikat tegar pada tupang A dan pin pada tupang B. Lakarkan gambarajah kes 1 dan kes 2 bagi rasuk di bawah serta terbitkan persamaan momen bagi setiap kes dan tentukan juga keadaan sempadan pada setiap tupang.

12 kN

6 kN 5 kN/m

. A

B 1m

Penyelesaian

1m

2m

Lakaran gambarajah bagi kes 1. 12 kN

6 kN

x Mx

5 kN/m

x-3 A x

x-2

B x

yB1

Persamaan momen untuk kes 1. Mx + 12(x-3) + 6(x-2) + 5(x)( x ) = 0 2 Mx = - 12(x-3) - 6(x-2) - 5( x )2 2 Lakaran gambarajah bagi kes 2. x Mx x A

VB x

yB2

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/9



Pesongan y = 0


Contoh 1.5



Rasuk di bawah mempunyai rentang 8 m panjang yang dikenakan beban tumpu 7 kN serta beban teragih seragam 8 kN/m pada rasuk AB dan 6 kN/m pada rasuk julur BC dan rasuk diikat tegar pada tupang A dan roller pada tupang B. Lakarkan gambarajah kes 1 dan kes 2 bagi rasuk di bawah serta terbitkan persamaan momen bagi setiap kes dan tentukan juga keadaan sempadan pada setiap tupang. 7 kN 8 kN/m

6 kN/m

A

B 3m

Penyelesaian

2m

1m

C 2m

Lakaran gambarajah bagi kes 1. Dalam kes 1 ini kita perlukan lakukan ubahsuai terhadap beban teragih seragam 6 kN/m. Ubahsuai ini perlu untuk memudahkan menerbitkan persamaan momen yang mempunyai pembolehubah jarak dalam sebutan “x”. Ubahsuai perlu dilakukan dengan menambah beban teragih seragam 6 kN/m sehingga ke tupang A pada bahagian atas rasuk dan juga di bawah rasuk seperti ditunjukkan dalam gambarajah disebelah. 7 kN x

tambahan

8 kN/m

6 kN/m

tolakan

yB1

Mx A x x-5

B

C

x-3 x tambahan tolakan

asal

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/10

Persamaan momen untuk kes 1. Mx + 8(x-5)2 + 6(x)2 - 6(x-2)2 + 7(x-3) = 0 2 2 2 Mx = - 8(x-5)2 - 6(x)2 + 6(x-2)2 - 7(x-3) 2 2 2 Mx = - 4( x-5)2 – 3(x)2 + 3(x-2)2 – 7(x-3) Lakaran gambarajah bagi kes 2. x Mx

yB2 x A

x-2

VB

C

x

Persamaan momen untuk kes 2. Mx - VB(x-2) = 0 Mx = VB(x-2) Keadaan sempadan pada tupang A (diikat tegar) Jarak x = 8;


Pesongan y = 0

Keadaan sempadan pada tupang B (roller) Jarak x = 2;


AKTIVITI 1A


KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/11

Uji tahap kefahaman anda dengan mencuba aktiviti dibawah berdasarkan kepada arahan yang diberikan. Untuk semakan, sila rujuk pada helaian berikutnya. ARAHAN Lakarkan gambarajah kes 1 dan kes 2 bagi setiap rasuk di bawah serta terbitkan persamaan momen untuk setiap kes dan tentukan juga keadaan sempadan pada setiap tupang. 12 kN a)

15 kN 50 kN 30O

.

A

B

2m

2m

2m

12 kN 8 kN/m

b) A

B 2m

2m

2m 8 kN

20 kN/m

c) A

B 5m

C 2m

18 kN/m

20 kN/m

d) A

B 4m

2m

2m

C 2m

2m

SELAMAT MENCUBA !!! Jika anda menghadapi sebarang masalah sila rujuk kepada pensyarah anda.

MAKLUM BALAS 1A

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/12

a) Lakaran gambarajah bagi kes 1. x

37 kN

15 kN

50 sin 30o = 25 kN

Mx A x

12 kN

yB1

B x

Persamaan momen untuk kes 1. Mx = - 37(x-4) - 15(x-2) x Lakaran gambarajah bagi kes 2. Mx

yB2

x A

VB x

Persamaan momen untuk kes 2. Mx = VB(x) Keadaan sempadan pada tupang A (diikat tegar) Jarak x = 6;


Pesongan y = 0




b) Lakaran gambarajah bagi kes 1. 12 kN

x Mx 8 kN/m

yA1

x A

B x

Persamaan momen untuk kes 1. x Mx

Mx = 4(x)2 - 4(x-4)2 + 12(x-2) Lakaran gambarajah bagi kes 2.

x VA

B x

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/13

yA2

Persamaan momen untuk kes 2. Mx = - VA(x) Keadaan sempadan pada tupang A (pin) Jarak x = 0;


Pesongan y = yA1 atau yA2

Keadaan sempadan pada tupang B (diikat tegar) Jarak x = 6;


Pesongan y = 0

c) Lakaran gambarajah bagi kes 1. x Mx

8 kN

20 kN/m B yB1

A x x

C

Persamaan momen untuk kes 1. Mx = - 10((x-2)2 - 8(x) x

Lakaran gambarajah Mx bagi kes 2. x A

VB x

Persamaan momen untuk kes 2. Mx = VB(x) Keadaan sempadan pada tupang A (diikat tegar) Jarak x = 7;


Pesongan y = 0

Keadaan sempadan pada tupang B (pin)

yB2

KAEDAH TINDIHAN

Jarak x = 2;

C4303/U1/14



d) Lakaran gambarajah bagi kes 1. 18 kN/m

20 kN/m A Mx

20 kN/m

B y B1

x

y

C C1

Persamaan momen untuk kes 1. Mx = - 9((x-8)2 - 10(x-2)2 + 10(x-6)2 Lakaran gambarajah bagi kes 2. x

yC2

yB2

Mx x A

VB

VC

x

Persamaan momen untuk kes 2 Mx = VB(x-4) + VC(x) Keadaan sempadan pada tupang A (diikat tegar) Jarak x = 12; Kecerunan dy = 0; dx

Pesongan y = 0

Keadaan sempadan pada tupang B (roller) Jarak x = 4;



Keadaan sempadan pada tupang C (roller) Jarak x = 0;


Pesongan y = yC1 atau yC2

INPUT 1B 1.5

Menentukan nilai serta melakarkan gambarajah daya ricih dan

momen lentur rasuk.

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/15

Pada input ini kita akan dapat menentukan nilai serta melakarkan gambarajah daya ricih dan momen lentur rasuk. Contoh 1.6

a)

Menentukan nilai serta melakarkan gambarajah daya ricih.

Ini adalah lanjutan dari contoh 1.1 (m.s. 4) 6 kN

.

A

B 2m

2m

Kes 1 Dari contoh 1.1 kita dapati persamaan momen untuk kes 1 ialah, Mx = - 6(x-2) Di ketahui Mx = EI d2y dx2 E = Modulus Young I = Momen luas kedua rasuk Di sini kita gantikan nilai Mx yang diperolehi, maka kita dapati, EI d2y = - 6(x-2) dx2

--------------------------- (1)

Langkah seterusnya kita perlu kamilkan pers. (1) di atas, maka kita dapati, EI dy = - 6(x-2)2 + C1 dx 2

--------------------------- (2)

Seterusnya kita perlu kamilkan pers. (2) di atas, maka kita dapati, EI y = - 6(x-2)3 + C1(x) + C2 6

--------------------------- (3)

Kita ketahui dari contoh 1.1, keadaan sempadan pada tupang A (diikat tegar) ialah, Jarak x = 4;


Pesongan y = 0

Gantikan dy = 0 dan x = 4 dalam pers. (2), maka kita dapati, dx

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/16

EI (0) = - 6(4 -2)2 + C1 2 C1 = 12 Gantikan C1 dalam pers. (3) EI (0) = - 6(4 -2)3 + 12(4) + C2 6 maka kita dapati C2 = - 40 Keadaan sempadan pada tupang B (pin). Jarak x = 0;


Pesongan y = yB1

Gantikan jarak x = 0, pesongan y = yB1, C1 = 12, C2 = - 40 dalam pers. (3), maka kita dapati, EI yB1 = - 6(0-2)3 + 12(0) + (- 40) 6 yB1 = - 40 EI Kes 2 Dari contoh 1.1, maka kita dapati persamaan momen untuk kes 2 ialah, Mx =VB(x) Bagi kes rasuk julur yang mempunyai beban tumpu di hujang maka pesongannya ialah, y = WL3 3 EI Peringatan : Perlu diingatkan di sini formula ini hanya boleh digunakan bagi kes rasuk julur dengan satu daya tumpu sahaja. Jika ada dua atau lebih daya, penyelesaian perlu dilakukan seperti langkah kes 1. W = VB ; ∴

y = yB2 ;

L=4

yB2 = VB (4)3 3 EI yB2 = 64VB 3 EI

Jumlah pesongan yang berlaku pada titik B ialah 0

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/17

∴ yB1 + yB2 = 0 - 40 + 64VB = 0 EI 3EI VB = 40(3)EI 64EI VB = 1.88 kN ∑V=0 VA + 1.88 = 6 VA = 4.12 kN Gambarajah daya ricih 4.12 kN + 0 -

0 1.88 kN

b)

Menentukan nilai serta melakarkan gambarajah momen lentur.

MA + 6(2) – 1.88(4) = 0

M2m - 1.88(2) = 0

MA = - 4.48 kNm

M2m = 3.76 kNm

Gambarajah momen lentur 4.48 kNm 0

0

+ Contoh 1.7

3.76 kNm a) Menentukan nilai serta melakarkan gambarajah daya ricih. Ini adalah lanjutan dari contoh 1.2 (m.s. 5) 12 kN

.

A

B 1m

3m

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/18

Kes 1 Dari contoh 1.2 kita dapati persamaan momen untuk kes 1 ialah, Mx = - 12(x-3) Di ketahui Mx = EI d2y dx2 Di sini kita gantikan nilai Mx yang diperolehi, maka kita dapati, EI d2y = - 6(x-2) dx2

--------------------------- (1)

Langkah seterusnya kita perlu kamilkan pers. (1) di atas, maka kita dapati, EI dy = - 12(x-3)2 + C1 dx 2 EI dy = - 6(x-3)2 + C1 dx

--------------------------- (2)

Seterusnya kita perlu kamilkan pers. (2) di atas, maka kita dapati, EI y = - 6(x-3)3 + C1(x) + C2 3 EI y = - 2(x-3)3 + C1(x) + C2

--------------------------- (3)



Pesongan y = 0

Gantikan dy = 0 dan x = 4 dalam pers. (2), maka kita dapati, dx EI (0) = - 6(4 -3)2 + C1 C1 = 6 Gantikan C1 dalam pers. (3) EI (0) = - 2(4 -3)3 + 6(4) + C2 maka kita dapati C2 = - 22 Keadaan sempadan pada tupang B (pin). Jarak x = 0;


Pesongan y = yB1

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/19

Gantikan jarak x = 0, pesongan y = yB1, C1 = 6, C2 = - 22 dalam pers. (3), maka kita dapati, EI yB1 = - 2(0-3)3 + 6(0) + (- 22) yB1 = - 22 EI Kes 2 Dari contoh 1.2, maka kita dapati persamaan momen untuk kes 2 ialah, Mx =VB(x) Bagi kes rasuk julur yang mempunyai beban tumpu di hujang maka pesongannya ialah, yB2 = WL3 3 EI Beban W ialah VB yB2 = VB (4)3 3 EI yB2 = 64VB 3 EI Jumlah pesongan yang berlaku pada titik B ialah 0 ∴ yB1 + yB2 = 0 - 22 + 64VB = 0 EI 3EI VB = 22(3)EI 64EI VB = 1.03 kN ∑V=0 VA + VB = 12 VA = 12 – 1.03 VA = 10.97 kN

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/20

Gambarajah daya ricih 10.97 kN + 0 -

0 1.03 kN

b)


MA + 12(1) – 1.03(4) = 0

M1m - 1.03(3) = 0

MA = - 7.88 kNm

M2m = 3.09 kNm

Gambarajah momen lentur 7.88 kNm 0

0

+ 3.09 kNm Contoh 1.8

a)


Ini adalah lanjutan dari contoh 1.3 (m.s. 6) 5 kN/m

B.

A 4m

Kes 1 Dari contoh 1.3 kita dapati persamaan momen untuk kes 1 ialah, Mx = - 5(x)2 2 Di ketahui Mx = EI d2y dx2 Di sini kita gantikan nilai Mx yang diperolehi, maka kita dapati, EI d2y = - 5(x)2 dx2 2

--------------------------- (1)

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/21

Langkah seterusnya kita perlu kamilkan pers. (1) di atas, maka kita dapati, EI dy = - 5(x)3 + C1 dx 6

--------------------------- (2)

Seterusnya kita perlu kamilkan pers. (2) di atas, maka kita dapati, EI y = - 5(x-2)3 + C1(x) + C2 24

--------------------------- (3)



Pesongan y = 0

Gantikan dy = 0 dan x = 4 dalam pers. (2), maka kita dapati, dx EI (0) = - 5(4 )3 + C1 6 C1 = 53.33 Gantikan C1 dalam pers. (3) EI (0) = - 5(4 )4 + 53.33(4) + C2 24 maka kita dapati C2 = - 159.99

Keadaan sempadan pada tupang B (pin). Jarak x = 0;


Pesongan y = yB1

Gantikan x = 0, y = yB1, C1 = 53.33, C2 = - 159.99 dalam pers. (3), maka kita dapati, EI yB1 = - 5(0)4 + 53.33(0) + (- 159.99) 24 yB1 = - 159.99 EI Kes 2 Dari contoh 1.3, maka kita dapati persamaan momen untuk kes 2 ialah, Mx =VB(x) Bagi kes rasuk julur yang mempunyai beban tumpu di hujang maka pesongannya ialah,

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/22

yB2 = WL3 3 EI Beban W ialah VB yB2 = VB (4)3 3 EI yB2 = 64VB 3 EI Jumlah pesongan yang berlaku pada titik B ialah 0 ∴ yB1 + yB2 = 0 - 159.99 + 64VB = 0 EI 3EI VB = 159.99(3)EI 64EI VB = 7.50 kN ∑V=0 VA + VB = 5(4) VA = 20 – 7.50 VA = 12.5 kN Gambarajah daya ricih 12.5 kN + 0

0

7.5 kN

b)


MA + 5(4)(2) – 7.5(4) = 0

M2m + 5(2)(1) – 7.5(2) = 0

MA = - 10 kNm

M2m = 5 kNm

Gambarajah momen lentur 10 kNm 0 +

0 5 kNm

KAEDAH TINDIHAN

Contoh 1.9

a)

C4303/U1/23



6 kN

5 kN/m

. A

B 1m

1m

2m

Kes 1 Dari contoh 1.4 kita dapati persamaan momen untuk kes 1 ialah, Mx = - 12(x-3) - 6(x-2) - 5( x )2 2 Di ketahui Mx = EI d2y dx2 Di sini kita gantikan nilai Mx yang diperolehi, maka kita dapati, EI d2y = - 12(x-3) - 6(x-2) - 5( x )2 dx2 2

--------------------------- (1)

Langkah seterusnya kita perlu kamilkan pers. (1) di atas, maka kita dapati, EI dy = - 12(x-3)2 - 6(x-2)2 - 5( x )3 + C1 dx 2 2 6 EI dy = - 6(x-3)2 - 3(x-2)2 - 5( x )3 + C1 dx 6

--------------------------- (2)

Seterusnya kita perlu kamilkan pers. (2) di atas, maka kita dapati, EI y = - 6(x-3)3 - 3(x-2)3 - 5( x )4 + C1(x) + C2 3 3 24 EI y = - 3(x-3)3 - (x-2)3 - 5( x )4+ C1(x) + C2 --------------------------- (3) 24

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/24



Pesongan y = 0

Gantikan dy = 0 dan x = 4 dalam pers. (2), maka kita dapati, dx EI (0) = - 6(4-3)2 - 3(4-2)2 - 5( 4 )3 + C1 6 C1 = 71.33 Gantikan C1 dalam pers. (3) EI (0) = - 3(4-3)3 - (4-2)3 - 5( 4 )4 + 71.33(4) + C2 24 maka kita dapati C2 = - 221.99 Keadaan sempadan pada tupang B (pin). Jarak x = 0;


Pesongan y = yB1

Gantikan x = 0, y = yB1, C1 = 71.33, C2 = - 221.99 dalam pers. (3), maka kita dapati, EI yB1 = - 3(0-3)3 - (0-2)3 - 5(0)4 + 71.33 (0) + - 221.99 24 yB1 = - 221.99 EI Kes 2 Dari contoh 1.4, maka kita dapati persamaan momen untuk kes 2 ialah, Mx =VB(x) Bagi kes rasuk julur yang mempunyai beban tumpu di hujang maka pesongannya ialah, yB2 = WL3 3 EI Beban W ialah VB yB2 = VB (4)3 3 EI

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/25

yB2 = 64VB 3 EI Jumlah pesongan yang berlaku pada titik B ialah 0 ∴ yB1 + yB2 = 0 - 221.99 + 64VB = 0 EI 3EI VB = 221.99(3)EI 64EI VB = 10.41 kN ∑V=0 VA + VB = 5(4) + 12 + 6 VA = 38 – 10.41 VA = 27.59 kN Gambarajah daya ricih 27.59 kN 22.59 kN 10.59 kN + 0 -

b)

5.59 kN 0 0.41 kN

10.41 kN


MA + 5(4)(2) + 12(1) + 6(2) – 10.41(4) = 0 MA = - 22.36 kNm M1m + 5(3)(1.5) + 6(1) – 10.41(3) = 0 M1m = - 2.73 kNm M2m + 5(2)(1) – 10.41(2) = 0 M2m = 10.82 kNm

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/26

M3m + 5(1)0.51) – 10.41(1) = 0 M3m = 7.91 kNm Gambarajah momen lentur 22.36 kNm

0 +

2.73 kNm 0 7.91 kNm 10.82 kNm

Contoh 1.10

a)



8 kN/m

6 kN/m

A

B 3m

2m

1m

C 2m

Kes 1 Dari contoh 1.5 kita dapati persamaan momen untuk kes 1 ialah, Mx = - 4( x-5)2 – 3(x)2 + 3(x-2)2 – 7(x-3) Di ketahui Mx = EI d2y dx2 Di sini kita gantikan nilai Mx yang diperolehi, maka kita dapati, EI d2y = - 4( x-5)2 – 3(x)2 + 3(x-2)2 – 7(x-3) ------------------------- (1) dx2 Langkah seterusnya kita perlu kamilkan pers. (1) di atas, maka kita dapati, EI dy = - 4(x-5)3 – 3(x)3 + 3(x-2)3 – 7(x-3) + C1 dx 3 3 3 2

------------------------- (2)

Seterusnya kita perlu kamilkan pers. (2) di atas, maka kita dapati, EI y = - 4(x-5)4 – 3(x)4 + 3(x-2)4 – 7(x-3)3 + C1(x) + C2 12 12 12 6

------------------- (3)

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/27



Pesongan y = 0

Gantikan dy = 0 dan x = 8 dalam pers. (2), maka kita dapati, dx EI (0) = - 4(8-5)3 – 3(8)3 + 3(8-2)3 – 7(8-3) + C1 3 3 3 2 C1 = 419.50 Gantikan C1 dalam pers. (3) EI y = - 4(8-5)4 – 3(8)4 + 3(8-2)4 – 7(8-3)3 + 419.50(8) + C2 12 12 12 6 maka kita dapati C2 = - 2483.17 Keadaan sempadan pada tupang B (roller). Jarak x = 2;


Pesongan y = yB1

Gantikan x = 2, y = yB1, C1 = 419.5, C2 = - 2483.17 dalam pers. (3), maka kita dapati, EIyB1 = - 4(2-5)4 – 3(2)4 + 3(2-2)4 – 7(2-3)3 + 419.5(2) + (-2483.17) 12 12 12 6 yB1 = - 1648.17 EI Kes 2 Dari contoh 1.5, maka kita dapati persamaan momen untuk kes 2 ialah, Mx = VB(x-2) Bagi kes rasuk julur yang mempunyai beban tumpu di hujang maka pesongannya ialah, yB2 = WL3 3 EI Beban W ialah VB yB2 = VB (6)3 3 EI

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/28

yB2 = 216VB 3 EI Jumlah pesongan yang berlaku pada titik B ialah 0 ∴ yB1 + yB2 = 0 - 1648.17 + 216VB = 0 EI 3 EI VB = (1648.17)3EI 216EI VB = 22.89 kN ∑V=0 VA + VB = 8(3) + 6(2) + 7 VA = 47 – 22.89 VA = 20.11 kN Gambarajah daya ricih 20.11 kN 12 kN + 0 -

0 3.89 kN 10.89 kN

b)


MA + 8(3)(1.5) + 6(2)(7) + 7(5) – 22.89(6) = 0 MA = - 17.66 kNm M1.5m + 8(1.5)(0.75) + 7(3.5) + 6(2)(5.5)– 22.89(4.5) = 0 M1.5m = 3.51 kNm M5m + 6(2)(2) – 22.89(1) = 0 M5m = - 1.11 kNm

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/29

M6m + 6(2)(1) = 0 M6m = - 12 kNm M7m + 6(1)(0.5) = 0 M7m = - 3 kNm Gambarajah momen lentur 17.66 kNm 12 kNm 3 kNm 0 +

1.11 kNm 3.51 kNm

AKTIVITI 1B Uji tahap kefahaman anda dengan mencuba aktiviti dibawah berdasarkan kepada arahan yang diberikan. Untuk semakan, sila rujuk pada helaian berikutnya. ARAHAN Aktiviti 1B ini adalah lanjutan dari aktiviti 1A.

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/30

Selesaikan setiap kes rasuk di bawah dengan menentukan :i. nilai serta melakarkan gambarajah daya ricih rasuk. ii. nilai serta melakarkan gambarajah momen lentur rasuk. 12 kN 15 kN a)

50 kN 30O

A 2m

2m

2m

.

B

12 kN

b)

8 kN/m A

B 2m

2m

2m 8 kN

c)

20 kN/m A

B 5m 18 kN/m

d)

C 2m

20 kN/m

A

B 4m

2m

2m

C 2m

2m

SELAMAT MENCUBA !!! Jika anda menghadapi sebarang masalah sila rujuk kepada pensyarah anda.

MAKLUM BALAS 1B

Nota 38.74 : Unit daya ricih dalam kN Unit momen lentur dalam kNm + 0 -

a) i. Gambarajah1.74 daya ricih

0

13.26

54.44

ii. Gambarah momen lentur 0

0

+ 23.04 26.52

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/31

b) i. Gambarajah daya ricih

ii. Gambarah momen lentur

23.41

35.54 7.41

0 +

0 +

0 4.59

5.64

20.59 30.82

c) i. Gambarajah daya ricih

ii. Gambarah momen lentur 54.50

57.70 0 +

8

0 +

0 42.30

16 0 27.25

d) i. Gambarajah daya ricih

ii. Gambarah momen lentur

63.35

78.52 40.93 43.72

0 +

0 8.65

0 +

0

48.65 PENILAIAN KENDIRI

30.88

ARAHAN Dengan menggunakan Kaedah Tindihan selesaikan setiap kes rasuk di bawah dengan menentukan :i)

Daya tindak balas 60 pada kN setiap tupang.

ii)

kN/m Nilai-nilai dan lukiskan 40 gambarajah daya ricih.

iii)

Nilai-nilai dan lukiskan gambarajah momen lentur. A

B 4m

4m

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/32

a) .

7 kN

b)

5 kN

10 kN/m A

B 6m

C 1.5m 1.5m

12 kN

c)

16 kN

3 kN/m A

.

B 3m

2m

2m

3m

9 kN 7 kN/m

A

d)

6 kN/m

B 4m

C 2m

3m

D 2m

.

* Jika anda kurang faham atau tidak pasti sila rujuk kepada pensyarah anda.

MAKLUM BALAS Nota : Unit daya ricih dalam kN Unit momen lentur dalam kNm a) i)

Daya tindak balas pada setiap tupang. VB = 138.75 241.25

kN

; VA = 241.25 kN 410 iii) gambarajah momen lentur akhir.

ii) Gambarajah daya ricih akhir + 0 -

81.25 21.25 0 138.75

0 +

0 235

KAEDAH TINDIHAN

b) i)

C4303/U1/33

Daya tindak balas pada setiap tupang. VB = 40.88 kN

; VA = 31.12 kN

ii) Gambarajah daya ricih akhir

iii) gambarajah momen lentur akhir. 32.22

31.12

25.5

12 + 0 -

7.5

5

0 +

0

0 16.14

28.8

c) i)


; VA = 12.70 kN


iii) gambarajah momen lentur akhir.

12.7

57.5

+ 0

3.7 0

-

0 +

8.3

0

24.3

d) i)

24.4


; VA = 15.56 kN


iii) gambarajah momen lentur akhir.

15.57

12 11.43

12 + 0 -

5.15

4.03 0 4.47 12.43

+ 0 -

3 0 2.91 5.71

KAEDAH TINDIHAN

C4303/U1/34

TAHNIAH !!! ANDA TELAH BERJAYA MENCAPAI OBJEKTIF. Sila cuba unit berikutnya.

Unit 1 ( KAEDAH TINDIHAN ) - teori struktur

Recommend Documents