UNIDAD III POBLACIÓN 3.1 Población futura 3.2 Cálculo de la población futura 3.3 Método Racional 3.4 Método Aritmético 3.5 Método de Interé !imple 3." Método #eométrico 3.$ Método de Incremento Incremen to %ariable 3.& Método de la Parábola de 2do. #rado 3.' Método de la Parábola de 3er. #rado 3.1( Método #ráfico 3.11 )tro método
3.1 POBLACIÓN FUTURA )tro factor importante en el abatecimiento abatecimiento de a*ua+ e el dearrollo de la población+ ,ue puede producire un crecimiento o decrecimiento futuro de la población+ pre-er un determinado nmero de a/o en lo die/o de abatecimiento de a*ua potable+ para ,ue no e0ita déficit de u infraetructura intalada o por intalar. importante el periodo de die/o+ dependiendo del etándar de -ida el tama/o de la población. l die/o e puede tomar para 5+ 1(+ 15+ 2(+ 25 3( a/o *eneralmente lo plane maetro etán en el ran*o de 25 3( a/o. Para lo die/o de eto periodo *rande+ e debe pro*ramar etapa para u contrucción de tal manera ,ue conforme crece la población la infraetructura anitaria e adecuada ademá+ e debe tomar en cuenta ,ue la infraetructura anitaria e mu cotoa.
3.2 CÁLCULO DE LA POBLACIÓN FUTURA Para determinar la población futura debe utiliare etadtica de crecimiento+ como6 lo dato de nacimiento defuncione la cantidad de mi*ración interna o e0tran7era de 8abitante por lo dato de ceno realiado en la ciudad o cual,uier otra etadtica ,ue ten*an la entidade Pblica de !er-icio. Para el cálculo del crecimiento de la población+ e puede utiliar diferente método matemático+ *ráfico o etadtico+ el má con-eniente+ ,ue el profeional debe ele*ir con un pre-io etudio de la condicione de la ciudad+ como6 ocial+ cotumbre+ clima+ factore de dearrollo fuente de a*ua.
3.2.1 MÉTODOS DE CÁLCULO 0ite muc8o método para el cálculo de la población futura+ lo ma uado on6 a9 Método Racional b9 Método Aritmético c9 Método de Interé !imple d9 Método #eométrico e9 Método de Incremento %ariable f9
Método de la Parábola de 2: *rado
*9 Método de la Parábola de 3er. #rado 89 Método #ráfico
3.3 MÉTODO RACIONAL l método racional e el má efecti-o ló*ico+ e neceita conocer el crecimiento -e*etati-o de la población la cantidad de la mi*ración interna o e0tran7era de peronal. Para calcular la raón del crecimiento -e*etati-o+ debe tomare la diferencia de nacido de defuncione por a/o+ di-idido por el nmero de 8abitante de la ciudad cuando e0ite etadtica de -ario a/o+ e calcula para cada a/o la raón de crecimiento e el promedio. ;a raón de crecimiento por mi*ración e la diferencia de inmi*rante emi*rante di-idido por el nmero de 8abitante de la ciudad para -ario a/o también e toma el promedio.
;a raón de crecimiento obtenida e puede aplicar a la fórmula de método de interé imple o del método *eométrico Interé imple #eométrico
P = p [1 + r (t t!"# P = p (1 + r"(t t!"
n la ,ue6 P la población futura p la población inicial r ;a raón de crecimiento -e*etati-o de mi*ración t< to el tiempo en a/o para método de interé imple *eométrico
=MP;)6 >na población de $5(( 8abitante en el 2(13+ el promedio obtenido de nacimiento e de 1"( 8abitante de fallecido e 4(. Calcular la población para un periodo de 2( a/o+ por el método racional. ?aa de crecimiento r @ 1"( nacido 4( fallecido @ (+(1" $5(( >ando el método *eométrico P @ p B1 r9 Bt A to9 P2(32 @ $5(( B1 (+(1"92( @ $5(( 0 1+31 @ $%2& 8abitante >ando el método Interé !imple P @ p D1 r Bt to9E P2(33 @$5((D1(+(13"02(E@$5(( 0 1+3$4 @ 1(3(5 8abitante
3.' MÉTODO ARITMÉTICO te método repreenta una ecuación lineal+ e le ua para poblacione ,ue etán en pleno crecimiento. !u fórmula *eneral e6
P = p + r (t t !"
Fe eta fórmula e calcula6 r @ BP
P
(P p"
(t t!"
r = (Pp" , (tt!"
=MP;)6 >na población de 451( en el a/o 2((4 tiene 451( 8abitante en el a/o 2(13 tiene "((( 8abitante Calcular la población para 2( a/o por el método aritmético P @ p r Bt to9 r @ P p @ "((( 451( @ 1"5+5" t to ' P2(33@"((( 1"5+5"02( @ "((( 3311+2 @ $311 8abitante
3.& MÉTODO DE INTERÉS SIMPLE !e aplica la fórmula del capital a interé imple+ e ua para poblacione ,ue etán en el lmite de aturación. !u fórmula *eneral e6 P @ p D1 r Bt to9E Fe eta fórmula e calcula6 r @ P< p
pBt
Para facilitar el cálculo e puede uar ceno de una ciudad con el i*uiente cuadro tomar el promedio de r 6
C)*!*
P
(P p"
(t t!"
p (tt!"
r = Pp p(tt!"
=MP;)6 Calcular la población para el a/o 2(22 de una ciudad i e tiene lo i*uiente ceno 1''3 '2(( 8abitante 2((3 13((( H 2(13 1$5(( H P @ pD1 rBt to9E r @ BP p9 GpBt to9 C)*!*
P
(P p"
(t t!"
P (tt!"
r = (Pp" , p(tt!"
1''3
'2((
2((3
13(((
3&((
1(
13((((
(+(2'23
2(13
1$5((
45((
1(
1$5(((
(+(25$1
∑
(+(54'4
Promedio
(+(2$4$
P2(23 @ 1$5(( D1 (+(2$4$ 0 1(E @ 223- 8abitante
3./ MÉTODO 0EOMÉTRICO te método ua la fórmula para el capital a interé compueto+ e ua para ciudade 7ó-ene con indutria rápidamente e0pani-a+ condicione ,ue pueden e0itir cuando e produce en tiempo corto. !u fórmula *eneral e6
P = p (1 + r"(t t!"
Para el cálculo Bt to9 e toma en década+ i e tienen ceno 8a ,ue 8acer el a7ute de la población P en década Fe eta fórmula e calcula6 r @ (t – to) P < 1 p
;ue*o con el promedio de Br9 e calcula la población futura con la fórmula *eneral Para facilitar el cálculo e tiene el i*uiente cuadro6
P
(t t!"
(t – to)
P p
r@
(t – to)
P p < 1
=MP;)6 !e ,uiere calcular la población para el a/o 2(23 de una ciudad+ ,ue tiene lo i*uiente dato cenale 1''3 4$15 8abitante 1''4 4&12 H 2(13 "((( H !e debe calcular por década+ e neceita la población para el a/o 2((3. "((( < 4&12 @ 11&& 8ab. di-idido por 1' a/o @ "2+53 2((3 1''4 @ ' Para el a/o 2((3 @ 4&12 "2+53 0 ' @ 53$5 8abitante
P
(t t!"
(t – to)
P p
r=
(t – to)
P 1 p
4$15 54$5
1(
1+(15
(+(15
"(((
1(
1+(('
(+(('
(+(24
Promedio
(+(12
P2(23 @ p B1 r9Bt to9@ "((( B1 (+(1291( @ "((( 0 1+12$ @
//2 8abitante
P2(22 @ p B1 r9Bt to9@ "((( B1 (+(12291( @ "((( 0 1+12' @
/' 8abitante
3. MÉTODO DE INCREMENTO ARIABLE !e aume ,ue el incremento de la población e -ariable contante+ para ete método e neceita mnimo cuatro ceno en decada+ el inter-alo de tiempo Bn9 en década. !u fórmula *eneral e6 P = p + ) 1 + ) () 1" 2 2 l -alor de 1 e el incremento de población entre la década el -alor de 2 e el incremento de población entre lo -alore de 1 Con lo -alore promedio de 1 2 e reemplaa en la fórmula *eneral para obtener la población futura Para facilitar el cálculo e tiene el i*uiente cuadro6
AOS
POBLACIÓN
1
2
=MP;)6 Calcular la población de una ciudad para el a/o 2(23+ ,ue tiene lo i*uiente ceno6 1'&3 3( ((( 8ab. 1''3 33 ((( H 2((3 35 ((( H 2(13 3" 5(( H AOS POBLACIÓN 1 2 1'32
3( (((
1''3
33 (((
3 (((
2((3
35 (((
2 (((
B<9 1 (((
2(13
3" 5((
1 5((
B<9
5((
∑
B9 " 5((
B<9 1 5((
promedio
B9 2 1"$
B<9
P @ p n J 1 n Bn < 19 J 2 2
$5(
P2(23 @ 3" 5(( 1021"$ 1B1<19B<$5(9 @ 3% // 8ab. 2
3.% MÉTODO DE LA PARÁBOLA DE 24 0RADO !e aplica con la ecuación de e*undo *rado con inter-alo de tiempo en década de preferencia lo tre ltimo dato de ceno. !u fórmula *eneral e6
P = A56 + B 5 + p
Para calcular lo -alore de A K+ e debe crear do ecuacione de e*undo *rado+ en la ,ue H0L erá de 1( a/o para la primera ecuación+ el -alor de HPL e la población final de la primera década+ HpL e el -alor de la población al comieno de la década. ;a e*unda ecuación e tomará H0L para do década+ o ea+ 2( a/o+ el -alor de HPL e la población final de la e*unda década+ HpL e el -alor de la población inicial de la primera década+ o ea+ el mimo -alor de la primera ecuación.
Para facilitar la creación de la do ecuacione e puede uar el i*uiente *ráfico6
Fearrollando la do ecuacione e obtiene A K+ ,ue da lo -alore para la fórmula *eneral Con un -alor de 0 @ n a/o+ con lo -alore de A K obtenido tomando HpL la población del primer ceno+ e obtiene la población futura para HnL a/o
=MP;)6 Calcular la población de una ciudad para el a/o 2(23+ por el método de la parábola de 2: *rado+ ,ue tiene lo i*uiente ceno6 1''3 33 ((( H 2((3 35 ((( H 2(13 3" 5(( H P @ A 0 K 0 C P2((3 @ A1( K1( 33 ((( B19 3& --- = 1--A + 1-B + 33 --- P2(13 @ A2( K2( 33 ((( B29 3/ &-- = '--A + 2-B + 33 ---
;a ecuación B19 e multiplica por B29 la ecuación B29 por B<19 cuación B19 $( ((( @ 2((A 2(K "" ((( cuación B29 <3" 5(( @ < 4((A < 2(K < 33 ((( !e uma6 33 5(( @ < 2(( A 33 ((( 335 @ < 2A 33(
A = 27& !e remplaa en la B19 el -alor de A 35 ((( @ 1((B<2+59 1(K 33 ((( 35((( @ < 25( 1(K 33(((
B = 22& P2(23 @ B<2+5901(( 22501( 3"5(( P2(23 @ <25( 225( 3"5(( P2(23 @ 3% &-- 8abitante
3.$ MÉTODO DE LA PARÁBOLA DE 3r. 0RADO !e utilia para periodo corto e neceario tener cuatro ceno como mnimo. !u fórmula *eneral e6 P = A 58 + B 56 + C 5 + p l procedimiento de cálculo e el mimo de la parábola de 2do. *rado+ a*re*ando una tercera ecuación para 0 @ 3( a/o la tercera ecuación tendrá como -alor de HPL la población final de la tercera década+ el -alor de HpL la población inicial de la primera década+ o ea+ ,ue ete -alor erá i*ual para la tre ecuacione. Con tre ecuacione e obtiene A+ K C+ -alore ,ue er-irán para el cálculo de la población futura ,ue e deea el -alor de HpL erá el de la ltima década.
Para facilitar la creación de la tre ecuacione e puede uar el i*uiente *ráfico6
Con un -alor de 0 @ n a/o+ con lo -alore de A+ K C tomando HpL la población del ltimo ceno+ e obtiene la población futura para HnL a/o.
=MP;)6 Calcular la población de una ciudad para el a/o 2(23+ por el método de la parábola de 3er. *rado+ ,ue tiene lo i*uiente dato cenale 1'&3 3( ((( 8ab. 1''3 33 ((( H 2((3 35 ((( H 2(13 3" 5(( H P1''3
@ A1(N K1( C1( 3( (((
33 --- = 1---A + 1--B + 1-C + 3- --- P2((3
@ A2(N K2( C2( 3( (((
3& --- = %---A + '--B + 2-C + 3- --P2(13
B19 B29
@ A3(N K3( C3( 3( (((
3/ &-- = 2---A + $--B + 3-C + 3- ---
B39
;a ecuación B19 e multiplica por B29 ;a ecuación B29 e multiplica por B<19 cuación B19 ""((( @ 2(((A 2((K 2(C "(((( cuación B29 <35((( @ < &(((A < 4((K 2(C < 3(((( !e uma6
31((( @ < "(((A 2((K 3(((( 31( @ < "(A < 2K 3((
B = & 3-A
B49
;a ecuación B19 e multiplica por B39 ;a ecuación B39 e multiplica por B<19 cuación B19 ''((( @ 3(((A 3((K 3(C '(((( cuación B39 <3"5(( @ < 2$(((A < '((K 3(C < 3(((( !e uma6 "25(( @ <24(((A "((K "(((( "25 @ <24( A< " K "(( B = '-A '71 B59 I*ualando reultado de B49 B59 <5<3(A @ <4(A< 4+1$
A = -7-%3
Reemplaando A en la ecuación B49 K @ <5 3(A K @ <5 3( 0 (+(&3
B = 7'$ Reemplaando lo -alore A K en la ecuación B19 33((( @ 1(((0 (+(&3 1((0B< $+4'9 1(C 3(((( 33((( @ &3 < $4' 1(C 3((((
C = 3//7/P2(23@ (+(&301(N B<$+4'901( 3""+"(01(3"5(( P2(23 @ &3 $4' 3"""3"5(( P2(23 @ 3$&-- 8abitante
3.1- MÉTODO 0RÁFICO un método mu imprecio+ e traa la cur-a de lo -alore de población de lo ceno i*uiendo la tendencia de la cur-a 8ata el a/o bucado. Aplicando un e7emplo e tiene6
3.11 OTROS MÉTODOS 0iten otro método de cálculo como6 Método de la Cur-a Oormal ;o*tico. Método de lo Mnimo Cuadrado. Método Comparati-o.