CURSO FEBRERO-JULIO 2012 I.T.S.S.A.T DINAMICA NUNIDAD III. CINETICA DE PARTICULAS (PLAN 2010) 3.1 Leyes del movimiento de Newton. La primera y tercera leyes de Newton del movimiento movimient o se usaron ampliamente en estética para estudiar a los cuerpos en reposo y las fuerzas que actuaban sobre ellos. Estas dos leyes leyes se emplean también en dinámica; de hecho son suficientes para el estudio del movimiento de los cuerpos cuando no hay aceleración. Pero cuando los cuerpos están acelerados, es decir, cuando la magnitud o la dirección de su velocidad cambian, es necesario usar la segunda ley de Newton para relacionar el movimiento del cuerpo con las fuerzas que actúan sobre él. En este capítulo estudiaremos la segunda ley de Newton y la aplicaremos al análisis del movimiento de las partículas. Como exponemos en la sección 12.2, si la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es distinta de cero, esta tendrá una aceleración proporcional al modulo m odulo de la fuerza resultante y en la dirección de esta fuerza res ultante. Es más, la razón entre el modulo de la fuerza resultante y la aceleración resultante puede usarse para definir la masa de la partícula. En la sección 12.3 definiremos el momento lineal de una partícula como el producto L = m v de la masa m y la velocidad v de la partícula y demostraremos que que la segunda ley de Newton puede expresarse en otra forma que relaciona a la derivada temporal del momento lineal con la resultante de las fuerzas que actúan sobre esa partícula. En la sección 12.4 se hace hincapié hi ncapié en la necesidad de utilizar uti lizar unidades consistentes consistent es en la solución de los problemas de dinámica y se hace un repaso de los dos sistemas de unidades empleados en este texto, que son el sistema internacional de unidades (unidades (unidades del SI) y el sistema ingles. En las secciones 12.5 y 12.6 y en los problemas resueltos que le siguen se aplica la segunda ley de Newton a la solución de problemas en ingeniería, usando tanto las componentes rectangulares como las componentes tangencial y normal de las fuerzas y las aceleraciones que intervienen. Recordamos que un cuerpo real posiblemente tan grande como un automóvil, un cohete o un avión puede ser considerado como una una partícula para el análisis de su movimiento, siempre que el efecto de una rotación del cuerpo con respecto a su centro de gravedad pueda omitirse.
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La sección 12.9 estudia el movimiento de una partícula sujeta a una fuerza central, es decir, bajo una fuerza dirigida hacia hacia adentro o hacia afuera de un punto fijo 0. Como tal fuerza tiene momento cero con respecto a 0, se deduce que el momento angular de la partícula respecto de 0 se conserva. Esta propiedad simplifica el análisis del movimiento de una partícula sujeta a una fuerza f uerza central c entral y se aplicara a la solución de problemas p roblemas relacionados con el movimiento movimie nto orbital de cuerpos sujetos a la atracción gravitacional gravitac ional (Sec. 12.10). Las secciones 12.11 a la 12.13 son opcionales; opcionales ; presentan un estudio más amplio del movimiento orbital y contienen un numero de problemas relacionados con la mecánica del espacio. La segunda parte del capítulo se dedica a la solución de problemas en términos de las componentes radial y transversal, poniendo de relieve el movimiento de una partícula sujeta a una fuerza central. En la sección 12.7 definiremos definiremo s el momento angular H, de una partícula respecto a un punto 0 como como H 0 . De la segunda ley de Newton se deduce que la derivada 0 = r x m v temporal del momento angular H 0 0 de una partícula es igual a la suma de los momentos respecto de 0 de las fuerzas que actúan sobre esa partícula.
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Segunda ley de Newton del m ovim iento. Esta ley puede enunciarse como sigue: Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es distinta de cero, la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en la dirección de esta fuerza resultante. La segunda ley de Newton de movimiento puede comprenderse mejor si imaginamos el siguiente experimento: una partícula está sujeta a una fuerza F 1 de dirección constante y de modulo constante F 1. Bajo la acción de esa fuerza, se observara que la partícula se mueve en una línea recta y en la dirección de la fuerza (Fig. 12.1 a). Determinando la dirección de la partícula en diferentes instantes encontramos que su aceleración tiene una magnitud constante a 1 . Si se repite el experimento con las fuerzas F2, F3, etc., de modulo o dirección diferente (Fig. 12.1b y c); siempre encontramos que la partícula se mueve en la dirección de la fuerza que actúa sobre ella y que los módulos a 1 , a 2 , a 3 , etc., de las aceleraciones son proporcionales a F 3 , los módulos F 1 , F 2 , etc., de las fuerzas correspondientes.
El valor constante obtenido para la razón entre los módulos de las fuerzas y las aceleraciones es una característica de la partícula en consideración. Se le llama la masa de la partícula y se representa por m . Cuando una particula de masa m está sujeta a una fuerza F , esta fuerza y la aceleración a de la particula deben satisfacer la relación
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Esta expresión proporciona una formulación completa de la segunda ley de Newton; expresa no solo que los módulos de F y a son proporcionales, sino también (como m es un escalar positivo) que los vectores F y a tienen la misma dirección (Fig. 12.2). Debemos mencionar que la ecuación (12.1) sigue siendo válida cuando F no es una constante sino que varia con t en modulo o dirección. Los módulos de F y a siguen siendo proporcionales y los dos vectores tienen la misma dirección en cualquier instante, pero en general no serán tangentes a la trayectoria de la partícula. Cuando una partícula se somete simultáneamente a varias fuerzas, la ecuación (12.1) debe sustituirse por Donde ΣF representa la suma o resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Debe hacerse notar que el sistema de ejes respecto de los cuales se determina la aceleración a no es arbitrario. Estos ejes deben tener una orientación constante con respecto a las estrellas, y sus orígenes deben estar ya sea fijos al Sol o moverse con a velocidad constante respecto a este. A tal sistema de ejes se le llama sistema de referencia newtoniano. Un sistema de ejes fijo a la Tierra no constituye un sistema de referencia newtoniano porque la Tierra gira respecto a las estrellas y esta acelerado respecto al Sol. Sin embargo, en muchas aplicaciones en la ingeniería, la aceleración a puede determinarse respecto de ejes fijos a la Tierra y las ecuaciones (12.1) y (12.2) pueden usarse sin error apreciable. Por otra parte, estas ecuaciones no se cumplen si a representa una aceleración relativa medida respecto de ejes en movimiento, como ejes unidos a un vehículo acelerado o a una pieza de maquinaria en rotación. Podemos observar que si la resultante de las fuerzas ΣF que actúan sobre la partícula es cero, de la ecuación (12.2) se deduce que la aceleración a de la partícula es también cero. Si la partícula esta inicialmente en reposo (v 0 = 0) respecto al sistema de referencia newtoniano empleado, continuara en reposo (v = 0). Si se encontraba originalmente moviéndose con una velocidad v 0 , la partícula mantendrá una velocidad constante v = v 0 , es decir, se moverá con una velocidad constante v 0 en línea recta. Como recordamos, esto es lo que nos dice la primera ley de Newton (sección 2.10), así que la primera ley de Newton es un caso particular de la segunda ley de Newton y puede omitirse de los principios fundamentales de la mecánica.
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CURSO FEBRERO-JULIO 2012 I.T.S.S.A.T DINAMICA PROBLEMA RESUELTO 1 Un bloque de 200 Ib descansa sobre un plano horizontal. Encuéntrese el modulo de la fuerza P necesaria 2 para imprimirle al bloque una aceleración de 10 ft/s hacia la derecha. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y el plano es µ k = 0.25. Solución. La masa del bloque es
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Como F = µ = 0.25 N y a = 2.5 ft/s , y usando el hecho k N de que las fuerzas que actúan sobre el bloque son equivalentes al vector m a , escribimos
Despejando N de (2) e incorporando el resultado en (1), obtenemos
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CURSO FEBRERO-JULIO 2012 I.T.S.S.A.T DINAMICA PROBLEMA RESUELTO 2 Un bloque de 80 kg descansa sobre un plano horizontal. Encuéntrese el modulo de la fuerza P necesaria para imprimirle al bloque una aceleración de 2.5 2 m/s a la derecha. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y el plano es µk = 0.25. Solución. El peso del bloque es 2
Notamos que F = µk N = 0.25N y que a = 10 ms/s . Como las fuerzas que actúan sobre el bloque son equivalentes al vector m a , escribimos
Despejando N de (2) y sustituyéndola en (1), obtenemos
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