Unidad: Diseño a Flexo Compresión-columnas

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS 6.1 INTRODUCCIÓN En esta unidad se presenta un análisis introductorio sobre columnas de concreto reforzado con especial énfasis en las columnas cortas, sometidas a momentos flectores pequeños. Suele decirse que tales columnas están “cargadas axialmente”. También se estudiarán las columnas cortas con momentos flectores grandes, mientras que las columnas largas o esbeltas se tratarán en el segundo curso. Las columnas de concreto pueden clasificarse en las tres siguientes categorías:

Pedestales o bloques cortos a compresión. Si la altura de un miembro vertical a compresión es menor que tres veces el ancho de la sección transversal, puede considerarse como un pedestal. El ACI (2.2 y 10.14) establece que un pedestal puede diseñarse con concreto simple o sin refuerzo, con un esfuerzo máximo de diseño a compresión igual a 0.85𝜙 f´c , donde 𝜙 es 0.65. Si la carga total aplicada al miembro es mayor que 0.85 𝜙 f´c Ag será necesario ya sea incrementar el área de la sección transversal del pedestal o bien diseñarlo como una columna de concreto reforzado.

CONCRETO ARMADO I – UNIDAD IV - Ing. E. De La Rosa Ríos

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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS

Columnas cortas de concreto reforzado. Si una columna de concreto reforzado falla debido a la falla inicial del material, se clasifica como columna corta. La carga que puede soportar está regida por las dimensiones de su sección transversal y por la resistencia de los materiales de que está construida. Consideramos que una columna corta es un miembro más bien robusto con poca flexibilidad. Columnas largas o esbeltas de concreto reforzado. A medida que las columnas se hacen más esbeltas, las deformaciones por flexión también aumentarán, así como los momentos secundarios resultantes. Si estos momentos son de tal magnitud que reducen significativamente la capacidad de carga axial de la columna, ésta se denomina larga o esbelta. Es decir, según la importancia de deformaciones en el análisis y diseño, las columnas pueden ser cortas o largas. Las cortas son aquéllas que presentan deflexiones laterales que no afectan su resistencia. Por el contrario, las columnas largas ven reducida su resistencia por ellas.

Cuando una columna está sometida a momentos primarios (aquellos momentos causados por las cargas aplicadas, rotaciones de los nudos, etc.), el eje del miembro se deflexiona lateralmente, dando por resultado momentos adicionales iguales a la carga de la columna multiplicada por la deflexión lateral. Estos momentos se llaman momentos secundarios o momentos P∆ y se ilustran en la figura 6.1. Una columna que tiene momentos secundarios grandes se llama columna esbelta y es necesario dimensionar su sección transversal para la suma de los momentos primarios y secundarios. El propósito del ACI es permitir diseñar las columnas como columnas cortas si el efecto secundario o efecto P∆ no reduce su resistencia en más de 5%. CONCRETO ARMADO I – UNIDAD IV - Ing. E. De La Rosa Ríos

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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS Las relaciones de esbeltez efectivas se describen y evalúan y se usan para clasificar las columnas como cortas o como esbeltas. Cuando las relaciones son mayores que ciertos valores (según que las columnas estén o no arriostradas lateralmente), se clasifican como columnas esbeltas. Los efectos de esbeltez pueden despreciarse en aproximadamente 40% de todas las columnas no arriostradas y en aproximadamente 90% de aquellas arriostradas contra el desplazamiento lateral. Sin embargo, estos porcentajes probablemente disminuyen año tras año, debido al uso creciente de columnas más esbeltas diseñadas con el método de Figura 6.1 Momento secundario o momento P ∆. resistencia, usando materiales más resistentes y con una mejor noción del comportamiento por pandeo de las columnas. CONCRETO ARMADO I – UNIDAD IV - Ing. E. De La Rosa Ríos

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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS 6.2 TIPOS DE COLUMNAS La columna de concreto simple soporta muy poca carga, pero su capacidad de carga aumenta mucho si se le agregan refuerzo longitudinal. Pueden lograrse incrementos sustanciales de resistencia proporcionando restricción lateral al refuerzo longitudinal.

Bajo cargas de compresión, las columnas tienden a acortarse longitudinalmente, y ha expandirse lateralmente debido al efecto de Poisson. La capacidad de tales miembros puede aumentar considerablemente si se les provee restricción lateral en forma de estribos cerrados estrechamente separados o espirales helicoidales enrolladas alrededor del refuerzo longitudinal. Las columnas de concreto armado se denominan: columnas con estribos figura 6.2(a) y columnas zunchadas (con espirales) figura 6.2(b). Figura 6.2. Tipos de columnas CONCRETO ARMADO I – UNIDAD IV - Ing. E. De La Rosa Ríos

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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS  Estos soportes laterales de las columnas son muy efectivos para aumentar la resistencia de las columnas. Impiden que las varillas longitudinales se desplacen durante la construcción y resisten la tendencia de las mismas varillas a pandearse hacia afuera bajo la carga, lo que causaría que el recubrimiento exterior de concreto se quiebre o se desconche. Generalmente, las columnas con estribos son cuadradas o rectangulares, pero pueden ser octagonales, circulares, en forma de L, etc.  Si una espiral continua helicoidal hecha con varillas o alambrón grueso se enrolla alrededor de las varillas longitudinales, como se muestra en la figura 6.2(b), la columna se denomina columna zunchada o con espiral. Las espirales son más efectivas que los estribos para incrementar la resistencia de la columna.  Conforme el concreto dentro de la espiral tiende a expandirse lateralmente bajo la carga de compresión, en la espiral empieza a desarrollarse un esfuerzo de tensión de aro y la columna no fallará hasta que la espiral ceda o se rompa, permitiendo el resquebrajamiento del concreto interior.  Las espirales aumentan muy eficazmente la ductilidad y tenacidad de las columnas, pero son bastante más caras que las columnas con estribos. Las columnas compuestas, ilustradas en las figuras 6.2(c) y 6.2(d), son columnas de concreto reforzadas longitudinalmente con perfiles de acero, que pueden o no estar rodeados por varillas de acero estructural, o pueden constar de perfiles tubulares de acero estructural rellenos con concreto. CONCRETO ARMADO I – UNIDAD IV - Ing. E. De La Rosa Ríos

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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS 6.3 CAPACIDAD POR CARGA AXIAL DE LAS COLUMNAS  En la práctica no existen columnas cargadas en forma axial perfecta, pero un análisis de tales miembros proporciona un punto de partida excelente para explicar la teoría del diseño de columnas reales con cargas excéntricas.  Se sabe que los esfuerzos en el concreto y en las varillas de refuerzo de una columna que soporta una carga a largo plazo no pueden calcularse con exactitud. Podría pensarse que tales esfuerzos se pueden determinar multiplicando las deformaciones unitarias por los módulos de elasticidad apropiados. Pero esta idea no es factible en la práctica porque el módulo de elasticidad del concreto varía con la carga, debido al flujo plástico y a la contracción. Así es que puede verse que las partes de la carga tomada por el concreto y por el acero varían con la magnitud y la duración de las cargas. Por ejemplo, cuanto mayor sea el porcentaje de cargas muertas y mayor sea el tiempo que están aplicadas, tanto mayor es el flujo plástico en el concreto y mayor es el porcentaje de carga tomada por el refuerzo.  Aunque los esfuerzos en columnas no pueden predecirse en el intervalo elástico con ningún grado de exactitud, varias décadas de pruebas han mostrado que la resistencia última de las columnas sí se puede estimar muy bien. Además, se ha demostrado que las proporciones de las cargas vivas y muertas, la duración de la carga y otros aspectos, tienen poca influencia en la resistencia última. Ni siquiera importa si es el concreto o acero el que primero alcanza tal resistencia. Si uno de los dos materiales se acerca a su resistencia última, sus grandes deformaciones causarán que los esfuerzos en el otro aumenten más rápido. CONCRETO ARMADO I – UNIDAD IV - Ing. E. De La Rosa Ríos

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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS Por estas razones, sólo consideraremos aquí la resistencia última de las columnas. En la falla, la última resistencia teórica o resistencia nominal de una columna corta cargada axialmente puede determinarse con bastante precisión mediante la expresión siguiente:

𝑃𝑛 = 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 + 𝐴𝑠𝑡 𝑓𝑦

(6.1)

Donde: 𝑃𝑛 : resistencia nominal de una columna corta cargada axialmente. 𝐴𝑔 : área total del concreto. 𝐴𝑠𝑡 : área total de la sección transversal del acero longitudinal, incluyendo perfiles de acero. 6.4 FALLAS DE COLUMNAS CON ESTRIBOS Y ESPIRALES Si una columna corta con estribos se carga hasta que falle, parte del recubrimiento de concreto se desprenderá y, a menos que los estribos estén poco separados entre sí, las varillas longitudinales se pandearán casi inmediatamente al desaparecer su soporte lateral (el recubrimiento de concreto). Tales fallas a menudo pueden ser muy repentinas y han ocurrido con frecuencia en estructuras sometidas a cargas sísmicas. Cuando las columnas zunchadas se cargan hasta fallar, la situación es muy diferente. El recubrimiento de concreto se desconchará pero el núcleo permanecerá firme y si el zunchado es de paso pequeño, el núcleo será capaz de resistir una cantidad apreciable de carga adicional más allá de la carga que da lugar al desconchamiento. El zunchado con paso reducido conjuntamente con las varillas longitudinales forman una jaula que confina en forma muy efectiva al concreto. CONCRETO ARMADO I – UNIDAD IV - Ing. E. De La Rosa Ríos

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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS Como consecuencia, el desconchado del recubrimiento de una columna zunchada provee una advertencia de que ocurrirá una falla si la carga se incrementa más. La resistencia del recubrimiento está dada por la siguiente expresión: Resistencia del recubrimiento = 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑐 Considerando que la tensión de aro estimada que se produce en las espirales es debido a la presión lateral del núcleo y por pruebas, puede demostrarse que el acero del zunchado es por lo menos el doble de efectivo para aumentar la capacidad última de la columna como el acero longitudinal. Por consiguiente, la resistencia de la espiral puede calcularse aproximadamente por la siguiente expresión:

Resistencia de la espiral = 2𝜌𝑠 𝐴𝑐 𝑓𝑦 Donde, 𝜌𝑠 es el porcentaje de acero de acero espiral. Igualando estas expresiones y despejando el porcentaje requerido de acero de espiral, obtenemos: 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑐 = 2𝜌𝑠 𝐴𝑐 𝑓𝑦


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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS 𝜌𝑠 = 0.425

𝐴𝑔 𝑓´𝑐 −1 𝐴𝑐 𝑓𝑦

Para que la espiral sea un poco más resistente que el concreto desconchado, el código ACI(10.9.3) especifica el porcentaje mínimo de espiral con la expresión que sigue 𝜌𝑠,𝑚í𝑛 = 0.45

𝐴𝑔 𝐴𝑐

−1

𝑓´𝑐 𝑓𝑦

𝐴𝐶𝐼 − 10.5

6.2

Una vez que se ha determinado el porcentaje requerido de acero de espiral, ésta puede seleccionarse con la expresión que sigue, en donde 𝜌𝑠 está dada en términos del volumen de acero en una vuelta: 𝜌𝑠 =

𝑉𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑙 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑛ú𝑐𝑙𝑒𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑠 𝑉𝑛ú𝑐𝑙𝑒𝑜

𝜌𝑠 =

𝑎𝑠 𝜋 𝐷𝑐 ;𝑑𝑏 𝜋 𝐷𝑐 2 𝑠( ) 4

=

4𝑎𝑠 𝐷𝑐 ;𝑑𝑏 𝑠 𝐷𝑐 2

Donde: 𝐷𝑐 , es el diámetro exterior del núcleo del acero de espiral. 𝑎𝑠 , es el área de sección transversal de varilla de espiral. 𝑑𝑏 , es el diámetro de dicha varilla de acero de espiral. Ver figura 6.3


(6.3)

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Figura 6.3. Detalle de columna de espiral


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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS 6.5 ANÁLISIS Y DISEÑO DE COLUMNAS CORTAS DE CONCRETO ARMADO 6.5.1 Análisis de columnas cortas sometidas a compresión pura La resistencia de columnas cortas de concreto armado sometidas a compresión pura está dada por la expresión 6.1: 𝑃𝑛 = 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 + 𝐴𝑠𝑡 𝑓𝑦 sin embargo, el código del ACI reconoce que no existe columna real sometida a carga con excentricidad nula, tomando en cuenta este hecho, plantea reducir la resistencia definida por la ecuación anterior, transformándola en:  Si el refuerzo transversal está constituido por estribos: 𝜙 = 0.65 𝜙𝑃𝑛(𝑚á𝑥) = 0.80𝜙 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 +𝐴𝑠𝑡 𝑓𝑦

(Ec. 10-1, ACI)

(6.4)

 Si el refuerzo transversal está constituido por espirales: 𝜙 = 0.75 𝜙𝑃𝑛(𝑚á𝑥) = 0.85𝜙 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 +𝐴𝑠𝑡 𝑓𝑦

(Ec. 10-1, ACI)

(6.5)

donde: 𝐴𝑠𝑡 : Área total de la sección transversal del refuerzo longitudinal, incluyendo varillas y perfiles de acero. 𝐴𝑔 : Área de la sección bruta de concreto. CONCRETO ARMADO I – UNIDAD IV - Ing. E. De La Rosa Ríos

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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS Los factores 0.85 y 0.80 son equivalentes a excentricidades de aproximadamente, 5% y 10% del lado para columnas con espiral y con estribos, respectivamente. Los valores de 𝑃𝑢 no podrán ser mayores que 𝜙𝑃𝑛 , (𝑃𝑢 ≤ 𝜙𝑃𝑛 ), tanto para columnas sometidas a compresión pura como para columnas a flexo-compresión.

Ejemplo 6.1 Determinar la capacidad máxima a compresión de la columna de concreto armado de 𝑘𝑔 la figura, si el concreto es de 𝑓´𝑐 = 210 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 y el acero de 𝑓𝑦 = 4200 𝑐𝑚2 . 8#6 𝜙𝑃𝑛(𝑚á𝑥) = 0.80𝜙 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 +𝐴𝑠𝑡 𝑓𝑦 𝐴𝑔 = 30 30 = 900 𝑐𝑚2 𝐴𝑠𝑡 = 8 2.84 = 22.72 𝑐𝑚2 𝜙 = 0.65, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠. 𝜙𝑃𝑛(𝑚á𝑥) = 0.80 0.65 0.85 210 900 − 22.72 + 22.72 4200

= 131050 𝑘𝑔 = 131.1 𝑡


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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS Ejemplo 6.2 Determinar la armadura longitudinal requerida para que la columna de concreto armado de la figura pueda resistir una carga axial de rotura de 120 t , si el concreto es 𝑘𝑔 de 𝑓´𝑐 = 210 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 y el acero de 𝑓𝑦 = 4200 𝑐𝑚2 . Solución:

𝑃𝑢 = 𝜙𝑃𝑛(𝑚á𝑥) = 0.80𝜙 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 +𝐴𝑠𝑡 𝑓𝑦 𝐴𝑔 = 25 25 = 625 𝑐𝑚2 𝑃𝑢 = 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 + 𝐴𝑠𝑡 𝑓𝑦 0.80𝜙 𝐴𝑠𝑡 Usar: 4∅1" + 4∅

5" 8

120 000 𝑃𝑢 − 0.85 210 625 − 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 0.85𝜙 0.85 0.65 = = = 26.27 𝑐𝑚2 𝑓𝑦 − 0.85𝑓´𝑐 4200 − 0.85 210

= 28.36 𝑐𝑚2 ,

Verificando cuantía: 0.01< 𝜌 =

𝐴𝑠𝑡 𝐴𝑔

5"

se pude usar ∅1“ en esquinas y ∅ 8 en la mitad de caras. =

28.36 625

= 0.04538 < 0.06 ← 𝐸. 060 − 10.9.1

La cuantía está dentro del rango permitido, sin embargo resulta antieconómica, podría rediseñarse la columna con una sección mayor que permita reducir la cuantía. CONCRETO ARMADO I – UNIDAD IV - Ing. E. De La Rosa Ríos

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EJEMPLO 6.3 Diseñar una columna cuadrada con estribos para soportar una carga muerta axial (D) de 580 kN y una carga viva axial (L) de 800 kN. Suponga inicialmente 2% de acero 𝑘𝑔 longitudinal, 𝑓´𝑐 = 280 2 , 𝑓𝑦 = 4200 𝑘𝑔/ 𝑐𝑚2 . 𝑐𝑚

SOLUCIÓN :

𝑷𝒖 = (1.4)(580) + (1.7)(800) = 2 172 kN

Dimensiones de la columna: 𝜙𝑃𝑛(𝑚á𝑥) = 0.80𝜙 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 +𝐴𝑠𝑡 𝑓𝑦 2 172 10;3 = 0.80 0.65 0.85 28 𝐴𝑔 − 0.02𝐴𝑔 + 0.02𝐴𝑔 420 𝐴𝑔 = 0.10580 𝑚2 = 105804 𝑚𝑚2 = 1058.04 𝑐𝑚2 ← 𝑈𝑠𝑎𝑟: 35x35 𝐴𝑔 = 1225 𝑐𝑚2 Selección de las varillas longitudinales: 2.172 = 0.80 0.65 0.85 28 0.1225 − 𝐴𝑠𝑡 + 𝐴𝑠𝑡 420 𝟑" 𝟏" 𝐴𝑠𝑡 = 0.00161𝑚2 = 1609.2 𝑚𝑚2 ← 𝑈𝑠𝑎𝑟: 𝟒∅ 𝟒 + 𝟒∅ 𝟐 = 1652 𝑚𝑚2 se pude usar 4∅

3" en 4

esquinas y 4∅

1" 2

en la mitad de caras.

Diseño de los estribos (corresponde varillas del #3): (ACI-7.10.5.)  Usar estribos de 8mm≤ ∅

5" 8

;

3" 8

→

5" 8

< ∅ ≤ 1" ;

1" 2

→> ∅1" ó 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒.

 Espaciamiento: 16𝑑𝑏 = 16 19.1 𝑚𝑚 = 305.6 𝑚𝑚 48𝑑𝑏(𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜) = 48 9.5𝑚𝑚 = 456.0 𝑚𝑚 no< 𝑏 = 350 𝑚𝑚 ← 𝑈𝑠𝑎𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 ∅

3" @35 8

35 cm

𝑐𝑚.


b=35 cm

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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS 0.01 < 𝜌 =

16.52 = 0.01349 < 0.06 ← 𝑂𝐾. (𝐸. 060 10.9.1) 1225

EJEMPLO 6.4 Diseñar una columna circular zunchada para soportar una carga muerta axial D de 1070 kN y una carga viva axial L de 1335 kN. Inicialmente suponga aproximadamente 2% de 𝑘𝑔 acero longitudinal, 𝑓´𝑐 = 280 kg/𝑐𝑚2 y 𝑓𝑦 = 4200 𝑐𝑚2 . SOLUCIÓN :

𝑷𝒖 = (1.4)(1070) + (1.7)(1330) = 3 759 kN

Selección de dimensiones de columna y del refuerzo: 𝜙𝑃𝑛(𝑚á𝑥) = 0.80𝜙 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 +𝐴𝑠𝑡 𝑓𝑦 3.759 = 0.80 0.75 0.85 28 𝐴𝑔 − 0.02𝐴𝑔 + 0.02𝐴𝑔 420 𝐴𝑔 = 0.1678545 𝑚2 = 1685.5 𝑐𝑚2 ← 𝑈𝑠𝑎𝑟: 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑑𝑒 48 𝑐𝑚 𝑑𝑒 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 1809.6 𝑐𝑚2 . 3.759 = 0.80 0.75 0.85 28 0.18096 − 𝐴𝑠𝑡 + 𝐴𝑠𝑡 420 𝐴𝑠𝑡 = 0.002896𝑚2 = 28.96 𝑐𝑚2 ← 𝑈𝑠𝑎𝑟: 𝟔∅𝟏" =30.6 𝑐𝑚2

Diseño de la espiral: 𝜋(𝐷𝑐)2 𝜋 40 𝐴𝑐 = = 4 4

2

= 1256.64 𝑐𝑚2

𝑨𝑪𝑰 − 𝟏𝟎. 𝟗. 𝟑 : Ec. (6.2) → 𝜌𝑠,𝑚í𝑛 = 0.45

𝐴𝑔 𝐴𝑐

−1

𝑓´𝑐 𝑓𝑦

= 0.45

1809.6 1256.64

−1

280 4200

La 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒕í𝒂 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒇𝒖𝒆𝒓𝒛𝒐 𝒆𝒏 𝒆𝒔𝒑𝒊𝒓𝒂𝒍, 𝒆𝒔𝒕á 𝒅𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒆𝒄. 𝟔. 𝟑 : CONCRETO ARMADO I – UNIDAD IV - Ing. E. De La Rosa Ríos

=0.01320

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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS Para la espiral de ∅

3" 8

∶ 𝑑𝑏 = 0.95 𝑐𝑚; 𝑎𝑠 = 0.71 𝑐𝑚2

𝜌𝑠 =

4𝑎𝑠 𝐷𝑐 − 𝑑𝑏 4 0.71 40 − 0.95 → 0.0132 = → 𝑠 = 5.25 𝑐𝑚 ≈ 5 𝑐𝑚 𝑠(𝐷𝑐)2 𝑠 40 2

𝜌𝑠 =

4𝑎𝑠 𝐷𝑐 − 𝑑𝑏 4 0.71 40 − 0.95 = = 0.01386 > 𝜌𝑠,𝑚í𝑛 = 0.0132 𝑠(𝐷𝑐)2 5 40 2

Sección transversal de la columna:

Espiral : ∅

3" 8

@𝑠 = 5 cm

•

•

•

6 ∅1"

•

•

• 4 cm

𝐷𝑐 = 40 cm

4 cm

𝑕 = 48 𝑐𝑚


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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS 6.5.2 Análisis de columnas cortas sometidas a flexo-compresión Una columna sometida a flexo-compresión puede considerarse como el resultado de la acción de una carga axial excéntrica o como el resultado de la acción de una carga axial y un momento flector. Ambas condiciones de carga son equivalentes y serán empleadas indistintamente para el análisis de columnas cortas sometidas a flexo-compresión. Para el análisis, la excentricidad de la carga axial se tomará respecto al centro plástico. Este punto se caracteriza porque tiene la propiedad de que una carga aplicada sobre él produce deformaciones uniformes en toda la sección. En secciones simétricas el centro plástico coincide con el centroide de la sección bruta y en secciones asimétricas coincide con el centroide de la sección transformada. Conforme la carga axial se aleja del centro plástico, la distribución de deformaciones se modifica, como se muestra en la figura 6.4.


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Figura 6.4. Variación de la distribución de deformaciones en la sección de acuerdo a la ubicación de la carga axial CONCRETO ARMADO I – UNIDAD IV - Ing. E. De La Rosa Ríos

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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS  Las hipótesis asumidas en unidad II para el análisis de concreto sometido a flexión, son válidas también para el análisis de elementos sometidos a flexo-compresión.

 Una columna con una distribución determinada de refuerzo y dimensiones definidas tiene infinitas combinaciones de carga axial y momento flector que ocasionan su falla o lo que es equivalente, las cargas axiales que ocasionan el colapso varían dependiendo de la excentricidad con que son aplicadas. Al igual que las secciones sometidas a flexión pura, las columnas pueden presentar falla por compresión, por tensión, o falla balanceada. Sin embargo, a diferencia de ellas, una columna puede presentar cualquiera de los tres tipos de falla dependiendo de la excentricidad de la carga axial que actúa sobre ella. Si ésta es pequeña, la falla será por compresión; si la excentricidad es mayor, la falla será por tensión. Además, cada sección tiene una excentricidad única, denominada excentricidad balanceada que ocasiona la falla balanceada de la sección. Ver figura 6.5  Puesto que cada columna puede presentar tres tipos de falla distintos, cada una cuenta con tres juegos de ecuaciones que definen su resistencia, ya sea en términos de carga axial y momento resistente, o en términos de carga axial resistente para una determinada excentricidad. El procedimiento para determinar estas ecuaciones es sencillo. En esta sección se le presentará aplicado a un caso en particular: una columna de sección rectangular con refuerzo dispuesto simétricamente. En la figura 6.6, se muestra la notación utilizada en la formulación presentada. CONCRETO ARMADO I – UNIDAD IV - Ing. E. De La Rosa Ríos

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Figura 6.5. Columna sometida a carga con excentricidades cada vez mayores.


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Figura 6.6. Sección rectangular analizada en la sección 5.2.2. y su análisis


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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS Para determinar la ecuación que corresponde a la condición de falla por compresión, se asume un diagrama de deformaciones como el mostrado en la figura 6.7.a, el cual genera los esfuerzos internos mostrados. La capacidad resistente del elemento estará dada por la resultante de las fuerzas desarrolladas en el acero y el concreto. Por lo tanto: 𝑃𝑛 = 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑎 + 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 − 𝐴𝑠 𝑓𝑠

𝑀𝑛 = 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑎

𝑕 𝑎 𝑕 𝑕 − + 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 − 𝑑´ + 𝐴𝑠 𝑓𝑠 𝑑 − 2 2 2 2

(6.6)

(6.7)

Los esfuerzos en el acero en compresión y en tensión se determinan por semejanza de triángulos: 𝑐;𝑑´ 𝑓´𝑠 = 𝑐 0.003𝐸𝑠 (6.8) 𝑓´𝑠 = 6117

𝑐;𝑑´ 𝑐

(𝐸𝑛 𝐾𝑔/𝑐𝑚2 )

(6.8-a)

𝑓´𝑠 = 611.7

𝑐;𝑑´ 𝑐

(𝐸𝑛 𝑀𝑃𝑎)

(6.8-b)

𝑓𝑠 =

𝑑;𝑐 𝑐

0.003𝐸𝑠

𝑓𝑠 = 6117

𝑑;𝑐 𝑐

𝑓𝑠 = 611.7

𝑑;𝑐 𝑐

(6.9) (𝐸𝑛 𝐾𝑔/𝑐𝑚2 ) (𝐸𝑛 𝑀𝑃𝑎)


(6.9-a) (6.9-b) 22

UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS Whitney propuso la siguiente expresión aproximada para determinar la resistencia a la compresión de una columna que falla en compresión: 𝑃𝑛 =

𝐴´𝑠 𝑓𝑦 𝑏𝑕𝑓´𝑐 + 𝑒 3𝑕𝑒 + 0.5 + 1.18 𝑑 − 𝑑´ 𝑑2

Esta expresión es válida para secciones con refuerzo simétrico dispuesto en una capa paralela al eje alrededor del cual se produce la flexión. Cuando la falla es balanceada, el refuerzo en tensión alcanza el esfuerzo de fluencia y simultáneamente, el concreto llega a una deformación unitaria de 0.003. La deformación en la sección es como se muestra en la figura 6.7.b. En este caso, la resistencia de la columna será: 𝑃𝑛𝑏 = 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑎𝑏 + 𝐴´𝑠 𝑓𝑦 − 𝐴𝑠 𝑓𝑦 𝑕 𝑎𝑏 𝑕 𝑕 − + 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 − 𝑑´ + 𝐴𝑠 𝑓𝑦 𝑑 − 2 2 2 2

𝑀𝑛𝑏 = 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑎𝑏 Donde:

(6.10)

6117

𝑘𝑔

𝑎𝑏 = 𝛽1 6117:𝑓 𝑑 𝑦

(𝐸𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑟á𝑐𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠, 𝑐𝑚2) 611.7

𝑎𝑏 = 𝛽1 611.7:𝑓 𝑑 𝑦

(𝐸𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑆𝐼)


(6.11) (6.12) (6.12 − 𝑎) 23


Figura 6.7. Tipos de fallas de columnas sometidas a flexo-compresión La excentricidad balanceada de la sección estará dada por: 𝑀𝑛𝑏 𝑒𝑏 = 𝑃𝑛𝑏


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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS Whitney propuso las siguientes expresiones simplificadas para la determinación de la excentricidad balanceada de una sección: − 𝑆𝑒𝑐𝑐. 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟: 𝑒𝑏 = 𝑕 0.20 + 0.77𝜌𝑡 𝑚 − 𝑆𝑒𝑐𝑐. 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟: 𝑒𝑏 = 𝑕 0.24 + 0.39𝜌𝑡 𝑚 Donde: 𝜌𝑡 =

𝐴𝑠𝑡 𝑏𝑑

𝑓𝑦

; 𝑚 = 0.85𝑓´

𝑐

Si la columna falla por tracción, el acero en tensión alcanzará el esfuerzo de fluencia, la carga última será menor que 𝑃𝑛𝑏 y la excentricidad de la carga será mayor que la excentricidad balanceada. La deformación en la sección será la mostrada en la figura 6.7.c. y su resistencia estará dada por: 𝑃𝑛 = 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑎 + 𝐴´𝑠 𝑓𝑦 − 𝐴𝑠 𝑓𝑦 𝑕 𝑎 𝑕 𝑕 𝑀𝑛 = 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑎 − + 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 − 𝑑´ + 𝐴𝑠 𝑓𝑦 𝑑 − 2 2 2 2

(6.13) (6.14)

La resistencia nominal de una columna que falla por tensión se puede determinar aproximadamente a través de la siguiente expresión, propuesta por el código del ACI de 1963: CONCRETO ARMADO I – UNIDAD IV - Ing. E. De La Rosa Ríos

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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS 𝑃𝑛 = 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑑

𝑒´ −𝜌 + 1 − + 𝑑

𝑒´ 1− 𝑑

2

+ 2𝜌𝑚´ 1 −

𝑑´ 𝑒´ + 2𝜌 𝑑 𝑑

𝑕

Donde: 𝑚´ = 𝑚 − 1 ; 𝑒´ = 𝑒 + 𝑑 − 2 . La expresión anterior es válida para secciones simétricas. La representación gráfica de las combinaciones carga axial-momento flector que generan la falla de una sección se denomina diagrama de interacción. En la figura 6.8 se muestra un diagrama típico de una sección rectangular con refuerzo simétrico. El punto A corresponde a la carga axial de rotura teórica cuando la sección no está sometida a flexión. En la sección 5.2.1 se indicó que el código del ACI recomienda tomar un porcentaje de esta carga como resistencia de la sección. La recta BC responde a esta limitación. El punto D de la curva representa la combinación de carga y momento que define la condición balanceada. Las combinaciones carga axial-momento contenidas en el tramo CD generan fallas por compresión, mientras que en el tramo DE, las fallas son por tensión. El punto E del diagrama de interacción representa un estado de flexión pura en el elemento. El comportamiento en este caso es similar al de una viga.


26


Figura 6.8. Diagrama de interacción de una sección rectangular con refuerzo simétrico. CONCRETO ARMADO I – UNIDAD IV - Ing. E. De La Rosa Ríos

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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS En el diagrama presentado en la figura 6.8, se puede observar que: 1. La máxima carga axial que puede soportar una columna corresponde a la combinación carga axial-momento flector en la cual el momento es nulo. 2. El máximo momento flector que puede soportar una columna no corresponde al estado de flexión pura. 3. Cada carga axial se combina sólo con un momento flector para producir la falla mientras que cada momento flector puede combinarse con dos cargas axiales para lograr el mismo efecto. 4. Todos los puntos dentro del diagrama de interacción, como el punto F, representan combinaciones carga axial-momento flector que pueden ser resistidas por la sección. Los puntos fuera del diagrama, como el punto G, son combinaciones que ocasionan la falla. 5. Una recta que une el origen con un punto sobre el diagrama de interacción puede interpretarse como la historia de carga de una sección con carga excéntrica fija que es incrementada hasta la rotura. El diagrama de interacción representa todas las combinaciones de falla y por ende constituye una descripción completa de la capacidad resistente de una sección.


28

UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS 6.5.3 Diseño de columnas cortas de concreto armado Para estimar, en principio, las dimensiones de la sección, se suele emplear expresiones como las siguientes:  Para columnas con estribos:

𝐴𝑔 ≥ 0.45

𝑃𝑢 𝑓´𝑐 :𝑓𝑦 𝜌𝑡

(6.15)

 Para columnas con refuerzo en espiral: 𝐴𝑔 ≥ 0.55 Donde: 𝜌𝑡 =


(6.16)

𝐴𝑠𝑡 𝐴𝑔

A partir del área estimada, se definen las dimensiones de la sección del elemento, las cuales suelen ser múltiplos de 5 cm. Si la columna está sometida a momentos flectores elevados, el área estimada a través de las expresiones (6.15) y (6.16) puede resultar insuficiente. Si la columna estuviera sometida a compresión pura, el área de acero se determinaría directamente a través de la expresión (6.4) ó (6.5). Se escogen las varillas y se distribuye el refuerzo. CONCRETO ARMADO I – UNIDAD IV - Ing. E. De La Rosa Ríos

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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS Si la columna está sometida a flexo-compresión, se emplean los diagramas de interacción presentados en el apéndice C. Es necesario definir una distribución de refuerzo para escoger el diagrama de interacción a utilizar. Se evalúan las cargas Pu y Mu, y se calcula 𝑒 𝑃𝑢 y . Con el primer valor se ingresa al diagrama de interacción por el eje vertical y 𝑓´ 𝐴 𝑐 𝑔

𝑕

se ubica sobre la recta e/h correspondiente, el punto que corresponde a la condición de carga analizada. De acuerdo a la distribución de los diagramas para diferentes cuantías de refuerzo, se estima una cuantía para dicho punto. Para optimizar el diseño, se puede repetir el proceso con otras distribuciones de refuerzo, evaluando las cuantías en cada caso. Finalmente se elige la sección más eficiente, es decir, la que requiera menos refuerzo. De ser preciso, se reconsidera las dimensiones de la sección transversal.

Limitaciones del refuerzo en miembros a compresión El código del ACI recomienda una cuantía mínima y una cuantía máxima de refuerzo que se debe utilizar en columnas, de acuerdo a algunos criterios que se presentan a continuación (ACI-10.9). En la figura 6.9 se muestran algunas distribuciones de acero longitudinal.


30


Figura 6.9. Distribuciones típicas de acero longitudinal.


31

UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS 6.5.4 DESARROLLO DE LOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN

 Si se aplica una carga axial de compresión a un miembro corto de concreto, éste quedará sometido a una deformación unitaria uniforme o acortamiento, como se muestra en la figura 6.10(a).  Si un momento sin ninguna carga axial se aplica al mismo miembro, el resultado será una flexión respecto al eje neutro del miembro, tal que la deformación unitaria será proporcional a la distancia del eje neutro. Esta variación lineal de la deformación se muestra en la figura 6.10(b).  Si se aplican al mismo tiempo una carga axial y un momento, el diagrama resultante de deformación unitaria será una combinación de dos diagramas lineales que también será lineal, como se ilustra en la figura 6.10(c).

 Como resultado de esta linealidad, podemos suponer ciertos valores numéricos para la deformación unitaria en una parte de la columna y determinar las deformaciones unitarias en otras partes por medio de la interpolación lineal. Figura 6.10 Deformaciones unitarias en la columna. CONCRETO ARMADO I – UNIDAD IV - Ing. E. De La Rosa Ríos

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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS  Al cambiar la carga axial aplicada a una columna, el momento que la columna puede resistir también cambiará. En esta sección se muestra cómo puede desarrollarse una curva de interacción para los valores nominales de la carga axial nominal y del momento para una columna particular.  Suponiendo que el concreto en el borde de compresión de la columna falla a una deformación unitaria de 0.003, se puede suponer una deformación unitaria en el borde alejado de la columna y calcular por estática los valores de 𝑃𝑛 y 𝑀𝑛 . Luego, manteniendo la deformación unitaria de compresión a 0.003 en el borde extremo, podemos suponer una serie de diferentes deformaciones unitarias en el otro borde y calcular 𝑃𝑛 y 𝑀𝑛 para cada valor diferente. Finalmente se obtendrá un número de valores suficiente para representar gráficamente una curva de interacción como la que se muestra en la figura 6.8.  Para elaborar curvas de interacción nominal de la sección de una columna, se procede de la siguiente manera: 1. Se definen diferentes posiciones del eje neutro. 2. Para cada posición del eje neutro se calculan las deformaciones unitarias en cada fibra de la pieza, tomando como base la deformación máxima del concreto 𝜖𝑐 = 0.003 (𝐴𝐶𝐼 − 10.3.3).

3. En función de las deformaciones en el acero y en el concreto se determinan los diagramas de esfuerzos en el concreto y la magnitud de los esfuerzos en el acero. 4. Se calculan los momentos flectores centroidales y cargas axiales internas, que por equilibrio deben ser iguales a los momentos flectores y cargas axiales externas solicitantes. (ACI-10.3.1).


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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS EJEMPLO 6.5 Dibujar la curva de interacción de cargas nominales y momentos flectores nominales respecto al eje centroidal x de la columna de la figura 6.11, tomando ejes neutros paralelos a 𝑘𝑔 𝑘𝑔 dicho eje. Si el 𝑓´𝑐 = 210 𝑐𝑚2 𝑦 𝑒𝑙 𝑓𝑦 = 4 200 𝑐𝑚2 . 8∅#6

𝐴𝑠1 = 8.52 𝑐𝑚2 𝐴𝑠2 = 5.68 𝑐𝑚2 𝐴𝑠3 = 8.52 𝑐𝑚2

Figura 6.11

La deformación unitaria que ocasiona la fluencia en el acero es: 𝑓𝑦 4200 𝜖𝑦 = = = 0.00206 𝐸𝑠 2039000

Para 𝜖𝑠 < 𝜖𝑦 : 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑓𝑠 = 𝐸𝑠 𝜖𝑠

(𝐴𝐶𝐼 − 10.2.4)

Para 𝜖𝑠 > 𝜖𝑦 : 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦

(𝐴𝐶𝐼 − 10.2.4)


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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS  Punto 1 del diagrama de interacción: se supone que todas las fibras tienen deformación unitaria igual a la máxima deformación permitida por el concreto 𝜖𝑐 = 0.003, lo que es equivalente a la ubicación del E.N. en el infinito. Cálculo de deformaciones unitarias: 𝜀1 = 0.003 > 0.00206 𝜀2 = 0.003 > 0.00206 𝜀3 = 0.003 > 0.00206 Cálculo de esfuerzos en el acero:

Cálculo de fuerza de compresión en el concreto: 𝐶𝑐 = 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑎 = 0.85 210 40 40 = 285600 𝑘𝑔

𝑓𝑠1 = 𝑓𝑦 = 4 200 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓𝑠2 = 𝑓𝑦 = 4 200 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓𝑠3 = 𝑓𝑦 = 4 200 𝑘𝑔/𝑐𝑚2

Cálculo de fuerza de compresión en el acero: 𝑃1 = 𝐴𝑠1 𝑓𝑠1 = 8.52 4 200 = 35 784 𝑘𝑔 𝑃2 = 𝐴𝑠2 𝑓𝑠2 = 5.68 4 200 = 23856 𝑘𝑔 𝑃3 = 𝐴𝑠3 𝑓𝑠3 = 8.52 4 200 = 35 784 𝑘𝑔 Cálculo de carga axial nominal: 𝑃𝑛1 = 𝐶𝑐 + 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 = 285 600 + 35 784 + 23 856 + 35 784 = 381 024 𝑘𝑔 = 381.0 𝑡 𝑷𝒏𝟏 = 𝟑𝟖𝟏. 𝟎 𝒕 CONCRETO ARMADO I – UNIDAD V - Ing. E. De La Rosa Ríos

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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS Cálculo del momento flector nominal con respecto al eje centroidal x: 𝑀𝑛1 = 285600 0 + 35 784 14 + 23856 0 − 35 784 14 = 0.0 𝑴𝒏𝟏 = 𝟎. 𝟎  Punto 2 del diagrama de interacción: El E.N. es paralelo al eje x, y coincide con el borde inferior de la sección transversal de la columna. La deformación unitaria en el borde superior es la máxima permitida por el concreto 𝜖𝑐 = 0.003. Cálculo de deformaciones unitarias: 34 = 0.00255 > 0.00206 40 20 𝜀2 = 0.003 = 0.0015 < 0.00206 40 6 𝜀3 = 0.003 = 0.00045 < 0.00206 40 𝜀1 = 0.003

Cálculo de esfuerzos en el acero: 𝑓𝑠1 = 𝑓𝑦 = 4 200 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓𝑠2 = 𝐸𝑠 𝜀2 = 2039000 0.0015 = 3 058.5 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓𝑠3 = 𝐸𝑠 𝜀3 = 2039000 0.00045 = 917.6 𝑘𝑔/𝑐𝑚2

Cálculo de fuerza de compresión en el concreto: 𝐶𝑐 = 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑎 = 0.85 210 40 34.0 = 242 760 𝑘𝑔 CONCRETO ARMADO I – UNIDAD V - Ing. E. De La Rosa Ríos

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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS Cálculo de fuerza de compresión en el acero: 𝑃1 = 𝐴𝑠1 𝑓𝑠1 = 8.52 4 200 = 35 784 𝑘𝑔 𝑃2 = 𝐴𝑠2 𝑓𝑠2 = 5.68 3 058.5 = 17 372.3 𝑘𝑔 𝑃3 = 𝐴𝑠3 𝑓𝑠3 = 8.52 917.6 = 7 818.0 𝑘𝑔 Cálculo de carga axial nominal: 𝑃𝑛2 = 𝐶𝑐 + 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 = 242 760 + 35 784 + 17 372.3 + 7 818.0 = 303734.3 𝑘𝑔 = 303.7 𝑡 𝑷𝒏𝟐 = 𝟑𝟎𝟑. 𝟕 𝒕

Cálculo del momento flector nominal con respecto al eje centroidal x: 𝑀𝑛2 = 242 760

20 −

34.0 + 35 784 14 + 17 372.3 0 − 7 818 14 = 1 119 804 kg. cm 2

𝑴𝒏𝟐 = 𝟏 𝟏𝟏𝟗. 𝟖 𝒕.cm

 Punto 3 del diagrama de interacción: El E.N. es paralelo al eje x, y está a 10 cm por encima del borde inferior de la sección transversal de la columna. La deformación unitaria en el borde superior es la máxima permitida por el concreto 𝜖𝑐 = 0.003.

Cálculo de deformaciones unitarias: 24.0 = 0.00240 > 0.00206 30.0 10.0 𝜀2 = 0.003 = 0.00100 < 0.00206 30.0 4.0 𝜀3 = 0.003 = 0.00040 < 0.00206 30.0 𝜀1 = 0.003

CONCRETO ARMADO I – UNIDAD V - Ing. E. De La Rosa Ríos

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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS Cálculo de esfuerzos en el acero: 𝑓𝑠1 = 𝑓𝑦 = 4 200 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓𝑠2 = 𝐸𝑠 𝜀2 = 2039000 0.0010 = 2 039 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓𝑠3 = 𝐸𝑠 𝜀3 = 2039000 0.00040 = 815.6 𝑘𝑔/𝑐𝑚2

Cálculo de fuerza de compresión en el concreto: 𝐶𝑐 = 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑎 = 0.85 210 40 25.5 = 182 070 𝑘𝑔 Cálculo de fuerza de compresión en el acero: 𝑃1 = 𝐴𝑠1 𝑓𝑠1 = 8.52 4 200 = 35 784 𝑘𝑔 𝑃2 = 𝐴𝑠2 𝑓𝑠2 = 5.68 2 039 = 11 581 .52 𝑘𝑔 𝑃3 = 𝐴𝑠3 𝑓𝑠3 = 8.52 815.6 = 6 948.91 𝑘𝑔 Cálculo de carga axial nominal: 𝑃𝑛3 = 𝐶𝑐 + 𝑃1 + 𝑃2 − 𝑃3 = 18 2 070 + 35 784 + 11 581.52 − 6 948.91 = 222 486.61 𝑘𝑔 = 222.5 𝑡 𝑷𝒏𝟑 = 𝟐𝟐𝟐. 𝟓 𝒕

Cálculo del momento flector nominal con respecto al eje centroidal x: 𝑀𝑛3 = 182 070

20 −

25.5 + 35 784 14 + 11 581.52 0 − 6 948.91 14 = 1 723 698.76 kg. cm 2

𝑴𝒏𝟑 = 𝟏 𝟕𝟐𝟑. 𝟕𝒕. 𝒄𝒎


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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS  Punto 4 del diagrama de interacción: El E.N. es paralelo al eje x, y está a 20 cm por encima del borde inferior de la sección transversal de la columna. La deformación unitaria en el borde superior es la máxima permitida por el concreto 𝜖𝑐 = 0.003. Cálculo de deformaciones unitarias: 𝜀1 = 0.003 𝜀2 = 0.0 𝜀3 = 0.003

Cálculo de esfuerzos en el acero:

14.0 = 0.00210 > 0.00206 20.0

14.0 = 0.00210 < 0.00206 20.0

𝑓𝑠1 = 𝑓𝑦 = 4 200 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓𝑠2 = 𝐸𝑠 𝜀2 = 2039000 0.0 = 0.0 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓𝑠3 = 𝑓𝑦 = 4 2000 𝑘𝑔/𝑐𝑚2

Cálculo de fuerza de compresión en el concreto: 𝐶𝑐 = 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑎 = 0.85 210 40 17 = 121 380 𝑘𝑔 Cálculo de fuerza de compresión en el acero: 𝑃1 = 𝐴𝑠1 𝑓𝑠1 = 8.52 4 200 = 35 784 𝑘𝑔 𝑃2 = 𝐴𝑠2 𝑓𝑠2 = 5.68 0.0 = 0.0 𝑘𝑔 𝑃3 = 𝐴𝑠3 𝑓𝑠3 = 8.52 4 200 = 35 784 𝑘𝑔 Cálculo de carga axial nominal: 𝑃𝑛4 = 𝐶𝑐 + 𝑃1 + 𝑃2 − 𝑃3 = 121 380 + 35 784 + 0.0 − 35 784 = 121 380 𝑘𝑔 = 121.38 𝑡 𝑷𝒏𝟒 = 𝟏𝟐𝟏. 𝟑𝟖 𝒕


39

UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS Cálculo del momento flector nominal con respecto al eje centroidal x: 𝑀𝑛4 = 121 380 20 − 𝑴𝒏𝟒 = 𝟐 𝟑𝟗𝟕. 𝟖 𝒕.m

17 2

+ 35 784 14 + 0 0 + 35 784 14 = 2 397 822 kg.cm

 Punto 5 del diagrama de interacción: El E.N. es paralelo al eje x, y está a 32.66 cm por encima del borde inferior de la sección transversal de la columna (la posición fue obtenida por tanteo hasta alcanzar flexión pura). La deformación unitaria en el borde superior es la máxima permitida por el concreto 𝜖𝑐 = 0.003. Cálculo de deformaciones unitarias:

1.34 = 0.000548 < 0.00206 7.34 12.66 𝜀2 = 0.003 = 0.005174 > 0.00206 7.34 26.66 𝜀3 = 0.003 = 0.010896 > 0.00206 7.34 𝜀1 = 0.003

Cálculo de esfuerzos en el acero:

𝑓𝑠1 = 𝐸𝑠 𝜀1 = 2039000 0.000548 = 1 117.4 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓𝑠2 = 𝑓𝑦 = 4 2000 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓𝑠3 = 𝑓𝑦 = 4 2000 𝑘𝑔/𝑐𝑚2

Cálculo de fuerza de compresión en el concreto: 𝐶𝑐 = 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑎 = 0.85 210 40 6.24 = 44 553.6 𝑘𝑔


40

UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS Cálculo de fuerza de compresión en el acero: 𝑃1 = 𝐴𝑠1 𝑓𝑠1 = 8.52 1 117.4 = 9 520. 2𝑘𝑔 𝑃2 = 𝐴𝑠2 𝑓𝑠2 = 5.68 4 200 = 23 856 𝑘𝑔 𝑃3 = 𝐴𝑠3 𝑓𝑠3 = 8.52 4 200 = 35 784 𝑘𝑔

Cálculo de carga axial nominal:

𝑃𝑛5 = 𝐶𝑐 + 𝑃1 − 𝑃2 − 𝑃3 = 44 553.6 + 9 520 − 23 856 − 35 784 = −5562.4 𝑘𝑔 = −5.6 𝑡 𝑷𝒏𝟓 = −𝟓. 𝟔 𝒕 = 𝟎. 𝟎 𝒕

Cálculo del momento flector nominal con respecto al eje centroidal x: 𝑀𝑛5 = 44 553.6 20 − 𝑴𝒏𝟓 = 𝟏 𝟑𝟖𝟔. 𝟑𝒕.cm

6.24 2

+ 9 520 14 + 23 856 0 + 35 784 14 = 1386320.8 kg.cm CURVA DE INTERACCIÓN NOMINAL 450.0 400.0

0.0, 381.0 350.0

Mn 0.0 1119.8 1723.7 2397.8 1386.3

Pn 381.0 303.7 222.5 121.4 0.0

1119.8, 303.7

300.0 Pn (t)

Punto 1 2 3 4 5

250.0

1723.7, 222.5 200.0 150.0

2397.8, 121.4 100.0 50.0 0.0

1386.3, 0.0 0.0

500.0

Figura 6.12

1000.0

1500.0

2000.0

2500.0

3000.0

Mn (t-cm)


41

UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS 6.5.5 MODIFICACIONES DE CÓDIGO A LOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN DE COLUMNA Si se preparan curvas de interacción para los valores de 𝑃𝑛 y 𝑀𝑛 , serían del tipo mostrado en las figuras 6.12 y 6.13. Para usar tales curvas para obtener valores de diseño, tendrían que pasar por tres modificaciones como se especifica en el código. Estas modificaciones son como sigue: a) El artículo 9.3.2 del código especifica factores de reducción de resistencia o factores 𝜙(0.65 para columnas con estribos y 0.75 para columnas zunchadas) que deben multiplicarse por los valores de 𝑃𝑛 . Si una curva 𝑃𝑛 para una columna específica se multiplicara por 𝜙 el resultado sería una curva como la mostrada en la figura 6.13.

Figura 6.13: Curvas para 𝑃𝑛 y 𝜙𝑃𝑛 para una columna individual. CONCRETO ARMADO I – UNIDAD V - Ing. E. De La Rosa Ríos

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UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS b) La segunda modificación también se refiere a los factores 𝜙. El código especifica valores de 0.65 y 0.75 para columnas con estribos y zunchadas, respectivamente. Si una columna tiene un momento muy grande y una carga axial muy pequeña, de modo que se ubica en la parte inferior de la curva entre los puntos D y E (véase la figura 6.8), el uso de estos valores pequeños de 𝜙 es poco razonable. Por ejemplo, para un miembro en flexión pura (punto E en la misma curva) la 𝜙 especificada es de 0.90, pero si el mismo miembro tiene una carga axial añadida muy pequeña, 𝜙 se reduce inmediatamente a 0.65 o 0.75. Por consiguiente, el código (9.3.2.2) establece que cuando los miembros sometidos a carga axial y flexión tienen deformaciones unitarias netas de tensión (𝜖𝑡 ) entre los límites para secciones controladas a compresión y secciones controladas a tensión, se sitúan en la zona de transición para 𝜙. En esta zona es permisible aumentar 𝜙 linealmente de 0.65 o 0.75 a 0.90 a medida que 𝜖𝑡 aumenta del límite controlado a compresión a 0.005. A este respecto, se remite al lector nuevamente a la figura 6.14 repetida de la unidad II donde la zona de transición y la variación de los valores de 𝜙 se muestran claramente.

c) Como se describe en la sección 6.5, las cargas permisibles máximas de las columnas se especificaron sin importar cuán pequeños fueran sus valores e. Como consecuencia, la parte superior de cada curva de interacción de diseño se muestra como una línea horizontal que representa el valor apropiado para columna con estribos y zunchadas de: 𝑃𝑢 = 𝜙𝑃𝑛(𝑚á𝑥) = 0.80𝜙 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 +𝐴𝑠𝑡 𝑓𝑦

(Ec. 10-1, ACI)

(6.4)

𝑃𝑢 = 𝜙𝑃𝑛(𝑚á𝑥) = 0.85𝜙 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 +𝐴𝑠𝑡 𝑓𝑦

(Ec. 10-1, ACI)

(6.5)


43


Figura 6.14 Variación de φ con deformación unitaria neta en tensión 𝜺𝒕 y c/dt para refuerzo de Grado 60 y para acero de presfuerzo. (Repetida de Unidad II).


44

UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS Estas fórmulas se desarrollaron para dar resultados aproximadamente equivalentes a los de las cargas aplicadas con excentricidades de 0.10h para columnas con estribos y 0.05h para columnas zunchadas. Cada una de las tres modificaciones descritas aquí está indicada en la curva de diseño de la figura 6.8. En la figura 6.8, la línea curva continua representa a 𝑃𝑢 y 𝑀𝑢 , mientras que la línea curvada punteada es 𝑃𝑛 y 𝑀𝑛 . La diferencia entre las dos curvas es el factor 𝜙. Las dos curvas tendrían la misma forma si el factor 𝜙 no variara. Por encima de la línea radial rotulada como “caso balanceado”, 𝜙 = 0.65 (0.75 para espirales). Debajo de la otra línea radial etiquetada como “deformación unitaria de 0.005”, 𝜙 = 0.9. Varía entre los dos valores en promedio y la curva 𝑃𝑢 contra 𝑀𝑢 adopta una forma diferente. 6.5.6 DISEÑO Y ANÁLISIS DE COLUMNAS CARGADAS EXCÉNTRICAMENTE USANDO LOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN Si los diagramas de interacción individuales para columna se prepararan como se describió en las secciones anteriores, sería necesario tener un diagrama para cada sección transversal diferente de columna, para cada conjunto diferente de calidad de concreto, de acero y para cada colocación diferente de las varillas. El resultado sería un número astronómico de diagramas. Sin embargo, el número puede reducirse considerablemente si los diagramas se representan gráficamente con ordenadas de 𝐾𝑛 = 𝑃𝑛 /𝑓´𝑐 𝐴𝑔 (en lugar de 𝑃𝑛 ) y con abscisas de 𝑅𝑛 = 𝑃𝑛 𝑒/𝑓´𝑐 𝐴𝑔 𝑕 (en lugar de 𝑀𝑛 ). Los diagramas resultantes normalizados de interacción pueden usarse para secciones transversales con dimensiones ampliamente variables. El ACI ha preparado curvas normalizadas de interacción de esta manera para las diferentes situaciones de la sección transversal y de disposición de las varillas que se muestran en la figura 6.15 y para grados diferentes de acero y concreto. 45 CONCRETO ARMADO I – UNIDAD V - Ing. E. De La Rosa Ríos


columna zunchada circular (d)

Figura 6.15


46

UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS Los diagramas de interacción de columna del ACI se usan en los ejemplos 6.6 a 10.7 para diseñar o analizar columnas para situaciones diferentes. Con objeto de usar correctamente estos diagramas, es necesario calcular el valor de 𝛾 (gamma), el cual es igual a la distancia del centro de las varillas en un lado de la columna al centro de las varillas en el otro lado de la misma, dividida entre h, que es la altura de la sección de la columna (ambos valores se toman en la dirección de la flexión). Usualmente el valor de 𝛾 obtenido se sitúa entre un par de curvas y se tiene que efectuar una interpolación de las lecturas de las curvas entre ambas.

Advertencia Asegúrese de que la ilustración de la columna en el lado derecho superior de la curva de interacción usada concuerda con la columna que se está considerando. En otras palabras, ¿se tienen varillas en dos caras de la columna o sobre las cuatro caras? Si se seleccionan las curvas equivocadas, las respuestas pueden ser incorrectas.


47

UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS Ejemplo 6.6 Diseñar las columnas de sección rectangular capaces de resistir las siguientes combinaciones de cargas: (a) 𝑃𝑛 =180 t. (b) 𝑃𝑛 =320 t. 𝑀𝑛 =30 t-m. 𝑀𝑛 = 7 t-m Usar 𝑓´𝑐 =280 kg/cm2 y 𝑓𝑦 = 4200 kg/cm2. Solución: (a) 𝑃𝑛 = 180 t., 𝑀𝑛 =30 t-m. Para el pre dimensionamiento para columna con estribos se asumirá cuantía de 2%. Haciendo uso de la expresión (6.15):

𝐴𝑔 ≥ 0.45


0.65 180 000 280:4200∗0.02

= 0.45

= 321 𝑐𝑚2

Puede elegirse: 25x25 𝑐𝑚2 , ó 25x30 𝑐𝑚2 , escogemos la de mayor peralte, por ser más resiste a mayores momentos. Para ingresar a los diagramas de interacción se requieren los siguientes valores: 𝑃𝑛 180 000 𝐾𝑛 = = = 0.86 𝑓´𝑐 𝐴𝑔 280 25 ∗ 30 𝑃𝑛 𝑒 30000 100 𝑅𝑛 = = = 0.48; 𝑓´𝑐 𝐴𝑔 𝑕 280 25 ∗ 30 30 Verificar que diagrama se utiliza: CONCRETO ARMADO I – UNIDAD V - Ing. E. De La Rosa Ríos

48

UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS La flexión se presenta en una sola dirección por lo que el refuerzo se distribuirá en las caras más esforzadas de la columna. La distancia entre el refuerzo en ambas caras es aproximadamente: 𝛾𝑕 = 30 − 12 = 18 𝑐𝑚. 18 𝛾= = 0.60 30 Por lo tanto, elegimos la Gráfica 2 : Entrando a las curvas con los valores de 𝑅𝑛 y 𝐾𝑛 , observamos que el punto cae fuera del diagrama, lo que indica que la sección elegida no responde. Rediseñamos la sección: probamos con 25x45 𝑐𝑚2 : 𝑃𝑛 180 000 𝐾𝑛 = = = 0.57 𝑓´𝑐 𝐴𝑔 280 25 ∗ 45 𝑃𝑛 𝑒 30000 100 𝑅𝑛 = = = 0.21; 𝑓´𝑐 𝐴𝑔 𝑕 280 25 ∗ 45 45 𝛾𝑕 = 45 − 12 = 33 𝑐𝑚.

33 = 0.73 45 Interpolando en los diagramas de interacción Gráfica 3 y 4, los valores de 𝛾 = 0.70 𝑦 0.80: 𝛾=

𝛾

0.70

0.73

𝜌𝑔

0.029

0.0278 0.025

0.80


49

UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS 𝐴𝑠 = 𝜌𝑔 𝑏𝑕 = 0.0278 25 45 = 31.28𝑐𝑚2 , Usar 6∅1“ = 30.6 𝑐𝑚2 Diseño de los estribos (suponiendo varillas del #3): (ACI-7.10.5.1)

16𝑑𝑏 = 16 19.1 𝑚𝑚 = 305.6 𝑚𝑚 48𝑑𝑏(𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜) = 48 9.5𝑚𝑚 = 456.0 𝑚𝑚 no< 𝑏 = 250 𝑚𝑚 ← 𝑈𝑠𝑎𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 ∅

3" @25 8

𝑐𝑚.

𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 ∅

6 𝑐𝑚

3∅1" → 3" @25 𝑐𝑚. → 8

33 𝑐𝑚

3∅1" →

Revisión de los requisitos del código: Limitaciones del código ACI para columnas:

45 𝑐𝑚

6 𝑐𝑚 25 𝑐𝑚

(7.6.1) Separación libre entre varillas longitudinales = 3.74 cm > 𝑑𝑏 = 1" = 2.5 𝑐𝑚 ←OK (10.9.1) Porcentaje de acero: 𝜌𝑚í𝑛 = 0.01 < 𝜌 =

30.6 25 45

= 0.0272 < 𝜌𝑚á𝑥 = 0.06 ← 𝑂𝐾

(10.9.2) Numero de varillas = 6 > núm. mín. de 4 ←OK (7.10.5.1) Tamaño mínimo de estribo = #3 para varillas #8← 𝑂𝐾

(7.10.5.2) Separación entre estribos: @25 cm ← 𝑂𝐾 (7.10.5.3) Disposición de estribos: SEPARACION DE BAR𝑅𝐴𝑆 𝐿𝑂𝑁𝐺 = 30.02 > 15𝑐𝑚 ← 𝑵𝑶 𝑪𝑼𝑴𝑷𝑳𝑬 ∴R𝑒𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑎𝑟 la columna.


50

UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS  Probamos con la misma sección de concreto y variando la distribución de varillas de acero con las gráficas 7 y 8 : •••• 0.70 0.73 0.80 𝛾 𝜌𝑔

0.04

0.0379 0.033

•

𝐴𝑠 = 𝜌𝑔 𝑏𝑕 = 0.0379 25 45 = 42.64𝑐𝑚2 , Usar 8∅𝟏" + 𝟐∅

𝟏" 𝟐

= 𝟒𝟑. 𝟑𝟖 𝒄𝒎𝟐

(7.6.1) Separación libre ∅ long. = 1.14 cm < 𝑑𝑏 = 1" = 2.54 𝑐𝑚 ← 𝐍𝐎 𝐂𝐔𝐌𝐏𝐋𝐄

Con: 4∅𝟏

𝟑" 𝟖

+ 𝟐∅

𝟏" 𝟐

= 𝟒𝟐. 𝟖𝟐 𝒄𝒎𝟐

6 cm

•

33 cm

••••

6 cm

25 cm

•

•

6 cm

•

•

33 cm

•

•

6 cm

25 cm

 Probamos cambiando sección de concreto y la distribución de varillas con la gráfica 7 : 𝑃𝑛 𝑓´𝑐 𝐴𝑔

180 000 280 30∗40

𝑃 𝑒

30000 100

= 0.54; 𝑅𝑛 = 𝑛 = = 0.22 𝑓´𝑐 𝐴𝑔 𝑕 280 30∗40 40 28 = 0.70 𝛾𝑕 = 40 − 12 = 28 𝑐𝑚. → 𝛾 = 40 𝜌𝑔 = 0.042 → 𝐴𝑠 = 𝜌𝑔 𝑏𝑕 = 0.042 30 40 = 50.4𝑐𝑚2 , Usar 10∅𝟏" = 𝟓𝟏. 𝟎𝟎𝒄𝒎𝟐

𝐾𝑛 =

=


51

UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS Revisión de los requisitos del código: Limitaciones del código ACI para columnas: (7.6.1) Separación libre entre varillas longitudinales = 3.31 cm > 𝑑𝑏 = 1" = 2.5 𝑐𝑚 ←OK (10.9.1) Porcentaje de acero: 𝜌𝑚í𝑛 = 0.01 < 𝜌 =

51 30 40

= 0.0425 < 𝜌𝑚á𝑥 = 0.06 ← 𝑂𝐾

(10.9.2) Numero de varillas = 10 > núm. mín. de 4 ←OK (7.10.5.1) Tamaño mínimo de estribo = #3 para varillas #8← 𝑂𝐾 (7.10.5.2) Separación entre estribos: @30 cm ← 𝑂𝐾 (7.10.5.3) Disposición de estribos: SEPARACION DE BAR𝑅𝐴𝑆 𝐿𝑂𝑁𝐺 = 11.46 < 15𝑐𝑚 ← 𝑂𝐾 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 ∅ 3" → 8

•

1" → 2

•

•

3" → 8

•

•

2∅1 2∅

3" @30 𝑐𝑚. 8

2∅1

•

6 cm

4∅1" →

𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 ∅

25 cm

33 cm

45 cm

3" @30 𝑐𝑚. → 8 2∅1" → 4∅1" →

• • • • •

6 cm

•

28 cm

• • • •

6 cm

40 cm

6 cm 30 cm


52

UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS (b) 𝑃𝑛 = 320 t., 𝑀𝑛 =7 t-m. Para el predimensionamiento de columna con estribos se asumirá cuantía de 2%. Haciendo uso de la expresión (5.12): 𝑃 0.65 320 000 𝐴𝑔 ≥ 0.45 𝑓´ 𝑢:𝑓 𝜌 = 0.45 280:4200∗0.02 = 1270 𝑐𝑚2 𝑐

𝑦 𝑡

Puede elegirse: 35x35 𝑐𝑚2 , por encontrarse el elemento está prácticamente sometido a compresión pura. Para ingresar a los diagramas de interacción se requieren los siguientes valores: 𝑃𝑛 320 000 𝐾𝑛 = = = 0.93 𝑓´𝑐 𝐴𝑔 280 35 ∗ 35 𝑃𝑛 𝑒 7 000 100 𝑅𝑛 = = = 0.06; 𝑓´𝑐 𝐴𝑔 𝑕 280 35 ∗ 35 35 El refuerzo se distribuirá en las caras más esforzadas de la columna. La distancia entre el refuerzo en ambas caras es aproximadamente: 𝛾𝑕 = 35 − 12 = 23 𝑐𝑚. 23 𝛾= = 0.66 35


53

UNIDAD VI: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS Utilizando los diagramas de interacción correspondiente a las Gráficas 6 y 7, para 𝛾 = 0.6 y 0.7, respectivamente, se obtiene la cuantía: 𝜌𝑔 = 0.0185 𝛾

0.60

0.66

𝜌𝑔

0.019

0.0185 0.018

0.70

𝐴𝑠 = 𝜌𝑔 𝑏𝑕 = 0.0185 35 35 = 22.66𝑐𝑚2 , Usar 8∅

𝟑" 𝟒

= 𝟐𝟐. 𝟕𝟐 𝒄𝒎𝟐

Revisión de los requisitos del código: Limitaciones del código ACI para columnas: (7.6.1) Separación libre entre varillas longitudinales entre capas = 12.1125 cm > 𝑑𝑏 = 1" = 2.5 𝑐𝑚 ←OK 22.72

(10.9.1) Porcentaje de acero: 𝜌𝑚í𝑛 = 0.01 < 𝜌 = = 0.01855 < 𝜌𝑚á𝑥 = 0.06 ← 𝑂𝐾 35 35 (10.9.2) Numero de varillas = 8 > núm. mín. de 4 ←OK (7.10.5.1) Tamaño mínimo de estribo = #3 para varillas #6← 𝑂𝐾 (7.10.5.2) Separación entre estribos: @35 cm ← 𝑂𝐾 (7.10.5.3) Disposición de estribos: SEPARACION DE BAR𝑅𝐴𝑆 𝐿𝑂𝑁𝐺 = 12.1125 < 15𝑐𝑚 ← 𝑂𝐾 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 ∅

2∅

3" → 4

3∅

3" @35 𝑐𝑚. ↓ 8

3" → 4

3" 3∅ → 4

• • • • • • • •

6 cm 23 cm

35 cm

6 cm

35 cm


54



55



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58



59



60



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66


𝟑

𝟏

𝟓 𝟑

"

𝟖 "

𝟐 "

𝟖 "

𝟒

𝟏"

𝟏

𝟑" 𝟖


67


𝟑 𝟏 𝟓 𝟑

"

𝟖 "

𝟐 "

𝟖 "

𝟒

𝟏"

𝟏

𝟑" 𝟖


68

Unidad: Diseño a Flexo Compresión-columnas

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