Matemáticas financieras Unidad 5: Anualidades
Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las siguientes condiciones: 1. Todos los pagos son de igual valor. 2. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo. 3. Todos Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie a la misma tasa. 4. El número de pagos dee ser igual al número de periodos. !e conserva el nomre de anualidad por estar "a mu" arraigado en el tema# aunque no siem siempr pre e se refi refier eran an a peri period odos os anua anuale les s de pago pago.. Algun lgunos os e$em e$empl plos os de anualidades son: 1. 2. 3. 4.
%agos %agos mensua mensuales les por renta renta &oro &oro quincen quincenal al o semanal semanal por sueldo sueldo Aonos Aonos quincena quincenales les o mensuale mensuales s a una cuenta cuenta de de cr'dito cr'dito %agos %agos anuales anuales de de primas primas de p(li)a p(li)as s de seguro seguro de de vida. vida.
*ntervalo o periodo de pago.+!e conoce como intervalo o periodo de pago al tiempo que transcurre entre un pago " otro. %la)o de una anualidad.+ El tiempo que transcurre entre el principio del primer peri period odo o " el fina finall del del últi último mo perio periodo do se deno denomi mina na pla) pla)o o de la anua anualilida dad d " se representa por la letra n. ,enta.+ es el nomre que se da al pago peri(dico que se hace. Clasificación de las anualidades: 5.1 Anualidades simples
Anualidad simple.+ &uando el periodo de pago coincide con el de capitali)aci(n de los intereses. 5.1.1 Anualidades ciertas
Anualidad cierta.+ !us fechas son fi$as " se estipulan de antemano. %or e$emplo: Al reali)ar una compra a cr'dito se fi$a tanto la fecha en que se dee hacer el primer pago# como la fecha para efectuar el último. 5.1.2 Anualidades vencidas
Anualidad vencida.+ Tami'n se le conoce como anualidad ordinaria "# como su primer nomre lo indica# se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su vencimiento# es decir# al final de cada periodo.
5.1.3 Anualidades inmediatas
Anualidad inmediata.+ Es el caso mas común. -a reali)aci(n de los coros o pagos tiene lugar en el periodo inmediatamente siguiente a la formali)aci(n del trato: se compra a cr'dito ho" un articulo que se va a pagar con mensualidades# la primera de las cuales har de reali)arse en ese momento o un mes despu's de adquirida la mercanc/a 0anticipada o vencida. ormulas para calcular el monto " valor actual de anualidades simples# ciertas# vencidas e inmediatas: Monto
M= R[ (1+i)n - 1] ---------------i
Valor Actual
C = R[ 1- (1+i)-n] ---------------i
onde: , renta o pago por periodo 5 monto o valor en el momento de su vencimiento# es el valor de todos los pagos al final de las operaciones. n numero de anualidades o pagos. & valor actual o capital de la anualidad. 6alor total de los pagos en el momento presente.
Ejercicios: Ejerci Ejercicio cio 1.+ 7ue 7ue cant cantid idad ad se acum acumul ular ar/a /a en un seme semest stre re si se depo deposi sita tara ran n 8199#999.99 al finali)ar cada mes en una cuenta de inversiones i nversiones que rinde 3; anual convertile mensualmente.
Al ser una tasa anual convertile convertile mensualmente tenemos: tenemos: 3<199<12 .93 i .93 .93 n &omo lo que se trata es de conocer lo que se acumula en un lapso de tiempo 0en este este caso caso mese meses s " en lo que que e=is e=iste te una una cant cantid idad ad cons consta tant nte e >anu >anual alid idad ad > a aonarse a la operaci(n por lo tanto estamos halando de conocer un monto " en consecuencia consecuencia la formula que utili)aremos es : 5 , ? 01 @ i n + 1 ++++++++++++++++++++ i
5 199 999 ? 0 1 @ .93 + 1 ++++++++++++++++++++ +++++++++++++ .93
-uego tenemos que 199 999 ?.4B49C 84#B49.CB -o anterior tami'n se pudo haer resuelto por medio de la formula de inter's compuesto donde tenemos: tenemos: 5 & 01 @ in
%ode %odemo mos s dedu deduci cirr que que los los prim primer eros os 8199 8199#9 #999 99 gana ganan n inte inter' r's s por por D mese meses# s# los los siguientes por 4#3#2#1 4#3#2#1 " el último no gana inter's sino sino que solo se suman al monto por lo cual podemos decir : 5 199 999 0 1 @ .93 5 199 999 0 1 @ .93 5 199 999 0 1 @ .93 5 199 999 0 1 @ .93 5 199 999 0 1 @ .93
D 4 3 2 1
11D C2 112 DD1 19C 23 19 9C9 193 999 ++++++++++++++++ D4 B41 @ 199 999 los últimos 199 999 que no ganan inter's tenemos 84#B41.99 0esto esta redondeado por los cual es diferente al valor otenido arria en 2 centavos. Una Una mane manera ra ms ms de real reali) i)ar ar lo ante anteri rior or seri seria a medi median ante te la form formul ula a del del inte inter' r's s compuesto llevando el inter's acumulado en cada semestre ms el dep(sito 0199 999 que se hacen al final de cada semestre:
Tiempo inal 1er mes inal 2do mes inal 3er mes inal 4to mes inal Dto mes inal to mes
&antidad 199 999 199 99901@ .931@199 999 293 99901 @ .931 @ 199 999 39C9C901 @ .931 @ 199 999 41B 32.01 @ .931 @ 199 999 D39 C13.DB 01 @ .931 @ 199 999
5onto 199 999 293 999 39C9C9 41B 32. D39 C13.DB 4 B49.CB
Ejercicio 2.+ &ual es el monto de 82#999.99 semestrales depositados durante cuatro aFos " medio en una cuenta ancaria que rinde 2B; capitali)ale semestralmente.
, 2 999 n 4.D<2 4.D<2 C i 2B<199<2 2B<199<2 .14 " utili)an utili)ando do la formula formula para para calcular calcular el monto en operaciones que implican anualidades tenemos: 5 , ? 01 @ i n + 1 ++++++++++++++++++++ ++ i
5 2 999 ? 0 1 @ 9.14C + 1 +++++++++++++++++++++ ++++++++++ 9.14
e donde tenemos 5 2999 01.9BD34B 0 1.9BD34B 832#19.C -o anterior tami'n se pudo haer resuelto por medio de la formula de inter's compuesto donde tenemos: tenemos: 5 & 01 @ in
ormula
5onto D 9D.1 n es igual a B porque los dep(sitos se hacen al final de cada semestre o sea que hasta 5 2999
[email protected]B que transcurre el primer semestre se reali)a el primer deposito. 5 2999
[email protected] D 994.D3 5 2999
[email protected] 4 3BC.C4 D 5 2999
[email protected] 3 BD9.B2 5 2999
[email protected]4 3 3.C2 5 2999
[email protected]3 2 C3 .9B 2 5 2999
[email protected] 2 DCC.2 1 5 2999
[email protected] 2 2B9.99 Total Total 39 19 .C mas los 2999 del ultimo 32 19.C cantidad igual a la otenida con la semestre que no ganan inter's formula del monto en anualidades Una Una mane manera ra ms ms de real reali) i)ar ar lo ante anteri rior or seri seria a medi median ante te la form formul ula a del del inte inter' r's s comp compue uest sto o llev llevan ando do el inte inter' r's s acum acumul ulad ado o en cada cada seme semest stre re ms ms el dep( dep(si sito to 082#999.99 que se hacen al final de cada semestre: Tiempo inal 1er semestre inal 2do semestre inal 3er semestre inal 4to semestre inal Dto semestre inal to semestre inal to semestre inal Bto semestre inal Cto semestre
&antidad 2 999 2 99901@ 9.141@ 2999 2 99901@ 9.141@ 2999 2 99901@ 9.141@ 2999 2 99901@ 9.141@ 2999 2 99901@ 9.141@ 2999 2 99901@ 9.141@ 2999 2 99901@ 9.141@ 2999 2 99901@ 9.141@ 2999
5onto 2 999 4 2B9 BC.2 C B42.2B 13 229 .29 1 91.93 21 49.CB 2 4D.D2 32 19.C
Ejercicio 3.+El doctor Gon)le) deposita 8199.99 al mes de haer nacido su hi$o. &ontinua haciendo dep(sitos mensuales por esa cantidad hasta que el hi$o cumple 1B aFos de edad para# en ese d/a# entregarle lo acumulado como un apo"o para sus estudios. !i durante los primeros seis aFos de vida del hi$o la cuanta pago 3; anual anual conver converti tile le mensu mensualm alment ente# e# " durant durante e los doce doce aFos aFos restan restantes tes pago pago 2; mensual. H&uanto recii( el hi$o a los l os 1B aFosI
%ara resolverlo podemos dividirlo en tres partes dado que tenemos que durante los primeros seis aFos se pago una tasa del 3; anual " una ve) determinado el monto correspondiente a este tiempo podemos calcular los intereses ganados por este monto durante los siguientes 12 aFos# despu's calcu lculamos mos el monto correspondiente a 12 aFos con una tasa del 2; mensual. !oluci(n:
, 199 n 012 2 i 3<199<12 9.93 5 , ? 01 @ i n + 1 +++++++++++++++++++ +++ i
5 199 ? 0 1 @ .93 2 + 1 ++++++++++++++++++++ ++++++++ .93
5 199 024.2422 824#.2 que es el monto correspondiente a 199 pesos depositados mensualmente a una tasa del 3; anual convertile mensualmente durante aFos. A continuaci(n calculamos los intereses ganados por este capital durante 12 aFos a una tasa del 2; mensual " tenemos: 5 & 01 @ i n 5 24 .201 @ .92144 842#19.4 %or ultimo calculamos el monto acumulado de una anualidad de 199 pesos a una tasa del 2; mensual durante 12 aFos 012 J 12 144 n " tenemos: 5 ,? 01 @ i n + 1 ++++++++++++ i
5 199 ? 0 1 @ .92144 + 1 ++++++++++++++++ .92
5 199 0B1D.D4444 8B1#DD.4D. !umando lo acumulado por la primera parte tenemos 842#19.4 @ 8B1#DD.4D 8D9B#B1.C1 que seria la cantidad que reciir/a el hi$o al cumplir los 1B aFos. Ejercicio .+ &ual es el valor actual de una renta de 84D9 pesos depositados al final de cada uno de trimestres si la tasa de inter's es del C; trimestral.
eemos de entender como valor actual la cantidad de dinero que a una tasa del C; trimestral nos permitiera otener 84D9.99 cada trimestre. K sea que si sumamos los 4D9 de cada trimestre otenemos 83#1D9.99 " lo que estamos uscando es una cantidad menor que mas los intereses nos permita otener estos 84D9 por trimestre.
!i oservamos la grafica lo que estamos uscando es la cantidad que en el tiempo cero a una tasa del C; trimestral nos permita otener 4D9 por trimestre. 6isto lo anterior utili)amos la formula del valor actual de una anualidad " tenemos:
&I , 4D9 i 9.9C n & , ?1+ 01@i+n +++++++++++++++++ i
& 4D9 ?1 + 0 1 @ .9C+ +++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++ +++++++++ 9.9C
-o cual nos da 4D9 0D.932CD2B4 82#24.B2 que es el valor que estamos uscando o sea la respuesta a este e$ercicio. &omproaci(n: Utili)ando la formula del inter's compuesto para calcular un capital o valor actual tenemos: & 5 ++++++++++ 01 @ i n " sustitu"endo para cada trimestre tenemos : ormula &
4D9 01 @ .9C1 & 4D9 01 @ .9C2 & 4D9 01 @ .9C3 & 4D9 01 @ .9C4 & 4D9 01 @ .9CD & 4D9 01 @ .9C & 4D9 01 @ .9C Total tal
&apital 412.B4 3B. 34.4B 31B.C 2C2.4 2B.32 24.1 82# 82#2 24. 4.B2 B2 que que es es la la mis misma ma cant cantid idad ad ote oteni nida da por por med medio io de la formula de anualidades
Ejercicio 5.+ 7ue es ms conveniente para comprar un autom(vil:
a %agar 82#999.99 de contado o 813#999.99 de enganche " 81#399.99 al final de cada uno de los 12 meses siguientes# si el inter's se calcula a ra)(n del 42; convertile mensualmente. %ara resolver este prolema deemos ver el valor actual del enganche " los 12 aonos mensuales a esa tasa de inter's " compararlos contra el pago de contado.
, 1399 n 12 i 42<199<12 9.93D Utili)ando la formula del valor actual en anualidades tenemos: & , ?1+ 01@i+n ++++++++++++++++ i
1399 ? 1 +
[email protected]+12 ++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++ ++++ 9.93D
& 81399 0C.3334 lo cual nos da 812#D2.34# si a esto sumamos el enganche 813#999 tenemos 82D#D2.34 que es menor que el pago de contado " por lo tanto es mas conveniente esta opci(n. 5.1. Anualidades anticipadas
Anualidad Anticipada: Es aquella en la que los pagos se efectúan al inicio de cada periodo. En esta los pagos se hacen al principio del periodo# por e$emplo el pago mensual del alquiler de una casa# "a que primero se paga " luego se haita en el inmuele.
-a formula para calcular el valor futuro de la anualidad anticipada es la siguiente: 6alor 6alor futuro de la anualidad anticipada: 5onto 5 , ? 01@i 01 @in + 1 ?01@i i ,enta ,
5 0i ++++++++++++++++++++++++++ ? 01@in + 1 ?01@i
Ejercicio 2 A.+ &ual es el monto de 82#999.99 semestrales depositados durante cuat cuatro ro aFos aFos " medi medio o en una una cuen cuenta ta anc ancar aria ia que que rind rinde e 2B; 2B; capi capita talili)a )al le e semestralmente.
, 2 999 nC i .14 Util Utili) i)an ando do la form formul ula a para para calc calcul ular ar el mont monto o en oper operac acio ione nes s que que impl implic ican an anualidades anticipadas tenemos:
5 , ? 01@in + 1 ?01@i +++++++++++++++++++ ++++++++ i 5 2999 ?02.2D1C4BD 01.14 ++++++++++++++++++++ ++++++++++++++
5 2999 ? 01 @ .14C + 1
[email protected] +++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++ 9.14
!3"#"$.5%&
9.14
,espuesta e$ercicio 2 832#19.C ,enta , 5 0i +++++++++++++++++++++++++ ? 01@in + 1 ?01@i D#134.4424 2.2D1C4BD21 J 1.14
,
D#134.4424 2.D221314
3#4.DBC 0 9.14 ++++++++++++++++++++++++++++++ ?
[email protected]C + 1
[email protected]
82#999.99
'a(la compro(ación ejercicio 2A 1 2000
=
+ 14%
280
=
2280
2
2000
+
2280
=
4280
+ 14%
599.2
=
4879.20
3
2000
+
4879.20
=
6879.2
+ 14%
963.088
=
7842.288
4
2000
+
7842.288
=
9842.288
+ 14%
1377.92
=
11220.20832
5
2000 2000
+
11220.2 0.20832 0832
=
132 13220.20832
+ 14%
1850.829
=
15071.03748
6
2000 2000
+
1507 15071. 1.03 0374 748 8
=
170 17071.03748
+ 14%
2389.945
=
19460.98273
7
2000 2000
+
1946 19460. 0.98 9827 273 3
=
21460.98273
+ 14%
3004.53758
=
24465.52
8
2000
+
24465.52
=
26465.52
+ 14%
3705.1728
=
30170.6928
9
2000
+
30170.6928
=
32170.6928
+ 14%
4503.89699
=
$36,674.5897
5.1.5 Anualidades diferidas
Una anualidad diferida es aquella en que el primer pago se efectúa despu's de transcurrido cierto número de periodos. -os coros o pagos son llevados a cao tiempo despu's de formali)ado el trato 0se pospon pospone e o apla)a apla)a# # es decir decir## el primer primer pago pago es despu' despu's s de transc transcurr urrido ido cierto cierto número de per/odos.
-as formul formulas as para para anuali anualidad dades es diferi diferidas das son las mismas mismas que las anuali anualidad dades es vencidas " anticipadas salvo que estas tienen un periodo de gracia.
Ejercicios: Ejercicio ". Una compaF/a adquiere unos "acimientos de mineralL los estudios de ingenier/a muestran que los traa$os preparatorios " v/as de acceso demoraran aFos. !e estima que los "acimientos en e=plotaci(n rendirn una ganancia anual de 82#499#999.99 suponiendo que la tasa comercial es del B; " que los "acimientos se agotarn despu's de 1D aFos continuos de e=plotaci(n# hllese el valor futuro de la renta que espera otenerse.
6 249999 24 99999 9 ?01 @ 9.9B 9.9B 1D + 1 9.9B 6 8DMD#93.43 En el prole prolema ma anteri anterior or## hlles hllese e el valor valor de utilid utilidad ad que que esper espera a oten otener er## en el momento de la adquisici(n de los "acimientos. 6% 2499999 ?1 ? 1 + 01 @ 9.9B+1D . 9.9B 6% 829MD42#4B.BD 829MD42#4B.BD 01 @ 9.9B+ 812MC4D#41.3B Ejercicio $. Una compaF/a frutera semr( c/tricos que empe)arn a producir dentro de D aFos. -a producci(n anual se estima en 8499#999.99 " ese rendimiento se mantendr por espacio de 29 aFos. Nallar con la tasa del ; el valor presente de la producci(n.
6% 499#999.99 499# 999.99 ?1 ? 1 + 01 @ 9.9+29 84MDB#CB.4B 9.9
6% 84MDB#CB.4B 01 @ 9.9+D 83M42B#3C.C4C 5.1." Anualidades perpetuas Una perpetuidad es una anualidad cu"o pago se inicia en una fecha fi$a " continúa para siempre. A diferencia diferencia de las anualidades a pla)o fi$o# fi $o# cu"o tiempo de percepci(n o de pago es limitado# las anualidades perpetuas son aquella# cu"o pla)o o duraci(n no tiene fin# es decir# permanecen para siempre. &omo el tiempo OnO es infinito no puede estalecerme su monto# como consecuencia s(lo se conoce f(rmulas para el valor actual " para el clculo de la anualidad " de la tasa# en funci(n del valor actual.
En las anualidades a pla)o fi$o# saemos cuando se inician " finali)an los pagos de renta# en tanto que en las anualidades perpetuas# se sae cuando empie)an los pagos pero no cuando terminan. %or e$emplo# con la suposici(n que una compaF/a nunca querar# los dividendos sore sus acciones preferentes pueden considerarse como una perpetuidad. Un caso t/pico " caracter/stico de este tipo de anualidades es cuando se coloca un capital " únicamente se retiran los intereses. i ntereses. Ktro caso común de este tipo de anualidad son las rentas vitalicias que se otorgan a un c(n"uge tras la muerte del otro. El inicio de la renta se da al morir uno de los c(n"uges " se sae que el otro morir# pero no se sae cuando. E$emplo: !upongamos que depositamos en un anco 8l99#999.99 que nos reditúa el 19; anual de inter's compuesto. !i al final de cada aFo retiramos solamente los interesesL producidos o sea 8l9#999.99 de$ando indefinidamente el capital en poder del anco# no cae duda que la percepci(n de esos 8l9#999.99# anuales constitu"e una anualidad " dentro de la suposici(n de que no e=iste una fecha para retirar el capital# la anualidad es perpetua. -a anualidad perpetua se representa:
Kviamente# solo e=iste e=iste valor presente que que viene a ser finito# finito# porque el valor final ser infinito.
(rmula o ecuaci(n de la serie infinita# sirve para calcular el valor actual de una perpetuidad# conociendo la tasa de inter's peri(dica " la cuota. -as perpetuidades permiten calcular rpidamente el valor de instrumentos de renta fi$a 06A% por muchos periodos# P&Q es el rendimiento peri(dico e PiQ la tasa de inter's para cada periodo. %ara el mantenimiento a perpetuidad# el capital dee permanecer intacto despu's de efectuar el pago anual. Ejercicio %. eseo saer cunto deo ahorrar ho"# para otener 81#D99.99 mensual si el inter's que paga la entidad financiera es el 1; mensual.
!oluci(n: i 9.91L & 1#D99L 6A% I
1#D99.99 81D9#999.99 9.91
,espuesta: eo ahorrar ho" 81D9#999.99 para otener mensualmente 81#D99.99. Ejerci Ejercicio cio &. eterm etermina inarr el valor valor actual actual de una anual anualida idad d perpet perpetua ua de 8D#999 8D#999.99 .99 mensuales# asumiendo un inter's de C; anual.
!oluci(n: & D#999L i 09.42<12 9.99DL 6A% 6A% I D#999.99 9.99D
8#.
Ejercicio Ejercicio 1). Nallar Nallar el valor actual actual de una perpetuidad perpetuidad de 8D#999.99 8D#999.99 cu"o primer pago ago se har ar dentro ntro de mes meses# es# con tas tasa nomin omina al del del 12; conve nverti rtile le mensualmente.
% D#999 8D99#999.99 9.91 & D99#999.99 01 @ 9.91+D 84D# 32#B4 ,espuesta.
*ro(lemas de +ondo de Amorti,ación
1. !e estalece un fondo de 8D.999 semestrales que aona el ; capitali)ale semestralmente. Nallar el valor acumulado en D aFos " elaorar el cuadro del fondo. 9.9<2 9.93
D#999 D# 999 ?01 ? 01 @ 9.93 9 .9319 +1 8D#31C.3C 9.93
JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ Una anualidad es un flu$o de ca$a con montos de dinero uniformes# es decir# todos los flu$os son iguales " los movimientos de capitales ocurren a intervalos regulares. -a circulaci(n monetaria es a trav's de pagos de la anualidad. -as anualidades no siempre estn referidas a per/odos anuales de pago. -as f(rmulas de las anualidades permiten despla)ar en el tiempo un grupo de capitales a la ve). El intervalo o periodo de pago 0n# es el tiempo que transcurre entre un pago 0& u otro " el pla)o de una anualidad es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer periodo " el periodo final de pago. ,enta es el pago 0& peri(dico. -os principales elementos que conforman la anualidad son: & %ago %eri(dico# llamado tami'n t'rmino. Es el importe corado o pagado# según sea el caso# en cada per/odo " que no camia en el transcurso de la anualidad. 6# 6# el valor futuro viene a ser la suma de todos los pagos peri(dicos 0&# capitali)ados al final del en'simo per/odo. 6A# 6A# el valor actual viene a ser la suma de todos los pagos peri(dicos 0&# descontados o actuali)ados a una tasa de inter's. i# es la tasa de inter's por per/odo# tiene la caracter/stica de ser simultneamente nominal " efectiva. Tami'n Tami'n representa la tasa anual de efectivo 0TEA. n# otenemos el número de per/odos multiplicando el tiempo ti empo por la frecuencia de capitali)aci(n de los intereses 0ntJm.
