Unidad II.- Método de los Desplazamientos Desplazamientos (Rigideces) Estructuras I
UNIDAD 2 MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENT D ESPLAZAMIENTOS OS O RIGIDECES.
Para el estudio de este método tendremos que realizar una consideración de la convención de signos hasta ahora adoptada en este curso, siguiendo la notación que los textos adoptan para ello. Esta modificación responderá al hecho de que en las estructuras más generales los elementos que las componen (vigas en el caso de los pórticos y barras en el caso de los reticulados) pueden ocupar cualquier posición y que, en consecuencia, para formular el problema en el espacio es conveniente adoptar una convención diferente a la que utilizamos utilizamos hasta ahora. En esta nueva convención utilizaremos un sistema de “coordenadas globales” para definir la estructura y un sistema de “coordenadas locales” referido a cada barra.. En la medida que los métodos de los desplazamientos utilizan como incógnitas los desplazamientos y plantean condiciones de equilibrio de fuerzas y momentos es necesario poder despejar los momentos y fuerzas en función de los desplazamientos.
2.1 CONSIDERACIONES PARA LA APLICACIÓN DEL MÉTODO .
La estructura debe ser Hiperestática o de Vínculos Superabundantes.
Se relaciona las tensiones con las deformaciones elásticas (leyes de Hooke).
Una hipótesis muy común dentro del cálculo estructural es considerar a los elementos de un pórtico plano como si fueran axialmente rígidos A = ∞. Esta hipótesis da buenos resultados con edificios de pequeña altura, al trabajar con ésta hipótesis se reduce notablemente el número de grados de libertad. Se hallarán los desplazamientos en función de la dirección las redundantes, a través de las cargas dadas, para la obtención de la matriz de desplazamientos [D].
1
Unidad II.- Método de los Desplazamientos (Rigideces) Estructuras I
Hallar el grado de indeterminación cinemática de la estructura, aplicando la ecuación: GIC = N° θ + N° Δ Donde: θ= es el número de rotaciones rígidas que se generan en la estructura interna. Δ= es el número de desplazamientos que se pueden generan en una estructura.
1.- Analizar bien la estructura. Predimensionar. Fijar modo físico de trabajo (articulado, empotrado, torsión, plana o espacial, etc.)
2.- Se elige un Sistema Equivalente con las Redundantes como incógnitas a analizar. 3.- Calcular cargas y reacciones en los extremos de cada elemento, como parte del Sistema de Condición Cero.
4.- Para cada redundante se determina el valor de las Rigideces por condición unitaria según la deformación que ésta genere, previo cálculo de las matrices de transformación y su traspuesta de cada barra.
5.- Paso de locales a globales de cada matriz de rigidez de las barras, previo calculo en locales de las mismas.
6.- Ecuación matricial global. F = K . Δ 7.-. Determinada la matriz de Desplazamiento (D) pueden obtenerse por superposición las Acciones o Esfuerzos correspondientes en cada elemento de la Estructura, a través:
∗ =
+
°
De donde: = Matriz de acción o cargas totales aplicadas al sistema general. = Matriz de acciones o cargas aplicadas sobre las redundantes en la condición cero (Reacciones o Momentos por Empotramientos). ° = Matriz de acciones o cargas determinadas en la Condición Unitaria. = Matriz del Desplazamiento inducida por las cargas externas.
Veremos cómo funciona el método de deformación. Este método al igual que los otros métodos manuales desprecian las deformaciones producidas en las barras por efecto de la directa, en relación a las producidas por flexión. O dicho de otra manera aceptan la hipótesis que las barras son indeformables longitudinalmente. Esta hipótesis en general no produce diferencias importantes con otros métodos que no la realizan y permite disminuir considerablemente el número de incógnitas que deben considerarse para definir el desplazamiento de la estructura. De acuerdo a ello, en cualquier pórtico deben ser consideradas como incógnitas los ángulos de giro de todos los nudos que no están empotrados. En cambio los desplazamientos que deben considerarse dependen de las características de la estructura. Utilizando la hipótesis que las barras son indeformables longitudinalmente se puede determinar cuántos desplazamientos de nudos es necesario 2
Unidad II.- Método de los Desplazamientos (Rigideces) Estructuras I
incorporar como incógnitas. Cuando no es necesario determinar ningún desplazamiento se dice que la estructura es de nudos fijos, o “estructura no desplazable”. Cuando deben considerarse desplazamientos se dice que la estructura es de nudos desplazables. Este es el caso de la figura da continuación en el que es necesario considerar un desplazamiento ∆ como incógnita. En este ejemplo deberán considerarse tres incógnitas θB , θC y ∆.
RIGIDEZ (AXIAL). (K 11 , K 21): La rigidez axial de un elemento es el momento necesario en un extremo para producir una deformación unitaria en ese extremo, permaneciendo el otro fijo.
.
1
LEY DE HOOKE
− .
.
− .
1
Δ
3
Unidad II.- Método de los Desplazamientos (Rigideces) Estructuras I
RIGIDEZ ANGULAR. (K 11 , K 21): Se denomina al momento necesario en el extremo apoyado y/o empotrado para producir una rotación unitaria en este extremo, permaneciendo el otro fijo.
Extremos Empotrados
K 11 4
K 21
Empotrado-Articulado
− 2
θij
K 31
K 41
6
6
2
θij
3
2
−
3
3
2
2
RIGIDEZ LINEAL. (K 11 , K 21): La rigidez lineal de un elemento es el momento necesario en el extremo empotrado para producir un desplazamiento unitario en ese extremo, permaneciendo el otro fijo.
Extremos Empotrados
6
2
1
ψij
12
3
Empotrado-Articulado
−
3
2
6
2
12
3
1
ψij
3
3
-
3
3
4
Unidad II.- Método de los Desplazamientos (Rigideces) Estructuras I
RIGIDEZ DE BARRAS ELEMENTALES
5
Unidad II.- Método de los Desplazamientos (Rigideces) Estructuras I
EJEMPLO.-
1.
Determinar la matriz de rigidez de la estructura, hasta hallar los momentos de flexión generados por las condiciones dadas.
2 T/m 4T
Solución:
C
6 T.m
B
AE = ∞
EI = Ctte
3m
1.- Grado de Indeterminación Cinemática. GIC = θ + Δ GIC = 2 + 1 =
D
3 Redundantes
3m
A
6m D1 = K 1
D2 = K 2
B
2.- Sistema Equivalente
C
D3 = K 3
Escogencia de las Redundantes. D
Se determina el sentido de los Desplazamientos y Rotaciones y se plantea el número de indeterminación (D) o rigideces (K). A
MBC
2 t/m
MCB
3.- Condición Cero.
Empotramientos Perfectos ( M E) Se elige la condición de empotrados a fin de determinar los momentos y esfuerzos producidos por las cargas externas a lo largo del elemento de la estructura según la condición de su vinculación.
6m
B
B
R
C
R
V
MBC = + q.L2 /12 2
MCB = - q.L /12 Ver Tabla de Empotramientos RBV = RCV = q.L/12
C V 2
= +2(6) /12
MBC = + 6
2
= -2(6) /12
MBC = - 6
RBV;RCV = + 6 6
Unidad II.- Método de los Desplazamientos (Rigideces) Estructuras I
2.- Sistema Complementario (Condición Unitaria) Rigidez Angular (θ) K11
Para D1 ≠ 0
K21
B
Momentos Por Rigideces ( M° )
K31
C
(Trabajos Producidos)
D
A Coeficientes de Rigidez (K)
K11 = K21 = K31 =
MCB =
4
+
2
=
6
2
=
4
4
=
6
2
K 11 = +1.333
6
6
2
=
M BA= +0.667
=
M BC = +0.667
=
M CB = +0.333
6 4
6 2
=
6
M CD = M DC = 0
MCD = MDC = 0
K 21 = +0.333
=
6
+
4
+
M AB = +0.333
4
=
2
=
6
=
4
2
=
4
MBA = MBC =
2
MAB =
K 31 = +0.167
=
Para D2 ≠ 0
K12
Momentos Por Rigideces ( M° )
K22
B
C
K32
MBC =
D
MCD =
Coeficientes de Rigidez (K)
K12 = K22 = K32 =
2
=
4
+
6
2
=
2
6
4
=
=
+
6
32
4
6
=
+
4
3
MDC = K 12 = +0.333
2
MCB = A
M AB = 0
MAB = MAB = 0
4
4
2
=
=
=
=
2
6 4
6
4
3
2
3
=
M BC = +0.333
=
M CB = +0.667
=
M CD = +1.333
=
M DC = +0.667
K 22 = +2.000 K 32 = +0.667 7
Unidad II.- Método de los Desplazamientos (Rigideces) Estructuras I
Rigidez Lineal ( Δ )
Para D3 = 1 Δ
K13
Momentos Por Rigideces ( M° )
K23
B
C
K33
MAB = MAB =
6
2
=
6
M BC = M CB = 0
MBC = MCB = 0
D
MCD = MDC =
M AB = + 0.167
62
6
2
=
6
32
M CD = M DC + 0.667
A Coeficientes de Rigidez (K)
K13 = K23 = K33 =
6
2
=
2
=
6
12
3
+
6
62
6
32
12
=
K 13 = +0.167
=
K 13 = +0.667
=
3
12
63
+
12
33
K 33 = +0.500
Generación de la Matriz de Rigidez (K)
∗ − ∗ − − −−− ∗ =
=
De donde: = q = Cargas Reales Externas Aplicadas sobre las redundantes (D) E Q = Cargas/ Fuerzas correspondientes de la Condición Cero (M , R)
=
+6
+6
0
6
+4
0
+0
=
;
+6 +4
=
Aplicando la matriz de Rigidez
:
∗ +0
11
12
13
1
+6 =
21
22
23
2
+4
31
32
33
3
8
Unidad II.- Método de los Desplazamientos (Rigideces) Estructuras I
:
+0
∗
+1.333
+0.333
+0.167
+6 = +0.333
+2.000
+0.667
2
+4
+0.667
+0.500
3
+0.167
−
1
1.107
1
=
2
+0.708 +7.425
3
Matriz de Acción de Esfuerzos Solicitados (M)
∗ =
°
+
Determinación de los Momentos de Flexión:
− − =
0
+0.333
0
+0.167
0
+0.667 +0.667
0 +0.333
+0.167 0
+0.667 +1.333
0 +0.667
+0.667
+0.667
+6 + +0.333 6 0 0 0
0
−∗ 1.107
+0.708 +7.425
Resolviendo Obtenemos: +0.87 +0.50
=
+5.50 5.90 +5.90 +5.42
5.50
5.90
0.50
0.50
B
C
5.90
5.50
5.90
5.90
D 0.87
5.42
5.42
A
0.87
Diagrama de Momentos
9
Unidad II.- Método de los Desplazamientos (Rigideces) Estructuras I
3 t/m
Ejercicios Propuestos. A
D
E A=∞
I = Io A=∞
A=∞
4m
I = 4Io
3m
I = 2 Io
8t 2 t/m
8 t/m
B
C
1m
C
A=∞
I = 2 Io
A=∞
2 t/m A=∞
B
I = Io
4m
I = 4Io
3m A=∞ I= ∞
D
4m
A
4m 1.- Hallar la indeterminación Cinemática de la estructura. Aplicando el Método de la Rigidez, determine los momentos flectores y posteriormente grafique el diagrama de Momentos.
2.- Aplique el Método de las Rigideces para determinar la Matriz [K] y determine los Momentos de Flexión. Dibuje su diagrama de Momentos.
5 t/m
3 t/m B
A=∞
B
C
I = 2Io
E
2,5m
C A=∞
A=∞
I = 2Io
I = Io
5 t.m
2m
A=∞
2 t/m A=∞
I = Io/2
I = Io/2
A=∞
A
I = 3Io
2,5m
D
2t
4m
A A=∞
3m
3m
E
I = Io
4m 3.- Aplique el Método de los Desplazamientos para determinar la Matriz de Rigidez. Halle los momentos de flexión y Dibuje su respectivo diagrama.
A=∞
D
I = 2Io
F
4m
4.- Para cada condición unitaria, determine la Matriz de Rigidez [K] y calcule los momentos de flexión a través del Método de los Desplazamientos. Dibuje diagrama de Momentos.
10
Unidad II.- Método de los Desplazamientos (Rigideces) Estructuras I
MOMENTOS POR EMPOTRAMIENTOS ELEMENTOS DOBLEMENTE EMPOTRADOS
TIPO DE CARGA
REACCIONES DE LOS APOYOS
=
q
= A
L
a
=
2
.
L
= −
2
L/2
12
. 2 2
. 2
(3 − 2)
=
3 − 2
= −
2
. 2 2
. 2 2
=
=
=
2
. 8
L/2
L
= −
2
. 8
B
=
M L/2
3 2
.
=
=
.
=
1 .2 30
4
L/2 3
= − . 2
L
=
= L
4
B
q
A
.2
B
P
A
.2 12
b
=
A
=
B P
A
.
MOMENTOS DE LOS APOYOS
3 20
7 20
.
= −
1 .2 20
B
Ing. Eulicer Linares Fdez 15
Unidad II.- Método de los Desplazamientos (Rigideces) Estructuras I
MOMENTOS POR EMPOTRAMIENTOS ELEMENTOS EMPOTRADOS-ARTICULADOS
TIPO DE CARGA
REACCIONES DE LOS APOYOS
q
5
=
8
3
= A
L
a
.2
=
8
.
.
=
32 − 2
23
=
. 22
( + )
b
= L
. 2
2 +
23
B
=
P L/2
11
16
=
3 16
L/2
= A
B P
A
8
.
MOMENTOS DE LOS APOYOS
L
5 16
B
=
M L/2
9 8
.
=
=
7 .2 120
8
L/2 9
= − . 8
A
L
=
q
= A
L
B
9 40
11 40
.
.
B
Ing. Eulicer Linares Fdez 16
