Método de Las Rigideces Falcón Contreras Edgar Omar

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

PROYECTO DE TITULACIÓN

MÉTODO DE LAS RIGIDECES El presente documento explica la elaboración de un programa práctico en Excel por el método de las rigideces para la resolución de estructuras, como pueden ser: vigas, marcos planos y armaduras, en 2D.

d

As r b

Cm Cv

Edgar Omar Falcón Contreras

UNIDAD ZACAENTCO

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA UNIDAD ZACATENCO

PROYECTO DE TITULACIÓN

MÉTODO DE LAS RIGIDECES

Para obtener el título de: Ingeniero Civil

Presenta: Edgar Omar Falcón Contreras

Asesor: Ing. Rufino Revilla Cruz

México, CDMX, 2016

AGRADECIMIENTOS

A mi familia por ser el pilar fundamental en todo lo que soy, en toda mi educación, tanto académica, como de la vida, por su incondicional apoyo mantenido a través de todo este tiempo. A mi mamá, María Mayra Contreras Olivera, por darme todo su cariño y comprensión. A mi papá, Porfirio Falcón Valdez, por apoyarme y darme grandes consejos para lograr cosas extraordinarias. A mis hermanos, Rubí Samanta Falcón Contreras y Noé Orvelin Falcón Contreras, por enseñarme que esforzándote puedes cumplir grandes sueños y metas.

A mis amigos, Tonantzin Pérez Zúñiga, Daniel Antonio Rosales y José Ricardo Martínez Camacho, por acompañarme, aconsejarme, apoyarme y sobre todo por los momentos inolvidables que pasamos durante estos cinco años en la E.S.I.A. Zacatenco. A la Familia Olivos Omaña, por compartir grandiosos momentos y viajes maravillosos. A mis tíos que los quiero muchísimo, pero sobre todo a mis tías, Olga Lidia y Alejandra Amaro que estuvieron conmigo en momentos importantes. A mi asesor de proyecto, el Ing. Rufino Revilla Cruz, por enseñarme, y dedicar tiempo para poder realizar este proyecto. Al Ing. Miguel Moreno Aguilar, por hacerme comprender y ver ingeniería de una manera diferente, asombrosa, del cual aprendí grandes cosas. Al ing. Arnulfo Juárez Valenciano, por apoyarme en el campo laboral y darme las herramientas para competir como profesionista.

MÉTODO DE LAS RIGIDECES Instituto Politécnico Nacional

E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil

Falcón Contreras Edgar Omar

PRÓLOGO Este es un documento introductorio sobre el análisis de estructuras que pretende exponer a la persona que lo consulte las técnicas básicas para la resolución de problemas, así como presentar una herramienta que le permitan realizar su trabajo de una manera más rápida. El método de las rigideces es uno de los métodos más utilizados en el área de estructuras y su relevancia se muestra en el desarrollo y complejidad de estas, más allá de la mera resolución de problemas, en el presente documento se realiza la construcción de un programa en Excel para dar solución a estas estructuras sin tener que depender de un programa sofisticado de cálculo. OBJETIVO

Este documento nace con la intención de ayudar a los estudiantes de ing. Civil a la creación de un software sencillo diseñado en Excel para la resolución de problemas, ofreciendo un método de análisis general que sea práctico, rápido y eficaz, y proporcionando problemas resueltos. Si bien es cierto que es amplia la bibliografía existente sobre el método de las rigideces, no es menos cierto que casi toda obedece a un mismo esquema general. Se presentan las técnicas básicas de resolución de problemas con base a unos ejemplos clásicos, pero ocurre que casi todas las demás bibliografías proponen los mismos problemas y pocos llegan a resolverlos, lo que hace que los estudiantes pierdan de alguna forma las enseñanzas que se extraen de ellos.

1

ÍNDICE 1. GENERALIDADES ...............................................................................................................2 2. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................3 2.1. ¿QUÉ ES LA RIGIDEZ? ........................................................................................................ 3 3. MODELO DE ANÁLISIS Y ANÁLISIS ESTRUCTURAL............................................................4 3.1.

TIPOS DE CARGA............................................................................................................ 4

3.2.

TIPOS DE APOYO ............................................................................................................ 5

4. GRADO DE HÍPERESTATICIDAD (G.H.) .............................................................................7 5. GRADO DE LIBERTAD (G.L.) .............................................................................................. 9 6. ESTRUCTURAS ..................................................................................................................10 6.1.

ARMADURAS .................................................................................................................10

6.2.

VIGAS ............................................................................................................................11

6.3.

MARCOS .......................................................................................................................13

7. MATERIALES .....................................................................................................................14 7.1.

CONCRETO ARMADO .................................................................................................14

7.2.

ACERO ESTRUCTURAL ..................................................................................................16

8. PROPIEDADES GEOMÉTRICAS ........................................................................................17 9. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN ......................................................................................18 10. MATRIZ DE RIGIDECES .....................................................................................................19 10.1. ¿PORQUE LA MATRIZ DE RIGIDEZ SE ENSAMBLO DE ESTA MANERA? .....................41 11. ROTACIÓN DE LA MATRIZ ............................................................................................... 42 12. FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO .......................................................................................48 12.1.

CARGAS NO PERPENDICULARES ............................................................................59

13. RESORTES (APOYOS ELÁSTICOS)....................................................................................61 14. MÉTODO DE RIGIDEZ ......................................................................................................61 15. PROGRAMACIÓN EN EXCEL Y EJERCICIO 1 (MARCO PLANO) ..................................62 15.1.

COMPROBACIÓN DEL EJERCICIO EN SAP 2000 V16 .........................................102


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16. EJERCICIO 2 (MARCO PLANO) ....................................................................................126 17. EJERCICIO 3 (VIGA) .....................................................................................................132 18. EJERCICIO 4 (VIGA) .....................................................................................................137 19. EJERCICIO 5 (VIGA) .....................................................................................................142 20. EJERCICIO 6 (ARMADURA) .......................................................................................... 147 21. EJERCICIO 7 (ARMADURA) .......................................................................................... 155 ANEXO. MANUAL DEL SOFTWARE Y SOFTWARE ................................................................ 162 BIBLIOGRAFÍA

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1.

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GENERALIDADES

Una estructura se diseña para que no falle durante su vida útil. Se reconoce que una estructura falla cuando deja de cumplir su función de manera adecuada. Las formas de falla pueden ser dos: la falla de servicio y la falla por ruptura o inestabilidad. 1. La falla de servicio, es cuando la estructura sale de uso por deformaciones excesivas ya sean elásticas o permanentes. 2. La falla por ruptura (resistencia) o inestabilidad, se da cuando hay movimiento o separación entre las partes de la estructura, ya sea por mal ensamblaje, malos apoyos o rompimiento del material. Todas las estructuras deben cumplir los siguientes objetivos: 

SEGURIDAD. Se determina controlando las deformaciones excesivas que obligan a que salga de servicio, el rompimiento o separación de alguna de sus partes o de todo el conjunto.



FUNCIONALIDAD. La estructura debe mantenerse en funcionamiento durante su vida útil debido a las cargas de solicitación. Un puente que presenta deformaciones excesivas daría la sensación de inseguridad y la gente dejaría de usarlo, en ese momento deja de ser funcional.



ECONOMÍA. El aprovechamiento de los recursos determina un reto para el diseño estructural. En la economía se conjuga la creatividad del ingeniero con su conocimiento.

Fig. 1.1 Museo Jumex. 2


2.

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INTRODUCCIÓN

El método de las rigideces surge a partir de la necesidad de poder realizar análisis estructurales más exactos, con mejores resultados y para estructuras que no se pueden resolver únicamente con las ecuaciones de equilibrio (Estructuras Hiperestáticas). Este método utiliza la notación matricial en el cual se presentan ventajas en el cálculo de estructuras, una de ellas es la simplificación de ecuaciones; las operaciones se hacen más sencillas y determina una base muy conveniente para el desarrollo de programas de computación. Las grandes virtudes del cálculo en computadora es la rapidez con la que se resuelven los problemas, la exactitud de los cálculos y esto hace que se genere un mejor criterio para el diseño; aunque también se debe tener una buena interpretación de la estructura. 2.1. ¿QUÉ ES LA RIGIDEZ? Es un valor que caracteriza el comportamiento resistente de una estructura con un cierto sistema de apoyos sometida a una carga (fuerza o momento), aplicada en una sección y que permite conocer por proporcionalidad el valor de la carga (fuerza o momento) que se requiere aplicar en un punto para obtener un cierto valor del movimiento de la sección de aplicación de la carga en la dirección y sentido de ésta. Rigidez (k). Es la fuerza necesaria para deformar cualquier estructura la unidad1.

k

21

=1

k

11

Fig. 2.1 Rigidez. Esto se puede expresar con la siguiente ecuación: P=k*∆……… Ecuación 2.1. P=Fuerza. k=Rigidez. ∆=Desplazamiento.

1

Apuntes de Clase, Análisis Estructural, Ing. Miguel Moreno Aguilar, E.S.I.A. Zacatenco.

3


3.

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MODELO DE ANÁLISIS Y ANÁLISIS ESTRUCTURAL

Para poder realizar el análisis estructural se necesita hacer un modelo matemático de la estructura, este es una aproximación de la estructura real, esto considerando las cargas que actúan en la estructura y los tipos de apoyo, deben hacerse ciertas idealizaciones sobre cómo están soportados y conectados los miembros entre sí. 3.1.

TIPOS DE CARGA

Las cargas son fuerzas que resultan del peso de todos los materiales de construcción, del peso y actividad de sus ocupantes y del peso del equipamiento, también de efectos ambientales y climáticos, tales como: nieve, viento, etc. Las cargas de diseño de una estructura deben expresarse en códigos tanto de diseño como de construcción; al aplicar estas cargas se deben aplicar los factores de diseño correspondientes de acuerdo a la reglamentación vigente, y también los factores de construcción. Para su análisis se clasifican en: concentradas y distribuidas (constantes y variables). 3.1.1. Concentradas. Como su nombre lo dice estas son las que se aplican en un solo punto de la estructura, estas pueden ser el peso de una máquina.

M

P

Fig. 3.1.1 Cargas Concentradas. 3.1.2. Distribuidas. Uniformemente. Estas cargas son las que se distribuyen en toda el área de la estructura de manera constante; por ejemplo, estas pueden ser el peso propio de la estructura.

w

Fig. 3.1.2.1 Carga Uniformemente Distribuida.

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Variables. Las cargas variables igual que las anteriores, se distribuyen en toda el área pero no de manera uniforme, sino variable, como por ejemplo, el techo de una casa con nieve, estas pueden tener forma triangular, trapezoidal e irregular. w w

Fig. 3.1.2.2 Carga Variable Distribuida. 3.2.

TIPOS DE APOYO

Apoyos. Son las fronteras de los sistemas estructurales, se pueden considerar como nodos que tienen impedidos desplazamientos angulares y lineales. Los apoyos definen las condiciones de frontera, estos son apoyos idealizados para el análisis estructural, en la siguiente tabla se pueden observar los diferentes apoyos y condiciones de frontera: Apoyo Empotrado

Representación

Reacciones

Desplazamientos

Rx ≠ 0 Ry ≠ 0 Mz ≠ 0

dx = 0 dx = 0 θz = 0

Rx ≠ 0 Ry ≠ 0 Mz = 0

dx = 0 dx = 0 θz ≠ 0

Rx = 0 Ry ≠ 0 Mz = 0

dx ≠ 0 dx = 0 θz ≠ 0

Fijo

Móvil

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Guiado Rx = 0 Ry ≠ 0 Mz ≠ 0

dx ≠ 0 dx = 0 θz = 0

Rx = 0 Ry = 0 Mz = 0

dx ≠ 0 dx ≠ 0 θz ≠ 0

Rx ≠ 0 Ry ≠ 0 Mz ≠ 0

dx ≠ 0 dx ≠ 0 θz ≠ 0

Libre

Elástico

Tabla 3.2.1. Apoyos idealizados. A pesar de que estos son apoyos con los que se diseña las estructuras, existe un pequeño problema, en la realidad no se cumple nada de lo prolijamente 2 indicado en la ciencia de la Estática. En una estructura de concreto armado “in situ”, no existe el apoyo articulado perfecto, tampoco el empotrado perfecto, o para ser más amplios, no existe el apoyo articulado ni el empotrado ni perfecto ni imperfecto, porque en concreto armado no se construyen apoyos ideales. En la realidad, los apoyos son nudos y en ellos jamás podremos imaginar un mecanismo de articulación móvil, fija o empotramiento como lo establece la estática. Esto significa que en los apoyos de las vigas siempre existirá un valor de momento flector, porque no hay articulación que anule la flexión.

2

Prolijamente: amplio, desmedido, espacioso, extenso, incalculable, inconmensurable, inmenso, vasto

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4.

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GRADO DE HÍPERESTATICIDAD (G.H.)

Este se define cómo el número de incógnitas (N.I) menos las ecuaciones de equilibrio que se pueden plantear (N.E.E.) (ΣFx=0, ΣFy=0, ΣMz=0)3. G.H. = N.I. – N.E.E. Las ecuaciones de equilibrio proporcionan condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio. Cuando todas las fuerzas de una estructura pueden determinarse estrictamente a partir de esas ecuaciones, la estructura se denomina estáticamente determinada (isostática). Las estructuras que tienen más fuerzas desconocidas que ecuaciones de equilibrio disponibles se llaman estáticamente indeterminadas (hiperestática). G.H. < 0 G.H. = 0 G.H. > 0

Estructura Inestable (Hipostática). Estructura Isostática. Estructura Hiperestática.

Ejemplos: M Rx

Rx Ry

Ry

G.H.= 5-3 G.H.= 2

∴Estructura Hiperestática.

Rx Ry

G.H.= 3-3 G.H.= 0

Ry

∴Estructura Isostática.

Rx Ry

G.H.= 2-3 G.H.= -1

3

∴Estructura Inestable.


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En particular, si una estructura es estáticamente indeterminada (hiperestática), las ecuaciones adicionales necesarias para encontrar las reacciones desconocidas se obtienen al relacionar las cargas aplicadas y reacciones al desplazamiento o pendientes en puntos diferentes sobre la estructura. Esas ecuaciones, conocidas como ecuaciones de compatibilidad, deben ser igual en número al grado de indeterminación de la estructura. Las ecuaciones de compatibilidad contienen las propiedades geométricas y físicas de la estructura, relacionan las deformaciones de barras con los desplazamientos nodales. Introduciendo estas relaciones en las ecuaciones constitutivas, vincula las fuerzas en los extremos de barras con los desplazamientos nodales. Colocando estas últimas semejanzas en las ecuaciones de equilibrio se obtiene un conjunto de ecuaciones de fuerzas nodales en función de desplazamientos nodales, que pueden ser consideradas como “Ecuaciones de Equilibrio” de la estructura en función de desplazamientos. La resolución de este sistema de ecuaciones nos permite obtener el valor de las incógnitas (desplazamientos nodales), a partir de los cuales se obtienen las solicitaciones de las barras de la estructura, así como las reacciones. Para poder relacionar las ecuaciones de compatibilidad es necesario relacionar los momentos internos de la estructura con sus grados de libertad. Se Tomaran los momentos, cortantes y desplazamientos como positivos y negativos como se muestra en las siguientes figuras:

N

VM

VM N

+ -

M V N M V N

+ dx

dx

dy

-

dy

z z

Figura 4.1. Convención de signos.

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5.

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GRADO DE LIBERTAD (G.L.)

Es el número de coordenadas generalizadas mínimo suficiente para describir la configuración deformada de una estructura (dx, dy, θz).4 Cuando se carga una estructura, puntos específicos de ella, llamados nodos, sufrirán desplazamientos. A esos desplazamientos se les llama grados de libertad de la estructura; en el método de las rigideces es importante especificar esos grados de libertad, ya que ellos son las incógnitas cuando se aplica el método. Ejemplos:

dy

G.L.= 1

dy

dy z

G.L.=3

dy dx

dy z

dx

dy z

dx

dy z

dx

dy z

dx

z

G.L.= ∞ En estructuras continuas el grado de libertad es infinito.

4


9


6.

ESTRUCTURAS

6.1.

ARMADURAS

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Una armadura es una estructura compuesta de elementos esbeltos unidos entre sí en sus puntos extremos. Los elementos usados comúnmente en construcción consisten en puntales de madera o barras metálicas. Las conexiones en los nudos están formadas usualmente por pernos o soldadura en los extremos de los miembros unidos a una placa común, o simplemente pasando un gran perno través de cada uno de los miembros. Estas estructuras están muy presentes en nuestro medio; se caracterizan por ser estructuras utilizadas para librar grandes claros. Para diseñar una armadura, es necesario determinar primero la fuerza desarrollada en cada elemento cuando la armadura está sometida a una carga dada y tendremos como hipótesis que las barras solo trabajan a Fuerza Axial (compresión o tensión) y que las fuerzas se aplican en los nodos.

Fig. 6.1. Armadura.

T

c

T

c

Fig. 6.2. Tensión (T, signo positivo) y Compresión (C, signo negativo) de las barras.

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6.2.

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VIGAS

Las vigas son miembros estructurales diseñados para soportar cargas aplicadas perpendicularmente a sus ejes. En general las vigas son barras largas rectas que tienen un área de sección transversal constante o variable. Generalmente se clasifican con respecto a cómo están apoyadas. Nota: Solo se utilizaran secciones constantes.

Fig. 6.2.1 Viga simplemente apoyada.

Fig. 6.2.2 Viga empotrada en un extremo y apoyada en el otro.

Fig. 6.2.3 Viga empotrada.

Fig. 6.2.4 Viga simplemente apoyada con voladizo.

Fig. 6.2.5 Viga continúa.

Fig. 6.2.4 Viga biempotrada.

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El diseño real de una viga requiere un conocimiento detallado de la variación de la fuerza cortante “V” y del momento flexionante “M”, que actúan en cada punto a lo largo del eje de la viga. 6.2.1. Cortante. Son fuerzas internas en el plano de la sección y su resultante debe ser igual a la carga soportada. Esta magnitud es el cortante en la sección. Dividiendo la fuerza cortante por el área “A” de la sección obtienes en el esfuerzo cortante promedio en la sección. La fuerza cortante en cualquier sección de una viga tiene igual magnitud, pero dirección opuesta a la resultante de las componentes en la dirección perpendicular al eje de la propia viga de las cargas externas y reacciones en los apoyos que actúan sobre cualquiera de los dos lados de la sección que se está considerando. 6.2.2. Momento flexionante. Se denomina momento flector al momento de fuerza resultante de una distribución de tensiones sobre una sección transversal de un prisma mecánico flexionado o una placa que es perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexión. El momento flexionante en cualquier sección de la viga tiene igual magnitud, pero dirección opuesta a la suma algebraica de los momentos respecto a la sección que se esté considerando de todas las cargas externas y reacciones en los apoyos que actúan sobre cualquiera de los dos lados de esta sección.

w

Ry= wL/2

Ry=wL/2

V= wL/2

V= wL/2 M= wL²/8

Fig. 6.2.1.2.1. Cortante y Momento flexionante.

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6.3.

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MARCOS

Son otras estructuras cuyo comportamiento está gobernado por la flexión. Están conformados por la unión rígida de vigas y columnas, es una de las formas más populares en la construcción de estructuras de concreto reforzado y acero estructural para edificaciones de vivienda multifamiliar u oficinas.

Fig. 6.3.1. Sistema de Marcos. El diseño de un marco requiere el valor de la fuerza cortante “V”, del momento flexionante “M” y de la fuerza Axial “N” que actúan en cada punto a lo largo del Marco.

Fig. 6.3.2. Marco.

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7.

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MATERIALES

Para utilizar este método se debe tener muy en claro que los materiales se comportaran de una manera lineal (ley de Hooke) e isotrópica. El tipo de material usado en la estructura define la resistencia, la flexibilidad, la durabilidad y muchas otras características de la estructura. Entre los materiales más comunes están el concreto armado y el acero. El avance en el conocimiento de las propiedades de los materiales nos permite que nuestro análisis se acerque más a la realidad. Es parte de nuestra labor seleccionar adecuadamente los materiales para lograr que nuestra estructura sea segura, económica y factible. 7.1.

CONCRETO ARMADO

El concreto simple, sin refuerzo, es resistente a la compresión, pero débil en tensión, lo que limita su aplicabilidad como material estructural. Para resistir tensiones, se emplea refuerzo de acero, generalmente en forma de barras, colocado en zonas donde se prevé que se desarrollaran tensiones bajo las acciones de servicio. El acero restringe la aparición de grietas originadas por la poca resistencia a la tensión del concreto. El uso del refuerzo no está limitado a la finalidad anterior, también se emplea en zonas de compresión para aumentar la resistencia del elemento reforzado, para reducir las deformaciones debidas a cargas de larga duración y para proporcionar confinamiento lateral al concreto, lo que indirectamente aumenta su resistencia a la compresión. La combinación de concreto simple con refuerzo constituye lo que se llama concreto armado. En la actualidad existe una gran variedad de concretos con los que se puede trabajar, ya no debe limitarse a concretos convencionales, sino conocer concretos estructurales o de gama alta, y así saber con exactitud sus propiedades y su comportamiento, tales como el módulo de elasticidad “E”, su resistencia a la compresión simple “fć”, etc., que son parámetros muy importantes en el análisis estructural.

Fig. 7.1.1 Concreto armado.

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De acuerdo a las N.T.C. Concreto, nos especifica dos clases de concreto y a su vez su módulo de elasticidad correspondiente. Concreto clase 1

fć≥250 kg/cm2

Concreto clase 2

200 kg/cm2 ≤fć<250 kg/cm2

Para concretos clase 1, el módulo de elasticidad “E”, se supondrá igual a: 14000 √fć , en kg/cm², para concretos con agregado grueso calizo, y 11000 √fć, en kg/cm², para concretos con agregado grueso basáltico.

Para concretos clase 2 se supondrán igual a: 8000 √fć , en kg/cm²

Fig. 7.1.2. Grafica esfuerzo-deformación del concreto.

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7.2.

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ACERO ESTRUCTURAL

El Acero estructural es uno de los materiales básicos utilizados en la construcción de estructuras, tales como: edificios industriales y comerciales, puentes y muelles. Se produce en una amplia gama de formas y grados, lo que permite una gran flexibilidad en su uso. Es relativamente barato de fabricar y es el material más fuerte y más versátil disponible para la industria de la construcción. Propiedades y cualidades del acero estructural: su alta resistencia, homogeneidad en la calidad y fiabilidad de la misma, soldabilidad, ductilidad, incombustible, pero a altas temperaturas sus propiedades mecánicas fundamentales se ven gravemente afectadas, buena resistencia a la corrosión en condiciones normales. El acero es más o menos un material elástico, responde teóricamente igual a la compresión y a la tensión, sin embargo con bastante fuerza aplicada, puede comenzar a comportarse como un material plástico.

Fig. 7.2.1 Estructura de Acero. De acuerdo a las N.T.C. el módulo de elasticidad del acero estructural es 2040000 kg/cm2.

Fig. 7.2.2. Grafica esfuerzo-deformación del acero.

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8.

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PROPIEDADES GEOMÉTRICAS

Para la aplicación del método como ya se mencionó anteriormente se debe tener idealizada la estructura, tanto cargas, apoyos, materiales, como también las propiedades geométricas de los elementos, y esto se hace con los diferentes códigos de diseño para poder colocar en el caso de las vigas un peralte mínimo, en columnas una sección adecuada para resistir dichas cargas, y en armaduras un área mínima para resistir la tensión o compresión, a esto se le llama pre dimensionamiento, con esto se debe hacer una análisis para evaluar el comportamiento con dichas propiedades geométricas preliminares, al tener evaluados los elementos mecánicos (N,V y M) que actúan sobre nuestra estructura, podemos ajustar dichas propiedades geométricas, y así realizar un análisis real de la estructura para poder seleccionar las dimensiones más adecuadas de nuestros elementos. La tabla 8.1 contiene las secciones más comunes utilizadas en la construcción y sus propiedades geométricas, en el caso de elementos de acero (ángulo LI, LM y LD, perfil CE, TR, IE, IR, IS, CF, ZF y IC, PTE OR y OS, etc.), se puede consultar el manual IMCA o cualquier otra referencia y si existe alguna sección compuesta no quedara más que calcular las propiedades del elemento.

Sección transversal

Figura

Área (cm2)

Inercia (cm4)

b*h

IX= (b*h3)/12 IY= (h*b3)/12

L2

IX, IY= L4/12

𝝅*r2 (𝝅*d2)/4

IX, IY= (𝝅*r4)/4 IX, IY= (𝝅*d4)/64

b

y

Rectangular

x

h

L y

Cuadrada

x

L

y

r

Circulo

x

y

Circulo hueco

R r

x

𝝅*(R2-r2) IX, IY= (𝝅*(R4-r4))/4 (𝝅*(D2-d2))/4 IX,IY= (𝝅*(D4-d4))/64

Tabla 8.1. Propiedades geométricas.

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9.

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PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

El Principio de superposición fue explicitado por Euler (1707-1783). “Si los desplazamientos y las tensiones, en los sistemas elásticos, son proporcionales a las cargas que los producen, entonces, los desplazamientos totales y las tensiones totales, resultantes de la aplicación de varias cargas, serán la suma de los desplazamientos y de las tensiones originadas por cada una de las cargas".5 Para que podamos aplicar el Principio de Superposición tanto en el campo de los esfuerzos como en el de los desplazamientos es necesario que se cumpla una primera condición: Proporcionalidad, es decir una relación lineal en el comportamiento del material sobre el que actúan las cargas. Lo anterior se cumple en los materiales elásticos como por ejemplo el acero y el concreto. Pero además ha de cumplirse una segunda condición ya que aunque el sistema de cargas esté actuando sobre un material elástico puede suceder que no sea aplicable el Principio de Superposición, como sucede en el caso de Pandeo, dado que no se produce una relación lineal entre la solicitación y la deformación. f (x+y) = f(x) + f(y)

x1

y1

+ x2

= x +x 1

2

y1+y2

y2

Figura 9.1. Principio de superposición.

5

ocwus.us.es.

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10.

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MATRIZ DE RIGIDECES

Una vez conociendo el modelo matemático (ideal), que consiste en conocer cargas actuantes, apoyos, comportamiento estructural (fuerzas) y material, podemos realizar el análisis estructural, para poder resolver cualquier estructura ya sea viga, marco o armadura; lo primero que se debe hacer es la matriz de rigidez general para cualquier estructura. 10.1. Procedimiento para obtener la matriz de rigidez de una estructura con dos o más grados de libertad.6 a. Numerar en orden ascendente los grados de libertad de la estructura (desde 1 hasta n). b. Aplicar el sistema de fuerzas que provoquen un desplazamiento unitario en el grado uno y cero en los demás grados. c. Evaluar las fuerzas requeridas y colocarlas en la matriz de rigidez. d. Repetir los pasos b y c para el siguiente grado de libertad y así sucesivamente hasta terminar. Ejemplo: Determinar la matriz de rigidez de la estructura mostrada en la siguiente figura: a.

Numerar en orden ascendente los grados de libertad de la estructura. E I - cte L

1

2

b. Aplicar el sistema de fuerzas que provoquen un desplazamiento unitario en el grado uno y cero en los demás. Fuerzas en el grado 1; se coloca una fuerza en el grado uno, la cual se llamara “k11“, esta se colocara en dirección positiva en el eje “y”, esto para producir un desplazamiento unitario en el grado uno; al colocar esta fuerza se produce un giro en la viga, así que se colocará una fuerza que contrarreste ese giro producido, la que se llamara “k21”; así ya se tiene un desplazamiento unitario en el grado uno y cero en el grado dos (Figura. 10.1. b.1). k21 =1

k11 Figura. 10.1. b.1. 6

Apuntes de clase, Análisis Estructural, Ing. Miguel Moreno Aguilar.

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¿Qué significa kij? k= Rigidez. i= grado donde se midió la fuerza (renglón). j= grado donde se aplicó el desplazamiento (columna). Estas se colocarán en la matriz de rigidez de la estructura. j kij=

kij= i

c.

k11

k12

k21

k22

Evaluando las fuerzas requeridas y colocándolas en la matriz de rigidez.

Para poder evaluar las fuerzas, como se explico anteriormente, se debe relacionar los momentos flexionantes con los desplazamientos de la estructura. c.1. Fuerza k11.

E I - cte

A

L

B k

11

Calculando las reacciones. Mz A

k

11

Ry A

∑Fx=0 ∑Fy=0; RA y+k11 =0; ∴RA y=-k11 ∑MA =0; MA z-k11 *L=0; ∴MA z=k11 *L

MAz=k11*L

k11 RAy=k11

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Trazando el diagrama de momentos.

k

x

11

Tramo B-A 0≤x≤L M=k11*x x=0 M=0

x=L M=k11*L

k *L 11

L c.2. Fuerza k21.

E I - cte

A

B

k

21

L Calculando las reacciones.

k21 MAz ∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑MA =0; MA z+k21 =0; ∴MA z=-k21

k M z=k A

21

21

21


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k

21

x

Tramo B-A 0≤x≤L M=-k21 x=0 M=-k21

-k

x=L M=-k21

-k

21

21

L c.3. Aplicando el principio de superposición, para así tener el diagrama de las fuerzas que actúan en el grado uno; este diagrama se llamara “Mo”.

k *L 11

k *L-k 11

L

-k

21

+

-k

21

21

Mo

=

-k L

L Tramo B-A 0≤x≤L Mo= k11*x - k21………c.3.1 x=0 M=-k21

x=L M= k11*L - k21

22

21


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


c.4. ¿Cómo evaluar las fuerzas? Para evaluar las fuerzas que actúan en el grado uno; se deberán relacionar los momentos internos de la estructura con sus desplazamientos; para poder evaluar estos desplazamientos, lo que se hace es aplicar una carga “P” unitaria en el mismo sentido y dirección de las fuerzas (k11 y k21). Al colocar esta carga unitaria, se deben calcular los desplazamientos de la estructura relacionando el diagrama “Mo”, con los diagramas “m 1” y “m2”, estos se pueden resolver mediante la tabla c.4.2. y/o la integral c.4.1. L M*m

∆=θ= ∫0

EI

………c.4.1.

c.4.1. Integral para evaluar los desplazamientos. 1

M= Ecuación de momentos “Mo”.

∆=θ= EI *(Valores de la integral Tabla).

m= Ecuación de momentos “mn”. Mi

k

Mk

k

S

i

k2

k1

S

Sik

1 2

Sik

S

1 2

k

km S

k

S

S

S i (k1+k2)

2 3

S i km

2 3

Sik

1 3

Sik

S i

1 2

Sik

1 3

Sik

1 6

S i (k1+2 k2)

1 3

S i km

5 12

Sik

1 4

Sik

1 2

Sik

1 6

Sik

1 6

S i (2 k1+k2)

1 3

S i km

1 4

Sik

1 12

Sik

S i S i2

i1

1 2

S (i1+i2) k

1 6

S (i1+2 i2) k

1 6

S (2 i1 k1+i1 k2+i2 k1+2 i2 k2)

1 3

S (i1+i2) km

1 12

S (3 i1+5 i2) k

1 12

S (i1+3 i2) k

S im

2 3

S im k

1 3

S im k

1 3

S im (k1+k2)

8 15

S im km

7 15

S im k

1 5

S im k

S

i

2 3

Sik

5 12

Sik

1 12

S i (3 k1+5 k2)

7 15

S i km

8 15

Sik

3 10

Sik

2 3

Sik

1 4

Sik

1 12

S i (5 k1+3 k2)

7 15

S i km

11 30

Sik

2 15

Sik

1 3

Sik

1 4

Sik

1 12

S i (k1+3 k2)

1 5

S i km

3 10

Sik

1 5

Sik

1 3

Sik

1 12

Sik

1 12

S i (3 k1+k2)

1 5

S i km

2 15

Sik

1 30

Sik

S i S

i S

i S

Tabla c.4.2. Valores de la integral. 7 c.4.1.1 Diagrama “m1”. 7


23


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Este diagrama se traza aplicando una carga unitaria en el mismo sentido y dirección que k11.

A

B L

P=1

Calculando las reacciones.

Mz A

P=1 Ry A

∑Fx=0 ∑Fy=0; -RA y+1=0; ∴RA y=1 ∑MA =0; MA z-1*L=0; ∴MA z=L

MAz=L

P=1 RAy=1


1

x

Tramo B-A 0≤x≤L M=1*x=m1………c.4.1.1 x=0 M=0 L

x=L M=L

L Diagrama m1. c.4.1.2 Diagrama “m2”.

24


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Este diagrama se traza aplicando una carga unitaria en el mismo sentido y dirección que k21. A

M=1

B L

Calculando las reacciones. M=1 Mz A

∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑MA =0; MA z+1=0; ∴MA z=-1

M=1 M z=1 A


1 x

Tramo B-A 0≤x≤L M=-1=m2.........c.4.2.1 x=0 M=-1

-1

x=L M=-1

-1 L

Diagrama m2.

25


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Teniendo los diagramas Mo, m1 y m2, ya se pueden evaluar los desplazamientos, esto se hace combinando los diagramas, para el desplazamiento 1 “d10”, se combina el diagrama Mo y m1, para el desplazamiento 2 “d20”, se combina el diagrama Mo y m2, y se resolverá con la integral c.4.1. y/o la tabla c.4.2. Aplicando la integral. L M*m ∆=θ= ∫ EI 0 Mo= -k21+k11*x………c.3.1. m1=x………c.4.1.1. m2=-1………c.4.2.1. Para d10, se igualará la ecuación a un valor de uno y para d20 se igualará la ecuación a un valor de cero; esto es por lo mencionado en el punto b “desplazamiento unitario en el grado uno y cero en los demás” (Figura. 10.1. b.1). d10=1 d10 = ∫

L

0 L

(-k21+k11*x)*(x) =1 EI

-k21*x+k11*x2 d10 = ∫ =1 EI 0 1 -k21*x2 k11*x3 L d10 = * [ + ] =1 EI 2 3 0 d10 =

1 -k21*L2 k11*L3 *[ + ] =1 EI 2 3

L2 d10 = *[-3k21+2k11*L]=1 … … … Ec. ① 6EI d20=0 d20 = ∫

L

0 L

d20 = ∫

0

(-k21+k11*x)*(-1) =0 EI k21-k11*x =0 EI

1 k11*x2 L d20 = * [k21*x] =0 EI 2 0 d20 =

1 k11*L2 * [k21*L] =0 EI 2

d20 =

L (2k21 -k11 *L) ………Ec. ② 2EI 26


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


2k21 L Sustituyendo en ① ∴ k11 =

L2 2k21 * [-3k21+2 ( ) *L] =1 6EI L L2 *[k21]=1 6EI 6EI ∴ k21 = 2 L 6EI 2( 2 ) L k11 = L 12 EI ∴ k11 = 𝟑 L c.5. Colocando los valores en la matriz de rigideces. Se colocó dy y θz, de acuerdo a los capítulos 4 y 5; porque al ensamblar la matriz colocando estos coeficientes será más sencillo. dy

θz

12 EI k=

L𝟑

k12

dy

k22

θz

6 EI L2 d.

Repetir los pasos b y c para el siguiente grado de libertad.

d.b. Aplicar el sistema de fuerzas que provoquen un desplazamiento unitario en el grado dos y cero en los demás. Fuerzas en el grado 2; de igual manera se coloca una fuerza en el grado dos la cual se llamara “k22”, esto para producir un desplazamiento unitario en el grado dos; al colocar esta fuerza se produce un desplazamiento en el sentido positivo “y” en la viga, así que se coloca una fuerza que contrarreste ese desplazamiento, la que se llamara “k12”, así ya se tiene un desplazamiento unitario en el grado dos y cero en el grado uno (Figura. 10.1. d.1).

27


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil

k


12

k

=1

22

Figura. 10.1. d.1 d.c.1. Fuerza k22.

E I - cte

A

k

B

22

L Calculando las reacciones. k

22

Mz A

∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑MA =0; MA z-k22 =0; ∴MA z=k22 k22 MAz=k22


k

22

x

Tramo B-A 0≤x≤L M=k22 x=0 M= k22 k

x=L M=k22 k

22

22

L

28


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


d.c.2. Fuerza k12. k E I - cte

A

12

B

L

Calculando las reacciones. k12

MAz

RAy

∑Fx=0 ∑Fy=0; RA y-k12 =0; ∴RA y=k12 ∑MA =0; MA z+k12 *L=0; ∴MA z=-k12 *L k

M z=k *L A

12

R y=k A

12

12

Trazando el diagrama de momentos. k12 x

Tramo B-A 0≤x≤L M=-k12*x x=0 M=0

x=L M=-k12*L

29


E.S.I.A. Zacatenco

-k *L

Ingeniería Civil


L

12

d.c.3. Aplicando el principio de superposición, para así tener el diagrama de las fuerzas que actúan en el grado uno, este diagrama se llamara “Mo”.

k

Mo

k

22

22

k

22

L

+

= -k *L+k 12

-k *L 12

22

L

L

Tramo B-A 0≤x≤L Mo= -k12*x + k22………d.c.3.1. x=0 M=k22

x=L M= -k12*L + k22

d.c.4. Evaluación de fuerzas. Para evaluar las fuerzas que actúan en el grado dos, se hará de la misma manera que se hizo con las fuerzas que actúan el grado uno. De igual forma se relacionara el diagrama “Mo”, con los diagramas “m1” y “m2”, con la tabla c.4.2. y/o la integral c.4.1. d.c.4.1 Diagrama “m1”. Este diagrama se traza aplicando una carga unitaria en el mismo sentido y dirección que k12.

30


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil

A


B P=1

L


M Az

P=1 R Ay

∑Fx=0 ∑Fy=0; RA y-1=0; ∴RA y=1 ∑MA =0; MA z+1*L=0; ∴MA z=-L

MAz=L

P=1 RAy=1


1 x

Tramo B-A 0≤x≤L M=-1*x=m2………d.c.4.1 x=0 M=0

x=L M=-L

-L

L

Diagrama m1. d.c.4.2 Diagrama “m2”.

31


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Este diagrama se traza aplicando una carga unitaria en el mismo sentido y dirección que k22. A

B M=1

L


M=1

Mz A

∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑MA =0; MA z-1=0; ∴MA z=1

M=1

M z=1 A


1

x

1

Tramo B-A 0≤x≤L M=1=m2………d.c.4.2.1. x=0 M=1

x=L M=1

1

1 L

Diagrama m2.

32


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


De igual manera que el cálculo de los desplazamientos, ya teniendo los diagramas Mo, m1 y m2, se pueden evaluar los desplazamientos combinando los diagramas, para el desplazamiento 1 “d10”, se combinará el diagrama Mo y m1, para el desplazamiento 2 “d20”, se combina el diagrama Mo y m2, y se resolverá con la integral c.4.1. y/o la tabla c.4.2. Aplicando la Tabla. Mi

k

Mk

k

S

i

k2

k1

S

Sik

1 2

Sik

S

1 2

k

km S

k

S

S

S i (k1+k2)

2 3

S i km

2 3

Sik

1 3

Sik

S i

1 2

Sik

1 3

Sik

1 6

S i (k1+2 k2)

1 3

S i km

5 12

Sik

1 4

Sik

1 2

Sik

1 6

Sik

1 6

S i (2 k1+k2)

1 3

S i km

1 4

Sik

1 12

Sik

S i S i2

i1

1 2

1 6

S (i1+i2) k

S (i1+2 i2) k

1 6

S (2 i1 k1+i1 k2+i2 k1+2 i2 k2)

1 3

S (i1+i2) km

1 12

S (3 i1+5 i2) k

1 12

S (i1+3 i2) k

S im

2 3

1 3

S im k

S im k

1 3

S im (k1+k2)

8 15

S im km

7 15

S im k

1 5

S im k

S

i

2 3

Sik

5 12

Sik

1 12

S i (3 k1+5 k2)

7 15

S i km

8 15

Sik

3 10

Sik

2 3

Sik

1 4

Sik

1 12

S i (5 k1+3 k2)

7 15

S i km

11 30

Sik

2 15

Sik

1 3

Sik

1 4

Sik

1 12

S i (k1+3 k2)

1 5

S i km

3 10

Sik

1 5

Sik

1 3

Sik

1 12

Sik

1 12

S i (3 k1+k2)

1 5

S i km

2 15

Sik

1 30

Sik

S i S

i S

i S

Mo…….. d.c.3. k

22

Mo k

22

= -k *L+k 12

22

L

m1………d.c.4.1.

-L

L

33


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


m2……..d.c.4.2. 1

1 L

Para d10, se igualará la ecuación a un valor de cero y para d20 se igualará la ecuación a un valor de uno; esto es por lo mencionado en el punto b “desplazamiento unitario en el grado dos y cero en los demás” (Figura. 10.1. d.1). Teniendo los diagramas, sustituir los valores en las ecuaciones de la tabla, y se resuelve. Mo mn

k =k 2

k =-k *L+k 1

12

22

22

S=L

1 6*L*-L*[2*(-k12*L+k22)+k22] i=-L

S=L

i=1 S=L

1 2*L*1*(-k12*L+k22+k22)

d10=0 1 1 d10 = * *L*-L*[2*(-k12 *L+k22 )+k22 ]=0 EI 6 L2 [2*(k12 *L-k22 )-k22 ]=0 d10 = 6EI L2 [2k12 L-3 k22 ]=0………Ec. ① d10 = 6EI 2k12 L ∴ k22 = 3 d20=1 1 1 d20 = * *L*1*(-k12 *L+k22 +k22 )=1 EI 2 L d20 = *(-k12 L+2k22 )=1 ………Ec. ② 2EI Sustituyendo en ② L 2k12 L * (-k12 L+2 ( )) =1 2EI 3 k12 L2 =1 6EI 6EI ∴ k12 = 2 L

34


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


6EI 2( 2 )L L k22 = 3 4EI ∴ k22 = L d.c.5. Colocando los valores en la matriz de rigideces y sus signos de acuerdo a la convención (Fig.4.1). k

k21

=1

=1

12

k

22

k11

k11 -k21

k22 -k12 dy

θz

dy

θz

12 EI k=

k11 -k21

-k12 k22

dy k= θz

L3 −

6 EI L

2

−

6 EI L2

dy

4 EI L

θz

Esta es la matriz de rigidez para cualquier viga; para poder utilizarla en un marco plano o en una armadura, lo que se tiene que hacer es ampliarla; esta matriz se debe extender para los desplazamientos en dirección x “dx”. Nota: La matriz de rigidez para la fuerza axial depende del área transversal (A) y su módulo de elasticidad (E) del elemento. Se calculara la matriz de rigidez, para fuerza axial de la siguiente estructura, aplicando los mismos pasos, y cambiando la Inercia (I), por el área en los desplazamientos en “x”. a. Numerar en orden ascendente los grados de libertad de la estructura (desde 1 hasta n). 3

E I - cte L

1

2

b. Aplicar el sistema de fuerzas que provoquen un desplazamiento unitario en el grado uno y cero en los demás grados.

35


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil

E I - cte

=1


k11

L Se puede observar que al aplicar la fuerza en el grado uno “k11” para que la estructura se desplace la unidad no se requieren fuerzas en los grados 2 y 3, o sea, que estos grados no se desplazan, por lo tanto k12, k21,k13 y k31 son igual a cero. c. Evaluamos las fuerzas requeridas y las colocamos en la matriz de rigidez. Para evaluar estas fuerzas, se relacionarán los diagramas axiales con los desplazamientos. c.1. Fuerza k11. E I - cte

k11

L

Trazando el diagrama de fuerza axial.

k

11

x

Tramo A-B 0≤x≤L Fo= -k11………c.1. x=0 Fo=-k11

x=L Fo= -k11

-k11

-k11 L

c.2. Diagrama “f1”. Este diagrama se traza aplicando una carga unitaria en el mismo sentido y dirección que k11.

E I - cte A

L

P=1 B

36


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Trazando el diagrama de fuerza axial.

1

x

Tramo A-B 0≤x≤L F=-1=f1………c.2 x=0 F=-1

x=L F=-1

-1

-1 L

Diagrama f1. Teniendo lo diagramas Fo, f1, se pueden evaluar los desplazamientos combinando los diagramas, para el desplazamiento 1 “d10”, combinaremos el diagrama Fo y f1, y se resuelve con la integral c.4.1. y/o la tabla c.4.2; como ya lo mencionamos anteriormente, solo se cambia la inercia por el área del elemento. Aplicando la integral. L F*f ∆=θ= ∫ 0 EA Fo= k11………c.1. f1=-1………c.2. Para d10, se iguala la ecuación a un valor de uno; esto es por lo mencionado en el punto b “desplazamiento unitario en el grado uno y cero en los demás”. d10=1 d10 = ∫

L

0

d10 = [

(-k11)*(-1) =1 EA

(k11)*(x) L ] =1 EA 0

(k11)*(L) ] =1 EA L d10 = *[k11]=1 EA d10 = [

37


∴ k11 =

E.S.I.A. Zacatenco

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EA L

c.3. Colocando los valores en la matriz de rigideces y sus signos de acuerdo a la convención (Fig.4.1). E I - cte

=1

k11

L

k11 dx dy EA 0 L 0 k22 0 k32

k=

θz 0

dx

k23

dy

k33

θz

d. Repetir los pasos b y c para el siguiente grado de libertad y así sucesivamente hasta terminar, se puede observar que es el mismo ejercicio que el anterior, el grado de libertad 1, no influye en los demás, así que la matriz quedaría de la siguiente manera: dx dy θz EA 0 0 L 12 EI 6 EI 0 − 2 3 L L 6 EI 4 EI 0 − 2 L L

k=

dx dy θz

Solo falta realizar una matriz que se pueda utilizar para cualquier estructura, viga, marco plano o armadura, para esto se necesita realizar la matriz de rigideces de la siguiente estructura y aplicando los mismos pasos que se han utilizado en los ejercicios anteriores. a. Numerar en orden ascendente los grados de libertad de la estructura (desde 1 hasta n).

3

1 2

E I - cte L

6

4

5

38


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Se puede observar que los valores son los mismos que los ejercicios anteriores, a lo único a lo que se debe estar atento es a los signos que se colocaran en la matriz; ya que estos deben ser de acuerdo a las fuerzas que causen un desplazamiento unitario en el grado “n” y cero en los demás, así como también a la convención de signos que se ha definido. k

E I - cte

=1

k

11

L

k11 =

EA

k41 = -

L

41

EA L

k21, k31, k51 y k61=0

E I - cte

k14

=1

k44

L

k44 =

EA

k14 = -

L

EA L

k24, k34, k54 y k64=0

k

32

k

=1

k

k

22

k22 =

12 EI

k32 =

6 EI

k52 = -

L3

k62 =

L2

52

62

12 EI L3

6 EI L2

K12 y k42=0

k k

53

k

=1

63

33

k

23

k33 =

4 EI L

k63 =

2 EI L

39


k23 =

E.S.I.A. Zacatenco

6 EI

k53 = -

2

L

Ingeniería Civil


6 EI L2

K13 y k43=0 k k k

25

65

=1

k

35

k25 = -

12 EI

k35 = -

6 EI

k55 =

L3

12 EI L3

k65 = -

L2

55

6 EI L2

K15 y k45=0 k

k

36

56

k k

66

=1

26

k36 =

2 EI

k26 =

6 EI

k66 =

L

4 EI

k56 = -

L2

L 6 EI L2

K16 y k46=0 Colocando los valores en la matriz de rigideces.

k=

dx EA L

dy

θz

dx dy EA 0 0 0 L 12 EI 6 EI 12 EI 0 0 L3 L2 L3 6 EI 6 EI 4 EI 0 - 2 0 2 L L L EA EA 0 0 0 L L 12 EI 6 EI 12 EI 0 - 3 - 2 0 L L L3 6 EI 6 EI 2 EI - 2 0 0 2 L L L

θz 0 6 EI L2 2 EI L 0 -

6 EI

L2 4 EI L

dx dy θz dx dy θz

40


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Esta es la matriz de rigidez que se utilizara para cualquier elemento, ya sea viga, marco plano o armadura, pero para que esta matriz funcione de manera correcta en una armadura y en un marco plano se necesita rotar los elementos (barras, vigas), de la estructura como se explica en el capítulo 11. 10.1. ¿PORQUE LA MATRIZ DE RIGIDEZ SE ENSAMBLO DE ESTA MANERA? De acuerdo a la mecánica de materiales existe energía de deformación debido a:    

Fuerza axial (Px) Flexión (Mz, My) Cortante (Vy, Vz) Torsión (Mx)

Las cuales debido al estudio que se tiene y a la resolución de problemas se determinó que los coeficientes de la deformación debido a cortante y la deformación debido a Torsión son muy pequeños, así que estos no influyen en los resultados de nuestra matriz de rigidez. Así que se puede ampliar la matriz de rigidez global, agregando estos coeficientes para conocer de una manera exacta las fuerzas que actúan en la estructura, pero los resultados serían prácticamente los mismos si no se consideran, debido a lo que se mencionó anteriormente (son demasiado pequeños estos valores). Tomando solo los valores de energía de deformación debido a fuerza axial y cortante los valores que se obtienen para el diseño de estructuras en 2D es prácticamente el mismo; y a su vez la matriz de rigidez es más pequeña, porque si se consideran todas las energías de deformación la matriz sería muy complicada de resolver de manera manual o simplemente serian matrices muy grandes que nos llevarían mucho tiempo resolverlas.

41


11.

E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


ROTACIÓN DE LA MATRIZ

En todas las estructuras siempre se tendrán dos sistemas de ejes, el primero de ellos es el sistema de las barras, piezas y/o elementos al que llamaremos sistema local, y el otro un sistema general de toda la estructura al que nombraremos como sistema global (figura 11.1 Sistemas de ejes). En el sistema de ejes global (x´, y´ y z´), y en el sistema de ejes local (x, y y z), el eje z siempre estará en la misma dirección y sentido, y en el caso del sistema local, el eje x siempre estará en el mismo sentido de la barra, pieza, y/o elemento.

y´ y´ y z x

x´ z´

y

x´ z´

x

z

y´

x y

x´ z´

z

Sistema de ejes Local.

Sistema de ejes Global.

Figura 11.1 Sistemas de ejes. Tomando la segunda barra y colocándola en un plano 2D, quedando de la siguiente manera:

y y´ L

E,I,A

x x´ 42


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L= Longitud. E= Módulo de elasticidad. I=Inercia. A= Área. (Alpha)= Ángulo formado entre el eje x´ global y el eje x local. La matriz global encontrada anteriormente supone que todos los elementos se encuentran de manera horizontal; así que si se tiene un elemento con cierta inclinación, se deberá realizar la rotación de esta matriz, y para poder realizar dicha rotación se debe conocer el ángulo alpha ( ), ya conocido esté ángulo, se deben descomponer dichas fuerzas mediante vectores, como se muestra a continuación.

Fy

Fy´ Fxy

Fyy Fyx

Fx

Fxx

Fx´

Fx´= -Fyx+Fxx Fy´= Fyy+Fxy M´= M (el giro es igual en los dos ejes porque el eje z está en la misma dirección). Fyx=Fy sen Fxx=Fx cos Fyy=Fy cos Fxy=Fx sen Fx´= -Fy sen + Fx cos Fy´= Fy cos + Fx sen M´= M Expresando las ecuaciones de manera matricial. Fx´ cos α {Fy´} = [sen α 0 M´

-sen α cos α 0

Fx 0 0] * {Fy} 1 M

Fx´ {Fy´} =F´ (Fuerzas sistema global) M´

43


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cos α -sen α 0 [sen α cos α 0] =R (Matriz de Rotación) 0 0 1 Fx {Fy} =F (Fuerzas sistema local) M {F´}=[R]*{F} Despejando para conocer las fuerzas en el sistema local. {F}=[R]-1 *{F´} Debido a que la matriz de rotación (R) es una matriz ortogonal y de acuerdo a las propiedades de matrices, su inversa es igual a su transpuesta. [R]-1 =[R]T {F}=[R]T *{F´} cos α sen α 0 [R]T = [-sen α cos α 0] 0 0 1 Para comprobar si esta es una matriz ortogonal, debe cumplir la siguiente condición: [R]*[R]T=[I] 1 0 [I]= [0 1 0 0

0 0] (Matriz identidad) 1

cos α -sen α 0 cos α sen α 0 [sen α cos α 0] * [-sen α cos α 0] =1 0 0 1 0 0 1 cos2 α + sen2 α cos α *sen α - cos α *sen α [cos α *sen α - cos α *sen α cos2 α + sen2 α 0 0 1 0 [0 1 0 0

0 0] =1 1

0 0] =[I] 1

Si se cumple la condición, así que [R]-1 =[R]T De manera similar, podemos aplicar esta matriz de rotación para los desplazamientos (d), y para la matriz de rigidez. {d´}=[R]*{d} {d}=[R]T *{d´}

{k´}=[R]*{k} {k}=[R]T*{k´} 44


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Con la matriz de rotación para las fuerzas, como para los desplazamientos y conociendo la matriz de rigidez, se puede realizar lo siguiente: Sistema Local. F=k*d F=Fuerza. k=Rigidez. d=Desplazamiento.

k=

dx EA L

dy

θz

dx dy EA 0 0 0 L 12 EI 6 EI 12 EI 0 0 L3 L2 L3 6 EI 6 EI 4 EI 0 0 L L2 L2 EA EA 0 0 0 L L 12 EI 6 EI 12 EI 0 - 3 - 2 0 L L L3 6 EI 6 EI 2 EI - 2 0 0 2 L L L

θz 0 6 EI L2 2 EI L 0 -

6 EI

L2 4 EI L

dx dy θz dx dy θz

Matriz de rigidez sistema local. Simplificando. k=

k k

k k

Sustituyendo en la ecuación. F1 d1 { } = [k k] * { } F2 d2 k k Reemplazando los valores para el sistema global y colocándolos de forma matricial. {F}=[R]T *{F´} {F´}=[R]*{F} {d}=[R]T *{d´} {d´}=[R]*{d}

45


[

R 0 F1 R ]{ }=[ 0 R F2 0

0 k ][ R k

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k R 0 d1 ]*[ ]{ } 0 R d2 k

{F1´} = [k´ k´] * {d1´} k´ k´ d2´ F2´ k11 ´ 0 0 k22 ´ k23 ´] k´= [ 0 0 k32 ´ k33 ´ {F}=[R]T *{F´}………Ec. ① {d}=[R]T *{d´}………Ec. ② {F}=[k]{d}………Ec. ③ {F´}=[k´]{d´}………Ec. ④ Sustituyendo {F} de Ec. ① a Ec. ③ [k]{d} = [R]T ∗ {F´}………Ec. ⑤ Sustituyendo {d} de Ec. ② a Ec. ③ [k]{d} = [k] ∗ [R]T ∗ {d´}………Ec. ⑥ Igualando Ec. ⑤ con Ec. ⑥ [R]T ∗ {F´} = [k] ∗ [R]T ∗ {d´}………Ec. ⑦ Despejando Ec. ⑦ {F´} =[R]*[k]*[R]T {d´} Igualando Ec. ⑦ con Ec. ④ {F´} {F´}=[k´]{d´} ; =[k´] {d´} Finalmente [k´]=[R]*[k]*[R]T Sustituyendo y realizando el triple producto matricial para obtener la matriz de rigidez global. T R 0 0] [k´ k´] = [ ] * [k k] * [R 0 R k k k´ k´ 0 RT k´=R*k*R

T

cos α -sen α 0 [R]= [sen α cos α 0] 0 0 1

46


k11 k= [ 0 0

0 k22 k32

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0 k23 ] k33

cos α sen α 0 [R]T = [-sen α cos α 0] 0 0 1 cos α -sen α k´= [sen α cos α 0 0

k11 0 0] * [ 0 0 1

[R]*[k] k11 cos α -sen α 0 [sen α cos α 0] * [ 0 0 0 0 1

0 k22 k32

0 k22 k32

0 cos α sen α 0 k23 ] ∗ [-sen α cos α 0] k33 0 0 1

k11 cos α 0 k23 ] = [k11 sen α k33 0

−k22 sen α k22 cos α k32

−k23 sen α k23 cos α ] k33

[R]*[k]*[R]T Para simplificar colocaremos el seno con una “s” y el coseno con una “c”. k11 c -k22 s -k23 s k11 c2 +k22 s2 k11 c s-k22 s c -k23 s c s 0 [ k11 s k22 c k23 c ] * [- s c 0] = [k11 s c-k22 c s k11 s2 +k22 c2 k23 c ] 0 k32 k33 0 0 1 -k32 s k32 c k33 Teniendo así la matriz de Rigidez Global. k11 c2 +k22 s2 k11 c s-k22 s c -k23 s k´= [k11 s c-k22 c s k11 s2 +k22 c2 k23 c ] -k32 s k32 c k33 Sustituyendo en la matriz general, para cualquier elemento. k´=

k´=

k´ k´

k´ k´

dx k11 c2 +k22 s2

dy θz dx k11 c s-k22 s c -k23 s k14 c2 +k25 s2

dy θz k14 c s-k25 s c -k26 s

k11 s c-k22 c s

k11 s2 +k22 c2 k32 c

dx

k23 c k33

k14 s c-k25 c s -k35 s

k14 s2 +k25 c2 k35 c

k26 c k36

dy

k41 c2 +k52 s2

k41 c s-k52 s c -k53 s

k44 c2 +k55 s2

k44 c s-k55 s c -k56 s

dx

k41 s c-k52 c s

k41 s2 +k52 c2 k62 c

k44 s c-k55 c s -k65 s

k44 s2 +k55 c2 k65 c

dy θz

-k32 s

-k62 s

k53 c k63

k56 c k66 47

θz


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Matriz de Rigidez en el sistema Global. 12.

FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO

Para poder aplicar el método de las rigideces (capitulo 13), se necesita conocer las fuerzas de empotramiento de la estructura, estas fuerzas se calculan de acuerdo a las cargas que se tienen aplicadas. Dichas fuerzas de empotramiento se pueden calcular a partir del método de las flexibilidades o con base en fórmulas. Se realizará el cálculo de las fuerzas de empotramiento de una carga uniformemente distribuida (Ejemplo 12.1), y se colocarán las fórmulas de las fuerzas para varios casos de carga. Ejemplo. 12.1 Calculo de las Fuerzas de empotramiento de la siguiente estructura por el método de las flexibilidades. w MA

MB RyA

RyB

Calculamos el grado de hiperestaticidad. G.H.= 4-2=2 Suprimimos las mismas fuerzas que el grado de hiperestaticidad (2) y a esta estructura le llamaremos estructura primaria, se numeran de manera ascendente. w 2 1

Se calculan las deformaciones que sufre la estructura en dirección de las fuerzas suprimidas, a las que llamaremos deformaciones en el estado cero, se calculan de acuerdo a la siguiente integral: L

M*m EI 0 -wx2 Mo= 2 m1 =x d= ∫

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m2 =1

-wx2 *x d01 = ∫ 2 EI 0 L - wx3 d01 = ∫ 0 2 EI - wL4 d01 = 8 EI -wx2 L *1 d02 = ∫ 2 EI 0 L - wx2 d02 = ∫ 0 2 EI 3 - wL d02 = 6 EI L

Calculando la matriz de flexibilidades. Para calcular esta matriz se aplicará una fuerza unitaria en dirección del grado que suprimimos, y se calculará la deformación que sufre, esto para cada grado de libertad, de manera similar que el punto anterior y con la siguiente ecuación: L

fij= ∫

0

m1 =x m2 =1

mi*mj EI L

m1 *m1 EI 0 L x*x f11 = ∫ 0 EI L 2 x f11 = ∫ 0 EI L3 f11 = 3 EI L m1 *m2 f12 =f21 = ∫ EI 0 L x*1 f12 = ∫ 0 EI L x f12 = ∫ 0 EI L2 f12 =f21 = 2 EI f11 = ∫

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L

m2 *m2 EI 0 L 1*1 f12 = ∫ 0 EI L f22 = EI f22 = ∫

Aplicando la ecuación de compatibilidad: {d0 }+[F]{R}={0} {d0 }= Deformaciones en el estado cero. [F]= Matriz de Flexibilidades. {R}= Reacciones Suprimidas (Incógnitas). {0}= Desplazamientos Impuestos. Sustituyendo valores. - wL4 L3 8 EI + 3 EI - wL3 L2 { 6 EI } [2 EI

L2 2 EI {R1 } = {0} 0 L R2 EI ]

Despejando las incógnitas. - wL4 L3 1 1 3 8 + 3 EI - wL EI L2 [2 { 6 } L3 R { 1 } = 32 R2 L [2

L2 2 {R1 } = {0} R2 0 L]

-1

wL4 8 * wL3 L] { 6 }

L2 2

Para calcular la matriz inversa se aplicará la siguiente ecuación siempre y cuando el determinante de esta no sea igual a cero. -1 1 a b d A =[ ] = [ c d det A -c -1

-b ] a

det A =ad-cb

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Sustituyendo valores. L3 L2 L2 det A = *L- * 3 2 2 L4 L4 L4 det A = - = 3 4 12 3 2 -1 L L L 3 2 = 1 2 L2 L4 L 12 [- 2 [2 L ]

L2 2 L3 3 ]

Sustituyendo la inversa en la ecuación de compatibilidad. wL4 L2 L 12 R 8 2 * { 1} = 4 2 3 R2 L L L wL3 [- 2 3 ] { 6 } 3 wL 2 wL wL5 wL5 12 R1 2 2 8 12 { }= 4 = 2 6 6 R2 L 9 wL 8 wL2 wL wL [- 16 + 18 ] [ 12 12 ] wL R 2 { 1} = R2 wL2 [ 12 ] R1=Ryb= R2=Mb=

wL

2 wL2 12

MA

w MB=-wL²/12

RyA

RyB=wL/2

Aplicando las ecuaciones de equilibrio, para conocer las demás fuerzas internas. ∑Fy=RyA -wL+RyB =0 wL 0=RyA -wL+ 2

51


RyA =wLRyA =

wL 2

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wL 2

wL2 wL2 ∑M=0; -MA+ + -RyB L=0 2 12 wL2 wL2 wL2 ∑M=0; -MA+ + =0 2 12 2 wL2 MA = 12 Finalmente. w MB=-wL²/12

MA=wL²/12 RyA=wL/2

RyB=wL/2

De esta manera se pueden calcular las fuerzas de empotramiento para cualquier caso de carga, o también mediante las siguientes ecuaciones (solo se colocan los casos más comunes): Sin carga. MB=0

MA=0 RyA=0

RyB=0 L

Carga Puntual. P MA=Pab²/L²

a

MB=-Pab²/L²

b

RyA=(Pb²/L²)*[3-(2b/L)]

RyB=(Pb²/L²)*[3-(2b/L)]

Momento concentrado. M MA=(Mb/L)[2-(3b/L)]

a RyA=6Mab/L³

b

MB=(Ma/L)[2-(3a/L)] RyB=-6Mab/L³

Carga Uniformemente distribuida.

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w MB=-wL²/12

MA=wL²/12 RyA=wL/2

RyB=wL/2

Carga Triangular. w MB=-wL²/20

MA=wL²/30 RyA=3wL/20

Carga Triangular Simétrica.

MA=5wL²/96

RyB=7wL/20 w

L/2

L/2 RyA=wL/4

Carga Parabólica.

MA=wL²/15

RyB=wL/4

w

L/2 RyA=wL/3

MB=-5wL²/96

L/2

MB=-wL²/15 RyB=wL/3

Para cargas de cualquier otra forma geométrica conocida se puede aplicar el principio de superposición.

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w MB=-wL²/20

MA=wL²/30

+

RyA=3wL/20

RyB=7wL/20

w

MB=-wL²/12

MA=wL²/12 RyA=wL/2

RyB=wL/2

= w2 w1 MA

MB RyA

RyB

RyA=[w1L/2]+[3(w 2-w1)L/20] MA=[w1L²/12]+[(w 2-w1)L²/30]

RyB=[w1L/2]+[7(w 2-w1)L/20] MB=-[w1L²/12]-[(w 2-w1)L²/20]

Sin duda pueden existir infinidad de casos de carga, como pueden ser cargas uniformemente distribuidas que solo se apliquen a la mitad de la viga o a cierta longitud, cargas puntuales en diferentes puntos de las viga, para esto se debe tener la habilidad de visualizar que se debe y/o puede realizarse; si aplicar el sistema de superposición, aplicar las formulas ya existentes o si se puede dividir la viga en varias vigas, siempre se debe tener en claro el comportamiento de estas. Ejemplo. Determinar las fuerzas de empotramiento de la siguiente estructura: P2 MA

c RyA

P1 d

P3 e

MB

f RyB

Conociendo las fuerzas para una carga puntual en cualquier parte de la de la viga, se realizara la suma de las tres cargas aplicando la superposición como se muestra a continuación:

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P1 MA=P1a1b1²/L²

a1

MB=-Pa1b1²/L²

b1

RyA=(P1b1²/L²)*[3-(2b1/L)]

+

P2 MA=P2a2b2²/L²

RyB=(P1b1²/L²)*[3-(2b1/L)]

a2

MB=-P2a2b2²/L²

b2

RyA=(P2b2²/L²)*[3-(2b2/L)]

RyB=(P2b2²/L²)*[3-(2b2/L)]

+

MA=P3a3b3²/L²

P3

a3 RyA=(P3b3²/L²)*[3-(2b3/L)]

MA

c

RyB=(P3b3²/L²)*[3-(2b3/L)]

=

P2

MB=-P3a3b3²/L²

b3

P1 d

RyA

P3 e

MB

f RyB

Conociendo las ecuaciones RyA y RyB, se suman de acuerdo al número de cargas, en este caso tres. 2 2 3 Pb 2b 3Pb 2Pb RyA =RyB = ( 2 ) (3- ) = 2 - 3 L L L L L=c+d+e+f Para la primera carga: 2 3 3P1 b1 2P1 b1 RyA1 =RyB1 = 2 3 L L De acuerdo al diagrama de cuerpo libre. b1 =L-c-d Para la segunda carga: 2 3 3P2 b2 2P2 b2 RyA2 =RyB2 = L2 L3 De acuerdo al diagrama de cuerpo libre. b2 =L-c

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Para la tercera carga: 2 3 3P3 b3 2P3 b3 RyA3 =RyB3 = L2 L3 De acuerdo al diagrama de cuerpo libre. b3 =L-c-d-e Sumando las tres reacciones: 2 3 2 3 2 3 3P1 b1 2P1 b1 3P2 b2 2P2 b2 3P3 b3 2P3 b3 RyA =RyB = + + L2 L3 L2 L3 L2 L3 Desarrollando y sustituyendo b1, b2 y b3, se tiene: 3[P1 (L-c-d)2 +P2 (L-c)2 +P3 (L-c-d-e)2 ] 2[P1 (L-c-d)3 +P2 (L-c)3 +P3 (L-c-d-e)3 ] RyA =RyB = L2 L3 Siendo esta la ecuación para una viga empotrada en sus dos extremos con tres cargas puntuales de diferente valor en cualquier parte de la viga, de la misma manera se desarrollará para los momentos, como se muestra a continuación: 2 Pab MA=-MB = 2 L Para la primera carga: 2 P1 a1 b1 MA1 =-MB1 = L2 De acuerdo al diagrama de cuerpo libre. a1 =c+d Para la segunda carga: 2 P2 a2 b2 MA2 =-MB2 = 2 L De acuerdo al diagrama de cuerpo libre. a2 =c Para la tercera carga: 2 P3 a3 b3 MA3 =-MB3 = L2 De acuerdo al diagrama de cuerpo libre. a3 =c+d+e Sumando las tres reacciones: 2 2 2 P1 a1 b1 P2 a2 b2 P3 a3 b3 MA=-MB = + + L2 L2 L2

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Desarrollando y sustituyendo a1, a2, a3, b1, b2 y b3 términos: MA =-MB =

[P1 (c+d)(L-c-d)2 +P2 (c)(L-c)2 +P3 (c+d+e)(L-c-d-e)2 ] L2

Siendo esta la ecuación de momentos para una viga empotrada en sus dos extremos con tres cargas puntuales distintas y ubicadas en cualquier parte de la viga. P2 MA

c

P1 d

P3 e

RyA

RyA =RyB = MA =-MB =

MB

f RyB

3[P1 (L-c-d)2 +P2 (L-c)2 +P3 (L-c-d-e)2 ] 2[P1 (L-c-d)3 +P2 (L-c)3 +P3 (L-c-d-e)3 ] L2 L3 [P1 (c+d)(L-c-d)2 +P2 (c)(L-c)2 +P3 (c+d+e)(L-c-d-e)2 ] L2

Si P1=P2=P3=P y c=d=e=f=L/4 L L 2 L 2 L L L 2 L L 3 L 3 L L L 3 3 [P (L- - ) +P (L- ) +P (L- - - ) ] 2 [P (L- - ) +P (L- ) +P (L- - - ) ] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 RyA =RyB = L2 L3 2 3 L 2 3L L 2 L 3 3L L 3 3 [P ( ) +P ( ) +P ( ) ] 2 [P ( ) +P ( ) +P ( ) ] 2 4 4 4 4 4 RyA =RyB = L2 L3 2 3 PL2 9PL PL2 PL3 27PL PL3 3[ + + ] 2[ + + ] 4 16 16 8 64 64 RyA =RyB = L2 L3 3 7PL2 9PL 3[ ] 2[ ] 8 16 RyA =RyB = L2 L3 2 3 21PL 18PL RyA =RyB = 8L2 16L3

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21P 18P 8 16 21P 18P RyA =RyB = 8 16 21P 18P RyA =RyB = 8 16 3P RyA =RyB = 2 [P1 (c+d)(L-c-d)2 +P2 (c)(L-c)2 +P3 (c+d+e)(L-c-d-e)2 ] MA=-MB = L2 L L L L 2 L L 2 L L L L L L 2 [P ( + ) (L- - ) +P ( ) (L- ) +P ( + + ) (L- - - ) ] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 MA=-MB = L2 L L 2 L 3L 2 3L L 2 [P ( ) ( ) +P ( ) ( ) +P ( ) ( ) ] 2 2 4 4 4 4 MA=-MB = L2 L L2 L 9L2 3L L2 [P ( ) ( ) +P ( ) ( ) +P ( ) ( )] 2 4 4 16 4 16 MA=-MB = L2 PL3 9PL3 3PL3 [ + + ] 8 64 64 MA=-MB = L2 5PL MA =-MB = 16 Quedando de la siguiente manera: RyA =RyB =

P 5 MA=16 PL

L/4

P L/4

P L/4

5 MB=-16 PL

L/4

RyA=32 P

3 RyB=2 P

Un caso muy común es cuando la carga no se aplica en todo lo largo de la viga, como se muestra en la siguiente imagen. w MA

MB a RyA

b RyB

Para este caso se podría resolver por el método de las flexibilidades como el primer ejemplo de este capítulo, pero si no se quiere desarrollar, el método de las rigideces

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admite que se dividan las vigas en “n” partes la manera más conveniente posible, pero de tal manera que sea más sencillo conocer sus fuerzas de empotramiento. De tal forma que nuestra viga se dividirá en dos, una con una carga uniformemente distribuida en todo lo largo de la viga y otra sin carga. w MB=-wL²/12

MA=wL²/12 a RyA=wL/2

RyB=wL/2

Viga 1 MA=0

MB=0

b RyA=0

RyB=0

Viga 2 De esta forma, si se tiene un caso de carga así, se dividirá esta viga en dos elementos. De Tablas se tiene:

w

MA=(Pa²/12)*{6-(a/L)*[8-3*(a/L)]}

MB=-(Pa³/12L)*[4-3*(a/L)] a

b

RyA=(Pa/2)*{2-(a²/L²)*[2-(a/L)]}

RyB=(Pa³/2L²)*[2-(a/L)]

12.1. CARGAS NO PERPENDICULARES Algunas veces se tienen cargas que no son perpendiculares a los elementos, lo que se tiene que hacer es descomponerlas en una fuerza axial y en una fuerza perpendicular al elemento. RxB w

MB

RyB

MA

L

RxA RyA

Para poder descomponer debemos conocer el ángulo que existe entre la carga y el eje y local “y”, a este le llamaremos Beta (β).

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RxB ß -ß

w

MB RyB L

RxA MA RyA

Descomponiendo las fuerza en su componente axial (wx) y perpendicular (wy). wx= w sen –β. wy= w cos –β. Sustituyendo en las ecuaciones de momentos de empotramiento, se tiene:

RxB=-wxL/2 MB=-wyL²/12

w

RyB=wyL/2 L

RxA=-wxL/2 MA=wyL²/12 RyA=wyL/2

De manera similar se puede realizar esto para cualquier tipo de carga. Cuando se tienen cargas puntuales con cierta inclinación en alguna parte de la estructura, se puede realizar lo mismo que se hizo con la carga uniformemente distribuida (dividir el elemento en dos), ya que el método de las rigideces acepta cargas nodales, lo único que se tiene que hacer es descomponer dicha carga en fuerzas, tanto vertical como horizontal y colocar estas fuerzas en el vector de cargas nodales que en el capítulo 14 se explica. Ejemplo:

Py

P Nodo 2

Nodo 1

0

Nodo 3

Nodo 4

Px

Nodo 2

=

Nodo 4

Nodo 3

Nodo 1

Nodo 5

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Px=P cos θ Py=P cos θ Nota: Considerar que las fuerzas en “x” a la derecha son positivas y las fuerzas en “y” hacia arriba son positivas. 13.

RESORTES (APOYOS ELÁSTICOS)

La gran mayoría de las estructuras reales se apoyan en terrenos que no son totalmente rígidos, si no que sufren asentamientos bajo la acción de cargas que reciben. En terrenos de relativamente buena calidad o cuando las cargas no son muy elevadas, puede suponerse que las estructuras descansan sobre apoyos rígidos, pero en caso contrario se considera que descansan sobre apoyos elásticos. Estos apoyos son equivalentes a un resorte. Estos apoyos cumplen con la condición de que la fuerza aplicada sobre ellos es equivalente a su rigidez (constante de resorte) multiplicada por la deformación que sufre de acuerdo a la carga. P=k*∆……… Ecuación 2.1 P=Fuerza. k=Rigidez (Constante de resorte). ∆=Desplazamiento.

P

P

k

14.

MÉTODO DE RIGIDEZ

Conociendo los tipos de carga, tipos de apoyo, las fuerzas de empotramiento, matrices global y local, así como la forma de rotar las fuerzas, se puede aplicar el método para cualquier estructura, llámese viga, marco plano y/o armadura, con “n” número de elementos, de acuerdo a los siguientes pasos:8 1. Determinar el grado de libertad de la estructura (capitulo 5). 2. Numerar los grados de libertad (x, y, z) de la estructura en forma secuencial (desde 1 hasta “n”). 3. Evaluamos la matriz de rigidez del sistema estructural (capitulo 10 y 11). 4. Aplicar el sistema fuerzas que empotre la estructura completamente y se evaluan las fuerzas (capitulo 12). 5. Restablecemos el equilibrio mediante la siguiente ecuación (sistema global).

8

Apuntes de Clase, Análisis Estructural, Ing. Miguel Moreno Aguilar.

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{Fzas de Empotramiento´}+[Matriz de Rigidez´]{Desplazamientos´}={Cargas Nodales´} {FEmp ´}+[k´]{d´}={PNodales ´} … … Ec.⑭ {d´}=[{PNodales ´}- {FEmp´ }][k´]-1 {FÉmp }=[R]*{FEmp } 1. Aplicar las ecuaciones de compatibilidad para cada elemento y así conocer las fuerzas finales. {d}=[R]T *{d´} {F´}=[k´]{d´}+ {FEmp´ } {F}=[R]T *{F´} Como se puede observar en la ecuación, se requieren las fuerzas de empotramiento perfecto, así como las matrices de rigidez global y local; se puede decir que ya se cuenta con todos los elementos para resolver cualquier tipo de estructura. Esto se hará por medio de la computadora, ya que algunas estructuras tienen “n” grados de libertad y esto hace que la matriz de rigideces sea de nxn, cuando se tienen estructuras con dos o tres grados de libertad se puede resolver manualmente, pero cuando son más de cuatro, se complica mucho. Esto ejercicios se harán por medio de Excel, ya que es una herramienta muy poderosa, en la cual podemos resolver matrices muy grandes, o simplemente hacer los procesos más fáciles y rápidos.

15.

PROGRAMACIÓN EN EXCEL Y EJERCICIO 1 (MARCO PLANO)

Calcular los elementos mecánicos de la siguiente estructura. La cual tiene un hundimiento de 15 cm en la columna del lado derecho, con una sección de 30 x 15 cm, de concreto armado fć=300 kg/cm 2; los apoyos elásticos tienen una rigidez de 5 T/cm.

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P=10 T w=4 T/m

4.00 2.00

2.00 1.00

3.00 5.00

1.00

P=20 T

2.00

2.00

45° 4.00

w=6 T/m 2.00

2.00

0.15

hundimiento

acot. m

1. 2.

Determinar el grado de libertad de la estructura (capitulo 5). G.L.=23. Numerar los grados de libertad (x, y, z) de la estructura en forma secuencial (desde 1 hasta “n”). P=10 T

w=4 T/m 7,8,9

10,11,12

16,17,18 13,14,15 P=20 T 45°

w=6 T/m

4,5,6

19,20,21

0,22,23 1,2,3

0.15

hundimiento

Se dividió la estructura en siete elementos, esto para facilitar el cálculo de los elementos mecánicos, quedando de la siguiente manera:

63


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


P=10 T w=4 T/m 7,8,9

3 10,11,12

4

16,17,18

13,14,15 5

6 P=20 T

2

45°

4,5,6

w=6 T/m

19,20,21 7

1

1,2,3

Elementos

0,22,23 0.15

hundimiento

El primer elemento inclinado se dividió en dos elementos, esto debido a que es más fácil calcular las fuerzas de empotramiento de una carga uniformemente distribuida a lo largo de toda la viga y no solo en un tramo de esta; la trabe se dividió en tres porque es más fácil descomponer la fuerza trapezoidal en cargas triangulares y rectangulares, que calcular sus fuerzas de empotramiento, para la columna que está totalmente vertical se dividió en dos para poder aplicar la fuerza inclinada en la matriz de cargas nodales que se utiliza para resolver el sistema, y de la misma manera es porque no se conocen las fórmulas de empotramiento para una viga con una carga inclinada al centro del elemento. Conociendo el número de elementos, calcular sus propiedades geométricas que son:  Longitud (L).  Módulo de elasticidad (E).  Área (A).  Inercia (I).  .  Beta (β), solo si se requiere.  Teta (θ), solo si se necesita. Con los valores de I, L, E, A, y Alpha de cada elemento, se calculará la matriz de rigidez, tanto global como local; para esto utilizaremos Excel. Algo que se debe tener muy en cuenta son las unidades, se debe trabajar con las mismas, y si se requiere se deberán realizar las conversiones correspondientes; para nuestro ejemplo se trabajará con Toneladas (T), centímetros (cm) y Grados (°).

64


3.

E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Evaluamos la matriz de rigidez del sistema estructural (Capitulo 10 y 11).

Lo primero que se debe hacer es abrir un documento en blanco y programar las formulas de la matriz global y local.

Matriz Local.

k=

dx EA L

dy

θz

0

0

12 EI

0

2

L 6 EI

0 -

6 EI

3

L 4 EI L

L2

EA L

0

0

-

0

0 12 EI 3

L 6 EI

-

6 EI 2

L 2 EI L

L2

dx EA L

dy

θz

0

0

0

-

0

-

EA L 0 0

dx

12 EI

6 EI

3

L2 2 EI L

L 6 EI L2

0

θz

0

12 EI 3

-

dy

-

dx 6 EI

L2

L2 4 EI L

θz

dx

L 6 EI

dy θz

Matriz Global. dx

k´=

dy 2

k11 c +k22 s

2

k11 s c-k22 c s -k32 s k41 c2 +k52 s2

dy 2

2

k11 c s-k22 s c -k23 s

k14 c +k25 s

k11 s2 +k22 c2 k32 c

k23 c

k14 s c-k25 c s

k33

-k35 s

k41 c s-k52 s c -k53 s

k44 c2 +k55 s2

θz

k14 c s-k25 s c -k26 s

dx

k14 s2 +k25 c2 k35 c

k26 c

dy

k36

θz

k44 c s-k55 s c -k56 s

k41 s c-k52 c s

k41 s2 +k52 c2 k53 c k44 s c-k55 c s k44 s2 +k55 c2 k56 c -k62 s k62 c k63 -k65 s k65 c k66 Al programar las formulas de la matriz local y global se deben dejar como las celdas de L, E, I, A y Alpha, esto para poder utilizar las mismas matrices nuestros elementos, como se muestra en la siguiente imagen:

65

dx dy θz

variables en todos


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Se copiarán las matrices el número de veces que sea necesario (una matriz por elemento); para nuestro ejemplo se copiara y pegara siete veces.

Ahora se sustituirán los datos de L, E, I, A y Alpha en las matrices para cada elemento en el archivo de Excel.

66


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Los elementos tienen la misma sección (15x30cm) y son de un mismo material (concreto armado fć=300 kg/cm2), por lo tanto el área, la inercia y el módulo de elasticidad es el mismo para todos los elementos. E=14000 √fć=14000*√300 kg/cm2 E= 242487.1131 kg/cm2 3

3

b*h 15 cm*30 cm I= = 12 12 I= 33750 cm4 A=b*h=15 cm*30 cm A= 450 cm2 A cada elemento se le coloca la numeración de acuerdo al sentido que se está analizando; en el caso del ejemplo a desarrollar, se colocará de izquierda a derecha (dx,dy,θz). Ejemplo. y Sentido de análisis x

dx,dy,0z

dx,dy,0z

Elemento 4,5,6

1,2,3

Matriz Local 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0 0

5 0 0 0 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0

1 2 3 4 5 6

Matriz Global 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Fuerzas de Empotramiento 3 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0 0

5 0 0 0 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0

1 2 3 4 5 6

Nodo inicial Nodo final

1 2 3 4 5 6

RxA RyA MA RyB RyB MB

0 0 0 0 0 0

Ton Ton T*cm Ton Ton T*cm

67


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


y Sentido de análisis x

dx,dy,0z

dx,dy,0z

Elemento 4,5,6

1,2,3

Matriz Local 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0

3 0 0 0 0 0 0

4 5 6 1 2 3

Matriz Global 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Fuerzas de Empotramiento 6 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0

3 0 0 0 0 0 0

4 5 6 1 2 3


4 5 6 1 2 3

RxA RyA MA RyB RyB MB

0 0 0 0 0 0


4,5,6

w=6 T/m y´

2.00

2 2 L=√x2 +y2 =√2 +2 =√8=2.828427125 m= 282.8427125 cm -1 y -1 2 tan (x) =tan (2) =45°

x

y

Elemento 1.

x´ 1,2,3

2.00 Matriz Local

Elemento L= E= I= A= Alpha=

282.84 242.49 33750.00 450.00 45.00

1 cm T/cm² cm⁴ cm² °

c= s=

cos= sen=

0.71 0.71

1 385.79 0.00 0.00 -385.79 0.00 0.00

2 0.00 4.34 613.80 0.00 -4.34 613.80

3 0.00 613.80 115738.39 0.00 -613.80 57869.20

4 -385.79 0.00 0.00 385.79 0.00 0.00

5 0.00 -4.34 -613.80 0.00 4.34 -613.80

6 0.00 613.80 57869.20 0.00 -613.80 115738.39

1 2 3 4 5 6

Matriz Global 1 2 195.07 190.73 190.73 195.07 -434.02 434.02 -195.07 -190.73 -190.73 -195.07 -434.02 434.02

3 -434.02 434.02 115738.39 434.02 -434.02 57869.20

4 -195.07 -190.73 434.02 195.07 190.73 434.02

5 -190.73 -195.07 -434.02 190.73 195.07 -434.02

6 -434.02 434.02 57869.20 434.02 -434.02 115738.39

1 2 3 4 5 6

Nodo inicial

4 5 6 7 8 9

Nodo inicial

Nodo final

Elemento 2. 2.00

7,8,9

y´

2 2 L=√x2 +y2 =√2 +2 =√8=2.828427125 m= 282.8427125 cm -1 y -1 2 tan (x) =tan (2) =45°

x

y

2.00

x´

4,5,6

Matriz Local Elemento L= E= I= A= Alpha=

282.84 242.49 33750.00 450.00 45.00


c= s=

cos= sen=

0.71 0.71

4 385.79 0.00 0.00 -385.79 0.00 0.00

5 0.00 4.34 613.80 0.00 -4.34 613.80

6 0.00 613.80 115738.39 0.00 -613.80 57869.20

7 -385.79 0.00 0.00 385.79 0.00 0.00

8 0.00 -4.34 -613.80 0.00 4.34 -613.80

9 0.00 613.80 57869.20 0.00 -613.80 115738.39

4 5 6 7 8 9

Matriz Global 4 5 195.07 190.73 190.73 195.07 -434.02 434.02 -195.07 -190.73 -190.73 -195.07 -434.02 434.02

6 -434.02 434.02 115738.39 434.02 -434.02 57869.20

7 -195.07 -190.73 434.02 195.07 190.73 434.02

68

8 -190.73 -195.07 -434.02 190.73 195.07 -434.02

9 -434.02 434.02 57869.20 434.02 -434.02 115738.39

Nodo final


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Elemento 3.

yý w=4 T/m 7,8,9

L=1 m= 100 cm 0°

x´ x

1.00

10,11,12 Matriz Local


100.00 242.49 33750.00 450.00 0.00


c= s=

cos= sen=

1.00 0.00

7 1091.19 0.00 0.00 -1091.19 0.00 0.00

8 0.00 98.21 4910.36 0.00 -98.21 4910.36

9 0.00 4910.36 327357.60 0.00 -4910.36 327357.60

10 -1091.19 0.00 0.00 1091.19 0.00 0.00

11 0.00 -98.21 -4910.36 0.00 98.21 -4910.36

12 0.00 4910.36 327357.60 0.00 -4910.36 327357.60

7 8 9 10 11 12

Matriz Global 7 8 1091.19 0.00 0.00 98.21 0.00 4910.36 -1091.19 0.00 0.00 -98.21 0.00 4910.36

9 0.00 4910.36 327357.60 0.00 -4910.36 327357.60

10 -1091.19 0.00 0.00 1091.19 0.00 0.00

11 0.00 -98.21 -4910.36 0.00 98.21 -4910.36

12 0.00 4910.36 327357.60 0.00 -4910.36 327357.60

7 8 9 10 11 12

Nodo inicial

10 11 12 13 14 15

Matriz Global 10 11 363.73 0.00 0.00 3.64 0.00 545.60 -363.73 0.00 0.00 -3.64 0.00 545.60

12 0.00 545.60 109119.20 0.00 -545.60 109119.20

13 -363.73 0.00 0.00 363.73 0.00 0.00

14 0.00 -3.64 -545.60 0.00 3.64 -545.60

15 0.00 545.60 109119.20 0.00 -545.60 109119.20

10 11 12 13 14 15

Nodo inicial

13 14 15 16 17 18

Matriz Global 13 14 1091.19 0.00 0.00 98.21 0.00 4910.36 -1091.19 0.00 0.00 -98.21 0.00 4910.36

15 0.00 4910.36 327357.60 0.00 -4910.36 327357.60

16 -1091.19 0.00 0.00 1091.19 0.00 0.00

17 0.00 -98.21 -4910.36 0.00 98.21 -4910.36

18 0.00 4910.36 327357.60 0.00 -4910.36 327357.60

13 14 15 16 17 18

Nodo inicial

Nodo final

Elemento 4. 3.00

yý

P=10 T w=4 T/m

10,11,12 x x´

L=1 m= 300 cm 0°

13,14,15 Matriz Local


300.00 242.49 33750.00 450.00 0.00


c= s=

cos= sen=

1.00 0.00

10 363.73 0.00 0.00 -363.73 0.00 0.00

11 0.00 3.64 545.60 0.00 -3.64 545.60

12 0.00 545.60 109119.20 0.00 -545.60 109119.20

13 -363.73 0.00 0.00 363.73 0.00 0.00

14 0.00 -3.64 -545.60 0.00 3.64 -545.60

15 0.00 545.60 109119.20 0.00 -545.60 109119.20

Nodo final

Elemento 5.

yý w=4 T/m 13,14,15 1.00

16,17,18 x x´

L=1 m= 100 cm 0°

Matriz Local Elemento L= E= I= A= Alpha=

100.00 242.49 33750.00 450.00 0.00


c= s=

cos= sen=

1.00 0.00

13 1091.19 0.00 0.00 -1091.19 0.00 0.00

14 0.00 98.21 4910.36 0.00 -98.21 4910.36

15 0.00 4910.36 327357.60 0.00 -4910.36 327357.60

16 -1091.19 0.00 0.00 1091.19 0.00 0.00

17 0.00 -98.21 -4910.36 0.00 98.21 -4910.36

18 0.00 4910.36 327357.60 0.00 -4910.36 327357.60

69

Nodo final


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Elemento 6. y´ 16,17,18

x´ y

x

L=1 m= 200 cm 90°

P=20 T 2.00 45°

19,20,21 Matriz Local Elemento L= E= I= A= Alpha=

200.00 242.49 33750.00 450.00 -90.00


c= s=

cos= sen=

Elemento 7.

1.00 0.00

y´

16 545.60 0.00 0.00 -545.60 0.00 0.00

17 0.00 12.28 1227.59 0.00 -12.28 1227.59

18 0.00 1227.59 163678.80 0.00 -1227.59 163678.80

19 -545.60 0.00 0.00 545.60 0.00 0.00

20 0.00 -12.28 -1227.59 0.00 12.28 -1227.59

21 0.00 1227.59 163678.80 0.00 -1227.59 163678.80

16 17 18 19 20 21

Matriz Global 16 17 12.28 0.00 0.00 545.60 1227.59 0.00 -12.28 0.00 0.00 -545.60 1227.59 0.00

18 1227.59 0.00 163678.80 -1227.59 0.00 163678.80

19 -12.28 0.00 -1227.59 12.28 0.00 -1227.59

20 0.00 -545.60 0.00 0.00 545.60 0.00

21 1227.59 0.00 163678.80 -1227.59 0.00 163678.80

16 17 18 19 20 21

Nodo inicial

19 20 21 0 22 23

Matriz Global 19 20 12.28 0.00 0.00 545.60 1227.59 0.00 -12.28 0.00 0.00 -545.60 1227.59 0.00

21 1227.59 0.00 163678.80 -1227.59 0.00 163678.80

0 -12.28 0.00 -1227.59 12.28 0.00 -1227.59

22 0.00 -545.60 0.00 0.00 545.60 0.00

23 1227.59 0.00 163678.80 -1227.59 0.00 163678.80

19 20 21 0 22 23

Nodo inicial

Nodo final

P=20 T 45°

x´ y

19,20,21 x

L=1 m= 200 cm 90°

2.00

0,22,23 0.15

hundimiento Matriz Local Elemento L= E= I= A= Alpha=

200.00 242.49 33750.00 450.00 -90.00

4.


c= s=

cos= sen=

1.00 0.00

19 545.60 0.00 0.00 -545.60 0.00 0.00

20 0.00 12.28 1227.59 0.00 -12.28 1227.59

21 0.00 1227.59 163678.80 0.00 -1227.59 163678.80

0 -545.60 0.00 0.00 545.60 0.00 0.00

22 0.00 -12.28 -1227.59 0.00 12.28 -1227.59

23 0.00 1227.59 163678.80 0.00 -1227.59 163678.80

Aplicar el sistema fuerzas que empotre la estructura completamente y se evalúan dichas fuerzas (capitulo 12).

Lo que interesa son las fuerzas actuantes (fuerzas de empotramiento), esto para cada elemento. En la misma pestaña de Excel donde están las matrices, se colocan las fórmulas para los diferentes tipos de cargas que se tienen en cada elemento. Nota: Únicamente se consideran cargas a lo largo del elemento; las cargas en los nodos se colocaran en la matriz de cargas nodales.

70

Nodo final


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Estas fuerzas de empotramiento, son en el sistema local del elemento, de igual forma que con la matriz de rigidez se deben transformar al sistema global de la estructura. Rx´= -Ry sen + Rx cos Ry´= Ry cos + Rx sen Mz´= Mz =Alpha Elemento 1. Carga uniformemente distribuida. w=6 T/m

ß -ß

4,5,6

RxB=-wxL/2 MB=-wyL²/12

w

45° -45°

RyB=wyL/2 L

x

RxA=-wxL/2 MA=wyL²/12 RyA=wyL/2

1,2,3 Elemento L= E= I= A= Alpha=

282.84 242.49 33750.00 450.00 45.00

Fuerzas de Empotramiento Local

1 cm c= cos= 0.71 T/cm² s= sen= 0.71 cm⁴ cm² °

1 2 3 4 5 6

w= β= RxA RyA MA RxB RyB MB

0.06 -45 6.000 6.000 282.843 6.000 6.000 -282.843

Global T/cm ° Ton Ton T*cm Ton Ton T*cm

0.000 8.485 282.843 0.000 8.485 -282.843


Elemento 2. Sin carga. 7,8,9

4,5,6

Fuerzas de Empotramiento Elemento

L= E= I= A= Alpha=

282.84 242.49 33750.00 450.00 45.00

Local


1 2 3 4 5 6

RxA RyA MA RxB RyB MB

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

Global Ton Ton T*cm Ton Ton T*cm

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000


71


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Ingeniería Civil


Elemento 3. Carga triangular.

w=4 T/m 7,8,9

w

10,11,12

1.00

MB=-wL²/20

MA=wL²/30 RyA=3wL/20

RyB=7wL/20

Fuerzas de Empotramiento Elemento L= E= I= A= Alpha=

100.00 242.49 33750.00 450.00 0.00

Local


7 8 9 10 11 12

w= RxA RyA MA RxB RyB MB

Global

0.04 0.000 0.600 13.333 0.000 1.400 -20.000

T/cm Ton Ton T*cm Ton Ton T*cm

0.000 0.600 13.333 0.000 1.400 -20.000


Elemento 4. Carga uniformemente y Carga puntual. w=4 T/m 10,11,12

w MB=-wL²/12

MA=wL²/12 13,14,15

+

+

RyA=wL/2

P1

P=10 T MA=Pab²/L²

10,11,12

RyB=wL/2

a

13,14,15

=

RyA=(Pb²/L²)*[3-(2b/L)]

RyB=(Pb²/L²)*[3-(2b/L)]

=

P=10 T w=4 T/m 10,11,12

MB=-Pab²/L²

b

P1 w

13,14,15

MB=-wL²/12-Pab²/L²

MA=Pab²/L²+wL²/12 a

b

RyA=(Pb²/L²)*[3-(2b/L)]+wL/2

RyB=(Pb²/L²)*[3-(2b/L)]+wL/2


300.00 242.49 33750.00 450.00 0.00

4 cm c=cos=1.00 T/cm² s=sen=0.00 cm⁴ cm² °

10 11 12 13 14 15

w= 0.04 RxA 0.000 RyA 6.000 MA 300.000 RxB 0.000 RyB 6.000 MB -300.000

T/cm Ton Ton T*cm Ton Ton T*cm

+ + + + + +

P= a= RxA RyA MA RxB RyB MB

10 150 0.000 5.000 375.000 0.000 5.000 -375.000

Ton cm Ton Ton T*cm Ton Ton T*cm

Local = = = = = =

RxA 0.000 RyA 11.000 MA 675.000 RxB 0.000 RyB 11.000 MB -675.000

72


0.000 11.000 675.000 0.000 11.000 -675.000



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Ingeniería Civil


Elemento 5. Carga Triangular.

w=4 T/m 13,14,15

w MA=wL²/20

16,17,18

MB=-wL²/30

RyA=7wL/20

1.00

RyB=3wL/20


100.00 242.49 33750.00 450.00 0.00

Local



13 14 15 16 17 18

0.04 0.000 1.400 20.000 0.000 0.600 -13.333

Global T/cm Ton Ton T*cm Ton Ton T*cm

0.000 1.400 20.000 0.000 0.600 -13.333


Elemento 6. Sin carga.

16,17,18


200.00 242.49 33750.00 450.00 -90.00

6

Local

cm c= cos= 1.00 T/cm² s= sen= 0.00 cm⁴ cm² °

19,20,21

17 18 19 20 21 22


0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

Elemento 7. Sin carga.


0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000


Fuerzas de Empotramiento Elemento

19,20,21 L= E= I= A= Alpha=

200.00 242.49 33750.00 450.00 -90.00


Local 19 20 21 0 22 23


0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000


0,22,23 0.15

hundimiento

73

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000



5.

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Ingeniería Civil


Restablecer el equilibrio mediante la siguiente ecuación (sistema global).

{FEmp ´}+[k´]{d´}={PNodales ´} … … Ec.⑭. Se conocen las fuerzas de empotramiento, la matriz global de la estructura, y las cargas nodales, lo único que se desconoce son los desplazamientos, así que despejando la incógnita, quedando de la siguiente manera: {d´}=[{PNodales ´}- {FEmp´ }][k´]-1 A. Fuerzas de Empotramiento Global {FEmp´ }.

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 11.000 675.000 0.000 11.000 -675.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

Ton Ton T*cm Ton Ton T*cm Ton Ton T*cm Ton Ton T*cm Ton Ton T*cm Ton Ton T*cm

Elemento 2

RxA RyA MA RxB RyB MB RxA RyA MA RxB RyB MB RxA RyA MA RxB RyB MB

Elemento 4

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

Elemento 6

Ton Ton T*cm Ton Ton T*cm Ton Ton T*cm Ton Ton T*cm Ton Ton T*cm Ton Ton T*cm Ton Ton T*cm Ton T*cm

Elemento 3

0.000 8.485 282.843 0.000 8.485 -282.843 0.000 0.600 13.333 0.000 1.400 -20.000 0.000 1.400 20.000 0.000 0.600 -13.333 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

Elemento 5

RxA RyA MA RyB RyB MB RxA RyA MA RxB RyB MB RxA RyA MA RxB RyB MB RxA RyA MA RyB MB

Elemento 7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Elemento 1

Estas son la sumatoria de las fuerzas de empotramiento global de cada elemento en el sistema global, quedando de la siguiente manera: {FEmp´ } = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

0.000 8.485 282.843 0.000 8.485 -282.843 0.000 0.600 13.333 0.000 12.400 655.000 0.000 12.400 -655.000 0.000 0.600 -13.333 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

B. Cargas Nodales {PNodales ´}. Estas son las cargas que se aplican en cualquier nodo de la estructura, para nuestra estructura sólo se tiene una carga nodal como lo muestra la siguiente figura: Para poder aplicar esta carga a la estructura, se tiene que descomponer, en su componente vertical y su componente P=20 T horizontal. 45°

19,20,21

-Px=P cos θ, Px=20 cos 45= -14.14213562 T -Py=P cos θ, Py=20 sen 45= -14.14213562 T

0.15

hundimiento

74


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La numeración es (x,y,z), y como la carga va aplicada en x y en y, se colocará en el nodo 19 y 20 respectivamente; quedando de la siguiente manera la matriz de cargas nodales: {PNodales ´} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

FxA FyA MA FyB FyB MB FxA FyA MA FxB FyB MB FxA FyA MA FxB FyB MB FxA FyA MA FyB MB

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -14.142 -14.142 0.000 -1500000000000000 0.000

Nota: más adelante se explica porque el -1500000000000000 Ton. C. Matriz de Rigidez Inversa [k´]-1 . Esta es la matriz de rigidez global inversa de la estructura y esta se obtiene sumando las matrices de cada elemento, como se muestra a continuación: Ejemplo. w

0,0,0

1

2

1,2,3

0,0,0

La estructura tiene un G.L. de 3, la matriz global será de 3x3. Matriz Global de la Estructura 1 2 3 k11

k12

k13

1

k21

k22

k23

2

k31

k32

k33

3

75


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Ingeniería Civil


De las matrices globales de cada elemento, se realiza la suma de acuerdo a la numeración que se colocó en las filas y las columnas, para obtener los valores de la matriz global de la estructura, así como lo muestran las siguientes figuras:

Elemento 1 L= E= I= A= Alpha=

1.00 1.00 1.00 1.00 0.00

cm c= cos= T/cm² s= sen= cm⁴ cm² °

1.00 0.00

Elemento 2 L= E= I= A= Alpha=

1.00 1.00 1.00 1.00 0.00

cm c= cos= T/cm² s= sen= cm⁴ cm² °

1.00 0.00

Matriz Global 0 0 1.00 0.00 0.00 12.00 0.00 6.00 -1.00 0.00 0.00 -12.00 0.00 6.00

0 0.00 6.00 4.00 0.00 -6.00 2.00

1 -1.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00

2 0.00 -12.00 -6.00 0.00 12.00 -6.00

3 0.00 6.00 2.00 0.00 -6.00 4.00

0 0 0 1 2 3

Nodo inicial

Matriz Global 1 2 1.00 0.00 0.00 12.00 0.00 6.00 -1.00 0.00 0.00 -12.00 0.00 6.00

3 0.00 6.00 4.00 0.00 -6.00 2.00

0 -1.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00

0 0.00 -12.00 -6.00 0.00 12.00 -6.00

0 0.00 6.00 2.00 0.00 -6.00 4.00

1 2 3 0 0 0

Nodo inicial

Nodo final

Nodo final

Matriz Global de la Estructura 1 2 3 2

0

0

1

0

24

0

2

0

0

8

3

De la misma manera se va a realizar la suma para el ejemplo que se está desarrollando, la matriz global será de 23x23; para que la suma sea más rápida se pueden colocar en Excel primero las celdas de 23x23 para la matriz global.

76


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Después copiar todas esas celdas y pegarlas debajo, de acuerdo al número de elementos, en nuestro caso siete.

77


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Colocar la matriz de cada elemento donde corresponde (de acuerdo a la numeración); realizar la suma y arrastramos la formula en toda la matriz.

78


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Ingeniería Civil


Ya se tiene la matriz de rigidez de la estructura, pero falta colocar los apoyos elásticos y el hundimiento de 15 cm.

4,5,6

El apoyo en dirección “x”, se sumara en esa misma dirección y de acuerdo a la numeración será en 1, así que se sumara en k11, y de la misma forma para el otro apoyo en la dirección “y”, la numeración será 2, se sumara en k22.

k=5 T/cm

1,2,3

Como se puede observar en la imagen los apoyos elásticos solo trabajan en una dirección, así que esta rigidez se sumara en la matriz de rigidez global.

k=5 T/cm

Para el hundimiento, se aplicará una carga ficticia para poder cumplir con este desplazamiento, y a su vez un apoyo elástico ficticio; de igual forma este apoyo elástico se sumara a la matriz de rigidez de la estructura, y la carga se colocará en la matriz de cargas nodales.

PFicticia=1500000000000000 0,22,23 hundimiento 0.15

kFicticio=100000000000000 P

Como se sabe, P=k*∆, se conoce el desplazamiento que es de 15 cm, así que ∆= K ; por lo tanto:

∆=

1500000000000000 =15 cm 100000000000000

La carga ficticia la colocaremos de acuerdo a la numeración en el nodo 22, y la k ficticia de igual manera se sumara en la matriz de rigidez global en k22.22. Por eso se colocó el -1500000000000000, en la matriz de cargas nodales.

79


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Quedando con los siguientes valores la matriz de rigidez de la estructura: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

200.07

190.73

-434.02

-195.07

-190.73

-434.02

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

190.73

200.07

434.02

-190.73

-195.07

434.02

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

-434.02

434.02

115738.39

434.02

-434.02

57869.20

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

-195.07

-190.73

434.02

390.13

381.45

0.00

-195.07

-190.73

-434.02

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

-190.73

-195.07

-434.02

381.45

390.13

0.00

-190.73

-195.07

434.02

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

-434.02

434.02

57869.20

0.00

0.00

231476.78

434.02

-434.02

57869.20

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

-195.07

-190.73

434.02

1286.26

190.73

434.02

-1091.19

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

-190.73

-195.07

-434.02

190.73

293.27

4476.35

0.00

-98.21

4910.36

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

-434.02

434.02

57869.20

434.02

4476.35

443095.99

0.00

-4910.36

163678.80

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

-1091.19

0.00

0.00

1454.92

0.00

0.00

-363.73

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

-98.21

-4910.36

0.00

101.84

-4364.77

0.00

-3.64

545.60

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

4910.36

163678.80

0.00

-4364.77

436476.80

0.00

-545.60

54559.60

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

-363.73

0.00

0.00

1454.92

0.00

0.00

-1091.19

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

-3.64

-545.60

0.00

101.84

4364.77

0.00

-98.21

4910.36

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

545.60

54559.60

0.00

4364.77

436476.80

0.00

-4910.36

163678.80

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

-1091.19

0.00

0.00

1103.47

0.00

1227.59

-12.28

0.00

1227.59

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

-98.21

-4910.36

0.00

643.80

-4910.36

0.00

-545.60

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

4910.36

163678.80

1227.59

-4910.36

491036.40

-1227.59

0.00

81839.40

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

-12.28

0.00

-1227.59

24.55

0.00

0.00

0.00

1227.59

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

-545.60

0.00

0.00

1091.19

0.00

-545.60

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

1227.59

0.00

81839.40

0.00

0.00

327357.60

0.00

81839.40

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

-545.60

0.00

1.00E+14

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

1227.59

0.00

81839.40

0.00

163678.80

Ya se cuenta con todos los elementos para conocer los desplazamientos globales de la estructura, de acuerdo a la siguiente ecuación: {d´}=[{PNodales ´}- {FEmp´ }][k´]-1 La matriz global se colocará en Excel en las celdas BI25:CE47, la matriz de cargas nodales en BF25:BF47, la matriz de fuerzas de empotramiento en BD25:BD47. Para poder realizar la matriz inversa de la estructura se utilizará la función “MINVERSA”, para la multiplicación de matrices “MMULT”. Para poder resolver de manera correcta esta ecuación en Excel se tendrá que seleccionar veintitrés espacios, como lo muestra la siguiente imagen:

Y aplicar la siguiente formula, esto solo para nuestro ejemplo: =MMULT((MINVERSA(BI25:CE47)),(BF25:BF47-BD25:BD47)).

80


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En el teclado de la computadora tenemos que dejar oprimidos los botones Ctrl+Shift y oprimir Enter, para que nos arroje los valores.

2 1

Obteniendo los resultados de los desplazamientos globales de la estructura. Desplazamientos Globales dx dy θz dx dy θz dx dy θz dx dy θz dx dy θz dx dy θz dx dy θz dy θz

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

-2.58 -5.09 -0.05 5.57 -13.32 -0.03 9.10 -16.90 -0.01 9.08 -18.16 -0.01 9.05 -15.97 0.02 9.04 -15.09 0.00 5.06 -15.06 -0.03 -15.00 -0.02

81


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


6. Aplicar las ecuaciones de compatibilidad en cada componente para conocer las fuerzas finales, esto por cada elemento; se realizará el ejemplo para el primer elemento y para los demás solo se colocarán los valores. {d}=[R]T *{d´} {F´}=[k´]{d´}+ {FEmp´ } {F}=[R]T *{F´} Para obtener las fuerzas finales de la estructura, primero se deben trasladar los desplazamientos globales de acuerdo a la numeración a un costado de la matriz de rigidez global, y aplicar la siguiente ecuación de compatibilidad. {F´}=[k´]{d´}+ {FEmp´ } Elemento 1. Elemento L= E= I= A= Alpha=

282.84 242.49 33750.00 450.00 45.00


Matriz Global 1 2 195.07 190.73 -434.02 -195.07 -190.73 -434.02

190.73 195.07 434.02 -190.73 -195.07 434.02

3

4

-434.02 434.02 115738.39 434.02 -434.02 57869.20

-195.07 -190.73 434.02 195.07 190.73 434.02

5

6

-190.73 -434.02 -195.07 434.02 -434.02 57869.20 190.73 434.02 195.07 -434.02 -434.02 115738.39

Fuerzas Empotramiento 1 RxA 0.000 2 RyA 8.485 3 MA 282.843 4 RyB 0.000 5 RyB 8.485 6 MB -282.843


Fuerzas Finales

Desplaz -2.580 -5.090 -0.051 5.573 -13.320 -0.027

cm cm cm cm

En el ejemplo se colocaron los desplazamientos globales de acuerdo a su numeración en las celdas AM24:AM30, seleccionar las celdas AQ24:AQ30, y colocar la siguiente ecuación: =(MMULT(P25:U30,AM25:AM30))+(AE25:AE30),de manera similar como la inversa de la matriz, en el teclado dejamos oprimimos CTRL+SHIFT y Enter.

82


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De manera similar para todos los elementos.

83


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Estos son los desplazamientos y las fuerzas en el sistema global del elemento, estos se deben transformar al sistema local de la estructura. dx= dy´ sen dy= dy´ cos θz= θz´ =Alpha Fx= Fy´ sen Fy= Fy´ cos Mz= Mz´ =Alpha.

+ dx´ cos - dx´ sen

+ Fx´ cos - Fx´ sen

84


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Ingeniería Civil


Ya se conocen todas las fuerzas de la estructura, ahora calcularemos las reacciones, estas son la suma de las fuerzas finales globales de cada elemento de acuerdo a la numeración colocada, obteniendo los siguientes resultados: Reacciones.

1 12.901 2 25.450 3 0.000 4 0.000 5 0.000 6 0.000 7 0.000 8 0.000

9 10 11 12 13 14 15 16

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

17 18 19 20 21 0 22 23

0.000 0.000 -14.142 -14.142 0.000 1.241 31.663 0.000

85


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Ingeniería Civil


P=10 T w=4 T/m 2.00

2.00

7,8,9

16,17,18

10,11,12 1.00

13,14,15 3.00

1.00

2.00

P=20 T

2.00

45°

w=6 T/m

4,5,6

19,20,21

2.00

2.00

Rx=12.901 T Ry=25.450 T

1,2,3

k=5 T/cm

Rx=1.241 hundimiento

0,22,23

0.15

Ry=31.663 T k=5 T/cm

Diagramas de fuerza normal, cortante y momentos. Con las fuerzas locales de cada elemento se pueden trazar los diagramas de fuerza normal, cortante y momentos, solo se debe tener una buena interpretación de estos. La dirección de estas fuerzas es de acuerdo al sistema local de cada elemento.

86


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Colocando las fuerzas en cada elemento; la dirección de la flecha indica si es positivo o negativo. P=10 T

709.766

x

4

15.521 12.901 12.901 646.443

646.443

y

5

12.901

x

2331.847

17.521

12.901 709.766

15.521

x

12.901

6.479

3

y

17.521

15

.1 1

8

8.479

12.901 71.497

w=4 T/m

6.479

y

12.901

71.497

12 3.

2331.847

y

6

y

x

x

6 P=20 T

2 12 3.

45° 248.290

17.521

812.780

15

11

8

31.663

15

.1 1

8

6

12.901

812.780 248.290

12 3.

w=6 T/m

1.241 y

6

y

x

x

7

1

1.241

31.663

18

87

.1

8.

27

4

0.000

15 11 8

Elemento 1.

812.780

x

y

6 12 3.

w=6 T/m 1

0.000

8. 87 4

18 .1 27

87

0.000


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15

.1

18

Elemento 2.

71.497

3.

x

y

6

12

2 3. 6

12 15 .

11

8

812.780

Elemento 3.

6.479

y

12.901

3

8.479

71.497

12.901

x

709.766

18

Elemento 4. 15 .1

P=10 T

6 12

3.

w=4 T/m y

709.766

x

4

12.901 646.443

15.521

6.479

12.901

88


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15.521

Elemento 5. y

5

646.443

x

12.901 2331.847

17.521

12.901

Elemento 6. 17.521 12.901 2331.847

y x

6 P=20 T 45° 12.901

17.521

248.290

Elemento 7. 31.663 248.290

1.241 y

x

7

0.000

31.663

1.241

89


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Diagrama de fuerza normal (ton). P=10 T w=4 T/m y

y

3

x

12.901 12.901 x

12.901 12.901

4

5

12.901

x

17.521

15

.1

18

12.901

y

y

y

x

x

6 P=20 T

2

15

11

8

31.663

15 .1 1

8

17.521

45°

w=6 T/m

y

y

x

x

7

1

.1

18

31.663

27

Tomando los signos de las fuerzas en dirección normal de los elementos mostrados en la figura, el diagrama queda de la siguiente manera:

15.118

12.901 +

12.901

12.901 12.901 +

+ 17.521

+

-

15.118 17.521

31.663 27.118

+

31.663

90


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Ingeniería Civil


Diagrama de fuerza cortante (ton). P=10 T

x

4

5

15.521

x

y

x

17.521

y

6.479

8.479

6.479

3

15.521

w=4 T/m y

12.901

6 12 3.

y

y

x

x

6 P=20 T

2 6 12 3.

45° 12.901

1.241 y

6 12 3.

w=6 T/m y

x

x

7

1

8. 87 4

1.241

De la misma forma que el diagrama de fuerza normal, se toman los signos de los nodos iniciales de cada barra, quedando de la siguiente manera el diagrama de fuerza cortante de la estructura:

8.479

6.479 + + -3.126

0.479 9.521

-

-

15.521 17.521 + 1.241

-

-3.126

12.901

8.874

+ 1.241

91

12.901


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Diagrama de momentos (ton*cm). P=10 T w=4 T/m y

71.497

y

y

3

x

709.766

x

709.766

4

646.443

5

646.443

x

2331.847

71.497 2331.847

y

y

x x

6 P=20 T

2

45° 248.290

812.780

812.780

w=6 T/m

248.290

y

y

x x

7

1

0.000

0.000

Trazando el diagrama de momentos, quedando de la siguiente manera: 709.77 +

71.50

+

2331.85

646.44

812.78 +

0.000

+

-

-

2331.85 248.29 +

0.000

Los diagramas de fuerza normal, cortante y momentos también se pueden trazar por tramos, calculando las ecuaciones.

92


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


P=10 T w=4 T/m 2.00

2.00

G

C

D 1.00

E 3.00

F 1.00

P=20 T

2.00

2.00

45°

B

w=6 T/m

H

2.00

2.00

Rx=1.241

Rx=12.901 T

A

I

Ry=31.663 T

Ry=25.450 T

Tramo A-B 200

B w=0.06 T/cm 200 X 45°

Rx=12.901 T

A Ry=25.450 T

2 2 0 ≤ X ≤ √200 +200 0 cm ≤ X ≤ 282.843 cm

N=Ry cos 45 +Rx cos 45 -wX cos 45 V=Ry sen 45 -Rx sen 45 -wX sen 45 wX2 sen 45 M=Ry sen 45 X-Rx sen 45 X2 Sustituyendo valores. N=25.450 cos 45 +12.901 cos 45 -0.06 X cos 45 V=25.450 sen 45 -12.901 sen 45 -0.06 X sen 45 2 0.06 X sen 45 M=25.450 sen 45 X-12.901 sen 45 X2 X (cm) 0.000 70.711 141.421 212.132 282.843

N (Ton) 27.118 24.118 21.118 18.118 15.118

A-B V (Ton) 8.874 5.874 2.874 -0.126 -3.126

M (Ton*m) 0.000 521.393 830.654 927.783 812.780

93


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Tramo B-C 200

200

C

200

B

w=0.06 T/cm

X

200

282.843 45°

Rx=12.901 T

A

Ry=25.450 T

√2002 +2002 ≤ X ≤ √4002 +4002 282.843 cm ≤ X ≤ 565.685 cm N=Ry cos 45 +Rx cos 45 -w L cos 45 V=Ry sen 45 -Rx sen 45 -w L sen 45 M=Ry sen 45 X-Rx sen 45 X-w L sen 45 (X-

282.843 ) 2

Sustituyendo valores. N=25.450 cos 45 +12.901 cos 45 -0.06*282.843 cos 45 V=25.450 sen 45 -12.901 sen 45 -0.06*282.843 sen 45 M=25.450 sen 45 X-12.901 sen 45 X-0.06 *282.843 * sen 45 (X-

X (cm) 282.843 353.553 424.264 494.975 565.685

N (Ton) 15.118 15.118 15.118 15.118 15.118

B-C V (Ton) -3.126 -3.126 -3.126 -3.126 -3.126

282.843 ) 2

M (Ton*m) 812.780 591.710 370.641 149.572 -71.497

94


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Tramo C-D 200

200

100

C X

w=0.04 T/cm D

200

w=0.06 T/cm

B

200 45°

Rx=12.901 T

A Ry=25.450 T

0 ≤ X ≤ 100 N=Rx V=Ry-w1 L -

w2 X 2

M=Ry (400+X)-Rx(400) -w1 L(300+X)-

w2 X X ( ) 2 3

w2 w2 w=0.04 T/cm X 100

X - 100 cm w2 - 0.04 0.04 X w2 = =0.0004 X 100 Sustituyendo valores. N=12.901

0.0004 X2 V=25.450-0.06*282.843 2 M=25.450 (400+X)-12.901(400)-0.06*282.843*(300+X)-

X (cm) 0.000 50.000 100.000

N (Ton) 12.901 12.901 12.901

C-D V (Ton) 8.479 7.979 6.479

0.0004 X3 6

M (Ton*m) -71.497 344.135 709.766

95


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Tramo D-E

w=0.04 T/cm 200

200

C

E

D 100

X

150

200

w=0.06 T/cm

B

200 45°

Rx=12.901 T

A Ry=25.450 T

100 ≤ X ≤ 250 N=Rx V=Ry-w1 L -

w2 (100) -w2 (X-100) 2

w2 (100) 2(100) w2 (X-100) M=Ry (400+X)-Rx(400) -w1 L(300+X)(X)2 3 2 Sustituyendo valores. N=12.901 V=25.450-0.06*282.843 -

0.04 (100) -0.04(X-100) 2

M=25.450 (400+X)-12.901(400) -0.06*282.843 (300+X)-

X (cm) 100.000 150.000 200.000 250.000

N (Ton) 12.901 12.901 12.901 12.901

D-E V (Ton) 6.479 4.479 2.479 0.479

2

0.04 (100) 2(100) 0.04 (X-100) (X)2 3 2

M (Ton*m) 709.766 983.731 1157.696 1231.661

Para simplificar las ecuaciones, se comenzara de izquierda a derecha.

96

2


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Tramo F-E w=0.04 T/cm E 150

X

G

F 100

P=20 T

200

45°

H

200

Rx=1.241

I

Ry=31.663 T

100 ≤ X ≤ 250 N=-Rx+P cos 45 V=-Ry+P sen 45+

w*100 +w (X-100) 2

w (100) 2(100) w (X-100) M=Ry X+Rx (400)-P cos 45(200)-P sen 45 X(X)2 3 2 Sustituyendo valores. N=-1.241+20 cos 45 V=-31.663+20 sen 45+

0.04*100 +0.04 (X-100) 2

M=31.663 X+1.241 (400)-20 cos 45(200)-20 sen 45 X-

X (cm) 250.000 200.000 150.000 100.000

N (Ton) 12.901 12.901 12.901 12.901

F-E V (Ton) -9.521 -11.521 -13.521 -15.521

2

0.04 (100) 2(100) 0.04 (X-100) (X)2 3 2

M (Ton*m) 1231.661 705.626 79.591 -646.443

97

2


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Tramo G-F

w=0.04 T/cm G F

X 100

P=20 T

200

45°

H

200

Rx=1.241

I

Ry=31.663 T

0 ≤ X ≤ 100 N=-Rx+P cos 45 V=-Ry+P sen 45+

wX 2

M=Ry X+Rx (400)-P cos 45(200)-P sen 45 X-

wX X ( ) 2 3

w

w=0.04 T/cm

w X 100

X w

- 100 cm - 0.04 0.04 X w= =0.0004 X 100 Sustituyendo valores. N=-1.241+20 cos 45

0.0004 X2 V=-31.663+20 sen 45+ 2

0.0004 X3 M=31.663 X+1.241 (400)-20 cos 45(200)-20 sen 45 X6 X (cm) 100.000 50.000 0.000

N (Ton) 12.901 12.901 12.901

G-F V (Ton) -15.521 -17.021 -17.521

M (Ton*m) -646.443 -1464.145 -2331.847

98


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Tramo H-G

G P=20 T

200

45°

H X 200

Rx=1.241

I

Ry=31.663 T

200 ≤ X ≤ 400 N=-Ry+P sen 45 V=-Rx+P cos 45 M=Rx X-P cos 45 (X-200) Sustituyendo valores. N=-31.336+20 sen 45 V=-1.241+20 cos 45 M=1.241 X-20 cos 45 (X-200) X (cm) 400.000 350.000 300.000 250.000 200.000

N (Ton) -17.521 -17.521 -17.521 -17.521 -17.521

V (Ton) 12.901 12.901 12.901 12.901 12.901

M (Ton*m) -2331.847 -1686.812 -1041.778 -396.744 248.290

99


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Tramo I-H

H

X

Rx=1.241

200

I

Ry=31.663 T 0 ≤ X ≤ 200 N=-Ry V=-Rx M=Rx X Sustituyendo valores. N=-31.336 V=-1.241 M=1.241 X X (cm) 200.000 150.000 100.000 50.000 0.000

N (Ton) -31.663 -31.663 -31.663 -31.663 -31.663

I-H V (Ton) -1.241 -1.241 -1.241 -1.241 -1.241

M (Ton*m) 248.290 186.218 124.145 62.073 0.000

Ya se conocen todas las ecuaciones y sus valores, graficaremos estos, quedando de la siguiente manera: Diagrama de fuerza normal (ton). 15.118

12.901 +

12.901

12.901 12.901 +

+ 17.521

+

-

15.118 31.663 27.118

+

17.521

31.663

100


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Diagrama de fuerza cortante (ton). 8.479

6.479 + + -3.126

0.479

12.901 -

9.521 -

-

15.521 17.521 + 1.241

-

-3.126

12.901

8.874

+ 1.241

Diagrama de momentos (ton*m).

709.77 +

71.50

+

2331.85

646.44

812.78 +

0.000

+

-

-

2331.85 248.29 +

0.000

Se puede observar que se obtuvieron los mismos resultados, por ecuaciones como por el programa de Excel con las fuerzas locales; lo que se hará ahora es comprobar el ejercicio con una herramienta especializada, en este caso con SAP 2000 V16.

101


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15.1. COMPROBACIÓN DEL EJERCICIO EN SAP 2000 V16 Abrir el programa SAP 2000. 1. Seleccionar las unidades en este caso T,cm,C.

2.

File → New Model.

102


3.

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Seleccionar Blank.

Aparecerá la siguiente pantalla.

103


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4.

Hacer click derecho con el mause y seleccionar Edit Grid Data.

5.

Oprimir Modify/Show System.

104


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El programa arroja la siguiente pantalla, en el cual se deben colocar los ejes de referencia que se necesitan para trazar nuestra estructura.

6. En el caso de SAP 2000 la elevación está configurada con el eje Z, así que se tomarán los ejes de referencia de acuerdo al siguiente esquema:

Z

P=10 T w=0.04 T/cm

1.00

1.50

1.50

1.00

P=20 T

2.00

w=0.06 T/cm

45°

2.00

X

k=5 T/cm 0.15

k=5 T/cm

hundimiento 4.00

2.50

2.50

105


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Colocar las distancias de cada eje de referencia.

Oprimir ok→ok, y aparece la siguiente pantalla; en donde ya se tienen trazados los ejes de referencia.

106


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7. Definir el material y la sección. La estructura es de una sección de 30 x 15 cm, de concreto armado fć=300 kg/cm 2. Define → Materials…

Add New Material.

107


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Seleccionar en Material Type: concreto →ok.

Se coloca el peso específico del concreto, módulo de elasticidad (calculado anteriormente), módulo de poisson y el fć del concreto; todo esto de acuerdo a las unidades ya definidas → ok → ok.

108


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Ahora definir la sección de concreto, Define → Section Properties → Frame Sections…

Add New Property…

109


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Concrete → Rectangular.

Se coloca un nombre; en este caso se llamará “Sección Ejemplo”, se selecciona el material que previamente se definió “Concrete”, colocar las medidas 30 x 15 cm → Concrete Reinforcement…

110


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Para el ejemplo se selecciona Beam → ok → ok → ok.

8. Dibujo de los elementos. Draw → Draw Frame/Cable/Tendon.

111


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Aparecerá la siguiente pantalla, en Section seleccionar la sección que dimos de alta “Sección Ejemplo”.

Dar click en los nodos para dibujar los elementos y al terminar oprimir la tecla enter.

112


9.

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Asignar los apoyos y el hundimiento del lado derecho de 15 cm.

Para los apoyos elásticos. Seleccionar el apoyo izquierdo → Assing → Joint → Springs…

113


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Se selecciona el sistema global, y en Translation Global X, colocamos 5 T/cm y en Translation Global Z, 5 T/cm, debido a que en esos puntos se ubican los resortes (apoyos elásticos) → ok.

Apoyo derecho con hundimiento. Seleccionar el apoyo derecho → Assing → Restrains.

114


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Activar la casilla de Translation 1, 2 y 3 → ok.

115


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Para el hundimiento seleccionar el apoyo derecho → Joint Loads → Displacements…

Aparece la siguiente pantalla:

Seleccionar en Load Pattern Name el símbolo de mas, aparecerá una pantalla donde se debe colocar en Load Pattern Name “LIVE”, Type “LIVE” → Add New Load Pattern → ok.

116


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Seleccionar Live y colocar -15 cm en Translation Global Z → ok.

117


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10. Colocar las cargas sobre la estructura. Se comenzará con el elemento de la izquierda. Seleccionar el elemento → Assing → Frame Loads → Distributed…

En Load Pattern Name seleccionar “LIVE”, y colocar la carga que actúa en la estructura en dirección de la gravedad → ok.

118


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Para el segundo elemento se realiza lo mismo y se colocan los valores para la carga uniformemente distribuida. Seleccionar el elemento → Assing → Frame Loads → Distributed…

Para la carga puntual. Seleccionar el elemento → Assing → Frame Loads → Point…

119


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Colocar la carga puntual al centro del elemento.

Para el tercer elemento se descompondrá la carga en dos fuerzas, tanto vertical como horizontal y se colocará de forma puntual. Carga Vertical. Seleccionamos el elemento → Assing → Frame Loads → Point…→ ok.

120


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Carga horizontal. Seleccionar el elemento → Assing → Frame Loads → Point…→ ok.

Ya se tiene definida la sección, los materiales, los apoyos y las cargas; ya se puede ejecutar el programa para realizar la comparativa de resultados.

121


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Para ejecutar seleccionar Analyze → Run Analysis → Run Now.

Comparativa de Resultados. Reacciones. SAP 2000.

Hoja de cálculo en Excel.

Rx=1.241

Rx=12.901 T

Ry=31.663 T

Ry=25.450 T

122


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Las reacciones que se calcularon con el programa SAP 2000 y el programa de Excel que se elaboró son las mismas. Diagrama de fuerza normal (Ton). SAP 2000 V16.


15.118

12.901 +

12.901

12.901 12.901 +

+ 17.521

+

-

15.118 17.521

31.663 27.118

+

31.663

123


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Diagrama de fuerza cortante (Ton). SAP 2000 V16.


8.479

6.479 + + -3.126

0.479 9.521

-

-

15.521 17.521 + 1.241

-

-3.126

12.901

8.874

+ 1.241

124

12.901


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Diagrama de momentos (Ton*m). SAP 2000 V16.

Hoja de cálculo en Excel. 709.77 +

71.50

+

2331.85

646.44

812.78 +

0.000

+

-

-

2331.85 248.29 +

0.000

Conclusiones. La variación de los resultados es aproximadamente del 0.05%, así que los resultados de la hoja de cálculo son 100% confiables para el cálculo de los elementos mecánicos de cualquier estructura.

125


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Para realizar los siguientes ejercicios se calcularán con la misma hoja de cálculo en Excel y se compararán con el programa de análisis estructural SAP 2000. 16. EJERCICIO 2 (MARCO PLANO) Calcular los elementos mecánicos de la siguiente estructura; las columnas y la viga son de perfiles de acero tipo “W 6x9”.

w=0.05 T/cm

700

300

300

Propiedades de la sección, tomadas del manual IMCA.

Módulo de elasticidad: 2040 T/cm2. 126


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w=0.05 T/cm 2,3,4

5,6,7

2 700

3

1

300

dx,dy,0z Elementos

0,0,1

0,0,8

Elemento 1. Elemento

1

L= 300.00 cm cos= E= 2040.00 T/cm² sen= I= 683.00 cm⁴ A= 17.30 cm² Alpha= 90.00 °

Matriz Local 0 0 117.64 0.00 0.00 0.62 0.00 92.89 -117.64 0.00 0.00 -0.62 0.00 92.89

0.00 1.00

1 0.00 92.89 18577.60 0.00 -92.89 9288.80

2 -117.64 0.00 0.00 117.64 0.00 0.00

3 0.00 -0.62 -92.89 0.00 0.62 -92.89

4 0.00 92.89 9288.80 0.00 -92.89 18577.60

0 0 1 2 3 4

1 -92.89 0.00 18577.60 92.89 0.00 9288.80

2 -0.62 0.00 92.89 0.62 0.00 92.89

3 0.00 -117.64 0.00 0.00 117.64 0.00

4 -92.89 0.00 9288.80 92.89 0.00 18577.60

0 0 1 2 3 4

Matriz Global 0 0.62 0.00 -92.89 -0.62 0.00 -92.89

0 0 1 2 3 4


Fzs. Emp. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

Fza. Emp. Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm 0.000


Desplaz 0.000 0.000 0.057 0.052 -0.149 -0.114

0 0.00 117.64 0.00 0.00 -117.64 0.00

cm cm cm cm

Fza 5.291 17.500 0.000 -5.291 -17.500 -1587.421

Fza Finales 5.291 17.500 0.000 -5.291 -17.500 -1587.421

Desplaz 0.000 0.000 0.057 -0.149 -0.052 -0.114

127


cm cm cm cm

Fza 17.500 -5.291 0.000 -17.500 5.291 -1587.421


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2

L= 700.00 cm E= 2040.00 T/cm² I= 683.00 cm⁴ A= 17.30 cm² Alpha= 0.00 °

2 3 4 5 6 7


cos= sen=

Fzs. Emp. 0.05 0.000 17.500 2041.667 0.000 17.500 -2041.667

Matriz Local 2 3 50.42 0.00 0.00 0.05 0.00 17.06 -50.42 0.00 0.00 -0.05 0.00 17.06 Matriz Global 2 3 50.42 0.00 0.00 0.05 0.00 17.06 -50.42 0.00 0.00 -0.05 0.00 17.06

1.00 0.00

T/cm Fza. Emp. Ton 0.000 Ton 17.500 T*cm 2041.667 Ton 0.000 Ton 17.500 T*cm -2041.667


Desplaz 0.052 -0.149 -0.114 -0.052 -0.149 0.114

cm cm cm cm

4 0.00 17.06 7961.83 0.00 -17.06 3980.91

5 -50.42 0.00 0.00 50.42 0.00 0.00

6 0.00 -0.05 -17.06 0.00 0.05 -17.06

7 0.00 17.06 3980.91 0.00 -17.06 7961.83

2 3 4 5 6 7

4 0.00 17.06 7961.83 0.00 -17.06 3980.91

5 -50.42 0.00 0.00 50.42 0.00 0.00

6 0.00 -0.05 -17.06 0.00 0.05 -17.06

7 0.00 17.06 3980.91 0.00 -17.06 7961.83

2 3 4 5 6 7

Fza 5.291 0.000 -454.245 -5.291 0.000 454.245

Fza Finales 5.291 17.500 1587.421 -5.291 17.500 -1587.421


Desplaz 0.052 -0.149 -0.114 -0.052 -0.149 0.114

cm cm cm cm

Fza Finales 5.291 17.500 1587.421 -5.291 17.500 -1587.421


3

L= 300.00 cm cos= E= 2040.00 T/cm² sen= I= 683.00 cm⁴ A= 17.30 cm² Alpha= 90.00 °

0 0 8 5 6 7


Fzs. Emp. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.00 1.00


Matriz Local 0 0 117.64 0.00 0.00 0.62 0.00 92.89 -117.64 0.00 0.00 -0.62 0.00 92.89 Matriz Global 0 0 0.62 0.00 0.00 117.64 -92.89 0.00 -0.62 0.00 0.00 -117.64 -92.89 0.00

Desplaz Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm -0.057 Ton -0.052 Ton -0.149 T*cm 0.114

cm cm cm cm

8 0.00 92.89 18577.60 0.00 -92.89 9288.80

5 -117.64 0.00 0.00 117.64 0.00 0.00

6 0.00 -0.62 -92.89 0.00 0.62 -92.89

7 0.00 92.89 9288.80 0.00 -92.89 18577.60

0 0 8 5 6 7

8 -92.89 0.00 18577.60 92.89 0.00 9288.80

5 -0.62 0.00 92.89 0.62 0.00 92.89

6 0.00 -117.64 0.00 0.00 117.64 0.00

7 -92.89 0.00 9288.80 92.89 0.00 18577.60

0 0 8 5 6 7

Fza -5.291 17.500 0.000 5.291 -17.500 1587.421

Fza Finales -5.291 17.500 0.000 5.291 -17.500 1587.421

Desplaz 0.000 0.000 -0.057 -0.149 0.052 0.114

128


cm cm cm cm

Fza Finales 17.500 5.291 0.000 -17.500 -5.291 1587.421


θz dx dy θz dx dy θz θz

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8

Desplaz 0.06 0.05 -0.15 -0.11 -0.05 -0.15 0.11 -0.06 Matriz Global 1 18577.60 92.89 0.00 9288.80 0.00 0.00 0.00 0.00 Matriz Inversa 1 0.00 -0.03 0.00 0.00 -0.03 0.00 0.00 0.00

E.S.I.A. Zacatenco

Apoyos elasticos 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1 2 3 4 5 6 7 8 2

Fza. Emp 0.000 0.000 17.500 2041.667 0.000 17.500 -2041.667 0.000

3 92.89 51.04 0.00 92.89 -50.42 0.00 0.00 0.00

Global 2

0.00 0.00 117.69 17.06 0.00 -0.05 17.06 0.00 3

-0.03 7.01 0.00 -0.01 7.00 0.00 -0.01 -0.03

Reacciones. 0 5.291 0 17.500 1 0.000 2 0.000 3 0.000 4 0.000

Ingeniería Civil

C. Nod 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

4 9288.80 92.89 17.06 26539.43 0.00 -17.06 3980.91 0.00 4

0.00 0.00 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

5 6 7 0 0 8


5

6 0.00 -50.42 0.00 0.00 51.04 0.00 92.89 92.89

5 0.00 -0.01 0.00 0.00 -0.01 0.00 0.00 0.00

7

0.00 0.00 -0.05 -17.06 0.00 117.69 -17.06 0.00 6

-0.03 7.00 0.00 -0.01 7.01 0.00 -0.01 -0.03

8

0.00 0.00 17.06 3980.91 92.89 -17.06 26539.43 9288.80 7

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 92.89 0.00 9288.80 18577.60 8

0.00 -0.01 0.00 0.00 -0.01 0.00 0.00 0.00

0.000 0.000 0.000 -5.291 17.500 0.000

Modelo en SAP 2000.

129

0.00 -0.03 0.00 0.00 -0.03 0.00 0.00 0.00


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Reacciones. SAP 2000.


Rx=5.291 T

Rx=5.291 T

Ry=17.500 T

Ry=17.500 T

Diagrama de fuerza normal. SAP 2000.


5.291 17.500

5.291 +

17.500

+

-

17.500

17.500

130


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Diagrama de fuerza cortante. SAP 2000.


17.500 +

5.291

5.291 17.500

+

+

5.291

5.291

Diagrama de momentos. SAP 2000.


1587.421 1587.421 -

1587.421 -

+

1587.421 -

1475.079

0.000

0.000

131


17.

E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


EJERCICIO 3 (VIGA)

Calcular los elementos mecánicos de la siguiente estructura. La cual tiene una sección de 60 x 30 cm, de concreto armado fć=300 kg/cm 2.

w=0.06 T/cm

P=5 T

200

P=5 T

400

200

P=5 T

200

200

Propiedades geométricas E=14000 √fć=14000*√300 kg/cm2 E= 242487.1131 kg/cm2 3

3

b*h 30 cm*60 cm = 12 12 4 I= 540000 cm I=

A=b*h=30 cm*60 cm A= 1800 cm2 Se puede simplificar el problema, suprimiendo deformaciones en el sentido “x”, debido a que no existen fuerzas, quedando de la siguiente manera, utilizando la misma hoja de cálculo.

dy,0z Elementos w=0.06 T/cm

P=5 T 1,2

1 200

0,3

2 400

P=5 T

P=5 T 3

0,4 200

0,0

200

200

132


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil



1

L= 200.00 E= 242.49 I= 540000 A= 1800.00 Alpha= 0.00

cm cos= T/cm² sen= cm⁴ cm² °

Matriz Local 0 1 2 2182.38 0.00 0.00 0.00 196.41 19641.46 0.00 19641.46 2618860.82 -2182.38 0.00 0.00 0.00 -196.41 -19641.46 0.00 19641.46 1309430.41

1.00 0.00

0 -2182.38 0.00 0.00 2182.38 0.00 0.00

0 0.00 -196.41 -19641.46 0.00 196.41 -19641.46

3 0.00 19641.46 1309430.41 0.00 -19641.46 2618860.82

0 1 2 0 0 3

0 -2182.38 0.00 0.00 2182.38 0.00 0.00

0 0.00 -196.41 -19641.46 0.00 196.41 -19641.46

3 0.00 19641.46 1309430.41 0.00 -19641.46 2618860.82

0 1 2 0 0 3

Matriz Global 0 2182.38 0.00 0.00 -2182.38 0.00 0.00

0 1 2 0 0 3


Fzs. Emp. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000


Desplaz Ton 0.000 Ton -0.131 T*cm 0.001 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm 0.000

1 2 0.00 0.00 196.41 19641.46 19641.46 2618860.82 0.00 0.00 -196.41 -19641.46 19641.46 1309430.41

Fza 0.000 -5.000 0.000 0.000 5.000 -1000

cm cm cm cm

Fza Finales 0.000 -5.000 0.000 0.000 5.000 -1000

Desplaz 0.000 -0.131 0.001 0.000 0.000 0.000


cm cm cm cm

Fza Finales 0.000 -5.000 0.000 0.000 5.000 -1000


2

L= 400.00 E= 242.49 I= 540000 A= 1800.00 Alpha= 0.00

cm T/cm² cm⁴ cm² °

cos= sen=

Matriz Local 0 0 3 1091.19 0.00 0.00 0.00 24.55 4910.36 0.00 4910.36 1309430.41 -1091.19 0.00 0.00 0.00 -24.55 -4910.36 0.00 4910.36 654715.21

1.00 0.00

0 -1091.19 0.00 0.00 1091.19 0.00 0.00

0 0.00 -24.55 -4910.36 0.00 24.55 -4910.36

4 0.00 4910.36 654715.21 0.00 -4910.36 1309430.41

0 0 3 0 0 4

0 -1091.19 0.00 0.00 1091.19 0.00 0.00

0 0.00 -24.55 -4910.36 0.00 24.55 -4910.36

4 0.00 4910.36 654715.21 0.00 -4910.36 1309430.41

0 0 3 0 0 4

Matriz Global 0 1091.19 0.00 0.00 -1091.19 0.00 0.00

0 3 0.00 0.00 24.55 4910.36 4910.36 1309430.41 0.00 0.00 -24.55 -4910.36 4910.36 654715.21


Fzs. Emp. w= 0 0 3 0 0 4


Fza. T/cm Emp. 0.000 Ton 0.000 12.000 Ton 12.000 800.000 T*cm 800.000 0.000 Ton 0.000 12.000 Ton 12.000 -800.000 T*cm -800.000 0.06


Desplaz 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

cm cm cm cm

Fza 0.000 0.794 200.000 0.000 -0.794 117.647

Fza Finales 0.000 12.794 1000 0.000 11.206 -682.353

Desplaz 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

133

cm cm cm cm

Fza Finales 0.000 12.794 1000 0.000 11.206 -682.353


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil



3

L= 600.00 E= 242.49 I= 540000 A= 1800.00 Alpha= 0.00


cos= sen=

Matriz Local 0 0 4 727.46 0.00 0.00 0.00 7.27 2182.38 0.00 2182.38 872953.61 -727.46 0.00 0.00 0.00 -7.27 -2182.38 0.00 2182.38 436476.80

1.00 0.00

0 -727.46 0.00 0.00 727.46 0.00 0.00

0 0 0.00 0.00 -7.27 2182.38 -2182.38 436476.80 0.00 0.00 7.27 -2182.38 -2182.38 872953.61

0 0 4 0 0 0

0 -727.46 0.00 0.00 727.46 0.00 0.00

0 0 0.00 0.00 -7.27 2182.38 -2182.38 436476.80 0.00 0.00 7.27 -2182.38 -2182.38 872953.61

0 0 4 0 0 0

Matriz Global

Fzs. Emp. P= 5 a1= 200 a2= RxA RyA MA RxB RyB MB

0 0 4 0 0 0

400 0.000 5.000 666.667 0.000 5.000 -666.667

0 727.46 0.00 0.00 -727.46 0.00 0.00

Ton cm Fza. cm Emp. Ton 0.000 Ton 5.000 T*cm 666.667 Ton 0.000 Ton 5.000 T*cm -666.667

Desplaz Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm 0.000

0 4 0.00 0.00 7.27 2182.38 2182.38 872953.61 0.00 0.00 -7.27 -2182.38 2182.38 436476.80

Fza 0.000 0.039 15.686 0.000 -0.039 7.843

cm cm cm cm

Fza Finales 0.000 5.039 682.353 0.000 4.961 -658.824

Desplaz 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

Apoyos dy θz θz θz

Desplaz -0.1306 0.0009 0.0001 0.0000

elasticos 0.00 0.00 0.00 0.00

1 2 3 4

1 2 3 4

Matriz Global 1 196.41 19641.46 19641.46 0.00

1 2 3 4

Matriz Inversa Global 1 0.06 0.00 0.00 0.00

2 19641.46 2618860.82 1309430.41 0.00

Fza. Emp 0.000 0.000 800.000 -133.333

3 19641.46 1309430.41 3928291.23 654715.21

2

3 0.00 0.00 0.00 0.00

C. Nod -5.00 0.00 0.00 0.00

4 0.00 0.00 654715.21 2182384.02

4 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00

Reacciones. 1 2 0 3

-5.000 0.000 17.794 0.000

0 4 0 0

16.245 0.000 4.961 -658.824

134


cm cm cm cm

Fza Finales 0.000 5.039 682.353 0.000 4.961 -658.824


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Modelo en SAP 2000.


Hoja de cálculo en Excel. Mz=658.824 T*cm Ry=17.794 T

Ry=16.245 T

Ry=4.961 T

Diagrama de fuerza cortante. 135


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


SAP 2000.

Hoja de cálculo en Excel. 12.794 5.039 +

+ -

0.039+

-

-

4.961

5.000 11.206



136


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil

325.49

+

1000.000

333.333

+

-

-

682.353

658.824

-

18.


EJERCICIO 4 (VIGA)

Calcular los elementos mecánicos de la siguiente estructura. La cual tiene una sección de 40 x 20 cm, de concreto armado fć=350 kg/cm 2. w=0.1 T/cm

P=20 T

P=20 T

k=8 T/cm 500

M=4000 T*cm

k=8 T/cm

300

300

k=8 T/cm

300

200

300

Propiedades geométricas. E=14000 √fć=14000*√350 kg/cm2 E= 261916.0171 kg/cm2 3

3

b*h 20 cm*40 cm I= = 12 12 I= 106666.667 cm4 A=b*h=20 cm*40 cm A= 800 cm2 De la misma manera que se realizó el ejercicio anterior, se pueden suprimir los desplazamientos en el sentido “x”. dy,0z Elementos w=0.1 T/cm 0,1

1 500

P=20 T

P=20 T

2

2,3 k=8 T/cm 300

3

4,5 k=8 T/cm 300

M=4000 T*cm

300

200

Elemento 1.

137

6,7 k=8 T/cm 300


Elemento

E.S.I.A. Zacatenco

1


cos= sen=

1.00 0.00

Ingeniería Civil



1 0.00 670.51 223501.67 0.00 -670.51 111750.83

0 -419.07 0.00 0.00 419.07 0.00 0.00

2 0.00 -2.68 -670.51 0.00 2.68 -670.51

3 0.00 670.51 111750.83 0.00 -670.51 223501.67

0 0 1 0 2 3

1 0.00 670.51 223501.67 0.00 -670.51 111750.83

0 -419.07 0.00 0.00 419.07 0.00 0.00

2 0.00 -2.68 -670.51 0.00 2.68 -670.51

3 0.00 670.51 111750.83 0.00 -670.51 223501.67

0 0 1 0 2 3


Fzs. Emp.

0 0 1 0 2 3

w=

0.1


0.000 25.000 2083.333 0.000 25.000 -2083.333


Desplaz Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm -0.024 Ton 0.000 Ton -4.535 T*cm 0.002

cm cm cm cm

Fza 0.000 -2.404 -2083.333 0.000 2.404 881.510

Fza Finales 0.000 22.596 0.000 0.000 27.404 -1201.823

Desplaz 0.000 0.000 -0.024 0.000 -4.535 0.002

cm cm cm cm

Fza Finales 0.000 22.596 0.000 0.000 27.404 -1201.823


2


P= a= 0 2 3 0 4 5


20

cos= sen=

1.00 0.00

4 0.00 -1.55 -465.63 0.00 1.55 -465.63

5 0.00 465.63 93125.69 0.00 -465.63 186251.39

0 2 3 0 4 5

4 0.00 -1.55 -465.63 0.00 1.55 -465.63

5 0.00 465.63 93125.69 0.00 -465.63 186251.39

0 2 3 0 4 5


Ton

Fza. cm Emp. 0.000 Ton 0.000 10.000 Ton 10.000 1500 T*cm 1500 0.000 Ton 0.000 10.000 Ton 10.000 -1500 T*cm -1500 300

Matriz Local 0 2 3 0 349.22 0.00 0.00 -349.22 0.00 1.55 465.63 0.00 0.00 465.63 186251.39 0.00 -349.22 0.00 0.00 349.22 0.00 -1.55 -465.63 0.00 0.00 465.63 93125.69 0.00 Matriz Global 0 2 3 0 349.22 0.00 0.00 -349.22 0.00 1.55 465.63 0.00 0.00 465.63 186251.39 0.00 -349.22 0.00 0.00 349.22 0.00 -1.55 -465.63 0.00 0.00 465.63 93125.69 0.00

Desplaz Ton 0.000 Ton -4.535 T*cm 0.002 Ton 0.000 Ton -2.621 T*cm 0.002

cm cm cm cm

Fza 0.000 -1.125 -298.177 0.000 1.125 -376.843

Fza Finales 0.000 8.875 1201.823 0.000 11.125 -1876.843

Desplaz 0.000 -4.535 0.002 0.000 -2.621 0.002

Elemento 3.

138

cm cm cm cm

Fza Finales 0.000 8.875 1201.823 0.000 11.125 -1876.843


Elemento

3


M= a= P= a= 0 4 5 0 6 7

E.S.I.A. Zacatenco


Fzs. Emp. -4000 500 20

cos= sen=

Matriz Local 0 4 5 261.92 0.00 0.00 0.00 0.65 261.92 0.00 261.92 139688.54 -261.92 0.00 0.00 0.00 -0.65 -261.92 0.00 261.92 69844.27 Matriz Global 0 4 5 261.92 0.00 0.00 0.00 0.65 261.92 0.00 261.92 139688.54 -261.92 0.00 0.00 0.00 -0.65 -261.92 0.00 261.92 69844.27

1.00 0.00

T*m cm Ton

300

cm Fza. Emp. 0.000 Ton 0.000 6.641 Ton 6.641 1031.250 T*cm 1031.250 0.000 Ton 0.000 13.359 Ton 13.359 -1718.750 T*cm -1718.750

Desplaz Ton 0.000 Ton -2.621 T*cm 0.002 Ton 0.000 Ton -1.269 T*cm 0.014

Apoyos elasticos 0.00 8.00 0.00 8.00 0.00 8.00 0.00

Desplaz -0.02 -4.53 0.00 -2.62 0.00 -1.27 0.01

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

Matriz Global 1 223501.67 -670.51 111750.83 0.00 0.00 0.00 0.00

2 -670.51 12.23 -204.88 -1.55 465.63 0.00 0.00

3 111750.83 -204.88 409753.06 -465.63 93125.69 0.00 0.00

1 2 3 4 5 6 7

Matriz Inversa Global 1 2 0.0000062 0.0003107 0.0003107 0.1069283 -0.0000016 0.0000201 -0.0000259 0.0123422 0.0000000 -0.0001644 -0.0000010 -0.0023898 0.0000001 0.0000546

3 -0.0000016 0.0000201 0.0000032 0.0001258 -0.0000009 -0.0000123 0.0000002

θz dy θz dy θz dy θz

Ingeniería Civil

cm cm cm cm

Fza. Emp 2083.333 35.000 -583.333 16.641 -468.750 13.359 -1718.750 4


0 -261.92 0.00 0.00 261.92 0.00 0.00

6 0.00 -0.65 -261.92 0.00 0.65 -261.92

7 0.00 261.92 69844.27 0.00 -261.92 139688.54

0 4 5 0 6 7

0 -261.92 0.00 0.00 261.92 0.00 0.00

6 0.00 -0.65 -261.92 0.00 0.65 -261.92

7 0.00 261.92 69844.27 0.00 -261.92 139688.54

0 4 5 0 6 7

Fza Finales 0.000 9.846 1876.843 0.000 10.154 0.000

Fza 0.000 3.205 845.593 0.000 -3.205 1718.750

Desplaz 0.000 -2.621 0.002 0.000 -1.269 0.014

C. Nod 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 5

6

7

0.00 -1.55 -465.63 10.21 -203.71 -0.65 261.92

0.00 465.63 93125.69 -203.71 325939.93 -261.92 69844.27

0.00 0.00 0.00 -0.65 -261.92 8.65 -261.92

0.00 0.00 0.00 261.92 69844.27 -261.92 139688.54

4 -0.0000259 0.0123422 0.0001258 0.1134644 0.0000720 0.0034306 -0.0002423

5 0.0000000 -0.0001644 -0.0000009 0.0000720 0.0000041 0.0000674 -0.0000021

6 -0.0000010 -0.0023898 -0.0000123 0.0034306 0.0000674 0.1236428 0.0001917

7 0.0000001 0.0000546 0.0000002 -0.0002423 -0.0000021 0.0001917 0.0000090

Reacciones. 1 -5.000 0 2 0.000 3 Modelo en SAP 2000.

17.794 0.000

0 0

4.961 -658.824

0 4

16.245 0.000

139


cm cm cm cm

Fza Finales 0.000 9.846 1876.843 0.000 10.154 0.000


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil



Hoja de cálculo en Excel. 140


E.S.I.A. Zacatenco

Ry=22.596 T

Ingeniería Civil

Ry=36.279 T


Ry=20.971 T

Ry=10.154 T

Diagrama de fuerza cortante. SAP 2000.


22.596

9.846

8.875

+

+

+

-

-

10.154

11.125

27.404

Diagrama de momentos. 141


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


SAP 2000.

Hoja de cálculo en Excel. 3046.184

2552.976

1460.667 1076.973

+ + -

+

+ -

-

953.816

1201.823 1876.843

19.

EJERCICIO 5 (VIGA)

142


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Calcular los elementos mecánicos de la siguiente estructura. La cual tiene una sección de perfil “W 4x13”;

w=0.07 T/cm

500


Módulo de elasticidad: 2040 T/cm2.

dy,0z Elementos 0,1

w=0.07 T/cm 1

0,0

500

Elemento 1.

143


Elemento

E.S.I.A. Zacatenco

1


cos= sen=

Ingeniería Civil


1.00 0.00


1 0.00 23.06 7686.72 0.00 -23.06 3843.36

0 -101.18 0.00 0.00 101.18 0.00 0.00

0 0.00 -0.09 -23.06 0.00 0.09 -23.06

0 0.00 23.06 3843.36 0.00 -23.06 7686.72

0 0 1 0 0 0

1 0.00 23.06 7686.72 0.00 -23.06 3843.36

0 -101.18 0.00 0.00 101.18 0.00 0.00

0 0.00 -0.09 -23.06 0.00 0.09 -23.06

0 0.00 23.06 3843.36 0.00 -23.06 7686.72

0 0 1 0 0 0


Fzs. Emp.

0 0 1 0 0 0

w=

0.07


0.000 17.500 1458.333 0.000 17.500 -1458.333

Desplaz dy -0.1897


1

Desplaz Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm -0.190 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm 0.000

Apoyos elasticos 0.00

cm cm cm cm

Fza 0.000 -4.375 -1458.333 0.000 4.375 -729.167

Fza. Emp 1458.333

Fza Finales 0.000 13.125 0.000 0.000 21.875 -2187.500

C. Nod 0.00

Matriz Global 1 1 7686.72 Matriz Inversa Global 1 1 0.00013

Reacciones. 0 1 0 0

13.125 0.000 21.875 -2187.500

Modelo en SAP 2000.

144

Fza Desplaz Finales 0.000 cm 0.000 0.000 cm 13.125 -0.190 0.000 0.000 cm 0.000 0.000 cm 21.875 0.000 -2187.500


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil




Mz=2187.500 T*cm Ry=13.125 T

Ry=21.875 T

Diagrama de fuerza cortante.

145


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


SAP 2000.

Hoja de cálculo en Excel. 13.125 +

-

21.875


146


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Hoja de cálculo en Excel. +

0.000

-

2187.500

20.

EJERCICIO 6 (ARMADURA)

Calcular los elementos mecánicos de la siguiente estructura. La cual tiene una sección de perfil “OC de 1.66x0.14”.

P=8 T

P=10 T

200

200

200

200

200


147


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Las armaduras solo trabajan axialmente a compresión o tensión, así que no existe giro en ellas (θz), se suprimirán.

0,0

0,0

P=10 T

1,2

3,4

1 4

8

2

5

3

200

P=8 T

5,6

7

dx,dy Elementos

7,8

200

6

200

200

200

Elemento 1.

L= E= I= A= Alpha=

0 0 0 1 2 0

Elemento

1

400.00 2040.00 0.00 4.01 0.00



c= 1.00 s= 0.00

Matriz Local 0 0 20.46 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -20.46 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Matriz Global 0 0 20.46 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -20.46 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Fzs. Emp. Fzs. Emp. 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm 0.000 T*cm 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm 0.000 T*cm

Desplaz 0.000 0.000 0.000 2.476 -7.147 0.000

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1 -20.46 0.00 0.00 20.46 0.00 0.00

2 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0 0 1 2 0

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1 -20.46 0.00 0.00 20.46 0.00 0.00

2 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0 0 1 2 0

cm cm cm cm

Fzs. -50.667 0.000 0.000 50.667 0.000 0.000

Fzs. Finales -50.667 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm 50.667 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm

Desplaz 0.000 0.000 0.000 2.476 -7.147 0.000

148


cm cm cm cm

Fzs Finales. -50.667 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm 50.667 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Elemento 2.

L= E= I= A= Alpha=

1 2 0 3 4 0

Elemento

2

400.00 2040.00 0.00 4.01 0.00



c= 1.00 s= 0.00

Fzs. Emp. 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm

Matriz Local 1 2 20.46 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -20.46 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Matriz Global 1 2 20.46 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -20.46 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00


Desplaz 2.476 -7.147 0.000 4.431 -36.564 0.000

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

3 -20.46 0.00 0.00 20.46 0.00 0.00

4 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1 2 0 3 4 0

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

3 -20.46 0.00 0.00 20.46 0.00 0.00

4 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1 2 0 3 4 0

cm cm cm cm

Fzs. Fzs. Finales -40.000 -40.000 Ton 0.000 0.000 Ton 0.000 0.000 T*cm 40.000 40.000 Ton 0.000 0.000 Ton 0.000 0.000 T*cm

Desplaz 2.476 -7.147 0.000 4.431 -36.564 0.000


cm cm cm cm


Elemento 3.

L= E= I= A= Alpha=

0 0 0 7 8 0

Elemento

3

250.00 2040.00 0.00 4.01 -36.87



c= 0.80 s= -0.60


Matriz Local 0 0 32.74 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -32.74 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Matriz Global 0 0 20.95 -15.71 -15.71 11.79 0.00 0.00 -20.95 15.71 15.71 -11.79 0.00 0.00


Desplaz 0.000 0.000 0.000 -1.060 -1.753 0.000

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

7 -32.74 0.00 0.00 32.74 0.00 0.00

8 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0 0 7 8 0

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

7 -20.95 15.71 0.00 20.95 -15.71 0.00

8 15.71 -11.79 0.00 -15.71 11.79 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0 0 7 8 0

cm cm cm cm

Fzs. -5.333 4.000 0.000 5.333 -4.000 0.000

Fzs. Finales -5.333 Ton 4.000 Ton 0.000 T*cm 5.333 Ton -4.000 Ton 0.000 T*cm

Desplaz 0.000 0.000 0.000 0.204 -2.039 0.000

149


cm cm cm cm



E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Elemento 4.

L= E= I= A= Alpha=

7 8 0 1 2 0

Elemento

4

250.00 2040.00 0.00 4.01 36.87



c= 0.80 s= 0.60


Matriz Local 7 8 32.74 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -32.74 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Matriz Global 7 8 20.95 15.71 15.71 11.79 0.00 0.00 -20.95 -15.71 -15.71 -11.79 0.00 0.00


Desplaz -1.060 -1.753 0.000 2.476 -7.147 0.000

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1 -32.74 0.00 0.00 32.74 0.00 0.00

2 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

7 8 0 1 2 0

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1 -20.95 -15.71 0.00 20.95 15.71 0.00

2 -15.71 -11.79 0.00 15.71 11.79 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

7 8 0 1 2 0

cm cm cm cm

Fzs. Fzs. Finales 10.667 10.667 Ton 8.000 8.000 Ton 0.000 0.000 T*cm -10.667 -10.667 Ton -8.000 -8.000 Ton 0.000 0.000 T*cm

Desplaz -1.900 -0.766 0.000 -2.307 -7.204 0.000


cm cm cm cm

Fzs Finales. 13.333 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm -13.333 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm

Elemento 5.

L= E= I= A= Alpha=

1 2 0 5 6 0

Elemento

5

206.16 2040.00 0.00 4.01 -14.04



c= 0.97 s= -0.24


Matriz Local 1 2 39.70 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -39.70 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Matriz Global 1 2 37.37 -9.34 -9.34 2.34 0.00 0.00 -37.37 9.34 9.34 -2.34 0.00 0.00


Desplaz 2.476 -7.147 0.000 0.312 -15.805 0.000

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

5 -39.70 0.00 0.00 39.70 0.00 0.00

6 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1 2 0 5 6 0

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

5 -37.37 9.34 0.00 37.37 -9.34 0.00

6 9.34 -2.34 0.00 -9.34 2.34 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1 2 0 5 6 0

cm cm cm cm

Fzs. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

Fzs. Finales 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm

Desplaz 4.136 -6.333 0.000 4.136 -15.258 0.000

150


cm cm cm cm

Fzs Finales. 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Elemento 6.

L= E= I= A= Alpha=

5 6 0 3 4 0

Elemento

6

206.16 2040.00 0.00 4.01 14.04



c= 0.97 s= 0.24




Desplaz 0.312 -15.805 0.000 4.431 -36.564 0.000

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

3 -39.70 0.00 0.00 39.70 0.00 0.00

4 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

5 6 0 3 4 0

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

3 -37.37 -9.34 0.00 37.37 9.34 0.00

4 -9.34 -2.34 0.00 9.34 2.34 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

5 6 0 3 4 0

cm cm cm cm


Desplaz -3.531 -15.409 0.000 -4.569 -36.547 0.000


cm cm cm cm


Elemento 7.

L= E= I= A= Alpha=

7 8 0 5 6 0

Elemento

7

412.31 2040.00 0.00 4.01 14.04



c= 0.97 s= 0.24




Desplaz -1.060 -1.753 0.000 0.312 -15.805 0.000

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

5 -19.85 0.00 0.00 19.85 0.00 0.00

6 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

7 8 0 5 6 0

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

5 -18.68 -4.67 0.00 18.68 4.67 0.00

6 -4.67 -1.17 0.00 4.67 1.17 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

7 8 0 5 6 0

cm cm cm cm


Desplaz -1.454 -1.444 0.000 -3.531 -15.409 0.000

151


cm cm cm cm



E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Elemento 8.

L= E= I= A= Alpha=

Elemento

8

206.16 2040.00 0.00 4.01 14.04


0 0 0 7 8 0


Desplaz dx dy dx dy dx dy dx dy

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8

2.48 -7.15 4.43 -36.56 0.31 -15.81 -1.06 -1.75

c= 0.97 s= 0.24




Desplaz 0.000 0.000 0.000 -1.060 -1.753 0.000

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

7 -39.70 0.00 0.00 39.70 0.00 0.00

8 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0 0 7 8 0

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

7 -37.37 -9.34 0.00 37.37 9.34 0.00

8 -9.34 -2.34 0.00 9.34 2.34 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0 0 7 8 0

cm cm cm cm


Desplaz 0.000 0.000 0.000 -1.454 -1.444 0.000

Apoyos Fzs. Emp. C. Nod 1 2 3 4 5 6 7 8

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Matriz Global 1 2 3 99.243 6.373 -20.462 6.373 14.121 0.000 -20.462 0.000 57.828 0.000 0.000 9.342 -37.366 9.342 -37.366 9.342 -2.335 -9.342 -20.953 -15.715 0.000 -15.715 -11.786 0.000 Matriz Inversa Global 1 2 3 0.049 -0.065 0.049 -0.065 0.300 -0.065 0.049 -0.065 0.098 -0.195 0.475 -0.391 0.033 -0.043 0.033 -0.130 0.387 -0.130 0.000 0.032 0.000 0.000 0.085 0.000

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 -8.00 0.00 -10.00 0.00 0.00 0.00 0.00

4 5 6 7 8 0.000 -37.366 9.342 -20.953 -15.715 0.000 9.342 -2.335 -15.715 -11.786 9.342 -37.366 -9.342 0.000 0.000 2.335 -9.342 -2.335 0.000 0.000 -9.342 93.416 4.671 -18.683 -4.671 -2.335 4.671 5.839 -4.671 -1.168 0.000 -18.683 -4.671 97.956 14.012 0.000 -4.671 -1.168 14.012 27.075 4 -0.195 0.475 -0.391 3.277 0.003 1.271 0.080 0.107

5 6 0.033 -0.130 -0.043 0.387 0.033 -0.130 0.003 1.271 0.045 -0.047 -0.047 0.936 0.006 0.056 0.003 0.096

7 0.000 0.032 0.000 0.080 0.006 0.056 0.018 0.008

8 0.000 0.085 0.000 0.107 0.003 0.096 0.008 0.074

152


cm cm cm cm



E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Reacciones. 0 0 1 2 3 4

-56.000 4.000 0.000 -8.000 0.000 -10.000

5 6 7 8 0 0

0.000 0.000 0.000 0.000 56.000 14.000

Modelo en SAP 2000.


153


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil



Rx=56.00 T

Ry=4.00 T Rx=56.00 T

Ry=14.00 T Diagrama de fuerza normal. SAP 2000.


+50.667

+6

.66 7

33 3 . 3 -1 31 -41.2

-40.000

31 -41.2

23

-57.7

154


21.

E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


EJERCICIO 7 (ARMADURA)

Calcular los elementos mecánicos de la siguiente estructura. La cual tiene una sección de perfil “OC de 1.90x0.12”. P=10 T

P=10 T 600

200

P=10 T

300

300

300

300


De la misma manera que el ejercicio anterior las armaduras solo trabajan en forma axial. P=10 T dx,dy Elementos 200

1,2

4

6 300

3,4

2

1 0,0

P=10 T 600

P=10 T

0,0

7

4,5 300

3

5

300

300

155


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Elemento 1.

L= E= I= A= Alpha=

0 0 0 1 2 0

Elemento

1

360.56 2040.00 0.00 3.98 33.69



cos= sen=


Matriz Local 0 0 0.83 22.50 0.00 0.55 0.00 0.00 0.00 0.00 -22.50 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Matriz Global 0 0 15.57 10.38 10.38 6.92 0.00 0.00 -15.57 -10.38 -10.38 -6.92 0.00 0.00 Fzs. Emp. 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm

Desplaz 0.000 0.000 0.000 1.110 -3.831 0.000

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1 -22.50 0.00 0.00 22.50 0.00 0.00

2 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0 0 1 2 0

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1 -15.57 -10.38 0.00 15.57 10.38 0.00

2 -10.38 -6.92 0.00 10.38 6.92 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0 0 1 2 0

cm cm cm cm



Desplaz 0.000 0.000 0.000 -1.202 -3.803 0.000

cm cm cm cm

Fzs. Finales 27.042 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm -27.042 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm

Elemento 2.

L= E= I= A= Alpha=

1 2 0 3 4 0

Elemento

2

600.00 2040.00 0.00 3.98 0.00



cos= sen=


Matriz Local 1 2 1.00 13.52 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -13.52 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Matriz Global 1 2 13.52 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -13.52 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00


Desplaz 1.110 -3.831 0.000 -1.110 -3.831 0.000

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

3 -13.52 0.00 0.00 13.52 0.00 0.00

4 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1 2 0 3 4 0

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

3 -13.52 0.00 0.00 13.52 0.00 0.00

4 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1 2 0 3 4 0

cm cm cm cm

Fzs. Fzs. Finales 30.000 30.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -30.000 -30.000 0.000 0.000 0.000 0.000


Desplaz 1.110 -3.831 0.000 -1.110 -3.831 0.000

cm cm cm cm

156

Fzs. Finales 30.000 0.000 0.000 -30.000 0.000 0.000


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Elemento 3.

L= E= I= A= Alpha=

3 4 0 0 0 0

Elemento

3

360.56 2040.00 0.00 3.98 -33.69



cos= sen=


Matriz Local 3 4 0.83 22.50 0.00 -0.55 0.00 0.00 0.00 0.00 -22.50 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Matriz Global 3 4 15.57 -10.38 -10.38 6.92 0.00 0.00 -15.57 10.38 10.38 -6.92 0.00 0.00 Fzs. Emp. 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm

Desplaz -1.110 -3.831 0.000 0.000 0.000 0.000

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 -22.50 0.00 0.00 22.50 0.00 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

3 4 0 0 0 0

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 -15.57 10.38 0.00 15.57 -10.38 0.00

0 10.38 -6.92 0.00 -10.38 6.92 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

3 4 0 0 0 0

cm cm cm cm

Fzs. Fzs. Finales 22.500 22.500 Ton -15.000 -15.000 Ton 0.000 0.000 T*cm -22.500 -22.500 Ton 15.000 15.000 Ton 0.000 0.000 T*cm


Desplaz 1.202 -3.803 0.000 0.000 0.000 0.000

cm cm cm cm

Fzs. Finales 27.042 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm -27.042 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm

Elemento 4.

L= E= I= A= Alpha=

1 2 0 5 6 0

Elemento

4

360.56 2040.00 0.00 3.98 -33.69



cos= sen=


Matriz Local 1 2 0.83 22.50 0.00 -0.55 0.00 0.00 0.00 0.00 -22.50 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Matriz Global 1 2 15.57 -10.38 -10.38 6.92 0.00 0.00 -15.57 10.38 10.38 -6.92 0.00 0.00 Fzs. Emp. 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm

Desplaz 1.110 -3.831 0.000 0.000 -6.218 0.000

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

5 -22.50 0.00 0.00 22.50 0.00 0.00

6 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1 2 0 5 6 0

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

5 -15.57 10.38 0.00 15.57 -10.38 0.00

6 10.38 -6.92 0.00 -10.38 6.92 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1 2 0 5 6 0

cm cm cm cm

Fzs. -7.500 5.000 0.000 7.500 -5.000 0.000

Fzs. Finales -7.500 Ton 5.000 Ton 0.000 T*cm 7.500 Ton -5.000 Ton 0.000 T*cm


Desplaz 3.049 -2.572 0.000 3.449 -5.174 0.000

cm cm cm cm

157



E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Elemento 5.

L= E= I= A= Alpha=

5 6 0 3 4 0

Elemento

5

360.56 2040.00 0.00 3.98 33.69



cos= sen=


Matriz Local 5 6 0.83 22.50 0.00 0.55 0.00 0.00 0.00 0.00 -22.50 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Matriz Global 5 6 15.57 10.38 10.38 6.92 0.00 0.00 -15.57 -10.38 -10.38 -6.92 0.00 0.00 Fzs. Emp. 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm

Desplaz 0.000 -6.218 0.000 -1.110 -3.831 0.000

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

3 -22.50 0.00 0.00 22.50 0.00 0.00

4 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

5 6 0 3 4 0

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

3 -15.57 -10.38 0.00 15.57 10.38 0.00

4 -10.38 -6.92 0.00 10.38 6.92 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

5 6 0 3 4 0

cm cm cm cm

Fzs. -7.500 -5.000 0.000 7.500 5.000 0.000

Fzs. Finales -7.500 Ton -5.000 Ton 0.000 T*cm 7.500 Ton 5.000 Ton 0.000 T*cm


Desplaz -3.449 -5.174 0.000 -3.049 -2.572 0.000

cm cm cm cm


Elemento 6.

L= E= I= A= Alpha=

0 0 0 5 6 0

Elemento

6

600.00 2040.00 0.00 3.98 0.00



cos= sen=


Matriz Local 0 0 1.00 13.52 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -13.52 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Matriz Global 0 0 13.52 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -13.52 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Fzs. Emp. 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm

Desplaz 0.000 0.000 0.000 0.000 -6.218 0.000

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

5 -13.52 0.00 0.00 13.52 0.00 0.00

6 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0 0 5 6 0

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

5 -13.52 0.00 0.00 13.52 0.00 0.00

6 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0 0 5 6 0

cm cm cm cm

Fzs. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000



Desplaz 0.000 0.000 0.000 0.000 -6.218 0.000

cm cm cm cm

158



E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Elemento 7.

L= E= I= A= Alpha=

5 6 0 0 0 0

dx dy dx dy dx dy

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

Elemento

7

600.00 2040.00 0.00 3.98 0.00



RxA RyA MA RxB RyB MB Desplaz 1.11 -3.83 -1.11 -3.83 0.00 -6.22

cos= sen=

1 2 3 4 5 6

Matriz Local 5 6 1.00 13.52 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -13.52 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Matriz Global 5 6 13.52 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -13.52 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Fzs. Emp. 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm 0.000 Ton 0.000 Ton 0.000 T*cm

Desplaz 0.000 -6.218 0.000 0.000 0.000 0.000

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 -13.52 0.00 0.00 13.52 0.00 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

5 6 0 0 0 0

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 -13.52 0.00 0.00 13.52 0.00 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

5 6 0 0 0 0

cm cm cm cm

Fzs. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000



Desplaz 0.000 -6.218 0.000 0.000 0.000 0.000

cm cm cm cm

Apoyos Fzs. Emp. C. Nod 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -10.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -10.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -10.00

Matriz Global 1 2 3 44.667 0.000 -13.518 0.000 13.844 0.000 -13.518 0.000 44.667 0.000 0.000 0.000 -15.574 10.383 -15.574 10.383 -6.922 -10.383 Matriz Inversa Global 1 2 3 0.044 -0.042 0.007 -0.042 0.171 0.014 0.007 0.014 0.044 -0.014 0.057 0.042 0.018 -0.028 0.018 -0.055 0.155 0.055

4 0.000 0.000 0.000 13.844 -10.383 -6.922

5 -15.574 10.383 -15.574 -10.383 58.185 0.000

6 10.383 -6.922 -10.383 -6.922 0.000 13.844

4 -0.014 0.057 0.042 0.171 0.028 0.155

5 0.018 -0.028 0.018 0.028 0.037 0.000

6 -0.055 0.155 0.055 0.155 0.000 0.311

Reacciones. 0 0 1 2 3

22.500 15.000 0.000 -10.000 0.000

4 5 6 0 0

-10.000 0.000 -10.000 22.500 -15.000 159



E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


Modelo en SAP 2000.


160


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil



Rx=22.50 T

Rx=22.50 T

Ry=15.00 T

Ry=15.00 T

Diagrama de fuerza normal. SAP 2000.

Hoja de cálculo en Excel. -30.000

-27

2 .04

+9

.01

4

4

.01 +9

-27

.04 2

161


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


ANEXO. MANUAL DEL SOFTWARE Y SOFTWARE Objetivo. Resolución de problemas en 2D mediante un software en Excel el cual es muy sencillo de utilizar. Limitantes. Como se ha ido mencionando en el presente documento, el software tiene limitantes la cuales son:  Solo permite materiales isotrópicos, esto quiere decir que sus propiedades mecánicas y térmicas son las mismas en todas direcciones, para utilizar este programa lo que interesa es el módulo de elasticidad (E), ya definido anteriormente.  Secciones constantes, que su sección sea la misma al inicio y al final del elemento en estudio, y para utilizar el programa nos interesa el Área (A) y la Inercia (I) de la sección, que se detallan en el capítulo 8.  Solo permite hasta 100 elementos  Solo permite hasta 200 G.L.  Si se desean conocer las deformaciones en una punto cualquiera se deberá dividir la viga tantas veces sea necesaria para conocer dicha deformación en el punto en estudio.  No se incluye el peso propio del elemento, solo se toman las cargas vivas que han sido colocadas; posteriormente ya que se conoce las propiedades geométricas y mecánicas del elemento, se puede calcular el peso propio y así colocarlo para obtener resultados considerando peso propio.  Las unidades a utilizar deben ser Toneladas y centímetros para que los resultados sean los adecuados. Elementos que son variables.  Módulo de Elasticidad. Este depende de tipo de material.  Área. Esta es de acuerdo a la sección transversal.  Longitud. Es la longitud del elemento en estudio.  Inercia. Depende de la sección transversal.  Alpha. Esta es ángulo que hay entre el sistema global y ocal de coordenadas. Elementos que influyen para el cálculo de las deformaciones. (Si se quieren conocer las deformaciones se deberán colocar estos estos elementos).  Módulo de Elasticidad  Área  Inercia  Alpha Elementos que influyen en el cálculo de las reacciones. (Si solo se quieren conocer las reacciones, solo se deberá colocar la longitud del elemento y dejar con un valor unitario E, A e I y Alpha con cero).  Longitud

162


E.S.I.A. Zacatenco

Ingeniería Civil


¿Cómo utilizar el software? El software consta de cuatro pestañas, la primera de ellas llamada “Conversiones y E”, la segunda “Área e Inercia”, la tercera “Fzs. de Emp. y Datos” y la cuarta “Solución y Ensamble”.

1. Problema.

w=0.04 T/cm

h=50 cm

b=25 cm Concreto Armado fć=250 kg/cm²

1000 cm

2. Unidades. Todas las unidades deben estar en T y cm, si no se encuentran en estas unidades se puede utilizar la primer pestaña para realizar las conversiones pertinentes. (en el ejemplo ya se tienen las mismas unidades) Módulo de elasticidad. En esta misma pestaña se coloca el fć del elemento y automáticamente calcula el E en T/cm. E fć=

250

kg/cm²

E=

221359.4362

kg/cm²

E=

221.3594362

T/cm²

3. Propiedades Geométricas. Conociendo la altura y la base de la sección podemos utilizar la pestaña dos “Área e Inercia”, para calcular estas propiedades geométricas. Rectángulo I= bh3/12 b= h= I=

25 cm 50 cm 260416.6667 cm⁴

Área 1250

cm2

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4. Numerar el número de elementos y los G.L. de la estructura. dx,dy,0z Elementos 0,0,1

w=0.04 T/cm 1

0,0,0

1000 cm

5. Colocar las propiedades y las cargas actuantes de cada elemento en la pestaña “Fzs. de Emp. y Datos”. En este ejemplo solo tenemos un elemento, así que solo llenaremos estos datos y para los demás elementos los dejaremos con valores unitarios. L=1000 cm E=221.359 T/cm2 I=260416.6667 cm4 A=1250 cm2 Alpha=0° w=0.04 T/cm β=0° (Ver capítulo 12.1)

6. Colocar la numeración de los grados de libertad en la pestaña de “Solución y Ensamble”.

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7. Colocamos el número de grados de libertad en la misma pestaña, en donde existen cuatro columnas la primera de ellas es para una matriz de 1-50 G.L., la segunda para 51-100 G.L., la tercera para 101-150 G.L., la cuarta para 151-200 G.L.; a un lado de estas columnas se colocan si existen cargas nodales, así como si existen cargas nodales se colocan en la siguiente columna. Para este ejemplo no existen cargas nodales y tampoco apoyos elásticos, y solo es de 1 G.L.

8. Automáticamente colocando estos datos se obtienen las fuerzas finales del elemento con las cuales podemos trazar los diagramas de fuerza normal, cortante y momentos flexionantes (Capitulo 15).

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Se anexa el programa con los ejercicios resueltos, y el software para su uso, en un disco. BIBLIOGRAFÍA Apuntes de Clase, Análisis Estructural, 2013, E.S.I.A. Zacatenco, Prof. Ing. Miguel Moreno Aguilar. Apuntes de Clase, Resistencia de Materiales, 2012, E.S.I.A. Zacatenco, Prof. Ing. Rufino Revilla Cruz. White, Gergely, Sexsmith. Estructuras estáticamente indeterminadas. Editorial LIMUSA. J. Francis. Introducción a las estructuras. Editorial LIMUSA. Hibbeler, R. Análisis estructural. México. Editorial. LIMUSA. Beer, Johnson, Mazurek, Eisenbeg, Mecánica Vectorial para Ingenieros, Editorial. Mc. Graw Hill. IMCA, Manual de Construcción en Acero, 5ta Edición, Editorial LIMUSA.

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Método de Las Rigideces Falcón Contreras Edgar Omar

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