Matemática D
MATEMÁTICA D
Módulo I: Análisis de Variable Compleja
Unidad 3
Integración Compleja Mag. María Inés Baragatti Baragatti
♦
Integral de una función fun ción de variable real a valores complejos
♦ Sea z(t) = u(t) + i v(t) una función de variable real t a valores complejos, con u(t) y v(t) integrables en
[a,b] , se define la integral de z(t) en [a,b] como: b
b
b
∫a z(t ) dt =∫a u(t ) dt + i ∫a v(t ) dt
1-
Ejemplos 2
2
2
2
2
2 2 2 3 ∫−1 (4t + i3t )dt = ∫−14t dt + i ∫−13t dt = 2t −1 + it −1 = 6 + i9 π
π
sen(nt ) cos(nt ) ( −1) n − 1 2- ∫ (cost + isen t ) dt = ∫ [cos (nt) + i sen (nt)] dt = −i =0−i 0 0 n 0 n 0 n π
π
n
∆ Actividad 1: a) Si z1(t) = u1(t) + i v1(t) y z2(t) constantes complejas demostrar que : b
= u2(t) + i v2(t) son integrables en [a,b] y α y β son
b
b
∫a [α z 1 (t ) + β z 2 (t)] dt = α ∫a z 1 (t ) dt + β ∫a z 2 (t) dt
z(t) = u(t) + i v(t) es integrable en [a,b] , demostrar las siguientes propiedades:
b) Si b1) b3)
(propiedad de linealidad)
Re ∫a z(t ) dt = ∫a Re[z(t )] dt b2) Im ∫a z(t ) dt = ∫a Im[z(t )] dt b
b
b
b
b
b
∫a z(t ) dt = ∫a z(t) dt 1
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∆ Actividad 2: Si z(t) es integrable en
[a,b] entonces vale la siguiente desigualdad
b
b
∫a z(t ) dt ≤ ∫a z(t ) dt
A continuación se bosqueja la demostración de esta propiedad y se deja a cargo del alumno justificar algunos de los pasos.
θ0, , es decir
b
∫a
z(t ) dt = r0 e iθ0
⇒
b
∫a z(t ) dt es un complejo de módulo r0 y argumento b i b = r (#) y z ( t ) dt 0 ∫a e z(t ) dt = r0 (##) ∫a
Supongamos que el resultado de la integral
− θ0
Teniendo en cuenta (#) y (##) y otras propiedades ya mencionadas, justificar todas las igualdades y desigualdades que se indican a continuación: b
∫a
z(t ) dt =
( 1)
b − iθ 0
∫a e
b
z(t ) dt = Re ∫a e −iθ0 z(t ) dt = ∫a Re [e − iθ0 z(t )]dt ≤ ( 2) (4) ( 3 ) b
b
∫a
e − iθ0 z(t ) dt =
(5)
b
∫ z(t) dt a
(1):por (#) y (##) (2):…………………………………………………… (2):……………………………………………………………………………………… …………………………………………… ………… (3):…………………………………………………… (3):……………………………………………………………………………………… …………………………………………… ………… (4):…………………………………………………… (4):……………………………………………………………………………………… …………………………………………… ………… (5):…………………………………………………… (5):……………………………………………………………………………………… …………………………………………… …………
∆ Actividad 3: z(t) es continua en [a,b] y si Z(t) es una primitiva de z(t), es decir Z’(t) = z(t) , entonces b ∫a z(t ) dt = Z(b) − Z(a)
Si
Usar en todos los casos la definición de integral dada más arriba. Esta propiedad , como en el caso de funciones reales, se denomina
Regla de Barrow.
Ejemplo
Conociendo la regla de Barrow para funciones de variable real a valores complejos, podemos hallar la integral propuesta en el ejemplo 2 del siguiente modo:
e int n it n int ( ) ∫0 cost + isen t dt = ∫0 (e ) = ∫0 e dt = in π
π
π
π
0
2
si n es par (− 1)n − 1 0 = = in 2i/n si n es impar
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∆ Actividad 4: a) Si γ γ es un arco de curva suave de ecuación z(t) = x(t) + i y(t) con demostrar que
∫ | dz |=∫a z' (t ) dt = longitud del arco γ γ γ γ
M es una constante positiva y |z(t)| ≤ M para
b) Si
a ≤ t ≤ b, calcular |z' (t)| y
b
a ≤ t ≤ b, demostrar que
b
∫a z(t ) dt ≤ M (b – a) Integral de una función de variable compleja sobre una curva
♦
♦ Sea γ γ un arco de curva suave de ecuación paramétrica z(t) = x(t) + i y(t) con a ≤ t ≤ b y f(z) una función continua sobre γ γ, se define la integral de f sobre el arco γ γ como:
∫
∫
∫
b
f(z) dz = f ( z(t )) d[z(t)] = f ( z(t )) z' (t) dt a
γ γ
b
a
Ejemplo
∫
Para calcular la integral
γ γ
γ el segmento de ecuación paramétrica [z - Re(z) - i ] dz , siendo γ
z(t) = 2t + i (4t – 1) con -1 ≤ t ≤ 2 usamos la definición de integral para transformarla en una integral de una función de variable real a valores complejos como se muestra a continuación: 2
2
∫γ γ [z - Re(z) - i ]dz = ∫−1 [z(t) - Re(z(t)) - i] z' (t) dt = ∫-1 [2t − i(4t − 1) − 2t − i ] (2 + i 4) dt = 2
2
-1
−1
= ∫ - i4t ( 2 + 4i ) dt = ∫
(16t − 8it ) dt = = 8t 2
2 −1
− i 4t 2
2 −1
= 24 -12 i
♦ Propiedades 1- Propiedad de linealidad: Si f(z) y g(z) son dos funciones integrables sobre la curva γ γ y α y β son dos constantes complejas entonces
∫
[α f(z) + βg(z)] dz = α
γ γ
2-
∫
f(z) dz + β
γ γ
∫
g(z) dz
γ γ
Módulo de una integral : el módulo de una integral satisface la siguiente desigualdad:
∫
γ γ
f(z) dz ≤ ∫γ f(z) dz γ
3
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∆ Actividad 5: Justificar las propiedades 1- y 2- anteriores usando la definición y las propiedades de las integrales de funciones de variable real a valores complejos.
Ejemplos
e 2iz dz dz = 0 siendo C la semicircunferencia z = R eit , 0 ≤ t ≤ π Demostrar que lím ∫ 2 R →∞ C z − 2 z + 2 Para poder demostrar lo solicitado tratamos de acotar el módulo de la integral usando la propiedad 2 y recordando que el módulo de un cociente es igual al cociente de los módulos:
e 2iz dz ∫C z 2 − 2z + 2 dz ≤
∫C
e 2iz dz = z 2 − 2z + 2
∫C
e 2iz
C
dz = (#)
2
z − 2z + 2
R
A continuación acotamos el numerador y el denominador 2iz
|e
| = |e2ix e-2y| = |e2ix| |e-2y| = 1 . e-2y = e-2y ≤ 1 pues y ≥0
2
2
2
Recordar que:
2
z − 2z + 2 ≥ z − 2z − 2 = z − 2 z − 2 = R − 2R − 2 , por lo tanto
e 2iz 2
z − 2z + 2
≤
1 R 2 − 2R − 2
|a ± b | ≥ | |a | - | b| |
y usando esta acotación del integrando podemos
continuar con la integral como se muestra a continuación: (#) =
∫C
1 1 dz = R 2 − 2R − 2 R 2 − 2R − 2
∫C
dz =
123
longitud de C
πR
R 2 − 2R − 2
e 2iz dz πR dz Hemos podido demostrar que 0 ≤ ∫ 2 ≤ 2 C z − 2z + 2 R − 2R − 2 Como en esta última fracción el grado del denominador es mayor que el grado del numerador , tomando límite para R→∞ en esta última desigualdad y usando el teorema del sandwich , podemos afirmar que se cumple lo pedido.
4
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⊕ Relación entre la integral de una función de variable compleja y la integral
de línea de funciones reales
Considerando z = x + i y , f(z) = u(x,y) + i v(x,y) y dz = dx + i dy , la integral de f(z) sobre la curva γ γ puede expresarse como un complejo cuya parte real e imaginaria son integrales de línea de funciones de dos variables reales como se muestra a continuación:
∫
f(z) dz =
=
∫
γ γ
∫
[u(x, y) + i v(x, y)] (dx + i dy) =
γ γ
γγ
∫
γ γ
[u(x, y) dx - v(x, y) dy ] + i [v( x, y ) dx + u(x, y) dy ] =
∫
[u(x, y) dx - v(x, y) dy ] + i [v( x, y )dx + u(x, y) dy ] γ γ
♦ Propiedades (continuación) 3-
Cambio de orientación de la curva: Si γ γ y -γ γ representan la misma curva pero recorrida en sentidos contrarios entonces
∫
f(z) dz = −
γ γ
4-
∫
f(z) dz
− γ γ
Propiedad aditiva de las curvas: Si γ γ1 y γ γ2 representan dos
γ γ1
curvas orientadas que tienen a lo sumo un número finito de puntos en común entonces:
∫
γ γ 1 ∪ γ γ 2
f(z) dz =
∫
f(z) dz +
γ γ 1
∫
γ γ2
f(z) dz
γ γ 2
∆ Actividad 6: Justificar las propiedades 3- y 4- anteriores teniendo en cuenta que las mismas propiedades son válidas en el campo real.
Ejemplos
y i
1- Calcular
∫
γ γ
2 Im(z) dz , siendo γ γ : x = y -1 desde i hasta -i
-i
x
Si parametrizamos la curva tomando y = t , entonces el trozo de parábola que nos interesa tiene 2 ecuación paramétrica z(t) = (t -1) + i t con -1 ≤ t ≤ 1 pero ha quedado mal orientada, por ello la denominamos -γ γ y operamos como se muestra a continuación : 5
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∫
γ γ
1
1
−
−
Im(z) dz = − ∫− γ Im(z) dz = − ∫−1 Im( z(t ))z' (t ) dt = − ∫−1 t (2t + i ) dt = −4 / 3 − γ
2- Calcular
1 ∫γ γ z dz , siendo γ γ : | z | = 2 recorrida en sentido antihorario
Parametrizamos la curva, en este caso es una circunferencia de radio
2 : z(t) = 2 eit , 0 ≤ t ≤ 2π 2π
∫
2π 1 2π 1 2π 1 2π 1 e 2it it it 2it dz = ∫0 z' (t ) dt = ∫0 2ie dt = ∫0 2ie dt = ∫0 ie dt = i = 0 − it it z 2i 0 2 e z(t ) 2e
5-
Independencia del camino
γ γ
El concepto de independencia del camino ya fue estudiado con las integrales de línea de variable real, no obstante recordemos que:
♦ Se dice que un conjunto abierto D es un dominio si para todo par de puntos de D existe una curva contenida en D que los une.
♦ Un dominio D es simplemente conexo si toda curva cerrada contenida en D encierra sólo puntos de D.
Por ejemplo observando los siguientes gráficos, se puede decir que: D1 es un dominio simplemente conexo, D2 es un dominio pero no es simplemente conexo y D = D3 ∪ D4 no es un dominio.
D2
D1
D3
D4
D = D3 ∪ D4 ♦ La integral
∫ f (z )dz γ γ
es
independiente del camino en un dominio D si para todo par de
puntos z1 y z2 del dominio D la integral toma siempre el mismo valor sobre cualquier curva contenida en D que une z1 y z2
¿cómo saber si la integral de una función de variable compleja es independiente del camino en un dominio D? Luego de esta última definición, la pregunta natural es:
Para poder responder esta pregunta tenemos varias posibilidades que describimos a continuación. 6
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Ξ Teorema 1 : Condición necesaria y suficiente para que la integral sea
independiente del camino
f(z) continua en un dominio D. Una integral de línea de f(z) es independiente del camino en D ⇔ la integral de f(z) sobre cualquier curva cerrada contenida en D vale cero. Sea
∆ Actividad 7: Demostrar el teorema 1. (la demostración es idéntica al teorema similar visto en variable real).
ΞTeorema 2 : Condición suficiente para que la integral sea independiente del
camino - Regla de Barrow.
Si f(z) es continua en un dominio D y existe F(z) en D tal que F’(z) = f(z) (como en la variable real, decimos que F(z) es una primitiva de f(z)) y γ γ es una curva contenida en D que une z0 con
∫
z1 entonces f ( z )dz = γ γ
∫
z1 z0
f ( z ) dz = F(z 1 ) − F(z 0 ) .
Como el resultado de la integral depende sólo del punto inicial y del punto final de la curva, podemos asegurar que: si f(z) es continua en D y existe una primitiva en D entonces la integral es independiente del camino en D.
∆ Actividad 8: Demostrar el teorema anterior teniendo en cuenta : Si la curva γ γ tiene ecuación γ γ: z(t) = x(t) + i y(t) , con a ≤ t ≤ b , tal que z(a) = z0 , entonces proponemos justificar todas las igualdades que se indican a continuación : b
b
z(b) = z1
b
∫γ f (z)dz = ∫a f (z(t)) z'(t) dt = ∫a F'(z(t)) z'(t) dt = ∫a [F(z(t))]' dt =F(z(b)) − F(z(a)) = F(z1 ) − F(z 0 ) γ
(1)
(2)
( 3)
( 4)
(5)
(1): ………………………………….………………………… (2):……………………………………………………………… (3): por regla de la cadena se sabe que
[F(z(t))]’= F’(z(t)) z’(t)
(4): como F’(z(t)) es una función de variable real a valores complejos y F(z(t)) es una primitiva, puede aplicarse la regla de Barrow (5):………………………………………………………………
7
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Ejemplos
∫
1- Calcular
3z 2 dz , siendo γ γ el trozo de parábola y = 1 - x2 desde (-1,0) a (0,1)
γ γ
2
3
Como f(z) = 3 z es continua en C y tiene primitiva F(z) = z Barrow siendo z0 = (-1, 0) = -1 y z1 = (0,1) = i , por lo tanto:
∫
, podemos aplicar el T. de
3z 2 dz = F(i) – F(-1) = i3 – (-1)3 = -i + 1
γ γ
1 dz , siendo γ γ : | z | = 1 2 γ γ z
∫
2- Calcular
2
La función f(z) = 1/z es continua sobre la curva γ γ , pues es continua en C – {0} , y F(z) = 1/z es una primitiva, por lo tanto puede aplicarse el T. de Barrow y como la curva es cerrada la integral vale 0 (cero), pues el punto inicial coincide con el punto final. 3- Calcular
1 dz , siendo γ γ : | z | = 1 γ γ z
∫
La función f(z) = 1/z es continua sobre la curva γ γ , pues es continua en el dominio D = C – {0}, pero en este dominio no es posible encontrar una función F(z) tal que F’(z) = 1/z (recordar que (Ln z)’= 1/z salvo en los puntos del eje real negativo), por lo tanto no puede iθ aplicarse el T. de Barrow. Esta integral debe calcularse parametrizando la curva γ γ : z(θ) = e iθ con 0 ≤ θ ≤ 2π , calculando z’(θ) = i e y usando la definición:
1 dz = γ γ z
∫
∫
2π
0
1 iθ i e dθ = i e iθ
∫
2π
0
dθ = i2π
Ξ Teorema 3 : Existencia de primitiva Si f(z) = u(x,y) + i v(x,y) es continua en un dominio D y la integral de f(z) es independiente del camino en D entonces existe F(z) en D tal que F’(z) = f(z) (como en la integral real, se dice que F(z) es una primitiva de f(z)) . Además si z0 es un punto cualquiera de D se verifica que
d z = f ( z ) f (z *) d z * ∫ dz z 0 Demostración
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Como la integral
∫ f (z )dz es independiente del camino en D y sabemos que γ γ
∫ f (z)dz = ∫ γ γ
∫
[u(x, y) dx - v(x, y) dy ] + i [v( x, y )dx + u(x, y) dy ]
γγ
γ γ
entonces las integrales reales
∫
γ γ
[u(x, y) dx - v(x, y) dy ]
y
∫
γ γ
[v(x, y) dx + u(x, y) dy ]
son independientes del camino en
D
(cuestionar esta afirmación, ¿es posible que estas integrales reales no sean independientes del camino?) Como las integrales reales son independientes del camino, se sabe que las expresiones y u(x,y) dx - v(x,y) dy v(x,y) dx + u(x,y) dy son diferenciales exactas, es decir existen en D dos funciones U(x,y) y V(x,y) , denominadas funciones potenciales, tal que:
∂U ∂U dx + dy = u( x, y ) dx − v( x, y ) dy , ∂x ∂y ∂V ∂V dV( x, y ) = dx + dy = v( x, y ) dx + u(x, y ) dy ∂x ∂y
dU( x, y ) =
de donde se desprenden las siguientes igualdades de (CR):
∂U ∂ V = u( x, y ) , = ∂x ∂y
−
∂U ∂V = v( x , y ) = ∂y ∂x
Si consideramos F(z) = U(x,y) + i V(x,y) , vemos que:
F(z) es derivable en D, pues U(x,y) y V(x,y) , como ya vimos, cumplen las condiciones de (CR) y tienen derivadas parciales continuas por coincidir dichas derivadas con la parte real u(x,y) o imaginaria v(x,y) de la función continua f(z)
Por ser F(z) derivable,
sabemos que
por lo tanto podemos afirmar que existe en Además
z
∫z
f (z *) dz * =
0
∂U ∂V = u( x, y ) + iv( x, y ) = f ( z ) +i ∂x ∂x
D una función derivable F(z) tal que F’(z) = f(z)
∫(x ,y ) [u(x*, y*) dx * -v(x*, y*) dy *] + i[v(x*, y*) dx * +u(x*, y*) dy *]= 0
( x ,y )
∫( x ,y ) dU(x*, y*) + i dV(x*, y*) =U(x,y) - U(x0 , y0) 0
,
( x ,y ) 0
=
: F’(z) =
+ i [V(x,y) - V(x0 , y0)] =
0
= U(x , y) + iV(x, y) - [U(x0 , y0) + i V(x0 , y0)] = F(z) - F(z0) Por lo tanto
z
∫z
f (z *) dz * = F(z) - F(z0) , de donde
0
9
d z f (z *) dz * = F' ( z ) = f ( z ) ∫ z dz 0
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Matemática D
• Ejercicios 1- Calcular las siguientes integrales:
∫
γ γ
Re(z) dz ;
∫
γ γ
Im(z) dz ;
∫
γ γ
z dz
en los siguientes
casos: a) γ γ: z(t) = 1 + it , 0 ≤ t ≤ 1 b) γ γ: | z | = 1 , recorrida en sentido antihorario c) γ γ: | z – a | = R , recorrida en sentido antihorario
Convención: Cuando una curva es cerrada y no se indica la orientación, debe recorrerse en sentido antihorario. 2- Calcular a) b) c) d)
∫
γ γ k
Im(z) dz para k = 1, 2 y 3 donde
γ γ1 es el segmento orientado que une 1 con i γ γ2 : | z | = 1 , desde 1 hasta i , en sentido antihorario γ γ3 es la poligonal que une 1 con 0 y 0 con i Teniendo en cuenta que γ γ1 , γ γ2 y γ γ3 son tres curvas distintas que tienen el mismo punto inicial y final, ¿puede afirmar que la integral es independiente del camino?, ¿contradice el teorema fundamental?
∫C | z |
3- a) Calcular b) Deducir
∫C ( x
2
a
2
e i | z | dz siendo C: |z| = 2 desde 2 a –2 en sentido antihorario
partir
de
a)
el
resultado
de
la
siguiente
integral
de
línea
real
+ y 2 ) sen x 2 + y 2 dx + ( x 2 + y 2 ) cos x 2 + y 2 dy
4- Si γ γ: | z - a| = R , con R ≠ 0, demostrar que 5- Calcular
∫ Ln z dz para k = 1 , 2 , 3 γ γ k
−1
∫γ γ( z − a) dz = 2πi
,
n
∫γ γ( z − a) dz = 0 para n ≠-1
siendo
γ γ1 : | z | = R desde R hasta – Ri en sentido antihorario, γ γ2 : | z | = R desde R hasta – Ri en sentido horario, γ γ3 : | z | = R , 6- Calcular: a) b) c)
∫ (z - 2i) dz siendo γ γ el segmento que une 2 + i con 3 – 2i 2 2z ∫C e dz siendo C : y = 2x desde (-1, 2) a (2, 8) 2i 2i 1 ( ) d) sen 2 z dz ∫3 i z dz sobre una curva contenida en y > -x ∫1 i γ γ
−
−
−
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Matemática D 7- Justificar que: a) b)
dz
∫|z| 2 z 3 + 1 =
dz ≤
4π 7
Ln z π (2Ln R + π ) , dz ≤ 2 R 2R z Ln z lím ∫C 2 dz = 0 R →∞ R z
∫C
CR : z(t) = R eit , | t | ≤ π /2
y demostrar que
Ξ Teorema de Cauchy f(z) una función analítica sobre γ γ y su interior cuya derivada f ’(z) es continua sobre γ γ y su interior entonces f(z) dz = 0 Sea γ γ una curva cerrada, simple y suave por tramos y sea
∫
γ γ
Demostración Para demostrar este teorema usamos el teorema de Green que relaciona una integral de línea con una integral doble: Teorema de Green: Sea C una curva cerrada, simple y regular a trozos (suave) contenida en un dominio D del plano y sea R la región limitada por C , sean M(x,y) y N(x,y) dos funciones con derivadas parciales continuas en D entonces
∫C Mdx + Ndy = ∫∫R
∂N ∂M dx dy − x y ∂ ∂
donde C debe recorrerse de modo de dejar a R a su izquierda
Si
∫
(1 )
R
D x
f(z) = u(x,y) + i v(x,y) entonces sabemos que: f(z) dz =
γ γ
=
C
y
∫
γγ
− ∂v ∂u dx dy + i − R x y ∂ ∂
∫∫
∫
[u(x, y) dx - v(x, y) dy ] + i [v( x, y )dx + u(x, y) dy ] = γ γ
∂u ∂v − dx dy = 0 + i 0 = 0 ( 2) R ∂x ∂y
∫∫
(1) Aplicando el teorema de Green a cada integral real (2) Como f(z) es analítica, sus partes real e imaginaria verifican las condiciones de (C-R) y por lo tanto cada integrando vale cero.
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Módulo I - Unidad 3
Matemática D
⊕ Observación Goursat fue el primero que pudo demostrar que la hipótesis " f ’(z) continua sobre γ γ y su interior " podía omitirse , nosotros aceptamos sin demostración las siguientes variantes del teorema de Cauchy
Ξ Teorema de Cauchy Goursat (versión 1) Si γ γ es una curva cerrada, simple y suave por tramos y entonces
f(z) es analítica sobre γ γ y su interior
∫ f(z) dz = 0 γ γ
Ξ Teorema de Cauchy Goursat (versión 2) Si γ γ es una curva cerrada, simple y suave por tramos y f(z) es analítica sobre γ γ y su interior , salvo a lo sumo en un número finito de puntos excepcionales donde es continua entonces
∫ f(z) dz = 0 γ γ
Ejemplos
e 3z a) La integral dz es igual a 0 pues verifica las hipótesis del T. de Cauchy Goursat : |z|=1 z - 2i e 3z la curva es cerrada y suave y f(z) = es analítica sobre la curva |z| = 1 y su interior z − 2i pues no es analítica en 2i , pero este complejo es exterior a la curva cerrada sobre la que se
∫
integra. b) La aplicación del teorema de Cauchy Goursat no es tan inmediata para el cálculo de la
sen z sen z es analítica sobre la curva cerrada y su dz , pues la función f(z) = | z| = a z z interior salvo en z0 = 0 , que es interior a cualquier circunferencia de radio a > 0. integral
∫
Sin embargo si calculamos el limite de la función en dicha singularidad obtenemos
sen z sen z si z ≠ 0 podemos afirmar que: lím = 1 y si consideramos la función g( z ) = z z →0 z 1 si z = 0 g(z) es continua en z = 0 y si z ≠ 0 sabemos que g(z) es analítica por ser cociente de
12
Módulo I - Unidad 3
Matemática D analíticas y el denominador no se anula, por lo tanto por el T. de Cauchy Goursat podemos afirmar que
∫ g(z) dz = 0 . | z| = a
|z| = a , la función g(z) coincide la función cuya sen z integral queremos calcular, es decir g(z) = para los z que verifican |z| = a , entonces la z sen z integral de g(z) sobre dicha curva debe coincidir con la integral de . por lo tanto z sen z dz = g(z) dz = 0 | z| = a |z| = a z Observemos que sobre los puntos de la curva
∫
∫
♦ Consecuencias del Teorema de Cauchy γ γ1
R 1- Sean γ γ1 y γ γ2 dos curvas cerradas suaves por tramos y todos los puntos de γ γ1 son interiores a γ γ2 y sea f(z) una función analítica sobre las curvas y en el dominio R limitado por ellas entonces:
∫
γ γ 1
f(z) dz = ∫γ γ f(z) dz 2
Las curvas se recorren en el mismo sentido (ambas en sentido antihorario o ambas en sentido horario)
Demostración Supongamos que γ γ1 y γ γ2 las recorremos en sentido antihorario. Si efectuamos dos cortes rectos uniendo puntos de γ γ1 y γ γ2 , el dominio R queda dividido en dos regiones, que denominamos R1 y R2
R1 D
B
C
A
R2 Las fronteras de R1 y R2 son curvas cerradas y las indicamos ∂R 1 y ∂R 2 respectivamente. Como f(z) es analítica sobre dichas curvas y su interior, podemos aplicar el T. de Cauchy Goursat a ambas y obtener que :
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Módulo I - Unidad 3
Matemática D
∫ R f(z) dz = 0
∫ R f(z) dz = 0
y
∂ 1
∂ 2
donde las curvas ∂R 1 y ∂R 2 las orientamos de modo de dejar las regiones izquierda.
R1 y R2 a la
∫ R f(z) dz + ∫ R f(z) dz = 0 , y guiándonos por el gráfico
Sumando estos resultados obtenemos:
∂ 1
∂ 2
podemos escribir la última igualdad del siguiente modo: A
D
C
B
B
C
D
A
∫B f ( z)dz + ∫A f (z )dz + ∫D f ( z)dz + ∫C f (z )dz + ∫A f (z )dz + ∫B f ( z )dz + ∫C f (z )dz + ∫D f (z )dz = 0 (*) 144 4 4 4 4 4 4 244 4 4 4 4 4 4 3
144 4 4 4 4 4 244 4 4 4 4 4 3
sobre la frontera de R 1
sobre la frontera de R 2
Como las integrales de línea sobre los segmentos se cancelan pues se recorren en sentidos contrarios cuando se consideran en la frontera de R1 o en la frontera de R2 y teniendo en cuenta que (mirar el gráfico): B
∫C f (z ) dz
C
∫B f (z ) dz
+
γ γ 1
sobre la frontera de R 2
sobre la frontera de R 1 D
∫A f (z ) dz
A
∫D f (z ) dz
+
1 4 24 3
= − ∫ f ( z ) dz
1 4 24 3
1 4 24 3
sobre la frontera de R 1
= ∫ f ( z ) dz γ γ 2
1 4 24 3
sobre la frontera de R 2
donde en la primera integral se ha colocado un signo menos pues se observa que γγ 1 debe recorrerse en sentido contrario al que anunciamos al comenzar, vemos que la expresión (*) toma la forma: −
∫
γ γ 1
f(z) dz + ∫γ γ f(z) dz = 0 , y por lo tanto: 2
∫
γ γ 2
f(z) dz = ∫γ γ f(z) dz 2
2- Sean γ γ1 , γ γ2 y γ γ3 tres curvas cerradas suaves por tramos como se muestran en el gráfico y sea f(z) una función analítica sobre las curvas y en la región R limitada por ellas entonces:
γ γ3
R
2
∫γ γ f(z) dz = ∫γ γ f(z) dz + ∫γ γ f(z) dz 1
2
3
γ γ1 donde las curvas se recorren de modo de dejar la región R a la izquierda.
∆ Actividad 8: Justificar la igualdad presentada en la consecuencia 2-
14
Módulo I - Unidad 3
Matemática D 3- Si f(z) es analítica en un dominio simplemente conexo independiente del camino en D.
D entonces la integral de f(z) es
∆ Actividad 9: Justificar la afirmación presentada en la consecuencia 3. Ayuda: tomar una curva cerrada
cualquiera γ γ contenida en D y justificar que ∫ f(z) dz = 0 , ¿con γ γ
este resultado puede afirmar que hay independencia del camino?
Ejemplos
1- Si
f(z) una función analítica en todo el plano y se sabe que
conocerse el valor de la integral encierra a
z=0 ?
∫|z| 1 =
f(z) dz = π z
,
f(z) ∫γ γ z dz , siendo γ γ una curva suave por tramos, cerrada, que
Es importante observar que el integrando es analítico en todo el plano complejo salvo en Si γ γ no corta a | z | = 1 ( es exterior o interior) , como el integrando es analítico en la región comprendida entre la circunferencia | z | = 1 y la
z=0
1
f(z) curva γ dz = π γ , aplicando la consecuencia 1 podemos afirmar que ∫ γ γ z Si γ γ corta a la circunferencia | z | = 1, se considera otra curva cerrada, a la que llamamos γ γ* , como el integrando es analítico en la región limitada por | z | = 1 y γ γ* , por la consecuencia 1 , podemos afirmar que la integral sobre γ γ* vale π , como además el integrando es analítico en la región limitada por γ γ y γ γ* , por la consecuencia 1 , la integral sobre γ γ vale lo mismo que la integral sobre γ γ* , es decir la integral sobre γ γ vale π Por lo tanto
¿puede
γ γ 1
γ γ*
f(z) ∫γ γ z dz = π , siendo γ γ cualquier curva suave por tramos, cerrada, que encierra a 0
2- Justificar , usando la consecuencia 2 y teniendo en cuenta
f(z) dz = 3 y el gráfico de la derecha, que si ∫ γ γ 1 (z - 2)(z - i) f(z) f(z) entonces dz = 7 ∫γ γ 2 (z - 2)(z - i) ∫γ γ 3 (z - 2)(z - i) dz = - 4 ,
γ γ1 i
γ γ3 2
2
Suponer que f(z) es analítica ∀z y que las curvas se recorren en sentido positivo.
15
Módulo I - Unidad 3
Matemática D
Ξ Fórmula de la integral de Cauchy γ γ Si γ γ es una curva cerrada, simple y suave por tramos y f(z) es analítica sobre γ γ y su interior , y z0 es interior a γ γ entonces
z0
f(z) dz = 2πi f(z 0 ) γ γ z - z 0
∫ Demostración
γ γ
Consideremos una circunferencia C centrada en z0 interior a γ γ C: |z – z0 | = R y calculamos la integral propuesta como se muestra a continuación donde cada paso está justificado más abajo
z0
f(z) dz = (1) γ γ z - z 0
∫
∫
C
f(z) dz = z - z 0 ( 2)
∫
C
f(z) - f(z 0 ) + f (z 0 ) dz = (3) z - z0
∫
C
C
f(z) - f(z 0 ) dz + f(z 0 ) z - z0
144 4 244 4 3
A
∫
C
1 dz z - z0
14243
B
(1): son iguales por la primera consecuencia del teorema de Cauchy pues el cociente f(z) / (z – z0) es analítico sobre las curvas γ γ y C y en la región limitada por ambas (2): sumando y restando f(z0) en el numerador (3): la integral de una suma es suma de integrales y f(z0) es constante Demostraremos a continuación que la integral teorema estará demostrado.
A vale cero y la integral B vale 2πi y entonces el
a) Para justificar que la integral A vale cero, consideramos la función
f (z ) − f ( z 0 ) si z ≠ z 0 g( z ) = z − z 0 f ' ( z 0 ) si z = z 0 Analicemos esta función
g(z):
si z ≠ z0 ,
g(z) es analítica por ser cociente de analíticas y el denominador no se anula f ( z ) − f ( z 0 ) g(z) es continua en z0 pues lím g( z ) = lím = f ' ( z 0 ) = g(z 0 ) z →z 0 z→z 0 z − z0
Por lo tanto g(z) es analítica sobre la curva cerrada C y su interior , salvo a lo sumo en el punto z0 donde sabemos que es continua , por ello podemos aplicar el teorema de Cauchy Goursat (versión 2) y afirmar que
∫ g(z) dz = 0 . C
16
Módulo I - Unidad 3
Matemática D Observemos que sobre los puntos de la curva
f ( z ) − f ( z 0 ) ∫C z − z 0 dz =
por lo tanto
C, la función g(z) es igual al cociente incremental,
∫C g(z) dz =
0 , y queda demostrado que la integral A vale
cero.
B, parametrizamos la circunferencia C : z(t) = R e it , con 0 ≤ t ≤ 2 π, 2π 1 2π 1 it it calculamos z'(t) = Ri e y obtenemos : ∫ dz Rie dt i dt = 2πi =∫ = ∫ C z-z 0 Re it 0 0 b) Para calcular la integral
Ejemplos
∫
a) Calcular
γ γ
cos z dz , siendo γ γ la frontera del triángulo de vértices 0 , 4 ± 2i z−π
Como el integrando tiene la forma
4
f(z) , con f(z) = cos z , analítica en todo el plano, y z - z0
z0 = π está en el interior de la curva cerrada γ γ , podemos aplicar el T. de la fórmula de Cauchy pues se verifican todas las hipótesis , así tenemos:
∫
γ γ
b) Calcular
∫|z 2i| 2 −
=
cos z dz = 2πi f( π) = 2πi cos( π) = −2πi z−π
z3 + 3 dz z2 + 1
En este ejercicio el integrando no tiene la forma
f(z) , pero si factoreamos el denominador z - z0
vemos que:
z3 + 3 z3 + 3 = z 2 + 1 ( z + i )( z − i ) Como el factor ( z - i ) se anula en i, que es interior a la curva cerrada dada, y el factor (z + i) no se anula sobre la curva ni en su interior, podemos escribir la integral de la siguiente manera:
∫1z 2i| 2 −
=
z3 + 3 dz = ∫1z − 2i|= 2 z2 + 1
z 3 + 3 z + i dz
z−i
3
Como (z +3) / (z + i) es analítica sobre la curva cerrada y su interior , podemos usar la 3 fórmula de Cauchy. Tomando f(z) = (z +3) / (z + i) el valor de la integral resulta:
∫1z 2i| 2 −
=
z 3 + 3 z3 + 3 -i+3 dz = 2 π i f(i) = 2 π i = 2 π i = 3 π − iπ z+i 2i z2 + 1 z =i 17
Módulo I - Unidad 3
Matemática D c) Calcular la integral dada en b) sobre la curva
C: | z | = 2
En este caso los complejos i y -i, que anulan el denominador, son interiores a la curva cerrada. Veamos que a pesar de esto puede calcularse la integral mediante la fórmula de Cauchy, para ello consideremos dos curvas cerradas C1 y C2 interiores a C y disjuntas, C1 que sólo encierre a i y C2 que sólo encierre a - i . Por una de las consecuencias del teorema de Cauchy Goursat, sabemos que
∫C
z4 + 3 z4 + 3 z4 + 3 dz = ∫C 2 dz + ∫C 2 dz 1 2 z2 + 1 z +1 z +1
C1
i
C2
-i
como en el interior de las curvas cerradas C1 y C2 el integrando puede expresarse como cociente entre f 1(z) / (z - i) y f 2(z) / (z + i) respectivamente , estas integrales se calcular en forma similar al ejemplo anterior. Se deja como ejercicio verificar que
∫C
z4 + 3 dz = (3π - iπ) + (-3π - iπ) = -2iπ z2 + 1
∆ Actividad 10:
C1
Si f(z) es analítica en el anillo limitado por dos circunferencias concéntricas y C2 y z0 es un punto interior a dicho anillo, demostrar que:
f (z 0 ) =
C1
1 f ( z ) 1 f ( z ) dz dz ∫ ∫ 2πi C1 z − z 0 2 πi C 2 z − z 0
C2
z0
donde las curvas se recorren en sentido directo. (Hacer un corte en la región sombreada y aplicar algún teorema que facilite el cálculo de cada integral)
♦ Generalización de la fórmula de Cauchy La fórmula de la integral de Cauchy permite determinar el valor de una función analítica en un punto si conocemos los valores que toma dicha función sobre un contorno cerrado, simple y suave por tramos que incluya a dicho punto. La fórmula de Cauchy puede generalizarse y obtener una fórmula que permite calcular el valor de todas las derivadas de una función analítica en un punto si conocemos los valores que toma dicha función sobre un contorno cerrado, simple y suave por tramos que incluya a dicho punto. La fórmula generalizada puede obtenerse mediante las siguientes operaciones, que NO constituyen una demostración. Si f(z) es analítica sobre la curva cerrada y suave por tramos γ γ y su interior , y z0 es interior a γ γ , sabemos que 18
Módulo I - Unidad 3
Matemática D
f(z) dz . γ z - z 0
2πi f ( z 0 ) = ∫γ
Si consideramos a z0 como una variable y derivamos la expresión anterior respecto de suponemos que podemos introducir la derivada en el símbolo integral obtenemos:
2πi f ' ( z 0 ) =
d f(z) dz = dz 0 ∫γ γ z - z 0
d ∫γ γ dz 0
2πi f ' (z 0 ) =
f(z) dz = z z 0
z0 y
f(z) ∫γ γ (z - z )2 dz ⇒ 0
f(z) dz γ γ (z - z 0 )2
∫
Si derivamos nuevamente respecto de z0 , obtenemos:
2πi f ' ' ( z 0 ) =
d f(z) d dz ∫γ γ = ∫γ γ 2 dz 0 (z - z 0 ) dz 0
f(z) f(z) dz ⇒ dz = 2 ∫γ γ 3 2 ( ) z z ( ) z z 0 0
f(z) dz γ (z - z 0 )3
2πi f ' ' ( z 0 ) = 2 ∫γ Si derivamos otra vez nos queda:
2πi f ' ' ' ( z 0 ) = 2
Derivando
d dz 0
f(z) d dz ∫γ γ = 2 ∫γ γ 3 dz 0 (z - z 0 )
n veces se obtiene:
De donde puede obtenerse
f(z) f(z) f(z) dz = 3! ∫γ γ dz dz = 6 ∫γ γ 4 4 3 ( ) ( ) ( ) z z z z z z 0 0 0
2πi f ( n ) (z 0 ) = n! ∫γ γ
f(z) dz n +1 (z - z 0 )
2πi f (n) ( z 0 ) f(z) ∫γ γ (z - z )n+1 dz = n! 0
El siguiente teorema resume estos resultados
Ξ Derivada de la fórmula de la integral de Cauchy f(z) es analítica sobre la curva cerrada, simple y suave por tramos γ γ y su interior , y z0 es (n) 2πi f (z 0 ) f(z) interior a γ dz γ entonces ∫ = γ γ n! (z - z 0 )n+1 Si
⊕ Observación:
Si en la última expresión se reemplaza n = 0 se obtiene la fórmula de la integral de Cauchy pues (0) interpretamos f (z0) como f(z0) y teniendo en cuenta que 0! = 1. 19
Módulo I - Unidad 3
Matemática D
Ejemplo
Calcular
∫
γ γ
e 2iz dz , siendo γ γ la frontera del triángulo de vértices 0 , 4 ± 2i (z − π)2 ( z + i ) 3
Si examinamos el denominador vemos que el factor (z + i) no se anula sobre la curva γ γ ni en su 2 interior. Sin embargo (z - π) se anula en z = π , que es interior de γ γ, por lo tanto podemos escribir:
∫
γ γ
e 2iz 3 ( z + i ) dz
e 2iz dz = ∫γ γ (z − π)2 ( z + i ) 3 (z − π)2
Dado que el integrando cumple todas las hipótesis del teorema de la derivada de la fórmula de 2iz 3 Cauchy , lo aplicamos teniendo en cuenta que n + 1 = 2, de donde n = 1 , y f(z) = e / ( z + i) .
Así,
∫
γ γ
e 2iz 3 ( z i ) + 2ie 2iz ( z + i ) 3 − e 2iz 3( z + i ) 2 2i( π + i) - 3 dz = 2 πi f ' ( π) = 2πi 2 i = π (z + i)6 ( π + i) 4 (z − π)2 z = π
♦ Derivadas de analíticas Si f(z) es analítica en un punto z0 , sabemos que es analítica en todo un entorno de z0 , y si tomamos una curva cerrada, simple y suave por tramos γ γ contenida en dicho entorno, podemos aplicar el teorema anterior obteniendo:
2πi f (n) (z 0 ) f(z) ∫γ γ (z - z )n+1 dz = n! 0 f(z) 2πi f (n) (z*) Además también vale la igualdad ∫ dz = γ γ n! (z - z *)n+1 siendo z* cualquier punto del interior de la curva γ γ
z0 γ γ
z0 z*
γ γ
f(z) 2πi f (2) (z*) dz = Si tomamos n = 2 en la última expresión obtenemos ∫ y esto nos γ γ n! (z - z *)3 indica que existe la derivada segunda de f en todo punto interior a la curva γ γ y por lo tanto la derivada primera f ' es analítica Aplicando un razonamiento similar a la función analítica f' podemos concluir que f'' es analítica, y repitiendo el argumento anterior llegamos al siguiente resultado fundamental.
Ξ Teorema : Derivada de funciones analíticas Si f(z) es analítica en un punto, sus derivadas de todos los órdenes son también funciones analíticas en ese punto. 20
Módulo I - Unidad 3
Matemática D
• Ejercicios y
C1
8- Si f(z) es analítica en un anillo y C1 y C2 son dos curvas cerradas contenidas en el anillo como muestra la figura , justificar que
C2
∫C f(z) dz = ∫C f(z) dz 1
x
2
f(z) es analítica en C – {1, -2, 3i} y
9- Si
∫|z-1| 1 f(z) dz = 2 =
,
∫|z 2| 1 f(z) dz = −2 , + =
∫|z-3i| 1 f(z) dz = 0 =
a) Averiguar el valor de la integral
∫C f(z) dz en los siguientes casos justificando la
respuesta : a1) C es una curva cerrada cualquiera que encierra a 1 y no encierra ni a -2 ni a 3i a2) C es una curva cerrada cualquiera que encierra a 3i y no encierra ni a -2 ni a 1 a3) C es una curva cerrada cualquiera que encierra a 1 y -2 y no encierra a 3i a4) C es una curva cerrada cualquiera que encierra a 1, -2 y 3i b) Indicar claramente los posibles dominios donde la integral es independiente del camino. 10- Calcular las siguientes integrales enunciando previamente el teorema o propiedad que utiliza. 2
ez ( z 2 − 4) dz , C : z - 2 + i = 1 a) ∫ b) ∫ dz , C : z - 2 = 1 C z C sen( z 2 ) e −2iz z4 c) ∫ d) ∫ 2 dz , C : z = 4 dz , C : z = 3 Cz−3 Cz +4 e −z d) ∫ dz , para k = 1 , 2 , C1: |z – 2| = 1 ; C2: |z | = 3 Ck 2 z 2 − z 3 f(z) = (z – 2i)4 h(z) donde h(z) es analítica y no se anula sobre la curva C y su interior , f ' (z ) dz = 8πi , C : |z – 2i| = 1 justificar que ∫ C f ( z ) 11- Si
12-Calcular para
n = 0, n = 1, n = 2 , la integral
cos2z
∫C (z − i )n dz , C: |z| = 2 enunciar previamente el
teorema o propiedad que utiliza.
21
Módulo I - Unidad 3
Matemática D
2
13- Si F(z) = i z
cos z es una primitiva de f(z) , calcular el valor exacto de
∫C
f(z) dz donde C1 1
iπ
es una curva que une π e π con 2π . 14- Dada
I=
(2z - π) ∫C (z 2 - 1) (1 − sen z ) dz
a) Calcular I usando la fórmula de la integral de Cauchy , sabiendo que C es lo frontera del conjunto A = {z / 1/2 ≤| z | ≤ 3/2 , |Arg(z)| ≤ π /4} b) ¿Puede aplicarse la fórmula de la integral de Cauchy para calcular I si la curva es C : | z – 2| = 4/3 ? Justificar la respuesta. 15- Si f(z) es analítica y
g( z ) =
z − 2i , calcular z
∫|z 2i| 3 −
=
f ( z )g' ( z ) dz sabiendo que f(2i) = f(0) g( z )
Otras propiedades importantes: Ξ Teorema de Morera Si f(z) es continua en un dominio simplemente conexo D y para toda curva cerrada γ γ contenida en D se sabe que
∫ f (z ) dz = 0 entonces f(z) es analítica en D. γ γ
Demostración Como la integral de f(z) vale cero sobre cualquier curva cerrada contenida en D entonces por Teorema 1 sabemos que la integral de f es independiente del camino en D y si es independiente del camino en D, por Teorema 3 sabemos que existe una función F(z) analítica en D tal que
F'(z) = f(z) .
Como hemos visto que la derivada de una función analítica es también analítica y sabemos que es la derivada de la función analítica F, se desprende que f es analítica en D
f
Aceptamos sin demostración la siguiente propiedad, conocida como principio del módulo máximo
Ξ Principio del módulo máximo f(z) = u(x,y) + i v(x,y) es analítica y no constante en un dominio abierto A 2 2 entonces la función |f(z)| = (u( x, y )) + (v( x, y ) no posee máximo en A, es decir , no existe en A un punto z0 tal que |f(z)| ≤ |f(z0)| Si una función
⊗ Observaciones 22
Módulo I - Unidad 3
Matemática D
f(z) = u(x,y) + i v(x,y) entonces |f(z)| = variables reales a la que denominamos g(x,y)
1- Si
(u( x, y ))2 + (v( x, y )2
es una función de dos
Es importante observar que si existen en A puntos de coordenadas (x1, y1) donde las funciones u(x,y) y v(x,y) se anulan simultáneamente, es decir u(x1,y1) = 0 y v(x1,y1) = 0 entonces en dichos puntos
g( x 1 , y 1 ) = (u( x 1 , y 1 ))2 + (v( x 1 , y 1 )2 = 0 .
Como la función g(x,y) , por tratarse de un módulo, verifica g(x,y) ≥ 0 para todo par (x,y) de A , y como g(x1,y1) = 0 entonces podemos afirmar que: g(x,y) ≥ g(x1,y1) , para todo par (x,y) de A y esta última desigualdad nos dice que la función g(x,y) alcanza un mínimo en los puntos (x1, y1) en los cuales las funciones u(x,y) y v(x,y) se anulan simultáneamente. 2- Si una función f es analítica en el interior de un conjunto cerrado y acotado A y es continua sobre la frontera de A , entonces la función |f(z)| = g(x,y) es continua en dicho conjunto cerrado y acotado y se sabe de la variable real que seguro alcanza un máximo y un mínimo absoluto en A . Estas observaciones nos permiten enunciar el siguiente teorema.
Ξ Teorema Si f es una función continua en una región acotada cerrada A, y analítica y no constante en el interior de A, entonces: a) la función |f(z)| alcanza siempre un máximo y ocurre en algún punto de la frontera de A, nunca en su interior, es decir existe al menos un punto z0 en la frontera de A tal que
|f(z)| ≤ |f(z0)| b) si además f(z) ≠ 0 en todos los puntos de A , la función |f(z)| alcanza siempre un mínimo y ocurre en algún punto de la frontera de A, nunca en su interior. Si se elimina la condición f(z) ≠ 0, la función |f(z)| puede alcanzar un mínimo en un punto del interior de A cuando dicho valor mínimo es 0.
Ejemplo 2
Si queremos saber dónde la función f(z) = |z - z| alcanza un máximo o un mínimo en el recinto cerrado y acotado definido por | z | ≤ 1 , comenzamos expresándola en función de x e y :
f(z) = (x + i y)2 - (x + i y) = (x 2 - y2 - x ) + i (2xy -y) y calculando su módulo |f(z)| = g(x,y) = (x 2 − y 2 − x ) 2 + ( 2xy − y ) 2 como se sabe que maximizar una raíz es equivalente a maximizar su radicando , tomaremos la función g elevada al cuadrado, y como sabemos que el máximo lo tomará en algún punto de frontera, podemos parametrizar la circunferencia | z |= 1 poniendo x = cos t , y = sen t , con 0 ≤ t ≤ 2π , y buscar los máximos de la función
Recordar: 23
cos2t - sen2 t Módulo = cos (2t)I - Unidad 3 2 sen t cos t = sen (2t)
Matemática D
G(t) = [g(cos t , sen t)] 2 = = (cos 2 t − sen 2 t − cos t ) 2 + ( 2 cos t sen t − sen t ) = = (cos 2t − cos t ) 2 + ( sen 2t − sen t ) 2 Se deja como ejercicio verificar que los puntos críticos de esta función son t0 = 0 , t1 = π y por lo tanto los posibles puntos donde el módulo toma el máximo valor son: z0 = (x0,y0) = (cos 0, sen 0) = (1,0) y z1 = (x1,y1) = (cosπ, senπ) = ( -1, 0) Como | f(z0) |= g(1,0) = máximo valor en el punto | f(z)| ≤ 2
0 y | f(z1) | = g(-1,0) = 2 , podemos afirmar que |f(z)| toma el z1 = -1 + i 0 = -1 , y para todos los complejos de |z| ≤ 1, se verifica
Es interesante hacer notar que | f(z)| toma el mínimo valor en el punto z0 = 1 + i 0 = 1 dicho punto la función vale cero y sabemos que por tratarse de un módulo se verifica y por lo tanto | f(z0)| ≤ | f(z)| para todo z de |z| ≤ 1
, pues en 0 ≤ | f(z)|
Es importante hacer notar que en este ejemplo encontramos un mínimo sobre la frontera, pero según hicimos notar en la observación anterior la función toma un mínimo en los puntos del recinto donde las funciones u y v se anulen simultáneamente , es decir puntos donde f(z) = 0, en 2 este caso se observa que z - z = 0 ⇒ z = 0 ó z = 1 , por lo tanto la función posee un mínimo también en un punto del interior de la región.
Ξ Propiedad : Máximo de funciones armónicas Si f(z) = u(x,y) + i v(x,y) es una función continua en una región acotada cerrada A y analítica y no constante en el interior de A, entonces las funciones u(x,y) y v(x,y) alcanzan su máximo en la frontera de A y nunca en su interior.
Demostración f(z)
Si consideramos la función g(z) = e , composición de f con la exponencial, podemos afirmar que g es continua en A y analítica y no constante en el interior de A, por el T. del módulo u(x,y) máximo sabemos que |g(z)| = e alcanza su máximo en un punto de la frontera de A. Como la función exponencial es creciente, se sigue que el máximo valor de u(x,y) se alcanza en un punto de la frontera de A. -if(z) v(x,y) Si en cambio consideramos la función h(z) = e cuyo módulo es | h(z) | = e puede demostrarse en forma similar que el máximo valor de v(x,y) se alcanza en un punto de la frontera de A.
Ξ Teorema de Liouville Si f(z) es analítica y acotada en todo el plano complejo entonces f(z) es una función constante.
24
Módulo I - Unidad 3
Matemática D
Demostración Sea γ γ una circunferencia centrada en un punto cualquiera
z0 y de radio arbitrario R, es decir
γ γ : | z - z0 | = R .
Como sabemos que f es analítica en todo el plano podemos aplicar la fórmula de la derivada de Cauchy para
n = 1 :
f(z) ∫γ γ (z - z )2 dz = 2 π i f ' (z 0 ) 0
Como sabemos que f está acotada en todo el plano , sabemos que existe una constante positiva M tal que |f(z)| ≤ M , esto nos permite acotar la integral anterior como se muestra a continuación y se deja a cargo del alumno la justificación de cada paso:
f ' ( z 0 ) =
f ( z ) 1 f(z) 1 dz ≤ 2πi ∫γ γ (z - z 0 )2 2π ∫γ γ z − z 0
2
dz ≤
1 M M M dz 2 π R = = 2π ∫γ γ R 2 R 2 πR 2
por lo tanto podemos afirmar que para todo complejo z0 y para todo
R vale : 0 ≤ |f '(z0)| ≤ M/R
Como M es una constante fija y R puede tomarse tan grande como se quiera, el cociente M/R es tan cercano a cero como se quiera, por lo tanto la única posibilidad es que f '(z0)= 0 , como z0 es cualquiera significa que f'(z) = 0 para todo z del plano complejo y por lo tanto la función f(z) debe ser una constante.
• Ejercicios 16- La función de variable real f(x) = sen x es derivable para todo | sen x | ≤ 1, ¿esto contradice el T. de Liouville? Explicar
x y está acotada pues
17- Hallar el máximo y el mínimo de |f(z)| en los recintos indicados 2 a) f (z) = z - 3 z + 2 en | z | ≤ 1 y en | z - 1 | ≤ 2 b) f(z) = cos z en A = {(x,y) / 0 ≤ x ≤ 3π /4 , -1 ≤ y ≤ 2 } 18- Calcular 2
a)
Max | e − z | siendo BR = { z / |z| ≤ R , 0 ≤ Arg(z) ≤ π /4}
b)
Max
BR
D
1 z2 + 1
siendo
D = { z / |z| ≤ 1 , 0 ≤ Arg(z) ≤ π /4}
1 ∫γ γ z n dz = 0 , siendo γ γ cualquier curva cerrada que no pasa por el origen y n n es un natural fijo mayor o igual a 2, sin embargo la función f(z) = 1 / z no es analítica en 0, 19 - Justificar que
¿contradice este hecho el T. de Morera?
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Módulo I - Unidad 3
