IQ 209 Procesos de Separación
Unidad 2. Fundamentos de transferencia de masa
Transferencia de masa: Es el movimiento neto de un componente en una mezcla desde una ubicación a otra donde el componente existirá a una concentración diferente.
Ejemplo: Absorción por un líquido de un soluto gaseoso. Este proceso involucra: g as transferencia de masa del soluto a través del gas transferencia de masa del soluto hasta la interfase transferencia de masa a través de la interfase d el líquido transferencia de masa en el seno del
Gas líquido
Interfase gaslíquido
2.1 Mecanismos de transferencia de masa
La transferencia de masa ocurre por tres mecanismos principales: 1) Difusión molecular 2) Difusión turbulenta 3) Transferencia convectiva de masa 1. Difusión molecular: ocurre debido al movimiento microscópico aleatorio y espontáneo de moléculas individuales en un gas, líquido o sólido (movimiento Browniano) o gradientes de concentración.
remolinos durante el movimiento movimiento macroscópico del 2. Difusión turbulenta. Es causada por remolinos fluido.
3. Convección.
Este mecanismo resulta cuando existe un flujo neto en alguna de las direcciones en la cual se están moviendo las diferentes especies (molecular y/o turbulenta) y el cual causa una disminución o incremento en la velocidad de transferencia de masa de las especies individuales
2.2. Difusión molecular
Experimento: Supongase que se tiene un recipiente con un colorante rojo disuelto en agua. Después, a este recipiente se le agrega agua libre de colorante, B. La mezcla total no esta
2.1 Mecanismos de transferencia de masa
La transferencia de masa ocurre por tres mecanismos principales: 1) Difusión molecular 2) Difusión turbulenta 3) Transferencia convectiva de masa 1. Difusión molecular: ocurre debido al movimiento microscópico aleatorio y espontáneo de moléculas individuales en un gas, líquido o sólido (movimiento Browniano) o gradientes de concentración.
remolinos durante el movimiento movimiento macroscópico del 2. Difusión turbulenta. Es causada por remolinos fluido.
3. Convección.
Este mecanismo resulta cuando existe un flujo neto en alguna de las direcciones en la cual se están moviendo las diferentes especies (molecular y/o turbulenta) y el cual causa una disminución o incremento en la velocidad de transferencia de masa de las especies individuales
2.2. Difusión molecular
Experimento: Supongase que se tiene un recipiente con un colorante rojo disuelto en agua. Después, a este recipiente se le agrega agua libre de colorante, B. La mezcla total no esta
en movimiento. Al principio, existe una capa bien definida entre las dos fases, punto A. Sin embargo, a medida que transcurre el tiempo, la capa inferior se empieza a colorear y la capa de colorante empieza a decolorarse, B y C. A un tiempo suficientemente grande, la concentración del colorante será uniforme por todo el recipiente, D.
A partir de este experimento, se pueden hacer las siguientes observaciones: 1. La transferencia de masa por difusión molecular ocurre debido a un gradiente de concentración (el colorante se difunde desde una concentración mayor hasta una menor). 2. La velocidad de transferencia de masa e s proporcional al área perpendicular a la dirección de la transferencia de masa y no al volumen de la mezcla. Por lo tanto, la velocidad de transferencia. de masa puede ser expresada como un flujo (o flux), donde:
flujo (flux)
masa (tiempo)(area)
unidades, por ej. :
moles s - m2
3. La transferencia de masa se detiene cuando la concentración de colorante es uniforme, punto D.
Las observaciones anteriores fueron cuantificadas en la primera Ley de Fick para una mezcla binaria en la siguiente expresión para el componente A:
J A z - D AB
d c A
(1)
d z
Para el componente B:
J B z
- D BA
d cB dz
(2)
Las ecuaciones (1) y (2) se conocen como la 1ª Ley de Fick de la difusión. Estas ecuaciones son análogas a la ecuación de la 1ª ley de Fourier de conducción de calor:
q A
-k
dT dz
(2a)
Donde q/A es el flujo (o flux) de calor por conducción, k = conductividad térmica, y dT/dz es el gradiente de temperatura, negativo en la dirección z. La ecuación (1) se puede escribir en términos de fracciones molares J Az
- cD AB
dx A
puesto que: xA = cA/c, donde c = concentración molar total.
dz
(3)
1ª Ley de Fick. Ejemplo 1 El agua del subsuelo contaminada con gasolina, es transportada por debajo de un pozo ubicado en una zona residencial habitacional desde una estación de gasolina cercana. La concentración de vapores de hidrocarburos en el aire dentro del suelo es de 3 x 10 -8 g/cm3. Estimar el flujo de gasolina a 2 metros por debajo de la fuente de contaminación de gasolina suponiendo un coeficiente de difusión de vapor de gasolina en el suelo de 10-2 cm2/seg. Suponer que la difusión de los vapores de gasolina a través del suelo es del tipo de la ley de Fick. Solución (ver clase):
Problema 2. Un lago no tiene salidas de corrientes. El lago tiene un volumen constante, un area de 104 m2, y una profundidad de 2 m. Inicialmente, el lago tiene una concentración en el agua de un contaminante de 0.8 ppm. Dos días después, una nueva medición de este contaminante indica que la concentración se ha incrementado hasta 1.5 ppm. Suponiendo que solo este contaminante es el de interés ambiental, calcular cual fue el flux de contaminante que ocurrió en el lago durante ese periodo de tiempo.
Problema 3. Cual es el flujo de sal en un tubo de 10 cm de longitud y el cual conecta dos tanques, uno que contiene agua de mar (salinidad = 30 g/L) y un tanque de agua dulce (salinidad ~0), suponiendo que no ocurre transporte?
Solución (ver clase):
2.3. Velocidades en transferencia de masa
Consideremos ahora el experimento del colorante descrito anteriormente. Descripción: a medida que transcurre el tiempo, el colorante se va difundiendo en el líquido hasta que alcanza una distribución completa. En este caso, el flux debido a la difusión del colorante se puede expresar como función de una velocidad de difusión como sigue: J A
m kg mol A v Ad c A s m 3
(4)
donde : vAd = velocidad de difusión de A, en m/s.
Consideremos ahora que la mezcla total (colorante + agua) está en movimiento (convección). Sea: vM = velocidad molar promedio de todo el fluido (agua + colorante), m/s. En esta situación, el desplazamiento del componente A es causado por: 1. la difusión de A 2. el movimiento del fluido
A
A
Entonces, la velocidad del componente A con respecto a un observador estacionario en un punto P, será la suma de la velocidad de difusión (vAd ) más la velocidad convectiva del fluido (vM). Lo anterior se expresa matemáticamente como: v A
v Ad v M
(5)
Si multiplicamos la ecuación (5) por cA (kgmol/m3 ) obtenemos:
c A v A
c A v Ad
Flux total de A, N A (kg mol A/s- m 2 )
c A v M
(6)
FLux convectivo de A debido al movimiento del fluido
Flux de difusión con respecto al fluido en movimiento , JA
La ecuación (6) está ahora escrita en términos de fluxes, llamados fluxes específicos y se denotan por NA: N A
J A c A v M
(7)
Sea N el flux total por convección del fluido. Entonces podemos escribir este flux como la suma de los dos componente A y B: N = c vM = NA + NB
(8)
donde: c = concentración molar total de A +B. Despejando para vM de ecuación (8) y sustituyendo en ecuación (7) obteneos:
N A
JA
N A
c A (N A N B )
c Sustituyendo ecuación (3) en ecuación (9) y suprimiendo subíndice z:
nA
Area
- c D AB
d x A dt
cA c
(N A N B )
(9)
(10)
Podemos obtener una ecuación para componente B de una manera similar, lo cual proporciona la siguiente ecuación:
N B
B
Area
- c D BA
dx B dt
cB c
(N A
N B )
(11)
donde: ηA y ηB =
velocidades molares de flujos de A y B, respectivamente, en moles/tiempo. Area = área de transferencia de masa
A partir de las ecuaciones (10) y (11), se distinguen dos casos limitantes:
A: Contradifusión equimolar
Esta situación se presenta en el siguiente diagrama:
JB
c A1
c A2 1
c A1
c B2
c A2
2
cB1
cB2
c B1
C = constante
C = constante
J A
Las moléculas de A se difunden a la derecha y las de B hacia la izquierda Los moles netos de A que se difunde a la derecha son iguales a los moles netos de B que se difunden hacia la izquierda
La concentración total se mantiene constante En esta situación, los fluxes molares de A y B son iguales, pero opuestos en dirección, es decir:
N = NA + NB = 0
(12)
Los fluxes de difusión también son iguales pero con dirección opuesta: JA = -JB Sustituyendo ecuación (12) en ecuaciones (10) y (11) se obtiene: N A
- cD AB
d x A
N B
- cD BA
d x B
dz
dz
JA
(13)
JB
(14)
Pero JA = -JB. Entonces. Igualando las ecuaciones (13) y (14) con el correspondiente signo, llegamos a la conclusión que: DAB = DBA
Ejemplo1. Dos bulbos están conectados por un tubo recto de 0.001 m de diámetro y 0.15 m de longitud. Inicialmente el bulbo en el extremo 1 contiene N2 y el bulbo en el extremo 2 contiene H2. La presión y temperatura se mantienen constantes a 25°C y 1 atm. A un cierto tiempo después que se permitió que ocurriera la difusión entre los dos bulbos, el contenido de nitrógeno en el extremo 1 del bulbo es 80 mol % y 25% mol en el extremo 2 del tubo. Si el coeficiente de difusión binaria es de 0.784 cm2/s, determinar:
a) Las velocidades y direcciones de transferencia de masa de H2 y N2 en mol/s b) Las velocidades de las especies relativas a coordenadas estacionarias, en cm/s
IQ 209 Procesos de Separación B: Difusión unimolecular
En esta situación, la transferencia de masa del componente A ocurre a través de un componente estancado B y el cual no se difunde. Ejemplo: difusión de benceno líquido puro A a través de una corriente de aire B con las siguientes características: 1. El vapor de benceno (A) se difunde a través del aire (B) en el tubo 2. El aire (B) no se difunde en el benceno (A) 3. En el punto 2, la presión parcial de benceno es cero, debido a que pasa un gran volumen de aire (pA = 0)
Figura : ver clase
Como el componente B esta quieto, NB = 0. Entonces: N = NA + NB = NA
La ecuación (10) de la lección 2: N A
N A
x A N A - cD AB
nA
Area
dx A dz
- c D AB
(1)
d x A dt
N A -
cA c
(N A N B ) se vuelve:
c D AB dx A (1 - x A ) dz
En la ecuación (2), el factor (1-xA) toma en cuenta el efecto del flujo del fluido.
Para una mezcla diluida en A, (1-xA) es pequeño Para mezclas concentradas en A, (1-xA) es apreciable.
(2)
La ecuación (2) se puede aplicar en estado estacionario y para casos de densidad molar constante. Integrando ecuación (2) para esta situación tenemos: N A
cD AB z - z1
1 - x A 1 x A1
ln
(3)
y despejando para xA se tiene: x A
N (z - z1 ) 1 - (1 - x A1 ) exp A D c AB
(4)
La ecuación (4) produce la siguiente gráfica: Ver clase
Utilizando el concepto de media logarítmica para fracciones molares, definimos:
1 - x A LM
(1 -x A2 ) - (1 - x A1 )
1 - x A2 ln 1 - x A1
x A1 - x A2
1 - x A2 ln 1 - x A1
(5)
con esta definición, la ecuación (3) se escribe como: N A
c D AB x A1
x A2
z 2 - z 1 (1 - x A ) LM
N A
c D AB (1 - x A ) LM
x A z
(6)
Ejemplo. Difusión unimolecular
EL recipiente de la figura se llena con benceno liquido a 25°C hasta aproximadamente 0.5 cm de la parte superior. Sopla una brisa de aire seco a 25°C y 1 atm por la boca del recipiente de tal forma que el benceno evaporado es retirado por convección después de que se transfiere a una capa estancada de aire en el recipiente. La presión de vapor del benceno a 25°C es 0.131 atm. EL coeficiente de difusión mutua de benceno en aire a 25°C es de 0.0905 cm2/s. Calcular: 1. La velocidad inicial de evaporación de benceno como un flujo molar en mol/cm2-s.
2. Los perfiles iniciales de fracción molar en la capa estancada Solución (ver clase):
2.4. Coeficientes de Difusión
Determinación de difusividades para mezclas binarias 1. Difusividad en mezclas de gases 2. Difusividad en mezclas líquidas 3. Difusividad en sólidos
2.4.1 Difusividad en gases:
1. Ecuación de Fuller: D AB
0.00143 T 1.75
D BA P M
1/2 AB
v
1/ 3
A
1/ 3 2
v B
(7)
Donde: DAB = cm2/s P = atm T = °K M AB
v
masa molecular de la mezcla gaseosa
2 1/M A
1/M B
= sumatoria de los volúmenes de difusión estructurales atómicos dados en la tabla
3.1
Para gases hasta aproximadamente 10 atm de presión, se puede todavía emplear la ecuación de Fuller, solo que en su forma inversa. Para gases a presiones elevadas, utilizar la gráfica de Takahashi (Fig.3.3):
En la cual se grafica:
D AB P (P D AB ) baja presión
vs presión reducida, Pr
Ejemplo 1 . Estimar el coeficiente de difusión para una mezcla 25/75 molar de argón y xenón a 200 atm y 378 °K. A esta temperatura y 1 atm, el coeficiente de difusión es 0.180 cm2/s. Las constantes críticas son:
Argón Xenón
Tc, °K 151.0 289.8
Pc, atm 48.0 58.0
Solución (ver clase).
Ejemplo 2
Estimar el coeficiente de difusión para el sistema oxígeno (A)/benceno (B) a 30°C y 2 atm de presión usando la ecuación de Fuller.
Solución (ver clase).
2.4.2. Difusividad en líquidos
Para esta clase de mezclas, DAB ≠ DBA debido a que la densidad molar varía con la composición.
Una ecuación muy empleada para estimar la difusividad es la de Einstein-Stokes empleada para soluciones diluidas:
D AB
donde: D AB
RT 6 B R A
(8)
difusividad de la mezcla líquida a dilución infinita
R A
radio de la molecula del soluto
B
viscosidad del solvente B, cPoises
Para soluciones concentradas (5-10 % mol), agua como solvente y moléculas pequeñas, se utiliza la ecuación de Wilke-Chang:
D AB
7.4 x 10 -8 ( B M B )1 / 2 T B v 0.6 A
(9)
donde: μB = viscosidad del solvente B, en cPoises vA = volumen molar líquido del soluto A a su punto de ebullición normal. B = factor de asociación para solvente = 2.6 para agua.
(D AB )
Para soluciones no acuosas, se emplea la ecuación:
1.55 x10
-8
T 1.29
0.42 0.5 B / A
B0.92 v 0.23 B
(10)
Donde:
A y B parámetros independientes de temperatura, y están definidos por:
v 1/4 v = volumen molar del líquido
σ = tensión superficial (dinas/cm) T = °K μB = viscosidad del solvente, cPoises vB = volumen molar del solvente a T°C Las siguientes restricciones aplican a la ecuación anterior:
i) ii)
iii)
la viscosidad del solvente no deberá exceder 30 cP. Para solutos de ácidos orgánicos y solventes distintos del agua, metanol y butanotes, el ácido deberá ser tratado como un dímero, doblando los valores de A y vA . Para un soluto no-polar en monohidroxialcoholes, los valores de vB y B deberán ser multiplicados por 8 μB
Ejemplo 3.
Estimar la difusividad de acido fórmico en benceno a 25C, si se tienen los siguientes datos: viscosidad de benceno = 0.6cP, volumen molar de benceno = 96 cm3/mol
2.4.3 Difusividad de electrolitos La difusividad (en cm2/s) de una sal simple (p. ej. NaCl) en una solución acuosa diluida es calculada a partir de la ecuación de Nernst-Hanskell:
1 1 n n - (D AB ) 1 1 2 - R T
Donde: n+, n- = valencias de anión y catión, respectivamente λ +, λ - = conductancias iónicas limitantes, en (A/cm2)(V/cm)(q-equiv/cm3), de tablas.
= constante de Faraday, 96,500 Coul/g-equiv T = Temp. °K R = constante de los gases = 8.314 J/mol °K
Ejemplo 4. Estimar el coeficiente de difusión de NaCl en una solucion acuosa 2M a 18C. Comparar su resultado con el valor experimental de 1.28x10-5
IQ 209 Procesos de Separación Tarea 1. Problema 1. Estimar el flujo de nitrógeno orgánico (org-N) en una cuenca de infiltración de aguas de desecho, si la concentración de org-N es 10 mg/L y el agua barre en el suelo a una velocidad de 2 cm/h.
Problema 2. Cual es el flujo de CO2 en una tubería de escape de automóvil, cuando la velocidad del gas es de 30 cm/s y la concentración de CO2 es de 0.05g/L? Problema 3. Un flujo de aire a 25°C con un punto de rocío de 0°C pasa por el extremo abierto de un tubo vertical lleno con agua líquida la cual se mantiene a 25°C. El tubo tiene un diámetro interno de 0.83 pulg., y el nivel del líquido estaba originalmente a 0.5 pulg por debajo de la parte superior del tubo. La difusividad de agua en aire a 25°C es 0.256 cm2/s. La presión de vapor del agua pura a 25°C es de 0.45 psia y a 0°C es de 0.085 psia. Suponga que se aplica la ley de Raoult. La ecuación del flujo de transferencia de masa para este caso se puede escribir como:
N A
c D AB
(-x A )
z
(1 - x A ) LM
L dz M L dt
Donde: ρL = densidad del líquido = 62.4 lb/pie3 ML = masa molecular del líquido Calcular cuanto tiempo tardará el nivel del líquido en alcanzar 0.3 pulg. Problema 4. Estimar la difusividad de tetracloruro de carbono a 25°C en una solución diluida de: a) Metanol, b) Etanol, c) benceno y d) n-hexano Problema 5. En un recipiente abierto, se tiene agua expuesta a aire a 25°C y se encuentra que el agua se vaporiza a una velocidad constante de 0.04 g/h-cm2. Suponiendo que la superficie del agua se encuentra a la temperatura de bulbo húmedo de 11°C, calcular el espesor efectivo de la película de gas (es decir, el espesor de una película de aire estancada que ofrecería la misma resistencia a la difusión que lo que realmente se encuentra en la superficie de agua) Problema 6. Un tanque circular abierto de 8 m de diámetro contiene n-propanol a 25°C y es expuesto a la atmósfera de tal forma que el líquido esta cubierto con una película de aire estancado con un espesor estimado de 5 mm. La concentración de n-propanol mas allá de la película estancada es despreciable. La presión de vapor de propanol a 25°C es 20 mmHg. Si el n-
propanol cuesta $1.20 por litro, cual es el valor de la perdida de propanol de este tanque en pesos por día? La gravedad específica de propanol es 0.80 Problema 7. Se pasa aire a 40°C y 2 atm a través de un lecho corto de esferas de naftaleno de 12 mm de diámetro a una velocidad de 2 m/s, basada en el área de sección transversal del lecho. La presión de vapor de naftaleno es de 0.35 mmHg. Cuantos kilogramos por hora de naftaleno se evaporaran desde 1 m3 de lecho, suponiendo una porosidad del lecho de 40 por ciento?
Problema 8. Un tanque abierto de 10 pies de diámetro y conteniendo benceno líquido a 25°C , es expuesto a aire de tal manera que la superficie del líquido es cubierta con una película da aire de 0.2 pulg de espesor. Si la presión total es de 1 atm y la temperatura es de 25°C, qué pérdida de material, en lb/día ocurre desde el tanque? La gravedad específica de benceno a 60°C es 0.877. La concentración de benceno a la salida de la película es tan baja que puede ser despreciada. Para benceno, la presión de vapor a 25°C es 100 Torr y la difusividad en aire es 0.08 cm2/s.
Problema 9 Un recipiente lleno con una mezcla equimolar líquida de alcohol etílico y acetato de etilo, se evapora a 0°C en aire quieto a 101 kPa de presión (1 atm de presión total). Suponiendo que se aplica la ley de Raoult, cual será la composición del líquido restante en el recipiente cuando la mitad del alcohol etílico se ha evaporado, suponiendo que cada componente se evapora independientemente uno de otro?. Suponga también que el líquido está bien mezclado. Están disponibles los siguientes datos:
Acetato de etilo Alcohol etílico
Presión de vapor, kPa, a 0°C 3.23 1.62
Difusividad en aire, m2/s 6.45 x10-6 9.29x10-6
Lectura de texto No 1.
1. Leer capitulo 6, Geankoplis, secciones 6.1 y 6.2 (pueden leer cualquier otro libro de procesos de separación) y responder a las siguientes preguntas: a) Que diferencia existe entre transferencia de masa por difusión molecular y por convección? b) Que significa el termino fuerza impulsora? c) Cual es la diferencia entre un gradiente y una fuerza impulsora? d) Cual es la diferencia entre difusividad y difusión molecular? e) Cual es la diferencia entre flujo especifico y flujo de difusión molecular? 2. Buscar en la literatura dos problemas que involucren la aplicación de la 1ª Ley de Fick. Resolverlos y presentarlos en esta lectura de texto.
Lectura de texto No. 2
1. Leer capitulo 6, Geankoplis, secciones 6.2 A, B y C (pueden leer cualquier otro libro de procesos de separación) y responder a las siguientes preguntas: a) cual es la diferencia entre flujo especifico y flujo de difusión molecular? Que letras se usan para representarlo comúnmente? Con cuales otras letras se representan en la literatura?? b) Que significa contradifusión equimolar? c) Que significa difusión unimolecular? d) Que diferencia existe entre transferencia de masa por difusión unimolecular y difusión molecular? e) Cual es la velocidad de transferencia de masa referida a coordenadas estacionarias? Que representa? f) Cual es la diferencia entre velocidad de transferencia de masa de difusión y velocidad de flujo de difusión? g) Que representa vM? h) Porque utilizamos la terminología xA (la cual normalmente se refiere a la fracción molar de A en la fase liquida) en las ecuaciones de contradifusion equimolar (CDEM) y de difusión unimolecular y cuando calculamos la concentraron total, c, utilizamos la ley del gas ideal, c=P/RT??? 2. En las siguientes situaciones explica a que tipo de situación de transferencia de masa se refiere cada una (CDEM o Difusión unimolecular o difusión molecular simple, condradifusion no equimolar): a) Evaporación de agua a través de una película de aire de espesor constante la cual esta quieta b) Evaporación de una mezcla de alcohol etílico y acetato de etilo desde un vaso de precipitados hacia una masa de aire quieto c) Una delgada capa gaseosa de una mezcla de alcohol etílico y agua se pone en contacto con una mezcla liquida de diferente composición. El alcohol se transporta por difusión a través de un canal interconector desde el líquido al extremo de la capa de vapor y el agua hacia el líquido. d) La reacción 2A B se lleva a cabo sobre la superficie de un catalizador. La especie A esta en la fase fluida y deberá llegar a la superficie del catalizador , para producir el compuesto B el cual a su vez dejara la superficie del catalizador pasando 1 a la fase fluida difundiendose en ella. Entonces se puede escribir que: NBz = - NAz 2
2.5 CONVECCION NATURAL Y FORZADA. 2.5 Convección natural y forzada
2.5.1 Convección: se refiere a los movimientos de un fluido y que resultan en el transporte y mezclado de las propiedades del fluido. Convección Natural: También conocida como difusión de remolino o eddy. Ocurre debido a la formación de corrientes causadas por diferencias en concentración, tempeatura o ambas o por el movimiento del fluido. Convección forzada: Se presenta cuando una fuerza externa es aplicada al fluido
2.5.2. Derivación de la ecuación básica de Transf. de Masa por convección en estado NO estacionario.
Supongase un fluido en movimiento que está pasando por un cubo (sólido, gas o líquido). En este caso esta habiendo transferencia de masa. Tomando un volumen de control dado por el cubo, como se muestra a continuación para el caso unidireccional:
La masa se difunde en la dirección x como: N A x - D AB
Velocidad de salida,
Velocidad de entrada, N Ax
cA x
NA
x x
y z
x
x
x x
Balance de masa para el componente A (sin generación): velocidad de entrada de A = velocidad de salida de A + velocidad de acumulación
(11)
Escribiendo cada término en forma matemática:
N A x
1) Velocidad de entrada (por difusión):
N A
2) Velocidad de salida:
- D AB
x x
x y z
3) Velocidad de acumulación
cA x
- D AB
x
cA x
x x
cA t
Entonces, la ecuación del balance (11) es (a través del área de cada cara del cubo en la dirección x):
y z D AB
cA x
y z D AB
x
cA x
x y z
x x
cA t (12)
Dividiendo la ecuación (12) por
cA t
D AB
x y z y tomando el lím x 0 :
2 cA x2
ECUACION DE DIFUSION
(13)
DE SOLUTO A EN EDO. NO ESTACIONAR IO EN LA DIRECCION X. VALIDA CUANDO D AB
CONSTANTE
Para difusión en tres dimensiones:
2c A 2cA 2c A cA D AB 2 2 x y t z2
(14)
Si DAB varía:
c A (D AB c A / x ) t x
(15)
La solución de la ecuación (13) da como resultado una serie de Fourier para el caso cuando no existe resistencia por convección en la superficie de un sólido.
Resistencias a la convección: coeficientes de transferencia de masa
Cuando existen resistencias a la convección en la superficie, se utilizan los coeficientes de transferencia de masa, k C , en lugar de tener que resolver la ecuación (13).
Para el caso en que las resistencias convectivas son considerables, el flujo del soluto A está dado por una fuerza impulsora, que no es otra cosa que la diferencia de concentraciones, y se representa por:
N A
k C ( c L1 - c Li )
(16)
donde: k C = un coeficiente de transferencia de masa, en m/s, cL1 = la concentración del soluto A en el fluido, kg mol A/m3 cLi = concentración del soluto A en el fluido adyacente a la superficie del sólido. A partir de la definición (16), se distinguen varias situaciones, como se muestra en la figura:
Ver libro de texto pp. 478
2.5.3. Definición de coeficientes de transferencia de masa turbulenta.
Para la transferencia de masa turbulenta, existe la T. de M. por difusión y la de remolinos o turbulenta. Entonces, la expresión para el flujo de A será:
JA
- (D AB M )
d cA dz
(17)
Donde: εM = difusividad de masa de remolino. Puesto que no se conoce su variación exacta, se utiliza un valor promedio, M Integrando la ecuación (17) entre los puntos 1 y 2 se obtiene:
J A1
M (c A1 - c A2 ) z 2 z 1
D AB
(18)
Pero no se conoce la diferencia z2 –z1 (la cual es el espesor de una capa límite). Por lo tanto, la ecuación (18) se escribe entonces como:
J A1
Donde: k ´c
k ´c (c A1 - c A2 )
M z 2 z 1
D AB
(19)
Definición del coeficiente de T.M.turbulenta (20)
2.5.4. Coeficiente de transferencia de masa para contradifusión equimolar (CDEM):
Para este caso, la ecuación del flujo específico debe incluir un término de T. de M. turbulenta., lo cual se escribe como: N A
- c(D AB M )
d x A dz
x A ( N A N B )
(21)
Para CDEM: NA = - NB , entonces la ecuación (21) se escribe como:
(22) k ´c (c A1 - c A2 ) M D donde se ha escrito : k ´c AB define al coef. de T.M. para CDEM (23) N A
z 2 - z 1
Se distinguen varios coeficientes de T.M.: A) Para gases:
N A
k ´c (c A1 - c A2 ) k ´G (PA1 - PA2 ) k ´y (y A1 - y A2 )
B) Para líquidos: N A
(24)
k ´c (c A1 - c A2 ) k ´L (c A1 - c A2 ) k ´x (x A1 - x A2 ) (25)
2.5.5. Coeficiente de transferencia de masa para difusión unimolecular: Componente A se difunde a través de B en reposo y no difusivo
N A
k ´c (c A1 - c A2 ) x ML
k c (c A1 - c A2 )
(26)
para líquidos:
x BM
y BM
x B2 - x B1 ln( x B 2 / x B1 )
(27)
(28)
para gases:
y B2 - y B1 ln(y B2 /y B1 )
Ver Tabla 7.2-1 pp 484 del libro de texto para correlaciones de coeficentes de T.M. para diversas situaciones.
2.5.6. Determinación de los Coeficientes de Transferencia de Masa Convectiva
Números Adimensionales Reynolds Re
L
Donde: L puede ser:
Dp = Diámetro de una esfera D = Diámetro de una tubería L = Longitud de una placa plana
= Velocidad de masa promedio del fluido:
Laminar Turbulento
= Densidad del fluido = Viscosidad del fluido
Número de Schmidt Sc
D AB
Número de Sherwood
Sh k C
L D AB
: Se puede sustituir por equivalencias dadas en tabla 7.2.1 de Geankoplis
Número de Stanton St
k C
k´ c puede sustituirse por diversas equivalencias
dadas en tabla 7.2.1 de Geankoplis Con frecuencia el coeficiente de transferencia de masa k c´ se correlaciona con un factor adimensional JD por medio de: J D
k C
( S C ) 2 / 3
(29)
Ejemplo de cálculo de coeficientes de transferencia de masa
Un gran volumen del gas puro B a 2 atm de presion, fluye sobre una superficie de la cual se esta evaporando A puro. El liquido A moja completamente una superficie, la cual es un papel secante. Por tanto, la presion parcial de A en la superficie corresponde a su presion parcial a 298K, la cual es 0.2 atm. Se determina que el valor de k’y es 6.78x10-5 kgmol/sm2-fraccion mol. Calcular la velocidad de evaporación de A, NA y los valores de k y y k G
2.5.7. Transferencia de masa en flujo laminar en un tubo
Supóngase que fluye agua en flujo laminar por un tubo cuya pared es de ácido benzoico. Para flujo laminar; la velocidad para un perfil completamente desarrollado es:
x
r 2 r 2 max 1 2 prom 1 R R
(30)
Donde x = velocidad en dirección x a una distancia r del centro del cilindro Un balance de masa sobre un elemento diferencial dentro del cilindro:
Velocidad de entrada por convección
+
velocidad de entrada por difusión
=
velocidad de salida real por difusión en estado estacionario
En términos matemáticos:
1 C A 2 C A 2 C A C A D AB 2 2 x x r r r x
(31)
Si la difusión en x << difusión en r (por convección) 2 C A 0 x 2 Para un flujo laminar las ecuaciones (30) y (31) se combinan para obtener una solución.
2.5.8. T.M. fuera de superficies sólidas.
a) b) c) c)
T.M. para flujo que pasa por esferas individuales Difusión de gases en sólidos porosos y capilares Difusión de gases de Knudsen T.M. en lechos empacados
a) T.M. para flujo que pasa por esferas individuales
b) Difusión de gases en sólidos porosos y capilares
Difusión en poros y en superficies Donde:
DM = Difusión molecular del soluto = Factor de tortuosidad que toma en cuenta la trayectoria zig-zag
En algunos sistemas, las dos difusiones operan en la molécula simultáneamente. Se usa una difusividad efectiva D Deff P NA Donde: Para gases 1 (32) D NA 1 x Aprom 1
D AB
De f f
D K A
D P f (C ) P
DS
(33) Donde:
f’(C) = d q(c)/dc q = isoterma de adsorción
c) Difusión de gases de Knudsen
Suponga que se tiene un gas A a presión parcial PA1 a la entrada de un capilar de diámetro d. el gas se difunde a través del capilar. La presión total se mantiene constante. En este caso, las colisiones de la molécula del gas predominan en el proceso de difusión, resultando en un tipo de difusión llamado de Knudsen:, como se muestra en la siguiente figura:
Ver clase
La difusividad de Knudsen es independiente de la presión y se calcula a partir de:
Donde:
2
r A 3 r Radio promedio de los poros D KA
(33)
A
Velocidad molecular promedio del componente A, m/s
Si A se evalúa usando la teoría cinética de los gases; entonces la ecuación (34) se vuelve:
D KA
T 97r M A
1
2
(34)
MAPeso molecular de A
d) Transferencia de masa en lechos empacados
Esta operación se utiliza en procesos de secado, adsorción o deserción de gases o líquidos en partículas sólidas como carbón activado, catalizadores o adsorbentes.
La fracción de espacios huecos de un lecho, (o porosidad del lecho) se define como:
V hue cos V total _ del _ lecho
V hue cos V hue cos
V sólidos
Para una medición experimental precisa de la porosidad, se tienen que tomar en cuenta factores como: Empacado o Canalización del flujo o Etc. o
a) Para gases fluyendo en lechos de esferas Con 10 < Re < 10000 J D
Donde Re
J H
0.4548
Re 0.4069
(35)
D p
= Porosidad del lecho ’ = velocidad de masa superficial promedio en el lecho vacio (sin empaque) D p = diámetro de las esferas
b) Para T.M. de líquidos fluyendo en lechos empacados
i) Si
0.0016 < Re < 55
y 165 < Sc < 70600
J D
ii) Si
55 < Re < 1500
y
J D
iii) Si
1.09 2 3 Re
165 < Sc < 10690
0.250
Re 0.31
10 < Re < 1500
(36)
(37)
usar ecuación (35)
Método de cálculo en lechos empacados
Para calcular el flujo específico total en un lecho empacado: c) Obtener JD y con base en este valor, obtener k C d) Si se conoce el volumen total del lecho, V b, m3 ( = Vhuecos + Vsólidos), determinar el área total exterior, A, m2 de sólidos para la transferencia de masa a partir de: a
6(1 ) D P
(38)
a = m2 área superficial/m3 de volumen total de lecho cuando lo sólidos son esferas.
Donde:
A = a V b e) Calcular la velocidad de transferencia de masa usando media logarítmica a la entrada y salida del lecho. N A A Ak C
Donde:
C Ai C A1 C Ai C A2 C Ai C A1 ln C Ai C A2
(39)
CAi = Concentración en la superficie del sólido, kg mol/m3 CA1 = Concentración del soluto en el fluido a la entrada del lecho CA2 = Concentración del soluto en el fluido a la salida del lecho
f) Un balance de materia en la corriente por todo el lecho es: N A A (C A 2
C A1 )
(40)
Donde:
= Velocidad volumétrica del flujo de fluido a la entrada (m3/s)
Las ecuaciones (39) y (40) deben satisfacerse simultáneamente y también pueden usarse para flujos a través de tuberías o alrededor de una placa plana.
EJEMPLO. Transferencia de masa de un líquido en un lecho empacado
Fluye agua pura a 26.1 °C a una velocidad de 5.5 14 ×10-7 m3/s a través de un lecho empacado con esferas de ácido benzoico de 6.375 mm de diámetro. El área superficial total de las esferas del lecho es de 0.01198 m2 y la fracción de vacío es de 0.436. El diámetro de la torre es 0.0667 m. La solubilidad del ácido benzoico en agua es 2.948*10-2 kg mol/m3. a) Pronostique el coeficiente de transferencia de masa k, y compárelo con el valor experimental de 4.665 x 10-6 m/s. b) Utilice el valor experimental de k C para predecir la concentración del ácido benzoico en el agua a la salida del lecho. Se tienen los siguientes datos: Propiedades físicas del agua a 26.1 °C, = 0.8718×10-3 Pa * s, = 996.7 kg/m3. A 25 °C, = 0.8940×l0-3 Pa-s y DAB = 1.21*10-9m2/s. Solución: Para corregir D AB a 26.1 °C usando la ecuación DAB T/. Por consiguiente,
299.1 0.8940 * 10 3 9 m 2 1 . 254 * 10 D AB (26.1C ) (1.21 * 10 ) s 298 0.8718 *10 3 9
El área de corte transversal de la torre = ( /4)(0.0667)2 = 3.494*10-3 m2 entonces ’=(5.514×10-7)/(3.494×10-3) = 1.578×10-4 m/s (velocidad superficial). Así, Sc
Re
D AB
D
0.8718 * 10 3 996.7(1.245 *10 9 )
702.6
0.006375(1.578 * 10 4 )(996.7) 0.8718 * 10 3
1.150
Si se utiliza la ecuación (36) y se supone que k c = k’c para soluciones diluidas, J D
1.09 2 3 Re
2 1.09 (1.150) 3 0.436
2.277
Con JD, se aplica la ecuación: J D
k C
2.277
Sc
2
3
k C 1.578 * 10
4
(702.6)
2
3
-6 -6 El valor k’ C= 4.447×10 m/s predicho se compara con el valor experimental de 4.665×10 m/s.
Para el inciso b), se igualan las ecuaciones (39) y (40), Ak C
Donde:
(C Ai
C A1 ) (C Ai C A2 ) (C A2 C A1 ) C Ai C A1 ln C Ai C A 2
CAi = 2.948×10-2 (solubilidad del ácido benzoico en agua) CA1 = 0 A = 0.01198 = 5.514×10-7 0.01198(4.665 * 10 6 )(C A2 0) (5514 *10 7 )(C A2 0) 2 2.948 * 10 0 ln 2.948 * 10 2 C A 2
Se resuelve y se obtiene CA2 =2.842×10-3 kg mol/m3
Lectura de texto No. 3
1. Leer capitulo 7, Geankoplis, secciones 7.1 y 7.2 TODAS las letras (pueden leer cualquier otro libro de procesos de separación) y responder a las siguientes preguntas: g) La ecuación de T. de M. en Edo no estacionario fue obtenida en clase para el caso unidireccional en coordenadas cartesianas. Cual será la ecuación de T. de M. en coordenadas cilíndricas? En coordenadas esféricas? h) El primer paso antes de resolver una ecuación diferencial (parcial u ordinaria) es:……. i) Que significa que el valor del coeficiente de transferencia de masa k C tenga un valor de ? y k C= 0? j) En que se diferencian k c y k c’? En que casos se pueden suponer iguales? Menciona ejemplos. k) Que representa físicamente el coeficiente de distribución K?
