Fenômenos de Transporte Transporte III Aula 01 Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez
Bibliografia: [1] Fundamentos de Transferência de Calor e Massa – Incropera, F. P.; Dewitt, D. P. – Ed. Ed. Guanabara Koogan [2] Fenômenos de Transporte Transporte - Bennet, C. O.; Myers, J. E. – Ed. Ed. McGraw-Hill [3]Fenômenos de Transporte Transporte - Pitts, D. R.; Sisson, L. E. – Ed. Ed. McGraw-Hill [4] Mass Transfer Operations - Treybal, R. E. – Ed. Ed. McGraw-Hill [5] Fundamentos de Transferência de Massa - Cremasco, M. A. – Ed. UNICAMP [6] Fenômenos de Transporte - Bird, R. B.; Stewart, W. E.; Lightfood, E. N. – Ed. Reverté [7] Fundamentals of Momentum Heat and Mass Transfer - Welty, J. R.; Wilson, R. E.; Wicks, C. E. – Ed. Ed. John Wiley & Sons [8] Cinética Química Aplicada e Cálculo de Reatores - Schmal, M. – Ed. Guanabara Dois
Bibliografia: [1] Fundamentos de Transferência de Calor e Massa – Incropera, F. P.; Dewitt, D. P. – Ed. Ed. Guanabara Koogan [2] Fenômenos de Transporte Transporte - Bennet, C. O.; Myers, J. E. – Ed. Ed. McGraw-Hill [3]Fenômenos de Transporte Transporte - Pitts, D. R.; Sisson, L. E. – Ed. Ed. McGraw-Hill [4] Mass Transfer Operations - Treybal, R. E. – Ed. Ed. McGraw-Hill [5] Fundamentos de Transferência de Massa - Cremasco, M. A. – Ed. UNICAMP [6] Fenômenos de Transporte - Bird, R. B.; Stewart, W. E.; Lightfood, E. N. – Ed. Reverté [7] Fundamentals of Momentum Heat and Mass Transfer - Welty, J. R.; Wilson, R. E.; Wicks, C. E. – Ed. Ed. John Wiley & Sons [8] Cinética Química Aplicada e Cálculo de Reatores - Schmal, M. – Ed. Guanabara Dois
1- INTRODUÇÃO Entende-se por transferência de massa, o transporte de um componente de uma região de alta concentração para outra de baixa concentração.
Big Bang
1- INTRODUÇÃO Encontramos transferência de massa na indústria, no laboratório, laboratório, na cozinha, no corpo humano, enfim em todo lugar em que há diferença de “concentração” de uma determinada espécie para que ocorra o seu transporte. A transferência transferência de calor é promovida pelos gradientes gradient es de temperatura. A transferência de massa num sistema ocorre de maneira análoga. O fluxo de massa ocorre no sentido das regiões regiões de alta para os de baixa concentração. A este fenômeno denomina-se di f u são . mole mol ecul ar de mas masssa O transporte de massa pode também estar associado com a convecção, processo este no qual porções do fluido são transportados de uma região a outra do escoamento em escala macroscópica.
2-TRANSFERÊNCIA DE CONVECÇÃO MÁSSICA
MASSA:
DIFUSÃO
vs.
De acordo com a segunda lei da termodinâmica (dS ≥ 0), haverá fluxo de matéria (ou massa, ou mols) de uma região de maior a outra de menor concentração de uma determinada espécie química. Esta espécie que é transferida denomina-se soluto . As regiões que contêm o soluto podem abrigar população de uma ou mais espécies químicas distintas do soluto, as quais são denominadas de solvente . O conjunto soluto/solvente , por sua vez, é conhecido como mistura (para gases) ou solução (para líquidos). Tanto uma quanto a outra constituem o meio onde ocorrerá o fenômeno de transferência de massa.
m asssa éu éu m f en ômen meno o ocas oc asii on onado ado pe p el a di d i f er en ça de “Transferência de mas conce con cen n tr ação, mai or par para a menor, menor , de u m deter deter mi n ado sol solu u to em um u m certo cer to meio”
Observa-se desse enunciado uma nítida relação de causa e efeito na transferência de massa. Para causa: diferença de concentração de soluto, existe o efeito da transferência de massa. Portanto: “A causa gera o f enômeno, pr ovoca a sua tr ansformação, ocasionando o movimento”
A diferença de concentração do soluto, enquanto causa, traduz-se em for ça motriz necessária ao movimento da espécie considerada de uma região a outra; levando-nos a:
movimento da matéria força motriz O teor da resposta de reação desse movimento, em virtude da ação da força motriz, está associado à resistência oferecida pelo meio ao transporte do soluto como:
movimento da matéria
1
resistênci a ao transporte
força motriz
A resistência presente na equação anterior está relacionada com: * interação soluto/meio * interação soluto/meio + ação externa A transferência de massa pode ocorrer em nível macroscópico, cuja força motriz é a diferença de concentração e a resistência ao transporte está associada à interação soluto/meio + ação externa. Essa ação externa relaciona-se com as características dinâmicas do meio e geometria do lugar onde ele se encontra. Esse fenômeno é conhecido como convecção mássica . Por outro lado, o movimento das espécies (soluto) no meio, é conhecido como difusão .
Na transferência de massa há diversas contribuições, mas as mais urgentes seriam: - contribuição difusiva : transporte de matéria devido às interações moleculares, : auxílio ao transporte de matéria - contribuição convecti va como conseqüência do movimento do meio. Exemplo: - Mar calmo, um surfista e sua prancha. Para deslocar-se de um certo lugar a outro, o surfista faz das mãos remos e assim, ao locomover-se, entra em contato íntimo com o mar. soluto surfista Contribuiç ão Difusiva Identifica ndo : meio mar movimento mãos
Aparece uma onda de bom tamanho e carrega o surfista. soluto surfista Identificando : meio mar Contribuiç ão Convectiva movimento onda
ou também: soluto surfista Identificando : meio mar Contribuiç ão Difusiva e Convectiva movimento mãos onda
Observe nas situações descritas que o contato íntimo está associado à interação (surfista/mar) ou (soluto/meio). Neste caso, tem-se a . Já na situação em que o surfista se deixa carregar contr ibuição difusiva pelo mar, existe a ação do mar em levar a prancha de um lugar para outro, acarretando a contr ibuição convecti va . Pode haver a terceira situação na qual as duas citadas há pouco ocorrem simultaneamente.
Existem diversos mecanismos de transferência de massa. A classificação dada por R. B. Bird abrange oito tipos: 1- Difusão molecular (ordinária), resultante de um gradiente de concentração. 2- Difusão térmica, resultante de um gradiente de temperatura; 3- Difusão devido à pressão, que ocorre em virtude de um gradiente de pressão; 4- Difusão forçada, que resulta de outras forças externas além das gravitacionais; 5- Transferência de massa por convecção forçada; 6- Transferência de massa por convecção natural; 7- Transferência de massa turbulenta, resultante das correntes de redemoinho existente num fluido; 8- Transferência de massa entre as fases que ocorre em virtude do não equilíbrio através da interface. Os quatro primeiros tipos ocorrem com transferênci a de massa molecular , os quatro últimos ocorrem com tr ansferência de massa por conveçcão .
2- CONCENTRAÇÕES, VELOCIDADES E FLUXOS 2.1 Concentrações Concentração mássica:
ρi
mi
massa da espécie i por unidade de volume da solução
V
Concentração molar: C i
ni V
mi Mi V
i
Mi
número de mols da espécie i por unidade de volume da solução
Fração mássica: wi
concentração mássica da espécie i dividida pela concentração mássica total.
i n
onde:
i
i
1
Fração molar: xi
C i
concentração molar da espécie i dividida pela concentração molar total da solução.
C n
onde:
C
C i
i 1
A notação para gases de fração molar será:
yi
C i C
Quando relacionado com a fase gasosa em condições ideais, as concentrações molares são expressas em termos de pressões parciais, isto é: Pi V
ρi
mi V
n i RT
Pi M i RT
m i RT Mi
C i
ni
V
Pi RT
onde Pi é a pressão parcial do componente i na fase gasosa e R é a constante universal dos gases. Para uma mistura gasosa ideal temos: C
P RT
m ρ
onde P é a pressão total da mistura gasosa.
PM
V
RT
Quando relacionado com a fase gasosa em condições ideais, as frações molares y i são expressas em termos de pressões parciais, isto é:
Pi
y
i
C i
C
R T P
yi
Pi P
T R
Repr esentação algé br ica da L ei de Dal ton Pi
yi P
Definições básicas para uma mistura binária (A + B): A A B
CA MA
( concentração mássica da solução ) ( concentração mássica de A ou B )
CB M B
C C A C
B
C B
( concentração molar da mistura )
M
C A
C B
A MA
B MB
( concentração molar de A ou B )
A
A
B
B
( fração mássica de A ou B )
x A
C A C
( fração molar de A ou B para líquidos ) x B
y A y B
C B C
C A C C B C
( fração molar de A ou B para gases )
Relações adicionais de uma mistura binária (A + B): x
A
xB 1
( molar para líquidos )
yA yB 1 A
( molar para gases ) ( mássico )
B 1
yA MA
x AMA
xB MB M
A
M A
yB MB
B
M B
M
1 M
( massa molar média para gases ) ( massa molar média para líquidos ) ( massa molar médio mássico )
Por definição temos:
wi
i
i
C i M i
CM
w
i
wi
Portanto temos:
i
Ci Mi CM
Mi
xi
M
yi
Mi M
ou
x
i
Mi 1 M
x AM A
xB M B
M
w A
x A M A x A M A
x B M B
( mássico )
wA wA M A
wB M B
1 M
x A
M A w A M A
wB M B
( molar em fase líquida)
Exemplo 01: Determine a massa molecular da seguinte mistura gasosa: 5% de CO, 20% de H2O, 4% de O2 e 71% de N2. Calcule, também, as frações mássicas das espécies que compõe essa mistura: a) Solução: M yCOMCO yO MO y H O M H O y N M N 2
2
2
2
2
2
M 0,05 28,01 0,04 31,999 0,2 (18,015 ) 0,71 28,013 M 26,173 g/gmol
b) Solução: Frações mássicas: wi
ρi
;
ρ wi
ρi
Ci M i ; ρ
Ci M i CM
yi
CM
Mi M
Espécie química
Massa molecular M (g/gmol)
Fração molar yi
Fração mássica wi = yiMi/M
CO
28,01
0,05
0,0535
O2
31,999
0,04
0,0489
H2O
18,015
0,20
0,1377
N2
28,013
0,71
0,7599
Exemplo 02: Calcule a massa molecular do ar considerando-o como uma mistura nas seguintes proporções: a) 79% de N2 e 21% de O2 b) 78,09% N2 , 20,65% de O2 , 0.93% de Ar (argônio) e 0,33 de CO2 a) Solução:
M Ar y O M O 2
2
y N M N
2
2
0,2131,999
0,7928,013
M Ar 28,85 g/gmol b) Solução: M Ar y O M O 2
2
y N M N 2
2
y Ar M Ar y CO M CO 2
2
M Ar 0,206531,999 0,780928,01 9,3x10 M Ar 28,99 g/gmol
3
39,948 3,3x10 44,01 3
Exemplo 03: Calcule a concentração mássica da mistura e de cada componente a 1 atm e 25 C, assim como as frações mássicas de cada espécie presente nos item (a) do exercício anterior. a) Concentração mássica do N2 P N y N P 0,79(1atm) 0,79 atm 2
ρ N ρ N
2
P N M N 2
RT
2
2
2
9,05x10
4
(0,79 atm)(28,01 g/gmol) (82,05 atm.g/gmol .K)(298,15 K)
g/cm 3
b) Concentração mássica do O2 PO yO P 0,21(1atm) 0,21 atm 2
ρO ρO
2
2
2
PO M O 2
2
RT
2,75x10
4
(0,21 atm)(31,99 9 g/gmol) (82,05 atm.g/gmol .K)(298,15 K)
g/cm
3
c) Concentração mássica da mistura: n
ρ i ρ O ρ N 2,75 9,05 10
ρ
2
2
i 1
d) Fração mássica do N 2 w
N 2
w
N 2
ρ N
9,05x10 4 g/cm3
2
1,18x10 3 g/cm3
ρ
0,767
e) Fração mássica do O 2 w
O2
w
O2
ρO
2,75x10 4 g/cm3
2
ρ
0,233
1,18x10 3 g/cm3
4
1,18x10
3
g/cm
3
Exemplo 04: Calcule a massa molecular do ar úmido com y água = 0,05. Suponha o ar puro como uma mistura ideal das espécies químicas contidas no item (a) do exercício 01. Calcule também a fração mássica do vapor d’água. M AR úmido
yH OM H O
M AR úmido
0,0518,015g/gmol
M AR úmido
28,31g/gmol
2
2
PMAr úmido
y AR M AR y H O M H O 2
ρ Ar úmido
1,157x10 g/cm
3
1
1
y H O M AR 2
0,0528,85 g/gmol
1atm(28,31g/gmol)
ρ Ar úmido
RT
2
(82,05atm.g/gmol.K)(298,15K) 3
PH O
2
yH OP
ρH O
ρH O
2
wH O
wH O
2
0,05(1atm)
PH O M H O 2
0,05 atm
(0,05 atm)(18,015 g/gmol)
2
RT
(82,05 atm.g/gmol.K)(298,15 K)
3,719x10 5 g/cm 3
2
2
2
ρH O 2
ρ Ar úmido
0,032
3,719x10 5 g/cm 3
1,157x10 3 g/cm 3
2.2 Velocidades Quando mencionamos velocidade, esta não será apenas de uma molécula da espécie i, mas sim a média de n moléculas dessas espécies contidas em um elemento de volume. Como a solução é uma mistura de distintas espécies químicas, a velocidade com a qual escoa esta solução é dada pelas seguintes equações: n
v
i
v
i
( velocidade média mássica )
i 1 n
i
i 1
n
C v
V
i
i 1 n
C i 1
i
i
( velocidade média molar )
onde v ( C v ) é uma velocidade local com que a massa da solução atravessa uma seção unitária colocada perpendicularmente à velocidade v ( V ) . Convém salientar que v i é uma velocidade absoluta, pois diz respeito à espécie química i. Essa velocidade pode estar referenciada a outro tipo de velocidade: 1- à de eixos estacionários: v
0
2- à da solução ( para velocidade mássica ):
v v
3- à da solução ( para velocidade molar ):
vi
i
V
O resultado oriundo das diferenças dos itens 2 e 3 denomina-se velocidade de difusão .
De modo a compreender o significado dessa velocidade, atende para a seguinte metáfora: Em um rio hádi versas espé cies de peixes como l ambarí,traíra, pacu, etc. E xiste uma velocidade mé di a absoluta inerente a cada espé ci e que estáassoci ada ao seu cardume. Por exempl o: a velocidade do lambaríéa velocidade do cardume de lambarí e assim por diante. Desse modo, se considerarmos o cardume (espé cie) “i” àdo rio, teremos a “velocidade de difusão da espé cie i” .
Exemplo 05: Sabendo que as velocidades absolutas das espécies químicas presentes na mistura gasosa do exemplo 01 são: vCO,z = 10 cm/s, vO2,z = 13 cm/s, vH2O,z = 19 cm/s, vN2,z = 11 cm/s, determine: a) A velocidade média molar da mistura; b) A velocidade mássica da mistura; c) A velocidade de difusão do O2 na mistura, tendo como referência a velocidade média molar da mistura; d) Idem ao item (c), tendo como referência a velocidade média mássica da mistura.
Solução: a) Da definição da velocidade média molar da mistura para a direção z, temos: n
C v i
V Z
i, z
i 1 n
C
(1) i
i 1
mas n
C Ci ; y i i 1
Ci C
; Ci y i C
(2)
Substituindo (2) em (1), temos: n
V y v Z
V
z
yCO vCO,z
i 1
yO vO , 2
2
z
i
i, z
y H O v H O, 2
2
z
y N v N , 2
2
z
(3)
V y CO v CO,z y O 2 v O 2 , y H 2O v H 2O, y N 2 v N 2 , z
z
z
z
V 0,0510 0,0413 0,219 0,7111 z
V 12,63 cm/s b) Da definição da velocidade média mássica da mistura para a direção z, n temos: z
ρ v i
vZ
i, z
i 1 n
ρ
(4) i
i 1 n
Porém
ρ
ρi ;
w
i
i 1
ρi ρ
; ρ i wi ρ
(5)
Substituindo (5) em (4), temos: n
v wi vi,z z
i 1
v z
w
CO
vCO,z wO vO , wH O v H O, w N v N , 2
2
z
2
2
z
2
2
z
(6)
Conhece-se os valores de w i do exemplo 01: v v v
wCO v CO,z
z
z
z
wO vO 2
2 , z
w H O v H O, 2
2
z
w N v N 2
2 , z
0,053510 0,048913 0,137719 0,759911
12,15 cm/s
c) Da definição de velocidade de difusão do O 2, referenciada à velocidade média molar na direção z, temos: vi
V
v O ,z
2
Vz
13
12,63 0,37 cm/s
d) Da definição de velocidade de difusão do O 2, referenciada à velocidade média mássica na direção z, temos:
v
v
i
vO
2 ,z
vz
13
12,15
0,85 cm/s
2.3 Fluxos No item anterior sempre que houve a menção “velocidade”, havia para ela algum complemento: - da espécie química ou - da solução. No caso dos peixes, foi: - dos peixes ( cardume ) ou - do rio Evidenciou-se que, ao mencionar peixe , estava implícito o conjunto de uma determinada espécie, ou seja, cardume. O cardume de peixes traz a idéia de concentração de uma certa espécie. Escreve-se, dessa maneira, o seguinte produto do qual resulta a definição de fluxo total:
FLUXO
sendo a unidade de fluxo:
Velocidade Concentraç ão massa (ou mols ) área . tempo
FLUXO: Quantidade de matéria que atravessa uma superfície com uma determinada área num intervalo de tempo. O fluxo é gerado pelo gradiente de concentração. FLUXO
Mols (ou Massa) Área superficialTempo
Área Unitária
mols Kg ou 2 2 ms ms
Se considerarmos que os diversos cardumes de peixes passem por debaixo de uma ponte, a qual está situada perpendicularmente ao escoamento do rio ( observe que a área entre os colchetes na unidade de fluxo é aquela situada perpendicularmente sob a ponte ), fica a seguinte questão: que velocidade é esta associada ao fluxo ? Qualquer que seja a velocidade, ou seja, velocidade do rio, velocidade de difusão do cardume ou velocidade absoluta do cardume, o fluxo total do cardume “A” referenciado a um eixo estacionário é dado por:
Movimento de A Movimento de A Movimento de A decorrente do ato resultante do ( 1 ) observado da ponte escoamento do rio de nadar no rio
Definimos anteriormente a “velocidade de difusão” como sendo a diferença entre a velocidade absoluta da espécie química “i” com a velocidade média (molar ou mássica). Assim, no exemplo dos cardumes de peixes em um rio, implica a interação cardume A / rio, portanto um fenômeno difusivo e o fluxo associado será devido à contribuição , escrita como: difusiva J A,Z
CA v A,Z
vA,Z : velocidade da espécie A ( peixe “i” VZ :
(2)
VZ
cardume “i” ) na direção Z
velocidade do rio ( meio ) na direção Z
Suponha agora que, ao invés de nadar, o cardume A deixe-se levar pelo rio. O movimento do cardume será devido à velocidade do meio. O fluxo associado, nesse caso, decorre da contribuição convecti va ou advecção de acordo com: C
J A,Z
CA VZ
(3)
A equação anterior representa a contribuição convectiva analisada por aquele observador parado, pescando tranquilamente sobre uma ponte. A equação 1 é vista, também da seguinte maneira:
N A,Z C A v A,Z VZ C A VZ
(4)
a qual representa o fluxo decorrente do cardume A nadar na direção Z, enquanto o rio estiver escoando.
Assim, a equação 4 é válida para o fluxo unidirecional de qualquer espécie química A, referenciada à coordenada estacionária Z.
Fluxo total de A Fluxo resultante Fluxo resultante referenciado a um da contribuiç ão do movimento eixo estacionár io global da solução difusiva ou
Fluxo total da espécie A Contribuiç ão Contribuiç ão referenciado a um eixo difusiva convectiva estacionár io
(5)
3- LEI DE FICK DA DIFUSÃO (1855) Considere um recipiente que contém dois gases A e B ( C A >> CB ), inicialmente separados entre si por uma partição:
n A , VA
CA
n B , VB
nA
Gás A
Gás B
VA
CB
nB VB
y
Partição dx x
T e P constantes
Ao retirar-se a partição, os dois gases difundem um através do outro até que a concentração de ambos seja uniforme em todo o volume “V”.
Gás A + B CA >> CB
V
T e P constantes
As concentrações de cada gás serão, respectivamente: CA
CB
nA V nB V
C C CA CB V VA VB
CA CB V
Este fenômeno é regido pela primeira lei de F ick , que pode ser expressa pela seguinte equação:
JA
CDAB
dyA dx
CDABy A D ABC A
(6)
O sinal negativo indica o decréscimo da concentração da espécie A com o sentido do fluxo onde: C = Concentração molar total [mols/cm3] JA
= Densidade de fluxo molar de difusão [mol/cm 2.s]
DAB = Coeficiente de difusão da espécie A em relação a espécie B ou difusividade [cm 2/s ou m2/s] y A
CA C
C A
dC A dx
C A
dC A dx
Se for linear:
Gradiente de concentração CA CA C A dx x final x inicial x
dC A
J A D AB
final
dC A dx
D AB
inicial
C A x
Lei de Fick para difusão em estado estacionário C1
C2
x1 x 2
Exemplo 06: O diclorometano é um ingrediente comum em decapantes de tintas. Além de causar irritações, pode ser absorvido pela pele. Deve-se usar luvas de proteção quando manipular este decapante. Usando-se luvas de borracha butílica (0,04 cm de espessura), qual é o fluxo de diclorometano através da luva? Dados: Coeficiente de difusão em borracha butílica: 110x10 -12 m2/s Concentrações superficiais: C1 = 440 Kg/m3 C2 = 20 Kg/m3
C1 Decapante
Pele
C2
x1 x 2
dCA J A D AB dx
JA
JA
D AB
110x10 m /s
1,16x10
12
4
2
kg/m 2 .s
C A x
D AB
20 440kg/m 0,04x10 2 m
CA
2
CA
x 2 x 1 3
1
A partir da equação 5, toma-se uma mistura binária (A + B), em que C A representa a concentração molar da espécie química A e v , a velocidade absoluta de A e a V velocidade média molar da solução, respectivamente. O fluxo molar total da espécie A referenciado a eixos estacionários será: A
N A
CA v A
V
CA V ( 7 )
Como consequência da equação 7: N A
sendo que o fluxo molar da espé ci e A .
N A
CA vA
(8)
posto desta forma é denominado fluxo absoluto
A parcela correspondente à contribuição difusiva é: JA
CA v A
V
(9)
sendo restrita segundo a lei ordinária da difusão: J A D AB C A
( 10 )
Como a concentração total da solução é constante e considerando o soluto A em fase gasosa, a relação para gases será:
JA
CD AB y A
( 11 )
Levando a definição de velocidade média molar, para uma mistura binária, na parcela da contribuição convectiva, o resultado fica:
C VC A
C v C v A
A
A
B
B
C
C A V y A N A N B
( 12 )
Substituindo as equações 11 e 12 na equação 7, temos:
N A
CD AB y A
y A N A N B
( 13 )
A equação 13 representa o fluxo total da espécie A em uma mistura binária (A+B), válida para gases.
Para líquido a equação 13 torna-se:
N A CD AB x A x A N A N B
( 14 )
No caso de fluxo mássico do soluto A referenciado a eixos estacionários, o procedimento é análogo ao molar, ou seja: n A D AB w A w A n A n B
( 15 )
As equações 11, 12 e 13 são denominadas primeira lei de F ick escrita para NA e n A . No caso de eleger apenas a direção z para o fluxo, tais equações serão, respectivamente:
N A,Z CDAB
N A,Z
n A,Z
dy A dz
CD AB
D AB
dx A dz
dw A dz
y A N A,Z N B,Z
( 16 )
x A N A,Z N B,Z
( 17 )
w A n A,Z
( 18 )
n B,Z
O fluxo total para uma espécie química “1” presente em uma mistura com “n” espécies químicas será dado por: n
N1 C.D1,M y1 y1 N j j1
( 19 )
n
y1 j 2
1 CD1j
y N 1
j
y j N1
n
n
j 2
j 2
( 20 )
N1 y j y1 N j D1,M
( 21 )
n
1 D y1 N j y j N1 j 2 1 j
A equação 21 é conhecida como a equação de Stefan-Maxwell , ela é útil para a determinação do coeficiente de difusão na situação em que o meio não é estagnado; na ventura de sê-lo N j 0 (para todas as espécies j). Neste caso, a equação 21 torna-se:
n
N1 y j D1,M
j 2 n
y j N1
j 2
D1 j
( 22 )
