Alumno: Birrueta Castro José (15E20525) Catedrático: Lázaro Arcos Castillo Materia: Graficación Unidad 2: Graficación 2D Carrera: Ingeniería en Sistemas Computacionales Semestre: 5 Semestre: 5to
Grupo: A Grupo: A
Turno: Matutino Turno: Matutino Balancán, Tabasco, México a 19 de d e Octubre del 2017
Contenido INTRODUCCION .................................................................................................................................................................... 3 UNIDAD 2: GRAFICACION 2D ................................................................................................................................................ 4 2.1. Transformación bidimensional. ................................................................................................................................ 4
2.1.1 Traslación ............................................................................................................................................................. 4 2.1.2 Escalamiento........................................................................................................................................................ 5 2.1.3 Rotación ............................................................................................................................................................... 6 2.1.4. Sesgado. .............................................................................................................................................................. 7 2.2. Representación matricial de las transformaciones bidimensionales. ...................................................................... 8 2.3. Trazo de líneas curvas. ............................................................................................................................................ 10
2.3.1. Bézier. ............................................................................................................................................................... 10 2.3.2. B-spline. ............................................................................................................................................................ 13 2.4. Fractales .................................................................................................................................................................. 15 2.5. Uso y creación de fuentes de texto. ....................................................................................................................... 16
CONCLUSIÓN ...................................................................................................................................................................... 17
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INTRODUCCION La computación gráfica 2D se utiliza principalmente en aplicaciones que fueron desarrolladas originalmente sobre tecnologías de impresión y dibujo tradicionales, tales como tipografía, cartografía, dibujo técnico, publicidad, etc. En estas aplicaciones, la imagen bidimensional no es sólo una representación de un objeto del mundo real, sino un artefacto independiente con valor semántico añadido; los modelos bidimensionales son preferidos por lo tanto, porque dan un control más directo de la imagen que los gráficos 3D por computadora (cuyo enfoque es más semejante a la fotografía que a la tipografía).
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UNIDAD 2: GRAFICACION 2D 2.1. Transformación bidimensional. 2.1.1 Traslación Una traslación es el movimiento en línea recta de un objeto de u na posición a otra. Se traslada cada punto P(x,y) dx unidades paralelamente al eje x y dy unidades paralelamente al eje y, hacia el nuevo punto P'(x',y'). Las ecuaciones quedan:
Si se definen los vectores columna queda:
Entonces la ecuación 1 puede ser expresada como:
Una forma de efectuar la traslación de un objeto es aplicándole a cada punto del mismo la ecuación 1. Para trasladar todos los puntos de una línea, simplemente se traslada los puntos extremos.
En la figura se muestra el efecto de trasladar un o bjeto 3 unidades en x y -4 unidades en y. Esto se cumple también para el escalamiento y la rotación.
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2.1.2 Escalamiento Una transformación para alterar el tamaño de un objeto se denomina escalación. Dependiendo del factor de escalación el objeto sufrirá un cambio en su tamaño pasando a ser mayor, o menor en su segmento de longitud.
El escalamiento se hace con un factor sx en el eje x y en un factor sy en el eje y.
Escalamiento uniforme sx = sy
Escalamiento diferencial.
La transformación de escalamiento puede expresarse con las siguientes multiplicaciones
En forma matricial
Se escala a ½ en el eje x y a ¼ en el eje y. El escalamiento se efectúa con respecto al origen;
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2.1.3 Rotación Para rotar un objeto (en este caso bidimensional), se ha de determinar la cantidad de grados en la que ha de rotarse la figura. Para ello, y sin ningún tipo de variación sobre la figura, la cantidad de ángulo ha de ser constante sobre todos los puntos. Los puntos también pueden ser rotados un ángulo θ con respecto al origen
En forma matricial
En la figura se muestra la rotación de la casa 45º, con respecto al origen.
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2.1.4. Sesgado. El sesgado es un tipo de transformación no rígida, pues existe una deformación del objeto original al aplicar dicha transformación. Existen dos tipos de sesgo: sesgo horizontal y sesgo vertical.
Sesgo horizontal. Las coordenadas adyacentes al eje x permanecen fijas, los valores de y no cambian. Sesgo vertical. Las coordenadas adyacentes al eje y permanecen fijas, los valores de x no cambian.
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2.2. Representación matricial de las transformaciones bidimensionales. En las aplicaciones de diseño y de creación de imágenes, realizamos traslaciones, rotaciones y escalaciones para ajustar los componentes de la imagen en sus posiciones apropiadas. En este tema consideramos cómo se pueden volver a formular las representaciones de la matriz de modo que se pueden procesar de manera eficiente esas secuencias de transformación. Es posible expresar cada una de las transformaciones básicas en la forma de matriz general con las posiciones de coordenadas P y P’ representadas como columnas de vector.
Con las representaciones de matriz podemos establecer una matriz para cualquier secuencia de transformaciones como una matriz de transformación compuesta al calcular el producto de la matriz de las transformaciones individuales. La creación de productos de matrices de transformación a menudo se conoce como concatenación o composición de matrices.
Traslaciones
Se aplican dos vectores de traslación sucesivos (tx1, t y1) y (tx2 , t y2 ) en la posición de coordenadas P, la localización transformada final P, la localización transformada final P’ se calcula como: P'=T(t
x2,t2)·T(tx1,ty1)·P}{=T(tx2, 2)·T(t x1,t y1)}{·P Donde se representan P y P’ como vectores de columna de coordenadas homogéneas. Podemos
verificar este resultado al calcular el producto de la matriz para las dos agrupaciones asociativas. Asimismo, la matriz de transformación compuesta para esta secuencia de transformaciones.
Rotaciones
Dos rotaciones sucesivas que se aplican en el punto P producen la posición transformada P'=R(θ2)·R(θ1){·P}=R(θ2){· (θ1)}·P
Al multiplicar las dos matrices de rotación, podemos verificar que dos rotaciones sucesivas son aditivas
Escalamiento
La siguiente figura ilustra una secuencia de transformación para producir escalación con respecto de una posición fija seleccionada (xf, f) al utilizar una función de escalación que sólo puede escalar en relación con el origen de las coordenadas
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Propiedades de concatenación La multiplicación de matrices es asociativa. Para tres matrices cualesquiera A, B y C, el producto matricial A·B·C se puede llevar a cabo al multiplicar primero a por B o multiplicar primero B por C:2.35.A · BC=( A· B)·C =A·( B·C) Por tanto, podemos evaluar los productos matriciales al utilizar una agrupación asociativa ya sea de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Por otro lado, los productos de la transformación tal vez no sean conmutativos. En general el producto matricial A·B no es igual que B·A. Esto significa queremos trasladar y girar un objeto, debemos tener cuidado sobre el sentido en que se evalúa la matriz compuesta.
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2.3. Trazo de líneas curvas. 2.3.1. Bézier. Pierre Bezier, ingeniero francés desarrollo este método de aproximación de spline para utilizarlo en el diseño de carrocerías de los automóviles Renault. Las spline de Bezier tienen varias propiedades que hacen que sean muy útiles y convenientes para el diseño de curvas y superficies. Así mismo, es fácil implementarla. Por esos motivos las splines de Bezier están disponibles en forma común en varios sistemas de CAD, en paquetes generales de gráficas y en paquetes seleccionados de dibujo y pintura.
Curvas de Bezier En general, es posible ajustar una curva de bezier para cualquier numero de puntos de control. El número de puntos de control que se debe aproximar y su posición relativa determina el grado de polinomio de Bezier. La idea de definir geométricamente las formas no es demasiado compleja: un punto del plano puede definirse por coordenadas. Por ejemplo, un conjunto A tiene unas coordenadas (x1, y1) y aun punto B le corresponde (x2, y2). para trazar una recta entre ambos basta con conocer su posición. . Si en lugar de unir dos puntos con una recta se unen con una curva, surgen los elementos esenciales de una curva Bezier: los puntos se denominan puntos de anclaje o nodos. La forma de la curva se define por unos puntos invisibles en el dibujo, denominados puntos de control, manejadores o manecillas.
Curvas lineales (grado 1)
Solo dos puntos de control (P0, P1). Son líneas rectas. Podemos recorrer la curva con un parámetro t є [0,1] que recorre la recta de P0 a P1.
La curva viene dada por la expresión: B(t)=P0+(P1-P0) t=(1-t) P0+tP1, t є [0,1] .
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La t en la función para curva lineal de Bezier se puede considerar como un descriptor de cuán lejos está B(t) de P0 a P1. Por ejemplo, cuando T= 0.25, B(t) es un cuarto de la longitud entre el punto P0 y el punto P1. Como t varía entre 0 y 1, B(t) describe una línea recta de P0 a P1.
Curvas cuadráticas (grado 2) Tres puntos de control (P0, P1 y P2). Se construyen dos curvas lineales de Bezier entre P0-P1 y P1-P2. Se construye una tercera curva lineal de Bezier entre las dos anteriores. El t que recorre esta tercera recta, forma nuestra curva.
Una curva cuadrática de Bezier es el camino trazado por función B(t), dado los puntos: P0, P1 y P2, B(t)=(1-t) ^2 P0 +2t (1-t) P1+t^2 P2,t є [0,1] .
Para curvas cuadráticas se pueden construir puntos intermedios desde Q0 a Q1 tales que t varia de 0 a 1:
Punto Q0 varia de P0 a P1 y describe una curva lineal de Bezier. Punto Q1 varia de P1 a P2 y describe una curva lineal de Bezier. Punto B(t) varia de Q0 a Q1 y describe una curva cuadrática de Bezier.
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Propiedades de Bezier. 1. El grado de la base de polinomios es uno menos que la cantidad de puntos de control. 2. El primer y último punto de la curva coincide con el primer y último punto del grafo de control. 3. El vector tangente en los extremos de la curva tiene la misma dirección que el primer y último segmento del grafo de control respectivamente. 4. Él tiene control global.
Desventajas de las curvas de Bezier Para grafos de control complejos (formados por muchos puntos) 1. El grado de la base es elevado 2. Tienden a suavizar demasiado la geometría del grafo de control 3. Se tornan insensibles a pequeños cambios locales. El desplazamiento de un solo punto de control casi no produce efecto en la curva 4. El control global provoca que el desplazamiento de un solo punto de control modifique a toda la curva.
Aplicaciones de la curva de Bezier Las curvas de Bezier han sido ampliamente usadas en los gráficos generados por ordenador para modelado de curvas suaves. como la curva está completamente contenida en la envolvente convexa de los puntos de control, dichos puntos pueden ser suavizados gráficamente sobre el área de trabajo y usados para manipular la curva de una forma muy intuitiva. Las transformaciones afines tales como traslación y rotación pueden ser aplicadas con gran facilidad a las curvas, aplicando las transformaciones respectivas sobre los puntos de control.
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2.3.2. B-spline. Un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios. Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de computo de los splines los hacen oculares para la representación de curvas en informática particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador.
Curvas B-spline Son las más utilizadas en la práctica: 1.-b-splines cuadráticos: fuentes True Type. 2.-b-splens cúbicos: los más comunes en programas de diseño gráfico. En general, no pasa por ningún punto de control (ni siquiera los extremos), aunque se pude forzar que lo haga. Principales ventajas sobre las curvas de Bezier: 1.Es de grado acotado (aun definida por n puntos) 2. Sobre todo, más apropiada para el diseño interactiv o: más "suaves", control local.
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Dado un conjunto de puntos P0, ...Pn, obtenemos una curva de aproximación compuesta por varios tramos, y las ecuaciones de cada tramo están influenciadas solamente por K vértices del polígono de control siendo K (orden de la B-spline) un parámetro elegido a voluntad por el diseñador y lógicamente, K
Los parámetros que intervienen en una curva B-spline se enumeran a continuación:
P0, ...Pn, n+1 vértices o puntos de control. Ni, K: funciones B-spline básica de orden K. d: grado de las B-spline básicas (elección usual D=3). K: orden de la B-spline: K=d+1. N° de tramos: n-d+1. suavidad global de la curva: CK-2=Cd-1.
Propiedades No interpolen (salvo en P0, Pn, si así se especifica). Paramétricas P(t)=(x(t),y (t)). Suavidad Ck-2: K es el orden de la B-spline. No oscilan. Locales Difíciles de calcular salvo casos especiales con formula matricial: B-spline uniformes, Bezier. Mayor flexibilidad: elección de nodos permiten más tipos de curva.
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2.4. Fractales Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. [1] El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fr actal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero. Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más comunes de determinar lo que hoy denominamos dimensión fractal fueron establecidas a principios del siglo XX en el seno de la teoría de la medida.
Geometría Fractal Es geometría que no distingue entre conjunto matemático y objeto natural. Este nuevo paradigma engulle paradigmas anteriores proyectando un modelo que inaugura una nueva zona o región de lo real. Tómese un número complejo, multiplíquese por sí mismo y súmese el número inicial; tómese el resultado, multiplíquese por sí mismo, súmese el inicial... y así sucesivamente. A esta iteración en principio errática se le asignan puntos sobre un plano. Disponga papel, lápiz y moneda con cara y cruz, fijemos ciertas reglas para cada lanzamiento; por ejemplo, desplazar el punto X centímetros al noreste si sale cara y acercarse un 50% al centro inicial si sale cruz. Se perfila, progresiv a y sorprendentemente el dibujo de la hoja de helecho (véase fig. 1) mientras el ordenador hace esta tarea menos ardua en pantalla y en décimas de segundo.
Fractales en la naturaleza Las formas de la naturaleza son fractales y múltiples procesos de la misma se rigen por comportamientos fractales. Esto quiere decir que una nube o una costa pueden definirse por un modelo matemático fractal que se aproxime satisfactoriamente al objeto real. Esta aproximación se realiza en toda una franja de escalas, limitadas por v alores mínimos y máximos.
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2.5. Uso y creación de fuentes de texto. También llamada tipografía, es una definición de los distintos caracteres que se pueden usar en un documento; de este modo, las distintas fuentes prese ntarán las letras con un dibujo o tipo de letra diferente. A cada símbolo individual se le llama carácter o procesador de textos de un tipo y tamaño determinados. Los archivos de tipografía son independientes de las aplicaciones que los usan, que normalmente se instalan en un determinado directorio del sistema operativo para que estén disponibles en todos los programas que los necesiten. Los más comunes son:
-TTF (TrueType Font) - PostScript Type 1 - OTF (OpenType Font) Es un lenguaje de descripción de páginas (en inglés: Page Description Language, PDL), utilizado en muchas impresoras y, de manera usual, como formato de tr ansporte de archivos gráficos en talleres de impresión profesional. - OTF (Open Type Font) Es un formato de tipos de letra escalables para computadora; su arquitectura esta basada en la de su antecesor (True Type), cuya estructura básica conserva y la cual complementa con tablas de datos que permiten incorporar a un tipo o familia tipográfica funciones tipográficas y lingüísticas avanzadas.
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CONCLUSIÓN En esta unidad aprendimos acerca de los gráficos 2D o bidimensionales. Éstos solo cuentan con 2 propiedades, largo y ancho, y en un plano, ocuparían los ejes x e y. Un ejemplo muy de un grafo de una sola dimensión es una línea, que es una sucesión de puntos infinitos que cuenta con un punto inicial y un punto final. Existen diversos algoritmos para trazar lineas rectas como el Analizador Diferencial Digital, pero uno mas especializado a lineas rectas es el algoritmo de Bresenham que determina que pixeles se rellenaran en función al grado de inclinación de la recta. A partir de estas lineas rectas unidimensionales podemos crear figuras bidimensionales, como lo son los polígonos, los cuales están formados por lineas que encierran una determinada área. A las lineas que forman al polígono se les llama lados o aristas y al punto donde se unen dos lineas se llama vértice.
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