Unidad 2 Fluidos

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Ejemplo 1.1 Si la aceleración en cierto sitio es g = 9,7 m / s² cuanto pesan 90 kgm ? Solución

Ejemplo 1.2 Una velocidad de 90 kilómetros por hora a ¿u!ntos m / s e"uivale, sa#iendo "ue $ kilómetro = $000 metros, $ hora = %0 minutos, $ minuto = %0 segundos? Solución

Ejemplo 1.3 ¿u!l es el peso de una li#ra masa en la super&icie de la tierra, donde la aceleración de#ida a la gravedad es de '(,( pies / s², ) en la super&icie de la luna donde la aceleración es *,'$ pies / s² ? Solución +l primer paso es calcular la masa en slugs

por la le) de la gravitación universal -=m.g onde la unidad para - es l# li#ra &uer1a2, la masa en slugs, ) la gravedad en pies/ s² +ntonces, el peso so#re la super&icie de la tierra es

) so#re la super&icie de la luna es

entonces el peso de una li#ra masa en la super&icie terrestre es una li#ra &uer1a3 4ero una li#ra &uer1a no es igual a una li#ra masa por su di&erencia en las unidades3

Ejemplo 1.4 5rans&ormar la ecuación *3** del cap6tulo *, llamada ecuación de anning del sistema ingl8s al sistema internacional

v!lida para

Solución +l coe&iciente  = $,:;% tiene las dimensione "ue siguen

entonces

por la le) de la gravitación universal -=m.g onde la unidad para - es l# li#ra &uer1a2, la masa en slugs, ) la gravedad en pies/ s² +ntonces, el peso so#re la super&icie de la tierra es

) so#re la super&icie de la luna es

entonces el peso de una li#ra masa en la super&icie terrestre es una li#ra &uer1a3 4ero una li#ra &uer1a no es igual a una li#ra masa por su di&erencia en las unidades3

Ejemplo 1.4 5rans&ormar la ecuación *3** del cap6tulo *, llamada ecuación de anning del sistema ingl8s al sistema internacional

v!lida para

Solución +l coe&iciente  = $,:;% tiene las dimensione "ue siguen

entonces

entonces 


Ejemplo 1.5 Un depósito de agua cu)a masa total es de :0 kg se coloca en el piso de un ascensor3 eterminar la &uer1a en neton "ue el depósito e>erce so#re el piso cuando el ascensor acelera hacia arri#a $0 pies / s²3

Figura E 1.5

Solución +n la &igura + $3* se muestra el diagrama de cuerpo li#re del depósito donde - es el peso del depósito ) el agua )  es la reacción del piso so#re el depósito3
donde la dirección hacia arri#a se considera como la dirección positiva3 e#ido a "ue - = mg, la ecuación $ se puede escri#ir como

 Antes de sustituir cual"uier nBmero en la ecuación anterior es necesario decidir cu!l sistema de unidades se usar! ), luego, asegurarse de "ue todos los datos est!n e.presados en esas unidades3 omo se "uiere e.presar uer1a  en neton, se usar!n las unidades del Sistema Cnternacional, de modo "ue

omo $ @ = $ kg D m / s (, se conclu)e "ue  = *$:,'( @

hacia a#a>o so#re el piso2

o por"ue la &uer1a "ue se muestra en el diagrama de cuerpo li#re es la &uer1a del piso so#re el depósito, de modo "ue la &uer1a e>ercida por el depósito so#re el piso es de la misma magnitud pero dirección opuesta3  A medida "ue se tra#a>e con diversos pro#lemas, se hallar! "ue las unidades desempeEan un papel &undamental en la o#tención de respuestas num8ricas3 FSe de#e tener cuidadoG +s &!cil me1clar unidades ) provocar grandes errores3

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Ejemplo 2.1 Un depósito de aire comprimido tiene un volumen de 0.238 m 3. Determinar la densidad y el peso del aire en el depósito cuando éste se llena de aire a una presión manométrica de 344,72 kN / m 2. Suponer que la temperatura es de 21 ºC y que la presión atmosférica es de 101,3 kN / m 2  (abs).

de modo que

Obsérvese que tanto la presión como la temperatura se cambiaron a valores absolutos. El peso, W del aire es igual a

Ejemplo 2.2 Construya un viscosímetro con dos cilindros concéntricos de 30 cm de largo, uno de 20.0 cm de diámetro y el otro de 20.2 cm de diámetro. Se requiere un par de torsión de 0.13 N * m para hacer    girar el cilindro interno a 400 rpm (revoluciones por minuto). Calcule la viscosidad. Solución El par de torsión aplicado es contrarrestado por un par de torsión resistente provocado por los esfuerzos cortantes (véase Figura 2.7.). Esto se expresa mediante la ecuación de la abertura pequeña, así M = esfuerzo x área x brazo de palanca

(3)

Figura 2.7

El radio es R = d / z = 10 cm; la abertura h = ( d2 - d1 ) / 2 = 0.1 cm; la velocidad rotatoria, expresada como rad / s, es ω = 4 0 0 x 2 π / 60 = 41.89 rad / s. Despejando μ   en la ecuación (3) tenemos

Nota: Todas las longitudes están en metros de modo que se obtienen las unidades deseadas de μ. Las unidades pueden ser comprobadas mediante sustitución

Ejemplo 2.3 Se inserta un tubo de vidrio limpio de 2 mm de diámetro en agua a 15°C (Figura 2.6.). Determine la altura a la que sube el agua en el tubo. El agua forma un ángulo de contacto de 0° con el vidrio limpio. Solución Un diagrama de cuerpo libre del agua muestra que la fuerza de tensión superficial dirigida hacia arriba es igual y opuesta al peso. Si se escribe la fuente de tensión superficial como tensión superficial por distancia, se tiene:

Los valores numéricos de σ  y ρ se obtuvieron de la tabla 2.5. Obsérvese que el valor nominal utilizado para el peso específico del agua es γ  =  ρ   g = 9 8 0 0 N / m3. Habría sido más preciso cálculos de ingeniería.

γ 

= 999,1 x 9,81 = 9801 N / m 3, pero 9800 es suficiente preciso en

Ejemplo 2.4 Un cilindro provisto de un pistón tiene un volumen inicial de 0.5 m 3. Contiene 2.0 kg de aire a 400 kPa absoluta. Se transfiere calor al aire mientras que la presión permanece constante hasta que la temperatura es de 300°C. Calcule la transferencia de calor y el trabajo realizado. Suponga calores específicos constantes. Solución Utilizando la primera ley, ecuación 2.17 y la definición de entalpía se ve que Q 1-2 = P 2   

2 

= m ŭ2 + P 2   

- P 1  2 

1

+ m ŭ2 - m ŭ1

- (m ŭ1 + P 1 

1)

= H2 - H1 = m ( h2 – h1  ) = m Cp ( T2 – T1) donde se utiliza la ecuación 2.23 suponiendo que Cp es constante. La temperatura inicial es:

Utilice kJ = kN . m para verificar las unidades). Así pues la transferencia de calor es ( Cp se encuentra en la Tabla 2.4.) Q 1-2 = 2,0 x 1,0 [ ( 300 + 273 ) – 348,4 ] = 449 kJ El volumen final se encuentra con la ley de gas ideal

El trabajo realizado para el proceso a presión constante es, utilizando la ecuación 2.20 con P = constante, W 1-2 = P (

2 

-

1)

= 400 ( 0,822 – 0,5) = 129 kJ

K = grados kelvin

Ejemplo 2.5 Un pie cúbico de helio a presión absoluta de 14,7 lb / pulg² se comprime isentrópicamente a 0,4 pie³ . ¿ cuál es la presión final? La ecuación 2.27 para una compresión isentrópica o adiabática

donde los sub índices 1 y 2 se refieren a los estados iniciales y finales respectivamente. La presión final P 2   será igual a:

donde k se muestra en la tabla 2.4 para helio k = 1,667.

Es de notar que la masa permanece constante, cuando el volumen se reduce a 0,4 pie³, se aumenta la densidad es decir queda multiplicada la densidad por 2,5 veces.

Ejemplo 2.6 a. Determinar la variación de volumen de 1 m 3 de agua a 30° C al aumentar la presión en 25 kg / cm2. b.  A partir de los siguientes datos experimentales determinar el módulo de elasticidad volumétrico del agua: a 40 kg / cm 2  el volumen era de 30 dm3  y a 250 kg / cm2  de 29,70 dm3. Solución a. De la Tabla 2.5, K a 30° C es de 23,100 x 10 3  kg / cm 2. (223 x 10 7 Pa) Mediante la ecuación 2.29

b. La definición asociada con la ecuación 2.29 indica que las variaciones correspondientes en la presión y volumen son las que deben considerarse en la ecuación. Entonces un aumento en la presión se corresponde con una disminución de volumen.

Ejemplo 2.7 Con referencia a la figura E2.10, el fluido tiene una viscosidad absoluta de 4,88 x 10 ‾ 3  kg s / m 2 y una densidad relativa de 0,913. Calcular el gradiente de velocidades y el módulo de la tensión cortante en el contorno y en los puntos situados a 20 mm, 40 m m y 80 m m del contorno, suponiendo (a) una distribución de velocidades lineal y (b) una distribución de velocidades parabólica. La parábola en el dibujo tiene su vértice en A. El origen está en B.

Figura E 2.10

Solución a. Para la distribución lineal, la relación entre la velocidad y la distancia y es: V = 18,75 y Entonces: dV = 18,75 dy el gradiente de velocidades es: dV / dy =18,75 Para:

y = 0 , V = 0 , y d V / d y = 1 8 , 7 5 s ‾ 1

por consiguiente

 Análogamente, para los otros valores de y, también se obtiene:

b. La ecuación de la parábola debe satisfacer la condición de que la velocidad sea cero en el contorno B. La ecuación de la parábola es V = 1,5 – 234,4 (0,08 - y) 2. Luego dV / dy = 468,8 (0,08 - y) y la tabulación de los resultados conduce a lo siguiente tabla y x 1 03

V

dV / dy

0

0

37,5

0,183 kg/m 2

20

0,656

28,125

0,1372 kg/m 2

40

1,125

18,75

0,0915 kg/m 2

80

1,5

0

0

t   =

4,88 x 10 ‾ 3  (dV / dy)

Se observará que en los puntos en que el gradiente de velocidades es nulo (cosa que ocurre en el eje de las tuberías en conducción forzada, la tensión cortante es cero. Las unidades del gradiente de velocidades son s ‾ 1  y el producto:

que son las dimensiones correctas de la tensión cortante t . 

Ejemplo 2.8 La viscosidad del agua a 20° C es 0,01008 poises. Calcular (a} la viscosidad absoluta en kg s / m 2. (b) Si la densidad relativa a 20° C es 0,998, calcular el valor de la viscosidad cinemática en m 2 / seg. Solución El poise está medido en dinas s / cm 2. Como 1 kg = 9,81 x 105  dinas y 1m = 100 cm, se obtiene:

COMPRESIBILIDAD DE LOS GASES

En el caso de que la presión sea constante en tanto que el volumen cambia en una cantidad finita de a ∀2 se tiene que:

∀1

W1-2= P (∀2  - ∀1 ) este proceso que ocurre a presión constante se llama Proceso Isobárico. Una propiedad que se presenta en muchos procesos termodinmicos! considerada como una propiedad del sistema se denomina entalpía " es una cantidad termodinmica que es combinación de otras " = m ( #$ % & ) = m & % P ∀

(2.21)

'i independi$amos " de la masa obtenemos la propiedad intensiva correspondiente "  m

(2.22)

tras cantidades *tiles son el calor espec+fico ba,o presión constante Cp   el calor espec+fico ba,o volumen constante C ∀!utili$ados para calcular los cambios de ener#+a interna de un #as ideal  tambi.n la entalp+a:

(2.23)

(2.24) En las ecuaciones anteriores se puede considerar el calor espec+fico como constante se#*n sea la situación! o se puede relacionar las dos cantidades si se trata de un #as ideal/ En la tabla 2/0/ se dan al#unos valores al respecto: Cp = C ∀ % R   

(2.25)

ambi.n el cociente k   entre los calores espec+ficos respectivos Cp! C ∀  es de #ran utilidad para #ases ideales

(2.26)

ara l+quidos  sólidos se utili$a 3 & = C  3 donde C  es el calor espec+fico del fluido/ ara a#ua: C = 0/14 56  5# / 78 (1 9tu  lb /7)/

8uando en un proceso la presión! temperatura  otras propiedades son en esencia constantes en cualquier instante a trav.s del sistema! se llama proceso de casi equilibrio o casi esttico/ 'i! adems! no se transfiere calor ;1-2=
(2.27)

donde k es tambi.n llamado eponente adiabtico En el caso de que haa transferencia de calor al #as  este produ$ca cambios de presión  una transformación de esa ener#+a calor+fica en traba,o mecnico proporcionado por el #as este proceso se denominar Proceso Isotermo/ >as epresiones son :

(2.28)

CONCEPTO DE FLUIDO

Los fluidos son líquidos y gases que se mueven por la acción de un esfuerzo cortante, no importa qué tan pequeño pueda ser el esfuerzo. Esto significa que incluso bajo la acción de un esfuerzo cortante muy pequeño, se produce movimiento en el fluido. Los gases obviamente quedan comprendidos dentro de esta categoría de fluidos, igual que el agua, el alquitrn y otras sustancias. !lgunas de ellas, como pinturas o salsas alimenticias, pueden resistir pequeños esfuerzos cortantes sin moverse" en este estudio se definir un fluido como normalmente se entiende y solamente nos ocuparemos de aquellas propiedades de los fluidos relacionadas con su capacidad para fluir.

CONCEPTO DE PRESIÓN Una fuerza infinitesimal ΔF que actúa sobre un área también infinitesimal ΔA, se descompone en una fuerza tangencial ΔFt y otra perpendicular o normal ΔFn como se muestra en la Figura 2.. !l "ector Fuerza F di"idido entre el área A sobre la que actúa, F # A se denomina vector de esfuerzo; el cociente entre la componente normal ΔFn de la fuerza ΔF y el área ΔA se denomina esfuerzo normal s. $e la misma manera, el cociente entre la componente tangencial ΔFt de la fuerza ΔF y el área ΔA se denomina esfuerzo cortante.

Figura 2.1. Componentes normal y tangencial de un elemento infinitesimal de fuerza ΔF

%a fuerza ΔFn que actúa normal o perpendicular al área ΔA que resiste la deformaci&n, puede ser de compresi&n si se aplica contra el área ΔA, o de tensi&n si se aplica en el área pero tirando de ella. 'omo resultado de la acci&n de una fuerza normal ΔFn de compresi&n sobre un área ΔA, se obtiene un esfuerzo normal llamado en (ecánica de Fluidos Presión (P ). %a presi&n se trata como una cantidad escalar debido a que el "ector de fuerza y el "ector área tienen el mismo sentido. )e define mediante

(2.1)

Un fluido no resiste esfuerzo de tracci&n, únicamente de compresi&n.

DEFINICIÓN DE FLUIDO Fluido es una sustancia capaz de deformarse, en la que las moléculas que la componen se caracterizan por estar en constante movimiento y por tener entre sí poca cohesión. Un fluido es un medio continuo deformable desprovisto de rigidez que toma siempre la forma del recipiente que lo contiene.

DENSIDAD

En mecánica de fluidos se considera que los fluidos tanto gases como líquidos son medios continuos, es decir que están distribuidos de manera uniforme por toda una región de interés. Con esta suposición de medio continuo, las propiedades de un fluido pueden ser aplicadas uniformemente en todos los puntos de la región en consideración y en un instante específico. Sin embargo para determinar si esta suposición de medio continuo es conveniente, frecuentemente se utiliza el concepto de densidad. a densidad rho !r", se define como#

(2.3)

donde Δm es la masa incremental contenida en el volumen incremental ΔV . Si ΔV  llega a ser e$ageradamente peque%o, la masa contenida en ΔV   varía de manera discontinua seg&n el n&mero de moléculas presentes en ΔV ,razón por la cual ΔV  no debe tender a '. a figura (.(. muestra la discontinuidad en la densidad cuando ΔV→0. En realidad, el cero en la definición de densidad debe ser reemplazado por un peque%o volumen !)", por deba*o del cual la suposición de medio continuo falla. En la mayoría de las aplicaciones de ingeniería, el volumen ) mostrado en la figura (.(. es considerablemente peque%o siendo éste a&n grande en comparación con la distancia media entre las moléculas del fluido. +eneralmente la densidad se e$presa en las siguientes unidades r-  / 01-

Figura 2.2. Densidad en un punto en un medio continuo

Cuando la masa viene e$presada en 23/,  ρ viene en 23/ 4 m56 si la masa se e$presa en 7ilogramos masa, ρ viene en 7ilogramos masa por metro c&bico. Estas unidades están relacionadas por 

(2.4)

8ara el agua en condiciones normales  ρ  9.''' 7gm 4 m5 o 9'9,:; 23/ 4 m5

ECUACIÓN DE ESTADO DE LOS GASES Una ecuación de estado de un gas es una ecuación que representa la relación entre cantidades macroscópicas tales como presión, volumen y temperatura, que describen el estado de un sistema. Lógicamente, esas magnitudes macroscópicas de tipo estadístico son el resultado directo del comportamiento de la estructura interna del sistema. Un gas ideal es aquel que cumple la relación (2.13) en todos sus aspectos . l verdadero gas ideal no e!iste, pero resulta un concepto "til y sencillo, comparado con el estado real del gas, ya que si la densidad es debidamente peque#a, todos los gases reales se comportan de $orma similar a un gas ideal. La siguiente relación se llama ecuación de estado del gas ideal y est% dada por  (2.13) donde P   es la presión absoluta,  ρ la densidad, & la temperatura absoluta y ' la constante del gas. La constante de gas R est% relacionada con la constante de gas universal Ru mediante la ecuación 2.1

(2.14)

onde M es la masa molar. Los valores de R  y M est%n dados en la tabla 2.., el valor de Ru es Ru * +31 -  gmol / 0

(2.15) * 1 $t4lb  slugmol 4 5' 6ara aire M * 2+. g  gmol (2+. slug  slugmol), de tal suerte que para aire R  * .2+ -  g 7 0 (118 $t4lb  slug49')

un valor muy utili:ado en c%lculos que implican aire. Los gases reales a presiones ba;as tienden a seguir la ley de los gases ideales. sta ley encierra la ley de <=arles y a la de >oyle. La ley de <=arles establece que a presión constante el volumen de una masa dada de gas varía como su temperatura absoluta . La ley de >oyle (ley isot?rmica) establece que a temperatura constante la densidad varía de $orma directa con la presión absoluta. La $orma que la ley de gas ideal adopta es@ P ∀ = n Ru &

(2.16)

en donde n es el n"mero de moles. La conducta de los gases en la mayoría de las aplicaciones de ingeniería puede ser descrita por la ley de gas ideal o ley de gas per$ecto.
Propiedades de gases ideales a 300º K

C ∀ = Cp – R ; k = C ∀  / Cp


(2.1)

donde D142 es la tras$erencia de calor al sistema y se considera positiva cuando entra calor al sistema, F142 es la cantidad de traba;o reali:ado por el sistema y es positivo cuando el sistema e$ect"a traba;o y  que es la energía total del sistema compuesta por la energía cin?tica (m vG  2), potencial (mg:) y la energía interna por masa unitaria (µH) así@

(2.1!)

6ara un sistema aislado, que est% termodin%micamente desconectado de los alrededores D 142 * F142 *  entonces@ (2.1") l t?rmino de traba;o F142, es el resultado de la acción de una $uer:a B que act"a en el límite del sistema recorriendo una distancia I,si la $uer:a es producida por presión entonces@

(2.20)

EJERCICIOS

1.7.1 Un gas perfecto (a) tiene viscosidad cero; (b) tiene viscosidad constante; (c) es incompresible; (d) satisface p  ρ  = RT; (e) no cumple ninguno de estos principios.

1.7.2 El peso molecular de un gas es 28. El valor de R en metros-newtons por kilogramo-kelvin es (a) 29.7; (b) 297; (c) 2911; (d) 8312; (e) ninguna de estas respuestas.

1.7.3 La densidad del aire a 10°C y 1-Mpa absoluta (abs) en unidades SI es (a) 1.231; (b) 12.31; (c) 65.0; (d) 118.4; (e) ninguna de estas respuestas.

1.7.4 ¿Cuántos kilogramos masa de gas monóxido de carbono a 20°C y 200-kPa abs están contenidos en un volumen de 100 L? (a) 0.00023; (b) 0.23; (c) 3.367; (d) 3367; (e) ninguna de estas respuestas.

1.7.5 Un recipiente contiene 1- kg de aire a 30 ºC y 9- Mpa abs. Si se añaden 1.5 – kg de aire y la temperatura final es 110ºC, la presión absoluta es (a) 7.26 Mpa; 25.3 Mpa; (c) 73.4 Mpa; (d) indeterminable; (e) ninguna de estas respuestas.

ESFUERZO CORTANTE (τ)(Tau) Es el cociente entre la componente tangencial ΔFt y el área ΔA como ya se expresó con anterioridad. La fuerza ΔFt que se aplica sobre el área ΔA, opera de forma tangencial o paralela a ésta según la figura 2.1. Estos esfuerzos se producen tanto en fluidos como en sólidos y se definen matemáticamente como

(2.2)

Las unidades con las que se expresa la presión y el esfuerzo cortante son las mismas según se indica en la !abla 2.2

.

"tras unidades de presión# incorporadas por el uso y que se continúan utilizando $oy %unto con el &ascal son la atmósfera y el bar. La atmósfera 'atm(# se define como la presión que e%ercer)a el peso de una columna de mercurio de *+, mm de altura y 1 cm- de sección transersal sobre su base.

GRAVEDAD ESPECÍFICA La gravedad específica ( S ) o (densidad relativa) se define como la relación entre la densidad de una sustancia con respecto a la densidad de otra tomada como referencia, para un volumen igual al de la sustancia de referencia. Para el caso de los líquidos se toma como referencia el agua a una temperatura estándar de 4°C en donde el peso específico del agua a presión atmosfrica es de !"#$ %&m'. Para el caso de los gases se refiere al aire lire en ausencia de C* + una atmósfera de presión como condiciones normales.

(2.6)

La gravedad específica no se epresa en unidades por ser una cantidad relativa- es decir, el cociente de dos cantidades de la misma clase. sta propiedad es mu+ /til para determinar el peso específico o densidad de un fluido. Por e0emplo, la gravedad específica del mercurio a *$ 1C es de #2,3, este n/mero adimensional muestra que la masa de mercurio es #2.3 veces la del agua para el mismo volumen. La densidad, peso específico + gravedad específica de aire + agua en condiciones estándar se dan en la ala *.2

.

La densidad + peso específico del agua camian con la temperatura- las ecuaciones *.5 muestran este camio 6seg/n 7erle C Potter pag #28

(2.7)

Para mercurio la gravedad específica tamin se relaciona con la temperatura así9

(2.8) n las ecuaciones *.5 + *." la temperatura está medida en grados Celsius. Para la generalidad de los líquidos la densidad a la temperatura de congelación es ma+or que la densidad 0usto sore la temperatura de congelación. n el agua ocurre algo diferente nótese que la densidad del agua a $°C (2*°:) es menor que aquella a 4°C- por lo tanto, el agua es más ligera a $°C por lo que se eleva a la parte superior del lago donde ocurre la congelación. Para la ma+oría de dise;os, a temperaturas menores de <$°C, si se usan los valores nominales determinados para agua + mercurio, el error es menor de #=, dentro de los límites permisiles en ingeniería.

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS La ciencia de la ingeniería de la mecánica de fluidos se ha desarrollado gracias al entendimiento de las propiedades de los fluidos, a la aplicación de las leyes básicas de la mecánica y la termodinámica y a una experimentación ordenada. Las propiedades de densidad y viscosidad juegan papeles principales en flujos de canales abiertos y cerrados y en flujos alrededor de objetos sumergidos. Los efectos de tensión superficial son importantes en la formación de gotas, en el flujo de pequeños chorros y en situaciones donde ocurren interfaces líquido-gas-sólido o líquido-líquido-sólido, al igual que en la formación de ondas capilares. La propiedad de presión de vapor, la cual considera los cambios de fase de líquido a gas, se vuelve importante cuando se encuentran presiones bajas. En este capítulo se define un fluido y se discuten los sistemas consistentes de fuerza, masa, longitud, tiempo y temperatura antes de presentar las propiedades y la definición de términos.

Continuo  Al tratar las relaciones de flujo de un fluido con bases matemáticas o analíticas, es necesario considerar que la estructura molecular real es remplazada por un medio hipotético continuo, conocido como el continuo. Por ejemplo, la velocidad en un punto del espacio es indefinida en un medio molecular, ya que siempre sería cero, excepto cuando una molécula ocupe ese punto exacto; en ese momento sería la velocidad de la molécula y no la velocidad media de masa de las partículas que están a su alrededor. Este dilema se evita si se considera que la velocidad en un punto es la velocidad promedio o velocidad de masa de todas las moléculas que rodean dicho punto, es decir, dentro de una esfera con un radio grande comparado con la distancia media entre moléculas. Con n moléculas por centímetro cúbico, la −1 / 3

distancia media entre ellas tiene un orden de magnitud de n cm. Sin embargo, la teoría molecular debe utilizarse para calcular las propiedades de los fluidos (por ejemplo la viscosidad) asociadas con movimientos moleculares, mientras que las ecuaciones de continuo pueden emplearse con los resultados de los cálculos moleculares.

En gases rarificados, tales como la atmósfera a 50 millas por encima del nivel del mar, se utiliza la relación entre la trayectoria libre media1 del gas a una longitud característica del cuerpo o conducto para distinguir el tipo de flujo. El régimen de flujo se conoce como dinámica de gas en valores muy pequeños de esa relación; el siguiente régimen se conoce como flujo deslizante; y para valores grandes de la relación se conoce como flujo de molécula libre. En esta lectura únicamente se estudia el régimen de dinámica de gas. Se supone que las cantidades densidad, volumen específico, presión, viscosidad, velocidad, aceleración, etc., pueden variar continuamente a lo largo de un fluido (o permanecer constantes).

Definición de un Fluido Un fluido es una sustancia que se deforma continuamente cuando se somete a un esfuerzo cortante, sin importar qué tan pequeño sea ese esfuerzo cortante. Un esfuerzo cortante es la componente de fuerza tangente a una superficie, y esta fuerza dividida por el área de la superficie es el esfuerzo cortante promedio sobre dicha superficie. El esfuerzo cortante en un punto es el valor límite de la fuerza por unidad de área a medida que el área se reduce a un punto.

En la figura 1.1 se ha colocado una sustancia entre dos placas paralelas muy cercanas, tan grandes que las condiciones en sus bordes pueden ser despreciadas. La placa inferior se fija y se aplica una fuerzaF a la placa superior, la cual ejerce un esfuerzo cortante F/A sobre cualquier sustancia que se encuentre entre las placas. A es el área de la placa superior. Si la fuerza F hace que la placa superior se mueva con una velocidad permanente (diferente de cero) sin importar qué tan pequeña sea la magnitud de F, la sustancia entre las dos placas es un fluido.

El fluido en contacto inmediato con una frontera sólida tiene la misma velocidad que la frontera; es decir, no existe deslizamiento en la frontera [1].2

Figura 1.1 Deformación resultante de la aplic ación de una fuerza cortante cons tante

Esta es una observación experimental que ha sido verificada en numerosas pruebas con diferentes clases de fluidos y de materiales sólidos en las fronteras. El fluido en el área abcd fluye a la nueva posición ab' c' d, cada una de las partículas de los fluidos se mueve paralelamente a la placa y la velocidad u varía uniformemente desde cero en la placa fija hasta Ven la placa superior. Los experimentos demuestran que, manteniendo otras cantidades constantes, F es directamente proporcional a A y a V y es inversamente proporcional al espesor t. En forma de ecuación:

F  = μ

 AU  t 

donde μ es el factor de proporcionalidad el cual incluye el efecto del fluido particular. Si τ = F  / A para el esfuerzo cortante,

τ=μ

U  t 

La relación U/ t es la velocidad angular de la línea ab o la tasa de deformación angular del fluido, es decir, la tasa de decrecimiento del ángulo bad. También se puede escribir la velocidad angular como duldy, ya que tanto Vlt como duldy expresan el cambio de velocidad dividido por la distancia en que éste ocurre. Sin embargo duldy es más general debido a que se mantiene para aquellas situaciones en las cuales la velocidad angular y el esfuerzo cortante cambian con y. El gradiente de velocidad duldy también puede visualizarse como la tasa a la cual una de las capas se mueve con relación a otra adyacente. En forma diferencial, τ=μ

du dy

(1.2.1)

es la relación entre el esfuerzo cortante y la tasa de deformación angular para el flujo unidimensional de un fluido. El factor de proporcionalidad μ se conoce como la viscosidad del fluido y la ecuación (1.2.1) es la ley de viscosidad de Newton.

 Aquellos materiales diferentes a los fluidos no pueden satisfacer la definición de un fluido. Una sustancia plástica se deformará una cierta cantidad proporcional a la fuerza, pero no continuamente cuando el esfuerzo aplicado se encuentra por debajo de su esfuerzo cortante de fluencia. Un vacío completo entre las placas causará una deformación con una tasa siempre creciente. Si se colocara arena entre las dos

placas, la fricción de Coulomb requerirá una fuerza finita para causar un movimiento continuo. Por consiguiente, los plásticos y los sólidos se excluyen de la clasificación de fluidos. Los fluidos se clasifican como newtonianos o no newtonianos. En un fluido newtoniano existe una relación lineal entre la magnitud del esfuerzo cortante aplicado y la tasa de deformación resultante [ en la ecuación (1.2.1) es constante], tal como se muestra en la figura 1.2. En un fluido no newtoniano existe una relación no lineal entre la magnitud del esfuerzo cortante aplicado y la tasa de deformación angular. Un plástico ideal tiene un esfuerzo de fluencia definido y una relación lineal constante de τ aduldy. Una sustancia tixotrópica, tal como la tinta de una impresora, tiene una viscosidad que

Figur a 1.2 Diagr ama reoló gic o

depende de la deformación angular inmediatamente anterior de la sustancia y tiene una tendencia a solidificarse cuando se encuentra en reposo. Los gases y los líquidos más comunes tienden a ser fluidos newtonianos, mientras que los hidrocarburos espesos y de cadenas largas pueden ser no newtonianos.

Para propósitos de análisis, frecuentemente se hace la suposición de que un fluido es no viscoso. Con una viscosidad nula el esfuerzo cortante siempre es cero, sin importar el movimiento del fluido. Si se considera que el fluido también es incompresible, entonces éste se conoce como un fluido ideal y se representa gráficamente como la ordenada de la figura 1.2.

Dimensiones y Unidades Las unidades consistentes de fuerza, masa, longitud, tiempo y temperatura simplifican notablemente la solución de problemas en mecánica; también, las deducciones pueden ser llevadas a cabo sin hacer referencia a un sistema consistente particular si las unidades se utilizan en forma consecuente. Se dice que un sistema de unidades mecánicas es consistente cuando una fuerza unitaria hace que una masa unitaria experimente una aceleración unitaria. El sistema internacional (SI) ha sido adoptado en la mayoría de los países y se espera que lo sea en los Estados Unidos en un futuro próximo. Este sistema tiene el newton (N) como la unidad de fuerza, el kilogramo (kg) como la unidad de masa, el metro (m) como la unidad de longitud y el segundo (s) como la unidad de tiempo. Con el kilogramo, el metro y el segundo como unidades básicas, el newton se deriva para satisfacer exactamente la segunda ley de movimiento de Newton

1 N  = 1 kg ⋅ 1

m

(1.3.1)

s2

Hoy en día el conjunto consistente de unidades en los Estados Unidos es la libra (lb) para la fuerza, el slug para la masa, el pie para la longitud y el segundo (s) para el tiempo. El slug es la unidad derivada; es la unidad de masa a la cual una libra se acelera a un pie por segundo cuadrado, o 1lb = 1 slug ⋅ 1

 pie s

2

(1.3.2)

En este texto el sistema libra-pie-slug-segundo se llamará sistema común US (USC, por sus siglas en inglés).

 Algunos grupos profesionales de ingeniería en los Estados Unidos utilizan el sistema inconsistente de unidades libra (lb) fuerza, libra (lb m ) masa, pie longitud y segundo (s) tiempo. Con el sistema inconsistente de unidades se requiere una constante de proporcionalidad en la segunda ley de Newton, la cual usualmente se escribe como F  =

m g0

a

(1.3.3)

Cuando una libra fuerza actúa sobre una libra masa en el vacío con gravedad estándar, la masa se acelera a 32.174 pies/s2, o 1lb = 1

lbm g0

⋅ 32.174

 pies s

2

de donde g 0  puede determinarse: g 0 = 32.174 lb m .lb/pies.S2 (1.3.4)

g 0  tiene este valor fijo para este conjunto de unidades, ya sea aplicado bajo condiciones estándar o en la Luna.

La masa M de un cuerpo no cambia con su localización, pero el peso W de un cuerpo se determina mediante el producto de la masa y de la aceleración local de la gravedad g:

W = Mg (1.3.5)

Por ejemplo, donde g = 9.806 m/s2 un cuerpo con una fuerza de gravedad de 10 N tiene una masa de M = 10/9.806 kg. En un lugar donde g = 9.7 m/s2, el peso W es

W  =

10 N  9.806 m / s

2

(9.7 m / s 2 ) = 9.892 N 

La gravedad estándar, la cual es la aceleración debida a la gravedad a nivel del mar, es 9.806 mls2 en SI. En la parte interna de la cubierta frontal de este texto, se dan varias conversiones para diferentes sistemas de unidades. Debido a que se presentan en forma de relaciones adimensionales iguales al,

pueden ser utilizadas en cualquier lado de la ecuación, como multiplicador o divisor, para convertir las unidades.

En la tabla 1.1 se muestran las dimensiones y las unidades de los sistemas, así como los valores para go. Las unidades de temperatura, grados Kelvin (K)3  y grados Rankine (OR), se discuten en la sección 1.6. Tabla 1.1 Sistemas comunes de unidades y valores de g 0

Las abreviaturas para las unidades SI se escriben en minúsculas para aquellos términos como horas (h), metros (m) y segundos (s). Cuando la unidad tiene el nombre de una persona, la abreviatura (pero no el nombre completo) se coloca en mayúsculas; algunos ejemplos son el vatio (W), el pascal (Pa) y el newton (N). La abreviatura L para el litro es una excepción, hecha con propósitos de claridad. Los múltiplos y submúltiplos en potencias de 103  se indican mediante prefijos, los cuales también se abrevian. En la tabla 1.2 se muestran prefijos comunes. Nótese que los prefijos no se pueden repetir: la forma correcta para 10-9  es el prefijo nano, como en nanómetros; combinaciones de, por ejemplo, milimicro, aceptadas anteriormente no se usan hoy en día.

Tabla 1.2 Principales prefijos para potencias de10 en unidades SI 1

 En 1967 el nombre grado Kelvin (ºK) se cambió por Kelvin (K)

2

Las referencias numeradas se encuentran al final del capítulo del texto original.

3

La trayectoria libre media es la distancia promedio que una molécula viaja entre colisiones

FLUIDOS SIMPLES

La densidad  ρ   de un fluido se define como su masa por unidad de volumen. Para definir la densidad en un punto, la masa Δ de un fluido contenido en un volumen pequeño Δ∀   que rodea dicho punto se m

divide por Δ∀ y se toma el límite a medida que Δ∀  tiende a ser el valor ∈3  en el cual ∈   es todavía grande comparado con la distancia media entre las moléculas, Δ

ρ = lim

(1.5.1)

m

Δ∀

Para agua a presión estándar (760-mm Hg) y 4°C (39.2°F), El volumen específico ν    es el inverso de la densidad masa unitaria de fluido. Por consiguiente, s

ν

s

=

1

ρ

 ρ   =

 ρ  .

1000 kg/m 3 o 1.94 slug/pie 3 .

Es decir, es el volumen ocupado por una

(1.5.2)

El peso específico γ    de un fluido es el peso por unidad de volumen. Éste cambia con la localización, ya que depende de la gravedad. Por consiguiente, γ  =  ρ  g

(1.5.3)

Esta es una propiedad útil cuando se trabaja con estática de fluidos o con líquidos con una superficie libre. La densidad relativa S de una sustancia es la relación entre su peso y el peso de un volumen igual de agua en condiciones estándar. También puede ser expresada como la relación entre su densidad o su peso específico con aquellos correspondientes al agua.

VISCOSIDAD ABSOLUTA Viscosidad Absoluta

La viscosidad de un fluido es una propiedad importante en el estudio del flujo de fluidos. En esta sección se analizan la naturaleza y las características de la viscosidad al igual que las dimensiones y los factores de conversión tanto para la viscosidad absoluta como para la cinemática. La viscosidad es aquella propiedad del fluido mediante la cual éste ofrece resistencia al esfuerzo cortante. La ley de viscosidad de Newton [ecuación (1.2.1)] establece que para una tasa dada de deformación angular del fluido, el esfuerzo cortante es directamente proporcional a la viscosidad. La melaza y la brea son ejemplos de los líquidos altamente viscosos; el agua y el aire tienen viscosidades muy pequeñas.

La viscosidad de un gas se incrementa con la temperatura, mientras que la de un líquido disminuye. Estas variaciones causadas por la temperatura pueden explicarse examinando las causas de la viscosidad. La resistencia de un fluido al corte, depende de su cohesión y de la tasa de transferencia de momentum molecular. Un líquido, con moléculas mucho más cercanas que un gas, tiene fuerzas cohesivas mayores que las de un gas. Por consiguiente la cohesión parece ser la causa predominante de la viscosidad en un líquido y puesto que disminuye con la temperatura, la viscosidad también lo hace. Un gas, por otro lado, tiene fuerzas cohesivas muy pequeñas. La mayoría de su resistencia al esfuerzo cortante es el resultado de la transferencia de momentum molecular.

Un modelo simplificado de cómo la transferencia de momentum causa un esfuerzo cortante aparente considera dos vagones de ferrocarril idealizados, cargados de esponjas sobre rieles paralelos, tal como se muestra en la figura 1.3. Se supone que cada vagón tiene un tanque de agua y una bomba de tal forma que el agua puede dirigirse mediante boquillas formando ángulos rectos con respecto a las carrileras. En primer lugar, se considera A quieto y B moviéndose hacia la derecha, con el agua de sus boquillas chocando con A y absorbida por las esponjas. El vagón A se pondrá en movimiento debido a la componente del momentum de los chorros que es paralela a las carrileras, creando de esta manera un esfuerzo cortante aparente entre A y B.  Ahora, si  A está bombeando agua hacia B a la misma tasa, esta acción tenderá a des acelerar B y resultarán fuerzas cortantes aparentes iguales y opuestas. Cuando tanto  A como B están en reposo o tienen la misma velocidad, el bombeo no ejerce un esfuerzo cortante aparente en ninguno de los vagones.

Dentro de un fluido siempre existe transferencia de moléculas a través de cualquier superficie ficticia dibujada en él. Cuando una capa se mueve con respecto a otra adyacente, la transferencia de momentum molecular mueve momentum de un lado a otro, de tal manera que se genera un esfuerzo cortante aparente que resiste el movimiento relativo y tiende a igualar las velocidades de las dos - capas adyacentes de forma análoga a la de la figura 1.3. La medida del movimiento de una capa con respecto a la capa adyacente es du/dy.

La actividad molecular causa un esfuerzo cortante aparente en gases, que es más importante que el de las fuerzas cohesivas, y puesto que la actividad molecular se incrementa con la temperatura, la viscosidad del gas también.

Figura 1.3 Modelo que ilustra la transferencia de momentum

Para presiones ordinarias, la viscosidad es independiente de la presión y depende únicamente de la temperatura. Para presiones muy grandes, los gases y la mayoría de los líquidos muestran variaciones erráticas de la viscosidad con la presión.

Un fluido en reposo o en movimiento de tal manera que ninguna capa se mueva con respecto a las capas adyacentes, no generará fuerzas cortantes aparentes, a pesar de la viscosidad, debido a que du/dy es cero a través del fluido. Por consiguiente, en el estudio de la estática de fluidos no se pueden considerar fuerzas cortantes debido a que ellas no ocurren en un fluido estático, y los únicos esfuerzos que permanecen son los normales, o presiones. Esto simplifica notablemente el estudio de la estática de fluidos, debido a que cualquier cuerpo libre de un fluido puede tener únicamente fuerzas gravitacionales y fuerzas normales a sus superficies que actúan sobre él.

Las dimensiones de la viscosidad se determinan utilizando la ley de viscosidad de Newton [ecuación (1.2.1)]. Resolviendo para la viscosidad

µ=

τ

du / dy

e insertando las dimensiones F, L y T para fuerza, longitud y tiempo, respectivamente

τ  :

FL −2

u: LT −1

y: L

−2

muestra que µ tiene las dimensiones FL T. Con la dimensión fuerza expresada en términos de masa, −2 utilizando la segunda ley de movimiento de Newton, F = MLT , las dimensiones de la viscosidad pueden −1 −1 expresarse como ML T .

La unidad de viscosidad del SI, newton-segundo por metro cuadrado (N.s/m2) o kilogramo por metro2 segundo (kg/m.s), no tiene nombre. La unidad de viscosidad USC (también sin nombre) es 1lb.s/pie o 1 slug/pie.s (estas dos son idénticas). Una unidad común de viscosidad en el sistema cgs, se conoce como 1 2 el poise (P); este es 1 dina.s/cm o 1 g/cm.s. La unidad SI es 10 veces mayor que la unidad poise. Viscosidad Cinemática

La viscosidad µ frecuentemente se conoce como viscosidad absoluta o viscosidad dinámica para evitar confundirla con la viscosidad cinemática v, que es la relación de la viscosidad con la densidad de masa:

ν  =

μ ρ

(1.4.1)

La viscosidad cinemática aparece en muchas aplicaciones, por ejemplo, en el número adimensional de Reynolds para el movimiento de un cuerpo dentro de un fluido, Vl/v, en donde V es la velocidad del −1 2 cuerpo y l es una medida lineal representativa del tamaño de éste. Las dimensiones de v son L T . La 2 2 unidad SI de la viscosidad cinemática es 1 m /s, y la unidad USC es 1 pie /s. La unidad cgs, llamada el 2 stoke (St) es 1 cm /s.

En unidades SI, para convertir de ν  a , es necesario multiplicar ν   por  ρ  , la densidad en kilogramos por metro cúbico. En unidades USC se obtiene multiplicando ν    por la densidad en slugs por pie cúbico. Para cambiar de stokes a poises, se multiplica por la densidad en gramos por centímetro cúbico, la cual es numéricamente igual a la densidad relativa. 1

 La conversión de la unidad de viscosidad USC al SI es

1slug

14.594 kg

1 pie

 pie.s

slug

0.3048m

= 47.9 kg/m.s o

1 unidad  vis cos idad  USC  47.9 unidades

vis cos idadSI 

=1

VISCOSIDAD CINEMÁTICA La viscosidad µ frecuentemente se conoce como viscosidad absoluta o viscosidad dinámica para evitar confundirla con la viscosidad cinemática v, que es la relación de la viscosidad con la densidad de masa: ν  =  ρ 

(1.4.1)

La viscosidad cinemática aparece en muchas aplicaciones, por ejemplo, en el número adimensional de Reynolds para el movimiento de un cuerpo dentro de un fluido, Vl/v, en donde V es la velocidad del −1 2 cuerpo y l es una medida lineal representativa del tamaño de éste. Las dimensiones de v son L T . La 2 2 unidad SI de la viscosidad cinemática es 1 m /s, y la unidad USC es 1 pie /s. La unidad cgs, llamada el 2 stoke (St) es 1 cm /s.

, es necesario multiplicar ν   por  ρ  , la densidad en kilogramos En unidades SI, para convertir de ν  a por metro cúbico. En unidades USC se obtiene multiplicando ν    por la densidad en slugs por pie cúbico. Para cambiar de stokes a poises, se multiplica por la densidad en gramos por centímetro cúbico, la cual es numéricamente igual a la densidad relativa.

PRESIÓN Y GAS PERFECTO Tal como se desarrollará en el capítulo 2, la presión en un punto es causada por una fuerza normal que empuja contra un plano definido en el fluido o contra una superficie plana que está en contacto con el fluido. La presión en un punto es la relación entre la fuerza normal y el área del plano a medida que dicha área se aproxima a un valor muy pequeño que incluya el punto. La presión, p, tiene unidades de fuerza por unidad de área, las cuales pueden ser newtons por metro cuadrado, llamadas pascales (Pa), libras por pie cuadrado (psf) o libras por pulgada cuadrada (psi).

Normalmente los líquidos no pueden soportar esfuerzos de tensión porque se vaporizarían. Por consiguiente, las presiones absolutas utilizadas en este libro nunca son negativas, debido a que esto implicaría que el fluido está soportando un esfuerzo de tensión. Con frecuencia, los líquidos pueden soportar una presión considerable o una fuerza de compresión con un pequeño o ningún cambio observable en la densidad. Sin embargo, no existen relaciones universales entre la presión y la densidad para un líquido.

Los gases responden a cambios en la presión o a fuerzas de compresión. Para gases ideales se puede establecer en forma explícita una relación entre la presión y la densidad. El gas perfecto, usado de aquí en adelante, se define como una sustancia que satisface la ley del gas perfecto

pv s = RT

(1.7.1)

y que tiene calores específicos constantes; p es la presión absoluta, v es el volumen específico, R es s la constante del gas y T es la temperatura absoluta. El gas perfecto debe distinguirse cuidadosamente del fluido ideal. Un fluido ideal no tiene fricción y es incompresible. El gas perfecto tiene viscosidad y por consiguiente puede desarrollar esfuerzos cortantes, y es compresible de acuerdo a la ecuación (1.7.1).

La ecuación (1.7.1) es la ecuación de estado para un gas perfecto. Se puede escribir como

p=

 ρ  RT

(1.7.2)

Las unidades de R pueden determinarse de esta ecuación cuando se conocen las otras unidades. Para p en pascales,  ρ  en kilogramos por metro cúbico, y T en kelvins (K)

R=

m

 N  m

2

3

kg . K 

=

m .  N  kg . K 

o

m . N/kg . K

Para unidades USC, °R = °F + 459.6

R=

Para

 ρ 

3

 pie slug .º R

lb  pie

2

slug . º R

en libras masa por pie cúbico

=

 pie.lb slug .º R

o pie . lb/slug . ºR

R=

lb  pie

 pie 2

3

lbm . º R

=

 pie . lb

o pie . lb/lb m . ºR

lbm . º R

La magnitud de R en slugs es 32.174 veces mayor que en libras masa. En la tabla C.3 del apéndice C se dan los valores de R para algunos gases comunes.

Los gases reales por debajo de la presión crítica y por encima de la temperatura crítica tienden a obedecer la ley del gas perfecto. A medida que la presión se incrementa, aumenta la discrepancia y se complica cerca al punto crítico. La ley del gas perfecto incluye tanto la ley de Charles como la de Boyle. La ley de Charles establece que para una presión constante, el volumen de una masa dada de gas varía proporcionalmente con su temperatura absoluta. La ley de Boyle (ley isotérmica) establece que para una temperatura constante la densidad varía directamente con la presión absoluta. El volumen ∀ de m unidades de masa de gas es mv s ; por consiguiente

p ∀ = mRT

(1.7.3)

 Algunas simplificaciones son el resultado de escribir la ley del gas perfecto en una base molar. Un kilogramo mol de gas es el número de kilogramos masa de gas igual al peso molecular; por ejemplo, un kilogramo mol de oxígeno O 2 es 32 kg. Con v

s

siendo el volumen por mol, la ley del gas perfecto se

convierte en

pv

s

= M RT

(1.7.4)

si M es el peso molecular. En general, si n es el número de moléculas de gas en el volumen ∀ , entonces

p ∀ = nM RT

(1.7.5)

debido a que nM = m. Ahora, según la ley de Avogadro, volúmenes iguales de gases, a la misma temperatura y presión absolutas, tienen el mismo número de moléculas; por consiguiente, sus masas son proporcionales a los pesos moleculares. Utilizando la ecuación (1.7.5) se ve que MR debe ser constante, debido a que p ∀ I nT es el mismo para cualquier gas perfecto. El producto MR, conocido como la constante universal del gas, tiene un valor que depende únicamente de las unidades utilizadas.

Este es

MR = 8312 m . N/kg . mol . K

(1.7.6)

La constante del gas R puede ser determinada de

R= En unidades USC

8312  M 

m .  N  / kg . K 

(1.7.7)

R=

49.709

 pie . lb / slug.º R

 M 

(1.7.8)

En unidades de libras masa

R=

1545  M 

 pie .lb / lbm . ºR

(1.7.9)

de tal manera que al conocer el peso molecular se puede encontrar el valor de R. La tabla C.3 del apéndice C, muestra los pesos moleculares de algunos gases comunes. En el capítulo 3 se introducen algunas relaciones y definiciones adicionales utilizadas en el flujo de gases perfectos.

Un gas con un peso molecular de 44 se encuentra a una presión de 0.9 Mpa y a uma. Ejemplo 1.3 temperatura de 20°C. Determinar su densidad.

Solución

De la ecuación (1.7.7) R=

8312 44

=

188.91 m . N/kg . K

Entonces, de la ecuación (1.7.2)

 ρ  =

Ejercicios

 p  RT 

=

0.9 × 10 6 N  / m 2 (188.91 m .  N  / kg )(273 + 20 K )

= 

16.26kg/m

3

MÓDULO DE ELASTICIDAD VOLUMÉTRICO (La siguiente lectura recomendada fue tomada del texto mecánica de fluidos, novena edición, 1999, Victor L. Streeter, E. Benjamín Wylie, Keith W. Bedford, página 18).

En la sección precedente, la compresibilidad de un gas perfecto se describió mediante la ley del gas perfecto. Para la mayoría de los propósitos un líquido puede considerarse como incompresible, pero para aquellas situaciones que involucren cambios súbitos o grandes en la presión, la compresibilidad se vuelve importante. La compresibilidad de líquidos (y de gases) también es importante cuando se involucran cambios en la temperatura, por ejemplo, en el caso de la convección libre. La compresibilidad de un líquido se expresa mediante su módulo de elasticidad volumétrica. Si la presión de un volumen unitario de líquido se incrementa en

dp , esto causará un decrecimiento en el volumen de

relación − dp / d ∀ es el módulo de elasticidad volumétrica K. Para cualquier volumen

K  = −

∀ de

− d ∀ ; la

líquido

dp d ∀ / ∀

Como d ∀ / ∀ es adimensional, K se expresa en unidades de p. Para agua a 20°C (tabla C.1, apéndice C) K = 2.2 GPa o, de la tabla C.2, K = 311,000 lb/pulg2 para agua a 60°F.

Para hacerse una idea acerca de la compresibilidad del agua, considérese la aplicación de 0.1 MPa (alrededor de 1 atm) a un metro cúbico de agua.

−

d ∀ =

∀ dp

K 

=

(1.0 m 3 )(0.1 MPa) 2.2 GPa

=

1 22.000

m

3

o alrededor de 45.5 cm3. A medida que el líquido se comprime, su resistencia a la compresión adicional se incrementa. A 3000 atm el valor de K para el agua se duplica.

Para la mayoría de los ingenieros civiles y ambientales, el agua se considera esencialmente incompresible; sin embargo, las comunidades oceanográficas y limnológicas con frecuencia trabajan con profundidades de agua suficientemente grandes para generar pequeños pero importantes cambios en el volumen debido a la compresión. Dos consecuencias prácticas son: la variación de la densidad con la temperatura y la sal deben modificarse para incluir la presión local, y los cambios en volumen pueden dar como resultado lecturas irregulares de las concentraciones medidas en aguas profundas, donde los datos fueron tomados, con respecto al análisis realizado a bordo.

La corrección de la función de densidad por causa de la compresión está fuera del alcance de este texto y se puede encontrar en cualquier libro de oceanografía moderna.

PRESIÓN DE VAPOR Los líquidos se evaporan porque las moléculas se escapan desde la superficie líquida. Las moléculas de vapor ejercen una presión parcial en la superficie, conocida como presión de vapor. Si el espacio por encima del líquido se encuentra confinado, después de un tiempo suficientemente largo, el número de moléculas de vapor que chocan contra la superficie líquida y se condensan es exactamente igual al número de moléculas que escapan en cualquier intervalo de tiempo y, por consiguiente, existe un equilibrio. Debido a que este fenómeno depende de la actividad molecular, la cual es una función de i la temperatura, la presión de vapor de un líquido dado depende de la temperatura y se incrementa con cualquier aumento de ésta. Cuando la presión por encima del líquido es igual a la presión de vapor del líquido, se produce la ebullición. Por ejemplo, la ebullición del agua puede ocurrir a temperatura ambiente si la presión se reduce suficientemente. A 20°C el agua tiene una presión de vapor de 2.451-kPa absoluta y el mercurio tiene una presión de vapor de 0.173-Pa absoluta.

En muchas situaciones de flujo de líquidos es posible producir presiones muy bajas en ciertos lugares del sistema. En tales circunstancias, las presiones pueden ser iguales o menores que la presión de vapor. Cuando esto ocurre, el líquido se convierte rápidamente en vapor. Este fenómeno se conoce como cavitación. Se forma una bolsa o cavidad de vapor en expansión rápida, la cual usualmente es arrastrada desde su punto de origen y entra a regiones en donde el flujo tiene presiones mayores que la presión de vapor. La cavidad colapsa. Este crecimiento y decaimiento de burbujas de vapor afecta el comportamiento de bombas hidráulicas y turbinas y puede erosionar partes metálicas dentro de la región de cavitación.

Ejercicio 1.9.1 La presión de vapor del agua a 30°C, en pascales, es (a) 0.44; (b) 7.18; {c) 223; (d) 4315; (e) ninguna de estas respuestas. ..

Tensión Superficial En la interface entre un líquido y un gas, o dos líquidos no miscibles, parece formarse una película o capa especial en el líquido, aparentemente debida a la atracción de las moléculas del líquido por debajo de la superficie. Colocar una pequeña aguja sobre una superficie de agua en reposo y observar que es soportada por la película, es un experimento sencillo.

La formación de esta película puede visualizarse con base en la energía superficial o el trabajo por unidad de área requerido para llevar las moléculas a la superficie. La tensión superficial entonces es la fuerza de tensión requerida para formar la película, obtenida dividiendo el término de energía superficial por unidad de longitud de la película en equilibrio. La tensión superficial del agua varía entre 0.074 N/m a 20°C hasta 0.059 N/m a 100°C. En la tabla 1.3 están dadas tensiones superficiales, en conjunto con otras propiedades, para algunos líquidos comunes.

Tabla 1.3 Propiedades aproximadas de líquidos comunes a 20ºC y presión atmosférica estándar 

TENSIÓN SUPERFICIAL En la interface entre un líquido y un gas, o dos líquidos no miscibles, parece formarse una película o capa especial en el líquido, aparentemente debida a la atracción de las moléculas del líquido por debajo de la superficie. Colocar una pequeña aguja sobre una superficie de agua en reposo y observar que es soportada por la película, es un experimento sencillo.

La formación de esta película puede visualizarse con base en la energía superficial o el trabajo por unidad de área requerido para llevar las moléculas a la superficie. La tensión superficial entonces es la fuerza de tensión requerida para formar la película, obtenida dividiendo el término de energía superficial por unidad de longitud de la película en equilibrio. La tensión superficial del agua varía entre 0.074 N/m a 20°C hasta 0.059 N/m a 100°C. En la tabla 1.3 están dadas tensiones superficiales, en conjunto con otras propiedades, para algunos líquidos comunes. Tabla 1.3 Propiedades aproximadas de líquidos comunes a 20ºC y presión atmosférica estándar 

Figura 1.6 Capilaridad en tubos de vidri o circul ares. Con autori zación de P.L. Daugherty. “ Hydraulics” , McGraw-Hill, New Cor k, 1937)

La acción de la tensión superficial es incrementar la presión dentro de una pequeña gota de líquido o dentro de un pequeño chorro de líquido. Para una pequeña gota esférica de radio r la presión interna p necesaria para balancear la fuerza de tensión debida a la tensión superficial σ   se calcula en función de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo libre semiesférico (ver sección 2.6),

p π    r 2 = 2 π    r σ  

o

p=

2σ   r 

Para un chorro cilíndrico de radio r, se puede aplicar la ecuación de tensión superficial [ecuación (2.6.5)]:

P=

σ   r 

 Ambas ecuaciones muestran que la presión se incrementa para radios muy pequeños tanto de la gota como del cilindro.

La atracción capilar es causada por la tensión superficial y por el valor relativo de la adhesión entre líquido y sólido con respecto a la cohesión del líquido. Un líquido que moja el sólido tiene mayor adhesión que cohesión. La acción de la tensión superficial en este caso hace que el líquido suba dentro de un pequeño tubo vertical que se encuentra parcialmente sumergido en él. Para líquidos que no mojan el sólido, la tensión superficial tiende a deprimir el menisco en un pequeño tubo vertical. Cuando se conoce el ángulo de contacto entre el líquido y el sólido, la altura capilar puede calcularse para una forma supuesta del menisco. La figura 1.6 muestra la altura capilar para agua y mercurio en tubos circulares de vidrio, en contacto con aire.

LOS GASES

Están formados por moléculas cuya atracción entre sí es despreciable y debido a su constante movimiento, chocan unas con otras dispersándose, de manera que su volumen y su forma son indefinidos. A diferencia de los fluidos líquidos, los gases son compresibles llenando por completo el depósito que los contenga. Para un sistema de gas, la relación entre las cantidades macroscópicas tales como la presión, la temperatura y el volumen que especifican el estado de dicho sistema, estará dada por medio de la ley de los gases. Es de notar que estas magnitudes macroscópicas son el resultado de la estructura interna del sistema.

LOS LÍQUIDOS Se componen de moléculas que se mueven constantemente y que están ligadas entre sí por fuerzas intermoleculares que lo conservan unido de manera que su volumen esta definido por su forma. Cuando un recipiente contiene un líquido, el volumen que el líquido ocupa es igual al suyo y está definido por la forma del recipiente. Los líquidos presentan superficies libres y son levemente compresibles, aunque en la mayoría de problemas de ingeniería se consideran incompresibles; su densidad es variable con relacin a la temperatura y a la presin.

MÓDULO DE ELASTICIDAD VOLUMÉTRICO La mayoría de líquidos se consideran incompresibles, pero cuando los cambios de presión son muy rápidos es necesario tener en cuenta la compresibilidad. La compresibilidad de los líquidos y de los gases se hace también relevante cuando existen cambios de temperatura. La elasticidad de un fluido está relacionada con la cantidad de deformación (expansión o contracción para un cambio de presión. La elasticidad recibe a veces el nombre de compresibilidad del fluido. !uantitativamente, el grado de elasticidad está dado por  K cuya definición es"

(2.29)

donde K es el módulo de elasticidad volumétrico, dP  es el cambio progresivo de presión, d∀  es el cambio progresivo de volumen, y ∀ es el volumen del fluido. #ebido a que si la presión de la unidad de volumen del fluido aumenta en d P y el volumen disminuye $d∀  entonces la relación toma el signo negativo. %tra forma alterna de expresar la ecuación de K es"

(2.30)

&l módulo de elasticidad volumétrico del agua a temperatura y presión ordinarias es '))) *g + cm. La elasticidad de un gas ideal es proporcional a la presión. -ara un proceso isotérmico (temperatura constante,

(2.31)

de modo que "

(2.32)

-ara un proceso adiabático K  k. P, donde k  es la ra/ón entre calores específicos, Cp + C ∀ La ecuación dimensional [K]  01 L23  04 L2 523 La elasticidad o compresibilidad de un gas es importante en flu6os de alta velocidad en los que las variaciones de presión pueden ocasionar cambios importantes en la densidad.

Perturbaciones en la Presión !ualquier perturbación en la presión de un fluido se propaga en forma ondas, moviéndose éstas a una velocidad igual a la velocidad del sonido a través del fluido. &sta perturbación no puede ser transmitida de manera instantánea entre dos puntos de fluido excepto cuando este es inelástico. -ara peque7as ondas de presión a través de un medio elástico Las unidades de esta velocidad o celeridad son m + s (2.33) #onde K es el módulo de elasticidad volumétrico.

EL ITEM SELECCIONADO NO TIENE DOCUMENTACIÓN ASOCIADA.

Para relacionar las unidades la mayoría de las veces se utiliza la segunda ley de Newton la que permite escribir 

N=

kg x m s

2

En la ejecucin de c!lculos en ingeniería" una respuesta convendr! tener el mismo n#mero de dígitos signi$icativos que el n#mero menos preciso utilizado en ellos% &a mayoría de las propiedades de $luido se presentan cuando muc'o con cuatro dígitos signi$icativos% Por tanto" las respuestas deber!n ser expresadas con cuando muc'o cuatro dígitos signi$icativos" y a menudo con slo tres dígitos signi$icativos% &a presin se $ormula" en mec!nica de $luidos" como presin manom(trica a menos que se diga lo contrario% Esto es di$erente de la termodin!mica" en la que se supone que la presin es absoluta% )i se requiere la presin absoluta" se le agregan *+*", kPa si la presin atmos$(rica no se

PESO ESPECÍFICO El peso específico γ   (gamma) es una propiedad de los fluidos directamente relacionada con la densidad y se define como el peso de una sustancia por unidad de volumen de dicha sustancia

(2.5)

donde W es el peso, ∀ es el volumen y para el lado derecho de la ecuación 2.5g es la gravedad local. La ecuación dimensional es:

Esta propiedad es muy conveniente cuando se trata con la esttica del fluido o con lí!uidos con una superficie li"re, para estos, el peso específico puede considerarse constante para las variaciones ordinarias de presión, Los pesos específicos de los gases puede calcularse mediante la ecuación de estado de los gases, !ue se ver ms adelante.

PRESIÓN DE VAPOR  Si tenemos un líquido en un recipiente completamente cerrado, una fracción de este se evaporará. Cuando se alcanza le equilibrio entre el estado líquido y el gaseoso del líquido contenido en el recipiente la vaporización finaliza, es decir, cuando el número de moléculas que escapan de la superficie del líquido es igual al número de moléculas que entran, esta presión recibe el nombre de presión de vapor  or e!emplo, la presión de vapor absoluta del agua en condiciones estándar "#$%C, #&#.' (a) es de #.*& (a y del amoníaco es de ''.+ (a. a presión de vapor es diferente de un líquido a otro, y depende de dos factores importantes como son la presión y la temperatura, cuando esta última se incrementa, la presión de vapor sufre un cambio como& se muestra en la -abla .$

.

or e!emplo, la presión de vapor del agua se incrementa a #&#.' (a "#/.* psi) si la temperatura alcanza #&&%C "#%0). 1n la tabla .$. se dan presión de vapor de agua a otras temperaturas a presión atmosférica. or supuesto, no es una coincidencia que la presión de agua a #&&%C sea igual a la presión atmosférica estándar. 2 esta temperatura el agua 3ierve4 pues el estado líquido del agua ya no se conserva porque las fuerzas de atracción entre sus moléculas no son capaces de contenerlas en la fase líquida. 5ebido a que la presión absoluta local es menor que la presión de vapor del líquido, este sufre una transición de estado líquido al gaseoso. 1n lugares donde la presión atmosférica es ba!a, esto es elevaciones altas, la ebullición sucede a temperaturas por deba!o de #&&%C. 1n los flu!os de líquido, en ocasiones se crean condiciones que conducen a una presión por deba!o de la presión de vapor del líquido formándose burbu!as localmente. 1ste fenómeno, llamado cavitación, puede ser muy da6ino cuando estas burbu!as son transportadas por el flu!o a regiones de presión más alta. o que sucede es que las burbu!as se colapsan al entrar a la región de presión más alta, y este colapso produce picos de presión local que tienen el potencial de da6ar.

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Las características por medio de las cuales se puede describir el estado físico de un fluido se denominan propiedades y éstas se expresan en términos de un número limitado de dimensiones básicas o fundamentales  (longitud, masa o fuerza, tiempo y temperatura). Las propiedades relacionadas con la masa total de un sistema  se llaman propiedades extensivas y por lo general se les representa mediante letras mayúsculas. Las propiedades que son independientes de la masa se llaman  propiedades intensivas y es frecuente que se designen con letras minúsculas. 1

2

n la deducci!n y aplicaci!n del método de "olumen de control que se presenta en la unidad # se explica la diferencia entre las propiedades extensi"as e intensi"as y el concepto de sistema.

%ue"e son las cantidades físicas consideradas como básicas& masa, tiempo, longitud, temperatura, cantidad de una sustancia, corriente eléctrica, intensidad luminosa, ángulo plano y ángulo s!lido, las demás son deri"adas de éstas. ' n sistema, en mecánica de fluidos y termodinámica, se define como una masa determinada de materia dada. $

SISTEMA

SI

MASA LONGITUD TIEMPO FUERZA TEMPERATURA

g0 2

kg

m

s

N

K

1kg.m/N.s

USC

slug

pie

s

lb

ºR

1slug.pie/lb.s

US. inconsciente

lb m

pie

s

lb

ºR

32.174lb m .pie/lb.s

Métrico, cgs

g

cm

s

dina

K

1g.cm/dina.s

Métrico, mks

kg

m

s

kg  f 

K

9.086kg.m/kg  f  .s

Tabla 1.1 Sistemas co munes de unid ades y valores de g 0

2

2

2

2

MÚLTIPLOS PREFIJO SI  ABREVIATURA  AB REVIATURA MÚLTIPLOS MÚLTIPL OS PREFIJO SI  ABREVIATURA 10

9

giga

G

10

−3

mili

m

10

6

mega

M

10

−6

micro

µ

10

3

kilo

k

10

−9

nano

n

−2

centi

c

10

−12

pico

p

10

Tabla Tabla 1.2 Princ Principales ipales prefij os para potencias de10 en en unidades u nidades

SI

TENSIÓN

DENSIDAD

MÓDULO DE ELASTICIDAD

PRESIÓN DE

RELATIVA S

VOLUMÉTRICA K , GPa

VAPOR p V, KPa

 Alcohol, etílico

0.79

1.21

5.86

0.0223

Benceno

0.88

1.03

10.0

0.0289

Tetracloruro de carbono

1.59

1.10

1.31

0.0267

Querosene

0.81

…

…

0.023-0.032

Mercurio

13.57

26.20

0.00017

0.51

Crudo

0.85-0.93

…

…

0.023-0.038

Lubricante

0.85-0.88

…

…

0.023-0.038

 Agua

1.00

2.2

2.45

0.074

LÍQUIDO

SUPERFICIAL1 O N/m

Petróleo

Tabla 1.3 Propiedades Propiedades aproxi madas de líquidos comunes comu nes a 20ºC 20ºC y presión, atmosférica estándar

TENSIÓN

DENSIDAD

MÓDULO DE ELASTICIDAD

PRESIÓN DE

RELATIVA S

VOLUMÉTRICA K , GPa

VAPOR p V, KPa

 Alcohol, etílico

0.79

1.21

5.86

0.0223

Benceno

0.88

1.03

10.0

0.0289

Tetracloruro de carbono

1.59

1.10

1.31

0.0267

Querosene

0.81

…

…

0.023-0.032

Mercurio

13.57

26.20

0.00017

0.51

Crudo

0.85-0.93

…

…

0.023-0.038

Lubricante

0.85-0.88

…

…

0.023-0.038

 Agua

1.00

2.2

2.45

0.074

LÍQUIDO

SUPERFICIAL1 O N/m

Petróleo

Tabla 1.3 Propiedades Propiedades aproxi madas de líquidos comunes comu nes a 20ºC 20ºC y presión, atmosférica estándar

SISTEMA TÉCNICO

SISTEMA INGLÉS

SISTEMA INTERNACIONAL (SI)

kg / m²

lb / pie²

N / m² = 1 Pascal

kg / cm²

lb / pulg² = psi

dina / cm² = 1 Baria

1 kg / cm² = 14,22 psi

Tabla 2.2. Unidades de presión y esfuerzo

Densidad r

Peso específico g Gravedad Específica S

kg/m³

Slug/pie³

N/m³

lb/pie³

 Aire

1.23

0.0024

12.1

0.077

0.00123

 Agua

1000

1.94

9810

62.4

1

Tabla 2.3. Densidad, Peso específico, gravedad específica de aire y agua en condiciones estándar   

R

Fórmula

C   p

Masa k  

Gas Química

 Aire

Molar  

28.97

1716

0.287

6012

1.004

1.40

39.94

1244

0.2081

3139

0.5203

1.667

Bióxido de Carbono

CO 2   44.01

1129

0.1889

5085

0.8418

1.287

Monóxido de Carbono

CO

28.01

1775

0.2968

6238

1.041

1.40

Etano

C 2H6   30.07

1653

0.2765

10700

1.766

1.184

 Argón

Ar

Helio

He

4.003

12420

2.077

31310

5.193

1.667

Hidrógeno

N2

2.016

24660

4.124

85930

14.21

1.40

  16.04

3100

0.5184

13330

2.254

1.30

Metano

CH4

Nitrógeno

N2

28.02

1774

0.2968

6213

1.042

1.40

Oxígeno

02

32.00

1553

0.2598

5486

0.9216

1.394

Propano

C 3H8   44.10

1127

0.1886

10200

1.679

1.12

Vapor

H2O

2759

0.4615

11150

1.872

1.33

18.02

(Tomado de,  Apéndice B , Tabla B4 Mecánica de Fluidos, Merle C Potter  )   Tabla 2.4. Propiedades de gases ideales a 300º K

Viscosidad

Tensión

cinemática

superficial

Densidad

Presión de

Temperatura

Viscosidad ρ (kg

Módulo

μ

/

Elasticidad vapor  

T (°C)

(N • s /

m2)

n

volumétricoK

σ

m3)

Pv (kPa) (m² / s)

(N / m)

3

1.792 X 10~6

0.0762

0.610

204 X 10 7

  1.792 x 10-

(Pa)

0

999.9

5

1000.0

1.519

1.519

0.0754

0.872

206

10

999.7

1.308

1.308

0.0748

1.13

211

15

999.1

1.140

1.141

0.0741

1.60

214

20

998.2

1.005

1.007

0.0736

2.34

220

30

995.7

0.801

0.804

0.0718

4.24

223

40

992.2

0.656

0.661

0.0701

3.38

227

50

988.1

0.549

0.556

0.0682

12.3

230

60

983.2

0.469

0.477

0.0668

19.9

228

70

977.8

0.406

0.415

0.0650

31.2

225

80

971.8

0.357

0.367

0.0630

47.3

221

90

965.3

0.317

0.328

0.0612

70.1

216

100

958.4

0.284 X 10~3

0.296 X 10-6

0.0594

101.3

207 X 10 7

 

(Tomado de, Apéndice B , Tabla B4 Mecánica de Fluidos, Merle C Potter) Tabla 2.5. Propiedades del agua

TENSIÓN SUPERFICIAL La tensión superficial ( σ ) sigma es un fenómeno que se genera en la superficie de contacto entre dos fluidos, que pueden ser líquidos o liquido y un gas. De acuerdo con las teorías de atracción molecular, se generan dos tipos de interacción entre moléculas. Un fenómeno es la adhesión que genera en un líquido la capacidad de pegarse a otro cuerpo que puede ser sólido, líquido o gas. tro llamado cohesión, mayor en líquidos que en gases, que permite en este caso a un líquido resistir fuer!as de tensión pero que limita su e"pansión li#re. Las moléculas en el interior de un líquido permanecen en equili#rio por medio de fuer!as que son iguales en todas direcciones permaneciendo la resultante nula, pero las que est$n en la superficie e"perimentan una mayor atracción entre sí sufriendo la acción de un con%unto de fuer!as de cohesión, cuya resultante es perpendicular a la superficie. &ada porción de la superficie del líquido e%erce 'tensión' so#re porciones adyacentes o so#re o#%etos que estén en contacto con la superficie del líquido, prooc$ndose el fenómeno de adhesión. uesto que las moléculas de la superficie poseen m$s energía que las del interior es necesario consumir un tra#a%o para moer las moléculas del interior del líquido hacia la superficie, enciendo la resistencia de las fuer!as cohesias para crear una nuea unidad de superficie.

Figura 2.5. Fuerzas internas a). En media Burbuja ; b). En media gota

*ste tra#a%o reci#e el nom#re de +ensión uperficial y es numéricamente igual a la fuer!a tangencial de contracción que act-a so#re una línea hipotética de longitud situada en la superficie Las unidades en que se e"presa la +ensión superficial son unidades de fuer!a por unidad de longitud ( / m) (0# / ft) y por ser una magnitud de tra#a%o en (1 / m2). La fuer!a generada por la tensión superficial es el resultado de una longitud multiplicada por la tensión superficial, la longitud utili!ada es la longitud de fluido en contacto con un sólido, o la circunferencia en el caso de una #ur#u%a. &onsiderando los diagramas de cuerpo li#re de media gota y media #ur#u%a de la figura 2.3 un efecto de tensión superficial puede ser ealuado teniendo en cuenta que la gota tiene una superficie y la #ur#u%a se compone de una delgada película de líquido con una superficie interna y una superficie e"terna. La presión en el interior de la gota y #ur#u%a se puede calcular sa#iendo que 4 es el radio de la superficie de la gota y la #ur#u%a respectiamente. La fuer!a de presión 5 6 P π 47 en la gota equili#ra la fuer!a de tensión superficial alrededor de la circunferencia8

(2.34)

La fuer!a de presión para la #ur#u%a tam#ién est$ equili#rada por las fuer!as de tensión superficial en las dos circunferencias, haciendo el mismo procedimiento se o#tiene8

(2.35)

Las ecuaciones 2.9: y 2.93 muestran que la presión interna en una #ur#u%a es dos eces m$s grande que en una gota del mismo tama;o. *l efecto de la tensión superficial se ilustra para el caso de acción capilar en un peque;o tu#o (5igura 2.<.). =quí el e"tremo de un tu#o de di$metro peque;o se coloca dentro de un depósito de agua y la característica superficie cura del agua se presenta dentro del tu#o. La atracción relatiamente grande de las moléculas del agua para el idrio ocasiona que la superficie del agua se cure hacia arri#a en la región de las paredes del idrio. *ntonces la fuer!a de tensión superficial act-a alrededor de la circunferencia del tu#o en la dirección indicada. e puede suponer que el $ngulo β (#eta) es igual a >? para agua contra idrio pero e"isten casos en que este $ngulo es mayor de @>A por e%emplo para el mercurio, tales líquidos e"perimentan un descenso capilar.

Figura 2.6. Acción cai!ar en un tubo e"ue#o

*sto produce una fuer!a neta hacia arri#a so#re el agua que hace que el agua del tu#o se elea por arri#a de la superficie de agua del depósito. i h es el ascenso capilar, D el di$metro,  ρ la densidad y σ la tensión superficial, h se determina igualando la componente ertical de la fuer!a de tensión superficial al peso de la columna de líquido

(2.36)

(2.3$)

 =lgunas manifestaciones de tensión superficial incluyen el e"ceso de presión creado dentro de peque;as gotas y #ur#u%as (en y so#re la presión atmosférica), la transformación de un chorro de líquido en peque;as gotas. y la unión en su con%unto de material granulado h-medo, como es el caso de tierra arenosa fina.

VISCOSIDAD CINEMÁTICA O RELATIVA Muchas de las ecuaciones de mecánica de fluidos incluyen la combinación µ  / ρ. Debido a que esto ocurre con relativa frecuencia, a esta combinación se le ha dado el nombre de Viscosidad Cinemática (así llamada porque la dimensión de fuerza se cancela en la combinación µ / ρ). l símbolo que se utiliza para identificar la viscosidad cinemática es  ν (!u"#

(2.12)

$a ecuación dimensional es% & ν'&$) *+' $as unidades c#-#s de viscosidad cinemática  ν son cm. /s  0 1to2e 3ara el caso del a-ua  ν 

4,546 7 0489 m. /s#

$as unidades de viscosidad cinemática  ν son m. /s#

VISCOSIDAD DINÁMICA O ABSOLUTA  Al considerar dos cuerpos en contacto, como es el caso de un objeto sobre una mesa, se observa que hay una fuerza resistente que se opone al movimiento relativo entre estos dos objetos. Esta fuerza se denomina fricción por deslizamiento y se debe a la interacción entre las moléculas de los dos cuerpos (cohesión), dependiendo de los materiales que los componen. uando un cuerpo se mueve a través de un fluido, las fuerzas de fricción est!n asociadas proporcionalmente a la velocidad de desplazamiento del cuerpo pero en sentido contrario y también a las fuerzas de fricción internas entre las diferentes capas del fluido que se mueven a diferentes velocidades. Esta fricción interna se denomina viscosidad. "a #i$ura %.&. representa una sustancia que se ha colocado entre dos placas paralelas muy pró'imas lo suficientemente lar$as para que puedan despreciarse las condiciones en los bordes. "a placa inferior est! fija y sobre la l!mina superior de !rea A, se aplica una fuerza e'terna # i$ual y contraria a la fuerza de rozamiento que ejerce el fluido sobre A, produciéndose una tensión de cortante #  A en la sustancia colocada entre las placas. i la fuerza #, a*n siendo peque+a hace mover el !rea superior con una velocidad constante, se concluye que la sustancia situada entre las l!minas es un fluido.

Figura 2.3. Deformación resultante de la aplicación de una fuerza de cortadura constante

uponiendo que el fluido contenido entre las placas est! compuesto por una serie de capas, se observa que la capa de fluido en contacto con la superficie A se adhiere a esta superficie y se mueve con ella, por lo que no hay nin$*n deslizamiento del fluido sobre la pared respecto a la superficie A. "ue$o, esta capa de fluido adyacente a A, que no desliza sino que se mueve con la misma velocidad con que se mueve A, arrastra a la capa de fluido que se encuentra inmediatamente debajo de ella. "a se$unda capa se mueve por efecto del movimiento de la primera capa, con una velocidad menor y arrastra en su movimiento a la capa si$uiente. Esto se ha comprobado e'perimentalmente en innumerables ensayos con varios tipos de fluidos y materiales en la pared. El fluido del volumen abcdefgh (en color azul) se mueve hasta ocupar una nueva posición abc´d´e´f´gh ( volumen color lila ) de manera que cada partcula fluida se mueve paralelamente a la l!mina siendo su dia$rama de velocidades una lnea recta ya que la separación t y la velocidad - no son muy $randes.

El dia$rama muestra la variación de la velocidad u desde u  / en la placa fija hasta u  - en la placa superior. "a e'periencia demuestra que si las otras ma$nitudes se mantienen constantes, # es directamente proporcional al !rea A y a la velocidad - e inversamente proporcional a la separación entre placas t, de manera que por tri!n$ulos semejantes0

(2.10)

siendo µ (1y), el factor de proporcionalidad que hace intervenir el efecto del fluido de que se trate llamada viscosidad din!mica o absoluta. omo la tensión o esfuerzo cortante es τ #A, resulta0

(2.11)

El término du  dy se conoce como $radiente de deformación an$ular pues la e'presión -  t representa la velocidad an$ular de la superficie aceh cuando ésta alcanza la posición ac’e’h o sea la disminución del !n$ulo cab a c´ab en la unidad de tiempo. "a velocidad an$ular e'presa la variación de la velocidad dividida en la distancia en la que se produce esta variación. omo se e'plicó anteriormente el $radiente de velocidad e'presa la velocidad de una capa de fluido que se mueve con relación a la si$uiente, por lo tanto la ecuación conocida como 2"ey de 3iscosidad de 4e5ton6es válida solamente para flujos de tipo laminar. "a noción de viscosidad y $radientes de velocidad a menudo se ilustra considerando un fluido adentro de una peque+a abertura entre dos cilindros concéntricos, como en la fi$ura %.&a. e requiere un par de torsión 1 para hacer $irar el cilindro interno a una velocidad rotatoria constante w   mientras que el cilindro e'terno permanece fijo. Esta resistencia a la rotación del cilindro es debida a la viscosidad. El *nico esfuerzo que e'iste para soportar el par de torsión aplicado en este flujo simple es un esfuerzo cortante, el cual obedece al $radiente de velocidad directamente.

donde du  dr es el $radiente de velocidad y u es la componente de velocidad tan$encial que depende sólo de r. 7ara una peque+a abertura ,  este $radiente puede ser representado de manera apro'imada suponiendo una distribución de velocidad lineal en la abertura. in embar$o si la separación no es peque+a con respecto a 8, la distribución de velocidad no ser! lineal. "a distribución tampoco ser! lineal con valores de w  relativamente peque+os. .As pues

donde h es el ancho de la abertura. 7or lo tanto se puede relacionar el par de torsión aplicado 1 con la viscosidad y los dem!s par!metros mediante la ecuación0 1  esfuerzo 9 !rea 9 brazo de palanca  t 9 %p8" 9 8 

.

E'presión en la que se ha omitido el esfuerzo cortante que act*a en los e'tremos del cilindro. "a velocidad rotatoria, se puede e'presar como0 rad  s, : (rad  s)  4 (rpm) ' %; 
"a unidad de viscosidad en el sistema técnico de unidades, es0 =$ s  m% ->1  m s En el sistema c.$.s, la unidad de viscosidad se llama el 7oise ? 7oise  ? dina s  cm%  ? $  cm s  /,/?/?@ =$ s  m% El centipoise es la centésima parte del poise. El a$ua a %/B tiene una viscosidad de ?,//% centipoises. "a unidad en el sistema in$lés es lb s  pieC  slu$  pie . s.

De acuerdo con la relación entre esfuerzo cortante y $radiente de velocidad, se pueden encontrar los si$uientes tipos de fluidos como se muestra en la fi$ura %.. os fluidos ne!tonianos se comportan de acuerdo con la ley F m (du  dy), o bien que la tensión cortante es proporcional al $radiente de velocidades o velocidad de deformación tan$encial. 7or tanto, para éstos fluidos, la $r!fica de la tensión cortante en función del $radiente de velocidades es una lnea recta que pasa por el ori$en. "a pendiente de esta recta determina la viscosidad. En  un fluido ideal la resistencia a la deformación cortante o tan$encial es nula, por lo que su $r!fica coincide con el eje de abscisas. Aunque los fluidos ideales no e'isten, en ciertos an!lisis est! justificado y es *til la hipótesis de fluido ideal. Es necesario tener en cuenta que un liquido perfecto no es viscoso y es incompresible, sin embar$o un $as perfecto tampoco es viscoso pero si es compresible.

"n sólido r#gido ideal bajo nin$*n estado de car$a sufre deformación y la $r!fica coincide con el eje y   de las ordenadas."os sólidos reales sufren siempre al$una deformación y dentro del lmite de proporcionalidad (ley de Goo=e), la $r!fica es una lnea recta casi vertical. Fluidos no $e!tonianos son materiales viscosos en los cuales el esfuerzo cortante est! relacionado con la tasa de corte (du  dy ). Al fluido no ne5toniano se le conoce como pseudopl!stico, porque con el incremento de la velocidad de deformación e'iste una disminución en la viscosidad efectiva. Es decir que al aumentar (du  dy) el lquido se adel$aza, es decir, disminuye su viscosidad. os materiales plásticos ideales pueden soportar cierta cantidad de esfuerzo cortante sin deformarse, y a partir de un cierto valor de aquél se deforman con una velocidad proporcional a la tensión cortante. Estos materiales no son sólidos ni fluidos.

Figura 2.%. &lasificación de los Fluidos seg'n la le de viscosidad de $e!ton

os fluidos dilatales tienen una viscosidad baja para razones de deformación peque+a por lo que fluyen f!cilmente y se comportan como sólidos cuando la razón de la deformación aumenta. os fluidos ti*otrópicos poseen una viscosidad que depende de la velocidad an$ular inmediatamente anterior y tiende a un cierto valor cuando la sustancia est! en reposo. Ejemplo0 tinta de imprenta.

Es importante considerar la temperatura en los fluidos ya que la viscosidad depende de ella. "os distintos comportamientos en los fluidos por causa de las variaciones de la temperatura pueden e'plicarse si se e'amina detenidamente las causas de la viscosidad, pues la resistencia a la tensión de cortadura de un fluido depende de su cohesión, y del $rado de transferencia de cantidades de movimiento en sus moléculas.  Al$unos efectos de la temperatura son los si$uientes0 En los $ases la viscosidad se incrementa con la temperatura a causa del aumento de la actividad molecular. "os $ases tienen fuerzas cohesivas peque+as. En los lquidos la viscosidad disminuye con la temperatura. "os lquidos tienen fuerzas cohesivas m!s $randes que los $ases y las moléculas m!s cercanas que las de éste. "as fuerzas de cohesión y la actividad molecular en lquidos y $ases son insensibles a la presión.