Unidad 2 Análisis de Circuitos en CA Reducción de circuitos serie paralelo Circuitos en Serie Las características de los circuitos en serie son: Los elementos están conectados como los eslabones de una cadena (el final de uno con el principio del otro). La salida de uno a la entrada del siguiente y así sucesivamente hasta cerrar el circuito. Veamos una bombilla y un timbre conectados en serie: Todos los elementos que se conectan en serie tienen la misma intensidad, o lo que es lo mismo, la misma intensidad recorre todos los elementos conectados en serie. Fíjate que la intensidad que sale de la pila es la misma que atraviesa cada receptor. It = I1 = I2 = I3 ...... La tensión total de los elementos conectados en serie es la suma de cada una de las tensiones en cada elemento: Vt = V1 + V2 + V3 .... La resistencia total de todos los receptores conectados en serie en la suma de la resistencia de cada receptor. Rt = R1 + R2 + R3 ….
Si un elemento de los conectados en serie deja de funcionar, los demás también. Date cuenta que, si por un elemento no circula corriente, al estar en serie con el resto, por los demás tampoco ya que por todos pasa la misma corriente o intensidad (es como si se cortara el circuito). Veamos cómo se resuelve un circuito en serie con 3 resistencias. Ejercicios de Circuitos en Serie Lo primero será calcular la resistencia total. Esta resistencia total también se llama resistencia equivalente, porque podemos sustituir todas las resistencias de los receptores en serie por una sola cuyo valor será el de la resistencia total. Fíjate en el circuito siguiente:
Rt = R1 + R2 + R3 = 10 + 5 + 15 = 30Ω. El circuito equivalente quedaría como el
de la derecha con una sola resistencia de 30 ohmios. Ahora podríamos calcular la Intensidad total del circuito. Según la ley de ohm: It = Vt/Rt = 6/30 = 0,2 A que resulta que como todas las intensidades en serie son iguales: It = I1 = I2 = I3 = 0,2A Todas valen 0,2 amperios. Ahora solo nos queda aplicar la ley de ohm en cada receptor para calcular la tensión en cada uno de ellos: V1 = I1 x R1 = 0,2 x 10 = 2V V2 = I2 x R2 = 0,2 x 5 = 1V V3 = I3 x R3 = 0,2 x 15 = 3V Ahora podríamos comprobar si efectivamente la suma de las tensiones es igual a la tensión total: Vt = V1 + V2 + V3 = 2 + 1 + 3 = 6 V Como ves resulta que es cierto, la suma es igual a la tensión total de la pila 6 Voltios. Recuerda: Para tener un circuito resuelto por completo es necesario que conozcas el valor de R, de I y de V del circuito total, y la de cada uno de los receptores. En este caso sería: Vt, It y Rt V1, I1 y R1
V2, I2 y R2 V3, I3 y R3 Como ves ya tenemos todos los datos del circuito, por lo tanto ¡Ya tenemos resuelto nuestro circuito en serie! Puede que nos pidan calcular las potencias en el circuito. En este caso sabiendo la fórmula la potencia que es: P=VxI Pt = Vt x It = 6 x 0,2 = 1,2w P1 = V1 x I1 = 2 x 0,2 = 0,4w P2 = V2 x I2 =1 x 0,2 = 0,2w P3 = V3 x I3 = 3 x 0,2 = 0,6w Fíjate que en el caso de las potencias la suma de las potencias de cada receptor siempre es igual a la potencia total (en serie y en paralelo) Pt = P1 + P2 + P3. Si no s piden la energía consumida en un tiempo determinado solo tendremos que aplicar la fórmula de la energía: E = P x t. Por ejemplo, vamos hacerlo para 2 horas. Et = Pt x t = 1,2 x 2 = 2,4 wh (vatios por hora). Si nos piden en Kwh (kilovatios por hora) antes de aplicar la fórmula tendremos que pasar los vatios de potencia a kilovatios dividiendo entre mil. Pt = 0,0012 x 2 = 0,0024Kwh También podríamos calcular la energía de cada receptor: E1 = P1 x t; E2 = P2 x t …, pero eso ya lo dejamos para que lo hagas tu solito.
Circuitos en Paralelo Las características de los circuitos en paralelo son: Los elementos tienen conectadas sus entradas a un mismo punto del circuito y sus salidas a otro mismo punto del circuito. Todos los elementos o receptores conectados en paralelo están a la misma tensión, por eso: Vt = V1 = V2 = V3 ….
La suma de la intensidad que pasa por cada una de los receptores es la intensidad total:
It = I1 + I2 + I3 ….
OJO no te confundas, si te fijas es al revés que en serie. La resistencia total o equivalente de los receptores conectados en paralelo se calcula con la siguiente fórmula:
= 1 1 1 1 1 + 2 + 3 + ⋯
Si un receptor deja de funcionar, los demás receptores siguen funcionando con normalidad. Este es el principal motivo por lo que la mayoría de los receptores se conectan en paralelo en las instalaciones. Vamos a calcular un circuito en paralelo. Ejercicios Circuitos en Paralelo
Podríamos seguir los mismos pasos que en serie, primero resistencia equivalente, luego la It, etc. En este caso vamos a seguir otros pasos y nos evitaremos tener que utilizar la fórmula de la resistencia total. Sabemos que todas las tensiones son iguales, por lo que: Vt = V1 = V2 = V3 = 5V; todas valen 5 voltios. Ahora calculamos la intensidad en cada receptor con la ley de ohm I = V / R. I1 = V1 / R1 = 5/10 = 0,5A I2 = V2 / R2 = 5/5 = 1A I3 = V3 / R3 = 5/15 = 0,33A La intensidad total del circuito será la suma de todas las de los receptores. It = I1 + I2 + I3 = 0,5 + 1 +0,33 = 1,83 Date cuenta que la I3 realmente es 0,333333333... por lo que cometeremos un pequeño error sumando solo 0,33, pero es tan pequeño que no pasa nada.
¿Nos falta algo para acabar de resolver el circuito? Pues NO, ¡Ya tenemos nuestro circuito en paralelo resuelto! ¿Fácil no? Repito que podríamos empezar por calcular Rt con la fórmula, pero es más rápido de esta forma. Si quieres puedes probar de la otra manera y verás que te dará lo mismo. Para calcular circuitos de 3 resistencias en circuito mixto (mezcla serie y paralelo), te recomendamos que vayas al siguiente enlace: Calculo de Circuitos Mixtos. Si quieres aprender a calcular circuitos en corriente alterna te dejamos este otro enlace: Circuitos Corriente Alterna. ANÁLISIS DE MALLAS Y NODOS Método general Fuentes de voltaje independientes Antes de analizar la aplicación del método a redes de ca, el lector deberá revisar primero las secciones apropiadas acerca de análisis de mallas en el capítulo 8, ya que el contenido de esta sección estará apegado a las conclusiones generales obtenidas en ese capítulo. El método general del análisis de mallas para fuentes independientes incluye la misma secuencia de pasos que aparece en el capítulo 8. De hecho, a lo largo de esta sección, el único cambio con respecto al caso de cd será sustituir la impedancia por la resistencia y la admitancia por la conductancia en el procedimiento general. 1. Asigne una corriente diferente en el sentido de las manecillas del reloj a cada lazo cerrado independiente de la red. No es absolutamente obligatorio seleccionar el sentido de las manecillas del reloj para cada corriente de lazo. Sin embargo, eso elimina la necesidad de tener que elegir una dirección para cada aplicación. Se puede elegir cualquier dirección para cada corriente de lazo sin pérdida de precisión siempre que los pasos restantes se sigan de forma adecuada. 2. Indique las polaridades dentro de cada lazo para cada impedancia según lo determine la dirección asumida de corriente de lazo para ese lazo. 3. Aplique la ley de voltaje de Kirchhoff alrededor de cada lazo cerrado en el sentido de las manecillas del reloj. Nuevamente, el sentido de las manecillas del reloj se elige para establecer uniformidad y prepararnos para el método de formato que sigue. A. Si una impedancia tiene dos o más corrientes asumidas a través de ella, la corriente total a través de esa impedancia será la corriente asumida del lazo en el que se esté aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff, más las corrientes asumidas de los otros lazos que pasan en la misma dirección, menos las corrientes asumidas que pasan en la dirección opuesta.
B. La polaridad de una fuente de voltaje no se ve afectada por la dirección de las corrientes de lazo asignadas. 4. Resuelva las ecuaciones lineales simultáneas resultantes para las corrientes de lazo asumidas. Tal como se indica, la técnica es aplicable para todas las redes con fuentes independientes o para redes con fuentes dependientes donde la variable de control no es parte de la red bajo análisis. Si la variable de control forma parte de la red que se analiza, deberá aplicarse un método que se describirá en breve. Fuentes de voltaje dependientes Para las fuentes de voltaje dependientes, el procedimiento se modifica de la siguiente forma: 1. Los pasos 1 y 2 serán los mismos que los aplicados para fuentes de voltaje independientes. 2. El paso 3 se modifica como sigue: trate cada fuente dependiente como una fuente independiente cuando se aplique la ley de voltaje de Kirchhoff a cada lazo independiente. Sin embargo, una vez escrita la ecuación, sustitúyala por la cantidad de control para asegurar que las incógnitas se limiten únicamente a las corrientes de malla elegidas. 3. El paso 4 no se modifica. Fuentes de corriente independientes Para fuentes de corriente independientes, el procedimiento se modifica de la siguiente forma: 1. Los pasos 1 y 2 son los mismos que los aplicados para fuentes independientes. 2. El paso 3 se modifica como sigue: trate cada fuente de corriente como un circuito abierto (recuerde la denominación de supermalla, y escriba las ecuaciones de malla para cada trayectoria independiente restante. Luego relacione las corrientes de malla seleccionadas con las fuentes dependientes para asegurar que las incógnitas de las ecuaciones finales estén limitadas sólo a las corrientes de malla. 3. El paso 4 no se modifica. Fuentes de corriente dependientes Para las fuentes de corriente dependientes, el procedimiento se modifica de la siguiente forma:
1. Los pasos 1 y 2 son los mismos que los aplicados para las fuentes independientes. 2. El paso 3 se modifica como sigue: el procedimiento es esencialmente el mismo que el aplicado para las fuentes de corriente independientes, excepto que ahora las fuentes dependientes deben ser definidas en términos de las corrientes de malla seleccionadas para asegurar que las ecuaciones finales tengan sólo corrientes de malla como las cantidades desconocidas. 3. El paso 4 no se modifica Método de formato El método de formato se presentó en la sección 8.8. Los pasos para aplicarlo se repiten aquí con modificaciones para su uso en circuitos de ca: 1. Asigne una corriente de lazo a cada lazo cerrado independiente (como en la sección anterior) en el sentido de las manecillas del reloj. 2. El número de ecuaciones requeridas será igual al número de lazos cerrados independientes elegidos. La columna 1 de cada ecuación estará formada simplemente por la suma de los valores de impedancia de aquellas impedancias a través de las cuales pasa la corriente de lazo de interés y multiplicando el resultado por esa corriente de lazo. 3. Ahora deberemos considerar los términos mutuos que siempre se restan de los términos localizados en la primera columna. Es posible tener más de un término mutuo si la corriente de lazo de interés tiene un elemento en común con más de una corriente de lazo diferente. Cada término mutuo será el producto de la impedancia mutua y la otra corriente de lazo que pasa a través del mismo elemento. 4. La columna a la derecha del signo de igualdad será la suma algebraica de las fuentes de voltaje en las cuales pasa la corriente de lazo de interés. Se asignan signos positivos a aquellas fuentes de voltaje que tienen una polaridad tal que la corriente de lazo pasa de la terminal negativa a la positiva. Los signos negativos se asignan a aquellos potenciales para los que aplica el caso contrario. 5. Resuelva las ecuaciones simultáneas resultantes para las corrientes de lazo deseadas. Tal como se enumera, esta técnica es aplicable en todas las redes con fuentes independientes o en redes con fuentes dependientes donde la variable de control
no es parte de la red bajo análisis. Si la variable de control forma parte de la red que se analiza, deberá tenerse cuidado adicional al aplicar los pasos anteriores. Solución con Mathcad Este ejemplo proporciona una excelente oportunidad para demostrar el poder de Mathcad. Primero se definen las impedancias y los parámetros para las ecuaciones que seguirán, como se muestra en la figura siguiente. Luego se ingresan los valores de aproximación, guess, de las corrientes de malla I1 e I2. La etiqueta Given deberá ingresarse seguida por las ecuaciones para la red. Observe que, en este ejemplo, no continuamos con el análisis sino hasta que la matriz está definida, trabajamos directamente a partir de las ecuaciones de red. Una vez que las ecuaciones se ingresaron de forma adecuada se ingresa Find (I1,I2). Luego, al seleccionar el signo de igual se obtendrá una matriz de una sola columna con los resultados en forma rectangular. La conversión a forma polar requiere definir una variable A, y solicitar entonces la magnitud y el ángulo utilizando las definiciones ingresadas antes en el listado y las barras de herramientas Calculator y Greek. El resultado para I2 será 1.274 A 86.94° lo cual es una coincidencia excelente con la solución teórica.
∠
Método general Fuentes independientes Antes de analizar la aplicación del método a las redes de ca, se sugiere efectuar una revisión de las secciones apropiadas sobre análisis de nodos en el capítulo 8 ya que el contenido de esta sección estará apegado a las conclusiones generales ahí obtenidas. Los pasos fundamentales son los siguientes: 1. Determine el número de nodos dentro de la red.
2. Elija un nodo de referencia e identifique cada nodo restante con un valor de voltaje con subíndice: V1 , V2 , etcétera. 3. Aplique la ley de corriente de Kirchhoff a cada nodo excepto al de referencia. Asuma que todas las corrientes desconocidas abandonan el nodo en cada aplicación de la ley de corriente de Kirchhoff. 4. Resuelva las ecuaciones resultantes para los voltajes nodales. Los ejemplos siguientes nos permitirán recordar y el método general para encontrar una solución de análisis de nodos. Fuentes de corriente dependientes Para las fuentes de corriente dependientes, el procedimiento se modifica de la siguiente forma: 1. Los pasos 1 y 2 son los mismos que los aplicados para las fuentes independientes. 2. El paso 3 se modifica como sigue: trate cada fuente de corriente dependiente como una fuente independiente cuando se aplique la ley de corriente de Kirchhoff a cada nodo definido. Sin embargo, una vez que las ecuaciones estén establecidas, sustituya la ecuación por la cantidad de control para asegurar que las incógnitas estén apegadas únicamente a los voltajes nodales seleccionados. 3. El paso 4 no se modifica. Fuentes de voltaje independientes entre nodos asignados Para las fuentes de voltaje independientes entre nodos asignados, el procedimiento se modifica de la siguiente forma: 1. Los pasos 1 y 2 son los mismos que los aplicados para fuentes independientes. 2. El paso 3 se modifica como sigue: trate cada fuente entre los nodos asignados como un corto circuito (recuerde la clasificación de súper nodo, y escriba las ecuaciones nodales para cada nodo independiente restante. Luego relacione los voltajes nodales seleccionados con la fuente de voltaje independiente para asegurar que las incógnitas de las ecuaciones finales estén apegadas únicamente a los voltajes nodales. 3. El paso 4 no se modifica. Fuentes de voltaje dependientes entre nodos asignados
Para las fuentes de voltaje dependientes entre nodos asignados, el procedimiento se modifica de la siguiente forma: 1. Los pasos 1 y 2 son los mismos que los aplicados para fuentes de voltaje independientes. 2. El paso 3 se modifica como sigue: el procedimiento es esencialmente el mismo que el aplicado para las fuentes de voltaje independientes, excepto que ahora las fuentes dependientes deberán definirse en términos de los voltajes nodales elegidos para asegurar que las ecuaciones finales sólo tengan voltajes nodales como sus cantidades desconocidas. 3. El paso 4 no se modifica. Método de formato Una inspección minuciosa de las ecuaciones mostrará que son las mismas que se obtendrían utilizando el método de formato presentado en el capítulo 8. Recuerde que el método requería que la fuente de voltaje se convirtiera primero a una fuente de corriente, pero la escritura de las ecuaciones era bastante directa y minimizaba cualquier probabilidad de error debido a un signo perdido o un término faltante. La secuencia de pasos requeridos para aplicar el método de formato es la siguiente: 1. Elija un nodo de referencia y asigne una etiqueta de voltaje con subíndice a los (N – 1) nodos independientes restantes de la red. 2. El número de ecuaciones requeridas para obtener una solución completa será igual al número de voltajes con subíndice (N – 1). La columna 1 de cada ecuación estará formada por la suma de admitancias ligadas al nodo de interés y multiplicando el resultado por el voltaje nodal con subíndice. 3. Los términos mutuos se restan siempre de los términos de la primera columna. Es posible tener más de un término mutuo si el voltaje nodal de interés tiene un elemento en común con otro voltaje nodal más. Cada término mutuo será el producto de la admitancia mutua y del otro voltaje nodal ligado con esa admitancia. 4. La columna a la derecha del signo de igualdad es la suma algebraica de las fuentes de corriente ligadas al nodo de interés. Se asigna un signo positivo a una fuente de corriente si ésta suministra corriente a un nodo, y un signo negativo si la fuente extrae corriente de un nodo.
5. Resuelva las ecuaciones simultáneas resultantes para los voltajes nodales deseados. Las recomendaciones presentadas para el análisis de mallas con respecto a las fuentes independientes y dependientes también son aplicables aquí. TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN El teorema de superposición, como los métodos del capítulo anterior, puede usarse para encontrar la solución a redes con dos o más fuentes que no están en serie o en paralelo. La más obvia ventaja de este método es que no requiere el uso de una técnica matemática como los determinantes para encontrar los voltajes o las corrientes requeridas. En vez de eso, cada fuente es tratada independientemente, y la suma algebraica se encuentra para determinar una cantidad particular desconocida de la red. El teorema de superposición establece lo siguiente: La corriente o el voltaje de un elemento en una red lineal bilateral es igual a la suma algebraica de las corrientes o voltajes producidos independientemente por cada fuente. Cuando se aplica el teorema, es posible considerar los efectos de dos fuentes al mismo tiempo y reducir el número de redes que se tienen por analizar, pero, en general,
Para considerar los efectos de cada fuente independientemente se requiere que las fuentes sean removidas y reemplazadas sin afectar el resultado final. Para remover una fuente de voltaje al aplicar este teorema, la diferencia en potencial entre las terminales de la fuente de voltaje debe hacerse igual a cero (corto circuito); remover una fuente de corriente requiere que sus terminales sean abiertas (circuito abierto). Cualquier resistencia o conductancia interna asociada con las fuentes desplazadas no es eliminada, pero, no obstante, debe ser considerada. En la siguiente figura se examinan las distintas sustituciones requeridas al remover una fuente ideal, y en la figura se analizan las sustituciones con fuentes prácticas que tienen cierta resistencia interna.
La corriente total a través de cualquier porción de la red es igual a la suma algebraica de las corrientes producidas independientemente por cada fuente. Esto es, para una red de dos fuentes, si la corriente producida por una fuente es en una dirección, mientras que la producida por la otra es en la dirección opuesta a través del mismo resistor, la corriente resultante es la diferencia de las dos y tiene la dirección de la mayor. Si las corrientes individuales van en la misma dirección, la corriente resultante es la suma de las dos en la dirección de cada corriente. Esta regla se cumple para el voltaje en una porción de una red determinada por polaridades, y su aplicación puede extenderse a redes con cualquier número de fuentes. El principio de superposición no es aplicable para el cálculo de la potencia ya que la pérdida de potencia en un resistor varía con el cuadrado (no lineal) de la corriente o del voltaje. Por ejemplo, la corriente a través del resistor R de la figura 9.3(a) es I1 debido a una fuente de una red de dos fuentes. La corriente por el mismo resistor debido a la otra fuente es I2 como se muestra en la figura 9.3(b). Aplicando el teorema de superposición, la corriente total por el resistor debido a ambas fuentes es IT, como se muestra en la figura 9.3(c) con:
= + La potencia entregada al resistor en la figura 9.3(a) es:
= mientras que la potencia entregada al mismo resistor en la figura 9.3(b) es:
=
Al suponer que la potencia total entregada en la figura 9 .3(c) puede obtenerse sumando simplemente la potencia entregada debida a cada fuente, se encontrará que:
= + = + = Sin embargo, esta relación final entre niveles de corriente es incorrecta, como puede demostrarse tomando la corriente total determinada por el teorema de superposición y elevándola al cuadrado como sigue:
= ( + )2 = + + 2 lo cual es diferente a la expresión obtenida a partir de la suma de niveles de potencia. En general, por tanto, la potencia total entregada a un elemento resistivo debe ser determinada usando la corriente total o el voltaje total en el elemento y no puede ser determinada por una simple suma de los niveles de potencia establecidos por cada fuente. TEOREMA DE THÉVENIN El teorema de Thévenin establece lo siguiente: Cualquier red de corriente directa lineal bilateral de dos terminales puede ser reemplazada por un circuito equivalente que conste de una fuente de voltaje y un resistor en serie, como se muestra en la figura 9.24. Por ejemplo, en la figura 9.25(a), la red dentro del recipiente tiene sólo dos terminales disponibles hacia el mundo exterior, rotuladas a y b. Es posible usar el teorema de Thévenin para reemplazar todo lo que hay en el recipiente con una fuente y un resistor, como se muestra en la figura 9.25(b), y mantener las mismas características en las terminales a y b. Esto es, de cualquier carga conectada a las terminales a y b, no se sabrá si está enganchada a la red de la figura 9.25(a) o a la de la figura 9.25(b). La carga recibirá la misma cantidad de corriente, voltaje y potencia desde cualquier configuración de la figura 9.25. Sin embargo, en todo el análisis que sigue, recuerde que: el circuito equivalente de Thévenin proporciona una equivalencia sólo en las terminales —la construcción interna y las características de la red original y la equivalente Thévenin son usualmente muy diferentes.
Para la red de la figura 9.25(a), el circuito equivalente de Thévenin puede encontrarse directamente por la simple combinación de las baterías y los resistores en serie. Observe la exacta similitud de la red de la figura 9.25(b) con la configuración Thévenin de la figura 9.24. El método descrito en seguida permitirá extender el procedimiento recién aplicado a configuraciones más complejas e incluso terminar con la relativamente sencilla red de la figura 9.24. En la mayoría de los casos, otros elementos estarán conectados a la derecha de las terminales a y b en la figura 9.25. Sin embargo, para aplicar el teorema, la red por ser reducida a la forma Thévenin equivalente debe ser aislada como se muestra en la figura 9.25, e identificar las dos terminales “sostenidas”. Una vez
determinado el apropiado circuito equivalente de Thévenin, el voltaje, la corriente, o las lecturas de resistencia entre las dos terminales “sostenidas” serán los
mismos si el original o el circuito equivalente de Thévenin están conectados a la izquierda de las terminales a y b en la figura 9.25. Cualquier carga conectada a la derecha de las terminales a y b de la figura 9.25 recibirá el mismo voltaje o corriente con cualquier red. Este teorema logra dos importantes objetivos. Primero, como fue cierto para todos los métodos descritos previamente, permite encontrar cualquier voltaje o corriente particular en una red lineal con una, dos o cualquier otro número de fuentes. Segundo, es posible concentrarse sobre una porción específica de una red reemplazando la red restante con un circuito equivalente. Por ejemplo, en la figura 9.26, al encontrar el circuito equivalente de Thévenin para la red que está en el área sombreada, es posible calcular rápidamente el cambio en corriente o voltaje en el resistor variable RL por los diversos valores que puede tomar.
Antes de examinar los pasos implicados en la aplicación de este teorema, es importante agregar algunas palabras a lo ya mencionado con el propósito de asegurar que las implicaciones del circuito equivalente de Thévenin queden claras. En la figura 9.26, toda la red, excepto RL, va a ser reemplazada por un solo resistor y una batería en serie, como se muestra en la figura 9.24. Los valores de esos dos elementos del circuito equivalente de Thévenin deben ser seleccionados para asegurar que el resistor RL reaccione a la red de la figura 9.26(a) de la misma manera que a la red de la figura 9.26(b). En otras palabras, la corriente o el voltaje en RL deben ser los mismos en cualquier red para cualquier valor de RL.
La siguiente secuencia de pasos conducirá al valor apropiado de RTh y ETh. Preliminares: 1. Retire aquella porción de la red a través de la cual el circuito equivalente de Thévenin va a ser encontrado. En la figura 9.26(a), esto requiere que el resistor de carga RL sea temporalmente retirado de la red. 2. Marque las terminales de la restante red de dos terminales. (La importancia de este paso resultará obvia conforme se progrese hasta redes más complejas.) RTh: 3. Calcule RTh estableciendo primero todas las fuentes en cero (las fuentes de voltaje son reemplazadas por corto circuitos, y las fuentes de corriente por circuitos abiertos) y encontrando luego la resistencia resultante entre las dos terminales marcadas. (Si la resistencia interna de las fuentes de voltaje y/o corriente es incluida en la red original, debe permanecer cuando las fuentes son puestas en cero.) 4. Calcule ETh devolviendo primero todas las fuentes a sus posiciones originales y encontrando el voltaje de circuito abierto entre las terminales marcadas. (Este paso es el que invariablemente conducirá a los mayores errores y confusión. En todos los casos, recuerde que es el potencial de circuito abierto entre las dos terminales marcadas en el paso 2.) Conclusión: 5. Trace el circuito equivalente de Thévenin con la porción del circuito previamente retirado reemplazado entre las terminales del circuito equivalente. Este paso está indicado por la colocación del resistor RL entre las terminales del circuito Thévenin equivalente, como se muestra en la figura 9.26(b). TEOREMA DE NORTON Fue demostrado en la sección 8.3 que toda fuente de voltaje con resistencia interna en serie tiene una fuente de corriente equivalente. La fuente de corriente equivalente de la red Thévenin (la cual, notará el lector, satisface las condiciones anteriores), como se muestra en la figura 9.58, puede ser determinada con el teorema de Norton. También puede encontrarse por medio de las conversiones. El teorema establece lo siguiente: Cualquier red de cd lineal bilateral de dos terminales puede ser reemplazada por un circuito equivalente que consista de una fuente de corriente y un resistor en paralelo, como se muestra en la figura 9.58. El análisis del teorema de Thévenin con respecto al circuito equivalente puede también ser aplicado al circuito equivalente de Norton. Los pasos que conducen a los valores apropiados de IN y RN se dan a continuación.
Preliminares: 1. Retire aquella porción de la red a través de la cual se encuentra el circuito equivalente de Norton. 2. Marque las terminales de la red de dos terminales restante. RN: 3. Calcule RN estableciendo primero todas las fuentes en cero (las fuentes de voltaje son reemplazadas por corto circuitos, y las fuentes de corriente por circuitos abiertos) y encontrando entonces la resistencia resultante entre las dos terminales marcadas. (Si la resistencia interna de las fuentes de voltaje y/o corriente se incluye en la red original, debe permanecer cuando las fuentes se establecen en cero.) Como RN = RTh, el procedimiento y el valor obtenido usando el enfoque descrito por el teorema de Thévenin determinará el valor apropiado de RN. 4. Calcule IN devolviendo primero todas las fuentes a su posición original y encontrando entonces la corriente en corto circuito entre las terminales marcadas. Es la misma corriente que sería medida por un amperímetro colocado entre las terminales marcadas. Conclusión: 5. Trace el circuito equivalente de Norton con la porción del circuito previamente retirado, reemplazada entre las terminales del circuito equivalente. Los circuitos Norton y Thévenin equivalentes también pueden encontrarse uno a partir del otro usando la transformación de fuente examinada antes en este capítulo y reproducida en la siguiente figura.
TEOREMA DE MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA Cuando una fuente o un circuito se conectan a una carga cualquiera es deseable que tal fuente o circuito pueda transmitir la mayor cantidad de potencia a la carga que la recibe. La Figura 6a muestra un equivalente de Thévenin de un circuito cualquiera (a la izquierda de AB) conectado a una carga cualquiera. Al conectar esta carga aparece un voltaje Vc y una corriente Ic entre los nodos A y B. Para determinar las condiciones en las cuales se presenta máxima transferencia de potencia de un circuito a otro vamos a considerar dos casos: el primero en el cual
solo hay una carga resistiva, y el segundo en el cual la carga puede tener elementos pasivos y activos.
Equivalente de Thevenin en un circuito cualquiera. Máxima transferencia de potencia con carga resistiva En el caso particular de que la carga sea una resistencia Rc (Figura 6b) tendremos: V_c=V_th R_c/(R_th+R_c ) V_c 〖(R〗 _c)=V_th (V_C^2)/R_C =V_th^2 R_c/ 〖(R_th+R_c)〗^2
Como se puede apreciar en la gráfica la potencia absorbida –que es una función cuadrática- alcanza un máximo. Este valor máximo se calcula derivando la potencia e igualando a cero, con lo cual se encuentra que la potencia tendrá un máximo cuando: R_th=R_c
de manera que para que haya máxima transferencia de potencia desde el circuito a la izquierda de AB (representado por su equivalente de Thévenin) se debe tener que la resistencia de la carga sea igual a la resistencia de Thévenin. Adicionalmente, dado que estás dos resistencias son iguales, por divisor de voltaje se tiene que el voltaje máximo en Vc es Vcmax es la mitad de Vth: V_c=V_th R_c/(R_th+R_c )=R_th/(R_th+R_th )=1/2 V_th V_c=1/2 V_th En este caso la potencia máxima transferida será: P_(c-max)=〖V_(C-max)^ 〗^2/R_C =〖(1/2 V_th^ ) 〗^2/R_th =(V_th^2)/ 〖4R〗 _th P_(c-max)=(V_th^2)/〖4R〗 _th
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MatLab CIRCUIT MAKER 2000 Programa para diseñar y crear circuitos electrónicos versión portable.
UNIDAD 3 POTENCIA ELECTRICA. 3.1 Potencia promedio en estado estacionario de un circuito RLC Una pregunta común es, ¿cómo puede un voltaje o corriente senoidal suministrar potencia a una carga sí parece que lo hace durante una parte de su ciclo y la retoma durante la parte negativa del ciclo senoidal? Las oscilaciones iguales por encima y por debajo del eje parecen sugerir que durante un ciclo completo no hay ninguna transferencia neta de potencia o energía. Sin embargo, como se mencionó en el capítulo anterior, hay una transferencia neta de potencia durante un ciclo completo porque se suministra potencia a la carga en cada instante del voltaje o corriente aplicados (excepto cuando cualquiera de ellos está cruzando el eje) independientemente de la dirección de la corriente o la polaridad del voltaje. Para demostrar esto, considere la configuración relativamente simple en la figura que se muestra a continuación, donde un voltaje senoidal pico de 8 V se aplica a través de un resistor de 2 Ω. Cuando el voltaje está en su pico positivo, la potencia suministrada en ese instante es de 32 W, como se muestra en la figura. En el punto medio de 4 V, la potencia instantánea suministrada se reduce a 8 W; cuando el voltaje cruza el eje, se reduce a 0 W. Sin embargo, observe que cuando el voltaje aplicado está en su pico negativo, la c orriente puede invertirse, pero en ese instante se siguen suministrando 32 W al resistor.
En suma, por tanto, aun cuando la corriente que fluye y el voltaje que cruza cambian de dirección y polaridad, respectivamente, se suministra potencia a la carga resistiva en cada instante. Si trazamos la potencia suministrada durante un ciclo completo, obtenemos la curva de la siguiente figura. Observe que el voltaje aplicado y la corriente resultante están en fase y su frecuencia es dos veces la frecuencia de la curva de potencia. Durante un ciclo completo del voltaje aplicado con un periodo T, el nivel de potencia alcanza su valor máximo en cada pulso de la forma de onda senoidal. El hecho de que la curva de potencia aparezca siempre por encima del eje horizontal revela que se está suministrando potencia a la carga en cada instante del voltaje senoidal aplicado. Cualquier parte de la curva de potencia por debajo del eje revela que la potencia está regresando a la fuente. El valor promedio de la curva de potencia ocurre a un nivel igual a como se muestra en la siguiente figura.
/2
Este nivel de potencia se llama nivel promedio o nivel de potencia real. Establece un nivel particular de transferencia de potencia durante el ciclo completo, de modo que no tenemos que determinar el nivel de potencia a aplicar a una cantidad que varía senoidalmente. Si sustituimos la ecuación del valor pico en función del valor rms como
( 2)(√ 2) 2 = 2 = = 2 2
Vemos que la potencia promedio o real suministrada a un resistor adopta la siguiente forma muy conveniente:
= 3.2 Potencia monofásica compleja, activa, reactiva y aparente En el supuesto de que el circuito estuviera formado por elementos resistivos puros, procederíamos igual que si se tratara de un circuito de corriente continua. Para los casos en que nuestro circuito esté constituido por impedancias Z, no es suficiente con conocer la tensión y la intensidad, pues como bien sabemos a estas alturas del curso existe un desfase entre ambas y la potencia depende de él. Así pues, conviene recordar las potencias que se dan en un circuito de corriente alterna:
Potencia aparente: S=V*I
Potencia activa: P=V*I*sen α Potencia reactiva: Q=V*I*sen α
3.3 Triangulo de potencias. Te recordamos, que al igual que en cualquier otro triángulo rectángulo podemos aplicar Pitágoras:
= √ + = √ −
Para finalizar este recordatorio, diremos que la potencia activa P, se medía en watios W; la potencia aparente S, en voltamperios VA y la potencia reactiva Q, en voltamperios reactivos VAr, pudiendo utilizar múltiplos (K = kilo = 103) si las cantidades son elevadas. 3.4 Definición de factor de potencia y corrección del factor de potencia Factor de potencia es la relación entre la energía que se convierte en trabajo y la energía eléctrica que un circuito o dispositivo se consume. En otras palabras: es el cociente entre el voltaje total aplicado a un circuito y el voltaje en la parte resistiva del mismo. También se llama factor de potencia al:
Coseno del ángulo (cos0) entre los vectores de potencia aparente y potencia real. Coseno del ángulo (cos0) entre los vectores de Impedancia y resistencial.
La potencia en corriente alterna, consumida por una un circuito con elementos resistivos (resistencias) y reactivos (condensadores y/o inductores) se puede obtener con las siguientes fórmulas:
= ∗ ∗ ( ) = ∗ ∗( ) Nota: RMS se refiere a valores efectivos. Ver: Valor RMS, Valor Pico, Valor Promedio Ver en el diagrama el circuito y el correspondiente diagrama fasorial. (a pesar de que el diagrama representa un valor inductivo, el procedimiento es válido en sentido general) 3.5 Introducción a los Armónicos y sus efectos. En un sistema de potencia eléctrica, los aparatos y equipos que se conectan a él, tanto por la propia empresa como por los clientes, están diseñados para operar a 50 ó 60 ciclos, con una tensión y corriente sinusoidal. Por diferentes razones, se puede presentar un flujo eléctrico a otras frecuencias de 50 ó 60 ciclos sobre algunas partes del sistema de potencia o dentro de la instalación de un usuario. La forma de onda existente está compuesta por un número de ondas sinusoidales de diferentes frecuencias, incluyendo una referida a la frecuencia fundamental. En la figura que se muestra a continuación se observa la descomposición de una onda distorsionada en una onda sinusoidal a la frecuencia fundamental (60 Hz) más una onda de frecuencia distinta. El término componente armónico o simplemente armónico, se refiere a cualquiera de las componentes sinusoidales mencionadas previamente, la cual es múltiplo de la fundamental. La amplitud de los armónicos es generalmente expresada en porciento de la fundamental.
Descomposición de una onda distorsionada. Los armónicos se definen habitualmente con los dos datos más importantes que les caracterizan, que son: su amplitud: hace referencia al valor de la tensión o intensidad del armónico, su orden: hace referencia al valor de su frecuencia
referido a la fundamental (60 Hz). Así, un armónico de orden 3 tiene una frecuencia 3 veces superior a la fundamental, es decir 3 * 60 Hz = 180 Hz. El orden el armónico, también referido como el rango del armónico, es la razón entre la frecuencia de un armónico fn y la frecuencia del fundamental (60 Hz).
= Cualquier fenómeno periódico puede ser representado por una serie de Fourier: Este cálculo permite intuir uno de los principales efectos de los armónicos que es el aumento de la intensidad eficaz que atraviesa una instalación debido a las componentes armónicas que lleva asociada una onda distorsionada. El porciento de armónico y la distorsión total armónica cuantifican la disturbancia armónica que puede existir en una red de suministro eléctrico. La tasa de armónicos o por ciento de armónicos, expresa la magnitud de cada armónico con respecto a la fundamental. La distorsión total armónica (THD), cuantifica el efecto térmico de todos los armónicos. La CIGRE propone la siguiente expresión para el cálculo de esta magnitud:
