Instituto Tecnológico Superior De Acayucan MATERIA:
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SEMESTRE: 4°to cuarto
Índice 3.1 Fundamentos y Evaluación de las condiciones iniciales en los elementos de los circuitos RL y RC
3.2 Función escalón, rampa, impulso, compuerta y exponencial
3.3 Respuesta natural y forzada de circuitos RL y RC
3.4 Representación gráfica de las respuestas
3.5 Aplicación de software
INTRODUCCION
Para comenzar hablando acerca de lo que vimos en esta unidad tenemos que viajar un poco a lo ya visto, un ejemplo de ello es hablar sobre la fundamentos y evaluación de las condiciones iniciales en los elementos de los circuito RL Y RC RL son aquellos que contienen una bobina que tiene auto inductancia, esto quiere circuito puesto que se considera mucho menor a la del inductor capacitancia y sus propiedades, asi como también sobre lo que constituyen e los tipos de circuitos (en serie y paralelo). De nueva cuenta aprendimos a cómo resolver circuitos de dos mayas por el método de ohm y Thevenin, diciendo que si las resistencias son del mismo valor, deberemos tomar la mitad de ellas como referencia. Las cuales mediante la suma de las resistencias deberemos dividirlas entre la sumas de las otras resistencias. Aprendimos acerca de cómo poder medir el voltaje en un protoboard de un circuito, para realizar el análisis te cada resistencia para poder obtener un resultado de aplicación del voltaje. De esta forma aprendemos a como calcular de manera correcta la intensidad de cada resistencia, el voltaje de aplicación.
Los circuitos RL son aquellos que contienen una bobina (inductor) que tiene auto inductancia, esto quiere circuito puesto que se considera mucho menor a la del inductor. Decir que evita cambios instantáneos en la corriente. Siempre se desprecia la auto-inductancia en el resto del circuito puesto que se considera mucho menor a la del inductor. Para un tiempo igual a cero, la corriente comenzará a crecer y el inductor producirá igualmente una fuerza electromotriz en sentido contrario, lo cual hará que la corriente no aumente. A esto se le conoce como fuerza contra electromotriz. Esta fem está dada por: V = -L (inductancia) dI/dt Debido a que la corriente aumentará con el tiempo, el cambio será positivo (dI/dt) y la tensión será negativa al haber una caída de la misma en el inductor. Según Kirchhoff: V = (IR) + [L (dI / dt)] IR = Caída de voltaje a través de la resistencia. Esta es una ecuación diferencial y se puede hacer la sustitución: x = (V/R) – I es decir; dx = -dI Sustituyendo en la ecuación: x + [(L/R) (dx/dt)] = 0 dx/x = - (R/L) dt Integrando: ln (x/xo) = -(R/L) t Despejando x: x = xo e –Rt / L Debido a que xo = V/R El tiempo es cero Y corriente cero V/R – I = V/R e –Rt / L I = (V/R) (1 - e –Rt / L) El tiempo del circuito está representado por t = L/R I = (V/R) (1 – e – 1/t) Donde para un tiempo infinito, á I = V/R. Y se puede considerar entonces el cambio de la corriente en el tiempo como cero. Para verificar la ecuación que implica a t y a I, se deriva una vez y se reemplaza en la inicial: dI/dt = V/L e – 1/t
Se sustituye: V = (IR) + [L (dI / dt)] V = [(V/R) (1 – e – 1/t) R + (L V/ L e – 1/t)] V – V e – 1/t = V – V e – 1/t CIRCUITOS RC
Los circuitos RC son circuitos que están compuestos por una resistencia y un condensador. Se caracteriza por que la corriente puede variar con el tiempo. Cuando el tiempo es igual a cero, el condensador está descargado, en el momento que empieza a correr el tiempo, el condensador comienza a cargarse ya que hay una corriente en el circuito. Debido al espacio entre las placas del condensador, en el circuito no circula corriente, es por eso que se utiliza una resistencia. Cuando el condensador se carga completamente, la corriente en el circuito es igual a cero. La segunda regla de Kirchhoff dice: V = (IR) - (q/C) Donde q/C es la diferencia de potencial en el condensador. En un tiempo igual a cero, la corriente será: I = V/R cuando el condensador no se ha cargado. Cuando el condensador se ha cargado completamente, la Corriente es cero y la carga será igual a: Q = CV La figura ilustra un ejemplo de un circuito resistor-capacitor, o circuito RC
3. Carga de un capacitor Si cargamos al capacitor de la figura siguiente al poner el interruptor Sen la posición a. ¡ Que corriente se crea en el circuito cerrado resultante?, aplicando el principio de conservación de energía tenemos:
En el tiempo dt una carga dq (=i dt) pasa a través de cualquier sección transversal del circuito. El trabajo (= Є dq) efectuado por la fem debe ser igual a la energía interna (i2 Rdt) producida en el resistor durante el tiempo dt, más el incremento dU en la cantidad de energía U (=q 2/2C) que esta almacenada en el capacitor. La conservación de la energía da: 2 2 + q /2C Є dq = i Rdt + q/c dq Є dq = i 2 Rdt Al dividir entre dt se tiene: + q/c dq/dt Є dq / dt = i 2 Rdt Puesto que q es la carga en la placa superior, la i positiva significa dq/dt positiva. Con i = dq/dt, esta ecuación se convierte en : Є = i Rdt + q/c La ecuación se deduce también del teorema del circuito cerrado, como debe ser puesto que el teorema del circuito cerrado se obtuvo a partir del principio de conservación de energía. Comenzando desde el punto xy rodeando al circuito en el sentido de las manecillas del reloj, experimenta un aumento en potencial, al pasar por la fuente fem y una disminución al pasar por el resistor y el capacitor , o sea : -i R q/c = 0 Є La cual es idéntica a la ecuación Є = i Rdt + q/c sustituimos primero por i por dq/dt, lo cual da: Є = R dq / dt + q/c Podemos reescribir esta ecuación así: dq / q dt / RC Є C = Si se integra este resultado para el caso en que q = 0 en t= 0, obtenemos: (despejando q), -t/RC e ) q= C Є ( 1 – Se puede comprobar que esta función q (t) es realmente una solución de la ecuación Є = R dq / dt + q/c , sustituyendo en dicha ecuación y viendo si se obtiene una identidad . Al derivar la ecuación q= C Є ( 1 – e-t/RC) con respecto al tiempo da:
i = dq = Є e -t/RC dt R -t/RC -t/RC En las ecuaciones q= C Є ( 1 – e la cantidad RC tiene ) y i = dq = Є e dt R las dimensiones de tiempo porque el exponente debe ser adimensional y se llama constante capacitiva circuito de tiempo τ C del RC τ C= Es el tiempo en que ha aumentado la carga en el capacitor en un factor 1- e -1 (~63%) de su valor final C Є , Para demostrar esto ponemos t = τ C = RC en la ecuación q= e-t/RC) para obtener: C Є ( 1 – -1 q= C Є ( 1 – e ) = 0.63 C Є
Grafica para el circuito
Corriente i y carga del capacitor q. La corriente inicial es Io y la carga inicial en el capacitor es cero. La corriente se aproxima asintóticamente a cero y la carga del capacitor tiende asintóticamente a su valor final Qf. Grafica para los valores Є= 10v, R= 2000 Ώ y C= 1 μ F
Esta figura en la parte a muestra que si un circuito se incluye una resistencia junto con un capacitor que está siendo cargado, el aumento de carga en el capacitor hacia su valor límite se retrasa durante su tiempo caracterizado por la constant e de tiempo RC. Si un resistor presente (RC=0), la carga llegaría inmediatamente hacia su valor límite.
También en la parte a como se indica por la diferencia de potencial V c, la carga aumente con el tiempo durante el proceso de carga y V c tiende la valor de la fem Є. El tiempo se mide en el momento en que el interruptores conecta en a para t= 0. En la parte b de la figura La diferencia de potencial en el resistor disminuye con el tiempo, tendiendo a 0 en tiempos posteriores porque la corriente cae a cero una vez que el capacitor está totalmente cargado. Las curvas esta dibujadas para el caso Є= 10v, R= 2000 Ώ y C= 1 μ F. Los triángulos negros representan las constantes de tiempos sucesivas.
DESCARGA DE UN CONDENSADOR Debido a que la diferencia de potencial en el condensador es IR = q/C, la razón de cambio de carga en el condensador determinará la corriente en el circuito, por lo tanto, la ecuación que resulte de la relación entre el cambio de la cantidad de carga dependiendo del cambio en el tiempo y la corriente en el circuito, estará dada remplazando I = dq/dt en la ecuación de diferencia de potencial en el condensador: q = Q e -t/RC Donde Q es la carga máxima La corriente en función del tiempo entonces, resultará al derivar esta ecuación respecto al tiempo: I = Q/ (RC) e -t/RC Se puede concluir entonces, que la corriente y la carga decaen de forma exponencial.
La Función Escalón Unitario. Esta función se representa mediante el símbolo u (t) y se define de la siguiente manera: Su valor es igual a uno para todo tiempo mayor que cero e igual a cero para todo tiempo menor que cero, tal como se expresa en la siguiente ecuación:
La representación gráfica de esta función se muestra en la Figura.
Función Escalón Unitario. En el instante en que el argumento es igual a cero la función no está definida. Algunos autores consideran que el valor correspondiente a dicho punto es 0, otros le asignan 1, y otros 1/2. Cualquier voltaje o corriente que se conecta en un instante de tiempo determinado puede describirse utilizando la Función Escalón Unitario. La definición puede generalizarse para representar eventos que ocurren en un instante de tiempo distinto de cero y cuya magnitud difiere de la unidad. Así por ejemplo, la función mostrada en la figura se puede escribir matemáticamente como: f1 (t) = 5 u (t - t1)
Esta función es igual a cero mientras el argumento de la misma, (t - t1), es menor que cero, y toma un valor igual a la unidad multiplicada por el factor que le precede (5 en este caso) cuando el argumento es mayor que cero. En forma similar, la función representada en la figura puede escribirse como: f2 (t) = 8 u (t + t2) (4.3)
La función representada en la Figura c tiene la siguiente expresión matemática: f3 (t) = 3 u (2 - t) (4.4)
Y la función representada en la Figura 4.2.d puede expresarse como: f4 (t) = -5 u (-3 - t)
Esta función se representa mediante el símbolo r (t) y se define de la siguiente manera: Su valor es igual a t para todo tiempo mayor que cero e igual a cero para todo tiempo menor que cero, tal como se expresa en la siguiente ecuación:
Esta función puede expresarse matemáticamente de la siguiente forma: R (t) = t u (t)
La representación gráfica de esta función se muestra en la Figura 4.4.a. Al igual que la Función Escalón Unitario, r (t) puede generalizarse modificando apropiadamente sus variables para representar cualquier rampa que comience en un tiempo arbitrario t0 y tenga una pendiente arbitraria K, tal como se muestra en la Figura 4.4.b. La ecuación matemática de esta última función es: f6 (t) = K (t - t0) u (t- t0) = K r (t- t0)
Puede comprobarse tanto matemática como gráficamente que la Función Rampa es la integral de la función Escalón Unitario, esto es:
La Función Impulso Unitario. Para definir esta función se va a considerar que se tiene una función pulso fp (t) de forma rectangular y área igual a la unidad, cuya duración es e y cuya amplitud es 1/e, tal como se muestra en la Figura 4.5.a. Al hacer tender e a cero, el pulso se hace cada vez más estrecho y más alto, hasta que en el límite se tiene un Impulso Unitario , de ancho igual a cero y magnitud infinita, pero cuya área es igual a la unidad. La Figura 4.5.b es la representación gráfica de la Función Impulso Unitario. Para expresar matemáticamente esta función se utiliza el símbolo d (t), y de acuerdo con la definición dada, para toda constante positiva a se debe cumplir:
Definición de la Función Impulso Unitario. La Función Impulso Unitario es la derivada de la Función Escalón Unitario. Para comprobar esta afirmación puede utilizarse la función up (t) mostrada en la Figura 4.6.a, en la que el cambio del valor 0 al valor 1 ocurre en un tiempo finito igual a e.
Deducción de la relación entre la Función Escalón Unitario y la Función Impulso.
En muchos circuitos eléctricos existen voltajes y corrientes que pueden representarse matemáticamente utilizando la Función exponencial, cuya representación gráfica es la mostrada en la Figura 4.9 y cuya expresión matemática se obtiene elevando el número base de los logaritmos naturales, e, a una potencia proporcional al tiempo, como se indica a continuación: f9 (t) = A e - at u (t)
Por lo general es necesario incluir la Función u (t) en la expresión matemática de las funciones que se obtienen en la práctica, porque al igual que la de la Figura 4.9, dichas funciones son nulas para todo tiempo menor que cero, (instante en el que se conecta la fuente del circuito).
Función Exponencial. El valor de t para el cual el exponente de la función es igual a -1 se conoce como la constante de tiempo del circuito eléctrico, y se representa frecuentemente con la letra griega t. Se acostumbra a considerar que la función exponencial alcanza su valor final en 5 constantes de tiempo. Asimismo se tiene:
3.3 respuesta natural y forzada de circuitos RC y RL El circuito consta de un resistor, un inductor , una fuente de voltaje de corriente directa, un interruptor normalmente abierto que aplica la fuente súbitamente en t =0. El inductor podría tener una energía inicial almacenada antes de cerrar el interruptor, por lo que se puede pensar en el como una fuente de corriente. Como el interruptor está abierto antes de t=0, la corriente a través del circuito vale cero por lo que se sustituye la fuente Vs y el interruptor SW normalmente abierto por una fuente de voltaje escalón de la forma
Esta fuente escalón tampoco produce respuesta antes de t=0.
Esto significa que descargamos la bobina para asegurar que no hay energía almacenada antes de cerrar el interruptor. El circuito con la fuente de voltaje escalón es:
Solución:
Primero obtenemos la respuesta para t<0 y luego para t>0. En t<0 el interruptor está abierto.
En t>0 el interruptor está cerrado.
Ahora vamos a separar las variables corriente y tiempo para hallar la respuesta i (t):
Integramos a ambos lados de forma indefinida:
Ambas integrales arrojan una constante que podemos agrupar en una sola constante k:
Calculamos la constante a partir de la condición inicial:
Para ver el efecto de la corriente inicial en la ecuación no la haremos cero hasta el final
De aquí despejamos i:
Tomando exponencial a ambos lados:
Vemos que la corriente inicial afecta la amplitud del término exponencial. La bobina es una fuente exponencial que se agota con el tiempo. Ahora hacemos cero la corriente inicial:
Esta es la solución buscada pero no se ha obtenido de la forma más simple .
Para establecer un método más directo analizaremos los dos términos de la respuesta.
Análisis de la respuesta: primer término
Si la fuente es un voltaje escalón la respuesta es un término constante diferente de cero. El circuito se comporta como un resistor y un inductor en serie con una batería, por lo que fluye una corriente directa Vs/R, ya que el inductor se comporta como un cortocircuito.
Esta corriente es parte de la respuesta debida directamente a la función de excitación y recibe el nombre de respuesta forzada.
La respuesta forzada es la solución de un CIRCUITO DE CORRIENTE DIRECTA, donde la fuente es una fuente de VOLTAJE constante, no dependiente del tiempo. La respuesta forzada es la respuesta que está presente mucho tiempo después de que se ha cerrado el interruptor.
La respuesta forzada tiene las características de la función de excitación, y se calcula suponiendo que todos los interruptores fueron cerrados hace mucho tiempo, de tal forma que la respuesta natural ha desaparecido.
Análisis de la respuesta: segundo término
Si la corriente inicial es cero, el término exponencial es un exponencial negativo que tiende a cero conforme t aumenta y la energía se disipa gradualmente. El término exponencial está caracterizado por la constante de tiempo L/R. Es una respuesta que depende de las características del circuito, es decir, del resistor, del inductor y de la fuente. Además, se supone que el inductor está descargado inicialmente. El término exponencial tiene la forma funcional que corresponde a la respuesta natural del circuito RL libre de fuentes.
La respuesta natural se puede calcular tomando en cuenta sólo el circuito sin fuentes, y su amplitud depende de la amplitud inicial de la fuente y de la condición inicial.
Respuesta completa Circuito RL serie con aplicación súbita de fuentes de C.C.
3.4 representación gráfica de las respuestas
Practica
REPORTET E M A : REALISAR
EN EL SOFTWARE UN CIRCUITO RL Y RC
MA TE R IA L E S :
Una computadora Un Simulador para circuitos eléctricos
PROCEDIMIENTO: o
o o
o
o
Instalar en tu computadora un software para realizar el análisis y solución del circuito eléctrico. Indagar en el programa para conocer sus factores de realización. Una vez ya que conozcas el programa realizar el circuito eléctrico en tu simulador de circuitos. Iniciamos con el Primer Circuito RL que va está compuesta de una Resistencia, un Inductor, una Fuente de Alimentación y un Interruptor. El Segundo Circuito RC va está compuesta de una Resistencia, un Capacitor, una Fuente de Alimentación y un Interruptor.
EXPLICACION:
En el circuito RL, que está compuesta por Resistencias, un Inductor y un Interruptor que de acuerdo al T=0 se realizó el cálculo de la resistencia así mismo se obtuvo mediante se ponía en CORTO CIRCUITO y sacar una resistencia total donde aplico una formular
En el circuito RC, está compuesta por Resistencias, un Capacitor y un Interruptor para saber si el circuito está en corte respecto al tiempo. Así que para poder realizar el circuito se tomó el condensador como en CORTO CIRCUITO y sacar un resistencia total y por ultimo aplicar la fórmula para el circuito RC
CONCLUCION:
Hemos llevado a cabo mediante un software el análisis y solución de circuito RL Y RC así mismo aumentado nuestros conocimientos como realizar un circuito en un simulador. Y comprobar la teoría con lo práctico sin llevarlo a cabo teóricamente hay varia gama de software pero dependiendo a tu necesidad elegir el programa adecuado.
INTEGRANTES. GUILLERMO LOMA MENDEZ SERGIO VENTURA PEREZ CRISTIAN CRUZ CONTRERAS JULIO CESAR MORA JORGE LUIS MARTINES HELEODORO EMMANUEL OLMEDO MEZA
CIRCUITO RL
CIRCUITO RC
Tarea
Conclusión
De nueva cuenta aprendimos a cómo un ejemplo de ello es hablar sobre la fundamentos y evaluación de las condiciones iniciales en los elementos de los circuito RL Y RC RL son aquellos que contienen una bobina que tiene auto inductancia, esto quiere circuito puesto que se considera mucho menor a la del inductor capacitancia y sus propiedades, asi como también sobre lo que constituyen e los tipos de circuitos resolver circuitos de dos mayas por el método de ohm y Thevenin, diciendo que si las resistencias son del mismo valor, deberemos tomar la mitad de ellas como referencia. Las cuales mediante la suma de las resistencias deberemos dividirlas entre la sumas de las otras resistencias Los divisores de voltaje y corriente son muy útiles para solucionar necesidades en los circuitos eléctricos en puntos donde se necesite determinado valor de voltaje o corriente. Teniendo en cuenta las leyes de voltajes y corrientes de Kirchhoff se puede realizar fácilmente el análisis de un circuito eléctrico. Se logra ver la aplicación de la ley de Ohm en circuitos resistivos. Al hacer la prueba de cualquier circuito en el simulador nos da una idea del resultado real del mismo. Hasta ahora hemos introducido los campos eléctrico y magnético y hemos visto que las fuerzas eléctrica y magnética, como cualquier fuerza, presentan una energía asociada. Más adelante hemos visto, en las leyes de Maxwell, que existe una estrecha interrelación entre las dos interacciones de manera que en realidad lo que tenemos es un campo electromagnético, conocimos los tipos de circuitos en serie y paralelo, a cómo resolver problemas con doble y triple intensidades
Bibliografía Instalaciones residenciales; Luis Flower Leiva, Instituto San Pablo Apóstol, Tercera edición, 1994 Introducción al análisis de circuitos; Robert L. Boylestad, Pearson Prentice Hall, Décima edición, 2004 http://www.comunidadelectronicos.com http://es.wikipedia.org/wiki/Divisor_de_tensi%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Divisor_de_corriente
