Matemática D y D1
MATEMÁTICA D y D1
Módulo I: Análisis de Variable Compleja
Unidad 0
Números Complejos Mag. María Inés Baragatti
♦
Números complejos. Generalidades
♦ Un número complejo es un par ordenado de números reales (a,b) Comúnmente utilizamos la letra z para indicar un complejo y escribimos:
z = (a,b)
♦ El conjunto de todos los números complejos lo designamos con la letra C. ♦ La primera componente del complejo z = (a,b) se denomina componente real de z y la indicamos: a = Re(z)
parte real de z
♦ La segunda componente del complejo z = (a,b) se denomina parte componente imaginaria de z y la indicamos: b = Im(z)
imaginaria de z o
♦ Si la primera componente de un complejo es igual a cero , es decir z = que z es un número imaginario puro. ♦ El complejo z puede representarse como un punto del plano de coordenadas (a,b) o como un vector de componentes (a,b).
(0,b) decimos que
y
z
b a
♦
o
x
Igualdad de números complejos
Dos números complejos z1 = (a1,b1) y y sus partes imaginarias.
z2 = (a2,b2) son iguales si coinciden sus partes reales
Simbólicamente escribimos :
z1 = z2 ⇔ [Re (z1) = Re (z2) y Im(z1) = Im (z 2)] ⇔ [a1 = a1 y b1 =b2] 1
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∆ Actividad 1: Dados los complejos z1 = (3t -2 , 4s +7) y z1 = reales, hallar los valores de s y t para que z1 = z2
(4s -2t , s + t ) siendo s y t dos números
Suma y producto de complejos
♦
Dados los complejos z1 = producto entre ellos como:
(a, b) y z2 = (c, d) , se definen las operaciones de suma y
z1 + z2 = (a , b) + (c , d) = (a + c , b + d) z1 . z2 = (a , b) . (c , d) = (ac – bd , ad + bc) ⊕
Observaciones:
1- La suma y producto de dos números complejos también son números complejos. 2 - El complejo (0,0) es el elemento neutro de la suma pues
(a,b) + (0.0) = (a,b)
3- El complejo (1,0) es el elemento neutro del producto pues (a,b) . (1.0) = (a,b) 4-
z1 + z2
y
La suma de complejos equivale a la suma de sus componentes, por ello se comporta como una suma vectorial.
z1
z2
z1 + z2 = (a , b) + (c , d) = (a + c , b + d) x
5- Los números complejos con parte imaginaria nula se comportan como los números reales pues, aplicando las definiciones de suma y producto, se observa que :
(a , 0) + (c , 0) = (a + c , 0) y
(a , 0) . (c , 0) = (ac , 0)
cuyos resultados se obtienen sumando o multiplicando sus partes reales. Por esta razón es conveniente considerar el sistema de números reales como un caso particular del sistema de números complejos y convenimos en identificar al complejo (a,0) con el número real a 0 = (0,0) , 1 = (1,0) , -1 = (-1,0) y escribimos a = (a,0). Por ejemplo:
∆ Actividad 2: Justificar que las operaciones de suma y producto de complejos gozan de las siguientes propiedades :
conmutativa:
z1 + z2 = z2 + z1
z1.z2 = z2.z1 2
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asociativa : [z1 + z2 ]+ z3 = z1 + [z2 + z3] distributiva del producto respecto a la suma :
♦
[z1.z2 ]. z3 = z1 . [z2 . z3] [z1 + z2] . z3 = z1 . z3 + z2 . z3
Unidad imaginaria
El número complejo (0,1) se representa por Escribimos :
i y se denomina unidad imaginaria.
i = (0,1)
∆ Actividad 3: a) Calcular
i2 = i . i = …… y completar el recuadro
b) Calcular
i3 = i2 . i
i2 =
, i4 = i3 . i y averiguar el valor de las potencias: i4n , i4n+1 , i4n +3
∆ Actividad 4: Dado el complejo z = (a,b) , justificar la siguiente igualdad y deducir que z puede expresarse en la forma z = a + i b .
♦
(a,b) = (a,0) + (0,1) . (b,0)
Forma binómica de un complejo
Teniendo en cuenta el resultado de la actividad anterior , observamos que :
z= (a,b) puede expresarse en la forma z = a + i b , a la que se denomina forma binómica del complejo. Todo complejo
∆ Actividad 5: Dados los complejos en forma binómica z1 = a1 + i b1 y z2 = a2 + i b2 , justificar que el producto z1 . z2 = (a1 + i b1 ) (a2 + i b2) puede realizarse usando la propiedad distributiva y 2 teniendo en cuenta que i = -1
♦
Complejos conjugados
El complejo
♦
a – i b es el complejo conjugado de z = a + ib y lo indicamos z = a – i b
Módulo de un complejo
= a + i b , el número real a 2 + b 2 es el módulo de z , lo indicamos z = a 2 + b 2 y resulta ser la distancia de z al origen de coordenadas.
Dado el complejo z
3
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∆ Actividad 6: Demostrar que
z . z = | z |2
∆ Actividad 7: Dado el complejo no nulo z w = c + di para que el producto
♦
= a + bi , averiguar qué forma debe tener el complejo z . w sea un número real.
Resta de complejos: Dados los complejos
z1 y z2 , la resta z1 – z2 es un complejo z3 tal que z1 = z2 + z3
∆ Actividad 8: Si
z1= a1 + i b1 , z2= a2 + i b2 y z3= z1 – z2 , justificar que
♦
Cociente de números complejos : Dados los complejos
z1 y z2 ≠ 0 , el cociente
z3 = (a1 – a2) + i (b1 – b2)
z1 es un complejo z3 tal que z1 = z2 . z3 z2
∆ Actividad 9: a) Si z= a + i b es un complejo no nulo , justificar la siguiente equivalencia: z . w = 1 ⇔ w = z / |z|2 z a + ib 1 b) Hallar la parte real y la parte imaginaria del complejo z 3 = 1 = 1 z 2 a 2 + ib 2
, donde a2 y b2
son números reales no simultáneamente nulos .
♦
Forma polar o trigonométrica de un complejo
Si z = (a,b) es un complejo no nulo, podemos definir sus componentes usando las coordenadas polares :
y
z
b
r
a = r cos θ , b = r sen θ donde r = | z | , y θ es el ángulo entre el vector de componentes (a,b) y el eje x positivo, medido en sentido positivo (antihorario) o en sentido negativo (horario) .
θ
a
x
Por lo tanto todo complejo no nulo puede expresarse como
z = a + i b = r cos θ + i r sen θ = r (cos θ + i sen θ) y esta última se denomina forma polar o trigonométrica de z.
4
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Argumento y argumento principal
♦
♦ Si θ es el ángulo de inclinación de un complejo no nulo, es decir z ≠ 0, también lo son los k = ±1, ± 2, ± 3…. . El conjunto formado por todos ellos se números θ + 2kπ con denomina argumento de z y lo indicamos arg(z). ♦ El argumento de z ≠ 0 que satisface - π < θ ≤ π , se denomina argumento o argumento principal y lo indicamos Arg(z)
valor principal del
⊕ Observación Para determinar el ángulo θ , al que medimos en radianes, debe tenerse en cuenta la relación tg θ = b/a y el cuadrante en que se encuentra el complejo. Es bastante usual que se diga que : "si tg θ = b/a entonces θ = arctg (b/a)" y esta expresión no es siempre correcta cuando se pretende hallar el argumento de un complejo, pues debemos recordar que: la función y = arctg x , de variable real x , tiene como dominio el conjunto de todos los números reales pero su imagen es el intervalo abierto ( -π /2 , π /2) . Teniendo en cuenta que sólo los complejos con parte real positiva tienen principal entre -π /2 y π /2 , sólo para ellos puede usarse que θ = arctg (b/a)
argumento
Ejemplos
# Si
z1 = 2 + 2i ⇒ tgθ1 = 2/2 = 1 ⇒ θ1 = Arg(z1) = arctg 1 = π /4 , pues Re(z1) > 0 Arg(z1) = π /4 y
Por lo tanto # Si
arg(z1) = {π /4 + 2kπ , con k = ±1, ± 2, ± 3….}
z2 = 2 - 2i ⇒ tgθ2 = -2/2 = -1 ⇒ θ2 = Arg (z2) =arctg (-1) = - π /4 , pues Re(z2) > 0
Por lo tanto
Arg(z2) = -π /4
y
arg(z2) = { - π /4 + 2kπ , con k = ±1, ± 2, ± 3.}
# Si la parte real del complejo es negativa y su parte imaginaria es positiva entonces el argumento principal de dicho complejo es arctg (b/a) + π Si
z3 = -2 + 2i ⇒ tgθ3 = 2/-2 = -1 ⇒ θ3 = arctg (-1) + π = - π /4 + π = 3π /4,
hemos sumado π al arctg (-1) pues Por lo tanto
Arg(z3) = 3π /4
y
Re(z3) < 0 y Im(z3) > 0 arg(z3) = { 3 π /4 + 2kπ , con k = ±1, ± 2, ± 3.}
# Si la parte real del complejo es negativa y su parte imaginaria es negativa entonces el argumento principal de dicho complejo es arctg (b/a) - π 5
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Matemática D y D1 Si
z4 = -2 - 2i ⇒ tgθ4 = -2/-2 = 1 ⇒ θ4 = arctg 1 - π = π /4 - π = - 3π /4,
hemos restado π al arctg Por lo tanto
1 pues Re(z4) < 0 y Im(z4) < 0
Arg(z4) = -3π /4
arg(z3) = { -3 π /4 + 2kπ , con k = ±1, ± 2, ± 3.}
y
∆ Actividad 10: Hallar el argumento y el argumento principal de los complejos y de los complejos
z* = 3 −− i , z** = - 3 −− i ,
-z* , - z** , z*. z** , z*/z**, z* + z** , z* - z** , -z* - z**, -z* + z**
∆ Actividad 11: Si el complejo z1 = r1 ( cos θ1 + i sen θ1 ) es igual al complejo z2 = r2 ( cos θ2 + i sen θ2 ) , demostrar que sus módulos son iguales y que sus argumentos difieren en un múltiplo de 2π , es decir θ1 = θ2 +2kπ , con k número entero.
♦
Potencias
Para calcular las potencias naturales de un complejo binomio de Newton: n
n
z = (a + i b) =
z = a + ib puede usarse la fórmula del
n!
n
∑ k 0 k ! (n − k )!
a n −k (ib ) k
=
pero es bastante tediosa su utilización. Por ello es conveniente calcular cualquier potencia de un complejo , expresándolo en la forma polar. Es muy interesante observar que si un complejo z se expresa en forma polar y tiene módulo 2 2 y argumento θ entonces el complejo w = z tiene módulo r y argumento 2θ + 2kπ pues: Recordar que :
z2 = r2(cos θ + i sen θ )2 = 2
2
sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b cos(a + b) = cos a cos b - sen a sen b
2
= r [cos θ + 2i cos θ sen θ - sen θ ] = = r2 [ (cos2 θ - sen2 θ) + i 2cos θ sen θ] = 2
=r
r
a = b entonces sen (2a) =.............................. cos(2a) =............................... si
[(cos(2θ) +i sen(2θ)]
2 2 2 por lo tanto |z | = r y arg(z ) = 2θ + 2kπ con k número entero , observar que esta relación entre los argumentos de dos complejos iguales fue demostrado en la actividad 11.
z3 = r3 [cos (3θ) + i sen(3θ)]
Razonando en forma similar puede demostrarse que : y utilizando inducción completa puede demostrarse que 6
: Módulo I - Unidad 0
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zn = rn [cos (nθ) + i sen(nθ)] , n ∈ N |zn| = |z|n
De donde se desprende que:
y
arg(zn) = n arg z
Comentario Antes de analizar la raíz cuadrada de un número complejo es conveniente hacer un 2 comentario sobre la ecuación de variable real x + 1 = 0 , que sabemos no tiene solución en el conjunto de números reales pues despejando se obtiene el conjunto de números complejos? Para contestar pensemos que x es un complejo escribirse
x = ± − 1 . ¿Tendrá solución en
a + ib , de donde la ecuación anterior puede
(a + ib)2 + 1 = 0 y realizando las operaciones indicadas obtenemos
(a2 - b2 + 1) + i 2ab = 0 , de donde a2 - b2 + 1 = 0 (1) y 2ab = 0 (2) De (2) se desprende que
a=0 ó b=0. 2 Si a = 0 , reemplazamos en (1) y obtenemos - b + 1 = 0 , de donde b = 1 ó b = -1 , 2 por lo tanto x = 0 + i = i y x = 0 - i = - i son soluciones de la ecuación x + 1 = 0 b = 0 , reemplazamos en (1) y obtenemos a2 + 1 = 0 , que no tiene solución. 2 Por lo tanto la ecuación x + 1 = 0 tiene solución en el conjunto de números complejos y sus soluciones son : i y -i Si
Pretendemos ahora poder resolver la ecuación anterior sin tener que hacer tanto trabajo, es decir pretendemos encontrar el valor de
♦
− 1 , tomando a
-1 como el complejo -1 + i0
Raíces 2
Si queremos hallar z debemos encontrar un complejo w tal que w = z . Para evitar trabajar con situaciones complicadas como en el comentario anterior, es conveniente considerar a z y a w en la forma polar. Supongamos que Debemos hallar
z = w , z = r ( cos θ + i sen θ ) y w = R (cos ϕ + i sen ϕ )
|w| = R y arg(w) = ϕ tal que w2 = z , para ello consideramos la igualdad
w2 = z ⇒ R2 (cos (2ϕ) + i sen(2ϕ ) = r ( cos θ + i sen θ ) ⇒ R2 = r y 2ϕ = θ + 2kπ ⇒ θ + 2kπ R = r y ϕ = 2 Por lo tanto
θ + 2kπ + isen , con k = 0, 1 2
θ + 2kπ
z = w = r cos
2
¿ porqué hicimos esta restricción para el número entero k? ................................................ 7
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Matemática D y D1 En forma similar puede demostrarse que : 3
θ + 2kπ + i sen , con k = 0, 1, 2 3
θ + 2kπ
z = w = 3 r cos
3
Y por inducción puede demostrarse la siguiente expresión, conocida como
fórmula de De
Moivre:
n
θ + 2kπ + isen , con k = 0, 1 , 2,….., (n – 1) n
θ + 2kπ
z = n r cos
n
∆ Actividad 12: Calcular
♦
z3, z , 3 z
4
z 3 siendo z = 8 ( cos π /5 + i sen π /5 ) .
Fórmula de Euler kx
, donde x es una variable real , es Es muy sencillo demostrar que la función f(x) = e solución de la ecuación diferencial f ’(x) = k f(x) y verifica f(0) = 1. Si por otra parte consideramos las funciones es muy sencillo observar que :
u(x) = cos x y v(x) = sen x de variable real x,
u'(x) + i v'(x) = -sen x + i cos x = i (cos x + i sen x) = i [u(x) + i v(x)] (#) Si llamamos
g(x) = cos x + i sen x entonces la expresión (#) puede escribirse g'(x) = i g(x)
Comparamos los resultados obtenidos con f(x) y g(x) Sabemos que es solución de
y verifica
f(x) = e g(x) = cos x + i sen x
f(0) = 1 g(0) = 1
kx
f ’(x) = k f(x) g ’(x) = i g(x)
Si tomamos k = i , la segunda y tercera columna del cuadro anterior afirman la misma cosa, para que todo sea consistente, deberá ser f(x) = g(x) , por lo tanto es razonable definir para x variable real la siguiente expresión, que se denomina fórmula de Euler
ei x = cos x + i sen x ∆ Actividad 13: Justificar que
♦
e-ix = cos x - i sen x , con x número real.
Notación exponencial
θ es el argumento de un complejo z ≠ 0, por la fórmula de Euler sabemos que e = cos θ + i sen θ , por lo tanto todo complejo no nulo z de módulo r y argumento θ se iθ puede indicar z = r e , denominada notación exponencial del complejo Si
iθ
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∆ Actividad 14: iπ /4
Escribir los complejos z1= i , z2 = -1 , z 3 = -2i , z4 = 3 , z5 = 1 - i , z6= -2 e π forma exponencial
⊕
, z 7= i eiπ /4 en la
Imposibilidad de ordenar los números complejos :
Sabemos que dados dos números reales distintos a1 y a2 , se verifica que a1 > a2 o a1 < a2 . Esta afirmación no puede hacerse entre dos números complejos y para justificarlo supongamos que los complejos i y 0 pueden ordenarse.
i > 0 entonces i2 > 0, pues el producto de dos números mayores que 0 es mayor que 0, por lo tanto -1 > 0 2 # Si i < 0 entonces i > 0, pues el producto de dos números menores que 0 es mayor que 0, por lo tanto -1 > 0 Ambas suposiciones nos llevaron a la relación: -1 > 0 (*) - Si sumamos 1 a ambos miembros de (*) obtenemos 0 > 1 (**) - Si aplicamos nuevamente la propiedad de producto de números mayores que 0 a (*), obtenemos (-1)2 > 0, o 1 > 0 (***) Como es imposible que se cumpla (**) y (***) , encontramos una contradicción. # Si
“Los números complejos no pueden ordenarse sin producir una contradicción en las propiedades de orden entre números reales” Por lo tanto podemos afirmar que
• Ejercicios
1- Expresar los siguientes números complejos en la forma x + i y a) ( 1 + i )
3
3
b) i
+ i17
c) (2 + 3i) (3 – 4i)
-1
d) ½ (1 + i) (1 + i
-8 -2
)
2- Si z es un número complejo , demostrar que: a) Re(iz) = - Im(z)
b) Re(z) = Im(iz)
e) | z | ≤ |Re(z)| + |Im(z)|
f)
(z )2 = z 2
c) Re(z) ≤ | z | g)
z .z = z
2
d) Im(z) ≤ | z | h) arg( z ) = - arg(z)
3- Si z1 y z2 son dos complejos no nulos, demostrar que: a)
z1 + z 2 = z1 + z2
b)
z1 . z2 = z1 . z2
9
z 1 z 1 = z 2 z 2
c)
si
z2 ≠ 0
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4- Hallar el módulo, el argumento y el argumento principal y la representación exponencial de a) i
b) 1 –i
c) –3
d) –2 – i
e) –2i
5- Calcular a)
15
(
3 ++ i )
b) (1 – i)
10
1/2
1/3
c) i
d) (-27)
6- Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones 4
a) z
+ 1 = 0
2
b) z
3
– 2iz –2 = 0
c) z
–1=i 3
7- Si z1= a eiθ , z2= b eiϕ con a . b ≠ 0 , justificar que: a) Si b) Si c) Si
- π < θ + ϕ ≤ π entonces Arg(z1 . z2) = Arg(z1) + Arg(z2) - 2π < θ + ϕ ≤ - π entonces Arg(z1 . z2) = Arg(z1) + Arg(z2) + 2 π π < θ + ϕ ≤ 2π entonces Arg(z1 . z2) = Arg(z1) + Arg(z2) - 2 π
8- Demostrar que: 2
2
2
a)
z1 + z 2 + z1 − z 2 = 2 z1 + z 2
c)
z1 + z 2 ≤ z1 + z 2
2
(ayuda: usar b)
2
2
2
b)
z 1 ± z 2 = z 1 + z 2 ± 2 Re(z 1 .z 2 )
d)
z1 ± z 2 ≥ z1 − z 2
9- Representar gráficamente los complejos z que verifican las siguientes relaciones: a) Re(z) = 2 2
d) z
= z
g) |z| < |z – 2i| j)
|z – i| ≥ |z + 2|
b) –1 < Im(z) ≤ 3 e)
z−2 >1
c)
z=z
f) π /4 < Arg(z) < π , | z | >2
h) |z| > Im(z)
i) |z | ≤ |z – 1| ≤ |z – i|
k) |z| = Re(z)
l) z
z = z– z
2 10- Si z0 es un punto interior a la curva γ γ: |z| = R , justificar que R z 0 es exterior a γ γ
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