TEMARIO 1. Números naturales y números enteros 1.2. Los sistemas de numeración: Sistemas acumulativos, Sistemas posicionales 1.3. Potencias de base diez 1.4. Base de sistema de numeración 1.5. ambio de base del sistema de numeración: ambio a base decimal, ambio a base cual!uiera 1.". Las operaciones con n#meros naturales 1.$. %ivisibilidad 1.&. %escomposición de 'actores primos 1.(. )*+imo com#n divisor 1.1. )-nimo com#n divisor 1.11. #meros enteros 1.12. /peraciones con los n#meros enteros: Suma, resta, multiplicación 0 división. 1.13. *lculos con e+presiones literales 1.13.1. Propiedades de las operaciones con n#meros
2. Números racionales
2.2. /peraciones con 'racciones 2.3. +presión decimal de los n#meros racionales: paso de 'raccion a decimal. Paso de decimal a 'racción 2.4. /tros modelos de de'inir una 'racción: Porcentaes, +presiones literales 2.5. /rdenación de los n#meros racionales
3. Ecuaciones
3.2. lasi'icación de las ecuaciones 3.3. Soluciones de una ecuación 3.4. elas enerales para resolver ecuaciones 3.5. esolución de las ecuaciones lineales con una incónita 3.". esolución de sistemas de ecuaciones lineales 3.".1. Sistemas de dos ecuaciones lineales 3.".2. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incónitas
4. Números reales 4.2. #meros reales: /peraciones con n#meros reales. /rdenación de los n#meros reales 4.3. Potencias 0 ra-ces 4.4. cuaciones de seundo rado
5. Geometría analítica 5.2. l razonamiento intr-nseco 0 el anal-tico 5.3. Sistemas de re'erencia 0 coordenadas 5.4. %istancia entre dos puntos 5.5. ectas en el plano 5.". cuación de la recta !ue pasa por dos puntos 5.$. ondición para !ue tres puntos estn alineados 5.&. 6ntersección de dos rectas
6. La matemática de los conjuntos ".2. onuntos 0 elementos ".3. 6nclusión de conuntos ".3.1. La relación de inclusión ".3.2. onuntos universal 0 vac-o ".3.3. l conunto de las partes de un conunto ".4. /peraciones con conuntos: 6ntersección, unión, complemento de un conunto, di'erencia de.2 conuntos ".5. Propiedades de las operaciones con conuntos ".5.1. Propiedades de la intersección ".5.2. Propiedades de la unión ".5.3. Propiedades de la complementación ".5.4. Propiedades !ue relacionan varias operaciones ".". %iaramas de 7enn: diaramas de dos conuntos, diaramas de tres conuntos ".$. ardinal de un conunto ".$.2. *lculo de cardinales con dos conuntos ".$.3. 8cotación de cardinales ".$.4. *lculo de cardinales con tres conuntos
7. Aplicaciones y funciones $.3. l concepto de aplicación $.3.2. 6maen e imaen inversa de un subconunto $.4. 8plicaciones de'inidas mediante 'órmulas $.5. 9ipos de aplicaciones $.". omposición de aplicaciones $.".2. omposición de 'órmulas $.$. unciones r*'icas: ;r*'icas de 'unciones lineales, ;r*'icas de 'unciones no lineales
$.$.3. Puntos de corte de dos r*'icas
8. L!ica de proposiciones &.2. Proposiciones compuestas &.3. Los conectores m*s comunes &.3.1. La neación, La conunción 0 la dis0unción &.4. *lculo de valores de verdad &.5. nunciados condicionales &.". /tros conectores: La dis0unción e+clu0ente, La bicondicional. &.(. azonamientos lóicamente v*lidos
". #om$inatoria (.2. %os mtodos para contar (.4. 9res importantes modelos (.4.1. /rdenaciones (.4.2. Subconuntos ordenados (.4.3. Subconuntos
%&. #álculo de pro$a$ilidades 1.2. l concepto de probabilidad 1.3. l modelo matem*tico de procesos aleatorios 1.4. l modelo matem*tico de la probabilidad 1.5. Propiedades de la probabilidad 1.". l problema de asinar probabilidades
%%. 'stadística 11.2. Poblaciones 0 muestras 11.3. 7ariables estad-sticas 11.4. recuencias 11.5. epresentación r*'ica de las 'recuencias: %iaramas de sectores, %iaramas de barras 11.". 7ariables continuas arupadas 11.$. La medida aritmtica 11.&. La dispersión respecto de la medida 11.(. La asociación estad-stica de dos variables 11.1. ovarianza 11.11. 8sociación estad-stica lineal 11.11.2. Predicción lineal 11.12. l coe'iciente de correlación 11.13. rrores 'recuentes 11.13.1. La asociación lineal no es la #nica asociación estad-stica 11.13.2. La asociación estad-stica no implica causalidad 11.13.3. La recta de reresión de + sobre 0 es distinta !ue la recta de reresión de 0 sobre +.
%(. Las matemáticas del computador 12.2. l alcance de los computadores 12.2.1. %atos e 6n'ormación 12.2.2. omputadores: aracter-sticas 0 clasi'icación. 12.3. 8r!uitectura de un computador 12.3.1. )odo de operar de un computador 12.3.2. structura b*sica de un computador 12.3.3.
e+adecimal 12.$. epresentación interna de n#meros 12.$.1. epresentación interna de n#meros enteros 12.$.2. 8ritmtica en punto 'lotante
)ema %
Números naturales y números enteros
Los sistemas de numeracin* +istemas acumulati,os —Son aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas... como sean necesarios hasta completar el número. Una de sus características es que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposición. Ejemplos: egipcia, sumeria, hitita, cretense, ateca, romana ! las alfab"ticas de los griegos, armenios, judios ! #rabes. +istemas posicionales$$%a posición de una cifra nos dice si son decenas, centenas ... o en general la potencia de la base correspondiente. Sólo tres culturas adem#s de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo. &abilonios, chinos ! ma!as. 'ueron los indios antes del siglo ()) los que idearon el sistema que conocemos. #am$io de $ase del sistema de numeracin — -aso de $ase n a $ase %& —Se pone el numero en base n ! se opera:
21.74 +
7 .H + 1 H +1
2/32/3414/1
1 /3 H/1 3 H/1 1 / H/1 . H/1 -
-aso de $ase %& a $ase n —Se di*ide repetidamente por n ! se ponen todos los restos ! el último cocciente en orden in*erso. + a base -$$$$$$$$$$$$$$$$+ /0 2/314 1 3 / -aso de $ase n a $ase m* 5asamos primero a base /3 ! luego a base m #lasificacin de los números$$ Naturales —6$$3,/,1,,-,,7,..... 'nteros —8$$$,$1,$/,3,/,1,,-,...... acionales —9$$/,0-,;7,$-;1...todos los que pueden e
, ,/;1-0+1/=7... decimales infinitos no periódicos.
eales —>$$la suma de todos los números racionales e irracionales
)rracio nales
>acionales Enteros
6aturales
? 6úmeros reales.
'0actos —6úmero finito de decimales 1ecimales -uros —)nfinitos decimales que se repiten formando un periodo. -eridicos 2i0tos —)nfinitos decimales que forman periodo 6@ a partir de la coma. /limitados — No peridicos —)nfinitos decimales que no se repiten. 3rdenacin de los números$$%a ordenación de los números se hace en una recta que se llama recta real, siendo m#s grande aquel que est" situado m#s a la derecha. $ $$ $1 $/ 3 / 1 3puesto in,erso y ,alor a$soluto de un número alor a$solutoconsiste en coger el número sin tener en cuenta el signo: 5or ejemplo AA? A$A? . 3puesto de un número $$es aquel que tiene el mismo *alor absoluto pero con distinto signo, esto quiere decir que si sumamos un número ! su opuesto , el resultado sería 3, el opuesto del B es el $ ! se cumple que B 2$4 ? 3 . /n,erso de un número $$es aquel que multiplicado por este nos da /. El in*erso de es / !a que C/ ? / Apro0imaciones —El numero de cifras decimales utiliadas nos da el orden de la aproedondeado—G/- 2defecto4
? G/-/=1... Fruncado—G/-/ 2defecto4 Dasta la diemilesima >edondeado—G/-/7 2e
Notacin científica* 'orma de e
=-73333333$$$$$$$$$$=G-7 H /3 = 3G3333311$$$$$$$$$$$$1G1 H /3 J7
133333333$$$$$$$$$$$1 H /30 3G333/3$$$$$$$$$$$/G3 H /3 J-
#riterios de di,isi$ilidad* Ki*isibilidad por 1$$cuando acaba en 3 o en cifra pa . Ki*isibilidad por $$cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de Ki*isibilidad por -$$cuando sus dos últimas cifras de l a derecha son ceros o forman un número di*isible por -. Ki*isibilidad por $$cuando acaba en 3 o en . Ki*isibilidad por 7$$cuando lo es por 1 ! por a la *e. Ki*isibilidad por =$$cuando lo es la suma de sus cifras. Ki*isibilidad por /3$$si termina en 3. Ki*isibilidad por //$$cuando la suma de las cifras de lugar impar menos las de lugar par es 3 o múltiplo de //. Ej: -7+. Números primos —Lquellos que sólo son di*isibles por ellos mismos ! por la unidad. %os que no son primos son compuestos. 1escomposicin en factores primos —cogemos el numero ! lo di*idimos por los números primos 1, , ...
=3 - / /
1
=3? 1 H H H ? 1 H 1 H
2á0imo común di,isor —Se descomponen los números en factores primos ! se cogen los factores iguales con e
11?11 H 1 H +
MNK? 11 H
2inimo común múltiplo —Se cogen los factores comunes ! no comunes con ma!or e
a n : a m a n m
a3 / a/
a
n
m
n
n
a Ha a Hb
2 a H b4 n
a
nm
n
2a 4
2 a H b4
n
a b n b a
n
an H bn
a
m
a n
/ an
se obtiene el número in*erso n
a a n n b b
anm m an
nHm
n
6o ha! propiedades para la suma de potencias, ni para potencias que no tengan nada en común:1B111 Si en una fracción aparecen potencias se pueden subir al numerador o bajar al denominador cambiando el signo al e
1
−
=
-
O
1
=
7
− 1 O /
O
−
=
O /
1
O
=
+
= -
Nuidado con las siguientes notaciones que parecen iguales. Si no se pone par"ntesis , el signo no entra dentro del e
2$41?1
$1?$1
2$4?$/1
$?$/1
Nuando una fracción aparece ele*ada a un e
= negati*o primero calculamos el in*erso del número = 1
−1
1
- = = = - /7
)ema (
Números racionales
)ipo de fracciones 9racciones comunes$$en la forma a b. 9racciones propias$$el numerador es menor que el denominador. 9racciones impropias$$el numerador es igual o ma!or que el denominador. 9racciones decimales$$el denominador es la unidad seguida de ceros. 9racciones i!uales$$el numerador es igual al denominador. Números mi0tos$$son aquellos que constan de una parte entera ! una fracción común propia. 9racciones eui,alentes — - Si las di*idimos con la calculadora ! obtenemos el mismo número: 0- ! /3. - Nuando al multiplicarlas en cru obtenemos el mismo número. - En algunos casos basta con *er que numeradores ! denominadores son proporcionales !a que si en una fracción multiplicamos o di*idimos arriba ! abajo por el mismo número, obtenemos una fracción equi*alente. Esto se utilia para simplificar, di*idiendo numerador ! denominador hasta obtener una fracción irreducible es decir , que no se puede simplificar m#s. En algunos casos se realian mal las operaciones :
/
=
1/
.O
=
.O+
/
+
1/
=
/3 +
≠
/3 + //
//
Solo se puede simplificar en una fracción cuando tengamos productos. En algunos casos se puede simplificar en una suma sacando factor común ! con*irtiendo la suma en un producto:
1- / =
. O 20 4 .O .
/. .
3peraciones con fracciones
a b
c
e
d
f
2 adf 4 2cbf 4 2 edb4 bdf
a c ac O b d bd
a c ad : b d bc
epresentacin fraccionaria de los decimales* %os decimales e
1G.
1. /33
1ecimales periodicos puros —6úmero sin coma J parte entera Fantos = como periodo
1G.
1. 1 ==
1ecimales periodicos mi0tos* 6umero sin coma J parte entera ! anteperiodo Fantos = como periodo ! 3 como anteperiodo
1G.
1. 1. =3
-orcentajes* Se hacen por regla de tres. elacin porcentajefraccindecimal —%as tres son formas de e
/1.P ? /1./33 ? /1/333 ? /0. 5asar de fracción a porcentaje$$se di*ide el numerador entre el denominador ! el resultado se multiplica por /33:
/0 ? 3./1 ? /1.P. 5asar de porcentaje a decimal$$di*idir el *alor del porcentaje entre /33.
/1.P ? /1./33 ? 3./1. 5asar de decimal a porcentaje$$se multiplica el decimal por /33:
3./1 ? /1.P.
)ema :
Números irracionales
La raí; cuadrada$$raí cuadrada de un número a es otro número que ele*ado al cuadrado nos da el primero. - Fodo número positi*o tiene dos raíces cuadradas. - %os números negati*os no tienen raí cuadrada. - %a obtención de la raí cuadrada es la in*ersa de ele*ar al cuadrado. La raí; cú$icade un número es otro número que ele*ado al cubo nos da el primero. - Fodo número positi*o tiene una única raí cúbica. - %os números negati*os si tienen raí cúbica - %a obtención de la raí cúbica es la in*ersa de ele*ar al cubo. La raí; n
/7 /7 1 /7
/7 = /7 =
%a raí de una suma o resta no es la suma de raíces:
-roducto y di,isinSolo se pueden multiplicar ! di*idir raíces del mismo índice: n
a On b
n
n
a b
a :n b n
a b
El e
/-
1
1
/- O /- /- /-
aí; de una raí;se multiplican los índices -otencia de una raí;%a potencia de una raí es la raí de la potencia . 3tras operacionesEn algunas ocasiones se puede simplificar las raíces con*irtiendo el radicando en producto de potencias :
1+ 11 O 11 O 11 O 1 1 O 1 O 1 O 1 0 1 /03 1 1 O .1 O 7 . 7 1 . +7 1 O . - . = /30
En otras ocasiones se intenta introducir números dentro de una raí, para lo cual debemos de ele*arlos al índice de la raí:
.
1. /3
-
. 03
acionali;arNonsiste en quitar las raíces que puedan aparecer en el denominador. Nasos: /. 9ue el denominador sea una raí cuadrada$$se multiplica numerador ! denominador por la misma raí.
1 1.
1O 1
1 1
9ue el denominador no sea una raí cuadrada$$se multiplica numerador ! denominador por una raí del mismo índice que el denominador, pero con un radicando ele*ado a un e
.
1
1 1
1
1O 1
-
1
1
9ue el denominador sea un binomio con raíces cuadradas$$multiplicar numerador ! denominador por el conjugado .
1 .
1 O 2 . 4 2 . 4 O 2 .4
/3 1 . 1 .
/3 1 . 11
)ema 4
'cuaciones y sistemas de ecuaciones
'0presiones al!e$raicas* Son aquellas en las que se combinan números, letras ! signos de op eración. 3peraciones con e0presiones al!e$raicas 5ara hacer operaciones con ellas ha! que tener en cuenta: - Se pueden sumar aquellas en las que las letras son las mismas ! con los mismos eesolución: - Eliminación de par"ntesis: multiplicando. - Eliminación de denominadores: con el MNM. - Frasposición de los terminos: letras a un lado, números a otro. - >educción de terminos: sumar en ambos miembros. - Kespeje de la incógnita. 'cuaciones de se!undo !rado con una inc!nita* aquellas en las que, despu"s de eliminar par"ntesis ! denominadores aparece una sola incógnita con grado m#esolución: -rimer tipo
ax 1 c 3
ax 1 c
despejamos x 1
x 1
c a
despejamos
x
c a
+e!undo tipo* da dos soluciones
ax
1
bx 3
factor común
xax b 3
)gualamos a cero cada uno
x 3 ó ax b
3 x
b a
1
)ercer tipo* El número de soluciones depende de b J-ac ? que se llama discriminante.
ax bx c 3 1
se aplica la fórmula
x
b b 1 -ac 1a
dos soluciones 3 una solución doble
3 no ha! solución
+istemas de ecuaciones* 5ueden ser determinados o indeterminados dependiendo del numero de soluciones que tengan. Fodo sistema de ecuaciones necesita tantas ecuaciones como incógnitas tenga. +istema de dos ecuaciones con dos inc!nitas* 5ara resol*er un sistema de ecuaciones podemos utiliar cuatro m"todos: Sustitución—despejar una incógnita en una de ellas ! sustituirla en la otra.
x .2 . x 4 1
. x y
y . x x . y 1
x / = x 1 /3 x x
/+ /+ /3
y
. y
/+ /3
/ /3
/ /3
)gualación.—despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las e
x y y x 1 x etc... y 1 x x x y 1 >educción—construir un sistema equi*alente al dado pero en el que una de las ecuaciones solo tenga una incógnita. 5ara ello se cambia una ecuación por la resultante de sumar ambas ecuaciones multiplicadas por los números adecuados para que se elimine alguna incógnita.
x y < ! / E E y / 1 x y 1 /3! $/ /3
x
/ /3 /
x
/3
/
x
/ /3 :
/ 3
x
/+ /3
/3
+istemas de tres ecuaciones con tres inc!nitas* Se pueden resol*er por los m"todos anteriores, pero el que *amos a utiliar es el m"todo de Rauss. Nonsiste en transformar nuestro sistema en otro equi*alente pero escalonado ! utiliando sólo los coeficientes.
ax by cz r
a b
c
r
dx ey fz s
d
e
f
s
h
i
colocamos los coeficient es en forma de matri
gx hy iz t
g
con*iene que a sea /. Si es posible
t
conseguirl o cambiando filas, se hace.
Eliminamos g, d, sustitu!endo sas ilas por las resultantes de umarlas a la primera, multiplicadas por los números con*enientes:
a 3 3
b
c
r
e
f
s
h
i
t
Eliminamos h sustitu!endo la tercera fila por el resultado de sumarla con la segunda, multiplicadas por los números con*enientes. @btendremos:
a 3 3
b
c
r
e
f
s
3
i
t
Nolocamos otra *e en forma de sistema ! *amos despejando de abajo hacia arriba. 5ueden ocurrir tres cosas:
i 3 Sistema compatible determinado, procedemos como en el punto anterior i ? 3 , t3 Sistema incompatible, no ha! soluciones. i ? 3 , t ? 3 Nompatible determinado 2infinitas soluciones4. 5asamos una incógnita al otro miembro en las dos ecuaciones que quedan ! despejamos las restantes en función de "sta.
)ema 5
Geometría analítica
ectores —(ector AB Es un segmento con origen en L ! e
a/ b/ a 1 b1 , 1 1
#oordenadas del punto medio de un se!mento* M
ectas* Una recta *iene determinada por un punto a/ , a 1 ! por un *ector director v/ , v 1 . 'cuacin ,ectotial
2 x, y 4 2 a/ , a 1 4 2v/ , v 1 4 'cuaciones param
a/ v/ y a1 v 1
x
'cuacin continua* x a/ y a 1
v/
v1
'cuacin !eneral* El *ector director es 2$&,L4 Ax By C 3
A v 1 B v/ 'cuacin punto pendiente* y a 1 m2 x a/ 4 m
C a 1 v/ a/ v 1
v1 v/
'cuacin e0plícita* y mx n
%a pendiente es
m
v1 v/
6 es la ordenada en el origen, punto de corte con el eje !
n a 1 ma/
-osiciones relati,as -aralelas* dos rectas paralelas tienen el mismo *ector director ! la misma pendiente. -erpendiculares$$ v/ ,v 1 es el *ector director de una recta, v 1 ,v/ lo es de una perpendicular. / Si m son perpendiculares. m 1istancia entre dos puntos H
2a/ a 1 4 1 2b/ b1 4 1
-unto pertenece a una recta$$se sustitu!e el punto en < e ! , si se cumple la igualdad es punto pertenece, sino, no. 1os rectas se cortanse resuel*e el sistema de las dos ecuaciones, si se puede resol*er se cortan, sino no. 'jes —T 2abcisa4, ! 2ordenada4.
)ema 6
#onjuntos
#onjuntos* colección de objetos llamados elementos. +u$conjunto* Un subconjunto S de un conjunto L es otro conjunto que est# incluido dentro de L. /nclusinL & el conjunto L est# incluido en &. #onjunto ,acío$$ A A #onjunto uni,ersal —Se representa u . A u L #onjuntos disjuntos* aquellos en los que A B 3peraciones con conjuntos* >nin* A B 2 x A4 2 x B 4 /nterseccin* A B 2 x A4 ! 2 x B 4 1iferencia* A B 2 x A4 ! 2 x " B4 #omplementario* A x " A u A #onjunto de las partes de un conjunto* conjunto de todos los subconjuntos posibles de ese conjunto. #ardinal de un conjunto* Es el numero de elementos de un conjunto. Se representa . #ardinal de A? $$ 2L&4 ? LB&$2L &4 #ardinal de las partes de un conjunto —1 6 6?nQ de elementos del conjunto. -roducto cartesiano* 5 roducto cartesiano de L por & es el conjunto de pares ordenados cu!os componentes /Q ! 1Q pertenecen a L ! & respecti*amente.
2L—&4 ? L — 2L&4 U 2 A B 4 A 2 A B 4
(A AC
C) BC
(B
C) (A
C C (A
B
B)
C
C) C
)ema 7
Aplicaciones y funciones
Aplicaciones* Una aplicación entre L ! & es una correspondencia donde a cada elemento de L le corresponde un único elemento de &. f : A B es aplicación $ x A# y B y f 2 x 4 L es el conjunto original o dominio de f & es el conjunto imagen de f )ipos de aplicaciones* )n!ecti*a—%os elementos de & tienen una unica imagen en L 2o no llega flecha o llega una4. Sobre!ecti*a—Fodo elemento de & tiene asociada alguno de L 2a todos llegan flechas4. &i!ecti*a—Nuando es in!ecti*a ! sobre!ecti*a. 5reimagen—lugar donde surge la flecha en el conjunto de origen hacia el de destino. #omposicin de aplicaciones —2fog4 2<4 se sustitu!e el *alor de < en la primera aplicación VfW ! lo que nos da lo sustituimos en VgW.
fog 2 x4 f 2 g 2 x 44
f 2 x 4 1 x 1
g 2 x 4 x 1
2 fog 424 f 24 1 1 -
g2-4 - 1 /=
2 fog 42 x4 /=
Aplicacin in,ersa —Nuando A B es bi!ecti*a podemos definir otra aplicación B A que es la in*ersa: f / . Se calcula despejando la T en ! ? f2<4.
f 2 x 4 x 1 f / 2 x 4 f 2 x 1 4 x
)ema 8
L!ica de proposiciones
-roposicin* Eni,ersal* para todo. '0istencial — # e
p
3 3 / /
3 / 3 /
p 3 / / /
pB 3 3 3 /
%
/ 3 / 3
p / 3 3 /
p / 3 3 /
)ema "
#om$inatoria
-ermutacin--es una aplicación biyectiva en un conjunto. En cada agrupación figuran todos los elementos importando su orden. -ermutaciones ordinarias — - En cada grupo inter*ienen todos los elementos sin repetirse ninguno - Kos grupos son diferentes si el orden de colocación de alguno de esos m elementos es distinto. -m C mD -ermutaciones con repeticin* - En cada grupo inter*ienen todos los elementos ! pueden repetirse. - Kos grupos se diferencian en el orden de colocación de alguno de sus elementos.
ariacin* una lista ordenada de elementos distintos. Kos *ariaciones son diferentes si el orden o algún elemento son diferentes. En cada agrupación figuran sólo al!unos elementos importando el orden de colocación de "stos. ariaciones ordinarias — - %os n elementos que forman el grupo son distintos 2no se repiten4 - Kos grupos son distintos si se diferencian en algun elemento o en el orden en que estan colocados. ariacin con repeticin* - %oa elementos que forman cada grupo pueden estar repetidos - Kos grupos son distintos si se diferencian en elgun elemento o en el orden en que estan colocados. #om$inacin* %ista de elementos distintos. Kos combinaciones son diferentes si contienen algún elemento diferente. En cada agrupación figuran solo al!unos elementos sin importan el orden de colocación de estos. #om$inaciones ordinarias* - Nada agrupación esta formada por n elementos distintos entre sí - Kos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento, sin tener en cuenta el orden.
-
#om$inacin con repeticin* - %os elementos que forman cada grupo pueden estar r epetidos - Kos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento, sin tener en cuenta el orden
e!la de la suma —si se puede realiar una primera tarea de m maneras, mientras que una segunda se puede realiar de n maneras, ! no se pueden realiar las dos a la *e, entonces tenemos mBn maneras de realiar una tarea
esumen formulas com$inatoria$$Entre las diferentes configuraciones o agrupaciones que podemos formar con los elementos de un conjunto, las m#s importantes son : Lgru pacio Fipo nes
$ A RI A CI O N E % & E R M " T A CI O N E % C O M BI N A CI O N E %
?6mporta ?Pueden lementos orden@ repetirse@ por rupo
sin repetición
lementos n cada disponibles arupación...
/
nXm con repetición
S6
n X m, n Y m
sin repetición
con repetición
/
S6
sin repetición
con repetición
S6
S6
/
/
S6
n?m
n
m
!RM"#A
'jemplo @ariaciones +/N repeticin E
¿Cuantos nmeros de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal! Ll tratarse de números el orden importa ! adem#s nos dice Zcifras distintasZ luego no pueden repetirse. 5or tanto, se pueden formar 3- números :
'jemplo @ariaciones #3N repeticin E
¿Cuantos nmeros de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal! Ll tratarse de números el orden importa ! adem#s no dice nada sobre Zcifras distintasZ luego si pueden repetirse. 5or tanto, se pueden formar +1= números : ¿Cuantas palabras distintas de "# letras $con o sin sentido% se pueden escribir utilizando sólo las letras a& b! Ll tratarse de palabras el orden importa ! adem#s como son palabras de /3 letras ! sólo tenemos dos para formarlas, deben repetirse. 5or tanto, se pueden formar /31- palabras :
'jemplo @-ermutaciones +/N repeticin E
Con las letras de la palabra '()C* ¿cuantas palabras distintas se pueden formar! E*identemente, al tratarse de palabras el orden importa. [ adem#s n ? m, es decir tenemos que formar palabras de cinco letras con cinco elementos K, ), S, N, @ que no est#n repetidos. 5or tanto, se pueden formar /13 palabras :
'jemplo @-ermutaciones #3N repeticin E
¿'e cu+ntas maneras distintas pueden colocarse en l,nea nueve bolas de las -ue . son blancas& / amarillas y 0 azules! El orden importa por ser de distinto color, pero ha! bolas del mismo color 2est#n repetidas4 ! adem#s n ? m, es decir colocamos = bolas en linea ! tenemos = bolas para colocar. 5or tanto, tenemos /173 modos de colocarlas :
'jemplo @#om$inaciones +/N repeticin E
Cuantos grupos de 1 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de una clase2 $3n grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en un alumno%
6o importa el orden 2son grupos de alumnos4. 6o puede haber dos alumnos iguales en un grupo e*identemente, luego sin repetición. 5or tanto, se pueden formar /-137 grupos distintos :
'jemplo @#om$inaciones #3N repeticin E
En una confiteria hay cinco tipos diferentes de pasteles2 ¿'e cu+ntas formas se pueden elegir cuatro pasteles% 6o importa el orden 2son pasteles4. 5uede haber dos o m#s pasteles en un grupo, luego con repetición. 5or tanto, se pueden formar /-137 grupos distintos :
'jemplo @e!la de 2ultiplicar E
¿Cuantos nmeros pares de tres cifras se pueden formar& usando las cifras #& "& 0& /& .& 1 y 4& si 5stas pueden repetirse! Ll formar un número par de tres cifras L/L1L con a!uda de las cifras dadas, en *e de L/ puede tomarse una cifra cualquiera, sal*o el 3, es decir 7 posibilidades. En *e de L1 pueden tomarse cualquier cifra, es decir + posibilidades, ! en *e de L cualquiera de las cifras 3, 1, -, 7, es decir posibilidades.Ke este modo, conforme a la Z>egla de MultiplicarZ e
Si en cada arupación 'iuran sólo algunos de los elementos disponibles, importando el orden de colocación de stos, entonces es un problema de 'ariaciones. Aeemplo 1
Si en cada arupación 'iuran todos los elementos disponibles, importando su orden de colocación, entonces se trata de un problema de (ermutaciones. Aeemplo 2
Si en cada arupación 'iuran sólo algunos de los elementos disponibles, sin importar el orden de colocación de stos, entonces estamos ante un problema de com)inaciones. Aeemplo 3
