TUGAS M3 KB 1 SISTEM BILANGAN REAL
Nama No. Peserta Prodi PPG/Kelas LPTK Tahap
: Farid Hidayat, S.Pd. : 18032118010173 18032118010173 : (180) Matematika Matematika / Kelas A : UNS :2
< < +< + < < +<+ << 00 << −− −− ∈∈ ( − )) + ( − )) ∈ −∈ − ∈ (⟺ − )−) ++ (−−))∈ ∈ ⟺⟺ (+++−) − −(+∈)) ∈ ⟺ ( ++ ) > ( + ) ++ < + 0<< 0<< 0 < < 0 < < 0 < < 0 < << ,,,, ∈ < = − ∈ ∈ −> =( − ) ∈ < = − ∈ ∈ − > =( − ) ∈ > > − ∈ − ∈ (⟺− − ) ++ (−−)∈ ∈ ⟺⟺ (0+ −()−) + () ∈ − )) ∈ ⟺⟺ −> ∈ > 0 > 0 ∈∈ ∈∈ ∈∈ 0 < <
1. Jika dan , tunjukkan bahwa Penyelesaian: Jika dan Akan ditunjukkan bahwa Dipunyai , maka sehingga Dipunyai , maka sehingga Jika dan maka berlaku Diperoleh
!
Sehingga dapat disimpulkan bahwa
2. Jika dan , tunjukkan bahwa Penyelesaian: Akn tunjukkan bahwa Dipunyai dan , sehingga (i) Akan ditunjukkan bahwa Dipunyai dan , maka sehingga Dipunyai dan , maka sehingga Dipunyai dan dengan
(ii) Akan ditunjukkan bahwa Karena dan maka Karena dan maka Berdasarkan (i) dan (ii) diperoleh
dan
!
dan
, maka
,,, 0 < < < < 0 < < 0 << < < < 0 ×= 1,= 1.(−5) = 2, ==−5−2 = −5 × = 2.−5(−2<) −4= −4= < = −2,< = −1, = 6, = 2 ×× = = ((−2)(2) = −4 1)(−6) = −6 −6 < −4 = < | + | = || + || , ≥ 0 ⟹ | + || += ||| =+ |(|| | + ||) ⟹ ( + ) = || + || + 2|| | + + 2 = + + 2|| = | | ≥ 0 ⟸ ≥ 0 = 0 = 0 > 0 > 0 <=00 <=00 | + | = |0 + 0| = 0 = |0| + |0| = || + || > 0 > 0 + > 0 | +|< =0 + = <|0| + || + < 0 | + | = −( + ) = (−) + (−) = || + || | + | = || + || | + 1| + | − 2| = 7 | | + 1| + − 2| = 7 | + 1|{−(+−+1,2,1),≥≥<−12 −1 | − 2|{−( − 2), < 2 | +1| + | − 2| = 7 < −1 ,−1 ≤ <<−12, , ≥ 2 + 1 < 0 − 2 < 0 | + 1| + | − 2| = 7 ⟺⟺ −−(−1+ 1−) + [+−2(=−72)] = 7 ⟺⟺ −2 = −3+ 1 = 7 < −1 = −3
3. Misalkan adalah bilangan real yang memenuhi Berikan contoh yang memenuhi kriteria dan Penyelesaian: Dipunyai dan Contoh Ambil Jelas
dan
.
!
Maka diperoleh Contoh Ambil Jelas Maka diperoleh
4. Jika di , tunjukkan bahwa jika dan hanya jika ! Penyelesaian: ( ) Anggap . Kita peroleh . Selanjutnya kita peroleh , dalam hal ini berarti . Dari definisi nilai mutlak, kita tahu bahwa ( ) Sekarang, anggap bahwa . Maka terdapat tiga kemungkinan, yakni dan , atau dan , atau dan . (i) Jika dan , maka . (ii) Jika dan , kita tahu bahwa . Selanjutnya kita peroleh . (iii) Jika dan , kita tahu bahwa . Selanjutnya kita peroleh . Berdasarkan kemungkinan (i), (ii), dan (iii) dapat disimpulkan bahwa . 5. Tentukan semua di R yang memenuhi kesamaan Penyelesaian: Dipunyai
Terdapat 3 kemungkinan yang memenuhi dan (i) Untuk , kita peroleh Diperoleh
!
, yakni kasus
dan
.
,
Karena
maka
memenuhi
−1 ≤ < 2 | + 1+| 1+> |0− 2| = − +2 <1+0 [−( − 2)] = + 1 − − 2≥=2 3 ≠ 7 + 1 ≥ 0 − 2 ≥ 0 | + 1| + | − 2| = 7 ⟺⟺ 2+−1+1 = 7− 2 = 7 ⟺⟺ 2 ==48 ≥ 2 = 4 −3,4} = || − | − 1| = || − | − 1| ( ) − − 1 = 1, ≥ 1 = || − | − 1| = +− ( −+ 1() −= 1)= 2 −−1,1, 0≤<0< 1 (ii)
Untuk , kita peroleh Hal ini tidak mungkin karena
(iii)
Untuk Diperoleh
, kita peroleh
dan
.
dan
.
Karena maka memenuhi Dari (i) (ii) dan (iii) dapat disimpulkan nilai yang memenuhi adalah 6. Buatlah grafik persamaan Penyelesaian: Dipunyai persamaan
!
y
1 -1
0
1
x
-1
= : ∈ () = 1 () = 0 ( ) ( ) = 1 = 0 ( ) = 1 1 >0 ∈ > 0 1 > 0 1 ∈0< ≤>1,∀ 0 ∈ ∈ 0<1≤ ≤ 1,∀ ∈ > 0 1 < 0 < < 1 > 0 1− < 1 = = ∈
7. Misalkan
. Tunjukkan bahwa
dan
!
Penyelesaian: Akan ditunjukkan bahwa dan (i) Akan dibuktikan menurut Teorema 2.1.8b (Analisis Real Bartle) Untuk setiap , berlaku menurut Teorema 2.1.8 c (Analisis real Bartle) , , untuk setiap maka
Sehingga
berarti 1 adalah batas atas dari S.
Sekarang untuk setiap Misalkan
, berarti
kita tahu bahwa mungkin saja
atau
1− < > 0 ∃ = ∈ 1 − < sup () = 1 > 0,∀ ∈ ∃ ∈ < 0 <0 ∉ ∈ ( i n f ) = 0 > 0 > > 0 ≤0 > > 0 > 0 ≤ 0 ≤ 0 inf () = 0 Jadi
∃ = ∈
sehingga
1 adalah batas atas S dan untuk setiap
sehingga
maka menurut lemma 2.3.4 (Analisis Real Bartle), (ii)
Andaikan 0 bukan batas bawah dari S, berarti sehingga berarti Kontradiksi dengan Jadi pengandaian 0 bukan batas bawah dari S salah Jadi 0 batas bawah dari S Akan ditunjukkan Misalkan sebarang batas bawah S, akan ditunjukkan Andaikan
, berarti
berarti bukan batas bawah dari S
Kontradiksi dengan batas bawah Pengandaian salah. Jadi 0 adalah salah satu batas bawah dari S, sebarang batas bawah S sehingga maka menurut definisi diperoleh
,
