TRIGONOMETRIA
Preparado por:
Prof. Evelyn Dávila
Trigonometría se refiere a la medida de los lados y los ángulos de un triángulo. – Aplicaciones Aplicaciones de la TRIGONOMETRIA: topografía, navegación e ingeniería.
Podemos desarrollar el tema
de trigonometría por medio de dos enfoques, éstos son: – El círculo – El triángulo rectángulo
Trigonometría
Enfocada por medio del
TRIANGULO RECTANGULO
Triángulo Rectángulo hipotenusa
Triángulo rectángulo
catetos Característica principal de un triángulo rectángulo es que uno de sus ángulos mide 90 0
Observacionesimportantessobrelostriángulos rectángulos
.
Un triángulo consta de tres lados y de tres ángulos.
La suma de los tres ángulos es 1800
La suma de la longitud de cualquiera de dos de los lados del triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.
Sea c la hipotenusa, a y b los catetos, entonces c2 = a2 + b2
Los ángulos se nombran con letras para identificarlos. Algunas de las letras que utilizamos son del alfabeto griego como por ejemplo;
“gamma”; “betha”
“alpha” ;
Podemos relacionar los lados de un triángulo rectángulo con sus ángulos por medio de las relaciones trigonométricas.
Por medio de éstas relaciones trigonométricas podemos hallar información sobre ya sea un lado o un ángulo que desconocemos del triángulo.
Las relaciones trigonométricas son seis, tres de ellas son fundamentales ya que dan origen a las otras.
RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA UN TRIANGULO RECTANGULO Relaciones básicas
senoγ
lado opuesto =
Relaciones recíprocas cos ecante γ =
hipotenusa coseno γ
lado adyacente =
tangente γ
hipotenusa lado opuesto =
lado adyacente
sec ante γ
1 senγ
=
cos enoγ
cot angenteγ
=
tan γ
lado adyacente lado adyacente
1 =
lado opuesto hipotenusa
1 =
hipotenusa
=
lado opuesto
Relaciones trigonométricas de un triángulo rectángulo
Las tres funciones trigonométricas básicas para el ángulo senoγ
lado opuesto =
hipotenusa coseno γ =
tangente γ =
lado adyacente hipotenusa lado opuesto lado adyacente
Lado adyacente a “gamma”
Lado opuesto a “gamma ”
EJEMPLO 1 MEDIDA DE LA HIPOTENUSA
3
c=
a2
+
b2
c=
42
+
32
=
16 + 9
=
c=5
4 senoγ
lado opuesto =
4
hipotenusa coseno γ
cos ecante γ
=
5
lado adyacente =
3 =
hipotenusa
tangente γ
=
5
lado opuesto lado adyacente
4 =
3
sec ante γ
1 =
5
senγ
=
1 =
5
cosenoγ
cot angenteγ
4
=
3
1 =
tan γ
3 =
4
25
Continuación EJEMPLO 1 senoγ =
4 5
cos ecante γ =
=
5 4
0.8
=
1.25
coseno γ = secante γ
3 5
5 =
=
3
=
0.6
1.67
tangente γ =
cot angente γ
4 3
=
1.33
3 =
=
4
.75
Podemos utilizar cualquiera de los valores anteriores para determinar la medida del
3 4
ángulo
Veamos el siguiente ejemplo
3
Hallar la medida del ángulo indicado. Calcula una de las relaciones trigonométricas según la información que te provea el ejercicio. La razón seno
4
γ =
4
seno
5
= 0.8
es .8 , si necesito hallar la medida
de γ y conozco el valor de seno γ , la función inversa de seno me permite encontrar el valor de siguiente forma:
Si seno γ = .8 , entonces
γ
=
de la
seno 1 (.8) −
CALCULAR LA INVERSA DE SENO S i seno
γ
=
.8 , Presenta la respuesta en :
entonces
γ
=
seno
−
1
(.8)
Grados___ Radianes___
Utilizaremos la calculadora
ENTRADA EN LA CALCULADORA .8
SEN-1 =
ENTRADA EN LA CALCULADORA .8
SEN-1 =
Pantalla Radianes .927
Grado 53.13
Recuerda escoger en tu calculadora la unidad de medida para el ángulo, (grados o radianes) antes de hacer los cómputos.
PRACTICA 1 Utiliza la información de la siguiente 3 figura para contestar las siguientes preguntas.
4
1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para 2. Halla el valor de , en grados y en radianes, utilizando la relación coseno. 3. Halla el valor de , en grados y en radianes, utilizando la relación tangente.
Respuestas -PRACTICA 1 1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para seno β coseno tangente
3 =
β
=
5
.6
4 =
β
=
5
cos ecante β =
4
=
relación coseno. coseno
3. Halla el valor de tangente.
=
=
=
, en grados y en radianes, utilizando la
β
radianes
1.67
=
.75
2. Halla el valor de
3
=
1.25 4 4 cot angente β 1.33 3
.8
3 =
secante β
5
5
4 =
=
5
.6435
.8
cos eno
grados
−
1
(. 8)
=
36 .87
, en grados y en radianes, utilizando la relación 3
tangente
β
radianes
.6435
=
=
4
.75 ; grados
tan
−
1
(. 75 )
36 .87
0
=
γ
Compara las relaciones trigonométricas seno y coseno de
=53.13
0
senoγ =
4 5
=
coseno γ =
3 5
0.8
=
y
= 36.870 seno β
0.6
La suma de
coseno
y
y son ángulos complementarios. Por tanto
3 =
=
5
β
.6
4 =
=
5
.8
es 900
y
dos ángulos complementarios, entonces, encontramos las siguientes relaciones: Sean
cos γ = senβ cos β = senγ csc γ = sec β csc β = sec γ tan γ = cot β tan β = cot γ
PRACTICA 2 Utiliza la información de la siguiente figura para contestar las siguientes preguntas. 3
2 2
1`. Halla el valor de
, en grados y en radianes.
2. Halla el valor de
, en grados y en radianes.
Respuestas -PRACTICA 2 1. Halla el valor de tangente
β
, en grados y en radianes.
2 =
=
1.1547
tan gente
−
1
(1.1547 )
=
3 radianes
grados
.8571
49 .11
2. Halla el valor de
, en grados y en radianes. = 90, corta tenemos que +
En la forma Por lo tanto γ = 90 - β γ = 90-49.11=40.89
Utilizando las relaciones trigonométricas tenemos 3
tangente
β
radianes
.7137
=
2
=
.866
grados
tan gente 40 .89
−
1
(. 866 )
=
Observación Si conozco dos de los lados de un triángulo rectángulo puedo hallar la medida de sus ángulos.
Ejemplo 2 Halla la medida de la hipotenusa del siguiente triángulo. 12 es la medida del lado opuesto a 40 grados
40
12 es la medida del lado adyacente de 50 grados
12 seno 40 = .6428 =
x =
12
12
x
12 .6428
cos eno 50 =
x despejamos para x x = 18.668
ó
.6428 =
x =
12
x
12 .6428
12
x despejamos para x
x = 18.668
Como 40 y 50 son complementarios entonces seno 40=coseno 50
PRACTICA 1
Halla la medida de los dos catetos del siguiente triángulo a 30 25
b
Respuestas-PRACTICA 1 Halla la medida de los dos catetos del siguiente triángulo a
30 b
25 seno 30 .25
=
=
b
cos eno 30
25
b
.87
25 despejamos
b
=
(. 5)( 25 )
12 .5
b
=
a 25
a
25 despejamos
para b =
=
=
(. 87 )( 25 )
para b =
21 .65
APLICACIO N
Estamos cargando una escalera de largo L por un pasillo de 3 pies de ancho hacia un area de 4 pies de ancho, según el siguiente 3 pies dibujo.
escalera
Halla la medida del largo de la escalera como función del ángulo tal como se ilustra .
4 pies
3 pies
escalera
4 pies
