ANUAL
s
Preguntas Propuesta
TRIGONOMETRÍA visita: mathwallace.blogspot.com
Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo agudo I
1.
En el gráfico, calcule tanq+cot2q+cot(2q+a).
Se coloca un telescopio topográfico sobre un tripode que esta 5 pies por arriba del nivel del suelo, mide una elevación de qº sobre la horizontal a lo alto de un árbol que está alejado 12 pies. ¿Cuál es la altura del árbol?
(x+8) pies
5 pies
12 pies
A) 57 pies D) 13 pies
B) 15 pies
θα
θ
13
A) 1 D) 4
x pies
θ
2.
4.
5.
10
B) 2
2 C) 3 E) 5
Un peso de cables atados a ambos extremos de una viga horizontal, se aprecia en la figura. 1 Si tan α = y cotb=3, ¿cuál es la longitud a la 2 que está el peso con respecto a la viga?
C) 10 pies E) 85 pies
1 sen B, 3 calcule cosB · secA+5tanA
En el gráfico, si sen A =
90 cm α
β
B 2 cm peso
3
A A) 1 D) 3
3.
B) 2
C A) 12 cm B) 3 cm C) 11 cm D) 14 cm E) 20 cm
C) 1/2 E) 1/3
En un triángulo ABC recto en B, calcule cot2C – sec2A.
6.
C
...
c
B A) – 1 D) – 2
B) 1
21 , q es un ángulo agudo. 29
θ θ calcule 29 sen + 2 ·cot 2 2
b
a
Si cos θ =
A C) 2 E) 0
A) 5 B) 3 29 C) 2 D) 7 E) 10 2
Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo agudo II
9. El área de una región triangular ABC, recto en B es 8 3 u 2. Si tan C = 3, calcule la longitud de
7. En el gráfico se ilustra una grúa con un contra-
la hipotenusa.
peso, calcule la distancia entre los puntos A y B. A) 16 A
D) 10 E) 8 3
B
10 u
127°
B) 12 C) 8
10. En el gráfico senC=0,8 y AM=24.
10 u
Calcule BM – MC. B
M A) 20 u B) 8 5 u
A
C) 32 u D) 10 2
C
A) 7 B) 14 C) 12 D) 6 E) 21
E) 6 10 u
8. Del gráfico, calcule cota, siendo ABP un triángulo isósceles y P es punto medio de AC. A 120º
11. En el gráfico EFGH es un cuadrado, calcule el valor de la expresión cscx+senx x
P E
B
α
H
C
A) 2 3 B) C)
3 2
3 3
F
105°
A) 2,5 B) 3,5 C) 4,5 D) 5,5 E) 6,5
D) 3 3 E) 3 3
G
Trigonometría 12. Si
15. Se sabe que q y a son complementarios, ade-
sec 45º = cos θ y BC=CM, csc 30º
calcule ( 2 + 1) tan α.
B
más se cumple 16senq=seca. Calcule 15 ·tan θ + csc θ A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
16. Siendo x un ángulo agudo, calcule cos(x – 5º), θ A
θ
C
α
M
A) 2 B) 3 C) 2 − 1
si
sen 35º + cos 55º = sen x 2 tan 40º·tan 50º
A)
2 2
D)
3 E) cos40º 2
D) 2 E) 1
1 B) C) cos50º 2
17. Calcule el valor de la expresión
Razones trigonométricas de un ángulo agudo III
sen 1º·sen 10º·sec 89º cos 80º·cos 60º·sen 30º
13. Si sen(2xº+12º) · csc52º=1 y
sen(3yº+10º)=cos(2yº+35º)
calcule x – y.
A) 1
D)
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
B)
4 3 E) 4 3
18. Al multiplicar las 5 razones trigonométricas de un ángulo agudo se obtiene el valor de 3. Calcule la mayor tangente que se puede conseguir.
14. Calcule A y B, a partir de las siguientes igualA) 2 2
dades
...
tan(3A – 35º)=cot(90º – B)
(I)
2B – A=15º
(II)
A) 5º; 10º B) 1; 8 C) 14; 13 D) 15º; 15º E) 17º; 16º
3 C) 4 3 3
B) 3 C) D)
1 3 2 4
E) 3 2 4
Trigonometría A) 2asenq B) 2acosq C) a(senq+cosq) D) a(senq+secq) E) a(cosq+cscq)
Resolución de triángulos rectángulos I
19. Calcule CM en función de q, si 4(BC)=5(CD). B
22. En el gráfico, calcule
M 9
A) cos10q B) sen10q C) sen5q · cos5q D) cos9q E) sen9q
C θ A
D
OM . OA
A 1 B 2
θ θ θ
O θ
A) 4sen2q
D
B) 5sen2q C) 4sen3q 2
D) 4cos q
10
M
E) 5 · cos2q
20. Del gráfico, calcule AM en término de q y d.
EH 23. En el gráfico, calcule , si AM=a. MD E
B
B A) dsen2q
θ
B) d · cos2q
H M
C) d · senq D) d · cosq E) d · senq · cosq
d M A A
θ
C
A)
a − b cos θ b
B)
a sen θ − b a
C)
b + a cos θ a
D)
b − a ·cos θ a
E)
b − a sen θ a cos θ
B
A
θ
21. En el gráfico, calcule QR+PM.
Q
C
3
M
a R
P 5
θ
C
D b
C
Trigonometría 24. Si AD=MN, calcule cotq · cosq – senq. A
A) cota B
C) cosa · cota
N
θ
B) csca · cota D) csca · cota · cosa E) seca · tana · sena
M
27. En el triángulo ABC, recto en B, calcule BD.
C
D
B
A) 1/2 B) 1/3 C) 2 D) 3 E) 1
b
α
Resolución de triángulos rectángulos II
25. Del gráfico, calcule x. B
C
B) bsena · cscq C) b · sena·senq
2
A
D
A) bcosa · cscq F
30°
θ
A
D) b · cosa · secq
M x
θ
C
E) b · sena · senq
28. En el gráfico AC=CD, calcule x.
A) 8cotq
B
B) 8cscq C) 4cotq
θ
D) 4cscq
M
2n
E) 8senq
P x
26. En el gráfico, calcule CD. B
...
α
C
A
C
A) ncscq B) ncotq
1
C) n D) ntanq
α A
D
E) 2n 6
D
Trigonometría 29. En el triángulo ABC recto en B, calcule AB.
30. En el gráfico, calcule AC en términos de a y q B
B
180° – 2θ
60° 1
M
50° A
P
C
A
α α
A) csc10º · sec50º
A) 2cosq · cota
B) csc10º ·zcsc50º
B) 2senq · cota
C) csc50º · sen80º
C) 2csca · tanq
D) sen80º · sec50º
D) 2 · tana · cosq
E) sen50º · sen10º
E) 2senq · csca
2
β
β C
Claves 01 - C
05 - E
09 - C
13 - B
17 - E
21 - C
25 - B
29 - C
02 - B
06 - D
10 - B
14 - E
18 - A
22 - A
26 - D
30 - E
03 - A
07 - B
11 - A
15 - C
19 - B
23 - D
27 - A
04 - C
08 - D
12 - E
16 - D
20 - E
24 - E
28 - C
7
Trigonometría A) 2cot2q D) 2sec2q
Resolución de triángulos rectángulos III
1.
Calcule el perímetro de la región sombreada.
4.
B) 2csc2q
C) 2tan2q E) 2tanq
Calcule x en términos de q. θ x
α
α
6
2
A) 6(seca+1) B) 2(seca+3) C) 3(seca+2) D) 6(tana+1) E) 6(csca+1)
2.
5 A) 5 – 2cotq D) 5 – 2tanq
Calcule el área de la región sombreada en términos de q.
5.
B) 5+2tanq
C) 5+2cotq E) 5 – tan2q
De acuerdo al gráfico la luz se proyecta por medio de un espejo a la parte más elevada de un árbol. Calcule la tanq. A) 7
3 θ
1 7 2 D) 3
C) 1
A) 3tan2q B) 3sec2q C) 3cotqcscq D) 3cot2q E) 3tanqsecq
3.
E)
6.
θ
θ
50 u
7 3
40 u
En el gráfico. Si AB=AE, calcule tanb en términos del ángulo q. A
Si AB=2, calcule MN en términos de q.
B
θ
β
B
A
...
3 2 210 u
B)
θ
E
D
M
N
C
C
A) secq+tanq B) secq – tanq C) tanq – secq D) secq –1 E) tanq –1 8
Trigonometría 10. Del gráfico, calcule a+b+c si ABCD es un cua-
Introducción a la geometría analítica I
7.
drado. En un triángulo equilátero ABC, halle la suma de las coordenadas de B. A) 2 ( B) 3 ( C) 2 ( D) 3 ( E)
3 − 1) 3 − 1) 3 + 1) 3 + 1)
Y B (0; 7)
Y
B
A (– 4; 4) C (a; b)
3 −1
A –4
O
X
D (c; 0)
UNMSM 2006 - II
8.
En el gráfico, las coordenadas del punto P son 3 ) y las del punto Q son (3; 3). ¿Cuántos grados mide el ángulo POQ?
(3;
C) 7 E) 8
punto (– 2; 3) es 20.
Q
P
O
X B) 30º
C) 22,5º E) 15º
A) (– 6; 5), (1; 5) B) (– 6; 5), (2; 5) C) (– 3; 5), (2; 5) D) (– 3; 5), (1; 5) E) (– 2; 5), (4; 5)
12. Calcule el perímetro de la región triangular ABC.
UNMSM 1997
9.
B) 6
11. Encuentre los puntos (x; 5) cuya distancia al
Y
A) 10º D) 12º
A) 5 D) 4
X
Y
Del gráfico, calcule tana+tanb. Y
C
B(8; 3)
(4; 0)A
A(– 2; 3)
37º
X
α β
X B(4; – 5) C(28; – 7)
7 A) 18 D)
25 C) 24
4 B) 3
7 24
E)
9
9 16
A) 20 u B) 21 u C) 22 u D) 23 u E) 24 u
Trigonometría Introducción a la geometría analítica II
16. Si OM=MB, ON=NC y G(a; b) el baricentro del triángulo OBC. Calcule
13. Del gráfico, calcule b – a.
Y
C(4; 6)
B
P(a; b)
M(3; 6) X
A(– 4; 2)
O
B(4; – 4) A) 2 D) 5
a . b
B) 3
N(4; – 5) C
C) 4 E) 1
A)
14. Calcule la suma de coordenadas del punto M si AB=MN.
1 7
B) 5
D) 6
C) 7 E)
1 3
17. Calcule las coordenadas del baricentro del
Y
ABC si OC=AO=OB.
B(– 4; 0) X
θ θ
Y
C
M
B
A N(2; – 6)
X O
A) – 2 D) – 4
B) – 3
C) – 5 E) – 6 A(3; – 6)
15. Si AM=MC y 2(PM)=BP, calcule el ángulo q. Y
A) (1; 2) D) (2; 3)
B(2; 7)
B) (2; 1)
C) (6; 5) E) (3; 2)
18. El baricentro de un triángulo es el punto (1; 4) y P
...
X
θ M
A(– 3; – 2) A) 15º D) 45º
B) 30º
C(7; 1)
1 3 el punto medio de uno de sus lados es ; . 2 2 Determine las coordenadas del vértice opuesto a dicho lado. A) (2; 9)
C) 37º E) 60º
B) (1; 3)
3 11 D) ; 2 2
C) (2; 8) E) (–1; – 2)
10
Trigonometría 22. Calcule tana+cotb.
Ángulos en posición normal I
Y
A(– 4; 1)
19. Del gráfico, calcule tan2q+2. Y
α β
X
6
θ
A) 10 D) 9
45º
X M(4; 0)
B) 12
C) 7 E) 11
A)
1 2
D)
15 4
B) 0
C) −
1 2
E) −
15 4
23. Del gráfico, calcule 7tanq si AB = 5 2.
20. Sea q un ángulo en posición estándar, pertene-
Y
ciente al tercer cuadrante, cuyo lado final pasa por los puntos A(– 4; x –1) y B(x+1; – 3), calcule el valor de x. A) – 4 B) 0 C) – 2 D) − 13 E) 13
θ 37º
A A) – 2 D) – 4
21. Del gráfico, calcule secq.
X B
45º B) –1
C) – 3 E) –1/2
24. En el gráfico, calcule cosφsenφ si OA=OB. Y Y
B
(n; 2)
A 3 θ X
A) −
5 3
D) −
3 5 5
B) −
3 2
C) −
3 5 2
E) − 2
11
O
A) −
2 7
D) −
2 3 7
φ
30º
X
B) −
2 2 7
C) −
2 7
E) −
3 3 7
Trigonometría 28. De la siguiente igualdad
Ángulos en posición normal II
25. Si sen α tan α < 0, determine el signo resultante de las expresiones. I. cosa · tana II. cota – csca III. cosa+cota
A) D)
A) –; –; + B) +; –; – C) +; –; + D) –; +; – E) –; –; –
B) 3
Calcule 2 tan θ +
3 5
5 2
E) 2
A) FFV D) VVF
csc θ . 2
B) VVV
C) FVF E) FFF
30. Del gráfico, determine los cuadrantes a los que pertenecen a y b, respectivamente.
13 3
B) 5
C) 1 Y
13 4
E) –1
α
1 9
β
27. Si tan 2 β = , β ∈IIIC, calcule 10 sen β − cot β. A) 1
B) −
1 3
D) 3
...
C)
proposiciones. I. Todo ángulo del IC es positivo. II. Si cosb=2/3 → b ∈ IC ∨ IVC. III. Si a es negativo → sena es negativo.
1 3
D)
3 2
29. Determine el valor de verdad de las siguientes
26. Si q ∈ IIIC, además cos θ = − .
A)
9(senq)2+3(senq) – 2=0, q ∈ IIC. Calcule cscq.
C) −
X
1 4 A) III, III D) IV, III
E) – 4
B) II, IV
C) II, III E) IV, IV
Claves 01 - A
05 - B
09 - C
13 - C
17 - B
21 - D
25 - B
29 - C
02 - E
06 - B
10 - A
14 - D
18 - A
22 - B
26 - D
30 - A
03 - C
07 - A
11 - B
15 - D
19 - E
23 - C
27 - B
04 - D
08 - E
12 - E
16 - C
20 - D
24 - D
28 - B
12
Trigonometría Ángulos en posición normal III
1.
Determine
cuántos
ángulos
6.
Del gráfico P(– 2; 3)
cuadrantales
existen entre – 541º y 181º. A) 7
B) 8
2.
α E) 11 calcule
Calcule el valor de la siguiente expresión:
α −β sen 4
cos(α − β) + 13(sen α + cos β)
2(1 − 2 sen 270º + sec2 180º ) π 1 + 2(cos 2π) csc + sec2 2π 2 3 2 8 D) 5 A)
3.
B) 2
A) – 1 D) 2
C) 1 E)
4 3
7.
D) 1
4.
C) 0
8.
; 0º < x < 90º,
B) 0
5.
C) 1 E) – 2
Si q y α son ángulos cuadrantales positivos y menores que una vuelta, que cumplen
...
tanq=senα+1. Calcule q+α. A) 360º B) 270º C) 360º D) 720º E) 450º
C) secq E) cos2q
De la siguiente identidad,
calcule el valor de n.
calcule sen(2x+10º)+cos(4x+20º)+cot(6x+30º) A) – 1
B) cosq
cot θ + cos θ = sec n θ, csc θ + 1
1/ 2
D) 2
Simplifique la siguiente expresión:
A) cscq D) senq
E) 2
3x 3 Si cos = 4 4
C) 1 E) – 2
1 − cos θ + sen θ sec θ + tan θ − 1
calcule sen( 90º K1) − cos(90º K2 ) csc( 90º K3 ) + tan(90º K4 ) B) – 1
B) 0
Identidades trigonométricas fundamentales I
Si Kn=n,
A) – 2
X
β
C) 9
D) 10
Y
A) – 1 D) 2
9.
B) 1
C) – 2 E) 1/2
Si sen2q – 1=2senq, calcule sen2q+csc2q A) 8 D) 10
B) 4
C) 2 E) 6
10. Reduzca la siguiente expresión: (sen x )−1 ⋅ (sec x )−1 ⋅ (cot x )−2 −1 −1 (cos x ) ⋅ (csc x ) A) tan2x D) secx · cscx
B) cot2x
13
C) 1 E) cotx
Trigonometría 11. Si sec θ − tan θ + 1 = n,
15. Si
sec θ
calcule senq – cosq A) 1 – n D) n – 2
B) n+1
2
C) n – 1 E) 2 – n
sec2 θ − 2 = n, tan θ + 1
Calcule
1 − sec θ sec θ − tan θ
A) n+1
B) – n
D) 2n
C) n – 1 E) 1 – n
2
12. Si tan x+cot x=2 y x pertenece al segundo cuadrante, halle el valor de la expresión
16. Sabiendo que α es un ángulo agudo, el cual satisface la ecuación cotα +cscα=5, determine
tan 81 x + cot 81 x + 4 cot
21
7
el valor de la expresión 24tanα+26senα.
6
x + tan x + cot x A) 10
A) – 4
B) 4
C) 2
D) – 2
C) 15 E) 5/13
E) – 6 UNMSM 2004 - II
Identidades trigonométricas fundamentales II
17. Simplifique la expresión 1 + 2 {(sec x(tan x )−1 − tan x(sec x )−1)−1 − sen x ⋅ (cos x )−2 }
A) 2
13. Reduzca la siguiente expresión: 3
B) 20
D) 5/12
B) – 1
C) 1 E) 2– 1
D) – 2
sec x − cos x csc x − sen x
UNMSM 2007 - II
18. Si cosq·cotq+2senq=3, entonces el valor de
A) cotx B) tanx C) secx D) cscx E) 1
sen2q+csc2q es A) 11
B) 8
D) 9
C) 5 E) 7
2
UNMSM 2008 - II
1 + cos α ⋅ csc α en función de sen α + cos α
14. Exprese A = tanα.
Identidades trigonométricas fundamentales III 2
A) 1+tan α
19. Si sec2q+csc2q=4,
1 B) 1 − tan α
calcule sen6q+cos6q
C) 1 – tan2α D) (1+tanα)2 E) 1 +
A)
1 4
B)
C)
1 8
D)
1 16
E)
7 4
1 tan 2 α UNMSM 2004 - I
14
1 2
Trigonometría 20. Calcule el equivalente de la siguiente expresión:
Identidades trigonométricas de ángulos compuestos I
sec α ⋅ csc α − tan α +1 sec α ⋅ csc α − cot α
25. Reduzca la siguiente expresión:
2
A) sec α B) csc2α C) sen2α+1 D) 2 E) cos2α+1
sen( A + B) − sen( A − B) cos( A − B) − cos( A + B) A) tanA B) tanB
21. Si 3+4cotq=5cscq,
C) cotB
calcule tanq.
A) 4/3 D) 3/8
D) cotA B) 2
C) 3/4 E) 1/2
22. Reduzca la siguiente expresión:
26. Simplifique la siguiente expresión:
sen8q – (sen4q – cos4q)(1 – 2sen2qcos2q)
cos( x + y) + tan y cos y sen x cos x sen y
A) sen8q
A) coty
B) – cos8q
B) – tanx
4
C) sen q
C) tany
D) cos8q
D) cotx
E) – sen8q
E) – coty
23. Simplifique la siguiente expresión: 4
4
2
2
2
sec θ csc θ − (sec θ − csc θ) 2
A) 1 2
B) sen2q
D) cos2q
C) 4 E) 2
24. Elimine la variable q en secq+cscq=a y tanq+cotq=b, A) (b – 1)2=a2 – 1 B) (b+1)2=a2+1 C) (b+1)2=1 – a2 D) (b2+1)2=a2 E) (b – 1)2=a2+1
27. Si A+B=30º y A – B=16º, calcule el valor aproximado de la expresión sen2Acos2B – sen2Bcos2A
2
sec θ + csc θ
...
E) tanA+tanB
A)
7 25
D)
16 50
B)
7 50
C)
5 24
E)
3 50
28. Si a ⊗ b = ( a + b)2 − 1 x + y = 60º calcule (cos x ⊗ sen y) ⊗ (sen x ⊗ cos y) A) 0 D) 3
B) – 1
15
C) 1 E) 2
Trigonometría 29. Del gráfico, calcule senq.
30. Calcule el valor aproximado de la expresión sen 29º ⋅
θ 12 16
A)
3 65
D)
63 65
B)
A) 5
62 65
1 2 sen 16º + 5
2
B) 2 2
C)
5 63
E)
7 60
C)
2 2
D)
17 2 50
E)
31 2 2
Claves 01 - C
05 - E
09 - E
13 - B
17 - C
21 - C
25 - D
29 - D
02 - D
06 - D
10 - C
14 - E
18 - E
22 - D
26 - A
30 - C
03 - A
07 - B
11 - A
15 - A
19 - A
23 - C
27 - B
04 - B
08 - A
12 - D
16 - B
20 - B
24 - B
28 - E
16
Trigonometría Identidades trigonométricas de ángulos compuestos II
1.
15 2
B)
4 3
D) 3
37º
C)
13 7
E)
13 9
5
x
A) 1/2 D) 1 Si tan θ =
B) – 1
D)
B) 2n
1 B) 4
3 2
Si tan (θ + α ) =
7.
De la siguiente identidad tan 5 x + tan 3 x sen ( Ax ) , = tan 5 x − tan 3 x sen ( Bx )
A) 12 D) 6
8.
calcule
9.
B)
9 19
D) −
1 10
E) −
9 14
B) 3
C) 1/3 E) – 1/3
Calcule el valor de la siguiente expresión sen 2º sen 2º + − tan 12º cos10º cos 8º cos12º cos10º A)
D) −
C) 9 E) 10
sec2 A − 1 − tan 2 B . tan A − tan B
A) 2 D) – 3
5 2
1 21
1 21
B) 8
Si sen(A+B)=3cosAcosB,
A)
C) −
C) 87/5 E) 77/14
donde A > B > 0. Calcule A+B.
2 C) 3
1 1 y tan (θ − α ) = , 5 4
B) 83/14
Identidades trigonométricas de ángulos compuestos III
C) 1/n E) 1/2n
E)
calcule tan2a.
...
C) 2 E) – 1/2
1 Si cota – cotq=5 y tan θ tan α = , 2 calcule tan(q – a). 5 A) 3
5.
A) 87/14 D) 83/4
n −1 , calcule tan(45º – q). n +1
A) n D) 1– 2n
4.
2
Calcule el valor de la expresión. 3 4 + tan θ 3 ·tan (53º −θ) 1 − tan θ 4
3.
Del gráfico, calcule el valor de x.
Si tan(45º+q), calcule sec2q. A)
2.
6.
1 7
B)
1 3
3 4
1 7 1 E) − 3
C) −
10. Calcule el equivalente de la siguiente expresión sen ( x + y ) sen ( x − y ) − sen 2 x sen y
A) – cosy D) – coty
B) cosy
17
C) – seny E) seny
Trigonometría 11. Simplifique la siguiente expresión sen 2 α − sen 2 θ + sen 2 (α + θ)
17. Reduzca la siguiente expresión cot 30º + cot 37º + cot 23º cot 30º tan 53º
2 sen α cos θ
A) cot13º D) cot23º
A) sen(a – q) B) senacosq C) senqcosa D) sen(a+q) E) senasenq
tan 3 A + tan 3 B + tan 3C tan 3 A tan 3 B
tanq+tan(q+a)+4tanqtan(q+a) B) 3
C) 2 E) 1
Identidades trigonométricas de ángulos compuestos IV
13. Calcule el valor de la siguiente expresión 3 cos10º −4 sen 10º sen 27º
A) 5 D) 1/5
C) cot33º E) cot18º
18. Si A+B+C=60º, calcule
12. Si tan(2q+a)=4, calcule A) 5 D) 4
B) cot21º
A) – tan3C D) tan3B
B) tan23A
Reducción al primer cuadrante I
19. Calcule el valor de la expresión
sen120º+cos240º+tan150º+sen150º A)
3 6
B)
5 3 6
D) 0
B) 10
C) – 5 E) –10
14. Calcule el valor de la siguiente expresión
C) tan3C E) – tan3A
C)
3 2
E) 1
20. Si x+2y+3z=180º calcule
sen (2 y + 3 z ) tan ( x + 2 y ) − . sen x tan 3 z
(sen20º+cos20º)sec25º A)
2 2
B)
C) 2 2
2
D) 2
E)
1 2
15. Calcule el máximo valor de la expresión π 2 sen x + + cos x 6
A) 5 D) 2
A) 2 D) –1
B) 0
C) – 2 E) 1
21. Simplifique la siguiente expresión sen ( π + x ) sen (2π − x ) tan ( π − x )
B) 7
C) 1 E) 3
16. En un triángulo ABC, se cumple que tan A tan B tan C = =, 6 3 2 2 calcule tan A.
A) 12 D) 11/4
B) 11/9
C) 11 E) 10 18
E) 1/2
Trigonometría 23. Se cumple que a+b=300º, el valor de
1 sen 2 α − sen 2 β + sen 120º sen (α − β ) − es 4 1 1 1 A) B) C) − 2 4 4 1 D) − 2
2 3
4 3
4 3 3 E) 4
3 2
D) 2
B) cota
A) 1/2 D) 2
C) tana E) – cota
B) –1/2
C) 1 E) –1
30. Si
3π cos − θ 2 = n, π cot + θ 2 calcule sen2q.
C) 3
A) 1– n2 B) n2 C) n2 –1 D) 2 – n2 E) – n2
E) 1
26. Si cos50º=n, calcule cos130º sec 310º csc 220º
...
4 3 3 E) − 4
C) −
sen(2a+q)csc(2q+a)cotq.
sen 150º tan 225º B)
1 2
29. Si a+q=90º, calcule
C) −
25. Simplifique la expresión cos (180º −θ) csc (270º +θ) 1 2
B) −
A) – tan2a D) cot3a
Reducción al primer cuadrante II
A)
csc 240º , cos 210º
3π cot 2 ( π + α ) cot − α 2 3 π tan ( π + α ) tan − α 2
X
θ
D) −
calcule tanq.
C) n3 E) n–1
28. Calcule el equivalente de la siguiente expresión
37º
B)
27. Si tan (90º +θ) =
A)
Y
3 4
B) n– 3
3 4 4 D) 3
E) 0
24. Del gráfico, calcule tanq.
A) −
A) – n3 D) – n– 3
Claves 01 - E
05 - C
09 - C
13 - A
17 - D
21 - D
25 - D
29 - C
02 - D
06 - A
10 - C
14 - B
18 - C
22 - B
26 - C
30 - A
03 - C
07 - E
11 - D
15 - B
19 - A
23 - C
27 - E
04 - A
08 - B
12 - D
16 - C
20 - A
24 - D
28 - B
19
Trigonometría A) – 1 D) – 2
Reducción al primer cuadrante III
1.
Simplifique la siguiente expresión 2
sen θ
2.
B) 2senq
C) 2secq E) 2sec2q
7.
A) – cosq D) – tanq
B) cosq
A) sen4x
C) – senq E) senq
2 B) 3 3
1 2
B) 2
El valor de x al simplificar la expresión 2
1 + tan α 1 − sen 2α x= 1 − tan α 1 + sen 2α
C) 2 3 E) −
D) - 2
2 3 3
A) 1+sena B) 1 – sen2a C) 1 D) – 1 E) sen2a UNMSM 2004 - I
C) 1 E)
1 2
9.
Del gráfico, calcule
Si 3sen(3600º+q) – sen(360º – q)=1, π calcule cos 15 + θ 2 A) − D)
6.
8.
Calcule el valor de la siguiente expresión cos 4080º − tan ( −37º ) sec 780º A) −
...
1 sen 2 x 2 1 E) cos 4 x 2 D)
Calcule el valor de la expresión
3 A) − 3 4 D) 3 3
5.
1 sen 4 x 2 C) cos2x B)
π π tan 29 + cot 31 3 3
4.
Reduzca sen x cos x cos x sen x + − sec x csc x sec x csc x
Reduzca la siguiente expresión sen( 5π + θ)sen (3π − θ) sen (6 π + θ)
3.
C) 1 E) 0
Identidades trigonométricas del ángulo doble I
sen(720º +θ) − sen( θ + 180º )
A) 2cscq D) 2cosq
B) 1/2
1 4
1 4
B)
1 2
C) −
AB en términos de q. BD
B D
1 1 2
E) 1 A
Si 2a+4q=p, calcule sen (θ − α ) + sen (α − θ) + cos ( −2α − 3θ) cos θ
A) cotq D) tanq·senq
B) tanq
20
θ
θ
C) cotq·cosq E) 2tanq
Trigonometría 10. Si sen θ = calcule
cos α 2
cos 2θ sen 2 α
15. Si tan2q-8tanq+1=0,
, +
A) 1 D) 4
calcule csc2q
cos 2α + 1 sen 2 θ
B) 2
C) 3 E) 5
11. Determine el equivalente de la expresión θ θ tan ⋅ (1 + cos θ) + cot ⋅ (1 − cos θ) 2 2
A) 1 D) 4
q 2 C) 2senq
tan 2θ
calcule (sen 4θ)
B) 2 sen
17. Si
q 2 q E) 2 tan 2
12. Si cos4a+2sen2a=0 y cos2a≠0, calcule cos2a. 3 4 2 D) 9
B)
A)
1 3 1 E) 8
1 12
C)
UNMSM 2011 - I
Identidades trigonométricas del ángulo doble II sec2 x
=
3
cot x − tan x
tan ( Bx ) , B
calcule B. A) 1 D) 1/2
B) - 1
C) 1 E) 2
tan 2 x π − 1 = 2 , x ∈ 0; . tan x 4
A)
≠ rad 4
D)
≠ rad 6
B)
≠ rad 8
≠ rad 3 ≠ rad E) 12
C)
18. Determine el equivalente de la expresión
2 2 2 1 − tan 2 10º 1 − tan 2 20º 1 − tan 2 40º
A) tan280º B) cot280º C) cot240º D) tan220º E) tan240º Identidades trigonométricas del ángulo doble III
B) 2
C) 3 E) 4
14. Si tan ( a + b) = 2 y tan2b=1, calcule tan(2a). A) 3 D) 6
cot 2θ
+ (cos 4θ)
calcule x
D) 2 cos
13. Si
C) 3 E) 5
16. Si tan θ = 2 − 1,
A) 0 D) – 2
A) 2cosq
B) 2
B) 4
C) 5 E) 7 21
19. Reduzca la expresión cotx – tanx – 2tan2x– 4tan4x A) 8cot4x B) 8tan4x C) 4tan8x D) 8cot8x E) 4cot8x
Trigonometría 20. Calcule el valor aproximado de la expresión
A) 70 D) 140 2
21. Si
8
B) 140
cos4 x + sen 4 x cos6 x + sen 6 x
8
C) 0 x E) 2 cot 3
23. Si la igualdad es una identidad
C) 70 2 E) 28 2
6 + 2 cos 4 x 10 + 6 cos12 x + = sen A ( Bx ) + 8 16 sen D (Cx ) + cos A ( Bx ) + cos D (Cx ).
= 2,
calcule B+D – A – C, B > C > 0.
calcule cos4x
A) – 2 D) 1
A) 1 B) 2 C) – 2 D) 0 E) – 1
B) – 1
C) 0 E) 2
1 ≥ 2, a > 0, a determine el mínimo valor que toma 4csc(2x)+3, 0º< x < 90º
24. Si se sabe que a +
A) 1 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
22. Reduzca la expresión x x x x 2 csc − tan 2 cot − cot 3 6 3 6 + x x cot tan 6 6
...
B) 1
x D) 2 csc 3
(cot 2 4º − tan2 4º ) cos2 π − sen2 π
A) 2
TrigonomeTría 01 - A
04 - E
07 - B
10 - E
13 - B
16 - C
19 - D
22 - C
02 - C
05 - D
08 - C
11 - C
14 - E
17 - B
20 - B
23 - C
03 - E
06 - A
09 - A
12 - A
15 - D
18 - A
21 - E
24 - E
22
Trigonometría Transformaciones trigonométricas I
Identidades trigonométricas del ángulo triple
1.
Simplifique la siguiente expresión
7.
sen 3θ + sen 3 θ
sen 5θ + sen 3θ sen 7θ + sen θ + 2 cos θ 2 cos 3θ
2
cos θ A) 3senq D) 3cotq
2.
B) 3tanq
C) 3cscq E) 3sen2q
A) 2sen4q D) 2cos3q
8.
Reduzca la expresión cos 3θ − cos3 θ
3.
B) 5
4 cos3 2θ − 3 cos 2θ A) 2tan2q D) csc2q
...
D)
6.
53º 2
C) 2csc2q E) 0
C) 8º E)
B) 3a
A) 1/2 D) 1/4
B) 1
37º 2
C) 4a E) 6a
C) 1/3 E) 2
10. De la siguiente identidad 1 + cos 2θ
Si sen10º+cos20º=4a, calcule sen310º+cos320º. A) 2a D) 5a
Calcule el valor de la siguiente expresión.
(sen 5θ + sen 3θ) cos θ
3 3 2 − sen θ 2 + sen θ 1 = ; θ ∈ 0º; 90º 8 csc θ
B) 20º
C) – tany E) 0
3
C) 8 E) 7
Determine el valor que asume q, para que se cumpla la igualdad
A) 10º
B) – tanx
(sen 48º − sen 12º ) cos 36º
+ tan 2 θ
B) sec2q
C) 2sen2q E) 2senq
Calcule el equivalente de la siguiente expresión.
A) tany D) tanx
9.
Calcule el equivalente de la siguiente expresión cos2 3θ − sen 2 3θ
5.
C) 3senq E) – 3cotq
De la siguiente identidad 1+4cos32q – 3cos2q=AcosN(Mq), calcule A+N+M. A) 6 D) 4
4.
B) – 3cosq
B) 2cos2q
sen 2 x + sen 2 y − tan y cos 2 x + cos 2 y 1 + tan ( x + y ) tan y
sen 3 θ A) 3tanq D) – tan2q
Calcule el equivalente de la siguiente expresión.
= sen ( M θ) ,
calcule el valor de M. A) 2 D) 4
B) 3
C) 1 E) 5
11. Calcule el valor de la expresión 1 + 2 cos 20º cos 20º ⋅ cos 40º A) 1 B) 2 D) 4 12. Simplifique la expresión
C) 3 E) 5
cos y + cos ( y − 2 x ) 1 cos x ⋅ cos y + sen 2 x ⋅ sen y 2 2
A) cosx D) 2
B) 1
C) cos(y – x) E) – cosx UNMSM 2007 - II
23
Trigonometría Transformaciones trigonométricas II
13. Calcule el valor de la expresión
19. Del gráfico, calcule x1 · y1.
2sen70ºsen10º+2cos240º
A) 2 D) 3/2
B) – 3/2
Circunferencia trigonométrica I
Y
C) – 2 E) 1/2
1 ;y 1 2
P
14. De la siguiente igualdad
2sen3qsenq+2cos22q=McosN(q) calcule M+N. A) 3 D) 4
B) 2
X C.T.
15. Calcule cotx+tanx, si
tanx=sen10º · cos20º+sen5º · cos5º A)
D)
5 2
B)
10 3
E)
2 5
16. Calcule el valor de la siguiente expresión. 3 sen 20º + sen 10º cos 40º 1 B) 2
2 C) 2
D) 2
E) 1
1 2
D) −
1 5
cos 7 x ⋅ cos 2 x − cos 6 x ⋅ cos 3 x sen 4 x B) – sen2x
18. Elimine la variable angular x de las siguientes condiciones
2sen2xsenx+cos3x=n
(I)
cos 3 x − cos x 2 sen 2 x
(II)
A) m2+n2=1
B) n2 – m2=1 C) n+m=1 E) n2=m2 24
1 3
C) −
1 4
E) −
1 8
A)
3 −1
B)
6+ 2 8
C)
6− 2 2
5
π 6
Y P O
X C.T
1 4
E) 2 − 3 C) – senx E) – cosx
D) n · m=1
B) −
20. Calcule la longitud del segmento PO.
D)
17. Simplifique la expresión
A) senx D) cos2x
A) −
C) 2
17 4
3 A) 2
x1; – 33 Q 6
C) 5 E) 6
21. Calcule la abscisa de P. 6 − 2) 4 3 B) − 2 1 C) − 2 A) −
D)
(
3 −1 4
E) –1
Y C.T
15º
P
X
Trigonometría 22. Calcule el área de la región triangular ABC. 3 + 1 2 A) u 4
3 3 2 u 2
D)
3 3 2 u 4
E) 2 3 u
asumir q.
Y
Y
3 + 2 2 B) u 4 C)
24. Determine todos los arcos dirigidos que puede
B
C.T
A
C.T
C π –2 3
2
B) − C) −
1 2
Y
3 2 2 2
C.T
C
M
A)
π (18 k + 10 ) ; k ∈ Z0+ 9
B)
π (2 k + 1) ; k ∈ Z0+ 9
C)
π (2 k + 10 ) ; k ∈ Z0+ 9
D)
π (18 k − 10 ) ; k ∈ Z0+ 9
E)
2π (9 k + 15) ; k ∈ Z0+ 9
A X
5 3 1 E) − 4 D) −
...
X
θ
23. Si CM=3(AM), calcule la ordenada de R. A) −
20º
X
R
Claves 01 - A
04 - B
07 - A
10 - D
13 - D
16 - E
19 - C
22 - D
02 - E
05 - A
08 - D
11 - D
14 - D
17 - C
20 - E
23 - B
03 - E
06 - B
09 - D
12 - D
15 - D
18 - A
21 - C
24 - A
25
Trigonometría Circunferencia trigonométrica II
1.
3.
En la circunferencia trigonométrica, calcule la ordenada del punto A.
Determine el área de la región sombreada en función de q.
Y
Y C.T.
X A X
θ
θ A)
2.
sen θ 2
A)
1 + sen θ 2
B) −
B)
sen θ − 1 2
C) – senq
C)
− (sen θ + 1) 2
D) senq
D)
sen θ + 2 2
E) −
E)
1 − sen θ 2
4.
sen θ 2
sen θ 3
De la circunferencia trigonométrica, calcule la abscisa de P.
Determine el área de la región sombreada. Y Y
θ
X X P
θ
...
C.T.
sen θ A) 4 D)
sen θ 2
sen θ B) − 2
sen θ C) − 4 E)
1 + sen θ 2
A) senq cosq B) cosq C) senq D) – cosq E) – senq
26
Trigonometría 5.
Del gráfico, determine el valor de x en términos de b y q.
cos θ 2 sen θ D) (2 cos θ + 1) 2 cos θ − sen θ E) 2 C) (2 sen θ + 1)
Y θ
x b
X
8.
De la circunferencia trigonométrica, calcule tanb+cotb. Y
C.T.
A) – cosq D)
6.
B)
sen θ + b b
cos θ b
θ
C)
sen θ − b b
E)
sen θ b
X β
1 A) − senq – 2cscq 2 1 B) senq+2cscq 2
Determine qué proposiciones son correctas I. sen20º > sen170º II. sen(– 40º) > sen(– 20º) III. sen250º=sen290º
C) tanq+cotq A) solo I D) I y II
B) solo II
C) solo III E) I y III
1 D) − cosq – 2secq 2 1 E) cosq+2secq 2
Circunferencia trigonométrica III
7.
Calcule el área de la región sombreada.
9.
Calcule la longitud del segmento PQ. Y
Y
θ C.T.
P
Q X
X θ
C.T.
cos θ 2 sen θ B) (2 cos θ − 1) 2 A) (2 sen θ − 1)
27
A)
2 cos θ 1 − sen θ
D)
−2 cos θ 1 + sen θ
B)
2 cos −2 cos θ C) 1 sen 1 − sen θ E) – cosq
Trigonometría 10. Calcule el área de la región sombreada en términos de q.
12. Del gráfico, calcule senq+cosq. θ
Y
Y
C.T.
X X
y= x2+y2=1
θ
A) senqcosq
tan θ 2 E) – senqcosq
B) cos2q
A)
1 3
D)
2 3
C) −
D) sen2q
1–x 2
3 2
11. Si OM = , calcule el área de la región som-
B)
C)
1 5
E)
1 2
Circunferencia trigonométrica IV
13. Si n =
breada.
3 5
sen θ − 11 , determine el número de valo3
Y θ O
M
C.T.
X
q – 2senq, q ∈IIC A) 〈– 1; 1〉
B) 0;
D) 〈0; 1〉
A) B)
...
C) D) E)
(3 + 2 sen θ) cos θ 4
(3 + 2 cos θ) sen θ 4
(2 + 3 sen θ) cos θ 4
(2 + 3 cos θ) sen θ 4
(1 + 3 cos θ) sen θ 4
1 2
1 1 C) − ; 2 2 E) 〈– 1; 0〉
k+3 y q ∈[37º; 143º], 5 calcule la suma del máximo y mínimo valor que asume k.
15. Si sen θ =
A) 3 D) – 1
B) 2
C) 1 E) – 2
π 3π ; calcule la variación de 2sen2q 8 8
16. Si θ ∈ ;
A) 0; 2
C) 1; 2 B) 1 2
D) 1; 2
E) 1; 2
28
Trigonometría 17. Si θ ∈
π 5π ; , calcule, la variación de la expre6 6
sión csc3q+1. A) 〈1; 8〉 D) 〈2; 8〉
C) [2; 9〉
B) 〈1; 9〉
E) 〈3; 7〉
18. Calcule el máximo valor de 4sena – 3senq+2,
22. Si q ∈ IVC, calcule la variación de la expresión cos θ + 1 cos θ + 2
A)
3 5 ; 2 2
B)
1 2 ; 2 3
si a y q son independientes entre sí. A) 4 D) 7
B) 9
C) 0;
C) 6 E) 3
1 D) 0; 2
Circunferencia trigonométrica V
19. ¿Cuántos valores enteros adopta la expresión 3+8cos2q? A) 5 D) 7
1 2 E) ; 2 3
23. Calcule la suma del máximo y mínimo valor de B) 4
la expresión
C) 6 E) 9
1 5π 3π cos2 θ + , θ ∈ ; 4 2 2
20. Determine la variación de la expresión cos2q+2cosq A) [– 1; 3] D) [1; 5]
A) B) [0; 2]
C) [– 1; 2] E) [0; 4]
21. De la siguiente igualdad
1 E) ; 1 4
3 5 D) ; 4 4
B)
3 2
C)
3 4
E) 0
24. Determine la variación de la expresión π π 2 cos θ + + 2, θ ∈ 0; 2 4
1 5 C) ; 4 4
1 B) ; 1 2
5 2
D) 2
2cosq=4n – 3, q ∈ 〈– 10º; 190º〉. Calcule la variación de n 1 3 A) ; 4 4
1 2
A) [– 1; 0] B) [0; 3] C) − 2; 2 + 2 D) [1; 3] E) [– 1; 1]
Claves 01 - E
04 - E
07 - B
10 - E
13 - A
16 - D
19 - E
22 - B
02 - C
05 - C
08 - E
11 - B
14 - E
17 - C
20 - A
23 - B
03 - A
06 - E
09 - D
12 - C
15 - B
18 - B
21 - C
24 - D
29
Trigonometría Ecuaciones trigonométricas I
6.
Calcule la suma de las soluciones de la ecuación tan2x cosx=senx, x ∈〈0; 2p]
1.
Calcule la menor solución positiva de la ecuación sen7x+sen5x=cosx
A) 4p
A) p/36
D)
B) p/2
B)
7π 2
5π 2
C) 3p E) 2p
C) p/18 Ecuaciones trigonométricas II
D) p/6 E) p/12
2.
7.
Calcule la suma de las soluciones de la ecuación (senx – cosx)2=1, x ∈〈– 2p; 0〉.
Resuelva la ecuación 2
2cos x+cos2x=0, x ∈〈0; p〉 A)
D)
3.
{ } { } π π ; 3 2
{ }
B) π ; 5π 6 6
π π ; 6 2
C)
E)
{ } { }
A) – 2p
π 2π ; 3 3
π 2π ; 6 3
B) – 4p
D) – 3p
8.
Calcule el número de soluciones de la ecuación 3sen x+2senx – 1=0, x ∈〈0; 2p〉 A) 2
B) 1
D) 5
4.
Calcule la menor solución positiva de la ecuación
5π 2
C) 4 E) 1
Calcule la solución general de la ecuación
sen3x+cos3x=1
sen6x+sen4x+4cosx=0, n ∈Z
A) p/6
A) (2 n + 1)
C) p/12
B)
D) p/3 E) p/18
5.
9.
E) −
19 π . 6
B) 5
D) 3
E) 3
B) p/8
...
A) 2
C) 4
3π 2
Calcule el número de soluciones de la ecuación sen3x=– 1, x ∈ 0;
2
C) −
( 2senx – 1)(9cos2x – 1)=0, x ∈〈0; 2p〉
D) 2
B) 3
C) 4 E) 6
D)
π 2
nπ 4
C) (2 n + 1)
Calcule el número de soluciones de la ecuación
A) 5
{ } { } { } { } { } π 4
nπ 2
E) (4 n + 1)
π 2
30
Trigonometría 10. Resuelva la ecuación
Resolución de triángulos oblicuángulos I
sen2x – 2cosx=0, x ∈〈0; 4p〉
13. Si 5sena=3senq, calcule x
{
}
{
}
π 3π A) ; π; ; 2π 2 2
π π 3π 7π B) ; ; ; 2 4 2 4
{
C) π ; 3π ; 5π ; 7π 2 2 2 2 D)
{
π 3π 5π 7π ; ; ; 2 4 2 4
E)
{
π 5π 5π ; 3π; ; 4 4 2
θ x
}
α 5
}
A) 3 B) 1/2 C) 1/3
}
D) 2 E) 10
11. Calcule el número de soluciones de la ecuación 1 13π 25π ; cos2x+cos x= , x ∈ 2 4 4
14. Del gráfico, calcule el valor de x
2
A) 6
B) 2
C) 5
D) 3
x
25
E) 4 32º
16º
12. Calcule la solución general de la ecuación 3x x sen 2 − sen 2 = 0 2 2
A) 24 D) 28
{ } { } { }
A) (4 n + 1)
π 4
E) 36
vamente, se cumple que senAsenBsenC=1/4. Calcule
abc
, donde R es el circunradio del R3 triángulo ABC.
π 2
A) 1 B) 4
D) { nπ} E)
C) 48
15. En un triángulo ABC de lados a, b y c, respecti-
nπ B) 2
C) (2 n + 1)
B) 20
C) 2
{ }
D) 1/2
nπ 4
E) 1/4 31
Trigonometría 16. Del gráfico, calcule el valor de x en términos de q
A) 1/2
B) 3/2
C) 3
D) 2/3
E) 1/3
3 Resolución de triángulos oblicuángulos II
2
4
x
A)
4 csc θ 7
B)
4 sen θ 7
C)
3 csc θ 7
D)
3 sen θ 7
E)
1 8
19. Si sen θ = , calcule el valor de x.
θ
30º
3 2 90º+θ x A) 5/2
B) 1/2
C) 2
D) 2/5
7 csc θ 4
17. Si AB=2(BC), calcule
20. Del gráfico, calcule x+y
sen (θ − x ) . sen x
θ–x
E) 4
2
x
y
3
x
60º 8 B θ A
C
A) 1/2
B) 1
D) 4
...
A) 14
θ
C) 1/4 E) 2
sen θ . 18. Según el gráfico, calcule sen (θ + 2α ) θ α α
B) 18
D) 12
E) 10
21. En un triángulo ABC de lados a, b y c respectivamente, se cumple que (a+b)2 – c2=3ab. calcule mC. A) 30º
2
B) 120º 3
C) 15
C) 60º D) 150º E) 15º 32
Trigonometría 22. Calcule el perímetro de la región sombreada
Miscelánea de problemas
25. De la figura, calcule tanq, siendo G baricentro
60º
del triángulo ABC.
x
x2
B
G
1 A) 7
B) 10
C) 6
D) 13
30º
θ
A
5 7
A)
23. Si cos θ = , calcule el valor de n.
3 5
B)
1 2
C) 2
D) 3 n
n–1
cos4 θ − cos2 θ + (1 + cos2 θ) sen 2 θ , q ∈ III C
n+1 A) 2
B) 5
C) 3
D) 6
E) 4
26. Reduzca la siguiente expresión θ
E) 4
A) senq
B) – cosq
C) – senq
D) cosq
E) – cscq
3 4
27. Si tan θ = , calcule n.
24. Calcule el área del triángulo ABC. θ
B
A
39 2
D)
38 4
3
5
2
A)
C
E) 3
C
6
B)
39 4
33
2
C)
38 2
A)
13 3
E)
41 4
D)
7 3
n
B)
7 2
C)
13 2
E)
11 2
Trigonometría 28. Simplifique la expresión
30. Del gráfico mostrado, halle cotx+ 3 en térmi-
sen(x+30º) – cosx – cos(120º – x) A) – 2
B) – 1
D) 2
nos de m y n.
C) 1 E) 0
m
29. Simplifique la siguiente expresión.
x+30º
sen 40º + sen 20º 1 + cos 40º + cos 20º A) cot20º
B) tan10º
D) cot10º
...
n
C) tan20º E) tan40º
A)
2m n
D)
n m
B)
x m n
C)
2n m
E)
m 2n
Claves 01 - A
05 - E
09 - A
13 - A
17 - E
21 - C
25 - A
29 - C
02 - C
06 - C
10 - C
14 - C
18 - B
22 - E
26 - C
30 - C
03 - E
07 - D
11 - C
15 - C
19 - C
23 - D
27 - C
04 - A
08 - C
12 - B
16 - A
20 - A
24 - B
28 - E
34
