Preguntas propuestas
TRIGONOMETRÍA visita: mathwallace.blogspot.com
1
2 3 4
Trigonometría Sistema de medidas angulares
5. En el gráfico , determine
x . y
NIVEL BÁSICO xm
1. Halle el valor de la siguiente expresión.
90 g + 69º π rad 6
y'
25 9 B) 1 C) 9 10 3 50 D) E) 5 27 A)
A) 1 B) 3 C) 5 D) 2 E) 4
2. A partir del gráfico, halle m ACB.
NIVEL INTERMEDIO
B
6. Si la medida de un ángulo en el sistema sexagesi-
2400'
C
A)
5π rad 9
B)
A
5π 5π rad C) rad 12 13
5π π D) rad E) rad 18 5
3. A partir del gráfico, halle x. A) 8 B) 15 C) 9 D) 25 E) 10
mal y centesimal es (2a2+3a+1)º y (3a2+a – 2)g, respectivamente, halle la medida de dicho ángulo en el sistema radial. π π π A) rad B) rad C) rad 5 3 6 π π D) rad E) rad 4 8
7. De la igualdad
(10x+35)º
8. Se crea un nuevo sistema de medición angu-
lar, cuya unidad es el grado k (1k), el cual es equivalente a la décima parte del ángulo de una vuelta. Determine a cuánto equivale 5k en el sistema centesimal.
5xg
4. Si en el triángulo isósceles ABC mostrado su
base es AC, halle la medida del ángulo desigual.
...
7π rad = x º y ' z '' 64 x+y halle . z A) 3 B) 1 C) 2 D) 4 E) 2/3
π B A) rad 5 π B) rad 10 3π C) rad 5 3π D) rad (7x+1)º 10 A π E) rad 2
A) 100g B) 90g C) 200g D) 180g E) 36g
9. Determine la diferencia entre el máximo y
8xg C
mínimo valor entero que asume b a partir de la siguiente condición. aº a ' cgcm < b< m a' c A) 39 B) 40 C) 41 D) 38 E) 42 2
Trigonometría NIVEL AVANZADO
yº
10. Determine en el sistema radial la medida del menor ángulo que forma el horario y el minutero a la 1:15 p. m. A)
7π rad 24
B)
35π rad 72
A) 20
g
B) 8 C) 15
D) 5 E) 10
π C) rad 6
12. Determine aproximadamente la medida del ángulo q.
π D) rad 12 E)
(x2+15)º
100x 9
35π rad 36
11. A partir del gráfico, determine el máximo valor que asume y.
3
θ=
10 g πrad 125 m + 30 ' + + + ... 9 720 9
A) 1,5º
B) 1º C) 2º
D) 2,5º E) 3º
Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo agudo I
4. Si en un triángulo ABC, recto en C, se tiene que tanA=secB, halle cscB – cosA.
NIVEL BÁSICO
A) 1/2 B) 2 C) 1 D) 3 E) 1/3
1. En un triángulo rectángulo, la tangente de uno
de sus ángulos agudos es 2,4 y su perímetro es 120 u. Determine la región sombreada del triángulo rectángulo. 2
2
5. Si en el gráfico 4(AM)=4(MB)=BC, halle cotq. B
2
A) 240 u B) 460 u C) 420 u D) 120 u2 E) 480 u2
2. Si en el gráfico tan θ =
M θ
1 3 y tanβ = , halle EC. 4 2 C
β
36º
24º
C
3 C) 2 3 2 3 D) 3 + 1 E) 3 A) 3
12
B
A
D
B)
NIVEL INTERMEDIO θ
A
E
6. En el gráfico, determine senq+cosq si
A) 5 B) 11 C) 7 D) 13 E) 9
3. En el gráfico, AM=MN. Halle tanq. C
...
A
37º
M
θ
N
45º
6 A) 7
6 5 B) C) 5 6
4 7 D) E) 3 6
AB=AD=3(BC). 3 A) B C 5 4 B) 5 6 C) 5 7 D) 5 9 A E) 5
D
θ
2
C
E
sen θ − 7. Si q es un ángulo agudo y (sen α ) 3 = 1,
halle secqcotq. 2 3 B) C) 3 2
4 A) 3
5 6 D) E) 3 5
4
Trigonometría f 1
8. Si f(senx)=cotx, halle
2
f
A) 6
.
3 2
A) 3
B)
B) 4 C)
16 3
4 D) E) 2 5 3
3 C) 3 3
11. En el gráfico, determine cot θ − 3.
1 3 D) E) 3 2
9. En el gráfico, C es punto de tangencia y CD=3(BC). Halle cosq. B
θ
C
5 1 A) 2
θ
A
O
3 B) 1 C) 2
D) 1 − 3 E) 1 + 3
D
1 1 B) C) 4 3
1 A) 2
12. En el gráfico, AE=2(ED). Halle tanq.
2 2 D) E) 3 3
B D
NIVEL AVANZADO E
10. En el gráfico, OM=MB. Halle tanq. A
θ
A) 2 53º
A
15º
O
M
5
B
D)
θ
H B)
2 2 C) 3 2
3 3 E) 3 2
θ
C
Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo agudo II
NIVEL INTERMEDIO
NIVEL BÁSICO
6. Si sen(x – 10º)=cos(y+10º), halle el área de región triangular ABC.
1. Marque la proposición incorrecta.
2y 3
A) sen(20º+x)=cos(70º – x) B) sec(45º+y)=csc(45º – y)
B
C) tan(2x+y)cot(2x+y)=1 D) tan(40º)tan(50º)=1 E) cos(2x+y)sen(2x+y)=1
2. Si x ∈ 〈0; 15º〉 e y ∈ 〈10º; 20º〉, además
2 2
3 1 B) C) 2 2
3 4 D) E) 5 5
3. Si sen7x=cos(2x+9º) tan4xcot3y=1 halle cos5xcot4ycot(4x+6º). A) 2 D)
4. Si cos(4q – 35º)sec(55º – 3q)=tan45º, halle
tan 2θ sen 6θ + cot 5θ cos θ
A) 2/3 B) 3/2 C) 2 D) 3 E) 1
...
5. Si x es un ángulo agudo y además se cumple que
tan(senx+y)cot(cos4x+y)=2sen30º, halle x. A) 16º B) 30º C) 18º D) 25º E) 20º
A
C 4u B) 4 u2 C) 2 u2
A) 4 3 u 2
D) 8 u2 E) 2 3 u 2
7. Si q y b son ángulos complementarios, además
sen θ =
x 2 ∧ cos β = 2 x+3
halle senq+cos2q. 3 A) 5
B) 3 C) 1
2 3 E) 2 2
2x 3
tan4xcot(50º – x)=1 sen4y=cosy halle sen(2x+y –1º). A)
M
D)
7 B) 5
C)
1
3 1+ 3 E) 2 2
8. Si tan(3a+2b)=cot(2a+3b), halle sec (5a) + 5 sen (2a + 2b + 1) csc (5 b) A) 3
B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
9. Simplifique la expresión sen (20º + x ) sec (70º − x ) + cos 40º
tan 45º + cos10º csc 80º sen 50º A) –1
B) 2 C) 1
D) – 2 E) 0 6
Trigonometría NIVEL AVANZADO
10. Si tan40º+tan50º=n, halle (cot40º – cot50º)2. A) n2 – 4 B) 4 – n2 C) n – 4 D) 4 – n E) n2
13 6
D)
13 3
B)
10 13
C)
13 5
E)
3 2
12. Siendo x e y ángulos agudos, además, sen2x+sen22x+cos2y+cos22y=2senxcos2y+ +2sen2xcosy halle sen(2x – y)+cos(x+y).
11. Si q es ángulo agudo, además, se cumple que tan ( π (sen θ)
A)
sen θ
) cot π cos π = sen 85º sec 5º 4
halle tan2q+csc2q.
7
A)
3 +1 2
D)
2 +1 2
B) 2
C) 1
E)
2 2
Trigonometría A) 2(secq+senq)
Resolución de triángulos rectángulos
B) 2(secq – senq) NIVEL BÁSICO
C) 2(cscq+cosq) D) 2(cscq – cosq)
1. Si BM=4, halle DM en términos de q. B
E) 2secqsenq
C
4. En el gráfico, halle AD en términos de a y q. B
θ
A
B) 3cosq
A) 3senq D) 3cotq
θ
53º M
D a
C) 3tanq E) 3secq
2. En el gráfico, halle BP en términos de a, q y m.
C
D
θ
A
B A) atanq P
B) acotq C) a(cotq – cosq) D) a(cotq+tanq)
α
A
θ
m
E) a(cotq – tanq)
C
A) msenqcota B) msenatanq C) mcosqcota D) mcosatanq E) msenqtana
5. Si AC=, halle AH en términos de q y . B
3. Si ABCD es un cuadrado y AH=2, halle HP en términos de q. B
C
...
H
P
A) cosqcscq C) cscq
θ A
H
B) tanq
2
C
D) senq D
E) cosqsenq 8
θ
A
Trigonometría 8. Si CD=m, halle el radio de la semicircunfe-
NIVEL INTERMEDIO
rencia.
6. Halle la longitud del lado del cuadrado ABCM
B
en términos de q y a.
C
B C A
A
θ
M
a A) sec θ + csc θ
O
A)
m (sec θ + tan θ) 2
B)
m (sen θ + cos θ) 2
a
θ
D
C) m (csc θ + cot θ) 2
B)
a csc θ + cot θ
C)
a tan θ + cot θ
D)
D)
a a tan θ + a cot θ
E) m (tan θ − cot θ) 2
E)
a a tan θ − a cot θ
m (tan θ + cot θ) 2
9. En el gráfico, halle PM en términos de a y q si OM=a.
7. En el gráfico, halle senq si AB=a, MN=b y
P
BM=MC. B
M θ M
θ A
α N
O
C A) asenq – acosq
2b sen α A) a D)
2a sen α b sen α B) C) b a
a sen α 2a cos α E) b b 9
B) acosq – asenq C) asenq+acosq D) asenq – atanq E) acosq+asenq
Q
Trigonometría B
NIVEL AVANZADO
2θ
10. Siendo O centro de la semicircunferencia, T y P puntos de tangencia, halle términos de b.
cos θ en sen θ + sec θ
θ
B
T
A
β
A
D
A) 3 sen θ +cos θ
P
θ
C
B) sen θ + 3 cos θ C) senq+cosq
O
C
D) 2 sen θ +cos θ E) sen θ + 2 cos θ
A)
sen β cos β + csc β
B)
cos β sen β + sec θ
de q y m.
C)
sen β cos β + sec β
A) msenqcosq
12. Si BE es bisectriz y EC=m, halle AD en términos
A
D
B) m 2 sen θ
D) tanb
C) m 2 cos θ
E) cotb
E) msecqtanq
E
D) m 2 tan θ
11. Si en el gráfico, BC=CD=AD=, halle AB en
B
términos de y q.
...
10
θ
θ C
Trigonometría Ángulos verticales NIVEL BÁSICO
NIVEL INTERMEDIO
6. Una persona observa la copa del árbol con un
ángulo de elevación de 37º. Luego se acerca 7 m y observa el mismo punto con un ángulo de elevación de 53º. Halle la altura del árbol.
1. Desde un punto en el suelo se observa la azotea de un edificio con un ángulo de elevación de 60º. Halle la altura del edificio si la distancia entre el punto de observación y el edificio es 40 m.
B) 4 3 m C) 3 10 m A) 4 30 m D) 20 3 m E) 40 m
A) 8 m B) 12 m C) 10 m D) 6 m E) 7 m
7. Desde lo alto de un faro de 96 m de altura se observan dos barcos alineados con la base del faro con ángulos de depresión de 37º y 53º. Halle la distancia entre los barcos.
2. Desde un acantilado se observa un barco con
un ángulo de depresión de 53º. Si la altura del acantilado es 2400 m, ¿a qué distancia horizontal se encuentra el barco del acantilado? A) 1200 m B) 1600 m C) 1800 m D) 2000 m E) 1000 m
3. Desde un punto en tierra se observa lo alto de una torre con un ángulo de elevación q (tanq=0,25) y si nos acercamos 15 m, el ángulo de elevación es de 45º. Halle la altura del poste. A) 9 m B) 10 m C) 5 m D) 7 m E) 3 m
4. Un niño observa los ojos de su padre con un
ángulo de elevación q, y su padre observa los pies de su hijo con un ángulo de depresión (90º – q). Halle la relación de altura entre el hijo y el padre. A) 1 – tan2q D) 1+cot2q
B) 1+tan2q C) 1– cot2q E) tan2q –1
5. Desde la parte alta de una casa se observa la parte alta y baja de una torre con ángulos de elevación y depresión de 60º y 30º, respectivamente. Halle la altura de la torre si la altura de la casa es de 6 m. A) 18 m B) 20 m C) 22 m D) 24 m E) 26 m 11
A) 46 m B) 56 m C) 63 m D) 86 m E) 32 m
8. Desde un punto en el terreno se observa una
torre con un ángulo de elevación q; desde la mitad de la distancia, el ángulo de elevación de la torre es el complemento del anterior. Halle tanq. A) 2 / 4 B) 2 C) 2 / 2 D) 2 / 3 E) 3 / 2
9. Desde un punto en el suelo se observa un mo-
numento sobre un pedestal bajo un ángulo de 8º. Si la parte más alta se observa con un ángulo de elevación de 45º y el pedestal mide 18 m, halle la altura del monumento. A) 5 m B) 4 m C) 6 m D) 3 m E) 2 m
NIVEL AVANZADO
10. Desde un punto situado al sur de un poste se
observa la parte más alta con un ángulo de elevación de 30º; y desde otro punto situado al este de la torre, el ángulo de elevación es de 60º. Halle la altura de la torre sabiendo que la distancia entre los dos puntos de observación es 30 cm. A) 3 30 B) 30 C) 2 30 D) 3 10 E) 2 10
Trigonometría 11. Una casa, una persona y un edificio están ubi-
12. Tres personas en tierra, equidistantes entre sí,
cados en línea recta del modo que se mencionan, y sus alturas están en la siguiente proporción: 6; 1; 15, respectivamente. Si de lo alto de la casa se observa lo alto de la persona con un ángulo de depresión q, mientras que la persona observa lo alto del edificio con un ángulo de elevación a y desde lo alto del edificio se observa lo alto de la casa con un ángulo de depresión b, se verifica que acotb=bcotq+ccota, halle a+b+c.
observan la parte más alta de una torre con un mismo ángulo de elevación q. Si la relación entre la distancia de dos de ellas y la altura de la torre es 3, halle tanq.
A) 22 D) 28
B) 24
C) 26 E) 30
2 3 3 B) 3 A)
C) 3 D) 1 E) 2 2
...
12
Trigonometría Identidades trigonométricas fundamentales I
7.
NIVEL BÁSICO
1.
A) 1 D) cotq
2.
8.
B) – 1
B) – 2
Si sen θ + cos θ =
C) – 1 E) 0
2 , 3
4.
B) – 1/4
C) – 1/6 E) – 1/5
Si la siguiente igualdad es una identidad, halle a+b. 1 − sen x 1 + sen x + = a + b tan a x 1 + sen x 1 − sen x A) 4 D) 5
5.
B) 6
C) 8 E) 7
Reduzca la siguiente expresión
B) tan3q
C) cot2q E) 1
NIVEL INTERMEDIO
6.
A) n D) n+1
D) ±
C) – n E) – n – 1
Si senq – cosq=1, reduzca la siguiente expresión. 1 + cot θ 1 + csc θ + 1 + tan θ 1 + sen θ B) – 2
C) 1 E) 0
NIVEL AVANZADO
10. Reduzca la siguiente expresión. (1 + cos x ) (1 + cos x + sen x ) cos x (1 − cos x + sen x ) A) tanx D) cosx
B) cotx
C) senx E) secx
11. Determine tanq, sabiendo que
B)
A)
a −1 b−1
D)
b +1 a +1
B)
a +1 b+1
C)
b −1 a −1
E)
a b
12. Elimine x de las siguientes expresiones.
Si tanq+cotq=3, halle tanq – cotq. A) 5
9.
B) n
senq+tanq+secq=a cosq+cotq+cscq=b
csc θ − sen θ sec θ − cos θ A) tan2q D) cot3q
C) 1/2 E) 0
Si ntanq=tan(nq), halle
A) 2 D) – 1
halle senq cosq. A) – 1/2 D) – 1/3
B) 2
n2 sec2 θ − sec2 ( nθ) + 1; n > 0
C) tanq E) cot2q
Halle el equivalente de la siguiente expresión. (csc2q – 1)(1 – cos2q)+(sec2q – 1)(1 – sen2q) A) 2 D) 1
3.
A) 1 D) 3/2
Reduzca la siguiente expresión. sen θ tan θ + cos θ cos θ cot θ + sen θ
De la siguiente identidad, halle a+b+c. sen x ⋅ cos x = a sen x + b cos x + c sen x + cos x − 1
5
C) ± 5 E) 3
1+tanx=asecx 1 – tanx=bsecx A) a2+b2=4 D) a2 – b2=1 13
B) a2+b2=1
C) a2+b2=2 E) a2 – b2=2
Trigonometría Identidades trigonométricas fundamentales II
7.
A) 5/4 B) 5/3 C) 1/3 D) 2/3 E) 2
NIVEL BÁSICO
1.
Si 1+cosx=3senx, halle cscx.
Simplifique la siguiente expresión. sen 4 θ + cos4 θ − 3 sen 6 θ + cos6 θ − 4 A) 3/2 D) 1/2
2.
D)
5.
B) – 1
C) 2 E) 3
Si senx+cosx=a, halle tanx+cotx. A)
4.
C) 1/3 E) 3/4
a2 + 1 a2 − 1 2
B)
a2 − 1 2
C) E)
1 − a2
1 − a2 2 2 a2 − 1
9.
Si 5 sec x − 2 tan x = 3 , halle senx. A)
3 5
D)
5 3
B)
10 5
C)
6 3
E)
2 5
Si sec θ + csc θ = 2 6 , halle tan θ + cot θ; θ ∈ 0; A) 4 D) 1
π . 2
B) 5
C) 3 E) 2
NIVEL AVANZADO
Si n sen x + m cos x = m + n , halle secx cscx. m+ n mn
A)
mn m+ n
D)
m m n E) n mn
B)
C)
mn m+ n
Si la siguiente igualdad es una identidad, halle a.
1 – (1+senx+cosx)2(1 – senx)(1 – cosx)=senax+cosax A) 1 D) 4
B) 2
C) 3 E) 6
NIVEL INTERMEDIO
6.
8.
Simplifique la siguiente expresión (sen4q+cos4q – 1)(sec2q+csc2q) A) 1 D) – 2
3.
B) 2/3
Reduzca la siguiente expresión. sec4 θ − tan 4 θ sec θ csc θ + tan θ A) senq D) cotq
B) cosq
10. Si secx+tanx=a, halle (a2 – 1)cotx+(a2+1)cosx. A) 2a D) 6a
B) 4a
C) 3a E) a
11. Simplifique la siguiente expresión.
(1 – 2cos2q)(1 – 2sen2q cos2q)+cos8q. A) sen2q B) sen4q C) cos2q D) cos4q E) sen8q
12. Si f(tan θ+cot θ) = sec4 θ + csc4 θ, halle f(1)+f(2).
C) tanq E) secq 14
A) 13 D) 9
B) 17
C) 7 E) 11
Trigonometría Identidades de ángulos compuestos I
NIVEL INTERMEDIO
NIVEL BÁSICO
6. 1.
A) 10º D) 4º
2.
B) 5º
3.
B) 4/3
A) tan50º B) tan40º C) tan30º D) tan20º E) tan10º
C) 1/2 E) 2
7.
B) 2
A) cotx B) cot2x C) cot3x D) cot4x E) cot5x
C) 3 E) 5/2
Halle el valor de tan 2 41º − tan 2 4º 1 − tan 2 41º tan 2 4º
8.
A) 1 B) 3/4 C) 4/3 D) 2 E) 1/2
5.
Simplifique la siguiente expresión 1 1 − tan 3 x + tan x cot 3 x + cot x
Si a+b=60º, halle (cosa+cosb)2+(sena – senb)2 A) 1 D) 3/2
4.
C) 2º E) 8º
Dada la igualdad 5sen(x – 37º)=senx halle tanx. A) 3/4 D) 1
Simplifique la siguiente expresión. sen 50º − sen 40º cos10º cos 50º + sen 40º sen 10º
Halle q siendo ángulo agudo. sen25ºcosq +cos25ºsenq=0,5
Si ABCD es un cuadrado y 2(AM)=3(MN)=6(ND), halle tanq. B
C
Halle tanq a partir del gráfico si AD=DC.
θ
B A
θ A)
7 19
D)
11 18
45º A A) 1/3 B) 1/2 C) 1 D) 1/5 E) 2/3
D
C
9.
M B)
18 27
N
D C)
16 7
E)
7 15
Si tan(x+y)=3 y tan(x – y)=2, halle tan2y. A) 5/7 D) 7/5
B) 1/7
15
C) 6/7 E) 7/6
Trigonometría A) 1 D) – 2
NIVEL AVANZADO
10. Sabiendo que
B) 1/5
C) 2 E) 1/2
12. Según el gráfico, halle BC.
3 tan( A + B) = tan A 2 sen B Halle sen( 2 A + B) A) 2/5 D) 1
B) – 1
C x y
x
C) 5 E) 5/2 A
11. Si
3
M
2
N 1
senx+cosy=cos(x – y) halle
sen x cos y (1 + sen y)(1 − cos x )
A) 0,5 D) 2
16
B) 1
C) 1,5 E) 3
B
Trigonometría Identidades de ángulos compuestos II
2 5 5 5 D) 5 A)
NIVEL BÁSICO
1.
Reduzca
8.
sen 2 θ + cos( θ + α)cos(θ − α) cos2 θ − cos( θ + α)cos(θ − α)
3.
4.
4 5 5 6 5 E) 5 C)
B) 2 10 + 9
9.
sen( x − y) sen( y − z) sen( z − x ) + + cos x cos y cos y cos z cos z cos x A) – 1 D) 2tanx
A)
B) 0
C) 1 E) 2tany
Halle el valor aproximado de cos241º – cos286º. A)
2 10
D)
4 2 10
B)
3 2 10
C)
5 2 10
E)
9 2 10
Simplifique cos 22º (sen 22º + cos 22º ) cos 23º (sen 23º + cos 23º ) B) – 1
5 3 12
B)
5 2 8
C) 1/2 E) 2
B)
5 3 3
D) 5 3
C)
10 3 3
E)
20 3 3
NIVEL AVANZADO
10. Halle el valor de la siguiente expresión A) 1 D) – 2
B) – 1
C) 2 E) 0
11. Si a+b+q=90º y
tana+tanb+tanq=4 halle sec2a+sec2b+sec2q.
C)
2 5 9
5 2 E) 12
3 5 D) 4
3 3
(tan80º – tan10º)cot70º
Halle el máximo valor de sen x + cos x sen x − cos x + 3 4 A)
C) 2 10 + 10
E) 2 10 + 12 En un triángulo ABC, se tiene tan A tan B tan C = = 2 3 5 Halle tanAtanBtanC.
Halle el valor de la siguiente expresión,
A) 1 D) – 1/2
5.
3 5 5
Halle el máximo valor de (senx+3)2+(cosx – 1)2 A) 2 10 + 8
A) tan2a B) cot2a C) sec2a D) csc2a E) 1
2.
B)
A) 13 D) 19
B) 16
C) 17 E) 20
12. Según el gráfico, determine el máximo valor de AB+EC.
B C
NIVEL INTERMEDIO
6.
A) 1 D) – 2
7.
E
Halle el valor de (1+tan18º)(1+tan27º) B) 0
3
C) – 1 E) 2
Si la expresión 5 sen x + 2 cos x se puede escribir como msen(x+q), halle mtanq.
2
A
D
A) 5
B) 6
D) 13
C) 11 E) 4
17
Trigonometría Identidades de ángulos múltiples I
7.
A) – 1 D) 3
NIVEL BÁSICO
1.
8.
Simplifique la expresión sen 2θ + sen θ 1 + cos 2θ + cos θ A) senq D) cotq
2.
C) tanq E) 1
3 , 3 halle cos2q, q ∈ 〈0º; 45º〉.
D)
3.
B) cosq
5 C) 5
5 3
E)
5 9
Simplifique la siguiente expresión cos10ºcos20ºcos40º tan 10º tan 20º C) 8 8 tan 20º cot º D) E) 4 A)
4.
5.
4
Halle tan2q, si cos q – sen q=senqcosq A) 1 D) 1/2
B) 2
C) 4 E) 1/4
C) 1 E) 4
9.
2 E) cos 4q 4
A) 10º D) 40º
B) 20º
C) 30º E) 50º
NIVEL AVANZADO π
π
10. Si 5 sen − x = sec − x , 4 4 π halle csc 2 + x . 4 A) 2 D) 5/3
B) 5/2
A)
a b − =2 b c
D)
b a − =2 c b
C) 3 E) 5
B)
b a − =2 c b
2
b a C) + = 2 b c 2
2
A) 1/2
2 tan θ − sen 2θ = tan n θ 2 cot θ − sen 2θ
B) 1/4
B) 2
cos2 4q 2
Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 1+cos80º y sen80º, halle la diferencia entre los ángulos agudos de dicho triángulo.
la siguiente igualdad es una identidad, halle n.
A) 1 D) 4
C)
b a E) − = 2 b c
12. Del gráfico, halle cos2q.
NIVEL INTERMEDIO
6.
2 B) cos 2q 2
halle una relación entre a; b y c.
1 − cos 4θ + 4 sen 2 θ 1 − cos 2θ B) 1/2
Reduzca la siguiente expresión. tan θ − 2 sen 2 θ cos2 θ sen 2θ
11. De las igualdades asenq=bsen2q=csen4q
Halle el valor de
A) 2 D) 1/4
C) 1 E) – 2
2 D) cos 2q 4
5 B) 4
4
B) 2
2 A) cos q 2
Si sen θ − cos θ =
5 A) 6
Si 2senq=3cosq, halle 2sen2q – 3cos2q.
D θ
C) 2/3 C) 3 E) 5 18
D) 3/4 E) 1/3
2θ
A
B
1 M
2
C
Trigonometría 7.
Identidades de ángulos múltiples II NIVEL BÁSICO
1.
9 7 12 D) 5
2.
C)
B) 3/2
C) 1/3 E) 2
11 13
8.
E)
B) 4cot4q
9.
1 13
Si 2 − 6 tan θ = 2 tan 2 θ; θ ∈ 0; 45º ,
B) 2
B) –1
10. Reduzca la siguiente expresión. R=(cot2q+tanq)senq · cosq A) 1 D) 2/3
C) 2 E) 1/8
B) 2
C) 1/2 E) 3/2
11. Si se cumple
NIVEL INTERMEDIO
θ = 2 csc 2θ 2
halle cosq. 1 2 1 D) 3
A)
B) 11
4
C) 2 11 D) 2 7 5
C) 0 E) 2
NIVEL AVANZADO
cot θ + 4 tan
E)
C) 3 E) 6 3
Si tan θ = cos 2α , halle cos2q – sec2a. A) – 2 D) 1
C) 2csc2q E) 4csc4q
B) 1/4
θ
A
A) 3 D) 5
De la identidad sen4q+sen6q+cos4q+cos6q=A+Bcos4q halle A+B. A) 1/2 D) 4
C
calcule 6 csc 4θ − 3 .
Reduzca la siguiente expresión cotq – tanq+2tan2q A) 4tan4q D) 4csc2q
5.
12 7 24 E) 7
24 9
1 Si tan θ = , halle sen2q+cos2q. 5 17 7 9 B) A) C) 13 13 13 D)
4.
B)
Si 2 – 6tanq – 2tan2q=0, halle cot2q. A) 2/3 D) 3
3.
A) bn n B) b C) 2n – b b D) n bn E) 2
Si tanq=2, halle tan4q. A)
En un triángulo BAC del gráfico, AC=b y q BC – AB=n donde b > n. Halle tan . 2
θ
θ
3 n
B)
1 4
2 3 3 E) 7
C)
12. Simplifique la siguiente expresión tan x + 2 sen 2 x cot 2 x sen 2 x A) senx D) tan2x
B) cosx
19
C) tanx E) 1
B
Trigonometría Transformaciones trigonométricas I
NIVEL INTERMEDIO
NIVEL BÁSICO
1.
6.
Reduzca la siguiente expresión sen ( A − 3 B ) + sen ( 3 A − B ) cos ( A − 3 B ) + cos ( 3 A − B )
En un triángulo acutángulo ABC se cumple que C B A sen A + sen B + sen C = cos cos csc 2 2 2 halle el ángulo C.
A) tanA B) tanB
A) 15º
C) tan(2A – 2B)
D) 45º
B) 30º
C) 60º E) 75º
D) tan(A – B) E) tan(3A – 3B)
2.
7.
B) cot10º
D) 3
3.
sen 7 x =n sen 5 x
Determine el valor de sen 20º + sen 30º + sen 40º cos 20º + cos 30º + cos 40º A) tan10º
halle tan6x cotx.
C)
A) n2
3 3
E) tan20º
Calcule
B) 1
D) –1/2
D)
8.
cos15º+cos105º+cos135º A) 0
Se sabe que
n −1 n
n +1 n
E)
n +1 n −1
2 cos 20º − sen 50º sen 40º
E) 1/2 A) 15º
4.
C)
Halle el valor de x ∈ 〈0; 90º〉, además tan x =
C) –1
B) n2+1
De la siguiente identidad
B) 10º
D) 25º
C) 20º E) 60º
senx+sen3x+sen5x+sen7x=Asen(Bx)cos(Cx)cosx
halle A+B+C+D. A) 8
B) 9
D) 11
5.
9. C) 10 E) 12
Si A+B+C=90º, calcule sen 2 A − sen 2 B sen ( A − B ) A) 2cosC D) – 2senC
B) – 2cosC
Halle la relación entre a, b y c independiente de x, a partir de a b c = = sen x sen 2 x sen 3 x A) a2+a2=b2 B) a2+ac=b2 C) a2+b2=c2
C) 2senC
D) b2+c2=a2
E) – cosC
E) b2+bc=a2
20
Trigonometría 12. Si cos4q+cos8q+cos12q=0, halle AE en térmi-
NIVEL AVANZADO
nos de n a partir del gráfico. B
10. Calcule k si
C
sec40º+sec20º=ksen20º A) 2 3
n
C) 8 3
B) 4 3
D) 16 3
6θ
E) 32 3 A
11. Si senx+seny=a ∧ cosx+cosy=b halle tan(x+y). A)
ab a 2 − b2 2ab
D
B)
b2
a
C)
2ab a 2 − b2
a D) 2 E) b b a2
2θ E
A) n ab
4θ
B) 2n C) 4n D) 8n E) 16n
21
Trigonometría A) cot50º B) – cot50º C) tan50º D) – tan50º E) –1
Transformaciones trigonométricas II NIVEL BÁSICO
1.
Reduzca la siguiente expresión 2 sen 3θ cos θ − sen 4θ 2 sen 2θ cos 4θ − sen 6θ
NIVEL INTERMEDIO
6.
A) 2 B) – 2 C) 1 D) –1 E) 3
2.
A) 2 B) 3 C) 1/2 D) 0 E) 1
Simplifique la siguiente expresión. 9θ 7θ 5θ 3θ cos sen + sen cos 2 2 2 2 cos 3θ cos 2θ
7.
4.
2 2 1 D) 4 A)
De la siguiente igualdad, halle A+B. sen3x senx+cos5x cosx=cosAx cosBx A) 2 D) 6
B) 4
8.
C) 5 E) 7
9.
Reduzca la siguiente expresión. sen 50º cos 8º − sen 42º cos 50º cos 8º − cos 42º 22
B)
3 2
1 Si cos x cos 2 x cos 3 x = , 4 sen 7x . calcule sen x A) 1/2 B) –1/2 C) 1 D) –1 E) 1/4
Reduzca la siguiente expresión 1– 4cos20º sen10º A) 2sen10º B) 2cos20º C) 2cos10º D) 2sen20º E) sen20º
5.
Halle el valor de sen 2 10º + cos 40º cos 20º
A) 4senq B) 4sen3q C) 2senq D) 2sen3q E) senq
3.
Reduzca sen 3 x E= − 2 cos x sen 2 x − sen x
Calcule sec 80º − 2 cos 20º 2 A) 1 B) 2 C) –1 D) – 2 E) 0
C) 1 E)
1 2
Trigonometría NIVEL AVANZADO
A) 1 B) 2 C) 3
10. Halle el valor de 3 cot 20º − 4 cos 20º A) 2 B) – 2 C) 1 D) –1 E) 3
11. De la siguiente identidad sen ( Ax ) 1 + 4 cos 3 x cos x = sen ( Bx ) halle A+B.
D) 4 E) 6
12. Se sabe que senx(1+cotx)=cos3x ∧ senx ≠ 0 halle el valor de senx – cos3x – sen5x. A) – 2 B) – 3 C) 0 D) –1 E) 1
23
Trigonometría A) – senqcosq 1 B) − sen θ cos θ 2 C) senqcosq
Circunferencia trigonométrica I NIVEL BÁSICO
1.
1 sen q cos q 2 1 E) − sen θ cos θ 4
En la circunferencia trigonométrica mostrada, halle el perímetro de la región sombrada.
D)
X π/3
C.T.
4.
En la circunferencia trigonométrica mostrada, halle CD. C
Y
Y
B
D 2 B) 2 C)
3 + 2 −1
3 2 E)
3 + 2 +1
A) 2 + 3 D)
2.
A
En la circunferencia trigonométrica mostrada, halle el área de la región sombreada.
θ
X
C.T.
X
A) 1+senq+cosq B) 1+senq – cosq C) 1– senq+cosq D) 1– senq – cosq E) 1+senq – cosq
Y
5. A) 1 u2 D) 3/2 u2
B) 1/2 u2
En el gráfico mostrado, halle el área de la región sombreada.
C) 2 u2 E) 1/4 u2
Y C.T.
3.
Halle el área de la región sombreada en la circunferencia trigonométrica mostrada.
θ X
X θ
Y
24
A)
1 − sen θ 2
D)
sen q 4
B)
1 − sen θ 4
C)
sen q 2
E)
sen θ − cos θ 2
Trigonometría NIVEL INTERMEDIO
6.
Si AM=MO, halle BH en el gráfico mostrado.
9.
Y A
A)
1 2
D)
1 5
B)
O
θ
X
O
1 2
6 2
3 2
E)
3 −1 2
C.T.
sen θ C) 1− cos θ sen θ D) 1+ cos θ E)
A)
1 + sen θ 1 + cos θ
B)
sen θ 1 + 2 cos θ
C)
sen θ 1 − 2 cos θ
D)
cos θ 1 + 2 sen θ
E)
cos θ 1 − 2 sen θ
Y
cos θ B) 1− sen θ
8.
P
C)
En la circunferencia trigonométrica mostrada, halle la abscisa del punto P. cos θ A) 1+ sen θ
P
10 10
Q X
M
B
7.
E)
C.T.
C.T.
D)
10 5
Y
H
B)
C)
En la circunferencia trigonométrica mostrada, halle la abscisa de Q si AM=MO.
M
A) 1
5 5
O
A
X NIVEL AVANZADO
θ
sen θ + 1 cos θ
10. En la circunferencia trigonométrica mostrada, halle el área de la región sombreada.
Si en el gráfico mostrado AB=BC=CD, halle AB. Y D C
1 A) − sen θ cos θ 2 1 B) sen q cos q 2 C)
B 45º X A C.T.
1 sen q cos q 3
1 D) − sen θ cos θ 3 1 E) sen q cos q 4 25
Y θ
X
Trigonometría 11. En la circunferencia trigonométrica mostrada,
Y
halle el área de la región sombreada.
θ
Q
Y A'
C.T.
X
A) 1 u2 B) 1/2 u2 C) 3/5 u2 D) 2/5 u2 E) 1/4 u2
B' A)
1+ sen θ + cos θ sen θ cos θ
B)
sen θ − cos θ 1 + sen θ + cos θ
C)
1− sen θ + cos θ sen θ cos θ
D)
1 + sen θ − cos θ 2
E)
sen θ − cos θ − 1 sen θ cos θ
12. Si S1 es el área del triángulo A'OQ y S2 es el área del triángulo B'OP, halle S1 – S2 a partir del gráfico.
26
O
P
A
X
Trigonometría Circunferencia trigonométrica II NIVEL BÁSICO
1.
Si senx = toma n.
n+2 , halle cuántos valores enteros 3
C)
1 ;1 2
D)
1 ;3 2
E) 〈– 1; 1〉
A) 3 B) 5
5.
C) 7
Si q ∈ IIIC, halle los valores de senq+1.
D) 9 A) 〈– 1; 0〉
E) 11
B) [– 1; 0]
2.
C) [0; 1]
Halle la variación de la siguiente expresión. senx+1 senx + 2 A) [0; 1]
D) 〈0; 1〉 E) 〈– 1; 1〉
NIVEL INTERMEDIO
B) [0; 2]
6.
2 C) 0; 3
A) [– 3; 5]
D) −1 2
B) [3; 5] C) [– 5; 3]
E) − 1 ; 2 2 3
3.
Halle los valores que toma sen2x+4senx.
D) 〈3; 5〉 E) 〈– 3; 5〉
5π Si θ ∈ 0; , halle los valores de senq+2. 9 A) 〈0; 3] B) 〈2; 3〉
7.
1 Si 0 < senθ < , halle los valores de q ∈ 〈0, 2p〉. 2
D) 〈0; 2〉 E) 〈2; 3]
4.
Si q ∈ IIC, halle la variación de
senθ + 2 . senθ + 1
π 3
A)
0;
B)
π π 3π 11π ; ∪ ; 6 2 2 6
C) [2; 3〉
C) 0;
π 2π ∪ ;π 3 3
A)
1 ;2 2
D) 0;
π 3π ∪ ; π 4 4
B)
3 2 2
E)
π 5π ∪ ;π 6 6
0;
27
Trigonometría 8.
Si
3 ≤ senθ ≤ 1, halle los valores de q ∈ 〈0, 2p〉. 2
π 3 π 2π B) ; 3 3 A)
π 5π
0;
10. Si θ ∈ ; , halle la variación de 4sen2q+1. 12 12 A) [– 1; 1]
B) [3; 5]
D) [0; 5]
C)
π 2π ; 3 3
D)
π 2π ; 3 3
E) π ; 2π 3 3
9.
NIVEL AVANZADO
E) [1; 3]
11. Halle la variación de la siguiente expresión 3 senα − cos α; α ∈ A) [– 2; 2]
π π Si θ ∈ ; , halle la variación de sen3q. 3 2
C) [0; 3]
D) [1; 2]
π 5π ; . 3 6
B) 〈– 2; 2〉
C) 〈1; 2] E) 1; 3
π , halle el número de valores ente4 ros que toma cos2q – sen2q+sen2q.
12. Si θ ∈ 0;
A) 〈– 1; 0〉 B) 〈0; 1〉 C) 〈– 1; 1〉
A) 1; 2 D) 1; 2
D) 〈– 1; 1] E) [– 1; 1]
28
2 C) 1; 2 B) 1 E) −1; 2
Trigonometría Circunferencia trigonométrica III NIVEL BÁSICO
1.
D)
Halle la variación de 2cosq+1. A) [– 1; 1] B) [– 1; 3] C) [– 2; 1] D) [– 2; 2] E) [– 1; 2]
2.
E) 0;
5.
C) 4 π ; 5π 3 3
1 3
5π D) ; 2π 3
1 C) ; 1 3 1 ;1 3
Si θ ∈
π E) 0; 3 NIVEL INTERMEDIO
6.
E) [0; 1〉
3.
2; 2
7.
C) 2; 2 + 1
Si θ ∈
cos θ + 1 π 10 π . , halle la variación de ; cos θ − 1 2 9
A) 〈– 1; 0〉 B) [– 1; 0] C) 〈– 1; 0] D) [– 1; 0〉 E) 〈– 1; 1〉
π ; π ; halle la variación de 2 cos θ + 1. 4
A) 1; 2 B)
1 Si cos θ∈ −1; − , halle la variación de q ∈ 〈0, 2p〉. 2
π 2π B) ; 3 3
1 B) 0; 3
D)
π 2
2π 4 π A) ; 3 3
Si q ∈ IVC , halle los valores que toma n. 3n − 1 cos θ = 2 A) 0;
π π ; 6 4
Halle la variación de la expresión. sen 2θ
D) 1; 2 1
cos2 θ + 1
E) 1 − 2; 2
4.
Si cos θ ∈ q ∈ 〈0, p〉. A) π ; π 4 3 B) 0; C)
π 4
2π 3 π ; 3 4
A) [1; 2] D) [– 1; 0]
2 3 ; , halle la variación de 2 2
8.
B) [0; 1]
π 2π , θ ∈ ; 6 3 cos2q – sen2q. Si
1 A) −1; − 2
halle
C) [0; 2] E) [– 2; 0] la
variación
1 B) −1 C) [– 1; 0] 1 1 E) − ; 2 2
1 D) 0; 2 29
de
Trigonometría 9.
Si
π θ ∈ 0; , halle la 2 π π 2 cos θ + , θ ∈ 0; . 2 4
variación
de
3π 4
D)
0;
E)
π 3π ; 4 4
11. Halle la variación de la siguiente expresión.
A) [– 2; 2] B) [– 2; 0] C) [0; 2] D) 〈– 1; 1〉 E) [– 1; 1]
cos x + cos x; x ∈ A)
π 2π ; 3 3
1 1 − ; 2 2
B) 〈– 1; 1〉 NIVEL AVANZADO C)
10. Si q ∈ R y senθ = 2 cos x, halle los valores de x ∈ 〈0; p〉. A)
0;
3 3 ; 2 2
D) 〈– 1; 0〉 E) 〈0; 1〉
π 4
3π ≤ x < 0 , calcule la variación de 4 π 2 cos x − + 1 . 4
12. Si
π 3π B) ; 4 4 C)
−
−
A) 〈1; 3] D) 〈1; 3〉
π 0; 4
30
B) [1; 3〉
C) [1; 3] E) [1; 2]
Trigonometría Ecuaciones trigonométricas 5.
NIVEL BÁSICO
1.
Resuelva la siguiente ecuación si x ∈ 〈0; p〉. 3 2 cos2 x = 2 A) B) C) D) E)
2.
{ { { { {
π 5π ; 6 6 π 2π ; 3 3 π π ; 4 2
π 2π ; 6 3 π 5π ; 2 6
π 12
D) π 3
B)
} }
C) D) E)
} }
6.
B)
π 4
π π ; 4 3 π π ; 6 4
} } } } }
π π ; 12 6 π π ; 12 3
π 2π ; 6 3
E)
π 2
Resuelva la siguiente ecuación si x ∈ 〈0; p〉. 2sen2x+3senx – 2=0 A)
C) π 6
3π π 2π B) − C) − 8 8 3 3π π E) − D) − 4 4 Halle el número de soluciones de la siguiente ecuación si x ∈ 〈0; 2p〉. 3 sen 2 x = 4
D)
7.
{ } { } π π ; 3 2
B)
8.
{ }
π 5π ; 6 6
π 3π ; 4 4
C) E)
{ } { } π 2π ; 2 3 π 2π ; 4 3
Halle el número de soluciones de la siguiente ecuación si x ∈ 〈0; 2p〉. sen5x · cos2x=cos5xsen2x A) 1 D) 4
B) 2
C) 3 E) 5
Halle la suma de soluciones de la siguiente ecuación si x ∈ 〈0; p〉. 2cos2 xsenx=2cos2 x+senx – 1 A) π 2 3 D) π 2
9. A) 2 B) 3 C) 5 D) 1 E) 4
{ { { { {
NIVEL INTERMEDIO
Halle la mayor solución negativa de la siguiente ecuación. tan x 1 = 1 − tan 2 x 2 A) −
4.
A)
Halle la suma de solución es de la ecuación. π csc 3 x − 2 = 0 ; x ∈ 0; 2 A)
3.
}
Halle las dos primeras soluciones positivas de la ecuación tan (2 x ) − 3 .
B) p
C) 2p E) 5π 2
Halle el número de soluciones de la siguiente ecuación si x ∈ 〈0; 8p〉. sen2 x+4cosx=4 A) 3 D) 5
B) 2
31
C) 4 E) 1
Trigonometría 11. Halle la suma de las dos primeras soluciones
NIVEL AVANZADO
negativas de la siguiente ecuación. 2cos3 x · senx=senx · cosx
10. Resuelva la siguiente ecuación si x ∈ 〈0; p〉. sen 4 x + cos4 x = A) B) C) D) E)
{ { { { {
π 2π ; 3 3 π 3π ; 4 4 π 5π ; 6 6 π 2π ; 4 3 π 5π ; 2 6
1 2
A) −
} } } } }
π 2
B) −
π 3
D) − 3π 4
C) −
2π 3
E) −
5π 6
12. Indique una solución de la siguiente ecuación. π cot − x + cot 2 x = 0 4
A) 5π 4 D) − 3π 4
32
B) −
π 4
C) − E)
π 4
π 3
Trigonometría Resolución de triángulos oblicuángulos I 5.
NIVEL BÁSICO
En el gráfico, halle BC. B
1.
En la figura, halle cotq. 2
6– 2
15º
3 3
B)
1 2
D) 4
2.
A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16
C) 1 E) 3
En un triángulo ABC, se cumple que 5(BC)=7(AB). Simplifique 3senC + senA senA − senC A) 5 D) 11
3.
C
O 10
θ
A)
37º
A
B) 7
C) 9 E) 13
NIVEL INTERMEDIO
6.
Si ABCD es un trapecio, calcule cosq, si BC // AD. B
C
A partir del gráfico, halle cotx. 2 2 2
A) 2 D) 1
4.
2θ
1
B) 2
C) 3 E) 3
En un triángulo ABC, de lados a, b y c, respectivamente, se cumple lo siguiente. a b c = = cos A cosB senC
7.
A)
2 3
D)
3 4
D)
2 3 3
B) 2
D B)
3 +1
E) 2 3
C) 1 2 E)
cscθ 45º
C)
1 3
A partir del gráfico, halle cscq.
Calcule el valor de C A+ B tan + cot 2 2 A) 1
θ
A
45º+x
x
3
A) 2 B) 2 C) 2 2 D) 3 E) 4 33
cscθ θ
1 4
Trigonometría 8.
En el gráfico, calcule cscq. Si AC=BD.
A) 30º D) 120º
B) 60º
C) 90º E) 150º
B
11. Si BD=2(DC), halle tanq · cota.
120º
B
30º A A) 2 3 D) 4 3
9.
θ
C B) 2
D
En un triángulo ABC, de lados a, b, y c, respectivamente, reduzca la siguiente expresión. ( a + b) sen C 2 A− B cos 2 A) a D) 2a
B) b
C) c E) 2b
α
θ
cosα
A A)
1 2
B) 1
C C) 2
D) 3
E) 4
12. A partir del gráfico, halle x. Si AB=CD. B 10º
NIVEL AVANZADO
10. En la figura mostrada, determine m ABC.
2
1 3θ C
A
34
x
80º A
B
θ
D
cosθ
C) 3 E) 3 + 1
A) 10º B) 15º C) 20º D) 25º E) 30º
C
D
Trigonometría Resolución de triángulos oblicuángulos II 5.
NIVEL BÁSICO
1.
a2 + c2 − b2 + cos ( A + C ) ac
En la figura, calcule a. 120º
4a+1
A) cosA B) cosB C) senA D) senB E) cosC
4a – 1
4a+3 A)
1 2
B)
1 4
E)
6.
1 3
d
3 C) 3
3
B)
D) − 3
E)
c a
− 3 3
b
60º
A partir del gráfico, calcule BP. B 5
7
7. A A) 3 D) 6
4.
En en gráfico, calcule
( a + b)2 − ( d − c)2 . ab + dc
En un triángulo ABC de lados a, b y c, se cumple que a2=b2+c2 – bc. Halle tanA. A) 1
3.
NIVEL INTERMEDIO
C) 1
D) 2
2.
En un triángulo ABC de lados a, b y c, respectivamente, reduzca
5 B) 5
P
3
C
A)
1 2
D)
1 3
B) 2
C) 3 E) 1
En la figura, se tiene que 3(AC)=4(MC)=4(BN)=6(BM)=12. Calcule MN. B
C) 7 E) 4
θ
En un triángulo ABC, cuyos lados son tres números consecutivos, el perímetro es 9. Halle el coseno del mayor ángulo agudo.
M
N 2θ A
1 B) − 4
1 A) 2 D) −
1 4
1 C) − 2 E)
1 3
A)
22 2
C B)
D) 22
11 2
C) 11 E) 13
35
Trigonometría 8.
En el cubo mostrado, calcule cosq si M y N son puntos de tangencia.
A) 15 D) 7
B) 17
C) 19 E) 11
NIVEL AVANZADO
M
10. Los tres vértices de un triángulo ABC tienen
A)
2 5 5
B)
sus coordenadas en el plano cartesiano: A(1; 1), B(3; 5) y C(– 1; 3). Si la medida del ángulo menor del triángulo ABC es q, calcule 1+10cosq.
N
θ 5 5
C)
5 3
3 2 E) 2 2 Si ABCD es un trapecio (BC // AD), AC=3 y BD=2, halle AD+BC.
A) 5 D) 11
B) 7
C) 9 E) 1
D)
9.
B
11. En un triángulo ABC, AB=4 m,
m BAC=2 m ACB y cosC=3/4, calcule AC. A) 1 D) 4
C
B) 2
C) 3 E) 5
12. En un triángulo ABC se cumple que BC=a,
AC=b, AB=c; además, a4+b4+c4=2a2 b2+2a2 c2. Calcule la medida del ángulo A.
120º
A
D
36
A) 15º D) 60º
B) 30º
C) 45º E) 75º
Semestral SM Sistemas de medidas angulares 01 - C
04 - C
07 - D
10 - a
02 - d
05 - E
08 - C
11 - E
03 - E
06 - D
09 - d
12 - C
Razones trigonométricas de un ángulo agudo I 01 - E
04 - C
07 - c
10 - B
02 - B
05 - B
08 - C
11 - A
03 - A
06 - D
09 - C
12 - B
Razones trigonométricas de un ángulo agudo II 01 - E
04 - C
07 - C
10 - A
02 - D
05 - C
08 - B
11 - D
03 - D
06 - E
09 - C
12 - C
Resolución de triángulos rectángulos 01 - A
04 - E
07 - A
10 - D
02 - E
05 - E
08 - D
11 - A
03 - B
06 - a
09 - A
12 - D
Ángulos verticales 01 - B
04 - A
07 - B
10 - A
02 - C
05 - D
08 - c
11 - D
03 - C
06 - B
09 - C
12 - B
Semestral SM Identidades trigonométricas fundamentales I 01 - C
04 - B
07 - d
10 - a
02 - d
05 - d
08 - b
11 - b
03 - c
06 - d
09 - c
12 - c
Identidades trigonométricas fundamentales II 01 - b
04 - b
07 - b
10 - b
02 - d
05 - d
08 - b
11 - e
03 - e
06 - c
09 - a
12 - c
Identidades de ángulos compuestos I 01 - b
04 - b
07 - d
10 - b
02 - d
05 - a
08 - c
11 - b
03 - B
06 - e
09 - b
12 - e
Identidades de ángulos compuestos II 01 - b
04 - a
07 - e
10 - c
02 - b
05 - e
08 - d
11 - c
03 - d
06 - e
09 - c
12 - d
Identidades de ángulos múltiples I 01 - c
04 - b
07 - D
10 - b
02 - d
05 - e
08 - b
11 - e
03 - b
06 - d
09 - a
12 - c
Semestral SM Identidades de ángulos múltiples II 01 - E
04 - E
07 - B
10 - C
02 - B
05 - C
08 - E
11 - D
03 - C
06 - A
09 - D
12 - E
Transformaciones trigonométricas I 01 - C
04 - D
07 - E
10 - B
02 - C
05 - C
08 - E
11 - D
03 - A
06 - B
09 - B
12 - c
Transformaciones trigonométricas II 01 - D
04 - A
07 - B
10 - C
02 - D
05 - B
08 - C
11 - E
03 - D
06 - E
09 - A
12 - C
Circunferencia trigonométrica I 01 - E
04 - b
07 - b
10 - d
02 - b
05 - b
08 - C
11 - b
03 - a
06 - D
09 - e
12 - b
Semestral SM Circunferencia trigonométrica II 01 - C
04 - B
07 - E
10 - B
02 - C
05 - D
08 - B
11 - C
03 - E
06 - A
09 - A
12 - D
Circunferencia trigonométrica III 01 - B
04 - D
07 - B
10 - B
02 - D
05 - A
08 - B
11 - B
03 - E
06 - C
09 - E
12 - c
Ecuaciones trigonométricas 01 - A
04 - E
07 - E
10 - B
02 - D
05 - E
08 - D
11 - D
03 - C
06 - D
09 - A
12 - B
Resolución de triángulos oblicuángulos I 01 - E
04 - B
07 - B
10 - B
02 - D
05 - C
08 - A
11 - A
03 - E
06 - D
09 - C
12 - C
Resolución de triángulos oblicuángulos II 01 - C
04 - B
07 - A
10 - C
02 - B
05 - B
08 - A
11 - E
03 - B
06 - C
09 - C
12 - C
