Trigonometri
Oleh : Padiya ,S.Pd. E-mail : padiya68@yahoo .co.id
1
Trigonometri
TRIGONOMETRI A. Rumus Trigonome Trigonometri tri untuk Jumlah Jumlah Dua Dua Sudut dan dan Selisih Dua Dua Sudut. Untuk mempelajari rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut dan selisih dua sudut, kita ulang kembali tentang hubungan antara koordinat cartesius titik P(x, y) dengan koordinat kutub titik P(r.cos, r.sin) sebagai berikut : Y
P(x , y) = P(r.cos , r.sin)
r
y
O
X x
Gambar 1 1. Rumu Rumus-r s-rum umus us unt untuk uk cos cos (a (a + b) b) dan dan cos cos (a – b)
cos (a (a + b) = cos a. cos b – sin a. sin b cos (a - b) = cos a. cos b + sin a. sin sin b
------------- (1)
------------- (2)
Bukti : Perhatikan gambar 2 di bawah ini : Y C(cos (a+b), sin(a+b)) B(cos a, sin a)
O
b a -b
A(1, 0)
X
D(cos b, -sin b)
Gambar 2
Pada gambar 2 di atas jari-jari lingkaran adalah 1 satuan. Sehingga koordinat titik A adalah (1,0). Apabila Apabila AOB = a, BOC = b, AOD = -b, maka AOC = (a + b)
Oleh : Padiya ,S.Pd. E-mail : padiya68@yahoo .co.id
2
Trigonometri
Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik P(x1, y1) dan titik Q(x2, y2) adalah 2 2 2 2 2 PQ = (x2 – x1) + (y2 – y1) dan rumus cos + sin = 1, maka AC 2 BD2
cos(a b) 12 sin(a b) 02 cos a cosb2 sin a sin b2 cos2 (a b) 2. cos(a b) 1 sin 2 (a b) cos2 a 2.cos a. cos b cos2 b sin 2 a 2.sin a.sin b sin 2 b
cos (a b) sin (a b) 2.cos(a b) 1 cos 2
2
2
2 2 2 a sin b) cos b sin b 2. cos a. cos b 2.sin a.sin b
1 2. cos(a b) 1 1 1 2.cos a. cos b 2. sin a.sin b 2 2 cos(a b) 2 2(cos a.cos sin a.sin b) 2. cos(a b) 2(cos a.cos b sin a.sin b
cos(a + b) = cos cos a.cos b – sin a.sin a.sin b
--------- rumus (1) (1) terbukti terbukti
Karena cos(a cos(a – b) = cos [a + (-b)], (-b)], maka cos (a – b) = cos [a + (-b)] (-b)] cos (a – b) = cos a.cos (-b) (-b) – sin a. sin sin (-b) (-b) cos (a – b) = cos a.cos a.cos b + sin a.sin a.sin b cos(a - b) = cos a.cos a.cos b + sin a.sin a.sin b
---- rumus (2) (2) terbukti terbukti
Contoh 1: o
Tentukan nilai dari cos 75 ! Penyelesaian : o
o
o
cos 75 = cos (45 + 30 ) o o o o = cos 45 .cos 30 – sin sin 45 .sin 30 1 1 1 1 2. 3 2. 2 2 2 2 1 1 6 2 4 4 1 ( 6 2) 4 Contoh 2:
Diketahui cos A = nilai dari : a. cos (A + B)
4 5
dan cos B =
7 25
. Jika sudut A dan B sudut lancip, tentukanlah
b. cos (A – B)
Penyelesaian :
Oleh : Padiya ,S.Pd. E-mail : padiya68@yahoo .co.id
3
Trigonometri
cos 2 A sin 2 A 1
cos 2 B sin 2 B 1
sin 2 A 1 cos 2 A
sin 2 B 1 cos 2 B
4 sin A 1 5
2
7 sin B 1 25
2
2 sin A 1
sin 2 A
Karena maka
16 25
2 sin B
25 3
625 576 625 24
sin B
5 A
49
2 sin B 1
9
sin 2 A
2
2
sudut
lancip,
Karena
3
sin A
maka
5
25 B
sudut
sin B
lancip
24 25
a. cos (A + B) = cos cos A.cos B – sin A.sin A.sin B 4 7 3 24
5 25 5 28 72
25
125 125 44
125 b. cos(A cos(A – B) = cos A.cos A.cos B + sin A.sin A.sin B 4 7 3 24
5 25 5 28 72 125 100
25
125
125 4
5 2. Rumu Rumuss-ru rumu muss unt untuk uk sin sin (a + b) b) d dan an sin sin (a – b) sin (a + b) = sin a. cos cos b + cos a. sin sin b
------------- (3)
sin sin (a (a - b) = sin sin a. cos b - cos cos a. sin sin b
------------- (4)
Bukti : Kita ingat bahwa : sin = cos(
1 2
1
- ) dan cos = sin( - ), sehingga : 2
Oleh : Padiya ,S.Pd. E-mail : padiya68@yahoo .co.id
4
Trigonometri
sin (a + b) = cos[
1 2 1
(a+b)] )] - (a+b
- a – b) 2 1 = cos [( - a) – b] 2 1 1 = cos ( - a).c a).cos os b + sin( sin( - a).s a).sin in b 2 2 = sin a.cos b + cos a.sin b = cos (
sin (a + b) = sin a. cos cos b + cos a. sin sin b
--------- rumus (3) (3) terbukti terbukti
Karena sin sin (a – b) = sin [a + (-b)], (-b)], maka sin (a – b) = sin sin [a + (-b)] (-b)] = sin a.cos (-b) + cos a.sin(-b) = sin a.cos a.cos b – cos a.sin a.sin b sin sin (a (a - b) = sin sin a. cos b - cos cos a. sin sin b
----------- rumus (4) terbukti terbukti
Contoh 3: o
Tentukanlah nilai dari sin 15 ! Penyelesaian : o
o
o
sin 15 = sin (45 – 30 ) o o o o = sin 45 .cos 30 – cos 45 .sin 30 1 1 1 1 2. 3 2. 2 2 2 2 1 1 6 2 4 4 1 6 2 4
Contoh 4:
Diketahui sin A =
3
dan dan si sin B =
12
5 13 kuadran II, tentukanlah nilai dari : a. sin (A + B) b. Sin (A – B)
. Jika sudut A di kuadran I dan sudut B di
Penyelesaian :
Oleh : Padiya ,S.Pd. E-mail : padiya68@yahoo .co.id
5
Trigonometri
2 2 cos A sin A 1
cos2 B sin2 B 1
cos 2 A 1 sin 2 A
cos2 B 1 sin2 B
3 cos A 1 5
2
12 cos B 1 13
2
cos 2 A 1 cos 2 A
Karena maka
9
cos2 B 1
25
16
2 cos B
25 4
cos A
sudut
cos A
dikuadran I ,
4
169 5 13
Karena B sudut dikuadran II maka
5
144
169 25
cos B
5 A
2
2
cos B
5 13
a. sin sin (A (A + B) B) = sin sin A.cos A.cos B + cos A.sin A.sin B 3 5 4 12
5 13 5 13
15
65 33
48 65
65 b. sin( sin(A A – B) = sin sin A.cos A.cos B - cos A.si A.sin nB 3 5 4 12
5 13 5 13
15 65 63
48 65
65
3. Rumu Rumus-r s-rum umus us unt untuk uk tan tan (a (a + b) dan dan tan tan (a (a - b).
tan(a b)
tan(a b)
tan a tan b 1 tan a. tan b tan a tan b 1 tan a. tan b
----------------- (5)
------------------ (6)
Bukti : Oleh : Padiya ,S.Pd. E-mail : padiya68@yahoo .co.id
6
Trigonometri
tan(a b) tan(a b)
sin(a b) cos(a b) sin a. cos b cos a. sin b cos a. cos b sin a. sin b sin a. cos b cos a. sin b
tan(a b) cos a. cos b cos a. cos b
cos a. cos b sin a. sin b
cos a. cos b cos a. cos b sin a sin b
tan(a b) cos a cos b sin a sin b 1 . cos a cos b tan a tan b tan(a b) 1 tan a. tan b Jadi tan(a b)
Karena
tan a tan b 1 tan a. tan b
--------- rumus (5) terbukti terbukti..
tan(a b) tan[a (b)], maka :
tan(a b) tan(a b) tan(a b)
tan a tan(b) 1 tan a. tan(b) tan a tan b 1 tan a.( tan b) tan a tan b 1 tan a. tan b
Jadi tan(a b)
tan a tan b 1 tan a. tan b
----------- rumus(6) rumus(6) terbukti terbukti
Contoh 5: o
Buktikan bahwa tan 15 = 2 -
3 !
Bukti : o o o tan 15 = tan(45 – 30 )
tan 45o tan 30o
1 tan 45o. tan 30o 1 1 3 3 1 1 1. 3 3
Oleh : Padiya ,S.Pd. E-mail : padiya68@yahoo .co.id
7
Trigonometri
1
1
1
1
3
3 1 3 2
3
1
3
1
3 1
4
3
1
1 3 1 3
3 3
3
1 3
2
3
3 2
3
2 3
3
2
2 3 (terbukti) Contoh 6:
Diketahui tan A =
1 2
dan tan B =
1
, tentukanlah nilai dari : 3 b. tan (A - B)
a. tan (A + B) Penyelesaian:
a. tan (A + B) =
tan A tan B 1 tan A. tan B 1 2
1
1 2
b. tan tan (A (A – B) =
1
3
1 2
3
1 3
1 6
6 1
2 1
1
5
1 tan A. tan B 1 1
3
tan A tan B
1
1 6
1 6
1
5
6
6 5
7
6 1
6 1 7
B. Rumus-r Rumus-rumu umuss untuk untuk Sud Sudut ut Rangka Rangkap. p. 1. sin 2a = sin (a + a) a) = sin sin a.cos a.cos a + cos a. sin a = 2.sin 2.sin a.cos a
Jadi sin 2a = 2.sin a.cos a
----------------- (7)
Oleh : Padiya ,S.Pd. E-mail : padiya68@yahoo .co.id
8
Trigonometri
2
2
2. cos 2a = cos (a + a) = cos a.cos a – sin a.sin a.sin a = cos a – sin a 2
2
Jadi Jadi cos 2a = cos cos a – sin sin a
-------------- (8)
2
2
Dengan memperhatikan cos a = 1 – sin sin a, maka rumus (8) menjadi : 2 2 2 2 2 cos 2a = cos a – sin a = (1 (1 – sin sin a) – sin sin a = 1 – 2.si 2.sin n a 2
Jadi Jadi cos cos 2a = 1 – 2.si 2.sin n a
-------------- (9) 2
2
Demikian juga memperhatikan sin a = 1 – cos cos a, maka rumus (8) menjadi : 2 2 2 2 2 2 cos 2a = cos a – sin a = cos a – (1 – cos a) = cos a – 1 + cos cos a 2 = 2.cos a - 1 2
Jadi Jadi cos 2a = 2.cos 2.cos a – 1
3. tan tan 2a 2a = tan tan (a (a + a) =
tan 2 a
2 tan 1 tan 2 a
----------------- (10)
tan a tan a 1 tan a. tan a
2 tan a 1 tan 2 a
------------------------ (11)
Contoh 7:
Diketahui sin A =
3
dengan sudut A di kuadran II. 5 Tentukanlah nilai dari sin 2A, cos 2A dan tan 2A !
Penyelesaian :
Oleh : Padiya ,S.Pd. E-mail : padiya68@yahoo .co.id
9
Trigonometri
cos2 A sin2 A 1
sin 2 A 2.sin A. cos A
cos2 A 1 sin2 A
3 4 24 sin 2 A 2 5 5 25
3 cos A 1 5
2
2
cos2 A 1 cos A
9 25
cos 2 A cos2 A sin 2 A
16
2
25
4 5
Karena A sudut dikuadran II , maka
tan A
2
7 4 3 16 9 cos 2 A 5 5 25 25 25
cos A
4
5 3
3 3 2 tan A 4 2 tan 2 A 2 2 1 tan A 3 1 9 1 16 4 2
tan 2 A
sin A
3 5 4 cos A 4
24 7
5
Contoh 8: 3 Buktikan Buktikan bahwa sin 3A = 3.sin 3.sin A – 4.sin A ! Bukti : sin 3A = sin ( 2A + A) = sin 2A.cos 2A.cos A + cos 2A.sin 2A.sin A 2 = (2sin A.cos A.cos A)cos A + (1- 2.sin A).sin A 2 3 = 2.sin A.cos A + sin sin A – 2.sin 2.sin A 2 3 = 2.sin 2.sin A(1 – sin A) + sin sin A – 2.sin 2.sin A 3 3 = 2.sin 2.sin A – 2.sin 2.sin A + sin sin A – 2.sin 2.sin A 3 = 3.sin 3.sin A – 4.sin 4.sin A --------- (terbukti) (terbukti) C. Rumus-r Rumus-rumu umuss Perkain Perkain Sinus Sinus dan Cosinus. Cosinus. 1. 2cosa.cosb cos(a b) cos(a b)
atau cosa.cosb
1 2
cos(a b) cos(a b) --(12)
2. 2sina.sinb [cos(a b) cos(a b)] atau sina.sinb
3. 2sin a.cosb sin(a b) sin(a b)
atau
sin a.cosb
1
4. 2 cosa.sinb sin(a b) sin(a b)
atau
cosa.sinb
1
2
2
1 2
cos(a b) cos(a b) --(13)
sin(a b) sin(a b) --(14) sin(a b) sin(a b)
--(15)
Oleh : Padiya ,S.Pd. E-mail : padiya68@yahoo .co.id
10
Trigonometri
Bukti 1. cos (a+b) (a+b) = cos a.cos a.cos b – sin a.sin a.sin b cos (a-b) = cos a.cos b + sin sin a.sin a.sin b _______________ _______________________ ______________ ______ + cos (a+b) + cos (a–b) = 2.cos a.cos b 1 (a-b)] --------------- rumus (12) terbukti cos a.cos b = [cos (a+b) + cos (a-b)] 2 2. cos (a+b) (a+b) = cos a.cos a.cos b – sin a.sin a.sin b cos (a-b) = cos a.cos b + sin a.sin b _______________ _______________________ ______________ ______ cos (a+b) - cos (a–b) = -2.sin -2.sin a.sin a.sin b 1 (a+b) - cos (a-b)] (a-b)] --------------- rumus (13) (13) terbukti terbukti sin a.sin b = - [cos (a+b) 2 3. sin (a+b) (a+b) = sin a.cos a.cos b + cos a.sin a.sin b sin (a-b (a-b)) = sin a.co a.coss b - cos a.sin a.sin b _______________ _______________________ ______________ ______ + sin (a+b) + sin (a–b) = 2.sin a.cos b 1 sin (a-b)] --------------- rumus (14) terbukti sin a.cos b = [sin (a+b) + sin 2 4. sin (a+b) = sin a.cos b + cos a.sin b sin (a-b) (a-b) = sin a.cos a.cos b - cos a.sin a.sin b _______________ _______________________ ______________ ______ sin (a+b) (a+b) - sin (a–b) (a–b) = 2.cos a.sin b 1 (a+b) - sin (a-b)] (a-b)] --------------- rumus (15) (15) terbukti terbukti cos a.sin b = [sin (a+b) 2 Contoh 9 : Nyatakan Nyatakan bentuk berikut berikut ini ini ke dalam jumlah atau selisih selisih cosinus cosinus dan dan sederhana sederhanakan kan jika jika mungki mungkin n. o o o o a. 2.cos 55 .cos 5 b. 2.sin 40 .sin 10 Penyelesaian : a. Gunakan Gunakan rumu rumuss (12) (12) yaitu yaitu : 2.cos 2.cos a.cos a.cos b = cos(a+ cos(a+b) b) + cos(a cos(a-b) -b) o o o o o o 2.cos 55 .cos 5 = cos(55 +5 ) + cos(55 -5 ) o o = cos 60 + cos 50 1 o = + cos 50 2 b. Gunakan Gunakan rumus rumus (13) (13) yait yaitu u : 2.sin 2.sin a.sin a.sin b = -[cos -[cos (a+b (a+b)) – cos(acos(a-b)] b)] o o o o o o 2.sin 40 .sin 10 = -[co -[coss (40 (40 +10 ) - cos (40 -10 )] o o = -[c -[cos os 50 - cos 30 ] 1 o = -[c -[cos os 50 3] 2 1 o = -cos 50 + 3 2
Oleh : Padiya ,S.Pd. E-mail : padiya68@yahoo .co.id
11
Trigonometri
Contoh 10: Nyatakan bentuk berikut ini ke dalam jumlah atau selisih selisih sinus dan sederhanakanlah jika jika mungki mungkin n: o o o o a. 2.sin 80 .cos .cos 10 b. sin 15 .cos 35 Penyelesaian : a. Gunakan Gunakan rumu rumuss (14) (14) yaitu yaitu : 2.si 2.sin n a.cos a.cos b = sin (a+b (a+b)) + sin (a-b (a-b)) o o o o o o 2.sin 80 .cos 10 = sin (80 +10 ) + sin (80 -10 ) o o = sin 90 + sin 70 o = 1 + sin 70 1 b. Gunakan Gunakan rumus rumus (14) (14) yaitu yaitu : sin a .cos .cos b = [sin (a+b) + sin (a-b)] 2 1 o o o o o o Sin 15 .cos 35 = [sin (15 +35 ) + sin (15 -35 )] 2 1 o = [sin 50 + sin -20] 2 1 o o = [sin 50 - sin sin 20 20 ] 2 1 1 o o = sin 50 - sin 20 2 2 Contoh Contoh 11 : o o Buktikanlah bahwa 2.sin (x+45 ).cos(x-45 ) = 1 + sin 2x ! Penyelesaian : o o o o o o 2.sin (x+45 ).cos(x-45 ) = sin[(x+45 )+(x-45 )] + sin[(x+45 )-(x-45 )] o = sin 2x + sin 90 = sin 2x + 1 = 1 + sin 2 x (terbukti) Contoh 12 : o o o o Buktikanlah bahwa 2.cos 35 .cos 15 – 2.sin 2.sin 55 55 .cos 15 = 0 ! Penyelesaian : o o o o 2.cos 35 .cos 15 – 2.si 2.sin n 55 .cos 15 o o o o o o o o = [cos (35 +15 ) + cos (35 -15 )] – [sin [sin (55 (55 +15 ) + sin (55 -15 )] o o o o = [cos 50 + cos 20 ] – [ sin sin 70 + sin 40 ] 0 o o o = sin 40 + sin 70 – sin sin 70 – sin sin 40 = 0 (terbukti) D. Rumus-rumus Rumus-rumus Penjumlahan Penjumlahan dan Pengurangan Pengurangan Sinus Sinus dan Cosinus. Cosinus. Perhatikanlah rumus-rumus berikut ini : cos (a+b) + cos (a-b) = 2.cos a.cos b -[cos (a+b) (a+b) – cos (a-b)] (a-b)] = 2.sin a.sin a.sin b sin (a+b) (a+b) + sin (a-b) = 2.sin a.cos a.cos b sin (a+b) (a+b) – sin (a-b) (a-b) = 2.cos a.sin a.sin b Oleh : Padiya ,S.Pd. E-mail : padiya68@yahoo .co.id
12
Trigonometri
Jika a+b = p dan a-b = q, maka : p + q = (a+b) + (a-b) = 2a
atau
a=
p – q = (a+b) (a+b) – (a-b) (a-b) = 2b
atau atau
b=
1 2 1
(p+q)
(p-q) 2 Sehingga rumus-rumus di atas menjadi : 1 1 cos p cos q 2. cos ( p q ). cos ( p q) -------------- (16) (16) 2 2 1 1 cos p cos q 2.sin ( p q).sin ( p q ) 2 2
-------------- (17) (17)
1 1 sin p sin q 2. sin ( p q ). cos ( p q) 2 2
------------- (18) (18)
1 1 sin p sin q 2. cos ( p q).sin ( p q ) 2 2
-------------- (19) (19)
Contoh 13 : Nyatakan bentuk-bentuk berikut ke dalam perkalian dan kemudian sederhanakan jika mungkin : o o o o a. cos 22 + cos 8 c. sin 64 + sin 26 o o o o b. cos 50 – cos cos 10 10 d. sin 3x – sin sin x Penyelesaian : o
o
a. cos 22 + cos 80 = 2.cos
1
o
o
(22 +8 ).cos
1
o
o
(22 -8 )
2 2 o o = 2.cos 15 .cos 7 1 1 o o o o o o b. cos 50 – cos cos 10 10 = - sin (50 +10 ).sin (50 -10 ) 2 2 o o = -2.sin 30 .sin 20 1 o = -2. .sin 20 2 o = - sin sin 20 20 1 1 o o o o o o c. sin 64 + sin 26 = 2.sin (64 +26 ).cos (64 -26 ) 2 2 o o = 2.sin 45 .cos .cos 19 1 o = 2. 2 .sin 19 2 =
o
2 sin sin 19 1 1 o o o o o o d. sin 3x – sin sin x = 2.cos (3x +x ).sin (3x -x ) 2 2 o o = 2.c 2.cos os 2x .sin .sin x Oleh : Padiya ,S.Pd. E-mail : padiya68@yahoo .co.id
13
Trigonometri
E. Grafik Grafik Fungsi Fungsi Trigono Trigonometr metri. i. o 1. Grafik fungsi y = sin x o Untuk menggambar grafik fungsi y = sin x dapat dilakukan dengan membuat daftar nilai fungsi seperti berikut ini :
x sin x
0 0,00
30 0,50
45 0,71
60 0,87
90 1 ,0 0
12 1 20 0,87
13 1 35 0,71
15 1 50 0,50
18 0 0,00
210 -0,50
225 -0,71
240 -0,87
270 -1,00
300 -0,86
315 -0,71
330 -0,50
3 60 0,00
Grafik fungsi y = sin x 1,50 1,00 0,50 0,00
sin x 0
50
1 00
15 0
2 00
250
3 00
35 0
400
-0,50 -1,00 -1,50 x
2. Grafik fungsi y = cos x o o Untuk menggamb menggambar ar grafik grafik fungsi fungsi y = cos x dapat dilakukan dengan membuat daftar nilai fungsi seperti berikut ini :
Oleh : Padiya ,S.Pd. E-mail : padiya68@yahoo .co.id
14
Trigonometri
x co s x
0 1,00
30 0 ,8 7
45 0 ,7 1
60 0 ,5 0
90 0 ,0 0
1 20 -0,50
1 35 -0,71
1 50 -0,87
1 80 -1,00
2 10 -0,87
225 -0,71
240 -0,50
270 0 ,00
3 00 0 ,5 0
315 0,71
330 0 ,8 7
360 1 ,0 0
Grafik fungsi y = cos x 1,50 1,00 0,50 0,00 =
cos x 0
50
10 0
1 50
20 0
25 0
3 00
35 0
4 00
-0,50 -1,00 -1,50 x
3. Grafik fungsi y = tan x o o Untuk menggamb menggambar ar grafik grafik fungsi fungsi y = tan x dapat dilakukan dengan membuat daftar nilai fungsi seperti berikut ini :
Oleh : Padiya ,S.Pd. E-mail : padiya68@yahoo .co.id
15
Trigonometri
x tan x
0 0,00
30 0 ,5 8
45 1 ,0 0
60 1 ,7 3
90
1 20 -1,73
1 35 -1-1,00
1 50 -0-0,58
1 80 0 ,0 0
2 10 0 ,5 8
225 1 ,0 0
240 1 ,7 4
270
3 00 -1,72
315 -1,00
330 -0,57
360 0 ,0 0
Grafik fungsi y = tanx 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 =
-0,50
tan x 0
50
100
1 50
2 00
250
3 00
350
400
-1,00 -1,50 -2,00 x
F. Persama Persamaan an Trigon Trigonome ometri tri Seder Sederhana hana.. Persamaan sinus: *) Dalam derajat o - sin = sin (180 – ) o - sin = sin (k.360 + ) atau *) Dalam radian - sin A = sin sin ( - A) - sin A = sin sin (2k (2k + A) dengan k bilangan bulat
Penyelesaian Persamaan sinus *) Dalam derajat - sin x = sin o x = + k.360 atau o o x = (180 – ) + k.360 atau
Oleh : Padiya ,S.Pd. E-mail : padiya68@yahoo .co.id
16
Trigonometri
*) Dalam Dalam radian radian - sin = sin A x = A + 2k atau x = ( - A) + 2k dengan k bilangan bulat. Contoh 14 : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan o o o Sin 2x = sin 50 untuk 0 x 360 ! Penyelesaian : o Sin 2x = sin 50 o o o o 2x = 50 + k.360 atau atau 2x = (180 (180 – 50) + k.360 o o o o x = 25 + k.180 x = 65 + k.180 o o K = 0 x = 25 x = 65 o o K = 1 x = 205 x = 245 o o K = 3 x = 385 (tm) x = 425 (tm) o o o o Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 25 , 65 , 205 , 245 } Ket : tm = tidak memenuhi
•
Persamaan kosinus: *) Dalam derajat - cos = cos (– ) o - cos = cos (k.360 + ) atau *) Dalam radian - cos cos A = cos cos ( - A) - cos A = cos (2k + A)
dengan k bilangan bulat Penyelesaian Persamaan kosinus *) Dalam derajat - cos cos x = cos cos o x = + k.360 atau o x = – + k.360 atau *) Dalam radian - cos cos x = cos cos A x = A + 2k atau x = - A + 2k dengan k bilangan bulat.
Oleh : Padiya ,S.Pd. E-mail : padiya68@yahoo .co.id
17
Trigonometri
Contoh 15: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan o o o cos 2x = cos 40 untuk 0 x 360 ! Penyelesaian : o cos 2x = cos 40 o o o o 2x = 40 + k.360 atau atau 2x = – 40 + k.360 o o o o x = 20 + k.180 x = -20 + k.180 o o K = 0 x = 20 x = -20 ( tm ) o o K = 1 x = 200 x = 160 o o K = 2 x = 380 (tm) x = 340 o o o o Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 20 , 160 , 200 , 340 } Ket : tm = tidak memenuhi
•
Persamaa amaan n tangen gen: *) Dalam derajat o - tan = tan (k.180 + ) atau *) Dalam radian - tan A = tan tan (k (k + A) dengan k bilangan bulat
Penyelesaian Persamaan tangen *) Dalam derajat - tan tan x = tan o x = + k.180 atau *) Dalam radian - tan tan x = tan tan A x = A + k dengan k bilangan bulat. Contoh 16 : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan o o Tan 3x = 1 untuk 0 x 180 ! Penyeleaian : tan 3x = 1 o Tan 3x = tan 45 o o 3x = 45 + k.180 o o x = 15 + k.60 o o k = 0 x = 15 k = 2 x = 135 o o k = 1 x = 75 k = 3 x = 195 ( tm) o o o Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 15 , 75 , 135 } Ket : tm = tidak tidak memenuhi memenuhi
Oleh : Padiya ,S.Pd. E-mail : padiya68@yahoo .co.id
18
Trigonometri
DAFTAR PUSTAKA 1. Matemat Matematika ika SMA SMA Jili Jilid d 7, Depdi Depdikbud kbud 1981 2. Matemat Matematika ika SMA SMA Jili Jilid d 9, Depdi Depdikbud kbud 1980 3. Matematika Matematika SMA SMA 1, Wilson Wilson Simangunson Simangunsong, g, Sukino, Sukino, Drs. I Nyoman Nyoman Susila Susila,, MSc, Erlangga, 1991 4. Matematika Matematika SMA SMA 1, Sartono Sartono Wirodikro Wirodikromo, mo, Dedi D Windyag Windyagiri, iri, Erlangga, Erlangga, 1993 1993 5. Matematika Matematika SMA SMA 1, Suah Sembir Sembiring, ing, Ganeca Ganeca Exact Exact Bandung Bandung , 1988 6. Ilmu Konamat Konamatra, ra, Dr. WK Baart, Baart, Prof. Prof. Dr. Meulenbeld, Meulenbeld, Buku Buku Teknik, Teknik, Jakarta, Jakarta, 1952 7. Setrategi Setrategi Memahami Memahami Matematika Matematika SMTA SMTA seri seri C, Fatah Fatah Ashari, Ashari, dkk, Epsilon Epsilon Group Bandung, 1991. 8. Trig Trigono onome metr tri, i, CJ. CJ. Alder Alders, s, 9. Ensiklopedi Ensiklopedi Matemat Matematika, ika, ST ST Negoro, Negoro, B. Harahap, Harahap, Ghalia Ghalia Indonesi Indonesia, a, 1982
Oleh : Padiya ,S.Pd. E-mail : padiya68@yahoo .co.id
19
