A. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut pada Segitiga Siku-Siku
Perbandingan trigonometri untuk sudut α pada segitiga siku-siku siku-siku OAB didefinisikan sebagai berikut.
x = sisi siku-siku samping sudut (proyeksi) y = sisi siku-siku depan sudut (proyektor) r = sisi miring (proyektum)
a. Sinus α = sin α =
=
b. Cosinus α = cos α = c. Tangen α = tan α =
d. Cosecan α = csc α =
=
e. Secan α = sec α =
=
=
=
d. Cotangen α = cot α =
=
B. Perbandingan Trigonometri Sudut Khusus
Sudut istimewa adalah sudut dengan nilai perbandingan trigonometri yang dapat ditentukan nilainya tanpa menggunakan tabel trigonometri atau kalkulator. Sudut-sudut istimewa antara lain: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, dan seterusnya. a. Sudut 0°
Jika sudut α = 0° maka sisi AC berimpit dengan sumbu X dan AC = AB = 1, BC = 0.
Sin 0° =
Cos 0° = Tan 0° =
b.
0
= =0
= =1 0
= =0
Sudut 30° dan 60°
Jika ABC = 90° dan α1 = 30°, maka α2 = 60° Dengan perbandingan
√ : 1 : 2 diperoleh:
AB : BC : AC = Sin 30° =
=
Cos 30° =
Tan 30° =
Sin 60° =
√ 3 = = √
Cos 60° =
= = √ √ 3 3
Tan 60° =
=
√ 3 = √
=
=
√ 3 =
√
c. Sudut 45°
Jika
∠ ABC = 90° dan sudut α = 45° maka dengan
memperhatikan gambar di samping diperoleh: AB = BC = sama panjang = 1; AC =√ = √ = √ Diperoleh:
Sin 45° =
=
Cos 45° =
Tan 45° =
= √ √
=
= √ √
= =1
d. Sudut 90°
Karena α = 90° maka AC berimpit sumbu Y. Jadi AC = AB = 1 dan BC = 0. Diperoleh: Sin 90° =
Cos 90° =
Tan 90° =
=
=1
=
0 =0
= tak terdefinisi
ari
uraian
di
atas,
diperoleh
tabel
sebagai
berikut:
C. Panjang Sisi dan Besar Sudut Segitiga Siku-Siku
Dalam segitiga siku-siku, jika diketahui besar salah satu sudut lancip dan panjang salah satu sisinya diketahui maka ukuran unsur-unsur yang lain dalam segitiga tersebut dapat kita tentukan. Dari gambar di samping, jika diketahui sudut CAB = α dan panjang sisi AB = b maka besar sudut β, sisi a dan sisi c dapat ditentukan, dan berlaku: β = 90° - α
tan α =
cos α =
maka a = b . tan α
maka c =
D. Perbandingan Trigonometri Sudut di Berbagai Kuadran a. Sudut Pada Kuadran
Selain sudut-sudut istimewa, menentukan nilai perbandingan trigonometri dapat dilakukan dengan menggunakan daftar, tabel trigonometri, atau kalkulator. Tabel
trigonometri hanya memuat sudut-sudut di kuadran I dan selebihnya tidak. Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri dengan sudut lebih dari 90° dapat dilakukan dengan mengubah sudut tersebut ke kuadran I. Sumbu-sumbu pada koordinat membagi bidang koordinat menjadi empat daerah yang disebut kuadran. Dengan begitu, besar sudut α dapat dikelompokkan menjadi 4 daerah seperti yang terlihat pada gambar berikut. Dari gambar disamping dapat ditentukan tanda (+/ – ) nilai perbandingan trigonometri pada masing-masing kuadran. b.
Sudut Berelasi 1. Sudut kuadran I (0°< x <90°)
Perhatikan ∆ OAP di kuadran I dan titik P (x,y).
a. sin α =
b. cos α = c. tan α =
d.
sin (90°- α) =
e.
cos (90°- α) =
f.
tan (90°- α) =
Dapat disimpulkan bahwa: sin α = cos (90°- α) = cos α = sin (90°- α) = tan α =
= cot (90° - α) = (90 −) °
2. Sudut di Kuadran II (90°< x <180°)
Perhatikan ∆ OAP di kuadran I dan titik P (x,y).
Sudut di kuadran I
sin α =
cos α =
Sudut di kuadran II
sin (180°- α) =
cos (180°- α) =
−
Dari beberapa rumus di atas, dapat disimpulkan: sin (180°- α) = sin α°
cos (180°- α) = - cos α°
tan (180°- α) = - tan α°
3. Sudut di Kuadran III (180°< x <270°)
Perhatikan Δ OAP di kuadran I dan titik P (x,y) dan titik P′ (– x, – y) di kuadran III. Diperoleh relasi sebagai berikut.
Sudut di kuadran I
sin α =
cos α =
tan α =
Sudut di kuadran III
sin (180° + α) =
cos (180° + α) =
tan (180° + α) =
−
−
Dari beberapa rumusan diatas, dapat disimpulkan: sin (180° + α) = - sin α°
cos (180° + α) = - cos α°
tan (180° + α) = tan α°
4. Sudut di Kuadran IV (270°< x <360°)
Perhatikan ∆ OAP, titik P (x,y) di kuadran I, ∆ OA’P’ dan P’ (x’,y’) di kuadran IV. Diperoleh relasi sebagai berikut Sudut di kuadran I
sin α =
cos α =
tan α =
Sudut di kuadran IV
sin (360° - α) =
cos (360° - α) =
tan (360° - α) =
−
−
Dari beberapa rumusan tersebut diperoleh hubungan sebagai berikut: sin α° = - sin (360° - α) =
cos α° = cos (360° - α) =
tan α° = tan (360° - α) =
−
atau sin (360° - α) = sin (-α) = - sin α°
atau cos (360° - α) = cos α°
atau tan (360° - α) = tan (-α) = - tan α°
