1.1.
Transitorios Transitorio s en redes capacitivas: Fase de carga
La colocación de carga en las placas de un capacitor no ocurre de forma instantánea. En su lugar, ocurre durante un lapso de tiempo determinado por los componentes de la red. La fase de carga, aquella durante la cual se deposita carga en las placas, puede describirse revisando la respuesta del circuito simple en serie de la figura 1. Recuerde que en el momento en que se cierra el interruptor, la batería extrae electrones de la placa superior y los deposita en la placa inferior, y el resultado es una carga neta positiva en la placa superior y una carga negativa en la placa inferior. La transferencia de electrones es muy rápida al principio, y se hace más lenta a medida que el potencial a través de las placas se aproxima al voltaje aplicado de la batería. A la larga, cuando el voltaje pasa a través del capacitor es igual al voltaje aplicado, la transferencia de electrones cesa, cesa, y la la placas adquieren una carga neta determinada por Q = CVC = CE . A este periodo durante el cual la carga se está depositando en las placas se le llama periodo transitorio, un lapso en el que el voltaje o la corriente pasan de un nivel de estado constante a otro. Como el voltaje a través de las placas está directamente relacionado con la carga depositada en las placas por V = Q/C , con el tiempo la curva del voltaje a través del capacitor tendrá la misma forma que la la curva de la carga en las placas. Como se muestra en la figura 2, el voltaje a través del capacitor es de cero volts cuando se cierra ( t = 0 s) el interruptor. Luego se incrementa muy rápido al principio puesto que la carga se está depositando a una velocidad muy alta. A medida que pasa el tiempo, la carga se deposita a una velocidad más lenta, y el cambio del voltaje se reduce. El voltaje continúa aumentando, pero a una velocidad más lenta. A la larga, a medida que el voltaje a través de las placas se aproxima el voltaje aplicado la velocidad de carga es muy lenta, hasta que al fin el voltaje que pasa a través de las placas es igual al voltaje aplicado; la fase transitoria ha pasado. Por fortuna, la forma de onda de la figura 2 de principio a fin puede describirse con la función matemática e -x. Es una función exponencial que se reduce con el tiempo, como se muestra en la figura 3. Si sustituimos la x por cero, obtenemos e -0, la cual por definición es 1, como se ve en la tabla 1 y en la curva de la figura 3. La tabla 1 revela que a medida que x se incrementa, la función e -x se reduce hasta que se aproxima a cero después de x = 5. Como se indica en la tabla 1, el factor exponencial e 1 = e = 2.71828. En la figura 3 también aparece una curva de 1-e-x puesto que es un componente del voltaje vC en la figura 2. Cuando e-x es 1, 1-e -x es cero, como se muestra en la figura 3, y cuando e -x se
reduce, 1-e-x tiende a 1, como se muestra en la misma figura. Es posible que se pregunte cómo nos puede ayudar esta función si se reduce con el tiempo, y la curva del voltaje a través del capacitor se incrementa con el tiempo. Simplemente colocamos la exponencial en la forma matemática apropiada, como sigue:
=1 − ,
… . 1
En primer lugar, observe en la ecuación (1) que el voltaje está escrito en letras cursivas minúsculas (no en mayúsculas ) para señalar que es una función que cambiará con el tiempo, porque no es constante. El exponente de la función exponencial ya no es sólo x , sin que ahora es tiempo ( t ) dividido entre una constante, la letra griega tau. La cantidad t se define como:
=
, ….2
Una gráfica de la ecuación (1) produce la curva de la figura 4, cuya forma es exactamente igual a la de la figura 2. En la ecuación (1), si sustituimos t = 0 s, encontramos que:
− = − = − = 1 = 1 − = 1 1 = 0
Como aparece en la curva de la figura 4. Es importante tener en cuenta en este momento que la curva de la figura 4 no se trazó simplemente contra el tiempo sino contra t, la constante de tiempo de la red. Si deseamos conocer el voltaje a través de las placas después de una constante de tiempo, simplemente insertamos = 1 en la ecuación (1). El resultado es:
− = −⁄ = − ≅ 0.368 − = 1 = 10.368 = 0.632
Como se muestra en la figura 4. A medida que se incrementa el número de constantes de tiempo, el voltaje a través del capacitor tiende al voltaje aplicado. Con = 5
− = − = − ≅ 0.007 − = 1 = 10.007 = 0.993
De hecho, podemos concluir por el resultado que acabamos de obtener que: El vo ltaje a travé s d e un capacit or d e un a red d e CD es en esencia ig ual al v oltaje aplic ado d espu é s de q ue h an pasado 5 con stantes de tiemp o de la fase de c arga.
O, en términos más generales,
En esenc ial, la fase trans itoria o de carga de u n c apacito r term ina desp ué s de c inc o cons tantes de tiempo.
En realidad es una suerte que la misma función exponencial pueda utilizarse para trazar la corriente del capacitor contra el tiempo. Cuando por primera vez se cierra el interruptor, el flujo de carga o corriente salta muy rápido a un valor limitado por el voltaje aplicado y la resistencia del circuito, como se muestra en la figura 5. La velocidad de deposición, y por consiguiente de la corriente, se reduce entonces con bastante rapidez, hasta que finalmente ya no se deposita carga en las placas y la corriente se reduce a cero amperes.
−
La ecuación de la corriente es: = , ….2 En la figura 1, la corriente (flujo convencional) tiene la dirección mostrada puesto que los electrones fluyen en la dirección opuesta.
En general, la figura 5 revela con claridad que: La c orrien te de un a red de CD c apacitiva es en esenc ia cero am peres d espu é s de que han pasado c inco c onstantes de tiempo de la fase de carga.
También es importante reconocer que:
Durante la fase de carga, ocurren el camb io mayo r del voltaje y la corriente durante la primera cons tante de tiempo.
Regresando a las figuras 4 y 5, observe que cuando el voltaje que pasa a través del capacitor alcanza el valor del voltaje aplicado E , la corriente se reduce a cero amperes, como se ve en la figura 6. Estas condiciones concuerdan con las de un circuito abierto, por lo que podemos concluir que: Un capacitor p uede ser reemp lazado por u n equivalente de circuito abierto una vez que ha pasado la fase de carga en una red de cd .
Esta conclusión será particularmente útil cuando se analicen redes de cd que han estado encendidas mucho tiempo o que ya pasaron por la fase transitoria, lo que ocurre normalmente cuando un sistema se enciende por primera vez. Puede llegarse a una conclusión similar si consideramos el momento en que se cierra el interruptor en el circuito de la figura 1. Recurriendo de nuevo a las figuras 4 y 5, vemos que la corriente alcanza un valor pico cuando t = 0 s, en tanto que el voltaje a través del capacitor es de 0 V, como se muestra en el circuito equivalente de la figura 7. El resultado es que
Un capac itor tiene las c aracterístic as de un equ ivalente de cor toc ircu ito en el mo mento en qu e se cierra el interruptor en un c ircuito R -C en serie descargado.
En la ecuación (1), la constante de tiempo, siempre tendrá algún valor porque en una red capacitiva siempre existe alguna resistencia. En algunos casos, el valor de puede ser muy pequeño, pero incluso cinco veces ese valor de , por pequeño que sea, siempre debe existir; no puede ser cero. El resultado es la siguiente muy importante conclusión: El vo ltaje que pasa a trav é s d e un c apacito r no puede c ambi ar de form a in s tan tán ea.
De hecho, podemos llevar este enunciado un paso más adelante diciendo que la capacitancia de una red es una medida de cuánto se opondrá a un cambio de voltaje en una red. A mayor capacitancia, mayor constante de tiempo, y el voltaje que pasa a través del capacitor tardará más en alcanzar el valor aplicado. Esto puede ser muy útil cuando se diseñan pararrayos y supresores de picos para proteger equipo contra altos picos de voltaje inesperados. Como el resistor y el capacitor en la figura 1 están en serie, la corriente a través del resistor es igual a la asociada con el capacitor. El voltaje que pasa a través del resistor puede determinarse con la ley de Ohm como sigue: De modo que
= − = −
= =
, ….4 Y La forma de la curva del vo ltaje mostrada en la figura 8 es igual a la de la corriente porque están relacionadas por la constante R . Observe, sin embargo, que el voltaje que pasa a través del resistor se inicia en un nivel de E volts porque el voltaje que pasa por el capacitor es de cero volts y la ley del voltaje de Kirchhoff siempre debe satisfacerse. Cuando el capacitor alcanza el voltaje aplicado, el voltaje que pasa a través del resistor debe reducirse a cero volts por la misma razón. Recuerde siempre que La ley del voltaje de Kirchho ff es aplicable en cualquier mom ento con c ualquier tipo de vo ltaje en cualquier tipo d e red.
1.2.
Transitorios en redes capacitivas: Fase de descarga
Ahora vamos a investigar cómo se descarga un capacitor al mismo tiempo que ejerce algún control sobre qué tan largo será el tiempo de descarga. Desde luego, puede colocar un conductor directamente a través de un capacitor para descargarlo con rapidez —y posiblemente provoque una chispa visible. En capacitores grandes como los de aparatos de TV, no debe intentarse este procedimiento debido a los altos voltajes que implican, a menos, por supuesto, que ya haya entrenado en la maniobra. En la figura 9(a), un segundo contacto para el interruptor se agregó al circuito de la figura 1 para controlar la descarga del capacitor. Con el interruptor en la posición 1, tenemos la red en fase de carga descrita en la sección anterior. Después de la fase de carga completa, si ponemos el interruptor en la posición 1, el capacitor puede descargarse a través del circuito resultante que se muestra en la figura 9 (b), en la cual el voltaje que pasa por el capacitor aparece directamente a través del resistor para establecer una corriente de descarga. En un principio, la corriente salta a un valor relativamente alto; luego comienza a reducirse. Disminuye con el tiempo porque la carga está desapareciendo de las placas del capacitor, lo cual a su vez reduce el voltaje que fluye a través del capacitor, y por lo tanto el voltaje que pasa por el resistor y la corriente resultante. Antes de examinar las formas de onda de cada cantidad de interés, observe que la corriente iC ahora tiene la dirección inversa como se muestra en la figura 9(b). Como se muestra en los incisos (a) y (b) de la figura 9, el voltaje que pasa por el capacitor no invierte su polaridad, pero la corriente sí invierte su dirección. Mostraremos las inversiones en las curvas resultantes, trazando las formas de onda en la región negativa de la gráfica. En todas las formas de onda, observe que todas las expresiones matemáticas utilizan el mismo factor e-x que aparece durante la fase de carga. Para el voltaje que cruza el capacitor y que va disminuyendo con el tiempo, la expresión matemática es
= −
….5
Para este circuito, la misma ecuación que se utiliza para la fase de carga define la constante de tiempo . Es decir,
= ….6 Como la corriente se reduce con el tiempo, su formato será parecido: = − ….7 Con la configuración de la figura 9(b), como = (en paralelo), la ecuación del voltaje tiene el mismo formato: = − ….8 La descarga completa ocurrirá, para todos los propósitos prácticos, en cinco constantes de tiempo. Si el interruptor se movió entre las terminales 1 y 2 cada cinco constantes de tiempo, se obtendrán las formas de onda mostradas en la figura 10 para , . En cada curva, las configuraciones que aparecen en la figura 9 definen las direcciones de la corriente y las polaridades del voltaje. Observe, como previamente se señaló, que la corriente invierte su dirección durante la fase de descarga. La velocidad de descarga no tiene que ser igual a la velocidad de carga si se utiliza una configuración de conmutación diferente.
2.1. Transitorios R-L: Fase de almacenamiento
Hay muchas semejanzas entre los análisis de redes inductivas y capacitivas. Es decir, lo que es cierto para el voltaje de un capacitor también lo es para la corriente de un inductor, y lo que es cierto para la corriente de un capacitor puede ser equiparado en muchas maneras por el voltaje de un inductor. Las formas de onda de almacenamiento tienen la misma forma, y las constantes de tiempo se definen para cada configuración. Debido a que estos conceptos son tan parecidos, se le presenta la oportunidad de reforzar los conceptos antes presentados y de avanzar en su aprendizaje sobre el comportamiento de los elementos inductivos. El circuito de la figura 11 se utiliza para describir la fase de almacenamiento. Observe que es el mismo con el que se describió la fase de carga de capacitores, con un simple reemplazo del capacitor por un inductor ideal. A lo largo del análisis es importante recordar que la energía se almacena en la forma de un campo eléctrico entre las placas de un capacitor. Por otra parte, en el caso de los inductores la energía se almacena en la forma de un campo magnético que enlaza la bobina. En el instante en que se cierra el interruptor, la acción de bloqueo de la bobina impide el cambio instantáneo de la corriente a través de la bobina, y el resultado es = 0, como se muestra en la figura 12(a). Al no haber una corriente que pase por la bobina y el circuito en el instante en que se cierra el interruptor, el voltaje a través del resistor es de cero volts, es decir, = = = 0 = 0 , como se muestra en la figura 12(c). Aplicando la ley del voltaje de Kirchhoff alrededor del lazo cerrado, se obtienen E volts a través de la bobina en el instante en que se cierra el interruptor, como se muestra en la figura 12(b). Al principio, la corriente se incrementa muy rápido, como se muestra en la figura 12(a) y luego más lentamente a medida que se aproxima a su valor estable determinado por los
parámetros de la red ( E / R). El voltaje que pasa por el resistor se eleva a la misma velocidad porque = = Como el voltaje que fluye por la bobina es sensible a la velocidad de cambio de la corriente a través de la bobina, el voltaje alcanzara, o estará cerca de, su valor máximo al principio de la fase de almacenamiento. Finalmente, cuando la corriente alcanza su valor de estado estable de E / R amperes, la corriente a través de la bobina deja de cambiar, y el voltaje que fluye por ella se reduce a cero volts. En cualquier instante, el voltaje que pasa por la bobina puede determinarse con la ley del voltaje de Kirchhoff como sigue: = . Como las formas de onda del inductor son iguales a las de redes capacitivas, estamos familiarizados con el formato matemático y podemos calcular tranquilamente las cantidades de interés con una calculadora o una computadora. La ecuación de la respuesta transitoria de la corriente a través de un inductor es:
= 1 −
,
….9
Con la constante de tiempo definida ahora como:
=
,
….10
Observe que la ecuación (10) es una relación de parámetros y no un producto como en el caso de redes capacitivas, sin embargo las unidades siguen siendo segundos (para el tiempo). − Nuestra experiencia con el factor 1 confirma el nivel de 63.2% de la corriente que pasa por el inductor después de una constante de tiempo, 86.5% después de dos constantes de tiempo, etcétera. Si mantenemos constante a R y aumentamos L, la relación L/ R, y el tiempo de elevación de 5 se incrementan, como se muestra en la figura 13, con niveles crecientes de L. Se espera el cambio de la respuesta transitoria debido a que cuanto más alto sea el nivel de inductancia, mayor será la acción de bloqueo del nivel de la corriente cambiante, y más largo el tiempo para alcanzar las condiciones de estado estable. La ecuación del voltaje a través de la bobina es
, = −⁄ ….11 Y la ecuación del voltaje que pasa por el resistor es =(1 −⁄) , ….12
Como se mencionó anteriormente, la forma de la curva de respuesta del voltaje que pasa por el resistor debe concordar con la de la corriente puesto que = = . Como las formas de onda son similares a las obtenidas para redes capacitivas, supondremos que La fase de almacenamiento ha transcurrido y que las condicion es de estado establ e se establecieron un a vez que ha tr anscur rido u n peri odo igu al a cinco constantes de tiempo.
Además, como = ⁄ siempre tendrá algún valor numérico, aun cuando en ocasiones suele ser muy pequeño, el periodo transitorio de 5 siempre tendrá algún valor numérico. Por consiguiente, En una red inductiva la corriente no puede cambiar de manera instantánea.
Si examinamos las condiciones existentes en el instante en que se cierra el interruptor, vemos que el voltaje a través de la bobina es E volts, aunque la corriente es de cero amperes, como se muestra en la figura 14. Por consiguiente, El in ductor adopta las característi cas de un cir cui to abierto en el in stante en que se cierr a el i nterruptor .
Sin embargo, si consideramos las condiciones en el momento de establecerse las condiciones de estado estable, vemos que el voltaje a través de la bobina es de cero volts y que la corriente alcanza un valor máximo de E / R, como se muestra en la figura 15. Por consiguiente, El i ndu ctor adopta las característi cas de un cor tocircui to cuando se establecen l as condiciones de estado estable.
2.2
Transitorios R-L: Fase de liberación En el análisis de circuitos R-C , vimos que el capacitor podía mantener su carga y
almacenar energía en la forma de un campo eléctrico durante un periodo determinado por los factores de fuga. En circuitos R-L, la energía se almacena en forma de un campo magnético establecido por la corriente a través de la bobina. Sin embargo, a diferencia del capacitor, un inductor aislado no puede continuar almacenando energía porque la ausencia de una trayectoria cerrada hace que la corriente se reduzca a cero, y la energía se libera en forma de un campo magnético. Si el circuito R-L en serie de la figura 15 alcanza condiciones de estado estable y el interruptor se abre de inmediato, se producirá una chispa a través de los contactos debido al rápido cambio de la corriente desde un valor máximo de E / R hasta cero amperes. El cambio de la corriente di/dt de la ecuación = / establece un alto voltaje a través de la bobina que, junto con el voltaje aplicado E , aparece a través de los puntos de contacto del interruptor. Este es el mismo mecanismo que se utiliza en el sistema de ignición de un automóvil para encender el combustible en el cilindro. Por la rápida reducción de la corriente a través de la bobina de encendido cuando se abre el interruptor en el sistema se generan 25,000 V. (En sistemas más antiguos, los “platinos” en el distribuidor funcionaban como el interruptor.) Esta reacción inductiva es significativa puesto que la única fuente independiente en un automóvil es una batería de 12 V. Si la apertura del interruptor para moverlo a otra posición provoca la rápida descarga de la energía almacenada, ¿como puede analizarse la fase de decaimiento de un circuito R-L casi de la misma manera que un circuito R-C ? La solución es utilizar una red como la de la figura 17(a). Cuando se
cierra el interruptor, el voltaje que pasa por el resistor R2 es de E volts, y la rama R-L responde como ya se describió, con los mismos niveles y formas de onda. Una red de Thevenin de E en paralelo con R2 da por resultado la fuente que se muestra en la figura 17(b) puesto que el cortocircuito que reemplaza a la fuente E pondrá en cortocircuito a R2 cuando se determine la resistencia de Thevenin.
Una vez que ha pasado la fase de almacenamiento y con las condiciones de estado estable establecidas, el interruptor puede abrirse sin el efecto de que se produzcan chispas o la rápida descarga debido al resistor R2, el cual proporciona una trayectoria completa para la corriente i L. De hecho, por claridad la trayectoria de descarga está aislada en la figura 18. El voltaje a través del inductor invierte su polaridad y su magnitud se determina como
=( )
….13
Recuerde que el voltaje que pasa por un inductor puede cambiar instantáneamente pero no así la corriente. El resultado es que la corriente i L debe mantener la misma dirección y magnitud, como se muestra en la figura 18. Por consiguiente, en el instante en que el interruptor se a bre, i L sigue siendo =/, y
=( )= = = = Y = 1 ….14 El cual es mayor que E volts por la relación ⁄. En otras palabras, cuando el interruptor que se abre, el voltaje que pasa por el inductor invierte su polaridad y se reduce instantáneamente de E a [1 ⁄] . Cuando un inductor libera la energía almacenada, el voltaje a través de la bobina se reduce a cero como sigue:
= −⁄ ….14 =1 , y ′ = = + Con La corriente se reduce desde un máximo de =/ hasta cero.
La expresión matemática para el voltaje que pasa a través de uno u otro resistor puede determinarse entonces con la ley de Ohm:
= = = −⁄ ⁄ − = ….15
El voltaje tiene la misma polaridad que durante la fase de almacenamiento puesto que la corriente tiene la misma dirección. El voltaje se expresa como sigue con la polaridad definida de la figura 17:
= = = −⁄ = −⁄ ….16
En el análisis anterior se supuso que las condiciones de estado se establecían durante la fase de carga y que =/ con = 0. Sin embargo, si el interruptor en la figura 17 se abre antes de que alcance su valor máximo, la ecuación para la corriente decadente de la figura 17 debe cambiar a
= −⁄
….17
Donde es la corriente de arranque o inicial. El voltaje a través de la bobina se define como sigue: Con
= −⁄ =
….18
REFERENCIAS: [1]Boylestad, Robert. “INTRODUCCION AL ANÁLISIS DE CIRCUITOS ”, Decimo Segunda
Edición, Capítulos 5,6. Editorial Pearson, México 201 1.
