Transformasi Risqi Pratama, S.Si. January 20, 2018
”Transformasi dapat dilakukan dalam beberapa hal, antara lain: translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian).” 1
Translasi
Sifat translasi: 1. Bangun yang digeser (ditranslasikan) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. 2. Bangun yang digeser (ditranslasikan) mengalami perubahan posisi. " # a Translasi pada titik P (x, y) sejauh T = menghasilkan P 0 (x0 , y 0 ) dengan masing-masing b x0 = x + a dan y 0 = y + b. Notasinya dapat ditulis T[a, b] P (x, y) = P 0 (x + a, y + b)
(1)
a b P (x, y) −−−−−−→ P 0 (x + a, y + b) T =
(2)
Contoh Soal: 1. Tentukan bayangan dari titik A(2, 3) oleh translasi T[7, 8] . " 2. Tentukan bayangan dari titik A(5, 10) oleh translasi T = 3. Tentukan bayangan dari titik A(1, 2) oleh translasi T[1,
2]
4 2
# .
dilanjutkan oleh translasi U[3, 4] .
4. Disediakan suatu persamaan garis lurus y = 3x + 5. Tentukan persamaan garis lurus yang dihasilkan oleh translasi T[2, 1] .
1
Jawaban:
7 T = 8 1. A(2, 3) −−−−−−→ A0 (2 + 7, 3 + 8) = A0 (9, 11).
4 T = 2 2. A(5, 10) −−−−−−→ A0 (5 + 4, 10 + 2) = A0 (9, 12).
1 2 3. A(1, 2) −−−− −−→ A0 (1 + 1, 2 + 2) = A0 (2, 4). T =
3 4 0 A (2, 4) −−−−−−→ A00 (2 + 3, 4 + 4) = A00 (5, 8). U =
4. Ada 3 cara untuk menyelesaikan persoalan tersebut. - Mendefinisikan translasi terlebih dahulu T[2, 1] A(x, y) = A0 (x0 = x+2, y 0 = y+1) sehingga x = y 0 −2 dan x = x0 −1. Persamaan yang baru dituliskan dalam notasi translasi (dengan tanda aksen) menjadi y 0 − 1 = 3(x0 − 2) + 5 y 0 = 3x0 − 6 + 5 + 1 y 0 = 3x0 Hasil translasinya dituliskan dalam bentuk semula (x dan y) menjadi y = 3x. - Menentukan titik acuan terlebih dahulu untuk ditranslasikan Misal titik A untuk x = 0 → y = 5 sehingga titiknya dinyatakan A = (0, 5). Misal titik B untuk y = 0 → x = − 35 sehingga B = (− 53 , 0). Titik hasil translasinya adalah T[2,
1]
A(0, 5) −−−−→ A0 (2, 6) T[2,
1]
B(− 35 , 0) −−−−→ B 0 ( 13 , 1) Persamaan yang baru hasil translasi adalah persamaan garis lurus antara 2 titik A0 dan B 0 yaitu x − x1 y − y1 = (3) y2 − y1 x2 − x1 Persamaannya menjadi
y−6 x−2 = 1 1−6 3 −2 y−6 =x−2 3 y − 6 = 3x − 6 y = 3x 2
- Menggunakan rumus Translasi persamaan ax + by = c pada translasi T[p,
q]
adalah
ax + by = c + ap + bq
(4)
Persamaan pada soal berubah menjadi −3x + y = 5 sehingga a = −3 dan b = 1. −3x + y = 5 + (−3)(2) + (1)(1) −3x + y = 0 y = 3x
2
Refleksi
Sifat translasi: 1. Bangun (objek) yang dicerminkan (refleksi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. 2. Jarak bangun (objek) dari cermin (cermin datar) adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut. Pencerminan dapat dirumuskan dalam notasi matriks untuk menghasilkan bayangan sebagai berikut M
"
r P (x, y) −−→ P 0 (x0 , y 0 ) # " #" # x0 a b x = 0 y c d y
(5) (6)
dengan Mr adalah matriks transformasi refleksi. Refleksi pada cermin tertentu dan matriks transformasinya disebutkan beberapa sebagai berikut " # −1 0 O(0, 0) −→ (7) 0 −1 "
1 0 y = 0 −→ 0 −1 " # 0 1 y = x −→ 1 0
#
" x = 0 −→ " y = −x −→
−1 0 0 1
#
0 −1 −1 0
#
(8) (9)
Contoh Soal: 1. Tentukan bayangan titik A(1, −2) dan B(−3, 5) setelah dicerminkan terhadap sumbu x (y = 0). 2. Sebuah titik P (10, 5) dicerminkan terhadap sumbu y (x = 0) kemudian dilanjutkan dicerminkan terhadap garis y = x. Tentukan bayangan titik tersebut. 3. Bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y = x adalah ... 3
Jawaban: " 1. Untuk titik A, refleksinya menghasilkan
x0 y0
#
" =
1 0 0 −1
#"
1 −2
#
" =
1 2
#
"
# " #" # " # x0 1 0 −3 −3 Untuk titik B, refleksinya menghasilkan = = y0 0 −1 5 −5 " # " #" # " # x0 −1 0 10 −10 2. Refleksi pada x = 0 menghasilkan = = y0 0 1 5 5 " Selanjutnya, hasil tersebut direfleksikan lagi terhadap y = x menghasilkan " #" # " # 0 1 −10 5 = 1 0 5 −10
x00 y 00
# =
3. Refleksi dari titik-titiknya adalah P (x. y) −→ P 0 (x0 , y 0 ). Jika direfleksikan pada y = x menghasilkan P (x. y) −→ P 0 (y, x) sehingga x0 = y dan y 0 = x. Persamaannya menjadi y 0 = 2x0 + 2 x = 2y + 2 x−2 2 1 y = x−1 2 y=
3
Rotasi
Sifat rotasi: 1. Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. 2. Bangun yang diputar (rotasi) mengalami perubahan posisi. Pernyataan rotasi biasanya dinyatakan dalam pernyataan ”dirotasi sebesar θ (derajat) dengan pusat O(0, 0)”. " # " #" # x0 cos θ − sin θ x = (10) y0 sin θ cos θ y Untuk ”rotasi sebesar −θ (derajat) searah jarum jam dengan pusat O(0, 0)”. " # " #" # x0 cos θ sin θ x = 0 y − sin θ cos θ y
4
(11)
Matriks rotasinya dalam beberapa sudut adalah sebagai berikut " # " # 0 −1 0 −1 θ = 270◦ −→ θ = −270◦ −→ −1 0 1 0 " # " # −1 0 −1 0 ◦ ◦ θ = 180 −→ θ = −180 −→ 0 −1 0 −1 " # " # 0 −1 0 1 ◦ ◦ θ = 90 −→ θ = −90 −→ 1 0 −1 0
(12) (13) (14)
Jika ”dirotasikan sebesar θ (derajat) dengan pusat P (p, q)” maka menghasilkan bayangan " # " # " # x−p p x0 + (15) = Mrot 0 y−q q y
Contoh Soal: √ √ 1. Titik P (6 2, 10 2) diputar dengan arah berlawanan jarum jam sejauh 45◦ menghasilkan titik P 0 . Tentukan koordinat dari titik tersebut. 2. Sebuah garis 2x − 3y − 4 = 0 dirotasikan sebesar 180◦ dengan titik pusat rotasi P (1, −1). Tentukanlah persamaan garis setelah dirotasikan.
Jawaban: #" √ # cos 45◦ − sin 45◦ 6 2 √ = 1. ◦ ◦ sin 45 cos 45 10 2 " # " √ √ #" √ # 1 1 x0 2 − 6 2 2 √2 √ = 21 √ 1 0 y 10 2 2 2 2 2 " # " # x0 −4 = y0 16 "
x0 y0
#
"
2. Menggunakan persamaan (15) dengan matriks rotasi 180◦ menghasilkan " # " #" # " # x0 −1 0 x−1 1 = + y0 0 −1 y+1 −1 Maka x0 = −x + 2 dan y 0 = −y − 2 dan menghasilkan persamaan lain x = 2 − x0 dan y = −2 − y 0 untuk disubtitusikan ke persamaan semula menghasilkan persamaan baru yang merupakan hasil rotasi 2(2 − x0 ) − 3(−2 − y 0 ) − 4 = 0 3y 0 − 2x0 + 6 = 0 Jadi, persamaan hasil rotasinya dapat ditulis dalam persamaan baru dengan menampilkan variabel x0 dan y 0 dalam x dan y menjadi −2x + 3y + 6 = 0. 5
4
Dilatasi
Sifat dilatasi: 1. Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk. Jika k > 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. 2. Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk. Jika k = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak. 3. Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk. Jika 0 < k < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. 4. Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk. Jika −1 < k < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. 5. Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk. Jika k < −1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. Rumus dilatasi dengan faktor skala k dengan pusat: " # " # x0 x =k O(0, 0) 0 y y " # " # " # x0 x−p p P (p, q) =k + 0 y y−q q
(16) (17)
Contoh Soal dan Jawaban: Sebuah garis g : 2x − 3y − 6 = 0 didilatasikan dengan faktor k = 3 dan pusat dilatasi pada titik P (1, −2). Tentukanlah bayangannya. Menggunakan persamaan (17) untuk mendefinisikan x0 dan y 0 . " # " # " # x0 x−1 1 =3 + y0 y+2 −2 0
menghasilkan x0 = 3x − 2 dan y 0 = 3y + 4. Subtitusi x = x 3+2 dan y = semula menghasilkan persamaan hasil dilatasi 0 0 x +2 y −4 2 −3 −6=0 3 3 2x0 − 3y 0 − 2 = 0 6
y 0 −4 3
ke dalam persamaan
Jadi, persamaan hasil dilatasinya dapat ditulis dalam persamaan baru dengan menampilkan variabel x0 dan y 0 dalam x dan y menjadi 2x − 3y − 2 = 0.
References [1] http://tomyherawansman48jkt.blogspot.co.id/2015/06/bab-v-transformasi.html. Akses: 19 Januari 2018. [2] https://www.bukupaket.com/2016/08/materi-matematika-kelas-11-sma.html. Akses: 19 Januari 2018.
7
