II Congreso CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DISEÑO A FLEXIÓN BASADO EN CURVAS ESFUERZOESFUERZODEFORMACIÓN Ing. Marcelo Romo Proaño, M.Sc.
Centro de Investigaciones Científicas Escuela Politécnica del Ejército
[email protected]
RESUMEN Se presentan curvas esfuerzo-deformación esfuerzo-deformación tipo de hormigones hormigones de baja, mediana y alta resistencia. Se describe cada curva esfuerzo-deformación de hormigones de baja y mediana resistencia mediante funciones matemáticas individuales, formuladas bajo ajustes por mínimos cuadrados, cuadrados, y se presentan tablas tablas correspondientes correspondientes a las coordenadas coordenadas de cada una de esas curvas. Se propone una una función única que integra y aproxima todas las curvas esfuerzo2 deformación en un rango de 210 a 490 Kg/cm , lo que permite generar directamente la curva y las coordenadas tabuladas para cualquier resistencia característica característica del hormigón. Se sugieren metodologías para el diseño y la verificación de vigas de sección transversal arbitraria mediante el uso de las funciones deducidas.
Palabras claves: hormigón, esfuerzo-deformación, curvas de ajuste, alta resistencia, mediana resistencia, elasto-frágil. elasto-frágil.
1. INTRODUCCIÓN Para el diseño de vigas rectangulares el profesor Whitney propuso que, para vigas rectangulares, en el formulario correspondiente se reemplace el diagrama esfuerzodeformación del concreto por un bloque rectangular de comportamiento aproximadamente equivalente (magnitud (magnitud y posición similar de la fuerza de compresi ón). ón). La propuesta fue acogida por el ACI e incorporada en el código de diseño de hormigón armado. armado. La utilización de bloques rectangulares equivalentes de compresión proporciona facilidades facilidades matemáticas para el diseño de vigas rectangulares, y puede ser extendido mediante criterios adicionales adicionales de aproximación aproximación a vigas en “T” o en “L ”. Para otro tipo de secciones es necesario utilizar los diagramas esfuerzo-deformación de los hormigones para distintas resistencias, y efectuar integraciones numéricas para determinar cuantías, cuantías balanceadas y capacidades de secciones específicas.
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ε
Rectángulo de Compresión Equivalente
σ
0.85f’c
f’c
ε=0.003
C c
C a
E.N. d
T
T
εs ≥ εy
Figura 1 Diagrama de deformaciones unitarias, diagrama de esfuerzos de compresión en el concreto y rectángulo equivalente de Whithey. Diversas modelos se han desarrollado para representar la curva esfuerzo-deformación del hormigón, incluidos modelos bilineales, modelos trilineales, y modelos combinados linealesparabólicos.
Figura 2 Modelos lineal-parabólico, bilineal y trilineal de esfuerzos y deformaciones en el hormigón. El uso de este tipo de modelos se vuelve complejo por la necesidad de tomar en cuenta las variaciones geométricas de la sección transversal de la viga, interactuando con las variaciones matemáticas del modelo esfuerzo-deformación.
Figura 3 Geometrías no convencionales de vigas que requieren el diagrama esfuerzodeformación del hormigón para su diseño.
2
Ing. Marcelo Romo Proaño, M.Sc. A través de este estudio se buscan funciones únicas que definan la curva esfuerzodeformación del hormigón, de modo que puedan ser utilizadas fácilmente en una hoja electrónica, lo que deja exclusivamente el problema de la variación geométrica de las secciones.
2. LOS HORMIGONES ANALIZADOS Y SUS CARACTERÍSTICAS BÁSICAS Para el desarrollo de los modelos propuestos se han utilizado curvas esfuerzodeformación con hormigones de baja, mediana y alta resistencia, según estándares internacionales. A continuación se presenta un diagrama de datos obtenidos en laboratorio, con curvas 2 2 esfuerzo-deformación representativas de hormigones de 280 Kg/cm (4 k.s.i.), 490 Kg/cm (7 2 k.s.i.) y 840 Kg/cm (12 k.s.i.) de resistencia característica.
Figura 4 Curvas esfuerzo-deformación características de hormigones de baja, mediana y alta resistencia (Romo M., Microcracking, Macro Air-void System and Strength of Superplastiziced Concrete ) 2
Si se observan con detenimiento las curvas logradas con hormigones de 280 Kg/cm (4 2 k.s.i.) y de 490 Kg/cm (7 k.s.i.), el máximo esfuerzo se obtiene para deformaciones unitarias entre 0.002 y 0.0025. Se ha escogido ese rango de resistencias del concreto por ser el que corresponde al de mayor uso en el país. 2
Así mismo, los hormigones de baja resistencia (280 Kg/cm ) logran deformaciones 2 unitarias últimas superiores a 0.0035, mientras que los de mediana resistencia (490 Kg/cm ) apenas alcanzan a deformarse hasta 0.003, como se observa en la siguiente figura.
Figura 5 Esfuerzos y deformaciones máximos en hormigones de baja y mediana resistencia (L-S y H-S)
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Debido a que los hormigones de baja y mediana resistencia son claramente dúctiles, pueden ser modelados matemáticamente mediante curvas que se ajustan a funciones específicas. 2
Así mismo, ya que el hormigón de alta resistencia (840 Kg/cm ) tiene un comportamiento elasto-frágil, conviene modelarlo con 2 líneas rectas, como se puede observar en la Figura 6, estudio que no es cubierto en este artículo.
Figura 6 Diagrama elasto-frágil característico de hormigones de alta resistencia (H-S )
3. EL MÓDULO DE ELASTICIDAD DEL HORMIGÓN La ecuación que se suele utilizar para describir al módulo de elasticidad del hormigón 2 en función de su resistencia en Kg/cm , de acuerdo a los códigos de diseño es:
Ec
= 15000
f ' c
Sin embargo, cuando se deben incluir los hormigones de mediana y alta resistencia se logra un mejor ajuste con la siguiente ecuación (Nilson A., Diseño de Estructuras de Concret o ), que es la que se ha utilizado en las herramientas propuestas:
Ec
= 72500 + 10000
f ' c
La ecuación previa proporciona un módulo de elasticidad similar al de la ecuación de 2 los códigos de diseño para una resistencia de 210 Kg/cm , pero define módulos de elasticidad menores para hormigones de mayor resistencia.
Figura 7 Comparación de los valores de módulos de elasticidad con la ecuación del ACI y la ecuación modificada
4
Ing. Marcelo Romo Proaño, M.Sc.
En nuestro medio, debido a las características del agregado grueso empleado en la fabricación de hormigones, los valores obtenidos en laboratorio para el módulo de elasticidad sufren reducciones entre 10% y 20% con relación a la ecuación modificada.
4. LAS HERRAMIENTAS PROPUESTAS Y SUS PROPIEDADES Se propone la utilización de las siguientes herramientas para el modelamiento 2 matemático de las curvas esfuerzo-deformación de hormigones entre 210 Kg/cm y 490 2 Kg/cm : Curvas esfuerzo-deformación para diferentes resistencias del hormigón Tablas numéricas asociadas a las curvas esfuerzo-deformación Ecuaciones individuales para describir las curvas esfuerzo-deformación Ecuación integrada para describir simultáneamente todas las curvas esfuerzodeformación
Ø Ø Ø Ø
Se han incluido las siguientes propiedades del hormigón para describir adecuadamente su comportamiento: La pendiente inicial de las curvas se aproxima al módulo de elasticidad del hormigón. Las curvas tienen un rango cuasi lineal que se utiliza para simular el rango de comportamiento elástico del hormigón. Las curvas recogen la tendencia hacia una falla frágil de los hormigones de mayor resistencia Las curvas incluyen la tendencia a presentar mayor ductilidad de los hormigones de menor resistencia. La ordenada máxima de esfuerzo define la resistencia característica del hormigón al que hace referencia la curva. Las curvas han sido recortadas en una deformación unitaria máxima de 0.003, como lo especifican los códigos, para favorecer su uso en diseño.
Ø Ø Ø Ø Ø Ø
La siguiente tabla puede ser utilizada para relacionar los esfuerzos con las deformaciones para distintas resistencias características del hormigón en el rango de resistencias bajas y medias, cuando el peso específico del hormigón es normal (2200-2350 3 kg/m en estado endurecido y seco):
Tabla 1 Coordenadas de curvas esfuerzo-deformación de hormigones entre 210 y 490 Kg/cm 2 ε
0,0000 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008 0,0009 0,0010 0,0011 0,0012 0,0013 0,0014 0,0015 0,0016 0,0017 0,0018 0,0019
210 Kg/cm2 0,0 14,3 28,3 42,1 55,5 68,5 81,2 93,6 105,5 116,9 127,9 138,4 148,3 157,7 166,5 174,6 182,0 188,7 194,5 199,6
240 Kg/cm2 0,0 16,2 32,1 47,7 63,0 77,9 92,5 106,7 120,5 133,8 146,5 158,7 170,3 181,3 191,5 201,0 209,6 217,4 224,1 229,8
280 Kg/cm2
f’c
0,0 18,3 36,3 54,1 71,6 88,8 105,6 122,1 138,1 153,7 168,7 183,2 197,0 210,1 222,4 233,9 244,3 253,7 261,9 268,8
5
350 Kg/cm2 0,0 21,1 42,0 62,8 83,4 103,8 123,9 143,7 163,1 182,2 200,8 218,9 236,4 253,2 269,2 284,3 298,3 311,2 322,6 332,4
420 Kg/cm2 0,0 23,2 46,3 69,3 92,2 115,0 137,6 160,0 182,2 204,1 225,7 246,9 267,6 287,8 307,3 326,0 343,8 360,4 375,7 389,3
490 Kg/cm2 0,0 24,8 49,6 74,4 99,1 123,7 148,3 172,7 197,0 221,2 245,1 268,8 292,2 315,2 337,7 359,7 380,9 401,1 420,3 438,0
II Congreso CIENCIA Y TECNOLOGÍA 0,0020 0,0021 0,0022 0,0023 0,0024 0,0025 0,0026 0,0027 0,0028 0,0029 0,0030
203,7 206,9 209,0
234,4 237,6 239,6
274,2 278,0 280,0
340,3 346,1 349,5
401,0 410,3 416,8
210,0
240,0
280,0
350,0
420,0
453,9 467,7 478,8 486,5
209,9 208,5 205,8 201,7 196,0 188,7 179,7
238,8 236,0 231,2 224,4 215,3 203,9 189,9
277,8 273,1 265,7 255,3 241,5 224,1 202,5
347,2 340,7 329,9 314 ,0 292,5 264,3 228,5
419,2 413,6 402,3 384,2 357,9 321,8 274,0
488,3 480,1 463,9 437,7 399,2 345,2
490,0
La representación gráfica de la tabla anterior se describe en las curvas de la siguiente figura:
Figura 8 Curvas esfuerzo-deformación de hormigones entre 210 y 490 Kg/cm2. Las ecuaciones independientes de ajuste para cada resistencia característica, con las que se elaboraron la tabla y las curvas, son:
σ 210 = −62.15 ⋅ ( e 650ε − 1) + 0.85[72500 + 10000 210 ]⋅ ε σ 240 = −37.3 ⋅ (e 812.9ε − 1) + 0.85[72500 + 10000 240 ]⋅ ε σ 280 = −19.5 ⋅ ( e1030ε − 1) + 0.85[72500 + 10000 280 ] ⋅ ε σ 350 = −6.4 ⋅ (e1410 ε − 1) + 0.85[72500 + 10000 350 ]⋅ ε σ 420 = −2.027 ⋅ (e1790 ε − 1) + 0.85[72500 + 10000 420 ]⋅ ε σ 490 = −0.6025 ⋅ ( e 2170ε − 1) + 0.85[72500 + 10000 490 ] ⋅ ε Claramente se nota que las ecuaciones tienen un término derecho (función lineal) que modela el rango elástico de comportamiento del hormigón, y un término izquierdo (función exponencial) que modela el rango inelástico. 2
A continuación se presenta un diagrama combinado de l as curvas de 280 Kg/cm y 490 2 Kg/cm en conjunto con las curvas obtenidas en laboratorio para resistencias similares (no exactamente iguales pero si suficientemente próximas para analizar semejanzas y diferencias).
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Ing. Marcelo Romo Proaño, M.Sc.
Figura 9 Curvas esfuerzo-deformación reales y funciones de ajuste de hormigones. Las similitudes entre las curvas logradas en laboratorio y las curvas generadas mediante las funciones matemáticas propuestas son claras. Igualmente podría emplearse la siguiente ecuación genérica única para valores de 2 resistencia del hormigón entre 210 y 490 Kg/cm , no contemplados ni en la tabla, ni en las ecuaciones previas:
σ
1.795+ −0.5( f 'c−210 ) 70 = −10
650 + 380(f 'c −210) ⋅ε 70 − 1 + 0.85[72500 + 10000 ⋅ e
f ' c
]⋅ ε
O simplificando:
σ
3.295− 0.5f 'c −490+ 380f 'c ⋅ε 70 70 = −10 ⋅ e
− 1 + 0.85[72500 + 10000
f ' c
]⋅ ε
Debido a que las curvas obtenidas con la última ecuación presentan ligeras diferencias en el esfuerzo máximo con relación a f’c (hasta un 4%), toda curva deberá multiplicarse por un factor único que logre que el esfuerzo máximo sea exactamente f’c. El siguiente gráfico corresponde a las curvas evaluadas con la última ecuación:
Figura 10 Curvas esfuerzo-deformación del hormigón generadas mediante la ecuación genérica única.
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Por la complejidad de descripción matemática de la ecuación, de las curvas y de la tabla, el problema de diseño de vigas de hormigón armado tiene que ser reenfocado hacia un problema iterativo de comprobación del diseño, utilizando herramientas de computación. En el presente trabajo se empleó una hoja electrónica.
5. PROCEDIMIENTO PARA SECCIÓN TRANSVERSAL
DISEÑAR
VIGAS
DE
CUALQUIER
Para diseñar y calcular la capacidad resistente de una sección arbitraria sometida a la flexión se aplican varios principios generales: Ø Ø Ø
La mayor deformación unitaria en el hormigón es 0.003 (especificación del ACI-2005 y del CEC-2000). Las deformaciones son proporcionales a la distancia respecto al eje neutro de la viga (Principio de Navier-Bernoulli). La fuerza de compresión en el hormigón es numéricamente igual al volumen de presiones que actúa sobre la superficie comprimida.
Cc =
∫ P(x, y) ⋅ dA
A Ø
La fuerza de compresión en el hormigón debe equilibrarse con la fuerza de tracción en el acero (equilibrio de fuerzas horizontales).
Cc = T
Ø
El momento flector nominal es el producto de la fuerza de tracción o de compresión por el brazo de palanca.
Mn Ø
= T ⋅z
El momento flector último proviene de afectar al momento nominal por el factor de reducción de capacidad φ (especificación del ACI-2005 y del CE C-2000).
Mu
= φ ⋅ Mn
Figura 11 Geometría, diagrama de deformaciones unitarias y diagrama de fuerzas internas de una sección arbitraria. El procedimiento contempla las siguientes fases: Ø Ø Ø
Se estima la sección de acero que se requiere para resistir el momento flector actuante y se calcula la fuerza de tracción que produce esa sección de acero. Se estima la posición del eje neutro. Se calculan mediante tablas los esfuerzos asociados a cada posición de las fibras de compresión tomand o como base la curva esfuerzo-deformación.
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Ing. Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Ø Ø Ø Ø Ø
Ø Ø
Ø
Se calcula el volumen de presiones que es la magnitud de la fuerza de compresión mediante integración numérica. Se calcula el momento que produce el volumen de presiones respecto al eje neutro, mediante integración numérica. Se define la magnitud de la fuerza de compresión y su posición Se recalcula la posición del eje neutro En caso de existir diferencias importantes (superiores a 3%) entre la posición estimada y la posición recalculada del eje neutro se repite el proceso para la nueva posición del eje neutro. Una vez lograda la convergencia en cuanto a la posición del eje neutro se calcula el momento flector nominal y el momento flector último resistente. En caso de existir diferencias importantes (superiores al 3%) entre el momento flector resistente y el momento flector actuante, se reajusta la sección de acero requerida y se reinicia el proceso de ubicación del eje neutro y de cálculo del momento flector resistente. Una vez lograda la convergencia de la sección de acero se concluye el diseño mediante la determinación del armado en varillas de diámetro comercial.
A continuación se presenta un ejemplo explicativo de la metodología de diseño de vigas de geometría especial.
EJEMPLO: Diseñar la siguiente viga trapezoidal para resistir un momento flector último de 40 T-m, 2 si el hormigón tiene una resistencia característica de 210 Kg/cm y el esfuerzo de fluencia del 2 acero es 4200 Kg/cm .
Figura 12 Geometría y ubicación de la armadura en la viga trapezoidal. SOLUCIÓN: Ø
Estimación de la sección de acero y cálculo de la fuerza de tracción
Se puede realizar una estimación de la sección de acero requerida mediante la siguiente fórmula aproximada que asume que el centro de gravedad de la fuerza de compresión está ubicado a “0.1 d” de la cara extrema comprimida:
As =
Mu
φ ⋅ (0.9d ) ⋅ Fy
=
4000000 Kg − cm (0.9) ⋅ [(0.9) ⋅ ( 41 cm)] ⋅ ( 4200 Kg / cm 2 )
As = 28.68 cm 2 Se calcula la fuerza de tracción que produce la armadura calculada, suponiendo que el acero se encuentra en fluencia, lo que es consistente con los criterios de ductilidad de un buen diseño:
T = As ⋅ Fy = (32.26 cm 2 ) ⋅ (4200 Kg / cm 2 ) T = 120456 Kg
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Estimación de la posición del eje neutro
Ø
Inicialmente se supondrá que la zona comprimida ocupa una altura de “ 0.25 d” (c = 10.25 cm), que es consistente con la fórmula de cálculo de la sección de acero para vigas rectangulares, siempre que la cuantía de armado final no sea demasiado alta.
Figura 13 Diagrama aproximados de deformaciones y de fuerzas internas de la viga trapezoidal.
Tabla para el cálculo de esfuerzos en las fibras de compresión, volumen de presiones y momento respecto al eje neutro
Ø
Mediante una tabla se puede encontrar tanto la magnitud de la fuerza de compresión “Cc” como la posición del centro de gravedad “d2 ” de esa fuerza respecto al eje neutro. ε
0,0000 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008 0,0009 0,0010 0,0011 0,0012 0,0013 0,0014 0,0015 0,0016 0,0017 0,0018 0,0019 0,0020 0,0021 0,0022 0,0023 0,0024 0,0025 0,0026 0,0027 0,0028 0,0029 0,0030
Distancia al Eje Neutro
σ
0,0000 0,3417 0,6833 1,0250 1,3667 1,7083 2,0500 2,3917 2,7333 3,0750 3,4167 3,7583 4,1000 4,4417 4,7833 5,1250 5,4667 5,8083 6,1500 6,4917 6,8333 7,1750 7,5167 7,8583 8,2000 8,5417 8,8833 9,2250 9,5667 9,9083 10,2500
0,0 14,3 28,3 42,1 55,5 68,5 81,2 93,6 105,5 116,9 127,9 138,4 148,3 157,7 166,5 174,6 182,0 188,7 194,5 199,6 203,7 206,9 209,0 210,0 209,9 208,5 205,8 201,7 196,0 188,7 179,7
Área
Profundidad 61,800 62,073 62,347 62,620 62,893 63,167 63,440 63,713 63,987 64,260 64,533 64,807 65,080 65,353 65,627 65,900 66,173 66,447 66,720 66,993 67,267 67,540 67,813 68,087 68,360 68,633 68,907 69,180 69,453 69,727 70,000
2,44 7,28 12,03 16,66 21,18 25,59 29,86 34,00 37,99 41,82 45,49 48,98 52,28 55,38 58,26 60,92 63,32 65,47 67,33 68,89 70,14 71,05 71,59 71,74 71,48 70,78 69,61 67,94 65,73 62,94
Volumen 151,7 454,1 753,0 1047,8 1338,1 1623,2 1902,5 2175,3 2441,1 2698,9 2948,1 3187,7 3416,8 3634,5 3839,6 4031,0 4207,5 4367,9 4510,6 4634,3 4737,3 4817,9 4874,2 4904,4 4906,2 4877,5 4815,8 4718,5 4583,0 4406,1
101004,5
Σ
10
Centro de Gravedad 0,171 0,513 0,854 1,196 1,538 1,879 2,221 2,563 2,904 3,246 3,588 3,929 4,271 4,613 4,954 5,296 5,638 5,979 6,321 6,663 7,004 7,346 7,688 8,029 8,371 8,713 9,054 9,396 9,738 10,079
Momento 25,9 232,7 643,2 1253,0 2057,3 3050,2 4225,1 5574,3 7089,3 8760,3 10576,3 12525,0 14592,6 16763,9 19021,8 21347,5 23720,0 26116,3 28510,9 30876,0 33180,7 35391,2 37470,5 39377,9 41068,9 42495,0 43602,9 44334,6 44626,6 44409,9
642920,0
Ing. Marcelo Romo Proaño, M.Sc. El formulario básico para el armado de la hoja electrónica se describe en la Figura 14:
Figura 14 Hoja electrónica para valoración de la fuerza de compresión y su posición respecto al eje neutro.
Definición de la magnitud de la fuerza de compresión y su posición
Ø
De acuerdo a la tabla:
Cc
= 101005 Kg
d2
=
Ø
642920 Kg − cm 101005 Kg
= 6.37 cm
Reubicación de la posición del eje neutro y recálculo de la tabla para definir la magnitud y ubicación de la fuerza de compresión
Al comparar la fuerza de compresión obtenida (101005 Kg) con la fuerza de tracción provista por el acero (120456 Kg), se deduce que la fuerza de compresión es insuficiente para equilibrar a la fuerza de tracción, por lo que la altura de la zona de compresión debe ser mayor que la que se ha estimado hasta este momento (c > 10.25 cm). Una buena aproximación a la magnitud de ese incremento se obtiene con la división de la fuerza de tracción para la fuerza de compresión.
T Cc
= 120456 Kg = 1.1926 101005 Kg
La posición reajustada del eje neutro es:
c = (1.1926 ) ⋅ (10.25 cm)
= 12.22 cm
La tabla recalculada con la nueva posición del eje neutro sería:
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II Congreso CIENCIA Y TECNOLOGÍA Distancia al Eje Neutro
ε
0,0000 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008 0,0009 0,0010 0,0011 0,0012 0,0013 0,0014 0,0015 0,0016 0,0017 0,0018 0,0019 0,0020 0,0021 0,0022 0,0023 0,0024 0,0025 0,0026 0,0027 0,0028 0,0029 0,0030
σ
0,0000 0,4073 0,8147 1,2220 1,6293 2,0367 2,4440 2,8513 3,2587 3,6660 4,0733 4,4807 4,8880 5,2953 5,7027 6,1100 6,5173 6,9247 7,3320 7,7393 8,1467 8,5540 8,9613 9,3687 9,7760 10,1833 10,5907 10,9980 11,4053 11,8127 12,2200
0,0 14,3 28,3 42,1 55,5 68,5 81,2 93,6 105,5 116,9 127,9 138,4 148,3 157,7 166,5 174,6 182,0 188,7 194,5 199,6 203,7 206,9 209,0 210,0 209,9 208,5 205,8 201,7 196,0 188,7 179,7
Área
Profundidad 60,224 60,550 60,876 61,202 61,527 61,853 62,179 62,505 62,831 63,157 63,483 63,809 64,134 64,460 64,786 65,112 65,438 65,764 66,090 66,415 66,741 67,067 67,393 67,719 68,045 68,371 68,697 69,022 69,348 69,674 70,000
2,91 8,68 14,34 19,86 25,25 30,50 35,60 40,53 45,29 49,86 54,23 58,40 62,33 66,02 69,46 72,62 75,49 78,05 80,27 82,14 83,62 84,70 85,35 85,53 85,22 84,39 82,99 81,00 78,36 75,04
Volumen 176,4 528,6 877,4 1222,1 1562,1 1896,7 2225,1 2546,6 2860,3 3165,3 3460,6 3745,1 4017,8 4277,5 4522,8 4752,3 4964,6 5158,2 5331,2 5481,8 5608,2 5708,2 5779,6 5820,0 5826,8 5797,2 5728,3 5616,9 5459,7 5252,9
Centro de Gravedad 0,204 0,611 1,018 1,426 1,833 2,240 2,648 3,055 3,462 3,870 4,277 4,684 5,092 5,499 5,906 6,314 6,721 7,128 7,536 7,943 8,350 8,758 9,165 9,572 9,980 10,387 10,794 11,202 11,609 12,016
119370,3
Σ
Momento 35,9 323,0 893,5 1742,3 2863,3 4249,2 5891,3 7779,8 9903,2 12248,5 14800,9 17543,5 20457,5 23521,9 26713,0 30004,5 33367,4 36769,1 40173,9 43542,3 46830,6 49990,9 52970,3 55710,9 58149,1 60215,2 61832,9 62918,7 63381,3 63121,1
907944,9
De acuerdo a la tabla:
Cc
= 119370 Kg
d2
= 907945 Kg
− cm
119370 Kg
= 7.61 cm
Las fuerzas de compresión (119370 Kg) y de tracción (120456 Kg) difieren en menos del 1%, por lo que se consideran suficientemente próximas para asumir que se ha logrado la convergencia en cuanto a la posición del eje neutro, para la sección de acero especificada.
c = 12.22 cm
Figura 15 Posición del eje neutro para 28.68 cm 2 de acero de refuerzo.
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Ing. Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Cálculo del momento flector nominal y del momento flector último resistente
Ø
El momento flector resistente nominal es:
= T⋅ z
Mn
T = 120456 Kg z = 41 cm - (12.22 cm - 7.61 cm)
z = 36.39 cm Mn = (120456 Kg) ⋅ (36.39 cm ) = 4383394 Kg − cm El momento último resistente es:
= φ ⋅ Mn
Mu
= ( 0.90) ⋅ (43.83 T − m ) Mu = 39.45 T − m Mu
2
Con el armado propuesto de 28.68 cm , la viga sólo puede resistir un momento flector último de 39.45 T-m, mientras que la solicitación es de 40 T-m; sin embargo, la diferencia entre el momento solicitante y el resistente es menor al 1.5% por lo que se puede hacer un reajuste rápido del área de acero.
Reajuste Final del Área de Acero
Ø
Se corrige la sección de armado en la misma proporción que se debe producir el incremento de los momentos flectores resistentes para llegar a las 50 T-m.
40 T − m = ⋅ ( 28.68 cm 2 ) 39.45 T − m As = 29.08 cm 2 As
Con el mismo factor se pueden reajustar los valores de “ c” y de “d2 ”.
40 T − m ⋅ (12.22 cm ) = 12.39 cm 39.45 T − m 40 T − m = ⋅ (7.61 cm) = 7.72 cm 39 . 45 T m −
c= d2
Figura 15 Posición del eje neutro para 28.68 cm 2 de acero de refuerzo. La sección de acero requerida puede ser provista por 6 varillas de 25 mm de diámetro (29.45 2 cm ), colocadas en 2 capas o agrupadas en paquetes esquineros en una capa.
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II Congreso CIENCIA Y TECNOLOGÍA
Si la diferencia entre la sección de acero estimada y la recalculada fuera mayor a un 3%, sería necesario realizar una nueva iteración para ubicar la posición del eje neutro. Lo s archivos de EXCEL utilizados en el presente estudio, se pueden obtener en: http://www.espe.edu.ec/espe_portal/files/flexionconcurvas.pdf
6. PROCEDIMIENTO PARA VERIFICAR LA CAPACIDAD DE VIGAS DE CUALQUIER SECCIÓN TRANSVERSAL El procedimiento de verificación se basa en los mismos principios que el de diseño, y contempla los siguientes pasos, que también son parte del diseño: Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø
Ø
Una vez definida la sección de acero y su posición, se estima la ubicación de su eje neutro. Se calculan mediante tablas los esfuerzos asociados a cada posición de las fibras de compresión tomando como base la curva esfuerzo-deformación. Se calcula el volumen de presiones que es la magnitud de la fuerza de compresión mediante integración numérica. Se calcula el momento que produce el volumen de presiones respecto al eje neutro, mediante integración numérica. Se define la magnitud de la fuerza de compresión y su posición Se recalcula la posición del eje neutro En caso de existir diferencias importantes (superiores a 3%) entre la posición estimada y la posición recalculada del eje neutro se repite el proceso para la nueva posición del eje neutro. Una vez lograda la convergencia en cuanto a la posición del eje neutro se calcula el momento flector nominal y el momento flector último resistente.
7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES El diseño a flexión de las vigas de sección transversal arbitraria requiere el modelamiento de la zona comprimida mediante las curvas esfuerzo-deformación del hormigón, pues el bloque de compresión rectangular equivalente es inaplicable. Las curvas esfuerzo-deformación de los hormigones a compresión pueden ser descritas con una única ecuación que incluye el comportamiento elástico y el comportamiento inelástico. Los métodos propuestos en este artículo constituyen herramientas adecuadas para el diseño y verificación de la capacidad resistente de vigas de sección arbitraria, especialmente si se complementan con el uso de una hoja electrónica.
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Ing. Marcelo Romo Proaño, M.Sc.
REFERENCIAS 1.
Romo M., (2006), Apuntes de Hormigón Armado , Centro de Investigaciones Científicas, Escuela Politécnica del Ejército, 420 p, Internet http://publiespe.espe.edu.ec/librosvirtuales/hormigon/temas-de-hormigon-armado.htm .
2.
Watanabe W., Niwa J., Yolota H. e Iwanami M., (2004), Experimental Study on Stress- Strain Curve of Concrete Considering Localized Failure in Compression , Journal of Advanced Concrete Technology, Japan Concrete Institute.
3.
Winter G. y Nilson A., (1991), Proyecto de Estructuras de Hormigón. Editorial Reverté S.A.
4.
Nilson A., (1999), Diseño de Estructuras de Concreto , Mc Graw Hill.
5. CEC-2000, (2000), Código Ecuatoriano de la Construcción, Instituto Ecuatoriano de Normalización. 6.
ACI 318S-05 (2005), Requisitos de Reglamento para Concreto Estructural y Comentario , American Concrete Institute.
7.
Romo M., (1985), Microcracking, Macro Air-void System and Strength of Superplasticized Concrete, Cornell University.
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