UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS ESCUELA DE INGENIERÍA DE MINAS TEMA
: Modelos de programación lineal resueltos con Tora, Winqsb y Solver.
ASIGNATURA : Análisis de Sistemas Mineros.
DOCENTE
: Ing. Grimaldo Saavedra Frías.
ALUMNO
: Saavedra Zegarra, Carlos Ignacio.
FECHA
: 31 de agosto del 2017
Problema N°1 En una compañía camionera de cargas pequeñas, los andenes de la terminal incluyen trabajadores eventuales contratados temporalmente para que se encarguen de las cargas pico. En el andén de Omaha, Nebraska, Neb raska, la demanda d emanda mínima de trabajadores tr abajadores eventuales durante los 7 días de la semana (a partir del lunes) es de 20, 14, 10, 15, 18, 10 y 12 trabajadores. Cada trabajador es contratado para que labore 5 días consecutivos. Desarrolle el modelo de PL y determine una práctica de contratación semanal óptima de trabajadores eventuales para la compañía utilizando Winqsb, Solver y Tora. a. Definición de variables: X1= cantidad de trabajadores eventuales que empiezan el lunes. X2= cantidad de trabajadores eventuales que empiezan el martes. X3= cantidad de trabajadores eventuales que empiezan el miércoles. X4= cantidad de trabajadores eventuales que empiezan el jueves. X5= cantidad de trabajadores eventuales que empiezan el viernes. X6= cantidad de trabajadores eventuales que empiezan el sábado. X7= cantidad de trabajadores eventuales que empiezan el domingo. b. Función objetivo: Minimizar = + + + + + + c. Sujeto a: + + + + ≥ 20 Demanda de trabajadores del lunes. + + + + ≥ 14 Demanda de trabajadores del martes. + + + + ≥ 10 Demanda de trabajadores del miércoles. + + + + ≥ 15 Demanda de trabajadores del jueves. + + + + ≥ 18 Demanda de trabajadores del viernes. + + + + ≥ 10 Demanda de trabajadores del sábado. + + + + ≥ 12 Demanda de trabajadores del domingo. ≥ 0 Restricción lógica. = 1; 2; 3; 4 ; 5; 5; 6 ; 7
Solución con TORA: El modelo se planteará de la siguiente manera:
Al ejecutar las iteraciones, obtenemos como resultado: Se recomienda contratar 8 trabajadores que empiecen los días lunes, 6 trabajadores los días jueves, 4 trabajadores los días viernes, 1 trabajador los días sábados y 1 trabajador los días domingos para cumplir con la demanda requerida de cada día, y con ello, minimizar el número de trabajadores de la empresa para optimizar los recursos. Se trabajará con 20 trabajadores por semana ya que son trabajos eventuales.
Solución óptima
Análisis de sensibilidad de coeficientes
En el análisis de sensibilidad de coeficientes no varía mucho ya que son números enteros porque son trabajadores. Si variara demasiado, no es válida la solución óptima. Para el análisis de los valores del lado derecho se tiene que, si aumenta o disminuye la demanda de trabajadores requeridos en cierto día dentro de los límites mostrados, se seguirá trabajando con 20 trabajadores eventuales, caso contrario se debe reformular otro modelo. la demanda de trabajadores requeridos en cierto día dentro de los límites mostrados, se seguirá trabajando con 20 trabajadores eventuales, caso contrario se debe reformular otro modelo.
Análisis de sensibilidad de los valores del lado derecho
Solución con Winqsb: El modelo se planteará de la siguiente manera:
Al ejecutar las iteraciones, obtenemos como resultado: Se recomienda contratar 8 trabajadores que empiecen los días lunes, 5 trabajadores los días jueves, 5 trabajadores los días viernes y 2 trabajadores los días domingos para cumplir con la demanda requerida de cada día, y con ello, minimizar el número de trabajadores de la empresa para optimizar los recursos. El mínimo de trabajadores es 20. En el análisis de sensibilidad de coeficientes no varía mucho ya que son números enteros porque son trabajadores. Si variara demasiado, no es válida la solución óptima. Para el análisis de los valores del lado derecho se tiene que, si aumenta o disminuye la demanda de trabajadores requeridos en cierto día dentro de los límites mostrados, se seguirá trabajando con 20 trabajadores eventuales, caso contrario se debe reformular otro modelo. Sólo para la demanda del día lunes, se puede aumentar a 25 trabajadores eventuales, considerando por cada 1 trabajador que se requiera, se contrata 1, aumentando el uso de los recursos.
Solución con Solver: El modelo planteado y los reportes se presentan en la página siguiente. Se recomienda contratar 8 trabajadores que empiecen los días lunes, 6 trabajadores los días jueves, 4 trabajadores los días viernes, 1 trabajador los días sábados y 1 trabajador los días domingos para cumplir con la demanda requerida de cada día, y con ello, minimizar el número de trabajadores de la empresa para optimizar los recursos. Se trabajará con un mínimo de 20 trabajadores por semana ya que son trabajos eventuales. En el análisis de sensibilidad de coeficientes no varía mucho ya que son números enteros porque son trabajadores. En caso que exceda los límites, no será válida la solución óptima. Para el análisis de los valores del lado derecho se tiene que, si aumenta o disminuye la demanda de trabajadores requeridos en cierto día dentro de los límites mostrados, se seguirá trabajando con 20 trabajadores eventuales más los que se tenga que agregar para cumplir con la demanda, caso contrario, si está fuera del límite se debe reformular otro modelo.
Problema N° 2 Una empresa productora de metales, dispone de 1000 horas operario y dos plantas refinadoras ubicadas en distintos puntos geográficos del país, debe satisfacer los pedidos diarios de tres comerciantes en distintas zonas. El costo de transporte de cada planta a cada cliente por tonelada de metal se resume en la siguiente tabla: Tarifa por tonelada desde planta hasta el cliente
Planta 1
Planta 2
Comerciante A
$4000
$7000
Comerciante B
$6000
$5000
Comerciante C
$5000
$8000
La elaboración diaria de cada tonelada en la planta 1 requiere de 1 hora operario y de $2000 en materia prima. La planta 2 requiere un 50% más en materia prima y ½ hora operario. El precio uniforme por tonelada es de $13 000 y las cantidades de producción diaria máximas son de 400 toneladas por cada planta. Solucione con Tora, Winqsb y Solver, dando las conclusiones correspondientes. a. Definición de variables: X1= cantidad de toneladas de metal de la planta 1 al comerciante A. X2= cantidad de toneladas de metal de la planta 1 al comerciante B. X3= cantidad de toneladas de metal de la planta 1 al comerciante C. X4= cantidad de toneladas de metal de la planta 2 al comerciante A. X5= cantidad de toneladas de metal de la planta 2 al comerciante B. X6= cantidad de toneladas de metal de la planta 2 al comerciante C. b. Función objetivo: Maximizar = 7000 + 5000 + 6000 + 3000 + 5000 + 2000 c. Sujeto a: ≤ 400 Producción máx. de planta 1 (Tm)
+ + + +
≤ 400 Producción máx. de planta 2 (Tm)
+ + + .5 + .5 + .5 ≤ 1000 Horas operario disponibles (horas) ; ; ; ; ; ≥ 0 Restricción lógica
Solución con TORA: Se planteó el modelo de la siguiente manera:
Se obtuvo como solución óptima:
El siguiente análisis de sensibilidad:
Solución Winqsb: El planteamiento del problema es:
El reporte:
Solución solver: El modelo planteado y los reportes se presentan en la página siguiente.
Recomendaciones: Se recomienda producir 400 toneladas en la planta 1 y transportarlas al comerciante A para obtener la mejor ganancia, de igual manera, se recomienda producir 400 toneladas en la planta 2 y transportarlas al comerciante B para obtener la mejor ganancia posible. La ganancia máxima obtenida es de 4800000 dólares.
Si los precios de venta varía dentro de los límites, seguirá siendo la misma solución óptima. En este caso para que se siga vendiendo de la planta 1 al comerciante A, el comerciante A no debe de bajar su oferta de pago a menos de 6000 dólares, al igual que si el comerciante B aumentara la oferta de pago a más de 7000 dólares, cambiaría la solución. De igual forma para la planta 2, si el comeciante B dismunuye a menos de 3000 dólares el pago, no sería óptimo, ya que la solución cambiaría y posiblemente sería el comerciante A ya que paga los 3000 dólares. Para el análisis de los valores del lado derecho, la capacidad de planta 1 no debe de exceder de 800 toneladas y la planta 2 no debe exceder de 1200 toneladas. Y por cada tonelada que aumente o disminuya su produccion de la planta 1, sus ganancias aumentarán o disminuirán en 7000 dólares, siempre y cuando su variación sea dentro del límite. Por otro lado, por cada tonelada que aumente o disminuya su produccion de la planta 2, sus ganancias aumentarán o disminuirán en 5000 dólares, siempre y cuando su variación sea dentro del límite. Lo mínimo que se pide en horas hombre de trabajo en las dos plantas es de 600 horas hombre. Si es menor a 600 horas hombre, se debe reformular el modelo.
Problema N° 3 Una fábrica produce aceite mezclando aceites refinados, dos de origen vegetal y tres de origen no vegetal. En un mes sólo es posible refinar 200 toneladas de vegetal y 250 toneladas de no vegetal. El aceite resultante debe cumplir un valor de dureza co mprendido entre 3 y 6. El costo de una tonelada para cada aceite refinado, junto con su dureza, aparecen en la siguiente tabla: Aceite refinados
VEG 1
VEG 2
NO VEG 1
NO VEG 2
NO VEG 3
Costo ($/Tm)
110
120
130
110
115
Dureza
88
61
20
42
5
Se trata de refinar las cantidades apropiadas de cada aceite a fin de maximizar el beneficio de la producción final sabiendo que una tonelada del aceite producido se vende a $ 150. Solucione con Tora, Winqsb y Solver, dando las conclusiones correspondientes. a. Definición de variables: X1= cantidad de toneladas de aceite refinado vegetal 1. X2= cantidad de toneladas de aceite refinado vegetal 2. X3= cantidad de toneladas de aceite refinado no vegetal 1. X4= cantidad de toneladas de aceite refinado no vegetal 2. X5= cantidad de toneladas de aceite refinado no vegetal 3. X6= cantidad de toneladas de aceite a producir. b. Función objetivo: Maximizar = −110 − 120 − 130 − 110 − 115 + 150 c. Sujeto a: +
≤ 200
+ + ≤ 250
Capacidad de aceite refinado vegetal. (Tm) Capacidad de aceite refinado no vegetal. (Tm)
8.8 + 6.1 + 2 + 4.2 + 5 − 6 ≤ 0
Límite superior de dureza aceite producido.
8.8 + 6.1 + 2 + 4.2 + 5 − 3 ≥ 0
Límite inferior de dureza aceite producido.
+ + + + − = 0 ; ; ; ; ; ≥ 0
Solución con TORA: Reporte del problema:
Análisis de sensibilidad:
Cantidad de aceite producido. Restricción lógica.
Solución con Winqsb:
Solución con Solver: El modelo planteado y los reportes se presentan en la página siguiente.
Recomendaciones: Se recomienda producir 159.26 toneladas de aceite refinado vegetal 1, 40.74 toneladas de aceite vegetal 2, 250 toneladas de aceite no vegetal 2, para producir 450 toneladas de aceite que cumpla el grado de dureza obteniendo la mejor ganancia de 17592.59 dólares. Los costos por producir los aceites refinados sólo pueden variar cómo se encuentra en los límites, es decir, el costo para el aceite refinado vegetal 1 es de 100 dólares por tonelada, pero puede variar entre 95.45 y 120 dólares por tonelada y mi solución no cambiaría. Así mismo, el costo de aceite refinado vegetal 2 puede variar entre 110 y 134.55 dólares por tonelada. Ademas, el costo por refinar el aceite no vegetal 2 no debe de exceder de 117.96 dólares por tonelada. Caso contrario, se debe reformular el modelo. La capacidad que se tiene para refinar de 200 toneladas de aceite vegetal, y si aumento o disminuyo mi capacidad de planta en 1 tonelada, mi ganancia aumenta o disminuye en 29,63 dólares. Así mismo, para la planta de aceites no vegetal, aumenta o disminuye en 46.67 dólares. Se cumple esto, siempre y cuando la variación no sea fuera de los límites.
Problema N°4 Tenemos 3 plantas refinadoras que fabrican metales para abastecer a 2 concesionarios ubicados a las distancias indicadas en la siguiente tabla: Fábrica
Distancia (km)
Distribuidor
Planta 1
1000
Concesionario A
Planta 2
1250
Concesionario A
Planta 3
1275
Concesionario A
Planta 1
2690
Concesionario B
Planta 2
1350
Concesionario B
Planta 3
850
Concesionario B
¿Cuál es la producción que minimiza el costo de transporte considerando que el traslado de cada unidad hacia el concesionario cuesta $ 0,5 / km y satisface la demanda en los distribuidores con la capacidad de fábrica? Solucione con Tora, Winqsb y Solver, dando las conclusiones correspondientes. Capacidad mensual (Tm) Planta 1
1000
Demanda mensual (Tm)
Planta 2
1500
Concesionario A
2300
Planta 3
1200
Concesionario B
1400
a. Definición de variables: X1= cantidad de toneladas de metal de la planta 1 al concesionario A. X2= cantidad de toneladas de metal de la planta 2 al concesionario A. X3= cantidad de toneladas de metal de la planta 3 al concesionario A. X4= cantidad de toneladas de metal de la planta 1 al concesionario B. X5= cantidad de toneladas de metal de la planta 2 al concesionario B. X6= cantidad de toneladas de metal de la planta 3 al concesionario B. b. Función objetivo: Minimizar = 500 + 625 + 637.5 + 1345 + 675 + 425 c. Sujeto a:
= 1000 Capacidad de Planta 1
+
+
+ +
= 1500 Capacidad de Planta 2
+ = 1200 Capacidad de Planta 3 = 2300 Demanda de Concesionario A
+ + = 1400 Demanda de Concesionario B ; ; ; ; ;
Solución con TORA: Planteamiento del problema:
Se obtiene como reporte:
≥ 0 Restricción lógica
Solución con el Winsqb: Planteamiento del problema:
Reporte obtenido:
Solución con el Solver: El modelo planteado y los reportes se presentan en la página siguiente.
Recomendaciones: Se recomienda transportar 1000 toneladas de la planta 1 al concesionario A, 1300 toneladas de la planta 2 al concesionario A, 200 toneladas de la planta 2 al concesionario B y 1200 toneladas de la planta 3 al concesionario B. Con esta distribución se obtendrá un costo mínimo de transporte de 1957500 dólares. Los costos de transporte pueden variar dentro del intervalo de optimalidad, por ejemplo, el costo de la planta 1 a concesionario A es de 500 dólares por tonelada, y no puede excederse más de 625 dólares por tonelada. Además, para el costo de la planta 2 a concesionario A es de 625 dólares por tonelada y puede variar entre 500 y 887.5 dólares por tonelada. De igual forma para los otros costos de planta a concesionario B. En caso que su costo se eleve más del límite, la solución óptima no será válida. Se debe reformular el modelo. La capacidad de la planta 1 es de 1000 toneladas y puede variar entre los límites de 1000 y 2300 toneladas. En caso que aumente su capacidad, el costo por transporte bajará en 125 dólares por cada tonelada aumentada en la planta. La capacidad de la planta 2 es de 1500 toneladas y no puede bajar su producción a menos de 1500 toneladas. En caso que aumente su capacidad, el costo por transporte no se modifica. La capacidad de la planta 3 es de 1200 toneladas y puede variar entre los límites de 1000 y 1400 toneladas. En caso que aumente su capacidad, el costo por transporte bajará en 250 dólares por cada tonelada aumentada en la planta. La demanda del concesionario A es de 2300 toneladas, y puede variar entre 1000 a 2300 toneladas. En caso que aumente o disminuya la demanda, el costo aumentará o disminuirá en 625 dólares por cada tonelada aumentada o disminuida. La demanda del concesionario B es de 1400 toneladas, y puede variar entre 1200 a 1400 toneladas. En caso que aumente o disminuya la demanda, el costo aumentará o disminuirá en 675 dólares por cada tonelada aumentada o disminuida.
Problema N°5 Un inversionista dispone de $10,000 para invertirlos en cuatro proyectos mineros. La tabla siguiente presenta el flujo de efectivo para las cuatro inversiones. Flujo de efectivo ($1000) al inicio del Proyecto
Año 1
Año 2
Año 3
Año 4
Año 5
1
-1.00
0.50
0.30
1.80
1.20
2
-1.00
0.60
0.20
1.50
1.30
3
0.00
-1.00
0.80
1.90
0.80
4
-1.00
0.40
0.60
1.80
0.95
La información que aparece en la tabla puede interpretarse como sigue: Para el proyecto 1, $1.00 invertido al inicio del año 1 redituará $.50 al inicio del año 2; $.30 al inicio del año 3; $1.80 al inicio del año 4, y $1.20 al inicio de año 5. Las entradas restantes pueden interpretarse de la misma manera. La entrada 0.00 indica que no se están realizando transacciones. El inversionista tiene opción adicional de invertir en una cuenta bancaria que gana 6.5% anual. Todos los fondos acumulados al final del año 1 pueden volverse a invertir en el año siguiente. Formule el problema como un programa lineal para determinar la asignación óptima de fondos a oportunidades de inversión. Resuelva el modelo con Solver, Tora y Winqsb. a. Definición de variables: X1= cantidad de dinero invertido en el Proyecto 1. X2= cantidad de dinero invertido en el Proyecto 2. X3= cantidad de dinero invertido en el Proyecto 3. X4= cantidad de dinero invertido en el Proyecto 4. X5= cantidad de dinero invertido en el Banco en año 1. X6= cantidad de dinero invertido en el Banco en año 2. X7= cantidad de dinero invertido en el Banco en año 3. X8= cantidad de dinero invertido en el Banco en año 4. X9= cantidad de dinero invertido en el Banco en año 5. b. Función objetivo: Maximizar = c. Sujeto a: + + +
≤ 10000 Dinero en el año 1 ($).
. 5 + .6 − + .4 + 1.065 −
=0
Dinero en el año 2 ($).
. 3 + .2 + .8 + .6 + 1.065 −
=0
Dinero en el año 3 ($).
1.8 + 1.5 + 1.9 + 1.8 + 1.065 − = 0
Dinero en el año 4 ($).
1.2 + 1.3 + .8 + .95 + 1.065 − = 0
Dinero en el año 5 ($).
= 1; 2; 3; … ; 9
Solución con TORA: Se plantea el problema:
Se obtiene el siguiente reporte:
≥0
Restricción lógica.
Solución con Winqsb: Se plantea lo siguiente:
Se obtiene el siguiente reporte:
Solución con el Solver: El modelo planteado y los reportes se presentan en la página siguiente.
Recomendaciones: Se recomienda invertir 10000 dólares en el proyecto 2, 6000 dólares en el proyecto 3, 6800 dólares en el año 3 en el banco, 33642 dólares en el año 4 en el banco y 53628.73 dólares en el año 5 en el banco. Tomando está alternativa se obtendría la máxima cantidad de dinero en el año 5 de 53628.73 dólares. Con respecto al análisis de optimalidad no existe variación para obtener la máxima ganancia, lo único que no debe ser negativo. El análisis de sensibilidad para el primer valor que es la cantidad de dinero en el presente año 1 (10000 dólares), por cada dólar que aumente o disminuya, mi dinero en el año 5 aumentará o disminuirá en 5.3629 dólares.
