Ecuaciones lineales e interpolación.
Milton Alonso Valencia Rincón Cód. 1.123.304819 Francisco Aldemar Oliva Cód. 1087046199 Ángela Zoraida Caicedo Cod. 48648788
Métodos Numéricos Cód. 100401A_291
Grupo Cod. 100401_77
Tutor Gina Katherine Cuellar
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Escuela De Ciencias Básicas, Tecnología E Ingeniería Noviembre de 2016
Introducción En la presente actividad se abordarán temáticas correspondientes a la segunda Unidad del curso de Métodos numéricos donde se desarrollarán seis ejercicios de los siguientes temas: método de eliminación de gauss, método de gauss-jordán, método de gauss-seidel, polinomio de interpolación de lagrange, polinomio de interpolación con diferencias divididas de newton e interpolación polinomial de diferencias finitas de newton.
Objetivo General
Aplicar diversos métodos numéricos que nos ayuden a encontrar la solución de un sistema de ecuaciones.
Objetivos Específicos: -
Encontrar la solución de un sistema de ecuaciones por medio del método de eliminación de Gauss.
-
Aprender a solucionar sistemas de ecuaciones por medio del método GaussJordan.
-
Reconocer como aplicar el método de Jacobi para el desarrollo de un sistema de ecuaciones.
-
Desarrollar un sistema de ecuaciones por medio del método de Gauss-Seidel.
-
Aprender a determinar polinomios mediante diversos métodos, polinomio de Interpolación de Lagrange, diferencias divididas y diferencias finitas de Newton.
Trabajo No 2 1. Solucione el siguiente sistema de ecuaciones utilizando los Método de eliminación de Gauss.
1 3 2 1
-2 4 -3 1
2 -1 2 -3
-3 1 -1 -2
15 -6 17 -7
F2-3F1 F3-2F1 F4-F1 =
1 0 0 0
-2 10 1 3
2 -7 -2 -5
-3 10 5 1
15 -51 -13 -22
10F3-F2 10F4-3F2 =
w 1 0 0 0
x y z -2 2 -3 15 10 -7 10 -51 0 -13 40 -79 0 0 1420 -1420
-13F4-(-29)F3
1 0 0 0
-2 2 -3 10 -7 10 0 -13 40 0 -29 -20
15 -51 -79 -67
2. Solucione el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el Método de GaussJordán
Orden Recomendado Para Buscar Ceros 41
31
Operación
Matriz
2F1-F4 1 0 -3 0
2 -3 -3 2 -1 3 1 -8
-1 6 1 -1
0 -8 0 8
1 0 0 0
2 -3 -3 2 5 -6 1 -8
-1 6 -2 -1
0 -8 0 8
3F1+F3
21
42
1 0 0 0
2 -3 -3 2 5 -6 1 -8
-1 6 -2 -1
0 -8 0 8
1 0 0 0
2 -3 -3 2 5 -6 0 -22
-1 6 -2 3
0 -8 0 16
1 0 0 0
2 -3 -1 0 -3 2 6 -8 0 8 -24 40 0 -22 3 16
1 0 0 0
2 -3 -3 2 0 1 0 -22
1 0 0 0
2 -3 0 0
-3 -1 0 2 6 -8 1 -3 5 0 -63 126
1 0 0 0
2 -3 0 0
-3 -1 2 6 1 -3 0 1
3F4+F2
32
f3/8
43
22F3+F4
F4/-63
14
-1 6 -3 3
0 -8 5 -2
F4+F1
1 2 -3
0
-2
0 -8 5 16
0 -3 2 0 0 1 0 0 0
24
13
23
-8 5 -2
6F4-F2 0 3 -2
34
6 -3 1
0
-4
1 0 0 0
2 3 0 0
-3 0 -2 0 1 -3 0 1
-2 -4 5 -2
1 0 0 0
2 3 0 0
-3 -2 1 0
0 0 0 1
-2 -4 -1 -2
1 0 0 0
2 3 0 0
0 -2 1 0
0 0 0 1
-5 -4 -1 -2
1 0 0 0
2 3 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
-5 -6 -1 -2
3F4+F3
3F3+F1
2F3+F2
f2/3
12
1 0 0 0
2 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
-5 -2 -1 -2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
-1 -2 -1 -2
F1-2F2
3. Solucione el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el Método de Jacobi
Utilizar un ξ < 1%
Primero comprobamos que la matriz sea diagonalmente dominante para proceder a su solución mediante el método Jacobi
La matriz es diagonalmente dominante. Procedemos con su solución.
Primera Iteración.
Segunda iteración
Para la segunda iteració el valor de x1, x2 y x3 seran los calculados anterior mente. Procedemos a remplazarlos en las ecuaciones
Una vez obtenidos estor resultados procedemos a calcular el error aproximado de los resultados:
| | | | | |
Siguiendo con este mismo procedimiento se obtiene el siguiente cuadro de resultados:
iteración 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x1
x2
x3
eax1
eax2
eax3
0 2,4 1,88571429 1,72952381 2,10829932 2,09309751 1,98294266 2,02638817 2,05207203 2,02977407 2,02796569 2,03617778 2,03428959
0 0,66666667 1,25079365 0,65396825 0,57916856 0,78814815 0,74414541 0,68456193 0,71735094 0,72749514 0,71313387 0,71405702 0,71867586
0 -0,57142857 0,4 0,50340136 0,2029932 0,27915776 0,36437707 0,31404594 0,30092316 0,32231384 0,32029051 0,313619 0,31636094
27,2727273 9,030837 17,9659267 0,72628313 5,55511992 2,14398719 1,25160647 1,09854419 0,08917216 0,40330917 0,09281804
46,7005076 91,2621359 12,9150136 26,5152678 5,91319045 8,70388551 4,57084722 1,39440049 2,01382445 0,1292815 0,6426886
242,857143 20,5405405 147,989276 27,2836985 23,3876703 16,0266768 4,36084054 6,63660073 0,63171861 2,1272652 0,86671409
Podemos concluir que en la interacción 12 x1, x2 y x3 cumplen con ξ < 1%
4. Solucione el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el Método de GaussSeidel.
Utilizar un ξ < 1%
El método de Gauss-Seidel sirve para resolver grandes números de ecuaciones simultaneas; aunque tiene la desventaja de que no siempre converge a una solución o de que a veces converge muy lentamente
Primera iteración Considerando x1=0, x2=0, x3=0
{ Segunda iteración Considerando x1=
{ , x2=
, x3=
Tabla de Iteraciones k
x1
x2
x3
0
0
0
3,08333333
0 35,5 1 207,236111 2 1182,31713 3 6667,70679 4 37447,7071 210040,55 5 6 1177630,92 7 6601841,2 8 37008932,5 9 207464580 10 1163001338 11 6519527857
ea1
ea2
ea3
-89,72222222
171,736111
47,4305556
546,828704
50,5138889
-636,5509259
975,081019
312,939815
3133,8696
363,453704
-3770,420525
5485,38966
1827,71798
17674,6476
2191,17168
-21445,06816
30780,0003
10360,4221
99246,9491
12551,5938
-120692,0172
172592,843
58257,1596
556616,635
70808,7535
-677308,652
967590,37
326855,95
3120675,08
397664,704
-3797983,73
5424210,28
1832717,5
17494442,5
2230382,2
-21292426,24
30407091,3
10274485,8
98070931
12504868
-119363357,3
170455647
57597537
549765300
70102405,1
-669128657,7
955536758
322880598
3081864007
392983003
-3750992664
5356526519
1809999168
1,7276E+10
2202982171
-21027238333
3,0027E+10
1,0146E+10
9,6847E+10
5. Determine el Polinomio de Interpolación de Lagrange para la siguiente tabla.
X y
1 -2
3 1
5 2
7 -3
6. Determine el Polinomio de Interpolación Usando la Interpolación de Diferencias Divididas de Newton, e interpole en el punto x = 4.
X Y
7 1430
6 908
4 278
2 40
-4 -242
Sln/ 7
1430 522
6
908
69 315
4
278
4 49
119 2
40
0 4
9 47
-4 -242
=
7. Dados los puntos: (-4.5, 0.7), (-3.2, 2.3), (-1.4, 3.8), (0.8, 5.0), (2.5, 5.5), (4.1, 5.6) determine los polinomios de grado 4 y 5. Graficar para determinar la curva más aproximada.
Tabla Interpolaciones x y -4,5 0,7
p0 1,23076923
-3,2 2,3
p1 -0,12820513
0,83333333
-1,4 3,8
-0,0719697 0,54545455
0,8
5
-0,06444536
5,5
p3 -0,0013272
0,00132006
0,29411765
2,5
p2 0,01061046
p4 0,00011667
p5
-0,00032384 -0,00104396
-0,07018717 0,0625
4,1
5,6
8. Para la siguiente tabla obtenga el Polinomio de Interpolación de diferencias finitas de Newton e Interpole en el punto x = -13/14
Sln/ X
0
-1
-1/3
-2/3
y
-2
-4
-8/3
-32/9
0 1 2 3
X 0 -1 -1/3 -2/3
-2 -4 -8/3 -32/9
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄⁄ ⁄ ( ⁄ ⁄) ( ⁄)
Conclusiones -
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.
-
Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en ecuaciones diferenciales, ajuste de curvas y cálculo de polinomios e interpolaciones.
-
El método de interpolación de diferencias divididas puede convertirse en un método numérico complejo si el grado de polinomio que deseamos identificar es mayor de 3.
Bibliografía Abreu, L. (19 de 11 de 2015). Cálculo Numérico - Método de Gauss Seidel . Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=5m1_iIi8E9I Academatica. (14 de 10 de 2013). diferencias dividida. EJEMPLO 1. Aproximación polinomial . Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=JXegiEZ-Qn8 Espejero, D. (06 de 11 de 2013). Método Iterativo Para La Solución De Sistemas De Ecuaciones Lineales (Jacobi). Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=7Dqf9vird1w julioprofe. (02 de 05 de 2015). Solución de un sistema de 4x4 por Gauss-Jordan. Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=uL3JwFy9BWA Lopez, K. (30 de 04 de 2015). Método de diferencias finitas I . Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=vMTaDDk_MS0&t=67s Mcgroove, G. (28 de 11 de 2011). Método de interpolación de Lagrange - ejercicio. Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=2nju-o6t3kQ Oc, E. (30 de 05 de 2012). Eliminación Gaussiana. Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=j4skKKJ_4bw&t=729s Portalucam. (21 de 01 de 2014). Análisis Numérico - Diferencia finitas I - Jesús Soto. Obtenido de Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=KBevfs9KIYA
