METODOS NUMERICOS
TRABAJO COLABORATIVO 3
PRESENTADO: WILINTON FRAGOZO Código: 17955342 GIANFRANCOS VALENZUELA Código: 1019096008 YAMILE MONTES NOBLES Código: 26767544 EDINSON TORRES Código: TIBISAY PETRO HERNÁNDEZ Código: 107382425
TUTOR: JOSE ADEL BARRERA Grupo_100401A_288
UNIVERSIDAD NACIONAL NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIADISTANCIA- UNAD.
Mayo 10 de 2016
INTRODUCCION
Las ecuaciones diferenciales tienen importancia fundamental en las aplicaciones, ya que muchas leyes y relaciones físicas pueden idealizarse matemáticamente en la forma de estas ecuaciones. En particular, el estudio de problemas de equilibrio de sistemas continuos se encuentra dentro de este contexto. Mediante la realización de este trabajo se adquieren conocimientos, de igual manera se identifican las temáticas de la unidad, Permitiendo que se evidencie el contenido del módulo, orientando a estudiar la aplicación de los conceptos y los diferentes tipos de regla las cuales son: Trapecio, Simpson y Runge-Kutta. La finalidad de este curso es que se puedan identificar las diferentes herramientas que se usan en los métodos numéricos para fortalecer nuestros conocimientos en este nuevo proceso de formación.
OBJETIVO GENERAL
Comprender la Estructura del módulo y entenderla, para fundamentar el Estudio de las unidades del módulo en este caso la unidad 3 donde se obtiene conocimiento sobre la regla de trapecio, regla de Simpson. Para dar La Solución de un Problemas real y Adquirir el Conocimiento Sobre las temáticas y los Objetivos del Curso, y Así Llevar a buen término la materia y lograr Cumplir las Metas Propuestas Durante el semestre.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Analizar en grupo la Importancia de los Métodos Numéricos en la Ingeniería y en las ciencias. Identificar las Herramientas Que Nos Ayudan una Llevar un Cabo el Desarrollo del Curso. conocer · Analizar y entender los Conceptos de Cada Capítulo de la Unidad Reconocer las Diferencias Entre las diferentes reglas utilizadas en esta unidad.
1-. Realizar aportes que permitan construir un mapa conceptual referente a los métodos iterativos empleados en la solución de ecuaciones diferenciales de valor inicial.
2. Plantee y solucione dos ejercicios sobre Diferenciación explicando paso a paso el procedimiento utilizado.
Numérica
a) Primer ejercicio. Úsense aproximaciones de Diferencias Finitas Hacia Adelante, Hacia Atrás y Centradas para estimar la primera derivada de:
f x = 0.1x 0.5x En x = 1.5 Utilizando un tamaño de paso ∆x = 0.2 Repetir los cálculos usando ∆x = 0.1 Solución: Nótese que la derivada se puede calcular directamente como:
f′x = 0.3x 0.5 Y evaluando tenemos:
f′1.5 = 0.31.5 0.5 = 0.175 Para
∆x = 0.2 se puede usar la función para estimar: x− = 1.3 y− = 0.4303 x = 1.5 y = 0.4125 x+ = 1.7 y+ = 0.3587
Estos datos se pueden utilizar para calcular la Diferencia Hacia Adelante:
4125 = 0.269 Y1.5 = 0.3587 0. 0.2 0.269| ∙ 100 ≈ 53.71% er = |0.175 0.175 La Diferencia Dividida Hacia Atrás será:
Y1.5 = 0.4125 0. 20.4303 = 0.089 er = |0.1750.089 0.175 |∙ 100 ≈ 49.14% La Diferencia Dividida Central será:
Y1.5 = 0.35870.40.4303 = 0.179 er = |0.1750.179 0.175 | ∙100 ≈ 2.29% Para
∆x = 0.1 : x− = 1.4 x = 1.5 x+ = 1.6
y− = 0.4256 y = 0.4125 y+ = 0.3904
Estos datos se pueden utilizar para calcular la Diferencia Hacia Adelante:
Y1.5 = 0.39040.10.4125 = 0.221 er = |0.1750.221 0.175 |∙ 100 ≈ 26.29% La Diferencia Dividida Hacia Atrás será:
Y1.5 = 0.41250.10.4256 = 0.131 er = |0.1750.131 0.175 |∙ 100 ≈ 25.14% La Diferencia Dividida Central será:
Y1.5 = 0.39040.20.4256 = 0.176
er = |0.1750.176 0.175 | ∙100 ≈ 0.57% Análisis:
En los dos casos la diferencia dividida central ha resultado más acercada en comparación con las diferencias divididas hacia adelante y hacia atrás; así mismo al hacer más pequeño delta de equis, el resultado es más preciso reduciéndose el error de un 53% (caso más alejado) a un 0.57% (caso más preciso).
b) Segundo ejercicio: Estimar la primera y tercera derivada usando aproximaciones de diferencias finitas centradas de:
f x = 0.01x En x = 2 Utilizando un tamaño de paso ∆x = 0.5 Repetir los cálculos usando ∆x = 0.25 Solución: Nótese que la primera derivada se puede calcular directamente como:
La segunda derivada será:
Y la tercera derivada será:
f′x = 0.04x f′′x = 0.12x f′′′x = 0.24x
Y evaluando tenemos:
f′2 = 0.042 = 0.32 f′′′2 = 0.242 = 0.48 Para
∆x = 0.5 :
x− = 1.0 x− = 1.5 x = 2.0 x+ = 2.5 x+ = 3.0
y− = 0.010000 y− = 0.050625 y = 0.160000 y+ = 0.390625 y+ = 0.810000
La Diferencia Dividida Central para la primera derivada será:
Y2 = 0.390625 1 0.050625 = 0.34 0.34|∙ 100 ≈ 6.25% er = |0.32 0.32 La Diferencia Dividida Central para la tercera derivada será:
Y′′2 = 0.810000 20.3906250. 2520.050625 0.010000 = 0.48 er = |0.480.480.48|∙ 100 = 0.0% Para ∆x = 0.25 : x− = 1.5 y− = 0.050625 x− = 1.75 y− = 0.093789 x = 2.0 y = 0.160000 x+ = 2.25 y+ = 0.256289 x+ = 2.5 y+ = 0.390625 La Diferencia Dividida Central para la primera derivada será:
Y2 = 0.2562890.50.093789 = 0.325 er = |0.320.30.325 2 |∙ 100 ≈ 1.56% La Diferencia Dividida Central para la tercera derivada será:
20.093789 0.050625 = 0.48 Y′′2 = 0.390625 20.2562890.0 3125 er = |0.480.48 0.48 |∙ 100 = 0.0% Análisis:
En este segundo ejemplo se calcula la primera y tercera derivada respectivamente, mediante el método de diferenciación numérica. Es importante tener en cuenta que se ha resuelto un ejercicio que se puede derivar de la forma como se hacer en el cálculo diferencial, con el propósito de corroborar resultados y analizar errores porcentuales que terminan confirmando que entre menor sea el delta de equis utilizado, más precisión habrá; así mismo la diferencia dividida central tiene gran precisión a la hora de estimar derivadas. En muchos casos no es posible calcular derivadas usando el cálculo diferencial; por lo cual es fundamental tener dominio de los métodos numéricos. 3. Solucione el siguiente ejercicio utilizando la Regla del Trapecio, la Regla de Simpson 1/3 y la Regla de Simpson 3/8. Compare los resultados y haga un pequeño análisis. (Dividiendo en 5 intervalos).
∫ 2 1
∆ = ∆ = 1 5 0 ∆ = 15 = 0.2
∫ √
∆ = ∆ = 4 0 5 ∆ = 45 = 0.8
Para la primera integral realizamos el procedimiento así.
0 = 0 = 0 → = 20 1 = 0.2 → = 20.0.22 1 = 0.142857 = 0.4 → = 20.0.44 1 = 0.222222 = 0.6 → = 20.0.66 1 = 0.272727 = 0.8 → = 20.0.88 1 = 0.307692 = 1 → = 211 1 = 0.333333 La integral definida sería igual a la sumatoria de Delta de x sobre 2 de la suma de las funciones en forma progresiva así:
∆ ( 2 2 2 2 2) 2 ∆ 0 20.142857 20.222222 20.272727 20.307692 0.333333 2 0.2 0 0.285714 0.444444 0.545454 0.615384 0.333333 2 0.12.224329 = 0.2224329 ∫ 2 1
≈ 0.2224329
Para la segunda integral sería así:
= 0 → = 0 = 0 = 0.8 → = 0.8. = 1.212016
= 1.6 → = 0 = 1.993117 = 2.4 → = 0 = 2.979700 = 3.2 → = 0 = 4.281843 = 4 → = 0 = 6.022072 ∆ ( 2 22 2 ) 2 ∆ 0 21.21201621.99371722.97970024.2818436.022072 2 0.8 2.4240323.9874345.95948.5636866.022072 2 0.426.956624 = 10.7826496 ∫ √ ≈ 10.7826496 4. Solucione el siguiente ejercicio utilizando la Integración de Romberg. Usando segmentos de
longitud 1, 1/2 y 1/4.
∫ 210
5. Soluciones el siguiente ejercicio utilizando la integración de Romberg. Usando segmentos de longitud 1, ½, ¼ y 1/8.
∫ ln ℎ = 1 → ℎ = − ln1 ln2 = 2.560851701 ℎ = → ℎ = − ln1 2 ln ln2 = 2.189010122 5 3 7 1 2 1 ℎ = → ℎ = [ ln1 2[ ln ln ln ] ln2]
4
8 4 2 4 = 2.09430857 ℎ = 14 → ℎ = 2 16 1 [ ln1 2[ ln18 ln28 ln38 ln12 ln58 ln34 ln78] ln2] = 2.070524501 Ahora se usa las fórmulas de Romberg para cada nivel: Nivel 1:
4 ℎ 1 ℎ 3 3
2.560851701 2.189010122 2.560851701 = 2.065062929 2.189010122 2.09430857 2.189010122 = 2.062741386 2.09430857 2.070524501 2.09430857 = 2.062596478 2.070524501
Nivel 2:
16 1 15 15
2.065062929 16 2.062741386 1 2.065062929 = 2.0625866165 15 15 2.062741386 16 2.062596478 1 2.062741386 = 2.062586818 15 15 2.062596478 Nivel 3:
64 1 63 16
2.0625866165
64 2.062586818 1 2.0625866165 = 1.966414627 63 16 2.062586818 La aproximación de la integral es:
∫ ln = 1.966414627
6. Usar el Método de Euler mejorado para aproximar y (2, 3) tomando h = 0.1 dada la ecuación diferencial. y=2 x+ y−3
y (2) =1
X1=2+0.1=2.1 u1
=1+0.1 (2(2) +1−3) =1.2
y1=1+0.1 () [(2(2)+1−3)+ (2(2.1)+ (1.2) −3)]=1.22 X2=2.1+0.1=2.2 u2=1.22+0.1 (2(2.1)+1.22−3)=1.462
y2=1.22+0.1 () [(2(2.1)+1.22−3) + (2(2.2)+ (1.462) −3)]=1.4841 X3=2.2+0.1=2.3 u3=1.4841+0.1 ( 2(2.2)+1.4841−3)=1.77251
y3=1.4841+0.1 ( [(2(2.2)+1.4841−3) + (2(2.3)+ (1.77251 ) −3)]=1.7969305 X4=2.3+0.1=2.4 u4=1.797+0.1 ( 2(2.3)+1.797−3)=2.1367
y4=1.797+0.1 ( ) [(2(2.3)+1.797−3) + (2(2.4)+ (2.1367) −3)]=2.1637 X5=2.4+0.1=2.5 u5=2.1637+0.1 ( 2(2.4)+2.1637−3)=2.56
y5=2.1637+0.1 () [(2(2.4)+2.1637−3) + (2(2.5)+ (2.56) −3)]=2.59 X6=2.5+0.1=2.6 u6=2.5+0.1 (2(2.5)+2.59−3)=3.5
y6=2.59+0.1 () [(2(2.5)+2.59−3) + (2(2.6)+ (3.5) −3)]=3.1 X7=2.6+0.1=2.7
u7=3.1+0.1 (2(2.6)+3.1−3)=3.63
y7=3.1+0.1 ( ) [(2(2.6)+3.1−3)+ (2(2.7)+ (3.63 ) −3)]=3.66 X8=2.7+0.1=2.8 u8=3.66+0.1 (2(2.7)+3.66−3)=4.26
y8=3.66+0.1 ( ) [(2(2.7)+3.66−3)+ (2(2.8)+ (4.26 ) −3)]=4.3 X9=2.8+0.1=2.9 u9=4.3+0.1 (2(2.8)+4.3−3)=5
y9=4.3+0.1 ( ) [(2(2.8)+4.3−3)+ (2(2.9)+ (5) −3)]=5.035 X10=2.9+0.1=3 u10=5.035+0.1 (2(2.9)+5.035−3)=5.8185
y10=5.035+0.1 ( ) [(2(2.9)+5.035−3)+ (2(3)+ (5.8185) −3)]=5.8676
7. Utilizar el Método de Runge-Kutta para aproximar
y0.5 Dada la siguiente ecuación diferencial:
y = 2xy y0 = 1 Resolución: Resolviendo la ecuación diferencial de la forma tradicional:
dy = 2xy dx
Ecuación a trabajar.
1 dy = 2xdx y ∫ 1y dy = ∫2xdx ∫ 1y dy = ∫2xdx lny = x C y = e+ y = e C 1 = e C C= 1 y = e y = e. ≈ 1.284025
Expresando en forma diferencial, para aplicar método de separación de variables. Aplicando anti-derivada a ambos lados de la igualdad. Aplicando anti-derivada a ambos lados de la igualdad. Resolviendo la integra indefinida. Despejando y. Simplificando (resultado). Despejando C usando
y0 = 1
Valor de C Solución Particular. Evaluando
y0.5
Solución, usando el método de Runge-Kutta de cuarto orden: Se deben utilizar las siguientes ecuaciones: Ecuación para determinar
y+: y+ = y 16 hk 2k 2k k
Dónde:
k = f x,y k = fx 12 h,y 12 hk
k = fx 12 h,y 12 hk k = f x h,y hk Para este ejercicio se define Obteniendo
h = 0.1
y:
Valores iniciales:
i = 1, x = 0, y = 1 Obteniendo valores de k:
k = f x,y = 201 = 0 k = fx 12 h,y 12 hk = 20 0.50.11 0.50.10 = 20.051 = 0.1 k = fx 12 h,y 12 hk = 20 0.50.11 0.50.10.1 = 20.051.005 = 0.1005 k = f x h,y hk = 20 0.11 0.10.1005 = 20.11.01005 = 0.20201 Sustituyendo en la ecuación para determinar y : y = 1 16 0.10 20.1 20.1005 0.20201 = 1 601 0.60301 ≈ 1.010050 Obteniendo
y:
Valores iniciales:
i = 2, x = 0.1, y = 1.010050 Obteniendo valores de k:
k = f x,y = 20.11.010050 = 0.20201 k = fx 12 h,y 12 hk = 20.1 0.50.11.010050 0.50.10.20201 = 20.151.020151 = 0.306045 = 12 ℎ, 12 ℎ = 20.1 0.50.11.010050 0.50.10.306045 = 20.151.025352 = 0.307606 = ℎ, ℎ = 20.1 0.11.010050 0.10.307606 = 20.21.040811 = 0.416324 Sustituyendo en la ecuación para determinar : = 1 16 0.10.20201 20.306045 20.307606 0.416324 = 1 601 1.845636 ≈ 1.030761
Obteniendo
:
Valores iniciales:
= 3, = 0.2, = 1.030761 Obteniendo valores de k:
= , = 20.21.030761 = 0.412304 = 12 ℎ, 12 ℎ = 20.2 0.50.11.030761 0.50.10.412304 = 20.251.051376 = 0.525688
= 12 ℎ, 12 ℎ = 20.2 0.50.11.030761 0.50.10.525688 = 20.251.057045 = 0.528523 = ℎ, ℎ = 20.2 0.11.030761 0.10.528523 = 20.31.083613 = 0.650168 Sustituyendo en la ecuación para determinar : = 1 16 0.10.412304 20.525688 20.528523 0.650168 = 1 601 3.170894 ≈ 1.052848 Obteniendo
:
Valores iniciales:
= 4, x = 0.3, = 1.052848 Obteniendo valores de k:
= , = 20.31.052848 = 0.631709 = 12 ℎ, 12 ℎ = 20.3 0.50.11.052848 0.50.10.631709 = 20.351.084433 = 0.759103 = 12 ℎ, 12 ℎ = 20.3 0.50.11.052848 0.50.10.759103 = 20.351.090803 = 0.763562 = ℎ, ℎ = 20.3 0.11.052848 0.10.763562 = 20.41.129204 = 0.903363 Sustituyendo en la ecuación para determinar :
= 1 16 0.10.631709 20.759103 20.763562 0.903363 = 1 601 4.580402 ≈ 1.076340 Obteniendo
:
Valores iniciales:
= 5, = 0.4, = 1.076340 Obteniendo valores de k:
= , = 20.41.076340 = 0.861072 = 12 ℎ, 12 ℎ = 20.4 0.50.11.076340 0.50.10.861072 = 20.451.119394 = 1.007455 = 12 ℎ, 12 ℎ = 20.4 0.50.11.076340 0.50.11.007455 = 20.451.126713 = 1.014042 = ℎ, ℎ = 20.4 0.11.076340 0.11.014042 = 20.51.177744 = 1.177744 Sustituyendo en la ecuación para determinar : = 1 16 0.10.861072 21.007455 21.014042 1.177744 = 1 601 6.081810 ≈ 1.101364 Resultado:
0.5 ≈ 1.128064
De acuerdo a los cálculos anteriores se puede organizar una tabla con la información obtenida:
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
1.000000 1.010050 1.030761 1.052848 1.076340 1.128064
Valor real
Error absoluto
% Error relativo
1.000000 1.010050 1.040811 1.094174 1.173511 1.284025
0.000000 0.000000 0.010050 0.041326 0.097171 0.155961
0.00 0.06 0.97 3.78 8.28 12.15
Análisis: Cuando se utiliza un h muy pequeño con este método, al aproximarse al valor buscado el error aumenta, degradándose así el resultado; utilicemos entonces un para llegar a la solución en un solo paso:
ℎ = 0.5
Obteniendo
:
Valores iniciales:
= 1 , = 0, = 1 Obteniendo valores de k:
= , = 201 = 0 = 12 ℎ, 12 ℎ = 20 0.50.51 0.50.50 = 20.251 = 0.5 = 12 ℎ, 12 ℎ = 20 0.50.51 0.50.50.5 = 20.251.125 = 0.5625 = ℎ, ℎ = 20 0.51 0.50.5625 = 20.51.28125 = 1.28125 Sustituyendo en la ecuación para determinar :
= 1 16 0.50 20.5 20.5625 1.28125 = 1 0.65 3.40625 ≈ 1.283854 Así las cosas:
0.5 ≈ 1.283854 0.0 0.5
1.000000 1.283854
Valor real
Error absoluto
% Error relativo
1.000000 1.284025
0.000000 0.000171
0.00 0.01
Un resultado mucho más preciso y con menos esfuerzo.
8. Hallar la solución aproximada que proporciona el Método de Adams Bashforth de segundo, tercer y cuarto orden para la ecuación.
,= (4−2) 2 (1)=1 ℎ=0.1 [1,2] Segundo orden Por el método de 0uler X0=1 y0=1 f 0= (4−2 (1)12)=2 X1=1.1 Y1=1+0.1 (4−2 (1)12)=1.2 f 1= (4−2 (1.1)1.22)=1.25 Por método de Adams – Bashforth X3=0.3
–
y3=1.2+0.12 (3(1.25) −2)=1.3 x4=0.4 y4=1.3+0.12 (3(1.25) −2)=1.3875 X5=0.5 y5=1.3875+0.12 (3(1.25) −2) =1.475 X6=0.6 y6=1.475+0.12 (3(1.25) −2)=1.5625 X7=0.7 y7=1.5625+0.12 (3(1.25) −2)=1.65 X8=0.8
y8=1.65+0.12 (3(1.25) −2)=1.7375 x9=0.9 y9=1.7375+0.12 (3(1.25) −2)=1.825 X10=1 y10=1.825+0.12 (3(1.25) −2)=1.9
Tercer orden X2=1.2 y2=1.2+0.1 (4−2 (1.1) (1.2)2)=1.325 f 2= (4−2 (1.2)1.325 2)=0.911
Por método de Adams – Bashforth X3=1.3 y3=1.325+0.112 [23(0.911) −16 (1.25)+5(2)]= 1.416275 X4=1.4 y4=1.416275+0.112 [23(0.911) −16 (1.25)+5(2)]=1.50755 X5=1.5
y5=1.50755+0.112 [23(0.911) −16 (1.25)+5(2)]=1.598825 X6=1.6 y6=1.598825+0.112 [23(0.911) −16 (1.25)+5(2)]=1.6901 X7=1.7 y7=1.6901+0.112 [23(0.911) −16 (1.25)+5(2)]=1.781375 X8=1.8 y8=1.781375+0.112 [23(0.911) −16 (1.25)+5(2)]=1.87265 X9=1.9 y9=1.87265+0.112 [23(0.911) −16 (1.25)+5( 2)]=1.963925 X10=2 y10=1.963925+0.112 [23(0.911) −16 (1.25)+5(2)]=2.0552
Cuarto orden X3=1.3 y3=1.325+0.1 (4−2 (1.2 ) (1.325)2)=1.42 f 3= (4−2 (1.3)1.422)=0.695 Por método de Adams – Bashforth X4=0.4 y4=1.42+0.124 [55(0.695) −59 (0.911)+37(1.25) −9 (2)]=1.473 X5=0.5
y=5=1.473+0.124 [55(0.695) −59 (0.911)+37(1.25) −9 (2)]=1.526 X6=0.6
y6=1.526+0.124 [55(0.695) −59 (0.911)+37(1.25) −9 (2)]=1.58 X7=0.7 y7=1.58+0.124 [55(0.695) −59 (0.911)+37(1.25) −9 (2)]=1.633
X8=0.8 y8=1.633+0.124 [55(0.695) −59 (0.911)+37(1.25) −9 (2)]=1.686 X9=0.9 y9=1.686+0.124 [55(0.695) −5 (0.911)+37(1.25) −9 (2)]=1.74 X10=1 y10=1.74+0.124 [55(0.695) −59 (0.911)+37(1.25) −9 (2)]=1.793
CONCLUSIONES
Conocer nuestros compañeros de curso e interactuar con ellos, asegura una buena dinámica para el desarrollo y construcción de los trabajos colaborativos, es muy importante identificar la temática planteada, juntos con sus objetivos con el fin de profundizar cada uno de los tema El curso consta de tres unidades didácticas, correlacionadas con el número de créditos académicos asignados. la tercera que se aplica en el presente trabajo, se relaciona con la regla de Simpson y el método de runge-kutta. Realizar ejercicios y practicar con problemas planteados, permite aplicar los conocimientos adquiridos en el desarrollo del tema de la unidad 3, cuentos de como: la regla de Simpson y el método de runge-kutta
BIBLIOGRAFIA
Modulo método numérico unidad 3 Burden, R.; Faires, D. Análisis Numérico. ED. Thomson, 6a. ed., 1998 Mathews, J; Fink, K. Métodos Numéricos con MATLAB. Prentice Hall, 3a. ed., 2000.
