ANALISIS NUMERICO EN INGENIERIA CON APLICACIONES EN MATLAB
JOSE ARAPA ARAPA QUISPE
3.6. Problemas propuestos. 2. Determine las Raíces reales e! f ( ( x )=−26 + 82.3 x −88 x + 45.4 x − 9 x + 0.65 x 2
3
4
5
a" #r$% #r$%ca came ment nte. e. b" Usano el m&too m&too e bisecci'n. bisecci'n. Utilice Utilice como (alores (alores iniciales iniciales )*+,.- )u+*., SO/U0IO1! fplot('[-26+82.3*x-88*x.^2+45.4*x.^3-9*x.^4+0.65*x.^5]' fplot('[-26+82.3*x-88*x.^2+45.4*x.^3-9*x.^4+0.65*x.^5]',[-1,1]),grid ,[-1,1]),grid
f!"tio! #$f!"io!%(x) f!"tio! #$f!"io!%(x) #$-26+82.3*x-88*x^2+45.4*x^3-9*x^4+0.65*x^5& / "lr&"l"& dip('7 dip('7 7 7 ') ') dip(': dip(': / ') ') !$i!pt('!gr !$i!pt('!gr pr"iio! d "ifr ig!ifi"ti; !$')& !$')& x1$i!pt('!gr x1$i!pt('!gr li
il ? =>il ? x$xr& xr$(x1+x)@2& Afor<l d Bi""io! if f!"io!%(x1)*f!"io!%(xr)C0 if f!"io!%(x1)*f!"io!%(xr)C0 x$xr& $B((xr-x)@xr)*100& lif f!"io!%(x1)*f!"io!%(xr)?0 lif f!"io!%(x1)*f!"io!%(xr)?0 x1$xr& $B((xr-x)@xr)*100& !d i$i+1& !d fpri!tf('ri# fpri!tf('ri# ol"io!DA12.15fE!',xr) ol"io!DA12.15fE!',xr) fpri!tf('rror fpri!tf('rror proxi<doDA12.10fE!',) proxi<doDA12.10fE!',) fpri!tf('!<ro fpri!tf('!<ro itr"io!DA12.0fE!',i) itr"io!DA12.0fE!',i) :7 :
0A/0U/O DE /A RAI DE U1A E0UA0IO1 1O /I1EA/ POR E/ E4ODO 0ERRADO DE 5ISE00IO1 Inrese precision e ci7ras sini%cati(as n+8 Inrese limite in7erior )*+,.Inrese limite superior )u+* rai9 solucion!,.-:;33,88833-;3< solucion!,.-:;33,88833-;3< Error apro)imao!,.,,2633<663 numero iteraciones!
*-
f ( x )=−2.0 + 6 x − 4 x + 0.5 x 2
<. Determine las raíces e
3
a" #ra%ca. b" Usano el &too e 1e=ton Rap>son empleano como (alor inicial )i+,.-. SO/U0IO1! 0?DI#O DE/ @4ODO 1E4O1 RAPBSO1 "lr&"l" !$i!pt('i!gr pr"iio! d "ifr ig!ifi"ti; !$')& xi$i!pt('i!gr F xi$')& $(0.5*10^(2-!))& $100& i$0& =>il ? x$xi& fxi$-2+6*xi-4*xi.^2+0.5*xi.^3& dxi$6-8*xi+1.5*xi.^2& A i
i$i+1&A"!t l !<ro d itr"io! f"td !d
fpri!tf(' ri#
DA12.15fE!',xi)
fpri!tf( ' !<ro d itr"io!
DA12.15fE!',i)
PRUE5A DE/ PRO#RAA inrese precision e ci7ras sini%cati(as n+3 inrese CA/OR I1I0IA/ )i+,.rai9 !,.8:8-:283;*--*8, numero e iteraciones !3.,,,,,,,,,,,,,,, 7+F)"8G).H86G).H2**8 7+
F)"8G).H86G).H2**8 )+,!,.*!2 )+ 0olumns * t>rou> *6 , ,.<,,,
,.*,,, ,.;,,,
,.2,,, *.,,,,
,.3,,, *.*,,,
,.8,,, *.2,,,
,.-,,, *.3,,,
0olumns *: t>rou> 2* *.6,,,
*.:,,,
plotF)K7F)"" #RALI0A
*.<,,,
*.;,,,
2.,,,,
,.6,,, ,.:,,, *.8,,, *.-,,,
*3. El polinomio f ( x )= 0.0074 x − 0.284 x + 3.355 x − 12−183 x +5 4
3
2
ApliMue a esta 7unci'n el m&too e 1e=tonRap>son usano como (alor inicial x 0 +*6.*-
SO/U0IO1! 0?DI#O DE/ @4ODO 1E4O1 RAPBSO1 "lr&"l" !$i!pt('i!gr pr"iio! d "ifr ig!ifi"ti; !$')& xi$i!pt('i!gr F xi$')& $(0.5*10^(2-!))& $100& i$0& =>il ? x$xi& fxi$0.00H4*xi.^4-0.284*xi.^3+3.355*xi.^2-12-183*xi+5& dxi$0.0296*xi.^3-0.852*xi.^2+6.H1*xi-183& A i
fpri!tf(' ri#
DA12.15fE!',xi)
fpri!tf( ' !<ro d itr"io!
DA12.15fE!',i)
PRUE5A DE/ PRO#RAA inrese precision e ci7ras sini%cati(as n+*inrese CA/OR I1I0IA/ )i+*6.rai9 !,.,3<2288;23,;2<3 numero e iteraciones !-.,,,,,,,,,,,,,,, 7+F)",.,,:8G).H8,.2<8G).H3N3.3--G).H2*2*<3G)N- )+,!,.*!2
)+ 0olumns * t>rou> *6 , ,.<,,,
,.*,,, ,.;,,,
,.2,,, *.,,,,
,.3,,, *.*,,,
,.8,,, *.2,,,
,.-,,, *.3,,,
0olumns *: t>rou> 2* *.6,,,
*.:,,,
plotF)K7F)"" #RALI0A
*.<,,,
*.;,,,
2.,,,,
,.6,,, ,.:,,, *.8,,, *.-,,,
Eemplo *. Encontrar la soluci'n el sistema! − y
x −e =0 − y
e − y = 0
SO/U0IO1. 0ODI#O DE/ E4ODO DE I4ERA0IO1 DE PU14O LIJO "lr&"l"& dip('"l"l l ri# d ! it< d do ""io! !o li!l') dip('por l <todo Birto') dip('itr"io! iil x? KK J? xi$xp(-J0)& Ji$xp(-x0)& x$B((xi-x0)@xi)*100& J$B((Ji-J0)@Ji)*100& x0$xi& J0$Ji& i$i+1& !d fpri!tf('l ri# LxL DA12.15fE!',xi) fpri!tf('l ri# LJL DA12.15fE!',Ji) fpri!tf('!<ro d itr"io!DA12.0fE!',i)
PRUE5A DE/ PRO#RAA PU14O LIJO calcula la rai9 e un sistema e os ecuaciones no lineales por el metoo abierto iteracion simple punto %o
n+),+,.,+,.6 la rai9 ) es !,.-6:*36:22866623 la rai9 es !,.-6:*-:*83:,:68numero e iteraciones!
*-
8.:. Problemas propuestos -. Utilice el m&too e eliminaci'n e #aussJor$n para resol(er! 2 x 1
+ x − x =1
5 x1
+ 2 x + 2 x =−4
2
3
2
−3 x + x + x 1
2
3
3
SO/U0IO1! 0ODI#O RE#/A DE 0RAER A ol"io! d it< d . "lr&"l" $i!pt('i!gr tri# [] !x!D')& B$i!pt('i!gr F"tor [] !x1D')& !$l!gt>()& for i$1D! $& (D,i)$+B& d(i)$dt()& !d $dt()& x$(d@)'& ,B,x
PRUE5A DE/ PRO#RAA inrese atri9 AT n)n!T2 * *- 2 23 * * inrese Cector 5T n)*!T* 8 *V a+ 2
*
*
-
2
2
3
*
*
b+ * 8 *
)+ ,.-8- ,.:2:3 *.3636 2. Elaborar un prorama en atlab Mue permita inresar obtener el eterminante e una matri9 cuaraa cualMuiera.
| |
−1 1 | A|= 1 22 − 3 3 −1− 1 2 21
2314
SO/U0IO1! 0ODI#OE/II1A0IO1 DE #AUSS DE4ERI1A14E Ali()& for i$1D!-1 for %$i+1D! f$(%,i)@(i,i)& for I$i+1D! (%,I)$(%,I)-f*(i,I)& !d !d !d dt$1& for i$1D! dt$dt*(i,i)& !d fpri!tf('l dtr
PRUE5A DE/ PRO#RAA Inrese atri9 A+T2 * * ** 2 2 33 * * 22 3 * 8 A+ 2
*
*
*
*
2
2
3
3
*
*
2
2
3
*
8
El eterminante e WAW es
<6.,,,,
I14ERPO/A0IO1 I14ERPO/A0IO1 PO/I1OIA/ DADO nN* puntos e una 7unci'n 7! R RK U1 PO/I1OIO e rao menor o iual a n Mue pasa por caa uno e los nN* puntos aosK es llamao polinomio interpolaor! PF)"+an )n Nan*)n* N an2 ) n2N XNa2)2 N a*) N a /A#RA1#E •
Puntos! F*K2"K F3K*" F-K8" !
•
PFY"+9,FY3"FY-"N9*FY*"FY-"N2FY*"FY3"
•
PF*"+2 EQUICA/E14EE14E 2+,F2"F8"
•
,+,.2-
•
*+,.2-
•
2+,.-
&too e series e potencias EJEP/O! DADOS /OS PU14OS! F2K*,"KF*K8"KF*K6"KF2K3" PU14OS DIS4I14OS DE L. •
SO/U0IO1
•
PF)"+a3 )3 Na2)2 N a*) N a, .4enemos PF2"+*, X
•
#E1ERAOS /A A4RI!
•
< 8 2 * a3
•
* * * * a2 + 8 * * * * a* + 6
•
•
+ *,
< 8 2 * a, + 3
RESU/4ADO A3+,.;* A2+,.-
A*+*.; A,+8.-
SO/U0IO1 POR E/ E4ODO DE 0RAER! 0ODI#O E4ODO DE 0RAER A ol"iN! d it< d . "lr&"l" $i!pt('i!gr tri# [] !x!D')& B$i!pt('i!gr F"tor [] !x1D')& !$l!gt>()& for i$1D! $& (D,i)$+B& d(i)$dt()& !d $dt()& x$(d@)'& ,B,x
PRUE5A DE/ PRO#RAA inrese atri9 AT n)n!T< 8 2 ** * * ** * * *< 8 2 * inrese Cector 5T n)*!T*, 8 6 3V a+ <
8
2
*
*
*
*
*
*
*
*
*
<
8
2
*
b+ *, 8 6 3
)+ ,.;*6: ,.-,,, *.;*6: 8.-,,, #RALI0A DE/ PO/I1OIO 7+F)",.;*6:G).H3N,.-,,,G).H2N *.;*6:G)N 8.-,,, 7+ F)",.;*6:G).H3N,.-,,,G).H2N*.;*6:G)N8.-,,, )+,!,.*!2 )+ 0olumns * t>rou> *6
, ,.<,,,
,.*,,, ,.;,,,
,.2,,, *.,,,,
,.3,,, *.*,,,
,.8,,, *.2,,,
,.-,,, *.3,,,
0olumns *: t>rou> 2* *.6,,,
*.:,,,
plotF)K7F)""
*.<,,,
*.;,,,
2.,,,,
,.6,,, ,.:,,, *.8,,, *.-,,,
E4ODOS 1UERI0OS AP/I0ADOS A/ 0Z/0U/O DE/ 0OELI0IE14E DE LRI00IO1 0alculo el 7actor e 7ricci'n Eemplo!
SO/U0IO1! 0ODI#O E4ODO PU14O LIJO Aitr"io! tBri "lr&"l"& dip('"l"l l ri# d l ""io! !o li!l') dip('por l <todo Birto') dip('itr"io! iil ? x$xi& x xi$-2*log10(0.0002@(3.H*0.H)+2.51*xi@300000) $B((xi-x)@xi)*100& i$i+1& !d fpri!tf('l ri# DA12.15fE',xi) fpri!tf('!<ro d itr"io!DA12.0fE!',i)
PRUE5A DE/ PRO#RAA! calcula la rai9 e la ecuacion no lineal por el metoo abierto iteracion simple punto %o n+*, ),+3*.622::66 )i +3*.622< )a +3*.622< )i + 6.;32)a +6.;32)i + :.:3:; )a +:.:3:; )i +:.6;-: )a + :.6;-: )i + :.6;:< )a +:.6;:< )i + :.6;:: )a + :.6;:: )i + :.6;:: )a +:.6;:: )i +:.6;:: )a +:.6;:: )i +:.6;:: )a +:.6;:: )i +:.6;:: )a + :.6;:: )i +:.6;:: la raí9 es !:.6;::28,2<:3<633 n[mero e iteraciones!
@4ODO DE EU/ER \ A1Z/ISIS DE ERROR
*,
Introucci'n Recuere la estructura el &too e Euler nN* + n N >7 F)nK n" Errores en &toos 1um&ricos Una 7uente e error Mue siempre est$ presente en los c$lculos es el error e roneo. EJEP/O! y ´ =2 xy ˰ y = e
2
x
−1
K
( )
y 1
1
=
x 0=1 ˰ y 0=1 &too e Euler! y n+1= y n+ hf ( xn , y n ) ˰ x n+1= x n + h
&too e Euler meorao! x n y n + x n+ 1 y ´ n+1 ˰ x n+1= x n + h y n+1= y n+ h ¿
&too e Rune]utta!
y n+1= y n+
1
( k +2 k +2 k +k ) ˰ x n+ = xn + h
6
1
2
3
4
k 1= hf ( x n y n ) 1
1
2
2
1
1
2
2
k 2= hf ( x n+ h , y n + k 1)
k 3 =hf ( x n + h , y n+ k 2) k 4=hf ( x n + h , y n + k 3)
1
SO/U0IO1! #ra%ca e la 7unci'n!
2
x
y = e
−1
> n , * 2 3 8 6 : < ;
,.* n
)n * *.* *.2 *.3 *.8 *.*.6 *.: *.< *.;
* *.2336:<,6 *.--2:,:22 *.;;3:*--3 2.6**6;68: 3.8;,382;6 8.:-<<2*26.6*;36<6< ;.3;333*2; *3.-;;,-,;
*6 *8 *2 *, < 6 8 2 , ,.<
*
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2
#ra%ca &too e Euler!
> n , * 2 3 8 6 : < ;
,.* n
)n * *.* *.2 *.3 *.8 *.*.6 *.: *.< *.;
* *.2 *.868 *.<*-36 2.2<:3-36 2.;2:<*26* 3.<,6*-63; -.,28*2688 6.:3232;82 ;.*--;6<,2
*, ; < : 6 8 3 2 * , ,.<
*
*.2
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2
#ra%ca &too e Euler meorao!
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)n * *. * *. 2 *. 3 *. 8 *. *. 6 *. : *. < *. ;
n
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6.8<::;<,- <.6;368;3< ;.*---<,6 *2.8-*-<;6 *3.*6;3<:* *<.*:3:-83
*8 *2 *, < 6 8 2 , ,.<
*
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2
#ra%ca &too e Rune]utta!
n
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,.2 ,.2:*8,< 36 ,.3:2686 ; ,.-*<3-< -6 ,.:3*2-: 3* *.,8:,63 *; *.-22:36 -3 2.2-,8,* 32 3.3<*2*, <8 -.*66<28 ,8
,.23* ,.3*8;-: ,6 ,.838:-8 :* ,.6,<2:3 <3 ,.<638,;*.28826, ,; *.<2*-:3 -< 2.:*,8,; <2 8.*,,6-: 3: 6.3*,323 :<
,.2382-,.3*;;6*63 ,.882-*< *<< ,.62,8*2 3;,.<<2-6: *.2:8<26*2 *.<:,<<* 6;* 2.:;,;** 3** 8.233:-8 ;:3 6.-333,6 238
^8 ,.2:*-36 * ,.3:2<:3 8< ,.-*<:--3 ,.:3*;8: :: *.,8<26, 22 *.-28<** 6 2.2-8,,: 38 3.3<:-,;8 -.*::<<2 :: <.,-2,<8 68
\nN* *.2336:8 3*.--26;8 *.;;36<6 :: 2.6**633 23 3.8;,2*, 68 8.:-<--* 6: 6.6*<<2: 8* ;.3;22-2 33 *3.-;6;, -8 2,.,<*26 6<
*6 *8 *2 *, < 6 8 2 , ,.<
*
*.2
*.8
*.6
*.<
2
Comparacion de curvas *6 *8 *2 *, Yn
< 6 8 2 , ,.<
*
*.2
*.8
*.6
*.<
Xn
Solucion e)acta
Euler
Euler meorao
Rune]utta
2
