UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE CIENCIAS MÉDICAS ESCUELA ACADÉMICO-PROFESIONAL DE MEDICINA HUMANA
PRÁCTICA N.° 3
CURSO: BIOESTADÍSTICA DOCENTES: MSC. AUGUSTO CHAFLOQUE CHAFLOQUE MSC. CARLOS RISCO DÁVILA ALUMNOS: ALCANTARA GUTTI MANUEL ENRIQUE BAUER PONTE PAUL ALEJANDRO CASTILLO BENITES CARLOS MIGUEL CHAMAN ALVARADO JOSE ARMANDO RAFAEL IDROGO ALFARO SAMUEL ISRAEL
GRUPO: A AÑO: 1.° PROMOCIÓN XLVIII TRUJILLO, 8 DE FEBRERO DEL 2010
Introducción a las Distribuciones de Probabilidad
1.- Tabla NO01: Empleados profesionales y técnicos de un grupo de hospitales
Clasificados por edad y categoría de trabajo. Categoría de trabajo A1 A2 26-30 ≤25 B1: Médicos 0 5 B2: Serv. De Lab. Clínico 20 30 B3: Servicio de dieta 3 6 B4: Serv. De registros médicos 7 15 B5: Serv. De enfermería 200 375 B6: Farmacia 1 12 B7: Tecnología radiolog. 4 10 B8: Serv. Terapéuticos 5 25 B9: Otros servicios profesionales y 20 35 Técnicos TOTAL
260
513
Edad A3 31-35 25 35 6 8 442 8 19 15 50
A4 >35 75 35 10 12 203 3 12 10 25
TOTAL
608
385
1766
105 120 25 42 1220 24 45 25 130
Preguntas: A) ¿Cuál es la probabilidad de que esta persona tenga entre 31 y 35 años de edad? P(31-35/E)=608/1766=0.344
B) Calcular la probabilidad de que un empleado seleccionado al azar sea medico P(M/E)=105/1766=0.059
C) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado sea medico dado que se elige al azar del conjunto de empleados que tienen más de 35 años? P(M/ A4>35)=75/385=0.194
D) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado elegido al azar de entre todos los empleados tenga más de 35 años de edad? 2
P(A4>35/E)=385/1766=0.218 E) Calcúlese la probabilidad de que un empleado elegido al azar sea medico, tenga más de 35 años de edad o ambas cosas P(M U A4>35 )=105/1766 + 385/1766 – (85/1766)=0.235
2.- Sean A, B y C tres eventos asociados con un experimento. Expresar las siguientes proposiciones verbales en notación de conjuntos. a. Al menos uno de los eventos ocurre.
A∪B∪C ′′, ′′′, ′′′, ′′, ′′,′, ′, } } A∪B∪C [ ∩∩ ∪ ∩∩ ∪ ∩∩ ] ′′, ′′′, ′′′} ∩∩ ∪ ∩∩ ∪ ∩∩ ∩∩ ∩∩ ′,′,′} ∩∩ ∩∩ } ∩
b. Exactamente uno de los eventos ocurre.
c. Exactamente dos de los eventos ocurren.
d. Ocurrencia simultánea de los tres eventos.
3.- Sean A y B dos sucesos aleatorios con: P(A)=3/8, P (B)=1/2, P(A B)
Hallar: 3
a) P(AUB)= 0,125+0,25+0,25= 0,625 b) P(A´)=0,25+0,375=0,625 c) P(B´)=0,125+0,375=0,5
∩ ∩ ∩
d) P(A´ B´)= 0,375 e) P(A´UB´)=0,125+0,25+0,375=0,75 f)
P(A B´)=0,125
g) P(A´ B)=0,25
4.- La probabilidad de que un estudiante de Medicina apruebe el curso de Bioestadística es 2/3 y la probabilidad de apruebe el curso de Morfología es 4/9. 4/ 9. Si la probabilidad de aprobar al menos uno de estos cursos es 4/5. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe ambos cursos? Solución Sea B el evento aleatorio de que un estudiante de Medicina apruebe Bioestadística y M el evento aleatorio de que apruebe Morfología.
23 49 ∨∨ 45 ∧∧ ? ∨∨ ∧∧ ⇒ ∧∧ 24 4 ∨∨ ∧∧ 3 9 5 ∧∧ 1454
Sabemos que
Reemplazando y despejando:
Rpta. La probabilidad de que un estudiante de Medicina apruebe ambos cursos es
14⁄45
.
4
5.- La probabilidad que un visitador médico venda dentro de un mes, un lote de medicamentos del Laboratorio A es 1/5 y la probabilidad de vender un lote de medicamentos del Laboratorio B dentro de un mes es un ¼. Hallar la probabilidad de que: Solución a) Venda los 2 lotes de medicamentos dentro de un mes.
P A xP B
1 1 5 4
1 20
b) Venda al menos uno de los lotes dentro de un mes.
1 P A B
C
4 3 5 4
2
1
5
c) No venda ninguno de los lotes dentro de un mes. = =
P A B
C
P A
C
B
C
C
= P A . P B
C
= 1 P A.1 P B
4 3 3 5 4 5 d) Solamente venda el lote de medicamentos del laboratorio A dentro de un mes.
P A B
1 3 5 4
C
3
20
6.- Una urna contiene 3 bolas rojas y x blancas. Se saca una bola de la urna y se reemplaza por una de otro color, se saca de la urna una segunda bola. Sabiendo que la probabilidad de que la segunda bola sea roja es 17/50. ¿Cuál será el número de bolas blancas? 5
Solución
1º
2º
R X+1 Blancas 2 Rojas
R B
X Blancas 3 Rojas Total = X+3
B
X-1 Blancas 4 Rojas
R B
P (Roja) = P (R1).P(R2/R1) + P(B1).P(R2/B1)
1750 33 32 3 34 X=7
7.- La probabilidad de que un paciente fallezca por cáncer es de 0.10 de que fallezca por infarto es de 0.05, de que fallezca por cáncer e infarto es 0.03. Cuál es la probabilidad de que fallezca: a) Por cáncer o por infarto. b) Por cáncer, dado que puede fallecer por infarto. c) Por infarto, dado que puede fallecer por cáncer. Solución
P C P I P C I P C I 0.10 0.05 0.03 a)
P C I
P C I
0.12
6
C P C I P I I
P
b)
C I
C I
P
P
0.03 0.05 3
5
c)
I P I C P C C
P
I C
I C
P
P
0.6
0.03 0.10 3 10
0.3
8.- En una cierta región del país se sabe por experiencia pasada que la probabilidad de seleccionar a un adulto mayor de 40 años de edad con cáncer es de 0.02. si la probabilidad de que un médico le diagnostique correctamente a una persona con cáncer que tiene la enfermedad es de 0.78 y la de que se equivoque, 0.06 ¿Cual es la probabilidad de que a una persona se le diagnostique cáncer? Solución Datos: C: Con cáncer. C’: Sin cáncer.
D: Diagnostico de cáncer.
Entonces:
P DC P DC
P D
'
7
D D P C . P P C '. P
P D
C
C '
0.020.78 0.980.06
P D
0.0156 0.0588
P D
P D
0.0744
Interpretación: La probabilidad de que a una persona se le diagnostique cáncer es 0.0744. 9.- Un médico posee dos automóviles, un modelo compacto y uno estándar. Aproximadamente utiliza el vehículo compacto para trasladarse a su trabajo las tres cuartas partes a del tiempo y el restante usa el carro mas grande. Cuando emplea el carro compacto llega a su casa a las 5:30 el 75 % de las veces; si utiliza el carro de tamaño estándar llega a la misma hora el 60 % de las veces (pero disfruta del aire acondicionado del carro más grande). Si llega a su casa después de las 5:30, ¿Cuál es la probabilidad de que haya usado el carro compacto?
Solución
Si el médico ha llegado a su casa después de las 5.30, entonces la probabilidad de que haya usado el carro compacto es:
C 5.30
P
Entonces:
C P C . P 5.30 = 5 . 30 P 5.30
P
=
C
3 40.25 ………….(1) P 5.30
8
Para esto debemos calcular: P 5.30
= P C . P 5.30 P E . P 5.30
P 5.30
3 4
C
E
1 4
= 0.25 0.4
=
23 80
Por lo tanto, reemplazando en (1):
C 3 40.25 = 5.30 P 5.30
P
=
3 40.25 23 80
= 0.6522
10.- La probabilidad de que un accidente de aviación sea correctamente previsto debido a fallas mecánicas es 0,85 y fallas no mecánicas 0,35. Encontrar la probabilidad que un accidente de aviación sea por fallas mecánicas, dado que fue previsto correctamente, si el 30% de accidentes de aviación es debido a fallas mecánicas. Solución
+⁄ −⁄ ̅ + ⁄ 0,85 −⁄̅ 0,35 → +⁄̅ 0,65 30% → ̅ 70% ⁄+ ⇒ + ⁄ . ⁄+ +⁄. +⁄̅. ̅ 0,8500,3,8500,3,350,7 Sea
la probabilidad de que un accidente de avión sea correctamente previsto
debido a fallas mecánicas y
de que sea correctamente previsto debido a fallas no
mecánicas.
Por el teorema de Bayes:
9
⁄ + 0,51
Rpta. La probabilidad de que un accidente sea por fallas mecánicas, dado que fue previsto correctamente es 0,51 11. Una compañía de seguros clasifica a las personas en dos grupos: aquellos que son propensos a accidentes y aquellos que no lo son. Las estadísticas muestran que una persona propensa a accidentes tendrá un accidente en algún momento en un período de un año con probabilidad 0.4, mientras que la probabilidad del mismo evento para una persona no propensa a accidentes es 0.2. Se asume que el 30% de la población es propensa a accidentes. P: Propenso a accidente
A: Accidente
P’: No propenso a accidente
A’: No accidente
a) Calcule la probabilidad de que un nuevo asegurado tenga un accidente en el año siguiente a la compra de la póliza
10 3 10 4 10 7 10 2 10026 % b) Suponga que un nuevo asegurado tiene un accidente en el año siguiente a la compra de la póliza. Calcule la probabilidad de que el asegurado sea propenso a accidentes.
./′./′ / . / / . . % 12.- Para controlar una cierta enfermedad en una población donde la proporción de enfermos es 1/30 se usa un determinado examen médico para detectar enfermos. Se sabe que la probabilidad de que al aplicar el examen a un enfermo lo muestre como tal es de 0,9, y que la probabilidad de que al aplicarlo a una persona sana la muestre como enferma es de 0.01. Calcule la probabilidad de que una persona esté realmente enferma si el examen la muestra como tal. E: Enfermo
E’: Sano
T+: Test acertado
T-: Test fallido
10
+ . + / . +//.+/′ + / .
Interpretación: La probabilidad de que una persona esté realmente enferma si el examen la muestra es del 76%.
13.- La prevalencia de la diabetes es del 4%. La glucemia basal diagnostica correctamente el 95% de los diabéticos, pero da un 2% de falsos positivos. Diagnosticada una persona ¿Cuál es la probabilidad de que realmente sea diabética? D: Diabético
D’: Sano T+: Test acertado
T-: Test fallido
+ + / +//+/′ 040.09.5960.02 . /+ 0.040.09.5
Interpretación: La probabilidad de que una persona sea diabética si el examen la muestra como tal es del 66.43%
Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad
1.- Si X denota el número de horas que Ud. estudia durante un día seleccionado al azar. Suponga que la función de cuantía de X tiene la forma siguiente, donde k es algún número:
0. 1 ; 0 50;;;13 2 4 ó
ó
Analizando:
La probabilidad que estudie 0 horas es:0.1 (P1) La probabilidad que estudie 1 hora es: k (P2) La probabilidad que estudie 2 horas es: 2k (P3) La probabilidad que estudie 3 horas es: 2k (P4) La probabilidad que estudie 4 horas es: k (P5) Si la suma de estas probabilidades debe dar uno, entonces:
0.1 2 2 1
11
→ 0.15 345 0.3 0.3 0.15 0.75
a) ¿Cuál es la probabilidad de que Ud. estudie por lo menos dos horas? La probabilidad de estudiar por lo menos dos horas sería:
b) Menos de tres horas, exactamente dos horas.
La probabilidad de que estudie menos de tres horas: P1+P2+P3=0.55 La probabilidad de que estudie exactamente dos horas es: 0.3 c) Determine y grafique la Función de Distribución de X.
0
1
2
3
4
0,1
0,25
0,55
0,85
1
GRÁFICA: FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN F(X)
d) Calcule e interprete la media y la desviación estándar
X 0 1 2 3 4 Total
P(x) 0.1 0.15 0.3 0.3 0.15
XP(x) 0 0.15 0.6 0.9 0.6 =2.25
.
X-2.25 -1.25 -0.25 0.75 1.75
5.0625 1.5625 0.0625 0.5625 3.0625
0.50625 0.234375 0.01875 0.16875 0.459375 1.3875
La media teórica o esperanza matemática es : 12
2.25
El número esperado de horas que usted estudia por día es aproximadamente 2 horas.
La desviación estándar es :
∑ . 1.3875 =
=1.178
El promedio de variación del nº de horas que estudia por día respecto a su valor esperado es aproximadamente 1 hora.
2.- La variable aleatoria X tiene la siguiente Función de Distribución:
0 < 10 1/43/4 01015 ≥≤≤ 20 << 1520
a) Calcular: P(X ≤ 10.5) + P(X ≥ 15.5) P(X ≤ 10.5)=1/4 P(X ≥ 15.5)=3/4 → P(X ≤ 10.5) + P(X ≥ 15.5)=1/4+3/4=1
b) Calcular: P(10.2 ≤ X ≤ 15.5) P(x ≤ 15.5)-P(x ≤ 10.2)=3/4-1/4=1/2
c) Calcular la función de probabilidad de la variable aleatoria
0 10 1/42/41/4 101520
d) Calcular la media y la desviación estándar.
13
x
f(x)
xf(x)
0
0
0
0
10
1/4
5/2
25
15
2/4
15/2
225/2
20
1/4
5
100
15
237.5
Total
x
2
f(x)
15 237.515 3.5
La media teórica o esperanza matemática es : La desviación estándar es:
3.- Sea X una variable aleatoria continua con Función de Distribución :
0 ≤ 0 {/21 0 <≥ 2≤ 2 < </2 0 < ≤2[ ≤ ] ∫− 2 0 2 0 2 211 2 4 . 2 4 4 0 Si Hallar:
y
Sabemos que: Entonces en
∞
Hallamos la esperanza matemática: E(x)=
14
8 4 . 2 6 6 0 3 √ < < √ + √ 33 < < √ 63 −√ √ + 1 +√ √ √ √ −√ 2 2−√ 2 2 → < < √
Hallamos la varianza: V(x)= De la fórmula:
=E(x2)-
=E(x2)=
2
2
-
=
=
Luego:
4.- Por experiencias realizadas se comprobó que la función de densidad de un aleatorio fue la siguiente:
Calcular:
fenómeno
3 0 < < 2 {2 1 0
a) La expectativa y varianza de x
∫3 1 3 4 8 15
1 32 1 3 3 2 4 10 1 0.1.66 1 . . . 11..55 9/16∫. 1 00..55 7/16∫. 1 . 1.50.5 0.125
b) La probabilidad que un valor este comprendido entre 1/2 y 3/2
Por lo tanto:
La probabilidad que un valor este comprendido entre 1/2 y 3/2 es de 12.5% 5.- El daltonismo afecta al 1% de una población grande. Suponga que se escogen aleatoriamente de esta población.
personas
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las n personas sean daltonianos?
P=0.01
x=0, 1, 2,3…n
n=? Hallando:
0 0 00.010.99− .
b) ¿Qué tamaño debe tener n para que esta probabilidad sea mayor que el 10%?
16
0.99 0.1 n log. 0.1 lologg0.0.919 229.1
Para que haya más del 10% de probabilidad que la probabilidad que la muestra no presente casos de daltonismo se debería tomar como mínimo 229 personas de la población.
6.- Supóngase que la tasa de mortalidad para cierta enfermedad es de 0.10 y que la contraen 10 personas de la comunidad. ¿Cuál es la probabilidad de que:
p=0.10 q=0.9 n=10
0 0 100 0.10.9 0.9 0.3487 0 5 105 0.10.9 252.0.10.9 0.0015 a) Ninguna sobreviva?
b) El 50 por ciento muera?
c) Al menos 3 mueran?
≥3 ≤ 2 ≥2 3 1 ≤ 2 0 3 1 1 101 0.10.9 0.3874 2 2 102 0.10.9 0.1937 1 ≤ 2 10.34870.38740.1937 0.0702
Por lo tanto:
d) Exactamente 3 mueran?
17
3 3 103 0.10.9 0.0574
7.- Dada una variable aleatoria binomial con una media de 20 y una varianza de 16, encuentre n y p.
20 16 2160 Dividiendo:
.
Por lo tanto:
10.8 . 20 0.2 Hallando “n”:
8.- Supóngase que durante un periodo de varios años el número promedio de muertes debidas a cierta enfermedad no contagiosa ha sido de 10. ¿Cual es la probabilidad que durante el año que transcurre:
a.)Mueran exactamente 7 personas debido a la enfermedad? 10
P ( x
7)
f (7)
e
10
10 7
7!
0.09
b.) Mueran 10 o mas personas debido a la enfermedad? 10
P ( x 10) 1 P ( x 9) 1 0.458 0.542
c.) Nadie muera debido a la enfermedad?
18
10
P ( x 0) f (0)
e
10
10 0
0!
0.000454
9.- El número de fallas de un instrumento de fallas debidas a las partículas contaminantes de un producto es una variable aleatoria poisson con media 0.02 fallas por hora.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el instrumento no falle en una jornada de ocho horas? b. ¿Cuál es la probabilidad de que se presente al menos una falla en un periodo de 24 horas?
Solución:
a. Tenemos:
10.02 0.98 0.988 7.84 → [ 0] . → 0.0003937 ×100 .%
Para este caso:
(Se toma el complemento porque se refiere a que SI falle) Entonces:
La probabilidad de que dicho instrumento NO falle en una jornada de ocho horas es de 0.039%.
b. Tenemos: p = 0.02 por 1 hora λ en 24 horas = n*p = 0.48 19
Por
la fórmula de Variable de Poisson:
F(x) =
e
x
x!
Aplicando la fórmula a nuestro problema:
Como nos pide que presente al menos alguna falla entonces tomamos P(x 1 ): Luego: P (x 1 )= 1 - P (x 0) Entonces hallando P (x 0)
Luego
=
e
0 , 48
0,48
0
0!
P (x 0) = 0,619 P (x 1 )= 1 - P (x 0)
P (x 1 )= 1- 0,619 = 0.381
La probabilidad de que presente al menos una falla es 38,1 %.
10. En promedio, cinco fumadores pasan por la esquina de cierta calle cada diez minutos. ¿Cuál es la probabilidad?
a. De que durante un periodo de 10 minutos el número de fumadores que pasan por la esquina sea de seis o menos? b. De que durante un periodo de 5 minutos el número de fumadores que pasan por la esquina sea de siete o más? c. De que durante un periodo de 20 minutos el número de fumadores que pasan por la esquina sea exactamente ocho?
Solución:
a. No piden hallar la probabilidad de que pasen 6 o menos fumadores F (6) = P(x 6) y tenemos = 5 en 10 minutos.
20
Debemos
hallar P(x=0), P(x=1), P(x=2), P(x=3), P(x=4), P(x=5), P(x=6) y luego obtener la sumatoria. * Hallando P(x=0):
Por fórmula de Variable de Poisson:
P(x) =
P(x=0)
=
e
x
x!
5
e
5
0
= 0,007
0!
* Hallando P(x=1): Por fórmula de Variable de Poisson: P(x) =
P(x=1)
=
e
e
x
x!
5
1
5
= 0,034
1!
* Hallando P(x=2):
Por fórmula de Variable de Poisson: P(x) =
P(x=2)
=
e
e
x
x!
5
5
2!
2
= 0,084
* Hallando P(x=3):
21
Por fórmula de Variable de Poisson:
P(x) =
P(x=3)
=
e
e
x
x! 5
5
3
= 0,140
3!
* Hallando P(x=4):
Por fórmula de Variable de Poisson:
P(x) =
P(x=4)
=
e
e
x
x!
5
5
4
= 0,175
4!
* Hallando P(x=5):
Por fórmula de Variable de Poisson:
P(x) =
P(x=5)
=
e
e
x
x!
5
5
5!
5
= 0,175
22
* Hallando P(x=6):
Por fórmula de Variable de Poisson:
P(x) =
P(x=6)
=
e
e
x
x!
5
5
6
= 0,146
6!
F (6) = 0,761
La probabilidad que pasen 6 o menos fumadores en la esquina en 10 minutos es de 76,1 %.
b. Nos pide hallar la probabilidad que pasen 7 o más fumadores en la esquina durante 5 minutos F (7) = P (x 7) y tenemos que = 5 en 10 minutos, entonces = 2,5 en 5 minutos. Debemos hallar P (x 7), que es igual a: 1- P (x 6) Debemos
hallar P(x=0), P(x=1), P(x=2), P(x=3), P(x=4), P(x=5), P(x=6) y luego obtener la sumatoria. * Hallando P(x=0): Por fórmula de Variable de Poisson: P(x) =
P(x=0)
=
e
e
x
x! 2 ,5
2,5
0!
0
= 0,082
* Hallando P(x=1): 23
Por fórmula de Variable de Poisson: P(x) =
P(x=1)
=
e
e
x
x! 2, 5
1
2,5
= 0,205
1!
* Hallando P(x=2): Por fórmula de Variable de Poisson: P(x) =
P(x=2)
=
e
e
x
x! 2 ,5
2,5
2
= 0,257
2!
* Hallando P(x=3): Por fórmula de Variable de Poisson: P(x) =
P(x=3)
=
e
e
x
x! 2 , 5
2,5
3
= 0,214
3!
* Hallando P(x=4): Por fórmula de Variable de Poisson: P(x) =
P(x=4)
=
e
e
x
x!
2 ,5
2,5
4!
4
= 0,134
* Hallando P(x=5): Por fórmula de Variable de Poisson:
24
P(x) =
P(x=5)
=
e
e
x
x! 2 ,5
2,5
5
= 0,067
5!
* Hallando P(x=6): Por fórmula de Variable de Poisson: P(x) =
P(x=6)
=
e
e
x
x! 2 ,5
2,5
6
6!
= 0,028
P (x 6) = 0,987
Y como P(x 7) = 1 - P (x 6) = 1 – 0,987 = 0,013 La probabilidad de que pasen 7 o más fumadores en la esquina en 5 minutos es 1,3 %.
c. Nos pide hallar la probabilidad de que pasen exactamente 8 fumadores en la esquina durante 20 minutos P (x=8) y tenemos que = 5 en 10 minutos = 10 en 20 minutos. Por fórmula de Variable de Poisson:
P(x) =
P(x=8)
=
e
e
x
x!
10
10
8!
8
= 0,113
La probabilidad de que pasen exactamente 8 fumadores en la esquina durante 20 minutos es 11,3 %.
25
11. Supóngase que una variable X muestra una distribución normal con una varianza de 100. Dado que 0,0985 de los valores de x son mayores de 70 ¿Cuál es el valor medio de X?
Solución:
Tenemos:
V = 100 σ =
V
=
100
= 10
Como 0.0985 de los valores de x son mayores de 70 P (x >70) = 0,0985 es lo mismo que P (x 70)
Luego:
P (x 70) = P (z
70 10
= 0,9015
) = 0,9015
Pero según tabla para P (z) = 0,9015, z = 1,29
70 10
= 1,29
Despejando tenemos que: 70 - µ = 12,9
µ = 57,1.
12. Las calificaciones obtenidas en cierta prueba de aptitudes por estudiantes de medicina están distribuidas en forma aproximadamente normal con una media de 500 y una varianza de 10000.
a. ¿Qué proporción de calificaciones están por debajo de 200? b. Un estudiante está a punto de hacer la prueba: ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga una calificación de 650 o más? c. ¿Qué proporción de calificaciones está entre 350 y 675?
Solución: 26
a. Tenemos: µ = 500 V = 10000 σ =
V
=
10000
= 100
Luego, como las calificaciones están debajo de 200, tenemos que:
P (x<200) = P (z<
200
500
100
) = P (z<-3)
P (z<-3) = 1 - P (z<3)
Según tabla: P (z<-3) = 1 – 0,9987
P (z<-3) = 0,0013
La proporción que está debajo de 200 es 0,13 %.
b. Tenemos:
µ = 500 V = 10000 σ =
V
=
10000
= 100
Luego, no pide hallar la probabilidad de que la calificación sea de 650 o más:
P
(x 650) = a
P (x 650) = 1-a
Hallando P (x 650): P (x 650) = P (z<
650 500 100
) = P (z 1,5)
Según tabla P (z 1,5) = 0,932 27
1 – a
= 0,932
a = 0,0668
La probabilidad de que un estudiante obtenga una calificación de 650 o más es de 6,68%.
c. Tenemos:
µ = 500 V = 10000 σ =
V
=
10000
= 100
Luego, nos piden hallar a proporción de calificaciones que están entre 350 y 675 P
(350
Lo que es igual a: P (z<
675 500 100
) - P (z<
350 500 100
)
P (z<1,75) – P (z<-1,5) Según tabla: 0,9599 – [1 - P (z<1,5)] 0,9599 – [1 - 0,9332] 0,9599 – 0,0668 = 0,8931
La proporción de calificaciones que están entre 350 y 675 es 89,31 %.
13. Si las concentraciones de colesterol total para cierta población están distribuidas en forma aproximadamente normal con una media de 200mg/100ml y una desviación estándar de 20mg/100ml, encuentre la probabilidad de que un individuo seleccionado al azar de dicha población tenga una concentración de colesterol: a. Entre 180 y 200mg/100ml 28
b. Mayor de 225mg/100ml c. Menor de 150mg/100ml. Solución:
a. Tenemos: µ = 2mg/ml σ = 0,2mg/ml
Nos pide hallar la probabilidad de que el colesterol de un individuo esté entre 1,8mg/ml y 2mg/ml. P (1,8
Luego: P (z<
22 0,2
) – P (z<
1,8 2 0,2
)
P (z<0) – P (z<-0,1)
Por tabla:
0,5 – [1 – P (z<0,1)] 0,5 – [1 – 0,5388) 0,5 – 0,4612 = 0,0388
La probabilidad de que el colesterol esté entre 180mg/100ml y 200mg/100ml es de 3,88%.
b. Tenemos:
µ = 2mg/ml
29
σ = 0,2mg/ml
Nos pide hallar la probabilidad de que el colesterol de un individuo sea mayor de 2,25mg/ml P
(x>2,25) = a P (x<2,25) = 1- a
Luego hallando P (x<2,25): P (z<
2,25 2 0,2
) = P (z<1,25)
Según tabla: P (z<1,25) = 0,8941 = 1- a a = 0,1059
La probabilidad de que el colesterol de un individuo sea mayor de 225mg/100ml es de 10,59 %.
c. Tenemos:
µ = 2mg/ml σ = 0,2mg/ml
Nos pide hallar que la probabilidad del colesterol de un individuo sea menor de 1,5mg/ml.
P
(x<1,5) = P (z<
1,5 2 0,2
)
Luego: P (z<-2,5) Según Tabla: 1 – [P (z<2,5)] 1 – 0,9938 = 0,0062
30
La probabilidad de que el colesterol de un individuo sea menor de 150mg/100ml es de 0,62 %.
14. Los registros de pérdida de peso por evaporación de cierto producto empacado muestran una pérdida de 6,45 gramos con una desviación estándar de 1,30. Asumiendo una distribución normal. ¿Cuál es la probabilidad de que si se extraen dos paquetes al azar de un lote ambas muestran una pérdida de más de 8 gramos?
Solución: Tenemos Media = µ = 6,45 Desviación Estándar = σ = 1,30
Hallamos la probabilidad de que 1 paquete muestre una pérdida de 8 gramos. P (x>8), luego desarrollando:
P (x>8) = a P(x 8)= 1 – a
Hallando
P(x 8):
P(x 8) = P (z
8 6,45 1,30
)
P (z 1,20) Según Tabla: P (z 1,20) = 1 – a = 0,8849 a
= 0,1151
La probabilidad de que un paquete elegido al azar muestre una pérdida de más de 8 gramos es de 0,1151
Pero nos piden hallar que al extraer 2 paquetes ambos muestren una pérdida de más de 8 gramos. 31
Por fórmula:
n p x
x
q
n x
Tenemos que:
n=2 x=2 p = 0,1151 q = 0,8849
Aplicando:
2 0,11512 0,88490 = 0,013248 2
La probabilidad que al sacar 2 paquetes ambos muestren una pérdida de más de 8 gramos es 1,3248 %.
15. En el problema anterior. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar 5 paquetes que, por lo menos, uno de ellos muestre pérdida de más de 8 gramos?
Solución:
Según datos: n = 5 x = 1 p = 0,117 32
q = 0,883
Como nos piden hallar por lo menos 1
P
(x 1) = 1- P (x 0)
Hallando P (x 0): Según datos:
n=5 x=0 p = 0,117 q = 0,883
Aplicando la fórmula:
5 0,117 0 0,8835 = 0,5368 0
Obteniendo P (x 1):
P (x 1) = 1- P (x 0) = 1 – 0,5368 = 0,4632
La probabilidad de seleccionar 5 paquetes que, por lo menos, uno de ellos muestre pérdida de más de 8 gramos es 46.32 %.
Por fórmula:
33
n p x
x
q
n x
Tenemos que:
n=2 x=2 p = 0,1151 q = 0,8849 Aplicando:
2 0,11512 0,88490 = 0,013248 2
La probabilidad que al sacar 2 paquetes ambos muestren una pérdida de más de 8 gramos es 1,3248 %.
16.-Una variable aleatoria x se distribuye normalmente. Si E(x2)=68 y P(x<10)=0,8413, determinar y
2
.
x
2
E ( x ) 68 p( x 10) 0,8413
z
1
10
10
x
2
i
2
n
n 2
x
i
n
2 2
(10 ) 2 E ( x 2 ) 2 100 20 2 68 2
p( x z 0 ) 0,8413 p( x 1) 0,8413
2
2
10 16 0
( 2)( 8) 0
Rpta.
2 8;
8 2;
2
64
2
4
Si la media es 2, la varianza es 64. Si la media es 8, la varianza es 4.
34
17.- El administrador de un hospital piensa que el tiempo promedio que utilizan lo odontólogos para efectuar una profilaxis es de 12,4 minutos. Si el 18% de los odontólogos demoraran en efectuar una profilaxis en más de 15 minuto. Suponiendo que los tiempos en realizar una profilaxis se distribuyen normalmente ¿Cual es la desviación estándar? x 15 15) P 15 12,4 P z 0,18 P ( z z ) 0,18
P ( x
o
z 0,92 15 12,4 o
0,92 15 12,4 0,92
2,286
Rpta. La desviación estándar es 2,286
18.- En un gran grupo de paciente coronarios se observa que sus niveles de colesterol en el suero se aproxima a una distribución normal: se observó que el 10% del grupo presenta niveles de colesterol inferiores a 182.3mg/100ml. Mientras que el 5% tenían valores por encima de 359mg/100ml. ¿Cuál es la media y la desviación estándar de la distribución? Datos:
182.3 0.10....... I hallar: P x 359 0.05.........II P x
u
? ?
Resolvemos: De I Tenemos:
P x 182.3 0.10
P z
182.3 u
182.3 u
0.10
1.282
1.282 u 182.3
De II, tenemos:
35
359 0.05
P x
P z
359 u
0.95
359 u
1.645
1.645 u
359
Igualando
de:
1.282 u 182.3
y
1.65 u 359
Tenemos que: 182.3 + 1.282σ = 359 – 1.645σ 2.927σ = 176.7 σ = 60.36 µ
= 259.68152
µ = 259.68152 y σ = 60.36
19.- En una cierta población se ha observado un número medio anual de muertes por cáncer de pulmón de 12; si el número de muertes causadas por la enfermedad sigue una distribución de Poisson, ¿Cuál es la probabilidad de que durante el año en curso?:
− . ! 1 2 − . 10!
a. Haya 10 muertes por cáncer de pulmón
0.774 ≥ 15 1 − ≤ 14 ≤ 14 ∑ ! . 12 ≤ 14 0.772 ≥ 15 10.772 0.228
b. 15 o más personas mueran por causa del cáncer de pulmón:
c. 10 o menos mueran por cáncer de pulmón
36
− ∑ . 1 2 ≤ 10 ! ≤ 10 0.3472 20.- Dañando los cromosomas del óvulo o del espermatozoide, pueden causarse mutaciones que conducen a abortos, defectos del nacimiento, u otras deficiencias genéticas. La probabilidad de que tal mutación se produzca por radiación es del 10%. De las siguientes 150 mutaciones causadas por cromosomas dañados. De los datos, tenemos:
p = 0,1
n=150
a) ¿Cuántas se esperarían que se debiesen a radiaciones?
0,1150 15 ∴ 15 . − . 1 5 10 10! 0,0486 ≅ 0,05 ∴ 10 0,05 Valor esperado o esperanza matemática: í
ñ
b) ¿Cuál es la probabilidad de que solamente 10 se debiesen a radiaciones?
ó
21.- entre los diabéticos, el nivel de glucosa en sangre X, en ayunas, puede suponerse de una distribución normal, con media de 106 mg/100 ml y desviación típica de 8mg/100ml es decir: µ
~( , )
a. Hallar:
[ ≤ ] 120106 8 1.75 [ ≤ 1.75] 0.9599 90 ≤ ≤ 120 1 20 106 ≤ 120 ≤ 90 1 8 1.75
b. Que porcentajes de diabéticos tienen niveles comprendidos entre 90 y 120
37
2 90106 2 8 90 ≤ ≤ 120 ≤ 120 ≤ 90 1 ≤ 1.752 ≤ 2 0.9599(12 ≤ 2) 0.95990.97721 0.9371 [ ≤ ≤ ] ≤ 110– ≤ 106 1 110106 8 0.5 2 106106 8 0 ≤ 0.5 0.6915 [ ≤ ] 121106 8 1.87 ≤ 1.87 0.9693
c. Hallar:
d. Hallar:
e. Hallar el punto x caracterizado por la propiedad de que el 25% de todos los diabéticos tiene un nivel de glucosa en ayunas inferior o igual a x:
[ ≤ ] 0.25 106 8 0.25 100.69
22. Una prueba de laboratorio para detectar heroína en sangre tiene un 92% de presición. Si se analizan 72 muestras en un mes, ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) 60 o menos estén correctamente evaluadas? b) Menos de 60 estén correctamente evaluadas? c) Exactamente 60 estén correctamente evaluadas?
38
n 72 P ( heroína en sangre ) 0.92 X n º de muestras para det ectar heroína en sangre en un mes. 60
a ) P ( x 60 )
0 72 72 0 0.92 0.08
0.01148
0
59
b) P ( x
60) P ( x 59)
0.92 0.08 0
72 0
72
0.004391
0
c) P ( x
60)
0.92 0.08 72 60
60
12
0.007093
23. El 10% de las personas tiene algún tipo de alergia. Se seleccionan aleatoriamente 100 individuos y se les entrevista. Hallar la probabilidad de que, al menos, 12 tengan algún tipo de alergia. Hallar la probabilidad de que, como máximo, 8 sean alérgicos a algo.
≥ 12 1 ≤ 11 − ∑ . 1 0 ≤ 11 ! 0.697 ≥ 12 10.697 0.303 − ∑ . 1 0 ≤ 8 ! 0.3327
a. Hallar la probabilidad de que, al menos, 12 tengan algún tipo de alergia.
b. Hallar la probabilidad de que, como máximo, 8 sean alérgicos a algo.
24.- La probabilidad de muerte resultante del uso de píldoras anticonceptivas es de 3/100.000. De 1.000.000 de mujeres que utilizan este medio de control de natalidad: P = 0.00003 (muy pequeño) n = 1000000 ƛ = p.n = 30
1. ¿Cuántas muertes debido a esta causa se esperan? = n.p = 30 Interpretación: Las muertes esperadas debido al uso de píldoras anticonceptivas es de 30 39
2.
¿Cuál es la probabilidad de que haya, como máximo, 25 de estas muertes? P (x≤25) =
∑= −. ! , =
Respuesta: La probabilidad de que haya como máximo 25 de estas muertes es de 0,2084.
3. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de muertes debidas a esta causa esté entre 25 y 35, inclusive? P (25 ≤ x ≤ 35) = P (x ≤ 35) – P (x ≤ 24)
=
∑= −. ! ∑= −. ! 0,84260,1572 , -
Respuesta: La probabilidad de que el número de muertes esté entre 25 y 35 es de 0,6854.
25. La probabilidad de presentar una característica genética es de 1/20. 1. Tomando una muestra de 8 individuos, calcular la probabilidad de que 3 individuos presenten la característica. p= 1/20 =0.05
P(x=3) =
!!.! . 0.05.0.95 = 0.00542
Interpretación: La probabilidad de que 3 individuos presenten la característica es del 0.542 %
2. Tomando una muestra de 80 personas, ¿cuál será la probabilidad de que aparezcan más de 5 individuos con la característica? P (x>5) = 1 – P (X≤5)
40
P(X≤5) =
∑=!.!−! 0.05.0.95− ∑=!.!−! 0.05.0.95−
P (x>5) = 1 –
1[0,01650,06950,14450,19780,20040,1603] , Respuesta: La probabilidad de que aparezcan más de 5 individuos con la característica tomando una muestra de 80 personas es de 0,211.
26.- Se supone que en una cierta población humana el índice cefálicoi , (cociente entre el diámetro transversal y el longitudinal expresado en tanto por ciento), se distribuye según una Normal. El 58% de los habitantes son dolicocéfalos (i
75), el 38% son mesocéfalos (75
< i 80) y el 4% son braquicéfalos (i > 80). Hállese la media y la desviación típica del índice cefálico en esa población.
− 0.58 −
P (z ≤
por la tabla z=0.21
= 0.21……. (i)
P(x>80) = 1- P (x ≤80) = 0.04 P (x≤80) = 0.96 por la tabla z=1.76
− 1.76 −. −.
……… (ii)
Igualando (i) y (ii) =
74.3 3.2386
41
27. Se supone que la glucemia basal en individuos sanos, X s sigue una distribución
mientras que en los diabéticos X d, sigue una distribución
Si se conviene en clasificar como sanos al 2% de los diabéticos: 1. ¿Por debajo de qué valor se considera sano a un individuo? ¿Cuántos sanos serán clasificados como diabéticos? 2. Se sabe que en la población en general el 10% de los individuos son diabéticos ¿cuál es la probabilidad de que un individuo elegido al azar y diagnosticado como diabético, realmente lo sea? 1. ¿Por debajo de qué valor se considera sano a un individuo?
P (x < a) = 0.02
−
P (x <
−
) = 0.02 = P (Z < -2.05)
= -2.05 →a = 80 – 2.05 x 10 = 80 – 20.5 = 59.5
¿Cuántos sanos serán clasificados como diabéticos?
P (x > b) = 0.98 = 1 – P (x < b) P (x < b) = 0.02
− . − . P (x <
) = 0.02 = P (Z < -2.05)
= -2.05 → a = 160 – 2.05 x 31.4 = 91.63
2. Se sabe que en la población en general el 10% de los individuos son diabéticos ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo elegido al azar y diagnosticado diabético realmente lo sea?
0.10
42
