Trabajo Dipolo Electrico y Polarizacion

Contenido INTRODUCCIÓN.............................................................................................. 1 I. DIPOLO ELÉCTRICO................................................................................... 2 1. DEFINICIÓN DIPOLO ELÉCTRICO...........................................................3 El dipolo eléctrico está constituido por dos cargas opuestas separadas una distancia d. .......3 2. MOMENTO DE UN DIPOLO......................................................................5 3. MOMENTO DIPOLAR DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA............................6 4. INTERACCIÓN DE UN DIPOLO CON UN CAMPO EXTERNO.......................7 5. FUERZA Y PAR DE TORSIÓN EN UN DIPOLO ELÉCTRICO.........................7 6. ENERGÍA POTENCIAL DE UN DIPOLO ELÉCTRICO..................................9 7. CAMPO EN UN DIPOLO ELÉCTRICO......................................................10 II. POLARIZACIÓN........................................................................................ 10 1. MODELO MICROSCOPICO DIPOLAR.........................................................10 2. VECTOR POLARIZACIÓN........................................................................11 3. VECTOR DESPLAZAMIENTO...................................................................14 III.

BIBLIOGRAFÍA.................................................................................... 16

Universidad Nacional de San Agustín Arequipa

INTRODUCCIÓN

En el electromagnetismo clásico, la polarización eléctrica (también llamada densidad de polarización o simplemente polarización) es el campo vectorial que expresa la densidad de los momentos eléctricos dipolares permanentes o inducidos en un material dieléctrico. El vector de polarización P se define como el momento dipolar por unidad de volumen. La unidad de medida en el SI es coulomb por metro cuadrado. La polarización eléctrica es uno de los tres campos eléctricos macroscópicos que describen el comportamiento de los materiales. Los otros dos son el campo eléctrico E y el desplazamiento D. Una polarización eléctrica se da cuando se frotan dos cuerpos, se arrancan unos electrones de uno y pasan al otro por lo que el primero queda con carga positiva y el segundo con negativa, si los cuerpos son malos conductores de electricidad ( plástico, lana , cabello ) la carga no puede repartirse ni viajar rápidamente por el material por lo que queda localizada en cuerpo un cierto tiempo ( carga electrostática) cuando un objeto con esta carga se acerca a otro neutro, induce en este una distribución de cargas, que es lo que se denomina polarización. Esto es lo que ocurre cuando frotamos una regla de plástico, que es mal conductor, con el pelo. O con el trapo de lana. Se produce una distribución asimétrica de carga en la regla, que al ser puesta cerca de la otra lata induce en esta otra distribución de cargas que hace que ruede La polarización eléctrica también llamada densidad de polarización o simplemente polarización es el campo vectorial que expresa la densidad de los momentos eléctricos dipolares permanentes o inducidos en un material dieléctrico. El vector de polarización P se define como el momento dipolar por unidad de volumen. La unidad de medida en el SI es coulomb por metro cuadrado. La polarización eléctrica es uno de los tres campos eléctricos macroscópicos que describen el comportamiento de los materiales. Los otros dos son el campo eléctrico E y el desplazamiento eléctrico D.

Técnicas de Alta Tensión

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I.

DIPOLO ELÉCTRICO Un dipolo eléctrico es un par de cargas puntuales de igual magnitud y signos opuestos (una carga positiva q y una carga negativa - q) separadas por una distancia d. El concepto es digno de estudiarse con más detenimiento porque muchos sistemas físicos, desde moléculas hasta antenas de televisión, se pueden describir como dipolos eléctricos. También usaremos mucho este concepto en el análisis de los dieléctricos.

El momento dipolar eléctrico ´p está dirigido del extremo negativo al extremo positivo de la molécula. a) Una molécula de agua, con la carga positiva en color rojo, y la carga negativa en azul

b) Varias sustancias disueltas en agua

Fig 1.1 a) Una molécula de agua es un ejemplo de dipolo eléctrico, b) Cada tubo de ensayo contiene una solución de diferentes sustancias en agua. El momento dipolar eléctrico grande del agua la convierte en un magnífico solvente. La figura 1.1a muestra una molécula de agua (H20), que en muchos sentidos se comporta como un dipolo eléctrico. La molécula de agua en su totalidad es eléctricamente neutra; no obstante, los enlaces químicos dentro de la molécula ocasionan un desplazamiento de la carga. El resultado es una carga neta negativa en el extremo del oxígeno de la molécula, y una carga neta positiva en el extremo del hidrógeno, formando así un dipolo. El efecto es equivalente al desplazamiento de un electrón alrededor de sólo 4 X 1011 m (aproximadamente el radio de un átomo de hidrógeno); sin embargo, las consecuencias de tal desplazamiento son profundas. El agua es un magnífico solvente para las sustancias iónicas como la sal de mesa (cloruro de sodio, NaCl) precisamente porque la molécula de agua es un dipolo eléctrico (figura 1.1b). Cuando se disuelve en agua, la sal se disocia en un ion de sodio positivo (Na + ) y un ion de cloro negativo (Cl - ), los cuales tienden a ser atraídos hacia los extremos negativo y positivo, respectivamente, de las moléculas de agua; esto mantiene los iones en solución. Si las moléculas de agua no fueran dipolos eléctricos, el agua sena un mal solvente, y casi toda la química que ocurre en soluciones acuosas sería imposible. Esto incluye todas las reacciones bioquímicas que hay en las formas de vida terrestres. En un Técnicas de Alta Tensión

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sentido muy real, (nuestra existencia como seres humanos depende de los dipolos eléctricos. 1. DEFINICIÓN DIPOLO ELÉCTRICO Un dipolo eléctrico es un sistema de dos cargas de signo opuesto e igual magnitud cercanas entre sí. Los dipolos aparecen en cuerpos aislantes dieléctricos. A diferencia de lo que ocurre en los materiales conductores, en los aislantes los electrones no son libres. Al aplicar un campo eléctrico a un dieléctrico aislante éste se polariza dando lugar a que los dipolos eléctricos se reorienten en la dirección del campo disminuyendo la intensidad de éste. Es el caso de la molécula de agua, aunque tiene una carga total neutra (igual número de protones que de electrones), presenta una distribución asimétrica de sus electrones, lo que la convierte en una molécula polar, alrededor del oxígeno se concentra una densidad de carga negativa, mientras que los núcleos de hidrógeno quedan desnudos, desprovistos parcialmente de sus electrones y manifiestan, por tanto, una densidad de carga positiva. Por eso en la práctica, la molécula de agua se comporta como un dipolo. Así se establecen interacciones dipolo-dipolo entre las propias moléculas de agua, formándose enlaces o puentes de hidrógeno. La carga parcial negativa del oxígeno de una molécula ejerce atracción electrostática sobre las cargas parciales positivas de los átomos de hidrógeno de otras moléculas adyacentes. Aunque son uniones débiles, el hecho de que alrededor de cada molécula de agua se dispongan otras cuatro moléculas unidas por puentes de hidrógeno permite que se forme en el agua (líquida o sólida) una estructura de tipo reticular, responsable en gran parte de su comportamiento anómalo y de la peculiaridad de sus propiedades fisicoquímicas.

El dipolo eléctrico está constituido por dos cargas opuestas separadas una distancia d. Si usamos un sistema de referencia con origen en el punto medio entre las dos cargas y eje Z aquel que las contiene (dirigido hacia la positiva), la densidad volumétrica del sistema se representa mediante funciones delta:

Sustituyendo esta distribución en la fórmula para


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´p

se encuentra


es decir,

´p

se construye en este caso con el vector que va de la carga negativa a la

positiva, multiplicado por el valor absoluto de ambas cargas. El potencial de esta configuración para puntos lejanos (d << r) es entonces

En la figura adjunta se muestran las equipotenciales producidas por un dipolo, en unidades arbitrarias, para valores de potencial con incremento constante.

A partir de la figura también podemos hacernos una idea de cómo son las líneas del campo eléctrico dipolar, teniendo en cuenta que son perpendiculares a las equipotenciales y dirigidas hacia los potenciales decrecientes. El valor del campo dipolar en cada punto se calcula a partir del gradiente, con signo cambiado, del potencial encontrado,

Intentemos evaluar esta expresión de manera que sea independiente del sistema de coordenadas elegido. Podemos aplicar directamente las reglas de análisis vectorial, pero la operación se simplifica si antes elegimos un sistema de referencia para el cual uno de los ejes (pongamos el OX) coincide con la dirección del momento dipolar, es decir, ´p= p u´ x y trabajamos en cartesianas:

Por último identificamos en esta expresión los términos para obtener


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p u´⃗ x = ⃗´p

y

xp= ´p . r⃗


que ya no se restringe al uso de coordenadas cartesianas. El campo dipolar decae con la distancia como 1/r3, más rápidamente que el campo de una carga y posee simetría axial (no depende de φ). El estudio del dipolo eléctrico tiene gran importancia a la hora de construir una teoría macroscópica de los materiales dieléctricos, puesto que la unidad básica que los constituye (moléculas o iones ligados) es neutra y, a la vez, posee una distribución interna de cargas que se caracteriza por tener o adquirir un momento dipolar no nulo. 2.

Momento de un dipolo

Si se coloca un dipolo en un campo eléctrico ( ) uniforme, ambas cargas (+Q y -Q), separadas una distancia 2a, experimentan fuerzas de igual magnitud y de dirección contraria y , en consecuencia, la fuerza neta es cero y no hay aceleración lineal (ver figura (a)) pero hay un torque neto respecto al eje que pasa por O cuya magnitud está dada por:

Teniendo en cuenta que

y

, se obtiene:

Así, un dipolo eléctrico sumergido en un campo eléctrico externo , experimenta un torque que tiende a alinearlo con el campo:

Los vectores respectivos se muestran en la figura (b). Se define el momento dipolar eléctrico como una magnitud vectorial con módulo igual al producto de la carga q por la distancia que las separa d, cuya dirección va de la carga negativa a la positiva:

Para valores suficientemente bajos del módulo del campo eléctrico externo, puede probarse que el momento dipolar es aproximadamente proporcional a aquél. En efecto:

Siendo

la polarizabilidad electrónica.


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Debe hacerse trabajo (positivo o negativo) mediante un agente externo para cambiar la orientación del dipolo en el campo. Este trabajo queda almacenado como energía potencial U en el sistema formado por el dipolo y el dispositivo utilizado para establecer el campo externo. Si en la figura (a) tiene el valor inicial dipolo, está dado por:

, el trabajo requerido para hacer girar el

Teniendo en cuenta la igualdad (1):

Como solo interesan los cambios de energía potencial, se escoge la orientación de referencia de un valor conveniente, en este caso 90º. Así se obtiene:

lo cual se puede expresar en forma vectorial:

3. Momento dipolar de una distribución de carga Dos cargas puntuales iguales q y de signo contrario, separadas una distancia (colocada a lo largo del eje X) tienen un campo eléctrico dado por:

donde: es el ángulo formado por el vector de posición de un punto dentro del campo y el momento dipolar del par de cargas. es la distancia al centro del dipolo. Desarrollando la expresión anterior en desarrollo en serie de Taylor hasta primer orden se obtiene:


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Ignorando

frente a , teniendo en cuenta que

y que

y

escribiendo rotando a ejes generales se tiene:

4. INTERACCIÓN DE UN DIPOLO CON UN CAMPO EXTERNO. La energía de interacción de un dipolo con un campo externo se calcula simplemente como suma de las energías potenciales de las dos cargas constituyentes, haciendo uso de la interpretación física establecida para el potencial. Si la carga positiva se sitúa en

+¿ ´⃗r ¿

con

y la negativa en

⃗r

+¿ r´⃗ ¿ ¿ −¿ r´⃗ ¿ −¿ −¿ ´⃗r ¿ se tendrá +¿−´⃗r ¿ ´⃗r ¿ . ⃗ ∇V V¿ U=q ¿

y por tanto

el punto medio del dipolo. El error cometido en la aproximación es

despreciable si el tamaño del dipolo es pequeño en comparación con la longitud típica de variación del campo externo. Hay que recalcar que el potencial y el campo considerado es el producido por todas las cargas menos las del dipolo: no se trata de la energía electrostática del sistema, sino la de interacción campo externo-dipolo. La fuerza sobre el dipolo será

⃗ F =−⃗ ∇ U . Si hacemos uso de la identidad vectorial

que desarrolla el gradiente de un producto escalar y tenemos en cuenta que vector constante y que

⃗ E

⃗p

es un

es irrotacional (restringiéndonos al caso electrostático), se

tiene


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Si el campo es constante en la región donde está situado el dipolo, la aplicación del ⃗ operador escalar ⃗p . ∇ dará cero, lo cual es coherente con el hecho básico de que las fuerzas sobre dos cargas opuestas se cancelan.

El momento de la fuerza sobre el dipolo se calcula directamente:

+¿ r´⃗ ¿ ¿ −¿ r´⃗ ¿ ¿ −¿ +¿−´⃗r ¿ ´⃗r x ⃗ r) ¿ E (⃗ ⃗ −¿ x E ¿ +¿ x ⃗ E¿ ⃗ M =q r´⃗ ¿

y

finalmente

El campo produce un momento sobre el dipolo que tiende a alinear a ambos. Al mismo resultado se llega si relacionamos el momento de la fuerza eléctrica con una derivada angular de la energía de interacción.

5. FUERZA Y PAR DE TORSIÓN EN UN DIPOLO ELÉCTRICO Para comenzar con la primera pregunta, coloquemos un dipolo eléctrico en un campo eléctrico externo uniforme E, como se indica en la figura 1.2. Las fuerzas F+ y F_ en las dos cargas tienen una magnitud de qE, pero sus direcciones son opuestas y su suma es igual a cero. La fuerza neta sobre un dipolo eléctrico en un campo eléctrico externo uniforme es cero.


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1.2 La fuerza neta sobre este dipolo eléctrico es cero, pero hay un par de torsión dirigido hacia la parte interna de la página, que tiende a hacer girar el dipolo en el sentido horario. Sin embargo, las dos fuerzas no actúan a lo largo de la misma línea, por lo que sus pares de torsión no suman cero. Los pares se calculan con respecto al centro del dipolo. Sea el ángulo entre el campo eléctrico E y el eje del dipolo; entonces, el brazo de palanca tanto para F+ como para F_ es (d/2) sen φ. El par de torsión de F+ y el par de torsión de F_ tienen ambos la misma magnitud de (qE) (d/2) sen φ, y los dos pares de torsión tienden a hacer girar el dipolo en el sentido horario (es decir, en la figura 1.2, t se dirige hacia la parte interna de la página). Entonces, la magnitud del par de torsión neto es el doble de la magnitud de cualquier par de torsión individual:

donde d.sen φ. es la distancia perpendicular entre las líneas de acción de las dos fuerzas. El producto de la carga q y la separación d es la magnitud de una cantidad llamada momento dipolar eléctrico, que se denota con p:

Las unidades de p son de carga por distancia (C•m). Por ejemplo, la magnitud del momento dipolar eléctrico de una molécula de agua es p = 6.13 X 10-30 C• m. Además, el momento dipolar eléctrico se define como una cantidad vectorial p. La magnitud de p está dada por la ecuación, y su dirección ocurre a lo largo del eje dipolar, de la carga negativa a la carga positiva, como se muestra en la figura 1.2. En términos de p, la ecuación para la magnitud r del par de torsión ejercido por el campo se convierte en

Como en la figura 1.2 φ es el ángulo entre las direcciones de los vectores p y E, esto nos recuerda la expresión de la magnitud del producto vectorial que se estudió en la sección 1.10. (Quizás el lector desee repasar ese análisis.) Entonces, es posible escribir el par de torsión sobre el dipolo en forma vectorial como

Se puede utilizar la regla de la mano derecha para el producto vectorial, con la finalidad de verificar que en la situación que se ilustra en la figura 1.2, t se dirige hacia la parte interna de la página. El par de torsión es el máximo cuando p y E son perpendiculares, y es igual a cero cuando son paralelos o antiparalelos. El par de torsión siempre tiende a hacer que p gire para que se alinee con E. La posición φ= 0, con p paralelo a E, es una posición de equilibrio estable; mientras que la posición φ= π , con p y E antiparalelos, es Técnicas de Alta Tensión

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una posición de equilibrio inestable. La polarización de una semilla de césped en el aparato le da un momento dipolar eléctrico; entonces, el par de torsión que ejerce E ocasiona que la semilla se alinee con E y por ello con las líneas de campo. 6. ENERGÍA POTENCIAL DE UN DIPOLO ELÉCTRICO Cuando un dipolo cambia de dirección en un campo eléctrico, el par de torsión del campo eléctrico realiza trabajo sobre él, con el cambio correspondiente en su energía potencial. El trabajo dW realizado por un par de torsión r durante un desplazamiento infinitesimal dé está dado por: dW = r dφ Como el par de torsión está en la dirección en que é disminuye, debemos escribir el par de torsión como t = - p.E sen φ, y

En un desplazamiento finito de φ1 a φ2 el trabajo total realizado sobre el dipolo es

El trabajo es el negativo del cambio de energía potencial: W = U 1 - U2- Por lo tanto, se observa que una definición adecuada de la energía potencial U para este sistema es

En esta expresión se reconoce el producto escalar p-E = p.Ec os φ, por lo que también se puede escribir

La energía potencial tiene su valor mínimo U = - p.E (es decir, su valor más negativo) en la posición de equilibrio estable, donde φ = 0 y p es paralelo a E. La energía potencial es máxima cuando φ = π y p es antiparalelo a E; entonces U = +p.E. En φ = π/2, donde p es perpendicular a E, U es igual a cero. Por supuesto, es posible definir U de manera diferente para que valga cero en alguna otra orientación de p, pero nuestra definición es la más sencilla. 7. CAMPO EN UN DIPOLO ELÉCTRICO Ahora pensemos en un dipolo eléctrico como una fuente de campo eléctrico. ¿Cómo sería este campo? En cada punto de la distribución, el campo total E es la suma vectorial de los campos generados por dos cargas individuales. Se invita al lector a que intente dibujar diagramas que ilustren esta suma vectorial con respecto a varios puntos. Con la finalidad de obtener información cuantitativa sobre el campo de un dipolo eléctrico, tenemos que hacer algunos cálculos, como se ilustra en el siguiente ejemplo.


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Observe el uso del principio de superposición de campos eléctricos para sumar las contribuciones de las cargas individuales al campo. Asimismo, note que es necesario utilizar técnicas de aproximación aun para el caso relativamente sencillo de un campo originado por dos cargas. Es frecuente que los cálculos de campos sean muy complicados, por lo que es común usar análisis por computadora al determinar el campo debido a una distribución arbitraria de carga.

II.

POLARIZACIÓN 1. MODELO MICROSCOPICO DIPOLAR Entre cargas libres y ligadas, según el criterio de su posibilidad de movimiento dentro del material. Si la carga se encuentra asociada inequívocamente a un conjunto (molécula, ´átomo o ion), es decir, que no se separa de él ilimitadamente, decimos que se trata de una carga ligada. Un campo externo actúa también sobre este tipo de carga, deformando u orientando la estructura neutra a la que pertenece. Como ejemplo consideremos un átomo de hidrogeno. En ausencia de fuerzas eléctricas externas el ´átomo puede imaginarse como una carga positiva casi puntual en el núcleo (el protón) y una nube de carga negativa con simetría esférica rodeándolo (el electrón en su estado cuántico fundamental). Esta configuración produce un campo eléctrico nulo en su exterior. Cuando un campo eléctrico externo actúa sobre el ´átomo, el protón sufre una fuerza en la dirección y sentido del campo, mientras que la nube electrónica sufre una fuerza opuesta. El resultado es una pérdida de simetría esférica en la distribución, de manera que el propio campo producido por el ´átomo deja de ser nulo fuera de él. En consecuencia, los materiales aislantes responden a un campo externo modificando en mayor o menor medida su estructura y produciendo a su vez campos que debemos sumar al externo. El concepto de dipolo eléctrico, visto en el tema 3, es la base que nos permitirá describir el comportamiento de estos materiales. En el ejemplo visto del ´átomo de hidrogeno podemos llegar a la conclusión de que el campo eléctrico externo induce la formación de un dipolo. En efecto, en ausencia de campo externo la distribución de carga tiene un momento dipolar nulo debido a la simetría esférica, mientras que con campo aplicado aparece un momento dipolar, tanto mayor cuanto mayor sea la deformación producida en el sistema. El efecto se puede describir diciendo que el centro de cargas positivas (análogo al concepto de centro de masas) y el de cargas negativas no coinciden. Por otra parte, una vez eliminado el campo externo, el ´átomo vuelve a su estado original (puesto que las fuerzas puestas en juego son conservativas) y el dipolo desaparece. A este efecto, presente en todas las sustancias, se le denomina polarización inducida. También se induce polarización, es decir, separación entre los centros de carga positiva y negativa, al aplicar campos eléctricos a moléculas formadas por iones de distinto signo. Por ello es usual distinguir


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dentro de los fenómenos de polarización inducida entre la polarización electrónica y la polarización iónica, según se trate del primer caso o del segundo. El momento dipolar inducido es proporcional al campo aplicado: ⃗p=α ⃗ E

Siendo α la polarizabilidad. Si la estructura molecular no tiene simetría esférica α tiene carácter tensorial. Si el campo aplicado es muy intenso la relación deja de ser lineal, e incluso se puede llegar a la ionización de la molécula. 2. VECTOR POLARIZACIÓN ⃗ Se define el vector polarización P , como la densidad de momento dipolar por unidad

de volumen. Si en un material consideramos un elemento de volumen

Δτ centrado en

⃗r , en el que existen N moléculas con momentos dipolares ⃗p se tendrá

Esta expresión nos permite, como es habitual, pasar a un tratamiento de la materia como un Continuo y olvidarnos de los detalles microscópicos. La polarización se mide en el 2 Sistema Internacional en C /m .

Dado que el potencial que crea un dipolo situado en el origen es

El potencial que crea en un punto del cuerpo Polarizado

⃗r 1

⃗r una distribución

⃗ P ( r⃗ ) definida en cada punto

situado en una región del espacio

τ , se obtendrá sumando

los potenciales creados por cada elemento de volumen en que descomponemos τ :


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Esta expresión es válida en principio para puntos exteriores a la distribución de dipolos, puesto que en las cercanías de uno de ellos el potencial dipolar usado no es válido. De hecho, dentro del material el campo es extraordinariamente complicado, si tenemos en cuenta que su valor varía mucho espacial y temporalmente debido a los detalles microscópicos de distribución de la carga. Sin embargo es posible dar argumentos sencillos para demostrar que la fórmula anterior es válida también en el interior del material, entendiendo por campo en el interior un valor que es promedio espacio-temporal del campo microscópico en dicho punto. El potencial encontrado puede expresarse de otro modo manipulando el integrando. En particular tenemos en cuenta que

Y que por tanto, usando el desarrollo de la divergencia de una función escalar por una vectorial,

El integrando original da lugar a dos términos, donde uno de ellos es una divergencia, que integrada en el volumen τ se puede transformar en una integral de superficie definida en la frontera S τ :

Comparando esta expresión con la que proporciona el potencial de una distribución volumétrica de carga más otra superficial podemos interpretar que la polarización del material da lugar a una distribución volumétrica de carga en τ y una superficial en S τ , definidas por las expresiones

Donde n⃗ es el vector normal saliente definido en cada punto de la superficie del cuerpo polarizado. Dada la distribución de momentos dipolares definida mediante una ⃗ densidad volumétrica P , podemos sustituirla por distribuciones de cargas de polarización en volumen,

P ρ(P) ρ ¿ ), y superficie, S


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Aun cuando las cargas de polarización han aparecido en virtud de una manipulación matemática, Hay que advertir que se trata de cargas reales. Esto lo podemos ver con dos ejemplos sencillos: 1. Una placa de cierto espesor de material polarizado uniformemente en la dirección perpendicular a sus caras puede entenderse como una distribución de dipolos de igual valor orientados según esa dirección. Si cada dipolo se entiende como dos cargas opuestas, las capas de dipolos adyacentes a cada superficie del material producen distribuciones de carga superficial, positiva a la derecha y negativa a la izquierda (ver figura) cuyo valor podemos estimar a partir de un ⃗ cálculo sencillo: el momento dipolar de una porción de tubo de campo de P es

P ΔSd , que puede ser entendido como un solo dipolo de valor

tanto

q=P ΔS y la densidad superficial resulta

qd ; por

(P)

ρS =P . En cambio las

cargas en el interior del material se cancelan, usando las cargas positivas y negativas de dipolos de capas contiguas. Esto está de acuerdo con la aplicación ⃗ de las formulas propuestas, puesto P que si es uniforme su divergencia es nula y en efecto se predice

ρ(P)=0 , mientras queen la superficie la fórmula

⃗ P , n⃗ conduce a distribuciones superficiales de signo correcto y valor absoluto P .

2. Si ahora, considerando la misma geometría, la polarización crece desde una superficie a la otra, el momento dipolar en cada capa crece con la distancia a la superficie de la izquierda y no hay compensación completa entre las cargas positivas de una capa y las negativas de la siguiente. En los dos ejemplos que acabamos de comentar se ha optado por una de las muchas formas en que podemos agrupar las cargas ligadas; ello debe entenderse por tanto como argumento plausible (y no demostración) que da sentido físico a las distribuciones de carga macroscópicas que sustituyen a la distribución de dipolos.


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La carga total de un cuerpo aislante polarizado debe ser nula (salvo que se deposite carga libre por algún método). Esto implica que la suma de cargas en superficie y en volumen dará cero. En efecto,

3. VECTOR DESPLAZAMIENTO Si escribimos la ley de Gauss distinguiendo los tipos de densidades de carga que conocemos resulta

Donde

ρ

(f )

es la densidad de carga libre y ρ

(p )

la de polarización. Usando la

definición de esta última queda

Multiplicando todo por ϵ 0 y pasando el termino de divergencia del segundo al primer miembro podemos escribir

⃗ Si definimos un nuevo campo vectorial, D según la fórmula

La ley de Gauss se reescribe sencillamente

Al vector

⃗ D

se le denomina desplazamiento eléctrico, o simplemente vector

desplazamiento. No se trata de una magnitud medible directamente, sino más bien un campo auxiliar que facilita la formulación del problema eléctrico en presencia de medios polarizables. El nuevo aspecto de la ley de Gauss no debe llevar a la conclusión de que la polarización no interviene en las fuentes del campo eléctrico. Para ello no hay más que


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considerar un problema electrostático, para el cual

⃗ E es irrotacional. En este caso se

tiene

⃗ D posee fuentes vectoriales relacionadas con la polarización. ⃗ Sin embargo en algunas situaciones en que el rotacional de P es nulo, y en particular

Es decir,

en muchas situaciones de alta simetría,

⃗ D se obtiene inmediatamente a partir de la

nueva ley de Gauss en forma integral:

(f )

Donde q

es la carga libre encerrada por la superficie gaussiana SG

Esta ley integral permite discutir el comportamiento de

⃗ D al pasar a través de una

distribución superficial de carga. Siguiendo un procedimiento totalmente análogo al que ⃗ nos permitió deducir la condición ⃗n ·[¿ E ]= ρ S/ ε0 , encontramos una condición de salto para la componente normal del vector desplazamiento, que ahora se relaciona solo con la densidad superficial de carga libre:

También se llega a esta condición a partir de la del salto en fórmula de definición

⃗ D =ε 0 ⃗ E+ ⃗ P , que

⃗ E simplemente usando la

) ρ S=ρ(fS )+ ρ(P S y que

⃗ n ρ(P) S =P . ⃗

aunque hay que tener la precaución de considerar la carga superficial de polarización a un lado y a otro de la distribución de carga libre. Al discutir los mecanismos de polarización de moléculas de material dieléctrico hemos visto que la polarización del material debe relacionarse con la existencia de un campo externo que, o bien induce la formación de dipolos, o bien produce la orientación preferente de dipolos ya existentes en la dirección de dicho campo. A una ley ⃗ ⃗ fenomenológica que determine la relación entre P y E se la denomina la relación constitutiva del material. Esta relación puede ser muy complicada para ciertos tipos de


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material, pero en muchos casos la relación es de simple proporcionalidad. Si el material es lineal, isótropo y homogéneo Donde al escalar

xe

se le denomina susceptibilidad eléctrica, propia de cada

material. Comentamos a continuación el origen de los tres adjetivos usados:  Es lineal cuando la susceptibilidad se puede definir y es independiente del campo eléctrico. En general, como ya hemos comentado, la linealidad es cierta para campos moderados. Existen sustancias, sin embargo, que incluso para campos pequeños no admiten una relación Lineal, y ni siquiera se puede establecer una ley matemática ⃗ para su comportamiento, puesto que el valor de P en cada punto depende de la historia del material, es decir, de los sucesivos valores que ha adquirido previamente el campo eléctrico en ese punto. Estos son los materiales ferro eléctricos. No vamos a extendernos en su descripción porque en el próximo capítulo tendremos ocasión de analizar los materiales ferro magnéticos, que presentan características análogas y de mayor importancia práctica.  Es isótropo cuando

⃗ P

y

⃗ E

son colineales, sea cual sea la orientación del

último. Un fluido normal siempre se comporta de manera isótropa, puesto que sus moléculas tienen libertad para orientarse. En cambio en sólidos con estructura cristalina a veces es posible encontrar comportamientos anisótropos. En tales casos la susceptibilidad tiene carácter tensorial, de manera que su aplicación al vector ⃗ E produce otro vector que no va en general en la misma dirección.  El material es homogéneo cuando la susceptibilidad no depende de la posición. Esto ocurre cuando las características microscópicas y termodinámicas (temperatura, composición, etc.)son las mismas en cualquier punto del material. En definitiva, la homogeneidad en sentido termodinámico conduce a la homogeneidad en sentido eléctrico. Para completar esta clasificación debemos mencionar los electrotes, o cuerpos que presentan una polarización permanente en ausencia de un campo externo aplicado. Existen otros materiales con propiedades aún más complejas, cuya polarización depende también del valor del campo magnético existente. Actualmente se siguen descubriendo materiales con nuevas e interesantes propiedades desde el punto de vista electromagnético (materiales ópticamente activos, cristales nematicos, etc.), lo cual hace que sea esta un área en continuo desarrollo.

III.

BIBLIOGRAFÍA


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Páginas Web     

http://www5.uva.es/emag/proyectoEMAG/html/dipolos/dipolo.html http://www.uv.es/cantarer/ffi/dipolo.pdf http://www.uclm.es/profesorado/maarranz/Documentos/alumnosmateriales0506/ G1-ppt1111.pdf http://www.esi2.us.es/DFA/FFII/Apuntes/Curso%200708/tema3.pdf http://electricidad.usal.es/Principal/Circuitos/Diccionario/Diccionario.php? b=id:73


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Trabajo Dipolo Electrico y Polarizacion

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