FACULTADDE INGENIERÍA ELÉCTRICA METODOS NUMERICOS INFORME DE TRABAJO PRIMER PARCIAL
TEMA: “DESCRIPCCION DE LOS METODOS NUMERICOS Y PROBLEMAS DE CADA CASO”. ALUMNOS:
DAVID CATAGNIA. MANCHAY DIEGO. .
.
.
FECHA DE ENTREGA: 13 DE NOVIEMBRE DEL 2014 PERÍODO ELECTIVO: OCTUBRE 2014- FEBRERO 2015
CALIFICACIÓN:
.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA MÉTODOS NUMÉRICOS INFORME INGENIERIA ELECTRICA
METODOS NUMERICOS INFORME Alumno: David Catagnia e-mail:
[email protected]
Alumno: Diego Manchay e-mail:
[email protected] 1. RESUMEN:
5. M ARCO TEORICO
Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y 5.1. Método de Bisección científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar El objetivo es buscar la raíz de una función, tomando un intervalo correctamente el software existente para dichos métodos y no solo inicial y reduciendo gradualmente a la mitad este, hasta hallar una aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios aproximación o la raíz que satisface la función, Este método plantea que si se cumple que: científicos básicos. f(x) es real y continua en el intervalo que va desde un Xi hasta
un Xs
2. PALABRAS CLAVE: Métodos Numéricos, Matemáticas de ingeniería, Matlab
f(Xi) f(Xs)<0
ABSTRAC: Numerical methods make us unfit to understand numerical schemes to solve mathematical problems in engineering and computer science, reduce basic numerical schemes, write programs and solve them on a computer and correctly use existing software for these methods and not only increases our ability to use computers but also extensive mathematical expertise and comprensi6n of basic scientific principles.
Si se cumple lo anterior, por lo menos existe una raíz dentro de este intervalo. El procedimiento del seudocodigo es el siguiente:
KEYS WORK : Numerical Methods, Engineering Mathematics,
Matlab.
3. OBJETIVO GENERAL:
Tener presente el manejo de los diferentes métodos numéricos en Matlab.
3.1 Obj etivos Especí f icos:
Interpretar la representación de los diferentes tipos de metodos numericos Identificar a cada metodo con su debido proceso. Identificar cada tipo de componentes de cada metodo para su aplicacion. Relaizar los ejercicios planteados utilizando diferentes metodos como indica el problema. Utilizar un paquete informatico (MATLAB) para la respectiva realizacion de los ejemplos.
4. INTRODUCCION El presente artículo da a conocer ciertos conceptos de los diferentes métodos numéricos que debemos saber para poner en práctica en nuestro programa realizado en Matlab , la cual va a proporcionar una facilidad al momento de realizar cualquier tipo de ejercicio que requiera del mismo ,así permitiendo la interacción entre el usuario y los servicios que ofrece nuestra programación.
Fig.1:Pseudocodigo metodo de biseccion
MÉTODOS NUMÉRICOS Campus Kennedy
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA MÉTODOS NUMÉRICOS INFORME INGENIERIA ELECTRICA
Se elige un intervalo inicial para función f(x)
Luego se busca localizar la raíz con mayor exactitud dentro del intervalo dividiendo a la mitad y observando si se conservan las condiciones iniciales.
Se compara el Xmed con cada uno de los límites del intervalo y
Si se tiene dos puntos (a,f(a)) y(b, f(b)) y se traza la recta que une a estos dos puntos, se puede observar que un punto está por debajo del eje x y otro por encima de este, y un punto intermedio (Xm,0), con este punto intermedio se puede comparar los límites y obtener un nuevo intervalo.
se observa que producto cambia de signo y se asigna un nuevo intervalo.
intervalo hasta llegar a una aproximación de la raíz o la raíz
Si f(A) y f(B)<0, entonces la raíz se encuentra al lado izquierdo del intervalo.
Se vuelve a repetir el proceso, y se va poniendo pequeño el
exacta.
Si f(A) y f(B)>0, entonces la r aíz se encuentra al lado derecho del intervalo.
Al aplicarse el método se puede apreciar que la aproximación a la raíz mejora cada vez que el intervalo se hace más pequeño. [1] 5.2. Método de la Regla Falsa. Encontrar la intersección de una recta conformada por los puntos a y b con el eje x, y obtener nuevos intervalos más pequeños, lo la cual permite una aproximación a una raíz.
Este método conserva todas las características y condiciones que posee el método de bisección, excepto por la forma de calcular el punto intermedio del intervalo. Para aplicar el método se debe tener en cuenta:
Para hallar la intersección de la recta con el eje X usamos la siguiente fórmula: Xm= a - ((f(a)*(b - a))/(f(b) - f(a))) [2] 5.3. Método de Punto Fijo
Buscar una raíz de una función a partir de un valor inicial, una tolerancia y un número de iteraciones, para este caso no es necesario tener un intervalo. A partir de una ecuación F(X)=0 se genera una ecuación X=g(X), a la cual se le busca una solución, y se debe tener en cuenta lo siguiente.
Se busca un valor de X que al reemplazarlo en g, el resultado sea X.
Se debe elegir una aproximación inicial Xo
Se calcula X1=g(Xo) Y se repite el paso anterior hasta llegar a una aproximación. [3]
A continuacion tenemos el seudocodigo de este metodo
Fig.3:Pseudocodigo metodo de Punto Fijo
Fig.2:Pseudocodigo metodo de Falsa Posicion MÉTODOS NUMÉRICOS Campus Kennedy
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA MÉTODOS NUMÉRICOS INFORME INGENIERIA ELECTRICA
5.4. M é todo de Newton Buscar una raíz de una función a partir de un valor inicial, una tolerancia y un número de iteraciones, para este caso no es necesario tener un intervalo. El método de newton por su rapidez y efectividad, es uno de los métodos más utilizados; este método es una variable del método de punto fijo, por lo cual se debe calcular una función g , esta función g se puede cal cular de la forma:
Se calcula X2= Expresión ---------- Xn = Expresión (n-1)
Y se repite el paso anterior hasta llegar a una aproximación. [5]
El seudocodigo se muestra en la figura 5
g(X) = X – (f(X)/f ‘ (x))
Una vez definida la función g, se debe realizar los siguientes pasos, como en el método de punto fijo.
-Se debe elegir una aproximación inicial Xo
-Se calcula X1=g(Xo)
-Se calcula X2=g(X1)
-.............. Xn=g(Xn-1)
Y se repite el paso anterior hasta llegar a una aproximación de la raíz. [4]
Fig.5:Pseudocodigo metodo de la Secante 5.6. Método de Raíces Múltiples
Buscar una raíz de una función a partir de un valor inicial, una tolerancia y un número de iteraciones, para este caso no es necesario tener un intervalo. Una de las condiciones para garantizar la convergencia del método de Newton es que f ´(Xv) tiene que ser di ferente de cero . Si al ejecutar el método de Newton se observa que f´(xn) se aproxima a cero, la rapidez del método disminuye y hay una posible raíz múltiple.
Fig.4:Pseudocodigo metodo de Newton 5.5. Método de la secante.
Buscar una raíz de una función a partir de dos valores iniciales, una tolerancia y un número de iteraciones, para este caso no es necesario tener un intervalo. El método de la secante se define como una variante del método de Newton. A partir de la ecuación iterativa que define el método de Newton, se sustituye la derivada por una expresión que la aproxima: X2 = X1 – ((f(X1)*(X1-Xo))/(f(X1)-f(Xo))
El método de raíz múltiple también es conocido como el método de Newton mejorado, y básicamente su estructura es muy similar excepto que se debe hallar la segunda derivada y se debe tomar ende cuenta la siguiente expresión: Xn+1 = Xn – ((f(Xn)*f´(Xn))/((f`(Xn)^2 - (f(Xn)*f´´(Xn))) Una vez definida la expresión anterior, se procede de una forma similar al método de Newton
Se debe elegir una aproximación iniciales X0
Se calcula X1= Expresión ---------- Xn = Expresión (n-1)
Y se repite el paso anterior hasta llegar a una aproximación. [6]
Se debe elegir dos aproximaciones iniciales X1 y X0 MÉTODOS NUMÉRICOS Campus Kennedy
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA MÉTODOS NUMÉRICOS INFORME INGENIERIA ELECTRICA
El Seudocodigo del metodo de las raizes multiples se presenta a continuacion.
Resuelva para la profundidad crítica con el uso de los métodos a) gráfico, b) bisección, y c) falsa posición. En los incisos b) y c), haga elecciones iniciales de xl = 0.5 y xu = 2.5, y ejecute iteraciones hasta que el error aproximado caiga por debajo del 1% o el número de interaciones supere a 10. Analice sus resultados.
METODO DE LA BISECCION Fig.6:Pseudocodigo metodo de Raices Multiples
5.15- Se carga una viga de la manera que se aprecia en la figura P5.14. Emplee el método de bisección para resolver la posición dentro de la viga donde no hay momento.
Figura P5.14 5.16 Por un canal trapezoidal fluye agua a una tasa de Q = 20 M3/s. La profundidad crítica y para dicho canal satisface la ecuación.
Donde g = 9.81m/s2, Ac = área de la sección transversal (m2), y B = ancho del canal en la superficie (m). Para este caso, el ancho y el área de la sección transversal se relacionan con la profundidad y por medio de MÉTODOS NUMÉRICOS Campus Kennedy
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA MÉTODOS NUMÉRICOS INFORME INGENIERIA ELECTRICA
La Solucion es : 1. 5078
MÉTODOS NUMÉRICOS Campus Kennedy
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA MÉTODOS NUMÉRICOS INFORME INGENIERIA ELECTRICA
Donde V = volumen [m3], h = profundidad del agua en el tanque [m], y R = radio del tanque [m]. Si R = 3m, ¿a qué profundidad debe llenarse el tanque de modo que contenga 30 m3? Haga tres iteraciones con el método de la falsa posición a fin de obtener la respuesta. Determine el error relativo aproximado después de cada iteración. Sea despejando la ecuacion igual a:
Figura 7.2 ejecucion del ejercicio grafico de matlab
EL CODIGO DE PROGRAMACION SE ENCUENTRA EN ANEXADO EN ESTE INFORME 5-17 Suponga el lector que está diseñando un tanque esférico (véase la figura P5.16) para almacenar agua para un poblado pequeño en un país en desarrollo. El volumen de líquido que puede contener se calcula con
La solucion es: 2.027 m de profundidad
MÉTODOS NUMÉRICOS Campus Kennedy
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA MÉTODOS NUMÉRICOS INFORME INGENIERIA ELECTRICA
( )
EL CODIGO DE PROGRAMACION SE ENCUENTRA EN ANEXADO EN ESTE INFORME 6-18 El balance de masa de un contaminante en un lago bien mezclado se expresa así:
Dados los valores de parámetros V = 1 . 106 m3, Q = l . 10E5 m3/año y W = l . 10E6 g/año, y k = 0.25 mE0.5/año, use el método de la secante modificado para resolver para la concentración de estado estable. Emplee un valor inicial c = 4 g/m3 y d = 0.5. Realice tres iteraciones y determine el error relativo porcentual después de la tercera iteración. Sea un sistema balanceado: Los problemas de balances de masa se pueden dividir en dos clases: los que estan en estado estacionario y los que estan en estado no estacionario. Un estado estacionario es aquel en el que las concentraciones y el volumen no cambian con el tiempo: la concentraciòn y caudal de entrada son constantes y el caudal de salida es constante e igual al de entrada, y por lo tanto la concentraciòn en la regiòn de control del volumen es constante. Asì pues, para los sistemas estacionarios : dm/dt = 0. Los estados no estacionarios son aquellos en los que los caudales de entrada o salida comienzan o paran en un cierto momento, o la concentraciòn de entrada varìa de un momento a otro, o hay variaciòn de volumen en la regiòn de control de volumen. Para los sistemas no estacionarios: dm/dt 0, de modo que la acumulaciòn mide la variaciòn de la cantidad de materia en relaciòn al tiempo.
Sea un sistema estacionario entonces tenemos:
√
EL CODIGO DE PROGRAMACION SE ENCUENTRA EN ANEXADO EN ESTE INFORME 6-29. Utilice el método de la secante de la función círculo (x + 1) 2 + (y - 2) 2 = 16 para encontrar una raíz real positiva. Establezca su estimación inicial de xi = 3 y xi-1 = 0,5. Acercarse a la solución de la primera y cuarto cuadrantes. Cuando la solución de f (x) en el cuarto cuadrante, será Asegúrese de tomar el valor negativo de la raíz cuadrada. ¿Por qué su solución divergen?
<<<<<< Método Secante >>>>>> Ingrese la función: f(x)= sqrt(16-(x+2)^2)+2 Ingrese el intervalo inferior Xo: 0.5 Ingrese el intervalo superior X1: 3 Ingrese el valor de la tolerancia: 0.01 i xi x1 f(xi) error 0 0.5000 3.0000 5.1225 -----1 3.0000 2.6327 4.9802 1.0000 2 2.6327 3.8282 2.9695 5.9116 3 3.8282 1.0877 5.8887 5.2170 4 1.0877 4.7952 4.7117 6.1663 5 4.7952 1.0066 6.7689 7.3873 6 1.0066 6.9651 5.8877 7.0927 7 6.9651 0.1276 7.0763 10.0782 MÉTODOS NUMÉRICOS Campus Kennedy
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA MÉTODOS NUMÉRICOS INFORME INGENIERIA ELECTRICA
8 9 10 11
0.1276 6.7140 9.0919 7.2256 6.7140 -0.2633 7.5719 12.2054 -0.2633 8.3736 12.0255 7.6768 8.3736 -0.7903 7.5919 15.6189
El resultado será: -0.790279 6-30 Suponga el lector que está diseñando un tanque esférico (véase la figura P5.16) para almacenar agua para un poblado pequeño en un país en desarrollo. El volumen de líquido que puede contener se calcula con
Converje mejor con el metodo de secante por que con menos iteracciones llegamos al error buscado.
EL CODIGO DE PROGRAMACION SE ENCUENTRA EN ANEXADO EN ESTE INFORME Donde V = volumen [m3], h = profundidad del agua en el tanque [m], y R = radio del tanque [m]. Si R = 3m, ¿a qué profundidad debe llenarse el tanque de modo que contenga 30 m3? Haga tres iteraciones con el método de la falsa posición a fin de obtener la respuesta. Determine el error relativo aproximado después de cada iteración. Sea despejando la ecuacion igual a:
6-31. La ecuación de Manning se puede escribir para un abierto rectangular canal como
Donde Q = caudal [m3 / s], S = pendiente [m / m], H = Profundidad [m], y n =0.03 el coeficiente de rugosidad de Manning. Desarrollar un punto fijoiteración esquema para resolver esta ecuación para H dada Q = 5, S = 0,0002, B = 20, y n = 0,03. Demostrar que su esquema converge para todos conjeturas iniciales mayores que o igual a cero.
La respuesta es: h = 2.026 m
MÉTODOS NUMÉRICOS Campus Kennedy
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA MÉTODOS NUMÉRICOS INFORME INGENIERIA ELECTRICA
II.
REFERENCIAS
III.
Reportes encontrados en la web
II. REFERENCIAS [1] «PROCESOS NUMERICOS,» [En línea]. Available: https://sites.google.com/site/pn20111/home/metodoscerrados/3-1-metodo-de-biseccion. [Último acceso: 12 11 2014]. [2] «PROCESOS NUMERICOS,» [En línea]. Available: https://sites.google.com/site/pn20111/home/metodoscerrados/3-2-metodo-regla-falsa. [Último acceso: 13 11 2014]. [3] «PROCESOS NUMERICOS,» [En línea]. Available: https://sites.google.com/site/pn20111/home/4-metodosabiertos/4-1-metodo-de-punto-fijo. [Último acceso: 13 11 2014]. [4] «PROCESOS NUMERICOS,» [En línea]. Available: https://sites.google.com/site/pn20111/home/4-metodosabiertos/4-2-metodo-de-newton. [Último acceso: 13 11 2014]. [5] «programacion numerica,» [En línea]. Available: https://sites.google.com/site/pn20111/home/4-metodosabiertos/4-3-metodo-de-la-secante. [Último acceso: 13 11 2014]. [6] «PROGRAMACION NUMERICA,» [En línea]. Available: https://sites.google.com/site/pn20111/home/4-metodosabiertos/4-4-metodo-de-raices-multiples. [Último acceso: 13 11 2014].
CONCLUSIONES -El método de la Bisección converge lentamente, lo que genera la propagación de error por la cantidad de operaciones e iteraciones necesaria para que el método converja. -Para las búsquedas incrementales es de gran importancia saber elegir el valor del incremento, pues de este depende que el método tenga gran eficiencia o no. -Para los métodos cerrados es necesario garantizar que dentro del intervalo de entrada la función sea continua y que este contenga una raíz. -Para los métodos aciertos es necesario garantizar que la función sea continua. -El método de Newton se va volviendo lento cuando la derivada de la función tiende a 0. -Los métodos abiertos convergen de una manera más rápida que los métodos cerrados. -En los métodos cerrados, en ocasiones el método de la regla falsa puede volverse lento, por lo que se prefiere bisección. I. AGRADECIMIENTOS Quiero agradecer al Ingeniero Edith Alexander Muñoz Rios por su atención en el trabajo y por la ayuda de las clases y las bases que él nos ha fomentado nos ha ayudado para comprender claramente el deber enviado, además agradecerle por tomarse el tiempo de revisar este trabajo
1. BIOGRAFIA:
Cristian Mauricio Ayala Criollo, nació en la parroquia de González Suárez del cantón Otavalo, provincia de Imbabura en Ecuador, el 13 de Agosto de 1984. Realizó sus estudios primarios en la Escuela Simón Bolívar. Realizó sus estudios secundarios en el Instituto Técnico Superior Otavalo donde, se graduó como Físico Matemático en julio de 2002. En abril del 2008, se graduó como Técnico Superior Informático en el SECAP. Estudió Ingeniería Electrónica y Redes de Información en la Escuela Politécnica Nacional, hasta el 6 semestre, retirándose de sus estudios por fuerza mayor en diciembre de 2010. Actualmente se halla estudiando Ingeniería Eléctrica en la Universidad Politécnica Salesiana, campus Kennedy en 6 semestre. Trabajó como suboperario en logística del COTRAN sección de inteligencia de las Fuerzas Armadas del Ecuador, así como docente de la Unidad Educativa a distancia Eugenio Espejo, en Ibarra-Ecuador, y docente del SECAP, en Otavalo-Ecuador. Áreas de interés: diseño gráfico, informática y redes, automatización y control industrial, domótica, iluminación, Smart Home, música instrumental. (
[email protected])
MÉTODOS NUMÉRICOS Campus Kennedy
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA MÉTODOS NUMÉRICOS INFORME INGENIERIA ELECTRICA
Diego Guillermo Manchay Chasipanta, Nació en Otavalo, el 16 de Mayo de 1989. Sus estudios secundarios los realizó en el Colegio Experimental Jacinto Collahuazo y obtuvo el título de bachiller en ciencias: especialidad Físico matemático en el año 2008. Los estudios universitarios los curso en la Escuela Politécnica Nacional. Egresado de Tecnólogo Electromecánico en el 2012.
10. ANEXOS: EJERCICIOS:
Figura 10.2.
Respuesta: Una función dada de s siempre puede representarse por un diagrama de polos y ceros, que es la representación con las pequeñas cruces y círculos en el plano s que localizan los polos y los ceros. La función. [1]
tiene un cero en s = -3 y polos en j2 y -j2. Por consiguiente, su diagrama de polos y ceros es el de la figura [1]
Figura 10.1.
Recíprocamente, si se da un diagrama de polos y ceros, es fácil determinar la función de s correspondiente. Por ejemplo, supóngase que se da la figura 1.19. Hallando los ceros primero, el cero s = 1 produce un factor (s -1) que será colocado en el numerador. El cero en s = -2 srcina el factor (s + 2) que será otro del numerador, mientras que el polo s = j da lugar a un factor (s – j) y el polo s = -j produce otro (s + j), perteneciendo ambos al denominador. Reuniendo los factores se tiene:
que puede expresarse como:
Los diagramas de polos y ceros son de especial importancia en el análisis de redes R-L-C y los usaremos constantemente Ejemplo: Determinar la función F(s) que corresponda al diagrama de polos y ceros de la figura
MÉTODOS NUMÉRICOS Campus Kennedy
