MÉTODO DE LOS TRES MEMENTOS
MÉTODO DE LOS TRES MEMENTOS INTRODUCCIÓN En la ingeni ingenierí ería a se prese presenta ntan n prob problem lemas as relac relacion ionad ados os con el cálcul cálculo, o, o la simplifcación simplifcación del mismo con respecto a los momentos ectores ectores en una viga de es estu tudi dio. o. Co Con n la apli aplica caci ción ón de una una órm órmul ula a que que relac elacio iona na los los dato datoss de la situac situación ión del probl problema ema,, direct directam ament ente e (con (con una ecuaci ecuación ón ma matem temáti ática) ca),, se puede determinar a renglón seguido el comportamiento de la viga. El problema que enrentan los ingenieros ingenieros en el cálculo de vigas que tienen más de dos apoos, reside en la indeterminación indeterminación de las variables en superioridad de las ecuaciones aportadas por la Estática la !esistencia de "ateriales. #ue es el caso particular que se e$plicará en relación con el m%todo de los tres momentos las vigas continuas. & trav%s de este traba'o de investigación para fnes e$positivos, se resumirá con algunos e'emplos básicos, la resolución de problemas de ingeniería, con la t%cnica matemática el contenido teórico que respalda el desarrollo operativo del m%todo de los tres momentos para vigas , que no pueden ser analiadas en otros m%todos, dada su indeterminación o su comportamiento iperestático. *e paso se resumirán resumirán los conceptos precedidos para el análisis compresivo compresivo del m%todo m%todo.. +e estará estará en contacto contacto con la defnici defnición ón de las ases de una viga continua, los principios de iperestaticidad, diagramas de ueras e$iones la propia deormación analiada en vigas continuas. uscando signifcados a los datos recolectados para la ormulación del traba'o, e$iste una relación entre la palabra eca deormación de una viga. +e e$plica este concepto, con tal de que no se conunda su signifcado, así como otros. -as gráfcas que presentan a las vigas en sus condiciones de apoo sumisión a cargas, revelan que que se necesitará previamente previamente desarrollar desarrollar bosque'os bosque'os para indicar el u'o del momento, cortante e$ión sobre la viga. Estos esquemas gráfcos proporcionarán datos valiosos en la operatividad del m%todo.
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-a utiliación de vigas continuas en la ingeniería civil es mu recuente, por e'emplo en puentes, pórticos, or'ados, carriles de errocarril, tuberías, etc. -o que no le resta importancia en su estudio. -a viga continua nos dará pie a las defniciones más adelante, pero mientras, es 'usto que se comprenda que puede tratarse como una tipología particular de estr estruc uctu tura ra retic eticul ulad ada a de plan plano o me medi dio, o, ca capa pa de sopo soport rtar ar esu esuer ero os, s, princ principa ipalme lmente nte de e$ión e$ión cua cua caract caracterí erísti stica ca mas impor importan tante te es la de disminuir los momentos en relación con los que se producen en vigas similares de tramos simplemente apoados. Eso 'ustifca su uso, en este caso, su estudio. El teorema general de los tres momentos más que un teorema es una órmula que relaciona los tres momentos en tres apoos de una viga continua, que nos es mu /til en el cálculo de momentos en estos apoos. &demás, este m%todo nos simplifca el proceso de cálculo de los momentos ectores con los cuales se procede al traado de los a conocidos0 *"1 *1C. Con la aplicación directa de la órmula, el proceso se simplifca se vuelve un proceso netamente matemático rápido de desarrollar ácil de interpretar.
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GENERALIDADES
A) OBJETIVOS
&nálisis de vigas estáticamente indeterminadas ó iperestáticas por medio de la EC3&C456 *E -7+ 8!E+ "7"E687+, m%todo particular de e$ibilidad, cuas incógnitas son las ueras, en este caso, los
momentos ectores en los apoos. Calculo de desplaamientos rotaciones en vigas aplicando dico
m%todo. *esarrollar en el estudiante la capacidad de analiar el tipo de problemas de dee$ión en vigas aplicando el m%todo de los tres
momentos. &prender a utiliar este m%todo para que nos sea más ácil diagramar los cortantes momentos ectores que se producen en una viga sometida a
cargas e$ternas. Conocer más de este m%todo, para tener el conocimiento de traba'ar con
estructuras iperestáticas. 9oder resolver e'ercicios con vigas de más de dos tramos en poco tiempo.
JUSTIFICACIÓN -a ecuación de los tres momentos e$presan una relación entre los momentos ectores en tres puntos cuales quiera de una viga cualquiera.
B) LIMITACIONES
Estructuras iperestáticas comple'as de varios tramos, donde se
requieren más ecuaciones para poder resolverlas. Cálculo de los diagramas de ueras internas. :
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8eoría un poco escasa, pero con los e'ercicios se aprenderá.
C) GLOSARIO
Comportamiento e!"ti#o$ El comportamiento elástico de un material nos brinda el conocimiento de cómo se comporta un material al estar sometido por cargas e$ternas, a continuación un ensao de tracción que
nos grafcará este comportamiento Vi%a$ -a viga es el elemento estructural utiliado para cubrir espacios, soportando el peso colocado encima del elemento mediante la resistencia a las ueras internas de e$ión corte.
Vi%a" Contin&a"$ -as vigas continuas son vigas que tienen más de dos apoos. 6ormalmente se utilian cuando los vanos a cubrir son grandes.
M'to(o" para (eterminar a (eorma#i*n en +i%a"$ +e utilian varios m%todos para determinar la deormación en vigas (doble integración, superposición, área de momentos, viga con'ugada, rigide directa, elementos fnitos etc.;), todos están basados en los mismos principios pero diferen en su t%cnica ob'etivos.
S&perpo"i#i*n$ Como m%todo alternativo para la evaluación de pendientes ordenadas de la elástica se pueden utiliar los resultados de algunos tipos sencillos de cargas, para obtener por suma de eectos, las soluciones correspondientes a cargas más complicadas. Este procedimiento llamado superposición, determina la pendiente dee$ión en un punto mediante la suma de las pendientes o dee$iones producidas en ese mismo punto, por cada una de las cargas cuando act/an por separado (+inger 9tel, <=2).
Di"e,o por ri%i(e- en +i%a" (e a#ero$ 9ara las estructuras de acero, la dee$ión es un estado límite de servicio, no de resistencia, por lo que las dee$iones deben siempre calcularse con cargas de servicio. 9ara el >
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cálculo de la eca se emplea el módulo de elasticidad del acero el momento de inercia del perfl, la eca má$ima se compara con los valores admisibles para estructuras de acero.
F&er-a #ortante$ 9ara mantener el equilibrio sobre el segmento de la viga, se debe incluir la uera ?, que act/a perpendicular al e'e se denomina uera cortante. -a uera cortante es igual a la suma de todas las ueras verticales que act/an en la porción aislada ubicada en el lado iquierdo.
Momento .e#tor$ &sí como la uera cortante equilibra las ueras verticales, tambi%n se debe establecer un equilibrio en los momentos asta la sección evaluada de las ueras aplicadas sobre la viga en el segmento analiado. Este momento interno se denomina momento ector la magnitud es igual a la suma de los momentos sobre la sección de corte, producidos por las ueras aplicadas en la porción de la iquierda.
MARCO TEÓRICO @
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El ingeniero ranc%s Claperon en =@AB enunció por primera ve la ecuación undamental de los tres momentos. -a ecuación de los tres momentos es aplicable a tres puntos cualquiera de un viga, siempre que no aa discontinuidades, tales como articulaciones, en esa parte de la estructuraD. Entonces, este m%todo sirve para allar los momentos en los apoos de una viga iperestática, o en puntos característicos o notables de la viga. &l aplicar la ecuación undamental de los tres momentos, a tres puntos de apoo consecutivos i, ', , los t%rminos del corrimiento del segundo miembro de la ecuación serán nulos o iguales a movimientos conocidos de los puntos de apooB obteniendo de esta manera una ecuación que contiene, como /nicas incógnitas, a los momentos en los apoos. Esto signifca, que podemos escribir una ecuación en orma independiente, para tres puntos de apoo consecutivos en una viga continua. *e esta manera, se llega a un sistema compatible nD ecuaciones independientes con nD incógnitas que son los movimientos en los apoos, los cuales se allan resolviendo el sistema. Cuando en una estructura continua, tenemos un apoo e$tremo empotrado, la orma de salvarlo lo veremos en los e'ercicios de aplicación. CONCE/TUALI0ACIÓN /RECEDENTE 1VIGAS CONTINUAS) +iempre, antes de enrentar el análisis de alg/n m%todo es recomendable valerse de los signifcados de los t%rminos que se usarán. En la tesis de la investigación, se encontró que el "%todo de los 8res "omentos, no es el /nico que da soluciones a los problemas de cálculo en vigas continuas. +in embargo, el problema
gen%rico
parte
de
condición estática de la viga. Una +i%a #ontin&a puede defnirse como una estructura iperestática ormada por varias pieas rectas alineadas, unidas entre si por nudos rígidos apoados, determinándose
F
Recordando que una estructura hiperestática es aquella que necesita más elementos de los necesarios para mantenerse estable; la supresión de uno de ellos no conduce al colapso, pero modifca sus condiciones de uncionamiento estático. También llamada estructura estáticamente indeterminada. Y que estas condiciones se reejan en el cálculo,
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vano, o tramo, al segmento comprendido entre dos apoos sucesivos de la viga. Esta tipología es apreciable en la fgura . En el estudio de las vigas continuas sólo consideramos la acción de ueras verticales de momentos, con lo que las reacciones en los apoos tambi%n serán verticales. *e actuar alguna uera oriontal, como, por e'emplo, de renado en puentes de carretera o de errocarril, supondremos que uno de los apoos es f'o , por tanto, que soporta
Fi%&ra 4 Vi%a #ontin&a3 +e observa que los nudos intermedios son rígidos, lo cual implica la continuidad de los giros los momentos
a"
to(a"
a##ione"
2ori-ontae"3
Con esta disposición de los apoos, los cambios t%rmicos uniormes a trav%s del espesor de las pieas no producen ning/n tipo de esuero. Como la viga sobre dos apoos simples es un sistema isostático, en una viga de más de un tramo cada apoo intermedio introduce un vínculo redundante , en general, una viga continua sobre n apoos, constitue un sistema nG2 veces iperestático. 9or tanto, en la resolución de una viga continua pueden tomarse como incógnitas iperestáticas las reacciones de los apoos intermedios. Como alternativa a dierentes m%todos para resolver vigas continuas se eliminan los enlaces entre los diversos tramos se eligen como incógnitas iperestáticas los momentos ectores sobre los apoos intermedios. Eso equivale a suprimir la continuidad de los tramos considerar la viga como una sucesión de vigas biapoadas isostáticas que interaccionan entre sí a trav%s de momentos de e$tremidad de valor desconocido al momento del cálculo.
LOS TRES MOMENTOS Este m%todo toma como incógnitas iperestáticas los momentos ectores0 "2, ":, "mG que act/an en las secciones transversales correspondientes
a
los
mG2
apoos
intermedios.
"%todo de cálculo0 se sustitue la viga continua por mG vigas isostáticas equivalentes, simplemente apoadas, en cuos e$tremos se A
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sit/an las ligaduras internas con los tramos contiguos de los que las emos liberado, es decir, las resultantes los momentos resultantes de las cargas que quedan a un lado de dicos e$tremos.0 12, "2, 1:, ":,
*es arrollemos pues a continuación estas ecuaciones de deormación para ello tomemos dos vigas isostáticas equivalentes, correspondientes a dos tramos consecutivos n nH de la viga continua0
=
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Calculemos a continuación cada uno de estos valores0
<
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I
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La ecuación se irá aplicando cada tres apoyos sucesivos de la viga continua.
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ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS En el diseJo de elementos mecánicos se cuenta con pieas elementos que se pueden analiar como vigas que tienen más de dos apoos, entre estos se pueden mencionar las tuberías, algunas armaduras algunos marcos. -a determinación de las reacciones en los apoos no se pueden establecer mediante la estática, por lo que se denominan iperestáticos, como a se mencionó, se recurre a la mecánica de materiales para su análisis. uscando determinar la ecuación que se utiliará para el desarrollo del m%todo, se toma en cuenta que se tiene una viga continua infnita con dierentes tipos de cargas en cada uno de los e$tremos se toma de la misma, en el ipot%tico caso, dos tramos, los cuales tienen longitud - -2, como se observa en la fgura 2. 1igura
2
+eparación de dos tramos de una viga continua infnita desarrollo de los diagramas de cortante *1? *1". :
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+eparando por tramos la viga aciendo la similitud estática de las cargas en las secciones de corte, construimos los diagramas de cortante momento, seJalando las áreas centroides de las fguras compuestas en
la
siguiente orma0 &l dividir la estructura por tramos, es
decir,
entre cada apoo,
un
corte,
se
generan momentos
compensados de signos contrarios. -os ángulos de giro son seJalados con relación a la pendiente de la deormación, en la división de los tramos. &l realiar el corte sobre los e$tremos infnitos, se generan momentos que tambi%n son seJalados sobre ambos tramos. En estas raones se puede establecer0
+i se
toma por separado cada uno de estos tramos
se
observa que las cargas e$ternas producen un diagrama de momentos pero tambi%n aparecen
momentos iperestáticos al separar cada tramo de
la viga. -os dos
tramos tienen un punto com/n en el cuál se ubica el apoo 6o. 2, en cual se sabe que θ= 0 . El ángulo que se genera en este punto debe ser igual a cero. 8ambi%n se observa que cada uno de
los tramos es aectado por las cargas los >
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momentos. 8omando en consideración el teorema de área momentos, la contribución de las cargas e$ternas del tramo a '
θ2 =
θ2
es la siguiente0
'
A1 a1 ElL1 '
θ2
9odemos e$presar el ángulo
como una contribución de los
momentos iperestáticos
En el tramo dos, igualmente está e$presado como sigue0
4gualando con la ecuación determinada antes donde
'
' '
θ2 = θ 2
, tenemos0
*onde0 M45 M65 M7
0 "omento ectores en los apoos , 2 :.
L45 L6
$
A45 A6
0 Krea del diagrama de "omentos 1lectores de las
Cargas a4 del 86
sobre
-ongitudes los
de
los
tramos
tramos
2. 2.
0 *istancia del centro del diagrama de "omentos 1lectores tramo
al
apoo
.
0 *istancia del centro del diagrama de "omentos 1lectores
del tramo 2 al apoo :. Consideraciones del m%todo +i se va a traba'ar con más de dos tramos, deben escribirse una ecuación de 8res "omentos por cada par de tramos consecutivos. @
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Tramo
496$
"- H 2"2(- H -2) H ":-2 H (F&a)L- H (F&2b2)L-2 M I Tramo
697$
"2-2 H 2":(-2 H -:) H ">-: H (F&2a2)L-2 H (F&:b:)L-: M I Tramo 79:$ ":-: H 2">(-: H ->) H "@-> H (F&:a:)L-: H (F&>b>)L-> M I +i tenemos un apoo simple, el momento en dico e$tremo será igual a cero. +i tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuación adicional de 8res "omentos, creando un tramo virtual en el que todos los valores sean iguales a cero. +i tenemos un voladio, el momento en tal e$tremo seguirá valiendo cero. EL MÉTODO /OR /ASOS Separar la viga en tramos tomándolos de dos en dos. Superponer las cargas en cada tramo sin violar los principios de la estática. Calculando y ubicando las reacciones de los apoyos. Construir diagrama de cortante y momento fector, calculando y ubicando áreas y sus respectivos centroides. Aplicar la ecuación de los Tres Momentos en los tramos, de dos en dos. Obteniendo un sistema de ecuación de dos ecuaciones y dos
incógnitas
por
cada
F
tramo.
Sustituir
y
resolver.
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Considerando las condiciones de borde, donde los momentos son cero. Con el valor de los momentos calculados, sustituir en las ecuaciones de uera, calculando las ueras en los tramos con los valores encontrados para obtener las reacciones reales de los apoyos. !Opcional" Construir el diagrama de momento y cortante total de la estructura !Opcional" #ste m$todo ue idealiado por%
Benoit /a& Émie Cape;ron (2F de ebrero, A<< G 2= de enero, =F>) ue un ingeniero ísico ranc%s, padre (entre otros) de la teoría termodinámica. 6acido en
9arís,
Claperon
estudió
en
la
Ncole
poltecnique la Ncole des "ines, antes de mudarse a +an 9etesburgo en =2I para enseJar en la Ncole des 8ravau$ 9ublics. 8ras la !evolución de =:I volvió a 9arís, donde supervisó la construcción de la primera vía de errocarril de 1rancia, que comunicaba 9arís con ?ersalles +aintGOermainGenG-ae.
EJERCICIOS DE A/LICACIÓN
A
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4)
Encuentre los momentos iperestáticos en la estructura de supervisión de equilibrio para camiones que se muestra en la fgura articulado en , simplemente apoado en 2, : >. Considere el peso de las columnas de contención de acero galvaniado como cargas puntuales en las distancias c%ntricas correspondientes. &suma el peso del camión como carga
I6 2I6
I6
>6Lm
2m
>m Fm
Construendo el esquema de análisis del problema0
20KN
En el siguiente paso construimos el diagrama de cortante momento, superponiendo las cargas dividiendo la estructura en tramos. El primer tramo contiene la carga puntal de la primera
columna de contención con su
magnitud respectiva. El segundo tramo asume el peso del camión como carga =
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distribuida entre el punto 2 :. El tercer tramo asume el peso de dos columnas en cargas puntualmente aplicadas conclue con una articulación.
DIAGRAMAS DE ESFUER0O CORTANTE < MOMENTO FLECTOR DE LA ESTRUCTURA
&naliando el primer tramo de a 2, se construe nuestra primera ecuación0 20KN
&naliando el segundo tramo de 2 a :, se construe la segunda ecuación0
<
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Con el valor de los momentos calculados, sustituimos en las ecuaciones de uera, calculando las ueras en los tramos con los valores encontrados para obtener las reacciones reales de los apoos.
2I
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Construendo el diagrama de momento total con las reacciones totales a calculadas.
20KN
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6)
En la siguiente viga vamos a analiar los momentos que se generan en los apoos, mediante el m%todo de los tres momentos.
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2:
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7)
*eterminar los momentos iperestáticos que se generan en los apoos, usar la ecuación de los tres momentos realiar los diagramas
2>
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2@
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CONCLUSIONES En la parte fnal de la investigación se alinean
los aspectos
generales del tema de vigas continuas la oerta de solución que brinda el m%todo matemático, para problemas de aplicación en ingeniería. +e resumirá brevemente en conclusiones puntuales los conocimientos concretos adquiridos, con'untamente, al análisis del mismo con respecto a los sistemas de cálculo de momentos ectores, conocidos previamente. Comprendiendo el m%todo, podríamos decir, que se trata de una ecuación que relaciona a las vigas los momentos sobre los apoos con un comportamiento matemático creciente, que a su ve no es limitado por la orma iperestática de la estructura. !esulta benefcioso un m%todo que nos proporcione soluciones en problemas de vigas indeterminadas, o continuas, como suele suceder en la ingeniería. 9or lo regular en grandes estructuras del campo de estudio mecánico la propia construcción civil, un m%todo que e$prese el comportamiento conteniendo a las cargas los momentos, relacionándose al mismo tiempo con los diagramas que ree'an los esueros de corte má$imos , los momentos ectores, le agrega fdelidad a los resultados. Eso es lo que difere con respecto a los demás m%todos. El teorema de los tres momentos, a'usta por tramos de ecuaciones conocidas a los esquemas de análisis que contienen la situación de la estructura de estudio. Cada paso es fdedigno no requiere de cálculos avanados de derivadas o integraciones m/ltiples. El comportamiento es creciente, una unción relacionada a
la
e$pansión de una línea, donde por lo conocido en resistencia de materiales, el momento aectado sobre una viga guarda relación con su centroide, su área de sección la distancia desde el punto de reerencia. 2F
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Es menester reconocer, que en el intento de presentar un e'ercicio de aplicación donde se demostrase la utilidad de la ecuación de los tres momentos idealiada por Claperon, nos dirigimos al caso práctico de un puente, con ciertas condiciones de carga sobre la plataorma. El problema le'anamente puede ser considerado como complicado. Pemos querido presentarlo de esa orma, para darle la versatilidad al campo real de los problemas ingenieriles ligado a la continuidad la indeterminación de las vigas de análisis. En comparación con otros m%todos conocidos, para la resolución de cargas vigas determinadas, aunque no est% al mismo nivel de cálculo, el asunto indeterminado se corrige con una ecuación que no trasciende ronteras
algebraicas. -as
unciones
están
ordenadas en grados con respecto a los sistemas que dan solución no más de dos sustituciones. Eso, sencillamente es /til aprovecable. -os mismos m%todos para determinar la deormación de las vigas son válidos para la resolución de vigas iperestáticas, a que las ecuaciones adicionales para acer un sistema matemáticamente determinado son tomadas de la elástica de la viga. Cuando e$ista un empotramiento en el e$tremo de una viga continua, para aplicar el teorema de los tres momentos se aJade un tramo fcticio sin carga sin longitud en ese e$tremo, de manera que pueda plantearse una nueva ecuación para resolver ese momento de empotramiento.
2A
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BIBLIOGRAF=A
2=
