MÉTODO DE LOS TRES MOMENTOS I. INTRODUCCIÓN Para resolver los problemas de cálculo estructural necesitamos una seri de herramientas como son los Principios, los Teoremas, los Métodos y los Procedimientos. La teoría de estructuras, al igual que la resistencia de materiales y la elasticidad se asienta sobre una serie de principios. Utilizando los principios se establece un conjunto de Teoremas que dan soporte a un conjunto de Métodos. A su vez el desarrollo operativo de los Métodos se concreta en una serie de procedimientos. Pasamos por tanto a establecer una secuencia de mayor generalidad a mayor concreción, que sería: Principio-> Teorema-> Método -> Procedimiento. A continuación desarrollaremos el método de los Tres momentos; que nos permite también encontrar al igual que los métodos anteriores ya mencionados el cálculo de la pendiente y flechas de la estructuras. En este caso aplicando el Método de los Tres Momentos nos será fácil obtener los momentos flectores en cada apoyo, aplicado para vigas continuas. OBJETIVOS Ø Análisis de vigas estáticamente indeterminadas ó hiperestáticas por medio de la ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS, método particular de flexibilidad, cuyas incógnitas son las fuerzas, en este caso, los momentos flectores en los apoyos. Ø Calculo de desplazamientos y rotaciones en vigas aplicando dicho método. Ø Desarrollar en el estudiante la capacidad de analizar el tipo de problemas de deflexión en vigas aplicando el método de los tres momentos.
GLOSARIO: Viga La viga es el elemento estructural utilizado para cubrir espacios, soportando el peso colocado encima del elemento mediante la resistencia a las fuerzas internas de flexión y corte. Vigas Continuas Las vigas continuas son vigas que tienen más de dos apoyos. Normalmente se utilizan cuando los vanos a cubrir son grandes. Métodos para determinar la deformación en vigas Se utilizan varios métodos para determinar la deformación en vigas (doble integración, superposición, área de momentos, viga conjugada, rigidez directa, elementos finitos etc.…), todos están basados en los mismos principios pero difieren en su técnica y objetivos. Superposición Como método alternativo para la evaluación de pendientes y ordenadas de la elástica se pueden utilizar los resultados de algunos tipos sencillos de cargas, para obtener por suma de efectos, las soluciones correspondientes a cargas más complicadas. Este procedimiento llamado superposición, determina la pendiente y deflexión en un punto mediante la suma de las pendientes o deflexiones producidas en ese mismo punto, por cada una de las cargas cuando actúan por separado (Singer y Pytel, 1982). Diseño por rigidez en vigas de acero Para las estructuras de acero, la deflexión es un estado límite de servicio, no de resistencia, por lo que las deflexiones deben siempre calcularse con cargas de servicio. Para el cálculo de la flecha se emplea el módulo de elasticidad del acero y el momento de inercia del perfil, la flecha máxima se compara con los valores admisibles para estructuras de acero. Fuerza cortante Para mantener el equilibrio sobre el segmento de la viga, se debe incluir la fuerza V, que actúa perpendicular al eje y se denomina fuerza cortante. La fuerza cortante es igual a la suma de todas las fuerzas verticales que actúan en la porción aislada ubicada en el lado izquierdo. Momento flector Así como la fuerza cortante equilibra las fuerzas verticales, también se debe establecer un equilibrio en los momentos hasta la sección evaluada
de las fuerzas aplicadas sobre la viga en el segmento analizado. Este momento interno se denomina momento flector y la magnitud es igual a la suma de los momentos sobre la sección de corte, producidos por las fuerzas aplicadas en la porción de la izquierda. II. GENERALIDADES En 1857, Clapeyron presentó a la Academia Francesa su “Teorema de los tres Momentos” para el análisis de las vigas continuas, en la misma forma que BERTOT la había publicado dos años antes en las Memorias de la Sociedad de Ingenieros Civiles de Francia, pero sin darle crédito alguno. Puede decirse que a partir de este momento se inicia el desarrollo de una verdadera “Teoría de las Estructuras”. Por medio de este teorema puede analizar una viga apoyada por cualquier número de apoyos, esto se debe a que relaciona los momentos flexionantes en 3 apoyos entre sí y con las cargas que se encuentran en la viga. JUSTIFICACION La ecuación de los tres momentos expresan una relación entre los momentos flectores en tres puntos cuales quiera de una viga cualquiera. III. MARCO TEÓRICO Concepto: Es un método muy operativo e interesante por la forma de aplicación del principio de superposición así como por la introducción de las condiciones de continuidad en la tangente de la elástica, desarrollado por Clapeyron para el cálculo de las vigas continuas. ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS Este método toma como incógnitas hiperestáticas los momentos flectores: M2, M3, Mm-1 que actúan en las secciones transversales correspondientes a los m-2 apoyos intermedios. Método de cálculo: se sustituye la viga continua por m-1 vigas isostáticas equivalentes, simplemente apoyadas, en cuyos extremos se sitúan las ligaduras internas con los tramos contiguos de los que las hemos liberado, es decir, las resultantes y los momentos resultantes de
las cargas que quedan a un lado de dichos extremos.: F2, M2, F3, M3,
Desarrollemos pues a continuación estas ecuaciones de deformación y para ello tomemos dos vigas isostáticas equivalentes, correspondientes a dos tramos consecutivos n y n+1 de la viga continua:
Calculemos a continuación cada uno de estos valores:
La ecuación se irá aplicando cada tres apoyos sucesivos de la viga
continua.
EJERCICIOS
CONCLUSIONES: Los mismos métodos para determinar la deformación de las vigas son válidos para la resolución de vigas hiperestáticas, ya que las ecuaciones adicionales para hacer un sistema matemáticamente determinado son tomadas de la elástica de la viga. Cuando exista un empotramiento en el extremo de una viga continua, para aplicar el teorema de los tres momentos se añade un tramo ficticio sin carga y sin longitud en ese extremo, de manera que pueda plantearse una nueva ecuación para resolver ese momento de empotramiento.
ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS INTRODUCCIÓN En el presente trabajo se estudia las vigas con tres o mas apoyos, dos o mas tramos, y que, por tanto, disponen de uno o mas apoyos redundantes en los que las reacciones no pueden determinarse por las ecuaciones de la Estática. En el método de los tres momentos se comienza obteniendo una relación de tipo general entre los momentos flexionantes en tres secciones cualesquiera de la viga, relación que se llama Ecuación de los tres momentos, y que se escribe fácilmente aplicando los teoremas de las áreas de momentos. La Ecuación de los tres momentos fue desarrollada por el ingeniero francés Clapeyron en 1857. Esta ecuación relaciona los momentos internos de una viga continua en tres puntos de soporte con las cargas que actúan en los soportes. Por aplicación sucesiva de esta ecuación a segmentos de la viga se obtiene un conjunto de ecuaciones que pueden resolverse simultáneamente para los momentos internos desconocidos en los soportes. Las aplicaciones de esta ecuación son numerosas, como determinar las deformaciones y reacciones redundantes en cualquier tipo de vigas, en particular en las vigas continuas. Se terminará el presente con algunos ejercicios de aplicación para la teoría expuesta. GENERALIDADES.Objetivos: - Determinar la ecuación de tres momentos. - Conocer las aplicaciones de esta ecuación. - Resolver problemas de aplicación para el siguiente método. Limitaciones: - Solo aplicación del método en vigas continúas.
Glosario de Términos: - Se darán en el desarrollo del Marco teórico del trabajo. MARCO TEÓRICO.ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS
Sea una viga sometida a una carga cualquiera que soporte en forma arbitraria. A esta viga la hemos cortado en 3 puntos cualesquiera 1, 2,3, además hemos reemplazados los efectos de cargas y fuerzas a la derecha o izquierda de cada sección de corte por la fuerza cortante y el momento flector. La longitud de los tramos serán y los momentos flectores serán las fuerzas cortantes acompañan a la misma teniendo en cuenta que cada extremo se encuentra perfectamente en equilibrio De esta manera hemos transformado a cada uno de estos tramos en una viga solamente apoyada con 2 estados de cargas que sabremos distinguir, por un lado
las cargas reales en un tramo y por otro los pares aplicados en sus extremos
En el esquema se presenta en forma genérica los diagramas de momentos debido a las cargas cortantes en cada tramo y debido a los momentos generados en los extremos de cada corte.
La tangente trazada a la elástica en el punto 2 determina la desviación tangencial 1/2 y 3/2 respectivamente y la recta trazada por dos paralelas a la posición inicial a la viga que por comodidad supondremos que la horizontal determina la altura de los puntos 1 y 3 respecto al punto 2.
Como se puede observar el diagrama de momento flector se le ha descompuesto en el área y áreas triangulares en que se descomponen el área trapezoidal producida por los 2 pares extremos. Lo mismo sucede en el área de donde podemos concluir que la desviación 12 esta dado por cada uno con su mismo brazo.
Regla de Signos: En la deducción de la Ecuación General de los Tres Momentos se ha hecho la hipótesis de que los momentos flexionantes en los tres puntos son positivos y que los puntos 1 y 3 estaban situados por encima del punto 2. Si el momento flexionante en cualquiera de los puntos es negativo habrá que considerarlo con signo menos al sustituir su valor en la ecuación. Recíprocamente, si al resolver la ecuación sale un valor negativo para cualquiera de los momentos, es que en realidad es negativo. Las alturas h1 y h3 son positivas si los puntos si los puntos 1 y 3 quedan por encima del 2, y son negativos, o se obtendrán con signo menos, si el punto 1 o el 3 están por debajo del punto 2. Vigas Continuas Cuando se trabajan con vigas con más de un tramo, las reacciones no pueden ser calculadas estáticamente. Una forma de resolverlas es aplicando el Teorema de los Tres Momentos, el cual puede ser utilizado también para resolver vigas de un solo tramo. Esta ecuación puede ser expresada de la siguiente manera:
Estos tipos básicos de carga pueden combinarse para obtener tipos más complejos, sumándose o restándose. Si se va a trabajar con más de dos tramos, deben escribirse una ecuación de Tres Momentos por cada par de tramos consecutivos. Por ejemplo:
En este caso tendríamos 3 ecuaciones con 5 incógnitas (M1, M2, M3, M4 y M5). Generalizando, siempre vamos a tener dos incógnitas más que las ecuaciones de Tres Momentos que vamos a construir. Pero los momentos en estos extremos pueden ser hallados de acuerdo a los siguientes criterios: 1º Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero. Para el diagrama de arriba, M1 = 0 y M5 = 0. 2º Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuación adicional de Tres Momentos, creando un tramo virtual en el que todos los valores sean iguales a cero. Para el diagrama de arriba, si suponemos que el apoyo 5 es un apoyo empotrado, podríamos escribir la siguiente ecuación de Tres Momentos, en donde todos los términos con subíndice cero valen cero:
3º Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo cero. Además, el momento siguiente al de dicho extremo será igual a la suma de los productos de las cargas por su brazo de palanca a este último apoyo.
Aplicando el Teorema de los Tres Momentos es fácil obtener los momentos flectores en cada apoyo. Hallar las reacciones en cada apoyo es igualmente sencillo, utilizando la siguiente fórmula, para cada tramo:
Posteriormente, las reacciones equivalentes de cada tramo se suman. Por ejemplo:
Practica Domiciliaria: Deformaciones Angulares
Método de área momento De la ecuación general de flexión tenemos:
d M dx EI M
Integrando:
d EI dx B
M dx EI A
( B A )
M 1 EI curvatura de un elemento viga. tengamos presente que Teorema 1:
M
EI entre dos puntos A y B es igual al cambio en las pendientes El área bajo el diagrama de curvatura entre esos dos puntos sobre la curva elástica.
Diagrama de momentos sobre EI= curvatura
W M/EI A
B
B B
A
Se puede usar para vigas con EI variable.
A B : ángulo tangente en B medido desde la tangente en A.
Se mide en radianes. Áreas positivas indican que la pendiente crece.
(+) (-)
Teorema 2:
XD/A A/C A/D
XC/A A C
D
B
Por teoría de los ángulos pequeños tenemos:
d C / A * X C / A A / C
, si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la desviación vertical entre las tangentes en A y B. B
A/ B X B A
A
M dx M EI EI entre momento de primer orden con respecto a A del área bajo la curva de
A Y B. El teorema es: “La desviación de la tangente en un punto A sobre la curva elástica con respecto a la tangente
M
EI entre los puntos Ay B con prolongada desde otro punto B, es igual al momento del área bajo la curva respecto a un eje A. Se cumple siempre cuando en la curva no haya discontinuidades por aarticulaciones. Esta desviación siempre es perpendicular a la posición original de la viga y se denomina flecha. Ejemplo: Determinar las flechas en los puntos B y C y la pendiente elástica en el punto B. E, I constantes.
20t
A
0.30
C
B 3m
3m
0.20 Pasos a realizar: 1. Encontrar el diagrama de momentos. 2. Dividir M por EI y trazar la curva elástica tentativa. 3. Para encontrar fijar un punto inicial al cual se le conozca la pendiente e integrar el diagrama de curvatura entre el punto inicial de referencia y el punto pedido. Cambio en = área bajo M/EI 4. Para encontrar flechas, tomar un punto inicial al que se le conozca su flecha, preferiblemente un apoyo. El cambio de la flecha se calcula como el primer momento del área bajo el diagrama de M/EI con respecto al punto sobre el que se va a encontrar la deflexión. ( X *Área bajo la curva de M/EI midiendo X desde el punto al que se le va a hallar la deflexión). Signos, un cambio de pendiente positivo osea áreas positivas de M/EI indican qque la pendiente crece.
5.
Ejercicio Para la siguiente viga determinar la deflexión y rotación en el punto C en función de EI.
M
A
M A 20 * 3 0
M A 60 tf m
M
M X 60 20x 0
X
M X 20 x 60 0 x3 MX 0 3 x6
-60 x
20t
M=60t-m 3m
C
A
3m
3m
20t
área
60 * 3 EI
A 0 B ?
180 t * m 2 t 2 * EI 2 * m 4 m
B
adimensional (radianes)
condición de apoyo
B A
180 90 B 2 EI EI
A=0
B
CX B
B
C
Curva elástica tentativa
Flecha = momento de primer orden con respecto a B
90 2 180m * * (3) EI 3 EI 180 B positivo 0 EI si A 90 2 * 3 450 m C / A * 3 EI 3 EI C B B/ A
por no existir momento en ese tramo.
Ejercicio
A 0
Determinar
D
y
max A 5
D
15 C
3m 4m
2m
10
D
M M/EI dx EI A 15 * 3 45 22.5 D A 2 EI 2 EI EI 15 * 3 3 22.5 D/ A * θD/A 2 3 EI 20 * 4 4 2 20 * 2 C / A * 2 *2* 2 2 3 3 200 * 2 80 480 160 C / A 3 3 3 EI DESVIACIÓN POSITIVA 160 26.67 A C / A EI L 6 EI NEGATIVA 26.67 80.01 D *3 EI EI 80.01 22.5 57.51 YD EI EI EI
D/ A
remplazando en 1:
4.17 EI 20 * 4 40 C / A EI * 2 EI 40 B A EI 66.67 B EI X 2 * 20 5 X2 m A * 2 * 4 * EI 2 EI 2 26 .67 5 X * EI 2 EI
D
Busquemos el punto de tangencia cero,
X 3.27
0 , punto de max
3.27 20 3.27 29.14 * * 2 4 3EI EI 26.67 m A * x * 3.27 87.21 EI 58.1 Ym EI m/ A
20/EI
YD ∆D/A
∆C/A
Viga conjugada: Recordando las relaciones entre carga, cortante y momento tenemos:
d 2M W dx 2
dM V dx
dV W dx
la pendiente del diagrama de momentos es el cortante
dM V * dx
la pendiente del diagrama de cortante es la carga
dV W * dx
Variación del momento = área bajo la curva de cortante Para hallar el momento se integra la curva de cortante
V área bajo la curva de c arg a
V = para hallar el cortante se integra la curva de carga Si una viga la cargamos con una carga ficticia W igual a la curva del diagrama de momentos dividido EI, entonces podemos decir:
d M dx EI
d2y M EI dx 2
y : área bajo el diagrama de cortante de la viga cargada con:
W
M EI
y: diagrama de momentos de la viga conjugada
M : área bajo el diagrama EI : diagrama de corte de la viga conjugada
Análogas con las vigas
=
=
Viga conjugada M=0= =0=V
=0
=
0
=0 =0
0 0
M=0 V=0
=
0 0
Ejercicios método del área momento
5m 4I
5m
I
2.5m
5kN
2I
12.5kN-m
5kN
12.5 (+)
12.5 (+)
5
12.5 (+)
5 (+) (-) 12.5
C
B
B A
B/ A
12.5 12.5 * 2.5 * 2.5 0 2 2
B 0 6.25 * 2.5 2.5 * 2 6.25 * 2.5 2.5 *1 * 2.5 * 26 .041 2 3 2 3 26.041 B A E desplazamiento para debajo de la viga. 3.125 * 5 C / B 15.625 C 15 .625 E 15.625 * 5 C / B 39.0325 2 D / C C * L 15 .625 * 2.5 39 .063 x 65.10 y 39.063 B/ A
6.25 (+)
3.125
12.5 (+)
(-) 6.25 Cambio de temperatura Despreciar deformaciones axiales, sólo por curvatura.
M 1 * t EI h 1 6.5 *10 6 F hviga 0.25m * t M EI h A
=15.6°+35.6° B
1.83m
=15.6° C 1.83m
D 0.61m
concreto 10 *10 6 / C
acero 12 * 10 6 / C
para aumento de temperatura en la fibra superior concavidad
y
-62.4 -62.4 +
62 .4 1.83 2 m 2 * * 104 .5 m m 2 B / A 62 .4 * *1.83 114 .192 B/ A
C / B 62 .4 * *1.83 114 .192 C 228 .384 0.005616 1.83 2 114 .5 2.57 *10 3 m 2 y 228 .384 * * 0.61m 3.4257 *10 3 C / B 62 .4 * *
ytotal 6 *10 3 m x 114.192 * *1.83 208.97 x 7.71*103 m Ejemplos Le marco de acero de la figura se somete a una carga constante de temperatura en el mismo miembro superior. Despreciando la deformación axial calcule horizontal en A
200°F 60°F
6.5 *10 6 1F
B
60°F
h=16pulg
C
200°F
10ft
25ft
A 20ft
E 30000
kLb pu lg 2
6.5 *10 6 1F T 140F 1 * T h 6.5 * 10 6 * 140 1 5.6875 * 10 5 16 pu lg 1
B
C 5.6875*10-5 (1/plug)
A
C / B 5.6875 10 5 *
1 * 20 *12 0.01365 pu lg
C B C / B
C 0.01365 6.875 10 3
C 6.825 * 10 3 xC 0.06825 pies 0.819 pu lg
A 2.8665 pu lg
B * 25 ft * C *10 ft D / B 5.6875 *10 5 *
20 *12 1 * pu lg 2
2
D / B 1.638 pu lg 1.638 B 6.825 *10 3 rad 20 *12
A
B t=15.6°
1.83m
0.61m 1.83m
1
C
D
M * t EI h
acero 12 * 10 6 / C
6.5 *10 6
concreto 10 *10 6 / C
1 F
2.4590 *10 5
1 F
hviga 0.25m * t M EI h 1 cte
Curva elástica tentativa
½=62.4 tB/tA 1/=62.4
B
B / A área del diagrama de momentos entre A y B EI * * t *1.83m 114.192EI h EI * * t 1.83 y B * tB / tA *1.83m * 104.49EI h 2
B/ A
