TRABAJO COLABORATIVO 1 SISTEMAS DINAMICOS
HERMES ADRIAN BAREÑO GLEIDY JULIANA ALARCON LANCHEROS NELSON ENRIQUE FIGUEROA CURSO 201527_26 TUTOR: DIEGO FERNANDO SENDOYA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA INGENIERIA ELECTRONICA 2013
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INTRODUCCIÓN
En los sistemas dinámicos es importante representar los modelos físicos ya sea mediante ecuaciones diferenciales, función de transferencia o también a través de variables de estado [1]. Para la representación mediante ecuaciones diferenciales es necesario modelar los sistemas mediante las leyes como lo son de termodinámica, de circuitos eléctricos de newton entre otras. Para describir un sistema mediante una función de transferencia se utilizan estas ecuaciones como base; al igual que para la representación en espacio de estado [2], [3]. En este trabajo se presentan dos actividades, una teórica y una práctica, mediante las cuales se analizan indirectamente las tres formas de representar los sistemas. La actividad teórica es la forma clásica de encontrar la función de transferencia y de espacio de estados. En la actividad práctica se utiliza la herramienta LabVIEW 2013 versión de prueba [4].
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DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES
ACTIVIDAD TEORICA Ejercicio 1: El control automático de la velocidad crucero es un excelente ejemplo de un sistema de control retroalimentado que se encuentra en muchos de los vehículos modernos. El propósito del sistema de control de la velocidad crucero es mantener una velocidad constante del vehículo a pesar de las perturbaciones externas, tales como cambios en el viento o en el tipo de carretera. Esto se logra mediante la medición de la velocidad del vehículo, comparándola con la velocidad deseada o de referencia, y ajustando automáticamente el acelerador de acuerdo con una ley de control:
Figura 1. Diagrama del cuerpo libre del ejercicio 1.
Considere aquí un modelo simple de la dinámica del vehículo, que se muestra en el diagrama de cuerpo libre (FBD) anterior. El vehículo, de masa , se mueve por una fuerza de control . La fuerza representa la fuerza generada en la interface carretera/llanta. Para este modelo simplificado suponga que puede controlar esta fuerza directamente y desprecie la dinámica del motor, neumáticos, etc., que intervienen en la generación de la fuerza. Las fuerzas resistivas , debido a la resistencia a la rodadura y a la resistencia al viento, se suponen que varían linealmente con la velocidad del vehículo , y actúan en la dirección opuesta al movimiento del vehículo. De acuerdo con lo anterior y teniendo en cuenta que la entrada al sistema es la fuerza , y la salida es la velocidad , encuentre (a) la representación del sistema en espacio de estado, y (b) la representación del sistema en función de transferencia.
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Solución: (a). Teniendo en cuenta las ecuaciones de velocidad y aceleración respectivamente
= = =
, se puede determinar el arreglo en espacio de estados, seguido por el siguiente procedimiento: -
Se realiza la sumatoria de fuerzas según la segunda ecuación de Newton se obtiene
2 −2 ∗ −= ∗ 2 2 = + = = = 2 222 = − 2 + = 0 −1 () + 01 2 0 2 + = 2 + 2 = 2 + 2 = 1
Podemos usar la siguiente sustitución para variables de estado
Por lo tanto se tiene la siguiente representación en espacio de estados:
(b). Para obtener la función de transferencia se ordena la ecuación diferencial de la siguiente manera, , sin embargo como la salida es la velocidad y no la posición, se ajusta la ecuación para poder encontrar la función de transferencia así:
Ahora se pasa al dominio de Laplace
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Y la ecuación de salida es:
2 [ + ] = 1 = 2 = 1/+ = 1 0
Ejercicio 2: Un actuador común en los sistemas de control es el motor DC. Este provee directamente movimiento rotatorio y, junto con las ruedas o tambores y cables, puede proporcionar un movimiento de traslación. El circuito eléctrico equivalente de la armadura y el diagrama de cuerpo libre del rotor se muestra en la siguiente figura siguiente:
Figura 2. Diagrama del Sistema Electromecánico.
Suponga que la entrada del sistema es la fuente de voltaje, , aplicada a la armadura del motor, mientras que la salida es la velocidad de rotación del eje . El rotor y el eje se suponen rígidos. Suponga además un modelo de fricción viscosa, es decir, el torque de fricción es proporcional a la velocidad angular del eje. Los parámetros a tener en cuenta son:
: Momento de inercia del rotor : Coeficiente de amortiguamiento : Constante de fuerza electromotriz : Constante de torque del motor
: Resistencia eléctrica
: Inductancia eléctrica
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De acuerdo con lo anterior, encuentre (a) la representación del sistema en espacio de estado, y (b) la representación del sistema en función de transferencia. Solución:
(a). Tomando como variables de estado la velocidad angular través de la armadura del motor eléctrico.
y la corriente a
En este sistema la potencia eléctrica es convertida en potencia mecánica, por consiguiente la potencia útil será la corriente de la armadura por la fuerza contra electromotriz [5].
é = = á = = = = = + ∗ = ∗ + = + ∗ + ∗ = + + =
Como la potencia eléctrica es aproximadamente igual a la mecánica podemos igualar las dos ecuaciones anteriores así:
La ecuación correspondiente a la velocidad angular en el eje del motor es:
De la ecuación de malla se tiene:
De estas dos ecuaciones diferenciales se obtiene la representación en espacio de estados, la representación en espacio de estados es la siguiente.
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= − + 01 − − (b). Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones diferenciales anteriores (velocidad angular y corriente en el eje del motor), con condiciones de reposo inicial se tienen las siguientes expresiones: La ecuación de malla en el dominio de Laplace es:
∗ + ∗ + ∗ = [ + ] = − = −+∗ ∗ + = ∗ + = −+ + + + = + [ + + + ] = + = + + + + = 2 + + + +
La ecuación de pares en el dominio de Laplace es:
Reemplazando la ecuación de la corriente en la ecuación anterior se obtiene:
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ACTIVIDAD PRÁCTICA Ejercicio 1: Con los resultados obtenidos en el Ejercicio 1 de la Actividad Teórica, utilice LabVIEW® para: (a) Obtener la representación del sistema en espacio de estado, y (b) convertir el resultado del inciso (a) en una función de transferencia. Para ello, suponga que los parámetros del sistema son:
Masa del vehículo m= 1000 kg Coeficiente de amortiguamiento b= 50 N.s/m
Solución: (a). En la siguiente figura se muestra la implementación del ejercicio1 en LabVIEW versión de prueba.
Figura 3. Implementación del ejercicio 1 en LabVIEW. En la figura 4 se observa el panel de control de los valores de las constantes y variables que corresponden al ejercicio 1 de la actividad práctica. En esta se observan al lado izquierdo los arreglos de las matrices de entrada A, B y salida C, D con sus respectivos indicadores; además las variables b y m. En la parte derecha de la misma gráfica se puede ver el resultado el cual esta nombrado como Ecuación, ahí está la ecuación de estados y la ecuación de salida en forma matricial.
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Figura 4. Panel de indicadores del sistema de la figura3. (b). Ahora con los resultados del inciso (a) se halla la función de transferencia la cual es:
= 0.+00.0105
Ejercicio 2: Con los resultados obtenidos en el Ejercicio 2 de la Actividad Teórica, utilice LabVIEW® para: (a) Obtener la representación del sistema en función de transferencia, y (b) convertir el resultado del inciso (a) en una ecuación en espacio de estado. Para ello, suponga que los parámetros del sistema son:
= 0.=010..1 .. ==0.0.0011.// ==0.15H
Momento de inercia del rotor Coeficiente de amortiguamiento Constante de fuerza electromotriz : Constante de torque del motor Resistencia eléctrica Inductancia eléctrica
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Solución: En la figura 5 se presenta la implementación en LabVIEW de prueba del ejercicio 2.
Figura 5. Implementación del sistema del ejercicio 2. En la figura 6 se observa el panel de valores de las constantes y variables que corresponden al ejercicio 2 de la actividad práctica. En esta se observan los indicadores y su respectivo nombre para el numerador y el denominador, también están las variables con sus valores. En la parte derecha se presenta la función de transferencia del sistema.
Figura 6. Panel de indicadores del sistema correspondiente al ejercicio 2.
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Modelo Motor CC Parámetros a tener en cuenta. J: 0.01kg m 2/s2 _______ Momento de Inercia del Motor. b= 0.1 Nms _______ Coeficiente de Amortiguamiento (Fricción Viscosa) Ke= 0.01 Nm/Amp ___ Constante de Fuerza Electromotriz Kt =0.01 Nm/A _____ Constante de Torque del Motor. K=Ke=KT R= PΩ_____ Resistencia Eléctrica
L= 0.5 H____ Inductancia Eléctrica El rotor y el eje se suponen Rígidos. Entrada___ Fuente de Tensión V (Φ) Salida____ Velocidad de Rotación del Eje
o W(t)
De acuerdo a la Gráfica superior se considera lo siguiente Φ =Posición del Eje
= Velocidad de Rotación del Eje.
= dΦ dt
Solución: Se hallan las relaciones de las variables estudiadas en el sistema, a saber. i= Corriente de Armadura = Velocidad de Rotación del Eje. T= Kt i t e= ke Donde
T= Torque i= Corriente de Armadura. K2 = Factor constante de Proporcionalidad e= Fuerza Electromotriz = Velocidad de Rotación.
Kt =Ke ----- (Constante de Proporción).
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Se deducen las Ecuaciones del Motor relacionando la velocidad Angular J +b
+b
= K i (t)
Ley de Newton
= K i (t) J J
Se deduce la Ecuación de la Malla L di(t) +Ri (t)+ K dt
= V(t) Ley de Kirchhoff
L di (t) + Ri(t) =V(t) - K dt Calculando la transformada de la place. Para 1.
+b J
= K i (t) J
S2Φ (s) + b S Φ(s) = k I(s) ------ S2 j Φ(s) + bs Φ (s) =KI(s) J J Para 2. L di(t) + Ri (t) =V (t) - K dt LSI (S) +RI(S) = V(S) – KSΦ (S). De las expresiones calculadas en terciarios de S para la velocidad de Rotación del eje y la corriente armadura i(s), se puede eliminar I(s) para obtener la función de transferencia del Sistema. Φ(s) =_____K_________
V(s)
( J s+b) (LS+R)
+K2
Donde
Φ(s) ---- Salida de Sistema
V(s) ---- Entrada del sistema
(Js+b)(LS+R)+K2 = JLS2 + RJS + bLS + bR + K 2 JLS2 + (RJ+ bL) S + (bR + K 2) = S2 + (RJ + bL) S+ (bR+K 2) ____ %JL JL JL El anterior procedimiento es para garantizar que la ecuación Característica del sistema sea una expresión “Mónica”, quedando de la siguiente forma. 1K Φ(s) = ______ JL___________ V(s) S2 + RJ +bL S + bR + K 2 Función de Transferencia del Sistema JL JL Donde J, K, R n b Son valores conocidos.
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Reemplazando las Constantes. 0.01kgm2/s2 Φ(s) = (0.01) (0.5) 2 V(s) S {[(1) (0.01)+ (0.1) (0.5)]} S + (0.1) (1)+ (0.01)2 (0.01)(0.5) (0.01) (0.5) Φ(s) = ________2_____
V(s)
S2 +
Función de Transferencia Explicita.
12 S + 20.02
Asumiendo Como variables de Estado ------ Velocidad de Rotación. i ------- Corriente Eléctrica V------- Tensión de Alimentación.
= d (t) dt di(t) = dt
-b K J J -K -R L L
=(1 0)
0 + i
V 1 L
Representación en el Espacio de Estado. i
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CONCLUSIONES
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Modelar sistemas físicos y en particular de características eléctricas permite el afianzamiento en los temas relacionados a la profesión.
-
El uso de ecuaciones diferenciales y expresiones matemáticas en general ayuda al entendimiento y a la interpretación de sistemas eléctricos estudiados.
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Por medio de estudios de control sobre sistemas físicos se logra predecir el comportamiento intrínseco del sistema.
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La herramienta de Labview es de utilidad, para encontrar sea la función de transferencia a partir del modelo de espacio de estados, o inversa; además se puede analizar el comportamiento de un sistema dinámico variando sus parámetros mediante su correspondiente indicador c omo se puede ver en las figuras 4 y 6.
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BIBLIOGRAFÍA [1] UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD, «SISTEMAS DINÁMICOS». [2] «http://www.esi2.us.es/~danirr/apuntesIC4.pdf,» [En línea]. Available: http://www.esi2.us.es. [3] «http://www.ulsa.edu.ni/publicaciones/-III-Anio/Plan-Diario-IIICuatrimestre/Sistemas_de_Control/Clase02-Espacio_deEstados.pdf,» [En línea]. [4] «http://colombia.ni.com/,» [En línea]. [5] K. OGATA, Ingeniería de Control Moderna.
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