ALGEBRA LINEAL Unidad 2: Fase 3- Actividad Grupal 2- Ciclo de la tarea
Presentado por: ALBERTO JULIO AMARIS Código 73138.566 JHON JAIRO PATERNINA Código 73.131.291 HELBER RAFAEL BAHOQUES Código 8781631 EDGAR PABON Código
Tutor: ERIK MIGUEL BARRIOS MONTES
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS – ECBTI PROGRAMAABRIL DE INGENIERÍA 16 DE 2017INDUSTRIAL
INTRODUCCION Dentro del siguiente trabajo se encontrará la respuesta a la actividad grupal
2
consistente en la resolución de los problemas planteados en la Guía Integradora de Actividades, en la cual cada estudiante asume el rol elegido en la primera fase del curso. Además de asumir el rol elegido serán presentados en el foro de desarrollo Ciclo de la tarea (Sistemas de ecuaciones lineales, rectas, planos y espacios vectoriales) mínimo tres (3) aportes para dar solución a los problemas propuestos, como también la retroalimentación a las participaciones de los compañeros. Para la resolución de los ejercicios propuestos se requiere de métodos como la eliminación de Gauss Jordán, la inversa, la ecuación general del plano y los puntos de intersección de los planos, además de herramientas tan fundamentales para este proceso como el editor de ecuaciones Word.
OBJETIVOS
Facilitar el proceso de aprendizaje a partir de tareas.
Conocer y apropiarse de los conceptos de Sistemas de ecuaciones lineales, rectas, planos y espacios vectoriales.
Realizar consolidación de los problemas propuestos a partir de los aportes de los compañeros del curso.
Reconocer la importancia del dominio básico del algebra lineal, como disciplina fundamental en el proceso del estudiante en formación en cualquier área científica
PROBLEMAS A DESARROLLAR: 1. Se llama proceso de reducción por filas o renglones, al procedo de simplificar una matriz aumentada perteneciente a un sistema de ecuaciones, este procedimiento se desarrolla mediante la ejecución de las 3 operaciones elementales entre filas. Dos métodos usados para solución de sistemas de ecuaciones son la Eliminación Gaussiana, y la Eliminación de gauss – Jordan
a) Explique en qué consiste la diferencia entre los dos procesos. La eliminación gaussiana consiste en convertir los valores que están debajo de la diagonal principal en ceros. En el caso de una ecuación 3x3, se halla el valor de una incógnita en la última ecuación, la cual se reemplaza en la segunda ecuación para hallar una segunda incógnita, y finalmente estos dos valores se reemplazan en la primera ecuación, obteniendo así las tres incógnitas. A diferencia de la eliminación Gaussiana, la eliminación Gauss-Jordan convierte en ceros todos los valores que estén debajo y encima de la diagonal principal, con el fin de obtener una matriz diagonal, y convertir estos valores en unos para obtener las incógnitas.
b) Resuelva y compare el siguiente sistema de ecuaciones por los dos métodos.
= = = Reescribamos el sistema de ecuaciones en forma de matrices y la resolvamos por el método de eliminación de Gauss-Jordan
24 45 66 1824 312 4
1ª línea dividimos en 2
14 25 36 249 312 4
De 2ª líneas sustraemos 1 línea, multiplicamos por 4; de 3 líneas sustraemos 1 línea, multiplicamos por 3
2ª línea dividimos en -3
01 532 1163 12239 10 21 32 94 0 5 11 23
De 1º línea sustraemos 2º línea, multiplicamos por 2; a 3 línea sumamos 2 línea, multiplicada por 5
3- línea dividimos en -1
101 00011 2 314 101 00 10 21 143
A 1º línea sumamos 3 º línea, multiplicada por 1; de 2 línea sustraemos 3 línea, multiplicamos por 2
01 01 10 342
=4 = 2 = 3 La solución por el método de eliminación de Gauss
4231254 6 18244 22×1→2 20364 6 1812 0 0 1 3 3200 3534/2∗1161>3 6 122318 35/3∗2>3 20364 6 1218 0 0 1 3 2 34 1= 6=6 =12318
De la ecuación 3 del sistema encontramos con la variable “z”:
De la ecuación 2 del sistema encontramos con la variable “y”:
=3 = 3=126=126×3=6 = 2=1846=184= × 26×3=8 =4 =2 =3
De la ecuación 1 del sistema encontramos con la variable “x”:
Al comparar la solución obtenida en los 2 métodos se observa que son los mismos resultados. Compruebe y/o verifique el resultado a través del programa Geogebra y anexe pantallazos de la comprobación. Comprobación con Geogebra
2. a) La figura muestra un circuito de dos mallas conformado por tres resistencias de 4, 6 y 2 ohmios y dos fuentes de voltaje de 14 y 10 voltios. Se desconocen los valores de las corrientes I1, I2 e I3. Aplicando las leyes Ohm y de Kirchhoff, se obtuvieron las siguientes tres ecuaciones:
= 2 =0 =0 146106 104
Utilice el método Gauss-Jordan encontrar el valor de las corrientes I1, I2 e I3.
Se escriben las ecuaciones en forma de forma ordenada para escribirlas en forma de matriz
6 2 =10=0 6 4 =24 16 10 12 100 61 401 102 24100 6 4 0 24 661 401 120 10240
Se intercambia la fila 2 por la fila 1
Se intercambia la fila 2 por la fila 3
Se multiplica la fila 1 por
161 401 1130 126004 0 13 10146 1042 1 1 1 0 1 10 (10 410 233101646 )
Se multiplica la fila 1 por -6 y se suma a la fila 2
Se multiplica la fila 1 por -1 y se suma a la fila 3
Se multiplica la fila 2 por
10 01 131 1067 2 2 10 2 (0 1 3 6 ) Se multiplica la fila 2 por -1 y se suma a la fila 3
Se multiplica la fila 3 por
Se multiplica la fila 3 por
Se multiplica la fila 3 por
Se tiene que:
10 01 132 10672 (0 0 116 116 ) 6/11 10 01 1311067 (0 0 21 12) 1 0 1 10 00 10 301316 100 010 001312
y se suma a la fila 2
y se suma a la fila 1
=1 =3=2
b. Dado el siguiente sistema de ecuaciones:
433=10 138=21 843=15
A simple vista se puede observar que el resultado es (1, 1, 1) Compruebe y explique el por qué. (Use el método de Gauss Jordan) Se deduce que el resultado es (1, 1, 1) porque al sumar los coeficientes de las incógnitas obtenemos los resultados indicados, lo que indica que los valores de a, b y c no afecta la ecuación. Se plantea la matriz:
Se multiplica la fila 1 por
Se multiplica la fila 1 por
Se multiplica la fila 2 por
3 31021 40138 8 4 3 15 1013834 342152
8 18 34 33 155 0023134 48 5212
y se suma a la fila 3
Se multiplica la fila 2 por
10 341 348 2152 (023 13 513)
y se suma a la fila 3
2
Se multiplica la fila 3 por
Se multiplica la fila 3 por
Se multiplica la fila 3 por
10 341 348 2152 0( 0 132313132313) ( 01 1340 1834 51321) 10 341 340521 0 0 1 1 1 0 01 0 01 10 1
y se suma a la fila 2
y se suma a la fila 1
A=1 B=1
C=1
3. Encuentre las ecuaciones paramétricas y simétricas de la línea a través de los puntos (1, 2, 0) y (-5, 4, 2)
Solución
= =5,1, 24,0,2
Se define la ecuaciones paramétrica
Se define las ecuaciones simétricas
= = =
− = − = −
=
⃗ = ⃗ 516224 2 2 0 = , =, = =1, 2 ,0 = = = =
Por lo tanto
Ahora tomamos el punto paramétricas y nos queda:
y remplazamos los valores en las ecuaciones
Para las ecuaciones simétricas nos quedaría
= =
4. Encuentre la distancia entre el punto (1, 2, 3) y el plano
2=4
Solución:
=2=4 = 1,2,3 =24=0
Utilizamos la formula
= |.+.++.++|
| 1 = |2.12 1.21.13 14| = |2√234 = 411 √6 5. Encuentre la línea de intersección de los planos:
=1 22=1
-> P1 -> P2
Tomamos los vectores normales N1 Y N2 de las ecuaciones P1 Y P2
1 111 122 1 2 3 1 21 12011213 1 0121 21 1 11 21 2 11 23 1 ∈1∩2 22=1 =112 =
N2 =
Un vector director de la recta será: D = N1 x N2 =
=
Para hallar una ecuación vectorial de la recta necesitamos un punto
Hacemos Z = 0 en (1) y (2)
=1 ∗ 2 2=1
22= 2 2=1 =1 1=1 =0 = 100t 011,t ∈ ℝ
Reemplazando en la ecuación (1)
Una ecuación vectorial de la recta que interseca los planos es:
CONCLUSIONES Sin duda alguna, con este trabajo aprendimos mucho sobre esta rama de la matemática, ya que se busca la resolución de problemas de la vida cotidiana a base de operaciones matemáticas ya establecidas; al obtener el conocimiento para llegar a la resolución de problemas
fortalecemos el conocimiento analítico y resolutivo,
obteniendo a partir de dicha fortaleza las virtudes y recursos para avanzar dentro del curso, además busca mejorar la forma en cómo se trabaja de manera colaborativa, dando así un paso agigantado a lo que se avecina dentro de la carrera y el curso como tal, sin dejar por fuera la fuente de conocimiento que en si representa este documento y que puede servir como guía en un caso dado a quien lo requiera. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales, con la característica que en todas las ecuaciones están las mismas variables. Es de vital importancia, el reconocimiento y adecuada aplicación de algunos métodos utilizados para resolver sistemas de ecuaciones lineales, tal es el caso del método por eliminación Gaussiana, el método de Gauss Jordan, empleando la matriz inversa entre otros, que aportan herramientas cognoscitivas significativas al proceso de formación profesional del estudiante de la Unad
BIBLIOGRAFIA
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OVI Unidad 2 - Sistemas lineales, rectas, planos y espacios vectoriales Vargas, J. (2015). Solución de sistemas de ecuaciones lineales: Eliminación Gausiana. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7182
